ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : ΤΟΥ ΠΥΡΗΝΑ -...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΠΥΡΗΝΑ-ΔΙΑΣΠΑΣΕΙΣ Ημι-εμπειρικός τύπος μάζας Η ενέργεια σύνδεσης των νουκλεονίων χαρακτηρίζεται από τα εξής χαρακτηριστικά:

1. περιέχει «ζευγαρωμένες ενέργειες» των νουκλεονίων, λόγω της έλξης πρωτονίου-πρωτονίου, νετρονίου-νετρονίου και πρωτονίου-νετρονίου (ισχυρή αλληλεπίδραση).

2. αργά μεταβαλλόμενη ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο, λόγω πιθανής φλοιώδους μορφής του πυρήνα

3. πυκνότητα πυρηνικής ύλης προσεγγιστικά σταθερή με τους πυρήνες να έχουν ένα σταθερό πυρηνικό φλοιό πυρήνας = σταγόνα νερού.

Με όλα αυτά τα συμπεράσματα δίδεται ένας ημι-εμπειρικός τύπος μάζας που αναπαράγει με υψηλή σχετικά ακρίβεια την ενέργεια σύνδεσης:

( ) ( )2 223

13 2

,N Z ZB N Z aA bA s d

A 1AA

δ−= − − − − (3.1)

a = 15.835 MeV b = 18.33 MeV s = 23.20 MeV +11.2 MeV, για περιττούς-περιττούς πυρήνες d = 0.714 MeV δ = 0, για άρτιους-περιττούς πυρήνες -11.2 MeV, για άρτιους-άρτιους πυρήνες aA = όρος ανάλογος του όγκου του πυρήνα bA2/3 = όρος που αντιστοιχεί στην επιφανειακή ενέργεια μιας σφαίρας

( )2N Zs

A−

= όρος ενέργειας συμμετρίας, μεγιστοποιεί την ενέργεια σύνδεσης για

δεδομένο Α, όταν Ν=Ζ 2

13

ZdA

= όρος Coulomb, ηλεκτροστατική ενέργεια της κατανομής του φορτίου του

πυρήνα

12A

δ = ενέργεια ζευγαρώματος νουκλεονίων.

3_IdiotitesPyrhna.doc 29

Κοιλάδα β-σταθερότητας-Αφθονία Επομένως η μάζα ενός ατόμου με πυρήνα Ζ πρωτονίων και Ν νετρονίων δίδεται από:

( ) ( ) ( )2 222 2 31

3 2,a n p e

N Z Zm N Z c Nm Z m m c aA bA s dA 1

AA

δ−⎡ ⎤= + + − + − − −⎣ ⎦ (3.2)

Αγνοώντας τις ενέργειες σύνδεσης των ηλεκτρονίων και αν αντί για Ν θέσουμε το ισοδύναμο Α-Ζ:

( ) ( )( )( ) ( )

2 12 2 23 2

12 1 3

2

,

4 4

a n

n p e

m A Z c Am c aA bA sA A c

2s m m m c Z sA d A Z

Z Z

δ

α β γ

−

−−

= − + + + −

+ − − + +

= − +

(3.3)

ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 : Α = περιττός δ = 0 Αν πάρουμε το διάγραμμα ma(A,Z)c2 συναρτήσει του Ζ, είναι μια παραβολή με ελάχιστο στη θέση:

( )( )( )

2

23

4

2 2 4

n p es m m m c AZ

s d A

βγ

+ − −= =

+ (3.4)

Επομένως το άτομο με τη μικρότερη μάζα (ενέργεια) ηρεμίας για συγκεκριμένο Α, έχει Ζ ίσο με το ακέραιο Ζmin = β/2γ Η β-διάσπαση είναι μια διαδικασία,όπου αλλάζει το Ζ ενός πυρήνα αλλά μένει σταθερό το Α, εφόσον επιτρέπεται ενεργειακά. Επομένως αν ένας πυρήνας έχει Ζ<Ζmin η διάσπαση είναι δυνατή: (Α,Ζ) (Α, Ζ+1) + e- + νe (3.5) εφόσον είναι δυνατή η σχέση mπυρ(Α,Ζ) > mπυρ(Α,Ζ+1) + me (3.6)


Παράδειγμα: 77 7732 33

7734

2.75

0.68e

e

Ge As e MeV

Se e MeV

ν

ν

→ + + +

↓→ + + +

Αντίστοιχα, αν Ζ>Ζmin η διάσπαση με εκπομπή ποζιτρονίου είναι δυνατή: Παράδειγμα: 77 7736 35

7734

2.89

1.36e

e

Kr Br e MeV

Se e MeV

ν

ν

+

+

→ + + +

↓→ + + +

Η συνθήκη πραγματοποίησης της β+-διάσπασης είναι δυνατή: mπυρ(Α,Ζ) > mπυρ(Α,Ζ-1) + me (3.7) Εκπομπή β έχουμε και στην περίπτωση της σύλληψης ηλεκτρονίου, όπου ο πυρήνας απορροφά ένα ατομικό ηλεκτρόνιο εκπέμποντας μόνο ένα νετρίνο: 77 7735 34 2.38eBr e Se MeVν+ → + + Η συνθήκη πραγματοποίησης για Κ-σύλληψη είναι δυνατή: mπυρ(Α,Ζ) + me > mπυρ(Α,Ζ-1) (3.8) 7 74 3 0.86eBe e Li MeVν+ → + + Ο πυρήνας 7Be διασπάται με Κ-σύλληψη, ενώ ΔΕΝ διασπάται με με εκπομπή ποζιτρονίου. Σε περίπτωση που είναι δυνατές και οι δύο διαδικασίες, η ενέργεια που απελευθερώνεται στην Κ-σύλληψη είναι μεγαλύτερη κατά 2mec2 ~ 1 MeV Επομένως:

1. Πυρήνες με περιττό Α διασπώνται σε πυρήνα που έχει Ζ πολύ κοντά β/2γ. Αναμένεται μία τιμή του Ζ που να αντιστοιχεί σε β-σταθερό πυρήνα.

2. Πυρήνες με άρτιο Α μπορεί να έχουν τα Ζ και Ν είτε άρτια είτε ταυτόχρονα περιττά. Από τον τύπο μάζας οι άρτιοι-άρτιοι πυρήνες έχουν χαμηλότερη ενέργεια από τους περιττούς-περιττούς κατά 2δΑ-½. Έτσι υπάρχουν δύο παραβολές μάζας με σχετική κατάκορυφη μετατόπιση 2δΑ-½/c2 όπως στο σχήμα 16 για κάθε άρτια τιμή του Α.


Σχήμα 16 : Οι β-σταθεροί πυρήνες με Ζ = 28 και Ζ = 30

Σχήμα 17 : Διάγραμμα Segré όλων των ισοτόπων

Στο σχήμα 16 οι πυρήνες με Ζ = 28 και Ζ = 30 στη χαμηλότερη άρτια-άρτια παραβολή και οι δύο είναι β-σταθεροί πυρήνες. Οι μοναδικοί περιττοί-περιττοί πυρήνες που είναι σταθεροί : 2 6 10 141 3 5 7, , ,H Li B N Οι πυρήνες που είναι β-σταθεροί παριστάνονται στο σχήμα 17 (διάγραμμα Segrè) σαν σημεία στο (Ν, Ζ) επίπεδο. Οι πυρήνες με σταθερό Α βρίσκονται σε διαγώνιες ευθείες Ν+Ζ=Α. Αν στο σχήμα 17 θεωρήσουμε μια τρίτη συνιστώσα την ατομική μάζα Μ(Α, Ζ), θα οριστεί μια τρισ-διάστατη επιφάνεια μάζας, όπου οι σταθεροί πυρήνες ομαδοποιούνται γύρω από τον πυθμένα μιας κοιλάδας της επιφάνειας μάζας. Ο πυθμένας της κοιλάδας β-σταθερότητας, όπου βρίσκονται οι β-σταθεροί πυρήνες δίνεται με μεγάλη ακρίβεια από τη σχέση 3.4. Εγκάρσιες τομές της επιφάνειας μάζας με επίπεδα σταθερού μαζικού αριθμού Α, δίδουν ομάδες ισοβαρών πυρήνων σταθερών και ασταθών. Στο σχήμα 18α έχουμε


πυρήνες με περιττό Α σε μια παραβολή και στο 18β για άρτιο Α έχουμε δύο παραβολές χωρισμένες με ενέργεια 2δ(Α).

Σχήμα 18 : β-διάσπαση πυρήνων Σε κάθε αυθόρμητη εκπομπή του σχήματος 18, απελευθερώνεται ενέργεια εξ αιτίας της αλλαγής της ενέργειας σύνδεσης μεταξύ της αρχικής και τελικής κατάστασης των πυρήνων. Η τιμή-Q για την εκπομπή β ορίζεται:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

, , 1

, , 1

, , 1e

EC e

Q M A Z M A Z

Q M A Z M A Z M

Q M A Z M A Z B

β

β

−

+

= − +

= − − −

= − − −

2 (3.9)

2Me = 1.022 MeV, Be = ενέργεια ιονισμού του ηλεκτρονίου που συλλαμβάνεται από το ουδέτερο άτομο με φορτίο Ζ-1. Προφανώς θεωρούμε οτι στις διαδικασίες αυτές οι μάζες του νετρίνου και του αντι-νετρίνου είναι μηδενικές. Αντίστοιχες τιμές-Q μπορούν να γραφούν για οποιοδήποτε γνωστό είδος διάσπασης, που είναι συμβατό με νόμους διατήρησης, όπως διάσπαση με εκπομπή νουκλεονίου:

( ) ( )( ) ( )

, 1, 1

, 1,p p p

n n

Q M A Z M A Z M S

Q M A Z M A Z M S

= − − − − =

= − − − = n

−

− (3.10)

Sp = ενέργεια διαχωρισμού εκπομπής πρωτονίου, Sn = ενέργεια διαχωρισμού εκπομπής νετρονίου Για τιμές Q < 0 έχουμε απόλυτη σταθερότητα των αντίστοιχων πυρήνων.


Για τιμές Q > 0 η πιθανότητα διάσπασης αυξάνει γρήγορα με την αύξηση της τιμής Q και για την εκπομπή φορτισμένων σωματιδίων οδηγούμαστε στην παρατηρούμενη εξάρτηση του ραδιενεργού χρόνου ημι-ζωής από την ενέργεια διάσπασης. Ορίζουμε το πλεόνασμα μάζας (mass excess) για κάθε πυρήνα, σύμφωνα με τη σχέση:

( ), AZM Z A M AΔ = − (3.11)

Συνήθως χρησιμοποιούμε αυτή την ποσότητα για τους υπολογισμούς στις πυρηνικές αντιδράσεις. Αντίστοιχα με τον ημι-εμπειρικό τύπο μάζας έχουμε και ανάλογο ημι-εμπειρικό τύπο για τον υπολογισμό του πλεονάσματος μάζας των πυρήνων:

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

1 22 3 3

2 1 213 3

, 7.288 8.0713

0.80762 1 0.7636 2.29

2 2 2

jk

M Z A Z A Z aA

Z A Z A2

3

A A A A Z A Z

S N Z

γ β η

− − −

− −

Δ = + − −

+ − −

⎡ ⎤+ + − − + −⎣ ⎦′ ′−

(3.12)

Ο τελευταίος όρος οφείλεται σε διορθωτικό όρο λόγω του προτύπου των φλοιών. Οι παράμετροι Ν΄ και Ζ΄ ορίζονται:

1 1

,j k

j j k

N N

k

Z ZN ZN N Z Z+ +

− −′ ′= =− −

όπου οι Nj, Zk = 8, 20, 50, 82, 126, 184, είναι οι μαγικοί αριθμοί Οι σταθερές στη σχέση 3.12 προσδιορίζονται από προσαρμογή ελαχίστων τετραγώνων για μια περιοχή από Α = 19 μέχρι Α = 260: α = 17.06 MeV, β = 33.61 MeV, γ = 25.00 MeV, η = 59.54 MeV Και τελικά το πλεόνασμα μάζας δίδεται απότη σχέση:

| +½δΑ, για περιττούς-περιττούς πυρήνες ΔΜ(Ζ, Α) = Δμο(Ζ, Α) +< 0, για άρτιους-περιττούς πυρήνες (3.13) | -½δΑ, για άρτιους-άρτιους πυρήνες ±δΑ = ενέργεια ζεύγους των νουκλεονίων


Οι συνθήκες της σχέσης 3.9 καθορίζουν την περιοχή των β-σταθερών πυρήνων στο διάγραμμα νετρονίων-πρωτονίων, αλλά δεν καθορίζουν τον πληθυσμό (ποσότητα) των β-σταθερών πυρήνων αυτής της περιοχής. Ο πληθυσμός των πυρήνων αυτών έχει καθοριστεί από τις αντιδράσεις πυρηνοσύνθεσης του πρώϊμου σύμπαντος, δηλαδή από τις ιδιότητες των πυρήνων, όπως η ικανότητα να απορροφούν νετρόνια συγκεκριμένης ενέργειας. Από παρατηρήσεις σε μετεωρίτες έχει καταρτιστεί ένας κατάλογος αφθονίας στοιχείων του ηλιακού συστήματος μέσω φασματομέτρου μάζας, όπως φαίνονται στο σχήμα 19, για άρτιους-άρτιους πυρήνες με Α>50.

Σχήμα 19 : Αφθονία άρτιων-άρτιων πυρήνων συναρτήσει του μαζικού αριθμού Τα βασικά συμπεράσματα από αυτό το σχήμα 19 είναι:

1. τα στοιχεία με την μεγαλύτερη αφθονία στο σύμπαν είναι το Υδρογόνο και το Ήλιο.

2. υπάρχει έλλειψη των στοιχείων Li, Be και Β στην αφθονία του ηλιακού συστήματος, εξ αιτίας πιθανόν της κατανάλωσης των αντίστοιχων νουκλιδίων στην πυρηνοσύνθεση. Σημειώνεται ότι οι κοσμικές ακτίνες περιέχουν μεγαλύτερες σχετικές ποσότητες των πυρήνων αυτών, διότι παράγονται από αλληλεπιδράσεις στον ενδοαστρικό χώρο.

3. πέραν των ελαφρών στοιχείων μία έντονη κορυφή αφθονίας των άρτιων-Ζ, άρτιων-Ν πυρήνων εμφανίζεται γύρω από από τον σίδηρο Α=56, η οποία συνδέεται με τη μέγιστη ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο. Αυτά θεωρούνται τα πιο σταθερά στοιχεία και μπορούν να σχηματιστούν σαν τελικά προϊόντα εκπομπής ασταθών πυρήνων, όπου έχει επιτευχθεί θερμική ισορροπία.


4. πέραν της ομάδας των πυρήνων στο σίδηρο, διακεκριμένες κορυφές φαίνονται σε τιμές Α που αντιστοιχούν σε αριθμό νετρονίων Ν = 50, 82 και 126. Αν αυτοί οι πυρήνες σχηματίζονται από ελαφρότερα είδη με διαδοχική σύλληψη νετρονίων και εκπομπή-β, τότε εμφανίζονται τέτοιες κορυφές με κλειστούς φλοιούς, γιατί το επόμενο νετρόνιο είναι λιγότερο δέσμιο. Παρόμοια σχόλια μπορούν να διατυπωθούν για επιπλέον κορυφές στα Α = 80, 130 και 194.

5. ο αριθμός των σταθερών κα μακρόβιων ισοτόπων είναι μεγαλύτερος για Ζ = 20, 28, 50 και 82 από ότι σε άλλα στοιχεία πλησίον.

6. ο αριθμός των σταθερών κα μακρόβιων ισοτόνων είναι μεγαλύτερος για Ν = 20, 28, 50, 82 και 126 από ότι σε άλλα στοιχεία πλησίον Ν τιμών.

Οι μάζες των β-σταθερών πυρήνων Χρησιμοποιώντας την προσέγγιση Ζ = β/2γ, (σχέση 3.4), υπολογίζουμε τις ενέργειες σύνδεσης των β-σταθερών (περιττού Α) πυρήνων από τη σχέση 3.1. Στο σχήμα 20 έχουμε την ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο Β(Α)/Α σαν συνάρτηση του μαζικού αριθμού Α, βασισμένο στο πυρηνικό πρότυπο της υγρής σταγόνας.

Σχήμα 20 : Ενέργεια σύνδεσης ανά νουκλεόνιο Β(Α)/Α σαν συνάρτηση του μαζικού αριθμού Α, βασισμένο στο πυρηνικό πρότυπο της υγρής σταγόνας

Σχήμα 21 : Συμμετοχή στην ενέργεια σύνεσης του πυρήνα των διαφόρων φαινπομένων


Η ομαλή καμπύλη προέρχεται από τον ημι-εμπειρικό τύπο μάζας (3.1) μέσω της προσέγγισης 3.4. Η κύρια απόκλιση (<1%) οφείλεται στα φαινόμενα «φλοιώδους δομής» τα οποία δεν συμπεριλαμβάνονται στην εξίσωση. Στό σχήμα 21 παρουσιάζονται οι διάφορες συνεισφορές στο Β(Α)/Α λόγω των φαινομένων όγκου, επιφανείας, ασυμμετρίας, πεδίου Coulomb. Σημειώνεται ότι εκτός της ενέργειας ζευγαρώματος, η ενέργεια όγκου είναι ο μοναδικός όρος που συνεισφέρει θετικά στην ενέργεια σύζευξης. Η αρχική άνοδος της καμπύλης οφείλεται στην μείωση της αρνητικής συνεισφοράς της ενέργειας επιφανείας σε σχέση με την ενέργεια όγκου καθώς αυξάνεται το μέγεθος του πυρήνα. Όμως με την αύξηση του Α και Ζ αυξάνεται και ο τετραγωνικός όρος της ενέργειας Coulomb και προκαλεί την μέγιστη τιμή της ενέργειας σύνδεσης στην καμπύλη. Ενεργειακές καταστάσεις και μεταβάσεις Ο πυρήνας έχει ένα σύνολο σταθερών καταστάσεων κίνησης σε διακριτά κβαντισμένα ενεργειακά επίπεδα, όπως και στα άτομα, σχήμα 22.

Σχήμα 22 : Διακριτές ενεργειακές καταστάσεις πυρήνων με λίγα και πολλά νουκλεόνια Κατά προσέγγιση οι πυρηνικές ενέργειες σύνδεσης είναι περίπου 1 000 000 φορές μεγαλύτερες από τις ατομικές ενέργειες σύνδεσης. (Εnucleus/Eatom ~ 106) Συνεπώς ενεργειακές αλλαγές μέσω των πυρηνικών κβαντικών εκπομπών είναι τυπικά 1 000 000 φορές μεγαλύτερες από τις ενεργειακές αλλαγές των ατομικών εκπομπών υπεύθυνων για την εκπομπή των ορατών φωτονίων.


Οι διαφορά μεταξύ της πυρηνικής και ατομικής κλίμακας ενεργειών οφείλεται στη διαφορά μάζας μεταξύ των νουκλεονίων και των ηλεκτρονίων και στη διαφορά του μεγέθους των δύο συστημάτων. (Παράρτημα Β) Υπάρχουν τέσσερις δυνατοί τρόποι αποδιέγερσης των πυρήνων, σε σχέση με τον απλό τρόπο αυθόρμητης απώλειας ενέργειας των ατόμων, μέσω εκπομπής φωτονίων:

1. εκπομπή φωτονίου, αποδιέγερση γάμμα 2. εκπομπή ηλεκτρονίου ή ποζιτρονίου, αποδιέγερση βήτα 3. εκπομπή σωματιδίου-α, αποδιέγερση-άλφα 4. διάσπαση σε δύο σχεδόν ισοδύναμα μέρη, πυρηνική σχάση

επειδή οι πυρήνες περιβάλλονται από τα τροχιακά ηλεκτρόνια, έχουμε δύο επιπρόσθετους τρόπους αποδιέγερσης των πυρήνων:

5. μεταφορά περίσσειας ενέργειας από τον πυρήνα σε ατομικό ηλεκτρόνιο προκαλώντα την πέξοδό του από το άτομο, εσωτερική μετατροπή

6. σύλληψη ενός τροχιακού ηλεκτρονίου από τον πυρήνα με τη δημιουργία και εκπομπή ενός νετρίνου, τροχιακή σύλληψη.

Στο σχήμα 23 εμφανίζεται ο πυρήνας ένας διεγερμένος πυρήνας με διάφορους τρόπους αποδιέγερσης.

Σχήμα 23: Διεγερμένες καταστάσεις πυρήνα με τρεις δυνατούς τρόπους αποδιέγερσης


Ενεργειακές καταστάσεις περιστροφής Ο πυρήνας δεν μπορεί να περιστραφεί γύρω από άξονα συμμετρίας. Θεωρείται κατά κανόνα σφαιρικός, οπότε κάθε άξονας είναι άξονας συμμετρίας και ΔΕΝ έχει ενεργειακές καταστάσεις περιστροφής. Ένας παραμορφωμένος πυρήνας είναι όπως ένα διατομικό μόριο. Έχει έναν άξονα συμμετρίας και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον κάθετο άξονα στον άξονα συμμετρίας. Οι περισσότεροι παραμορφωμένοι πυρήνες εμφανίζουν ενεργειακά φάσματα περιστροφής με ενέργειες:

( ) (0 012rotE J J J J

I= + − +⎡⎣ )1 ⎤⎦ (3.14)

J = κβαντικός αριθμός στροφορμής της διεγερμένης κατάστασης περιστροφής Jo = κβαντικός αριθμός στροφορμής της βασικής κατάστασης Ι = ροπή αδράνειας του πυρήνα, η οποία στην περίπτωση του περιστρεφόμενου πυρήνα εξαρτάται από την λεπτομερή κίνηση των νουκλεονίων μέσα στον πυρήνα και αυξάνεται καθώς αυξάνεται ο παράγων παραμόρφωσης Α του πυρήνα. Στο σχήμα 24 εμφανίζονται οι ενεργειακές καταστάσεις δύο περιστρεφόμενων πυρήνων 124Yb και 253Es

Σχήμα 24 :Ενεργειακές καταστάσεις παραμορφωμένων πυρήνων λόγω περιστροφής


Αρχή της εξαίρεσης Τα πρωτόνια και τα νετρόνια, όπως και τα ηλεκτρόνια, υπακούουν στην αρχή της εξαίρεσης. Εξ αιτίας της αρχής αυτής υπάρχει ισχυρή τάση για να έχει ένας πυρήνας ίσο αριθμό πρωτονίων και νετρονίων (Ν=Ζ). Αν ένα πρωτόνιο βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη ενεργειακή κατάσταση μέσα στον πυρήνα, τότε ένα πρόσθετο πρωτόνιο πρέπει να πάει σε μια διαφορετική ενεργειακή κατάσταση συνήθως με μεγαλύτερη ενέργεια. Ένα πρόσθετο νετρόνιο μπορεί να παέι στην ίδια ενεργειακή κατάσταση με αυτή του πρωτονίου, εφόσον δεν ισχύει η αρχή της εξαίρεσης μεταξύ των νετρονίων και των πρωτονίων. Ενέργεια Coulomb Εάν δεν είχαμε τις ηλεκτρικές δυνάμεις στον πυρήνα, η γραμμή σταθερότητας θα ακολουθούσε ίσο αριθμό νετρονίων και πρωτονίων και αντί για περίπου 100 στοιχεία θα είχαμε ίσως μερικές χιλιάδες. Η αμοιβαία ηλεκτρική άπωση των πρωτονίων «καμπυλώνει» και περιορίζει τη γραμμή σταθερότητας. Μόνον εξ αιτίας των ισχυρών πυρηνικών δυνάμεων μπορούν τα πρωτόνια να συγκρατηθούν μαζί στον πυρήνα. Για κάθε ζεύγος πρωτονίων στον πυρήνα, η δυναμική ενέργεια είναι e2/4πεοr. Ο συνολικός αριθμός ζευγών είναι ½Ζ(Ζ-1), οπότε η ολική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια του πυρήνα είναι:

( )2

0

1 112 4Coul

av

eU Z Zrπε

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.15)

όπου (1/r)av είναι η μέση ανάστροφη απόσταση μεταξύ όλων των ζευγών των πρωτονίων. Για ομογενή διασπορά των πρωτονίων μέσα σε μια σφαίρα ακτίνας R, θεωρώντας ότι (1/r)av = 6/(5R), έχουμε:

( ) 2

0

13 15 4Coul

Z Z eU

Rπε−

= (3.16)

Η θετική δυναμική ενέργεια Coulomb που δρά αντίθετα με την αρνητική δυναμική ενέργεια των πυρηνικών δυνάμεων, αυξάνει γρήγορα σε μέγεθος καθώς αυξάνει ο ατομικός αριθμός Ζ.


Επομένως, ανεξάρτητα από την αρχή της εξαίρεσης, είναι ενεργειακά ευνοϊκό για βαρείς πυρήνες να περιέχουν περισσότερα ουδέτερα σωματίδια από φορτισμένα σωματίδια. Πέραν των 83 πρωτονίων, δεν υπάρχουν καθόλου σταθεροί πυρήνες. Πέραν των 101 πρωτονίων δεν έχουν ανακαλυφθεί πυρήνες με χρόνους ημι-ζωής μεγαλύτερους της μιάς ώρας. Άσκηση Ο Άνθρακας-13 με 6 πρωτόνια και 7 νετρόνια και το Άζωτο-13 με 7 πρωτόνια και 6 νετρόνια καλούνται «κατοπτρικοί πυρήνες», θα πρέπει να έχουν την ίδια ακτίνα και τη ίδια ενέργεια σύνδεσης, σαν αποτέλεσμα της συνεισφοράς των πυρηνικών δυνάμεων. Η μέτρηση των ενεργειών σύνδεσης δίδει:

( ) ( )13 136 793.2 90.2B C MeV B N MeV= =

Οι ακτίνες των πυρήνων σύμφωνα με τις διαφορετικές μετρηθείσες ενέργειες σύνδεσης αντανακλούν την επίδραση της ενέργειας Coulomb. Από τη σχέση 3.15 έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( )2

02

0

3 11 15 4

6 15 4

Coul CouleU Z U Z Z Z Z ZR

Z eUR

πε

πε

+ − = + − −1⎡ ⎤⎣ ⎦

Δ =

ΔU = (3.0 MeV)(1.6 x 10-13 J/MeV) = 4.8 x 10-13 J. Επομένως για την ακτίνα βρίσκουμε:

( )( )29 12

13015

9 10 1.6 106 1 6 65 4 5 4.8 10

3.5 10 3.5

Z eRU

m fm

πε

−

−

−

× ××= =

Δ ×

= × =

9


ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Εφαρμογή της αρχής της αβεβαιότητας αποδεικνύει τη διαφορά της κλίμακας των ενεργειών:

xx pΔ Δ ≅ Β.1 Θέτουμε για Δx = R, την ακτίνα του συστήματος, οπότε:

( )2

22xp

RΔ ≅ Β.2

Η αβεβαιότητα Δpx ορίζεται από:

( ) ( )2x x x

avp p p⎡ ⎤Δ = −⎣ ⎦ Β.3

Εφόσον κάθε δέσμιο σε κβαντικό σύστημα είναι περιορισμένο στο χώρο, η μέση τιμή της συνιστώσας της ορμής του προς κάθε κατεύθυνση είναι μηδέν: 0xp = Επομένως η αβεβαιότητα της ορμής συνδέεται απλά με τη μέση τετραγωνική ορμή:

( ) ( )2 2x x av

p pΔ = Β.4 Για ένα σωματίδιο που κινείται στις τρεις διαστάσεις:

( ) ( )2 213x avav

p = p Β.5

Επομένως η σχέση Β.2 γίνεται:

( )2

22

13 av

pR

≅ Β.6

Τελικά, έχοντας υπόψη την μέση κινητική ενέργεια Κ = (p2)av/2m, η αρχή της αβεβαιότητας για δέσμια σωματίδια δίδει:


2

2

32

KmR

≅ Β.7

Για να βρούμε την ενεργειακή κλίμακα του ατόμου, θέτουμε στη σχέση B.7, m = μάζα του ηλεκτρονίου και R = 1 Å, οπότε Κ ≈ 11 eV. Αν υπολογίσουμε τον λόγο μεταξύ πυρηνικών και ατομικών ενεργειακών καταστάσεων, έχουμε:

2

nuclear e atom

atomic p nucleus

K m RK m R

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎝⎝ ⎠

⎟⎠ Β.8

Από Ratom = 1 Å = 105 fm και Rnucleus = 3 fm, έχουμε:

2561 10 0.6 10

1836 3nuclear

atomic

K fmK fm

⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

× Β.9


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : ΤΟΥ ΠΥΡΗΝΑ -...

Documents

Transcript of ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : ΤΟΥ ΠΥΡΗΝΑ -...