Κεφάλαιο 3 -...

Κεφάλαιο 3

_________________________________________

ΑΜΦΙΕΡΕΙΣΤΗ ∆ΟΚΟΣ

Σύµφωνα µε τα όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 1.3, ως αµφιέρειστη δοκός θα

µπορούσε να χαρακτηριστεί το τµήµα κάθε οριζόντιου γραµµικού φορέα που εκτείνεται

µεταξύ δύο διαδοχικών σηµείων µηδενικής ροπής (απλών στηρίξεων ή σηµείων

καµπής). Όσον αφορά το εξωτερικό φορτίο, µία δοκός θα µπορούσε γενικά να

υπόκειται, εκτός από εγκάρσια, και σε αξονικά φορτία. Στα επόµενα, όµως, τα αξονικά

φορτία θα αγνοηθούν για δύο λόγους: (α) διότι συνήθως είναι µικρά (θεωρώντας ως

µικρό κάθε αξονικό φορτίο το οποίο, διαιρούµενο µε το εµβαδόν της διατοµής όπου

ασκείται, δίνει τιµές µικρότερες από το 10% της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέµατος)

και (β) επειδή ο κύριος ρόλος µίας δοκού είναι η µεταφορά εγκάρσιων φορτίων στις

στηρίξεις της. Η συνδυασµένη δράση εγκάρσιων και αξονικών φορτίων θα εξεταστεί

στο επόµενο κεφάλαιο.

3.1 Γραµµικά ελαστική δοκός

Σύµφωνα µε την απλουστευµένη θεωρία της γραµµικά ελαστικής

δοκού,28,29 η εντατική κατάσταση σε τυχόν σηµείο Α µιας αµφιέρειστης δοκού

ορθογωνικής διατοµής, που υπόκειται σε εγκάρσιο (διπλό σηµειακό) φορτίο,

συµµετρικά διατεταγµένο ως προς τη µεσαία διατοµή της, είναι συνάρτηση των

τιµών της καµπτικής ροπής (Μ) και της τέµνουσας δύναµης (V) στη διατοµή που

διέρχεται από το σηµείο Α (βλ. σχήµα 3.1) και δίνεται από τις ακόλουθες σχέσεις:

ΑΜΦΙΕΡΕΙΣΤΗ ∆ΟΚΟΣ Κεφ. 3

54

σ = (Μ/Ι)y 3.1(α)

τ = VS/(bI) 3.1(β)

όπου

Ι η ροπή αδράνειας της διατοµής,

y η απόσταση του σηµείου Α από την ουδετέρα γραµµή,

S η στατική ροπή του γραµµοσκιασµένου τµήµατος της διατοµής και

b το πλάτος της διατοµής στη θέση του σηµείου Α (Βλ. Σχήµα 3.1)

Στο σχήµα 3.2 φαίνονται οι τροχιές των κυρίων τάσεων, θλιπτικών µε συνεχή

γραµµή και εφελκυστικών µε διακεκοµµένη γραµµή, που προκύπτουν εκφράζοντας

τ =VSbI

Σχήµα 3.1 Aµφιέρειστη δοκός υπό εγκάρσιο (διπλό σηµειακό) φορτίο, συµµετρικά διατεταγµένο ως προς τη µεσαία διατοµή (α) ∆ιανοµή ορθών (σ) και διατµητικών (τ) τάσεων στη διατοµή 1-1 και (β) ∆ιαγράµµατα ροπών κάµψεως και τεµνουσών δυνάµεων.

b

∆ιατοµή 1-1

h y

(α)

V

M M+∆Μ

1

1 A

(β)

∆x

V V

V V

Ουδετέρα γραµµή

σ =MI

y


55

την εντατική κατάσταση (σ, τ) µε τη µορφή κυρίων τάσεων (σ1, σ2) και

υπολογίζοντας τις κύριες τάσεις σε ένα ικανό αριθµό σηµείων της δοκού.

Εάν από το τµήµα της δοκού του σχήµατος 3.1 που ορίζεται µεταξύ του ενός

από τα σηµειακά φορτία και της πλησιέστερης προς αυτό στήριξης (διατµητικό

µήκος) αποκοπεί ένα στοιχειώδες τµήµα µήκους ∆x, τότε το τµήµα αυτό ισορροπεί

υπό τη δράση των εσωτερικών δυνάµεων (ροπών κάµψης και τεµνουσών δυνάµεων)

που απεικονίζονται στο σχήµα 3.3. Η συνθήκη ισορροπίας των ροπών των δυνάµεων

που δρουν στο στοιχειώδες αυτό τµήµα ως προς το γεωµετρικό κέντρο του

εκφράζεται από τη σχέση

∆Μ=V∆x 3.2

Η σχέση αυτή περιγράφει το µηχανισµό µε τον οποίο πραγµατοποιείται η µεταφορά

τέµνουσας δύναµης - και συνεπώς του εξωτερικού φορτίου - από τη δεξιά στην

αριστερή εγκάρσια πλευρά του στοιχειώδους τµήµατος, όπως απεικονίζεται στο

σχήµα 3.3.

Σχήµα 3.2 Σχηµατική απεικόνιση των τροχιών των θλιπτικών (συνεχείς γραµµές) και εφελκυστικών (διακεκοµένες γραµµές) κυρίων τάσεων που αναπτύσσονται στη δοκό του σχήµατος 3.1.

Σχήµα 3.3 Μηχανισµός µεταφοράς εξωτερικού φορτίου, µε τη µορφή τέµνουσας δύναµης, από τη δεξιά στην αριστερή πλευρά ενός στοιχειώδους τµήµατος του διατµητικού µήκους της δοκού του σχήµατος 3.1.

∆x

M V

V

V

V

Μ+∆Μ


56

3.2 ∆οκός από οπλισµένο σκυρόδεµα

Εξετάζουµε την περίπτωση που η δοκός του σχήµατος 3.1 είναι

κατασκευασµένη από σκυρόδεµα. Σύµφωνα µε τη θεωρία της γραµµικά ελαστικής

δοκού, η φέρουσα ικανότητα της δοκού (µέγιστη καµπτική ροπή) αντιστοιχεί στη

µέγιστη τάση (αντοχή) που µπορεί να αναπτυχθεί (βλ. σχήµα 3.1). Επειδή όµως η

εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος είναι πολύ µικρότερη της θλιπτικής αντοχής

του, η φέρουσα ικανότητα της δοκού θα αντιστοιχεί στην εφελκυστική αντοχή του

σκυροδέµατος και η υψηλή θλιπτική αντοχή του θα παραµένει ανεκµετάλλευτη. (Η

αστοχία της δοκού προκαλείται από ρωγµές κατά τη διεύθυνση των τροχιών των

θλιπτικών τάσεων, τις οποίες προκαλούν οι κάθετες σ' αυτές εφελκυστικές τάσεις

(βλ. σχήµα 3.4).)

Για να αυξηθεί η φέρουσα ικανότητα της δοκού έτσι ώστε, όχι µόνο να

υπερβαίνει κατά πολύ την τιµή που της υπαγορεύει η εφελκυστική αντοχή του

σκυροδέµατος, αλλά και να εξαντλείται η θλιπτική αντοχή του υλικού, τοποθετείται

στην εφελκυόµενη περιοχή της δοκού οπλισµός µε τη µορφή ράβδων χάλυβα, των

οποίων η σηµαντική αντοχή σε εφελκυσµό αντισταθµίζει την αδυναµία του

σκυροδέµατος να αναλάβει εφελκυστικές τάσεις. Η τοποθέτηση οπλισµού, που

µετατρέπει το σκυρόδεµα από άοπλο σκυρόδεµα σε οπλισµένο σκυρόδεµα (Ο.Σ.),

θα µπορούσε να γίνει κατά τη διεύθυνση των τροχιών των εφελκυστικών τάσεων,

όπως φαίνεται στο σχήµα 3.5, έτσι ώστε ο οπλισµός να µπορεί να αναλάβει άµεσα

τις εφελκυστικές τάσεις είτε στο σύνολό τους, είτε το τµήµα τους που δεν µπορεί να

αναλάβει το (άοπλο) σκυρόδεµα.

Σχήµα 3.4 Σχηµατική απεικόνιση ρωγµών που οδηγούν σε αστοχία δοκό σκυροδέµατος


57

Ο παραπάνω τρόπος όπλισης είναι κατασκευαστικά δυσχερής και αντ’ αυτού

ο οπλισµός που χρησιµοποιείται συνήθως αποτελείται από ευθύγραµµες διαµήκεις

και εγκάρσιες (µε τη µορφή συνδετήρων) ράβδους από χάλυβα, οι οποίες

τοποθετούνται µε τον τρόπο που απεικονίζεται στο σχήµα 3.6. Όπως φαίνεται στο

σχήµα, οι διαµήκεις ράβδοι τοποθετούνται σε µικρή απόσταση από το εφελκυόµενο

πέλµα της δοκού, ενώ οι εγκάρσιες ράβδοι κατανέµονται στα διατµητικά µήκη της

δοκού. Θεωρώντας µηδενική την εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος, οι

διαµήκεις ράβδοι υπολογίζονται να αναλαµβάνουν τη συνολική εφελκυστική δύναµη

που αναπτύσσεται λόγω της καµπτικής ροπής. Οι εγκάρσιες ράβδοι αναλαµβάνουν

τις εγκάρσιες συνιστώσες των κεκλιµένων εφελκυστικών τάσεων (που αναπτύσσεται

στα διατµητικά µήκη), µέρος των οποίων θεωρείται ότι αναλαµβάνεται από το

(άοπλο) σκυρόδεµα µέσω της διατµητικής αντοχής του.

Σχήµα 3.5 Θεωρητική διάταξη οπλισµού για την καθυστέρηση της αστοχίας της δοκού του σχήµατος 3.4 µέχρι την εξάντληση της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέµατος

αv

Σχήµα 3.6 Πρακτική διάταξη οπλισµού δοκού σκυροδέµατος.

γ

α : διαµήκεις εφελκυόµενες ράβδοι χάλυβα β : συνδετήρες γ : διαµήκεις ράβδοι για σχηµατισµό κλωβού οπλισµού α

β

∆ιατοµή 1-1

α 1

1

β

γ

s 45ο


58

3.3 Συµπεριφορά δοκού από Ο.Σ. µε την αύξηση της επιπόνησης

Όταν µε την αύξηση του φορτίου οι αναπτυσσόµενες εφελκυστικές και

διατµητικές τάσεις υπερβούν την εφελκυστική και διατµητική, αντίστοιχα, αντοχή

του σκυροδέµατος, η δοκός αρχίζει να ρηγµατώνεται, παρά την τοποθέτηση του

οπλισµού (βλ. σχήµα 3.6). Οι εµφανιζόµενες ρωγµές, που είναι κάθετες στις τροχιές

των εφελκυστικών τάσεων και συνεπώς ακολουθούν τη διεύθυνση των τροχιών των

θλιπτικών τάσεων (βλ. σχήµα 3.4), στο καµπτόµενο τµήµα της δοκού (τµήµα µεταξύ

των δύο σηµειακών φορτίων (βλ. σχήµα 3.6) είναι κάθετες στον κεντροβαρικό άξονα

της δοκού (καµπτικές ρωγµές), ενώ στα διατµητικά µήκη είναι διαγώνιες µε κλίση

περίπου 45ο.

Λόγω της πολύ µικρής τιµής της εφελκυστικής αντοχής του σκυροδέµατος,

οι καµπτικές ρωγµές εµφανίζονται για πολύ µικρή στάθµη του φορτίου (µικρό

ποσοστό της φέρουσας ικανότητας της δοκού). Με την αύξηση του φορτίου, όµως,

οι αρχικά αόρατες ρωγµές διευρύνονται και για στάθµη φορτίου 30% περίπου της

φέρουσας ικανότητας γίνονται ορατές. Με περαιτέρω αύξηση του φορτίου και µέχρι

τη στάθµη 50 έως 60% της φέρουσας ικανότητας, το άνοιγµα και το µήκος των

ρωγµών παραµένουν περίπου σταθερά (λόγω και της ενδεχόµενης εµφάνισης νέων

ρωγµών). Πέρα από τη στάθµη αυτή, περαιτέρω αύξηση του φορτίου επιταχύνει το

ρυθµό εξέλιξης των ρωγµών µε συνέπεια την αστοχία της δοκού.

3.4 Οριακές καταστάσεις και φυσικά προσοµοιώµατα δοκού από Ο.Σ.

Η κατάσταση της δοκού στη στάθµη 50 έως 60% της φέρουσας ικανότητας

που αντιστοιχεί στο φορτίο λειτουργίας της δοκού περιγράφεται ως οριακή

κατάσταση λειτουργικότητας και, όπως αναφέρθηκε στην προηγούµενη ενότητα,

χαρακτηρίζεται από ελεγχόµενη ρηγµάτωση. Η κατάσταση της δοκού λίγο πριν

αστοχήσει, περιγράφεται ως οριακή κατάσταση αστοχίας και συνήθως

χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη τόσο κεκλιµένων όσο και καµπτικών ρωγµών, το


59

εύρος των οποίων έχει µέγεθος της τάξης χιλιοστών, ενώ το µήκος τους εκτείνεται

σχεδόν µέχρι το θλιβόµενο πέλµα.

Μετά το σχηµατισµό κεκλιµένων ρωγµών το διατµητικό µήκος της δοκού

θεωρείται ότι λειτουργεί ως δικτύωµα. Στο δικτύωµα αυτό, η θλιβόµενη ζώνη και ο

διαµήκης εφελκυόµενος οπλισµός σχηµατίζουν τους διαµήκεις θλιπτήρες και

ελκυστήρες του δικτυώµατος, αντίστοιχα, ενώ οι εγκάρσιες ράβδοι αποτελούν τους

εγκάρσιους ελκυστήρες και το διαγώνια ρηγµατωµένο σκυρόδεµα στην

εφελκυόµενη ζώνη της δοκού επιτρέπει τη δηµιουργία διαγώνιων (δηλ. µε κλίση

περίπου 45ο) θλιπτήρων (βλ. σχήµα 3.6). Σε αντίθεση µε τους εγκάρσιους

ελκυστήρες του δικτυώµατος που θεωρούνται ότι λειτουργούν ως ράβδοι, η

λειτουργία των θλιπτήρων και των διαµήκων ελκυστήρων χαρακτηρίζεται από

ιδιοτυπίες οι οποίες, χωρίς να επηρεάζουν την ανάληψη αξονικών δυνάµεων,

επιτρέπουν την ανάπτυξη πρόσθετων µηχανισµών που συνεπικουρούν το δικτύωµα

στην ανάληψη τεµνουσών δυνάµεων. Τέτοιοι µηχανισµοί αντιστοιχούν (α) στην

ανάπτυξη διατµητικών τάσεων στο διαµήκη θλιπτήρα, (β) στη διατµητική αντίσταση

που προβάλλει η τριβή που αναπτύσσεται στις επιφάνειες των διαγωνίων ρωγµών

λόγω της τραχύτητάς τους κατά τη σχετική µετατόπιση των παρειών τους και (γ) στη

διατµητική αντίσταση του διαµήκους ελκυστήρα θεωρούµενου ως βλήτρου

αντιστεκόµενου στη διατµητική µετατόπιση των παρειών των διαγωνίων ρωγµών.

(Από τους παραπάνω µηχανισµούς αντοχής στη δράση τέµνουσας δύναµης, ο

µηχανισµός (β) συνήθως αναφέρεται ως αντοχή σε τέµνουσα λόγω εµπλοκής

αδρανών, όπου ο όρος εµπλοκή αδρανών χρησιµοποιείται για να δώσει µια φυσική

περιγραφή αυτού του τρόπου αντίστασης, ενώ ο µηχανισµός (γ) είναι γνωστός ως

δράση βλήτρου.)

Και ενώ τα διατµητικά µήκη θεωρούνται ότι λειτουργούν ως δικτυώµατα, το

τµήµα της δοκού µεταξύ των δύο σηµειακών φορτίων, όπου η τιµή της καµπτικής

ροπής παραµένει σταθερή, θεωρείται ότι εξακολουθεί να λειτουργεί ως ολόσωµη

δοκός, η συµπεριφορά της οποίας περιγράφεται µε κατάλληλη τροποποίηση της

απλουστευµένης θεωρίας της γραµµικά ελαστικής δοκού, έτσι ώστε να λαµβάνει


60

υπόψη τη µη γραµµικότητα που διέπει τη συµπεριφορά των υλικών (σκυροδέµατος

και χάλυβα) στην οριακή κατάσταση αστοχίας της δοκού.

Στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας, η διαγώνια ρηγµάτωση, παρά την

ανακατανοµή των τάσεων που προκαλεί, δεν ενεργοποιεί το χάλυβα σε βαθµό που

να επιβάλει τη συµβολή του στη µεταφορά τεµνουσών δυνάµεων στις στηρίξεις της

δοκού. Συνεπώς, δεν απαιτείται τροποποίηση της απλουστευµένης θεωρίας της

γραµµικά ελαστικής δοκού που να λαµβάνει υπόψη την επίδραση των διαγώνιων

ρωγµών. (Όπως θα αναπτυχθεί σε επόµενη ενότητα, τροποποίηση της

απλουστευµένης θεωρίας της γραµµικά ελαστικής δοκού δεν απαιτείται επίσης στην

περίπτωση που η µετάβαση από την οριακή κατάσταση λειτουργικότητας στην

οριακή κατάσταση αστοχίας δεν µεταβάλλει αισθητά τη διαγώνια ρηγµάτωση στο

διατµητικό τµήµα της δοκού στην οριακή κατάσταση αστοχίας της.) Αντίθετα, η

µεταφορά εφελκυστικών δυνάµεων από το σκυρόδεµα στο χάλυβα, που προκαλούν

οι καµπτικές ρωγµές, είναι αυτή που διατηρεί τη δυνατότητα ανάληψης καµπτικών

ροπών από τη δοκό. Στην περίπτωση αυτή, λοιπόν, η θεωρία της γραµµικά

ελαστικής δοκού θα πρέπει να τροποποιηθεί έτσι ώστε να περιγράφει τη συµβολή

του χάλυβα στην ανάληψη ροπών κάµψης (προσοµοίωµα της ρηγµατωµένης δοκού).

Τα παραπάνω προσοµοιώµατα – ρηγµατωµένης ελαστικής δοκού (για την

οριακή κατάσταση λειτουργικότητας) και συνδυασµού δικτυώµατος και

ανελαστικής δοκού (για την οριακή κατάσταση αστοχίας) - αποτελούν τη βάση των

µεθόδων σχεδιασµού των κατασκευών από Ο.Σ. Θεωρούνται ότι περιγράφουν

ρεαλιστικά την εντατική κατάσταση της δοκού σε όλο το φάσµα των τιµών του

ασκούµενου φορτίου και ιδιαίτερα στις οριακές καταστάσεις λειτουργικότητας και

αστοχίας. Μέχρι και την οριακή κατάσταση λειτουργικότητας, η σχέση µεταξύ των

µεγεθών εσωτερικής έντασης (τάσεων και αντίστοιχων ανηγµένων

παραµορφώσεων) θεωρείται ότι παραµένει γραµµική, ενώ στην οριακή κατάσταση

της αστοχίας η δοκός χαρακτηρίζεται από έντονα µη-γραµµική συµπεριφορά των

υλικών. Ο προσδιορισµός της εσωτερικής έντασης στις παραπάνω δύο οριακές

καταστάσεις της δοκού µπορεί να γίνει όπως περιγράφεται παρακάτω.


61

3.5 Εντατική κατάσταση στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας

3.5.1 Καµπτική επιπόνηση

Στην εγκάρσια διατοµή 1-1 µεταξύ των σηµειακών φορτίων που ασκούνται

στη δοκό από Ο.Σ. του σχήµατος 3.7(α), η εσωτερική ένταση απεικονίζεται στο

σχήµα 3.7(β). Όπως φαίνεται στο σχήµα, για την περιγραφή δεν αρκεί µόνον η

υιοθέτηση της υπόθεσης Bernoulli (δηλαδή η παραδοχή ότι επίπεδες διατοµές

παραµένουν επίπεδες κατά την κάµψη της δοκού), στην οποία στηρίζεται η

θεωρία της γραµµικά ελαστικής δοκού, αλλά απαιτείται και η πρόσθετη παραδοχή

της πλήρους συνάφειας µεταξύ σκυροδέµατος και χάλυβα, που εκφράζεται µε τη

σχέση εσκυροδέµατος=εχάλυβα (όπου ε είναι η ανηγµένη παραµόρφωση των υλικών) στη

στάθµη του οπλισµού.

α

Σχήµα 3.7 Aµφιέρειστη δοκός στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας. (α) Φυσική κατάσταση δοκού. (β) Εσωτερική ένταση διατοµής υπό καµπτική επιπόνηση.

εc

h d

A

b

x

εs = εc(d-x)/x

x 3

σc

(β)

Fc = (1/2) bx σc = (1/2) bx εcΕc

Fs = Aσs = AsεsΕs

z = d -

L C

1

1

(α)

∆ιατοµή 1-1

x 3

V

V

M


62

Το βάθος της θλιβόµενης ζώνης στη δοκό του σχήµατος 3.7, σε αντίθεση µε

τη δοκό του σχήµατος 3.1 όπου ισούται µε h/2, προσδιορίζεται από τις σχέσεις

ισοδυναµίας εσωτερικής και εξωτερικής αξονικής δύναµης (θεωρώντας δεδοµένα τα

γεωµετρικά χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες των υλικών). Για µηδενική εξωτερική

αξονική δύναµη, ισχύει:

Fc = Fs . . . . . . . 3.3

Xρησιµοποιώντας τις αναλυτικές σχέσεις που δίδονται στο σχήµα,

προκύπτει: (1/2)bxεcEc = AsεsEs, όπου οι παράµετροι Fc ,Fs, b, d, εc, εs ορίζονται στο

σχήµα 3.7, ενώ Ec και Es είναι τα µέτρα ελαστικότητας σκυροδέµατος και χάλυβα,

αντίστοιχα. Θέτοντας στη σχέση αυτή As=ρbd, Es=µEc και εs=εc(d-x)/x (παραδοχή

πλήρους συνάφειας) προκύπτει η σχέση (1/2)x=µρd(d-x)/x. ∆ιαιρώντας µε d2

προκύπτει η σχέση (x/d)2=2µρ[1-(x/d)] κι από αυτήν υπολογίζεται το βάθος της

θλιβόµενης ζώνης x:

x = −dµρ+d√(µρ)2+2µρ . . . . . 3.4

Γνωρίζοντας το βάθος της θλιβόµενης ζώνης x, ο µοχλοβραχίονας z του

ζεύγους των δυνάµεων Fc ≡ Fs προκύπτει από τη σχέση z = d−x/3 και οι τιµές των

δυνάµεων Fc και Fs από τη σχέση:

Fc ≡ Fs = M/z . . . . . . . 3.5

Οι τιµές αυτές µπορούν να χρησιµοποιηθούν στις σχέσεις που περιέχονται στο

σχήµα 3.7 για να υπολογιστούν οι τάσεις και οι αντίστοιχες ανηγµένες

παραµορφώσεις που αναπτύσσονται στη διατοµή για δεδοµένη τιµή του εξωτερικού

φορτίου (και συνεπώς της καµπτικής ροπής Μ).


63

3.5.2 Καµπτοδιατµητική επιπόνηση

Στο σχήµα 3.8 φαίνονται οι εσωτερικές διαµήκεις και τέµνουσες δυνάµεις

που αναπτύσσονται στις δύο πλευρές στοιχειώδους τµήµατος µήκους α µεταξύ δύο

διαδοχικών ρωγµών στο διατµητικό µήκος της δοκού του σχήµατος 3.7 (µε την

παραδοχή ύπαρξης συνάφειας µεταξύ σκυροδέµατος και χάλυβα). Εκφράζοντας τη

συνθήκη ισορροπίας των ροπών των δυνάµεων αυτών και αγνοώντας τους όρους

δευτέρας τάξεως προκύπτει η σχέση:

∆M=∆Fc z (=∆Fs z)=Va . . . . 3.6

Όπως και στην περίπτωση της γραµµικά ελαστικής δοκού του σχήµατος 3.1

και 3.3, η σχέση αυτή περιγράφει τον µηχανισµό µεταφοράς της τέµνουσας δύναµης

- και συνεπώς του εξωτερικού φορτίου - από τη δεξιά στην αριστερή πλευρά του

στοιχειώδους τµήµατος στο διατµητικό µήκος της δοκού. Σύµφωνα µε το µηχανισµό

αυτό θα πρέπει οι ροπές που ασκούνται στις πλευρές του στοιχειώδους τµήµατος να

διαφέρουν κατά ∆M, γεγονός που είναι δυνατό µόνο όταν οι δυνάµεις που

αναλαµβάνονται από τον οπλισµό στις πλευρές αυτές διαφέρουν κατά ∆Fs. Η

τελευταία αυτή συνθήκη είναι δυνατή µόνο όταν υπάρχει συνάφεια µεταξύ

σκυροδέµατος και χάλυβα. Η ύπαρξη συνάφειας µεταξύ σκυροδέµατος και χάλυβα

αποτελεί, λοιπόν, αναγκαία συνθήκη για τη λειτουργία µιας δοκού από Ο.Σ. µε τον

τρόπο που περιγράφεται από τη απλουστευµένη θεωρία της γραµµικά ελαστικής

δοκού.

FC

V V

FS+∆FS

z+∆z

FC+∆FC

FC

z

α

Σχήµα 3.8 Eσωτερική ένταση στοιχειώδους τµήµατος µεταξύ διαδοχικών ρωγµών στο διατµητικό µήκος της δοκού του σχήµατος 3.7


64

3.6 Εντατική κατάσταση στην οριακή κατάσταση αστοχίας

3.6.1 Καµπτική επιπόνηση

Για το τµήµα του προσοµοιώµατος που λειτουργεί ως δοκός, οι παραδοχές

Bernoulli και πλήρους συνάφειας µεταξύ σκυροδέµατος και χάλυβα θεωρούνται ότι

ισχύουν και στην οριακή κατάσταση αστοχίας. Εποµένως, όπως και στην περίπτωση

της οριακής κατάστασης λειτουργικότητας, η µεταβολή των ανηγµένων

παραµορφώσεων (που απεικονίζεται στο σχήµα 3.9) είναι γραµµική καθ’ ύψος της

ορθογωνικής διατοµής (που επίσης απεικονίζεται στο ίδιο σχήµα), ενώ οι ανηγµένες

παραµορφώσεις σκυροδέµατος και χάλυβα είναι ίσες στη στάθµη του οπλισµού. Στο

παραπάνω σχήµα, που επίσης απεικονίζει τις εσωτερικές δράσεις που

αναπτύσσονται στη διατοµή, η ανηγµένη παραµόρφωση του σκυροδέµατος στην

ακραία θλιβόµενη ίνα της διατοµής, εc, και η ανηγµένη παραµόρφωση του χάλυβα,

εs, αποτελούν τη βάση του κριτηρίου αστοχίας της διατοµής, µε συνηθέστερο

κριτήριο αστοχίας να αποτελεί η σχέση εc = εcu = 0.0035. (∆ηλαδή, η διατοµή

θεωρείται ότι αστοχεί όταν η εc λάβει την τιµή εcu = 0.0035).

Παρά την απλή γραµµική κατανοµή των παραµορφώσεων, η εντατική

κατάσταση στη θλιβόµενη ζώνη προκύπτει πολύπλοκη λόγω της µη γραµµικής

συµπεριφοράς του σκυροδέµατος και της συνεπαγόµενης µη γραµµικής διανοµής

των ορθών τάσεων στη θλιβόµενη ζώνη. Από πειραµατικά αποτελέσµατα προκύπτει

εc

h d

A

b

x 0.8 x 0.4 x

Fs=Asfy

Fc=0.68bxfc

0.85 fc

z = d-0.4 x

Σχήµα 3.9 Eσωτερική ένταση στην οριακή κατάσταση αστοχίας διατοµής υπό καµπτική επιπόνηση

εs


65

ότι η τιµή της θλιπτικής δύναµης που αντιστοιχεί σε εc = εcu = 0.0035 είναι

ισοδύναµη µε αυτή που προκύπτει από το γινόµενο µιας µέσης τάσης µεγέθους

0.85fc (όπου fc είναι η αντοχή του σκυροδέµατος σε µονοαξονική θλίψη) και του

εµβαδού του τµήµατος της θλιβόµενης ζώνης που εκτείνεται σε βάθος ίσο µε 0.8x

από την ακραία θλιβόµενη ίνα (όπου x το συνολικό βάθος της θλιβόµενης ζώνης).4

Έτσι, όπως φαίνεται στο σχήµα 3.9, η δύναµη που µπορεί να αναλάβει η θλιβόµενη

ζώνη όταν εc = εcu = 0.0035 είναι Fc=0.68bxfc (όπου b είναι το πλάτος της

ορθογωνικής διατοµής της δοκού) και ασκείται σε απόσταση ίση µε 0.4x από την

ακραία θλιβόµενη ίνα. Η εφελκυστική δύναµη που αναλαµβάνει ο οπλισµός

λαµβάνεται ίση µε Fs=Asfy (όπου fy είναι η τάση διαρροής του χάλυβα, υποθέτοντας

(για λόγους απλότητας) ελαστοπλαστική συµπεριφορά του υλικού. (Ο λόγος για τον

οποίο η τάση του χάλυβα λαµβάνεται ίση µε fy θα διευκρινιστεί σε επόµενη

ενότητα.)

Όπως και στην περίπτωση της οριακής κατάστασης λειτουργικότητας, το

βάθος της θλιβόµενης ζώνης προσδιορίζεται από τις σχέσεις ισοδυναµίας των

εσωτερικών και εξωτερικών αξονικών δυνάµεων, θεωρώντας ως δεδοµένα τόσο τα

γεωµετρικά χαρακτηριστικά όσο και τις ιδιότητες των υλικών. Λόγω της µηδενικής

εξωτερικής αξονικής δύναµης, ισχύει Fc = Fs. Αντικαθιστώντας τα µεγέθη των Fc

και Fs που εδόθησαν παραπάνω, προκύπτει η σχέση 0.68bxfc=Asfy από την οποία

προκύπτει η τιµή του βάθους της θλιβόµενης ζώνης :

x= Asfy/(0.68bfc) . . . . . 3.7

Έχοντας υπολογίσει το βάθος της θλιβόµενης ζώνης x, ο µοχλοβραχίονας z του

ζεύγους των δυνάµεων Fc = Fs προκύπτει από τη σχέση z=d-0.4x και συνεπώς η

µέγιστη ροπή που µπορεί να αναλάβει η διατοµή (καµπτική αντοχή) είναι:

Mf = Fs z = Asfy (d−0.4x) . . . . . 3.8


66

3.6.2 Καµπτοδιατµητική επιπόνηση

Για την περιοχή του διατµητικού µήκους της δοκού του σχήµατος 3.6

(περίπτωση καµπτοδιατµητικής επιπόνησης), µια σχηµατική παράσταση του

δικτυώµατος που το προσοµοιάζει δίνεται στο σχήµα 3.10 το οποίο περιλαµβάνει,

επίσης, και τα αντίστοιχα διαγράµµατα ροπών κάµψης και τεµνουσών δυνάµεων. Το

διάγραµµα ροπών κάµψης στην περίπτωση αυτή προκύπτει διαφορετικό από το

αντίστοιχο διάγραµµα της ολόσωµης δοκού που φαίνεται στο σχήµα 3.1. Στην

περίπτωση του δικτυώµατος, η ροπή κάµψης µεταξύ δύο διαδοχικών (κατά την

οριζόντια διεύθυνση) κόµβων, ίση µε Fsz, δεν µπορεί παρά να παραµένει σταθερή,

επειδή η οριζόντια δύναµη Fs που µεταφέρεται µεταξύ δύο διαδοχικών κόµβων

παραµένει σταθερή. Θα πρέπει επίσης να σηµειωθεί ότι από τις ασκούµενες

τέµνουσες δυνάµεις που απεικονίζει το διάγραµµα τεµνουσών δυνάµεων, ένα τµήµα

τους, Vc, µπορούν να το αναλάβουν οι “επικουρικοί” µηχανισµοί αντίστασης σε

δράση τέµνουσας δύναµης που περιγράφηκαν στην ενότητα 3.4. Συνεπώς, οι

τέµνουσες δυνάµεις που µπορεί να αναλάβει το δικτύωµα θα πρέπει να έχουν τιµές

µικρότερες από αυτές του διαγράµµατος τεµνουσών δυνάµεων της ολόσωµης δοκού

τουλάχιστον κατά Vc.

Σχήµα 3.10 Προσοµοίωση αµφιέρειστης δοκού στην οριακή κατάσταση αστοχίας της ως δικτύωµα και διαγράµµατα εσωτερικών δυνάµεων για την περίπτωση διπλού σηµειακού φορτίου.

L C 1

2

2

1

x z

Fc

Fs

z/2

z

∆Τ∆

M=Fs z=Fc z

V

∆ΡΚ


67

Οι διατοµές της διαµήκους εφελκυστικής και θλιπτικής ράβδου του

δικτυώµατος αντιστοιχούν σ’ αυτές του διαµήκη οπλισµού της δοκού και της

θλιβόµενης ζώνης, αντίστοιχα. Για το διαγώνιο θλιπτήρα, το ενεργό πλάτος του

κατά τη διαµήκη διεύθυνση της δοκού (δηλ. το πλάτος του που συµµετέχει στην

ανάληψη φορτίου) θεωρείται ότι είναι ίσο µε το ήµισυ του γεωµετρικού πλάτους,

που ισούται µε την απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών (κατά την ίδια διεύθυνση)

κόµβων, ενώ το εγκάρσιο πλάτος του είναι ίσο µε το πλάτος της δοκού. Τέλος, η

διατοµή ενός εγκάρσιου ελκυστήρα ισούται µε το άθροισµα των διατοµών των

συνδετήρων που είναι τοποθετηµένοι µεταξύ δύο διαδοχικών κόµβων. Εάν η

απόσταση µεταξύ των συνδετήρων είναι s (βλ. σχήµα 3.6), τότε ο αριθµός των

συνδετήρων που θεωρούνται ότι σχηµατίζουν ένα εγκάρσιο ελκυστήρα του

δικτυώµατος είναι n=z/s, όπου z είναι η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών κόµβων

(βλ. σχήµα 3.10). Έτσι, για την περίπτωση δίτµητων συνδετήρων, το συνολικό

εµβαδόν των συνδετήρων που σχηµατίζουν έναν εγκάρσιο ελκυστήρα είναι

Asv=2nAσ, όπου Aσ είναι η διατοµή του ενός σκέλους του συνδετήρα.

Εκφράζοντας τις συνθήκες ισορροπίας στο τµήµα του προσοµοιώµατος

αριστερά της τοµής 1-1 του σχήµατος 3.10 (βλ. σχήµα 3.11(α)), προκύπτει ότι η

δύναµη που θα πρέπει να µπορούν να αναλάβουν οι εγκάρσιοι ελκυστήρες Vs

ισούται µε:

Vs=V-Vc . . . . . . . 3.9

(όπου Vc είναι, όπως προαναφέρθηκε, η τέµνουσα δύναµη που αναλαµβάνουν οι

«επικουρικοί» µηχανισµοί αντίστασης σε δράση τέµνουσας που περιγράφηκαν στην

ενότητα 3.4).

Από την ισοδυναµία εσωτερικής και εξωτερικής ροπής

M = Fc z = Fs z . . . . . 3.10


68

προκύπτουν οι τιµές των Fc και Fs. Επίσης, από τις συνθήκες ισορροπίας του κόµβου

Α, που έχει αποµονωθεί στο σχήµα 3.11(β) από το δικτύωµα του σχήµατος 3.11(α),

προκύπτει τόσο η τιµή της δύναµης FD που αναλαµβάνει ο διαγώνιος θλιπτήρας (FD

=V√2), όσο και η µεταβολή ∆ Fc της δύναµης Fc µεταξύ δύο διαδοχικών οριζόντιων

θλιπτήρων (∆ Fc =V).

Μία εκτίµηση της συµβολής Vc των ‘επικουρικών’ µηχανισµών αντίστασης

της δοκού σε τέµνουσα δύναµη θα µπορούσε να βασιστεί στην παρατήρηση ότι εάν

η συµβολή αυτή εκφραστεί µε τη µορφή της συµβατικής διατµητικής τάσης

vc=Vc/bd (όπου b και d είναι το πλάτος και το στατικό ύψος, αντίστοιχα, της

διατοµής), τότε η µέγιστη τιµή της vc θα πρέπει να είναι ίση µε την εφελκυστική

αντοχή fct του σκυροδέµατος. Συνεπώς, θέτοντας vc= fct, η Vc προκύπτει από τη

σχέση

Vc=bdfct . . . . . . . 3.11

(Όπως θα συζητηθεί σε επόµενη ενότητα, για τις ανάγκες του σχεδιασµού θεωρείται

επαρκής η υπόθεση ότι fct=1 MPa.)

Σχήµα 3.11 Συνθήκες ισορροπίας δικτυώµατος. (α) Ισοδυναµία εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων. (β) Ισορροπία κόµβου Α. (γ) Ισορροπία διαγώνιας ράβδου (µηχανισµός µεταφοράς τέµνουσας από άνω δεξιό σε κάτω αριστερό άκρο της ράβδου).

(β)

V=Vc+Vs

Fc - ∆Fc Fc

FD

(γ)

Fc - ∆Fc Fc

z

Fs

Fs - ∆Fs

z

V V

Α

2z (α)

Fs

Vs

Vc

Fc

V

M

z z/2


69

Ο τρόπος µεταφοράς του εξωτερικού φορτίου στις στηρίξεις γίνεται εµφανής

θεωρώντας την ισορροπία του στοιχειώδους τµήµατος (βλ. σχήµα 3.11(γ)), το οποίο

περιλαµβάνει τουλάχιστον µια διαγώνια ράβδο (µε τους κόµβους της) µεταξύ δύο

διαδοχικών τοµών 1-1 και 2-2, που τέµνουν τόσο τις οριζόντιες όσο και τις

εγκάρσιες ράβδους του δικτυώµατος. Για την ισορροπία του τµήµατος αυτού

απαιτείται η ροπή (Μ-∆Μ= (Fc-∆Fc)z=(Fs-∆Fs)z) του ζεύγους των οριζόντιων

δυνάµεων που δρα στην αριστερή πλευρά του να είναι µεγαλύτερη από τη ροπή (Μ=

Fc z=Fs z) του ζεύγους των οριζόντιων δυνάµεων που δρα στη δεξιά πλευρά του

κατά ∆Μ=∆ Fc z=∆Fs z, για να αντισταθµίσει τη δράση (Vz) του ζεύγους των

δυνάµεων (V) που αναλαµβάνουν οι εγκάρσιοι ελκυστήρες. Η απαίτηση αυτή, όπως

νωρίτερα διαπιστώθηκε, ικανοποιείται διότι ∆Fc=∆Fs=V. Συνεπώς, όπως και στην

περίπτωση της ολόσωµης δοκού, το δικτύωµα επιτυγχάνει τη µεταφορά του

εξωτερικού φορτίου στις στηρίξεις µέσω της µεταβολής της καµπτικής ροπής η

οποία, όµως, σε αντίθεση µε την ολόσωµη δοκό, πραγµατοποιείται κλιµακωτά από

κόµβο σε κόµβο κατά µήκος του δικτυώµατος µε τη συµβολή των εγκάρσιων

ελκυστήρων και διαγώνιων θλιπτήρων.

3.7 Σχεδιασµός δοκών από Ο.Σ.

3.7.1 Γενικές αρχές

Ο σχεδιασµός ενός δοµικού στοιχείου από Ο.Σ. αποβλέπει στον

προσδιορισµό των γεωµετρικών χαρακτηριστικών που εξασφαλίζουν για το

στοιχείο: (α) δεδοµένη φέρουσα ικανότητα, (β) επαρκή προειδοποίηση στην

περίπτωση επικείµενης αστοχίας και (γ) συµπεριφορά που δεν επηρεάζει δυσµενώς

τη λειτουργία για την οποία προορίζεται η κατασκευή.

Οι παραπάνω απαιτήσεις συνδέονται άµεσα µε τις γενικότερες απαιτήσεις

του δοµοστατικού σχεδιασµού που περιγράφηκαν στην ενότητα 1.2.1. Οι δύο πρώτες

απαιτήσεις αντιστοιχούν στην οριακή κατάσταση αστοχίας και αφορούν την

ασφάλεια της κατασκευής, ενώ η τρίτη αντιστοιχεί στην οριακή κατάσταση


70

λειτουργικότητας και αφορά την καλή λειτουργία της κατασκευής. Η ικανοποίηση

των απαιτήσεων (β) και (γ) ποικίλλει ανάλογα µε τον τύπο του δοµικού στοιχείου

και τη χρήση για την οποία προορίζεται η κατασκευή. Ο συνήθης τρόπος

ικανοποίησής τους στην περίπτωση δοκών είναι η εξασφάλιση ελαστοπλαστικής

συµπεριφοράς, ώστε να εξασφαλίζεται επαρκής προειδοποίηση σε περίπτωση

επικείµενης αστοχίας, µέσω µιας απότοµης και σηµαντικής αύξησης του βέλους

κάµψης όταν η τιµή του φορτίου πλησιάσει τη φέρουσα ικανότητα. Αντίθετα, υπό

συνθήκες λειτουργίας, το βέλος κάµψης περιορίζεται ώστε να µη επηρεάζεται

δυσµενώς η λειτουργία της κατασκευής.

3.7.2 Υπολογισµός φέρουσας ικανότητας

Παρουσιάζεται ένας απλός τρόπος υπολογισµού της φέρουσας ικανότητας

που εξασφαλίζει επιθυµητές τιµές του βέλους κάµψης στις οριακές καταστάσεις

λειτουργικότητας και αστοχίας µιας δοκού υπό εγκάρσιο φορτίο, όπως αυτή που

απεικονίζεται στο σχήµα 3.6. Αν και η περιγραφή του τρόπου αυτού υπολογισµού

διευκολύνεται µε την αναφορά στην περίπτωση διπλού σηµειακού φορτίου, ο τρόπος

αυτός υπολογισµού έχει γενική εφαρµογή για κάθε µορφή επίπεδης έντασης, αρκεί

οι όροι διατµητικό µήκος και τµήµα καθαρής κάµψης να αντιστοιχηθούν µε το τµήµα

της δοκού όπου αναπτύσσονται υψηλές τιµές τέµνουσας δύναµης και τη διατοµή

µέγιστης ροπής κάµψης, αντίστοιχα.

Φέρουσα ικανότητα µιας δοκού µε δεδοµένα γεωµετρικά χαρακτηριστικά

είναι η µεγαλύτερη τιµή των φορτίων που µπορεί να φέρει η δοκός χωρίς να

αστοχήσει. Αστοχία της δοκού προκαλείται όταν τουλάχιστον ένα από τα µέλη του

φυσικού προσοµοιώµατος της δοκού (δηλ. διαµήκης θλιπτήρας ή διαγώνιοι

θλιπτήρες ή διαµήκεις ελκυστήρες και εγκάρσιοι ελκυστήρες) αστοχήσει υπό τη

δράση του εξωτερικού φορτίου (λόγω εξάντλησης της αντοχής του).

Η αντοχή των µελών του φυσικού προσοµοιώµατος για δεδοµένα γεωµετρικά

χαρακτηριστικά εξαρτάται από την αντοχή των υλικών, σκυροδέµατος και χάλυβα.

Σύµφωνα µε όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 1.2.2.3, η τιµή της αντοχής ενός


71

υλικού προκύπτει από στατιστική επεξεργασία πειραµατικών αποτελεσµάτων τα

οποία, παρά το γεγονός ότι προκύπτουν υπό ελεγχόµενες συνθήκες εργαστηρίου,

παρουσιάζουν σηµαντική διασπορά που ποικίλει ανάλογα µε το υλικό και την

ποιότητά του. Η τιµή αυτή της αντοχής, οριζόµενη ως χαρακτηριστική (fk), εκφράζει

την τιµή για την οποία η πιθανότητα να υπάρχουν µικρότερες τιµές είναι το πολύ

5%. Εντούτοις, για λόγους ασφαλείας, κατά τον υπολογισµό της αντοχής των µελών

του φυσικού προσοµοιώµατος της δοκού, αντί των χαρακτηριστικών τιµών της

αντοχής των υλικών χρησιµοποιούνται οι τιµές της αντοχής σχεδιασµού (fd). Οι τιµές

αυτές προκύπτουν διαιρώντας τις χαρακτηριστικές τιµές µε κατάλληλες τιµές των

συντελεστών ασφαλείας (γm). Για το σκυρόδεµα και το χάλυβα, οι τιµές των

συντελεστών ασφαλείας γm είναι 1.5 και 1.15, αντίστοιχα.

Επειδή εν γένει δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων ποιο από τα µέλη του

φυσικού προσοµοιώµατος θα αστοχήσει πρώτο λόγω εξάντλησης της αντοχής του,

εξετάζεται ξεχωριστά η αστοχία καθενός µέλους του φυσικού προσοµοιώµατος. Σε

κάθε µία από αυτές τις αστοχίες αντιστοιχεί µία τιµή του εξωτερικού φορτίου, η

µικρότερη από τις οποίες θα αποτελεί τη φέρουσα ικανότητα της δοκού. Ο

υπολογισµός των αντοχών των στοιχείων του φυσικού προσοµοιώµατος και οι τιµές

του εξωτερικού φορτίου που αντιστοιχούν σ’ αυτές γίνεται όπως περιγράφεται στα

επόµενα.

3.7.2.1 Αντοχή διαµήκη θλιπτήρα και διαµήκη ελκυστήρα

Σύµφωνα µε τα όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.6.2, ο διαµήκης

θλιπτήρας και ο διαµήκης ελκυστήρας του δικτυώµατος του σχήµατος 3.10 έχουν τις

διαστάσεις της θλιβόµενης ζώνης και του διαµήκη οπλισµού στο τµήµα της δοκού

µεταξύ των δύο σηµειακών φορτίων. Το τµήµα αυτό της δοκού επιπονείται σε

καθαρή κάµψη αναπτύσσοντας ένα ζεύγος εσωτερικών δυνάµεων οι οποίες, όπως

φαίνεται στο σχήµα 3.9, αναλαµβάνονται από τη θλιβόµενη ζώνη και τον

εφελκυόµενο χάλυβα. Αστοχία της δοκού στο τµήµα αυτό θα µπορούσε να συµβεί

λόγω αστοχίας είτε της θλιβόµενης ζώνης είτε του χάλυβα. Από πειράµατα σε

δοκούς έχει διαπιστωθεί ότι αστοχία της θλιβόµενης ζώνης συµβαίνει όταν η


72

ανηγµένη παραµόρφωση (εc) του σκυροδέµατος στην ακραία θλιβόµενη ίνα

λαµβάνει τιµή µεγαλύτερη από 0.0035. Η τιµή εcu=0.0035, λοιπόν, υιοθετείται ως

κριτήριο αστοχίας της θλιβόµενης ζώνης. Αντίστοιχα, η αστοχία του οπλισµού

συµβαίνει όταν η ανηγµένη παραµόρφωσή του λάβει µια τιµή µεγαλύτερη από µια

οριακή τιµή η οποία προκύπτει από το διάγραµµα τάσεων-ανηγµένων

παραµορφώσεων που προσδιορίζεται πειραµατικά. Παρά το γεγονός ότι σ’ ένα

τέτοιο διάγραµµα η ελαστική συµπεριφορά του χάλυβα ακολουθείται από σηµαντική

κράτυνση µέχρι την εξάντληση της αντοχής του υλικού, για απλοποίηση του

σχεδιασµού γίνεται η παραδοχή της ελαστοπλαστικής συµπεριφοράς του χάλυβα

(σύµφωνα µε την οποία η φέρουσα ικανότητα παραµένει σταθερή µετά τη διαρροή

του υλικού και µέχρι µια οριακή τιµή που λαµβάνεται ίση µε 0.02). Μια σχηµατική

απεικόνιση της ελαστοπλαστικής συµπεριφοράς του χάλυβα που υιοθετείται για τις

ανάγκες του σχεδιασµού δίνεται στο σχήµα 3.12, σε αντιστοιχία µε το διάγραµµα

που προκύπτει πειραµατικά.

ε

σ

fy

0 εy 0.02

fu

Es ~ 2 x 106 MPα

πραγµατική συµπεριφορά

ελαστοπλαστική συµπεριφορά

Σχήµα 3.12 Σχηµατική απεικόνιση ελαστοπλαστικής και πραγµατικής συµπεριφοράς χάλυβα υπό µονοαξονική ένταση.


73

Επαρκής προειδοποίηση επικείµενης αστοχίας της δοκού, που αποτελεί έναν

από τους στόχους του σχεδιασµού που περιγράφηκαν στην ενότητα 3.7.1,

επιτυγχάνεται µε απότοµη, µεγάλη αύξηση του βέλους, όταν η δοκός αρχίσει να

πλησιάζει στην οριακή κατάσταση αστοχίας της (βλ. σχήµα 3.13). ∆εδοµένου ότι το

βέλος κάµψης είναι συνάρτηση της παραµόρφωσης του χάλυβα, η αύξηση αυτή του

βέλους κάµψης εξασφαλίζεται µε την απαίτηση για διαρροή του χάλυβα πριν

αστοχήσει η δοκός. Θα πρέπει, όµως, η αστοχία της δοκού να προκαλείται από

αστοχία της θλιβόµενης ζώνης, διότι µόνον η συµπεριφορά που σχετίζεται µ΄ αυτόν

τον τρόπο αστοχίας µπορεί επίσης να εξασφαλίσει και µικρά βέλη κάµψης στη φάση

λειτουργίας της δοκού (βλ. επίσης σχήµα 3.13), που αποτελούν πρόσθετη απαίτηση

του σχεδιασµού (βλ. ενότητα 3.7.1). Αντίθετα, ο τύπος συµπεριφοράς στον οποίο η

αστοχία της δοκού προκαλείται από την αστοχία του χάλυβα δεν εξασφαλίζει ένα

µικρό βέλος κάµψης στην κατάσταση λειτουργίας της δοκού, όπως επίσης είναι

ενδεχόµενο να µην εξασφαλίζει και επαρκή προειδοποίηση επικείµενης αστοχίας

(βλ. επίσης σχήµα 3.13).

δ

P

0

α

β P/2 P/2

δ

Σχήµα 3.13 Καµπύλες φορτίου-βέλους κάµψης για τις περιπτώσεις αστοχίας δοκού λόγω : (α) εξάντλησης της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέµατος µετά από διαρροή του εφελκυόµενου διαµήκη χάλυβα. (β) εξάντλησης της αντοχής του εφελκυόµενου διαµήκη χάλυβα πριν την εξάντληση της θλιπτικής αντοχής του σκυροδέµατος.


74

Σύµφωνα µε τα παραπάνω, λοιπόν, στην οριακή κατάσταση αστοχίας η

εσωτερική ένταση στο τµήµα της δοκού µεταξύ των σηµειακών φορτίων

χαρακτηρίζεται, όπως απεικονίζεται στο σχήµα 3.9, από εc=0.0035 και

εy=fyd/Es<εs<0.02 (όπου εy και fyd είναι η ανηγµένη παραµόρφωση και αντίστοιχη

τάση διαρροής σχεδιασµού του χάλυβα). Σύµφωνα µε τα όσα αναπτύχθηκαν στην

ενότητα 3.6.1, οι δυνάµεις που αναλαµβάνονται από τη θλιβόµενη ζώνη και τον

εφελκυόµενο οπλισµό είναι Fc=Fs=Asfyd οι οποίες, έχοντας µοχλοβραχίονα z=d-

0.4Asfyd/(0.68bfcd), εξασφαλίζουν στο υπό καθαρή κάµψη τµήµα της δοκού καµπτική

αντοχή Mf=Asfyd[d-0.4Asfyd/(0.68bfcd)] που, για τη διάταξη του φορτίου του

σχήµατος 3.6, αντιστοιχεί σε µια τιµή της φέρουσας ικανότητας της δοκού που

δίδεται από τη σχέση Pf = 2Mf/av = (2/av)Asfyd[d-0.4Asfyd/(0.68bfcd)]. (Θα πρέπει να

σηµειωθεί ότι στις σχέσεις που µεταφέρθηκαν από την ενότητα 3.6.1, fy και fc

αντικαταστάθηκαν µε fyd και fcd, αντίστοιχα.)

Σε περίπτωση που απαιτείται αύξηση των παραπάνω τιµών καµπτικής

αντοχής και φέρουσας ικανότητας, η αύξηση αυτή θα µπορούσε να προκύψει από

την τοποθέτηση ισόποσου πρόσθετου οπλισµού ∆As στη θλιβόµενη και εφελκυόµενη

ζώνη της δοκού σε απόσταση d' και d, αντίστοιχα, από την ακραία θλιβόµενη ίνα

(βλ. σχήµα 3.14). Θεωρώντας ότι ο οπλισµός αυτός ευρίσκεται σε κατάσταση

διαρροής στην οριακή κατάσταση αστοχίας της δοκού, η ροπή του ζεύγους των

δυνάµεων που αναλαµβάνει θα είναι ∆M=∆As fyd (d-d′). Από τη σχέση αυτή

υπολογίζεται η ποσότητα του οπλισµού που χρειάζεται έτσι ώστε η ροπή ∆M να

ισούται µε την απαιτούµενη αύξηση της καµπτικής ροπής από την οποία θα

προκύψει και η αντίστοιχη αύξηση της φέρουσας ικανότητας. Θα πρέπει να

σηµειωθεί, ακόµα, ότι η δοκός µε τον πρόσθετο οπλισµό εξακολουθεί να πληροί τις

απαιτήσεις σχεδιασµού που αφορούν το µέγεθος του βέλους κάµψης, όχι µόνο στην

οριακή κατάσταση αστοχίας όπου είναι προφανής η δυνατότητα ανάπτυξης µεγάλου

βέλους κάµψης λόγω της διαρροής του πρόσθετου οπλισµού, αλλά και στην οριακή

κατάσταση λειτουργικότητας όπου η αύξηση της ακαµψίας που προκαλεί η

προσθήκη πρόσθετου οπλισµού οδηγεί σε µείωση του βέλους κάµψης στην ελαστική

περιοχή συµπεριφοράς της δοκού.


75

Ο ακριβής υπολογισµός της καµπτικής αντοχής της παραπάνω διατοµής,

στην οποία επιτεύχθηκε η αύξηση της καµπτικής αντοχής µε την προσθήκη

πρόσθετου ισόποσου θλιβόµενου και εφελκυόµενου οπλισµού, µπορεί να γίνει µε

µια µικρή παραλλαγή της µεθόδου που αναπτύχθηκε στην ενότητα 3.6.1 για τον

υπολογισµό της καµπτικής αντοχής της διατοµής του σχήµατος 3.9, στην οποία

υπάρχει µόνον εφελκυόµενος οπλισµός. Το σχήµα 3.15 περιγράφει την εντατική

κατάσταση και την αντίστοιχη παραµόρφωση της ίδιας διατοµής, αλλά µε διπλό

(θλιβόµενο και εφελκυόµενο σε αποστάσεις d′ και d, αντίστοιχα, από την ακραία

θλιβόµενη ίνα) οπλισµό. Από το σχήµα φαίνεται ότι ο θλιβόµενος οπλισµός (As′ )

αναλαµβάνει ένα µέρος (Fs’) της εσωτερικής δύναµης που ασκείται στη θλιβόµενη

ζώνη. Λόγω της παραδοχής της πλήρους συνάφειας, οι ανηγµένες παραµορφώσεις

του θλιβόµενου οπλισµού και του σκυροδέµατος, στη στάθµη του οπλισµού, είναι

ίσες και, συνεπώς υποθέτοντας ελαστική συµπεριφορά του θλιβόµενου οπλισµού,

Fs′=As′εs′Es (όπου εs′=[(x-d′)/x]0.0035 και Εs=200000 MPa είναι η ανηγµένη

παραµόρφωση και το µέτρο ελαστικότητας, αντίστοιχα, του χάλυβα). Έτσι, από την

ισοδυναµία των εσωτερικών και εξωτερικών δράσεων κατά τη διαµήκη διεύθυνση

(Fc+Fs′-Fs=0) προκύπτει 0.68bfcdx+700As′(x-d′)/x-Asfyd=0 (όπου Fc και Fs είναι οι

δυνάµεις που αναλαµβάνονται από το σκυρόδεµα της θλιβόµενης ζώνης και τον

εφελκυόµενο οπλισµό, αντίστοιχα) από την οποία υπολογίζεται το βάθος της

θλιβόµενης ζώνης x. (Έχοντας υπολογίσει το x, γίνεται έλεγχος για να διαπιστωθεί

εάν πράγµατι εs′=[(x-d′)/x]0.0035<εy′=fyd′/Es. Εάν βρεθεί ότι εs′>εy′, τότε τίθεται

d

∆As

d-d'

∆Fc=∆As fy

∆Fs=∆As fy

d'

∆As

Σχήµα 3.14 Πρόσθετος θλιβόµενος και εφελκυόµενος διαµήκης οπλισµός δοκού για την αύξηση της καµπτικής αντοχής


76

Fs′=As′fy′ και επαναπροσδιορίζεται το x από τη σχέση Fc+Fs′-Fs=0). H καµπτική

αντοχή της διατοµής ευρίσκεται από τη σχέση Mf= Fcz+Fs′(d-d′) (όπου z=d-0.4x)

που εκφράζει το άθροισµα των ροπών των διαµηκών δυνάµεων ως προς τη στάθµη

του εφελκυστικού οπλισµού.

3.7.2.2 Κρίσιµη αντοχή των διαγώνιων θλιπτήρων ή εγκάρσιων ελκυστήρων

Όπως και στην περίπτωση του διαµήκη ελκυστήρα, στην οριακή κατάσταση

αστοχίας της δοκού, ο εγκάρσιος ελκυστήρας θεωρείται ότι λειτουργεί στην

κατάσταση διαρροής του, διότι έτσι απαιτείται η µικρότερη δυνατή ποσότητα

χάλυβα για την ανάληψη τέµνουσας δύναµης µε δεδοµένη τιµή. Εάν, λοιπόν, Asv και

fyvd είναι το εµβαδόν της διατοµής και η τάση διαρροής σχεδιασµού, αντίστοιχα, του

εγκάρσιου ελκυστήρα, τότε η τέµνουσα δύναµη που µπορεί να αναληφθεί από αυτόν

είναι Vs=Asvfyvd. Προσθέτοντας στην τιµή αυτή την τιµή της τέµνουσας δύναµης

Vc=bdfct, που αναλαµβάνουν οι «επικουρικοί» µηχανισµοί αντοχής που

αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.4, προκύπτει η αντοχή σε τέµνουσα δύναµη

VR=Vs+Vc και η αντίστοιχη φέρουσα ικανότητα της PV=2VR. Όπως αναφέρθηκε

στην ενότητα 3.6.2, για τον υπολογισµό της Vc θεωρείται επαρκής η παραδοχή fct=1

εc = 0.0035

d

b

0.8 x

Fs

0.85 fcd

F's

Fc As'

As

εs =0.0035(d-x)/x>εy= fy/Es

x-d' εs

' = 0.0035 x

Σχήµα 3.15 Eσωτερική ένταση διατοµής µε εφελκυόµενο και θλιβόµενο οπλισµό υπο καµπτική επιπόνηση στην οριακή κατάσταση αστοχίας.

d'


77

MPa, από την οποία προκύπτει η τιµή σχεδιασµού fctd= fct/γc, όπου γc=1.5 είναι ο

συντελεστής ασφαλείας για το σκυρόδεµα.

Η αντοχή του διαγώνιου θλιπτήρα (που θεωρείται ότι υπόκειται σε κεντρική

θλίψη FD (βλ. Σχήµα 3.11)) είναι ίση µε το γινόµενο της αντοχής του σκυροδέµατος

σε µονοαξονική θλίψη fc και του εµβαδού του θλιπτήρα εγκάρσια στην FD. Aπό το

σχήµα 3.11 φαίνεται ότι το εµβαδόν της διατοµής είναι b(z/2)(√2/2)=(√2/4)bz και

συνεπώς FD=(√2/4)bzfcd, ενώ η τέµνουσα δύναµη που αντιστοιχεί στην FD είναι:

Vmax=(√ 2/2)FD = (1/4)bzfcd . . . . . 3.12

Εδώ θα πρέπει να σηµειωθεί ότι η εξάντληση της αντοχής της δοκού σε

τέµνουσα, ανεξάρτητα από το εάν προκαλείται από αστοχία εγκάρσιου ελκυστήρα ή

διαγώνιου θλιπτήρα, δεν δίνει προειδοποίηση της επικείµενης αστοχίας της δοκού,

διότι η αστοχία αυτή είναι ψαθυρή, δηλαδή χαρακτηρίζεται από ξαφνική και πλήρη

απώλεια της φέρουσας ικανότητας της δοκού αµέσως µόλις εξαντληθεί η αντοχή

της. Μια τέτοια µορφή αστοχίας είναι ανεπιθύµητη. Όπως αναλύθηκε στην ενότητα

3.7.2.1 η δοκός πρέπει να σχεδιάζεται ώστε να προηγηθεί αστοχία της δοκού λόγω

αστοχίας της θλιβόµενης ζώνης της (δηλ. του οριζόντιου θλιπτήρα του

προσοµοιώµατός της). Με τον τρόπο αυτό αστοχίας εξασφαλίζεται επαρκής

προειδοποίηση αρκεί να προηγηθεί της αστοχίας διαρροή του διαµήκη οπλισµού

(δηλ. του διαµήκη ελκυστήρα του προσοµοιώµατος).

3.7.3 Υπολογισµός βέλους κάµψης

Το βέλος κάµψης της δοκού σε ένα σηµείο κατά µήκος του άξονά της στη

φάση λειτουργίας της δίνεται, όπως φαίνεται στο σχήµα 3.16, από τη σχέση w′′=1/r,

σύµφωνα µε την οποία η δεύτερη παράγωγος του βέλους κάµψης στη θέση αυτή

είναι ίση µε την καµπυλότητα της δοκού στην ίδια θέση.28 Επειδή µέχρι και την

οριακή κατάσταση λειτουργικότητας η δοκός θεωρείται ότι συµπεριφέρεται


78

γραµµικά, θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί η αρχή της επαλληλίας για να αναλυθεί η

καµπυλότητα στις επιµέρους συνιστώσες της, όπως φαίνεται στο σχήµα 3.16.30

Ο τρόπος µε τον οποίο η καµπυλότητα σε µία θέση της δοκού συνδέεται µε

τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά και την εντατική κατάσταση της διατοµής στο υπόψη

σηµείο περιγράφεται στο σχήµα 3.17. Το σχήµα απεικονίζει ένα στοιχειώδες τµήµα

της δοκού µεταξύ δύο διαδοχικών διατοµών 1-1 και 2-2, πριν και µετά την κάµψη

της δοκού. Λόγω της κάµψης της δοκού, η διατοµή 2-2 στρέφεται σε σχέση µε τη

διατοµή 1-1 κατά γωνία ∆φ. Η γωνία αυτή, όπως φαίνεται στο σχήµα, µπορεί να

εκφραστεί ως συνάρτηση των ανηγµένων παραµορφώσεων της ακραίας θλιβόµενης

ίνας της διατοµής και του εφελκυόµενου οπλισµού µε τη σχέση

∆φ=(εs+εc)∆x/d=εc∆x/y. Εάν, µετά την κάµψη της δοκού, η ουδετέρα γραµµή του

στοιχειώδους αυτού τµήµατος θεωρηθεί τόξο κύκλου µε κέντρο το σηµείο τοµής των

ευθειών 1-1 και 2′-2′ και ακτίνα r, όπου 1/r εκφράζει την καµπυλότητα της δοκού

στην περιοχή του στοιχειώδους τµήµατος, τότε η γωνία ∆φ µπορεί να εκφραστεί και

ως συνάρτηση της καµπυλότητας µε τη σχέση ∆φ=∆x/r. Απαλείφοντας από τις

παραπάνω σχέσεις το λόγο ∆φ/∆x προκύπτει ότι 1/r=(εs+εc)/d=εc/y. Επειδή όµως

w

r

x

Σχ. : 3.16 Καµπυλότητα δοκού σε δεδοµένη απόσταση από τη στήριξη.

o

w″=1/r

Απαραµόρφωτη δοκός

Παραµορφωµένη δοκός

wd w

dx r r p rit rip rcs

r p

rit rip

rit rip

rcs

"

,

= = = + − +

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2

21 1 1 1 1

1

1 1

1 1

1

l

l

η µακροχρόνια καµπυλότητα λόγω µονίµου φορτίου

η στιγµιαία καµπυλότητα λόγω µη µονίµων φορτίων

οι στιγµιαίες καµπυλότητες λόγω του συνολικού και του µόνιµου φορτίου αντίστοιχα

η καµπυλότητα λόγω συστολής ξήρανσης

όπου


79

εc=σc/Ec και σc=My/Ι, η καµπυλότητα µπορεί να εκφραστεί και µε τη µορφή

1/r=M/(EcΙ).

Mια σχηµατική παράσταση της µορφής της δοκού στην οριακή κατάσταση

λειτουργικότητας απεικονίζεται στο σχήµα 3.18, που δείχνει δοκό αποτελούµενη

από δύο περιοχές, µια αρηγµάτωτη και µια ρηγµατωµένη.

d

A's

As

b

O

1

1 2

2

1

1

2

2

2'

r

∆x

εs∆x

εc∆x

x

x ∆x

∆φ = ∆xr

( )∆φ = εc + εs ∆x

d1r

∆φ∆x

εc + εsd

= =

Σχήµα 3.17 Σχέση µεταξύ καµπυλότητας και εντατικής κατάστασης δοκού σε απόσταση x από τη στήριξη.

2'

Σχήµα 3.18 Σχηµατική απεικόνιση δοκού (µε µεγενθυµένο βέλος κάµψης) στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας.

Β Α Α

Α : Αρηγµάτωτο τµήµα Β : Ρηγµατωµένο τµήµα

∆φ


80

Εάν οι ροπές αδρανείας των διατοµών στις παραπάνω περιοχές συµβολιστούν µε Ig

και Icr, αντίστοιχα, τότε µια συµβατική µέση ροπή αδρανείας, που θα µπορούσε να

χρησιµοποιηθεί για απλοποίηση του σχεδιασµού σε όλο το µήκος της δοκού, δίνεται

από τη σχέση:31

Ιe=(Mcr/Mα)3Ιg+[1-(Mcr/Mα)3]Ιcr . . . 3.13

όπου Μα η ροπή κάµψης που προκαλεί το ζητούµενο βέλος,

Mcr=(fct,flIg)/(h-x) η ροπή που αντιστοιχεί στην αντοχή του

σκυροδέµατος σε καµπτικό εφελκυσµό fct,fl (h-x

είναι η απόσταση της ακραίας εφελκυόµενης ίνας

από την ουδετέρα γραµµή).

Η ροπή αδρανείας (Ig) της αρηγµάτωτης διατοµής προκύπτει όπως

περιγράφεται στο σχήµα 3.19 σύµφωνα µε τις αρχές των οµογενών διατοµών

(αγνοώντας, συνήθως, την ύπαρξη οπλισµού). Ο προσδιορισµός της ροπής

αδρανείας (Ιcr) της ρηγµατωµένης διατοµής γίνεται µε τον τρόπο που περιγράφεται

στο σχήµα 3.20, µε βάση τις παραδοχές επιπεδότητας της διατοµής και πλήρους

συνάφειας µεταξύ σκυροδέµατος και χάλυβα.

Σχήµα 3.19 Ροπή αδρανείας αρηγµάτωτης διατοµής

Ac

µAs

µA's d'

d h x

Ac

A's

A's

Αρηγµάτωτη διατοµή Ισοδύναµη διατοµή b

όπου x προκύπτει από τη σχέση :

( ) ( )

( ) ( )

Jg = bh

12 bh x -

h

2 µ A' x-d' µ A d-x

A x-h

2 µ A' x-d' µ A d-x

3

s s

s sc

=

2+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

2 2


81

3.7.4 ∆ιαδικασία σχεδιασµού

∆ίνονται τα διαδοχικά στάδια σχεδιασµού µίας δοκού από Ο.Σ. µε βάση τις

αρχές και τις θεωρήσεις που διατυπώθηκαν στις ενότητες 3.7.1 έως 3.7.3.

3.7.4.1 Αρχική εκτίµηση γεωµετρικών χαρακτηριστικών

Ο σχεδιασµός είναι µια επαναληπτική διαδικασία που βασίζεται σε µια

αρχική εκτίµηση των γεωµετρικών χαρακτηριστικών του δοµικού στοιχείου, µε τον

αριθµό των επαναλήψεων να εξαρτάται από την επιτυχία της αρχικής εκτίµησης.

Για την περίπτωση µίας κατασκευής µε πλαισιακό φέροντα οργανισµό, η εκτίµηση

των γεωµετρικών χαρακτηριστικών µιας αµφιέρειστης δοκού (δηλ. του τµήµατος

του φορέα µεταξύ δύο διαδοχικών σηµείων µηδενικής καµπτικής ροπής) στηρίζεται

στο µήκος της δοκού που είναι γνωστό από τη µορφή του φέροντος οργανισµού. Η

Σχήµα 3.20 Ροπή αδρανείας ρηγµατωµένης διατοµής

Ac

µAs

µA'sd'

d h x

Ac

As

A's

Ρηγµατωµένη διατοµή Ισοδύναµη διατοµή

b

όπου x προκύπτει από τη σχέση :

( ) ( )

J

bd x

d µ ρ 1 - x

dµ ρ' x

d

x d

µ ρ+ρ' µ ρ + ρ' µ ρ+ρ' d'd

cr3

2

= 1 3

- d'd

= - 2

2

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

3 2


82

πρακτική εµπειρία έχει δείξει ότι το στατικό ύψος d της δοκού θα µπορούσε να

ληφθεί ίσο µε l/12, όπου l είναι το µήκος της αµφιέρειστης δοκού, ενώ στο πλάτος b

του κορµού της θα µπορούσε να δοθεί µια τιµή µεταξύ (1/3)d και (2/3)d. Σύµφωνα

µε όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.6.1, στην οριακή κατάσταση αστοχίας της

δοκού ο εφελκυόµενος οπλισµός, στο µεσαίο τµήµα της δοκού, θεωρείται ότι

ευρίσκεται σε κατάσταση διαρροής. Εάν δε υποτεθεί ότι ο µοχλοβραχίονας z των

εσωτερικών δυνάµεων (βλ. σχήµα 3.9) είναι ίσος µε 0.9d, τότε ο οπλισµός Αs που

απαιτείται για να αναλάβει τη ροπή σχεδιασµού Md ευρίσκεται από τη σχέση

Μd=Fsz=Asfydz ή Αs=Md/(fydz).

3.7.4.2 Yπολογισµός καµπτικής αντοχής

Έχοντας προσδιορίσει πλήρως τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά µε τον τρόπο

που περιγράφηκε παραπάνω, επακολουθεί ο υπολογισµός της καµπτικής αντοχής Mf

του µεσαίου τµήµατος της δοκού, όπως περιγράφεται στην ενότητα 3.6.1. (Εάν

βρεθεί ότι Mf<Md, ενισχύεται η δοκός µε πρόσθετο ισόποσο εφελκυόµενο και

θλιβόµενο οπλισµό µε τον τρόπο που περιγράφεται στην ενότητα 3.7.2.1 έτσι ώστε

να ικανοποιηθεί η συνθήκη Mf>Md). Με την καµπτική αντοχή της δοκού γνωστή,

εύκολα υπολογίζεται η φέρουσα ικανότητα της δοκού και κατασκευάζεται το

διάγραµµα τεµνουσών δυνάµεων Vf που αντιστοιχεί στη διάταξη του φορτίου που

ασκείται στη δοκό.

Εδώ θα πρέπει να γίνει η υπενθύµιση ότι η καµπτική αντοχή, που

υπολογίστηκε σύµφωνα µε τα όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.7.2.1, αντιστοιχεί

όχι µόνο σε µια τιµή της φέρουσας ικανότητας τουλάχιστον ίση µε αυτή που

απαιτείται, αλλά, ταυτόχρονα, µετά τη διαρροή του διαµήκη εφελκυόµενου χάλυβα,

οδηγεί σε µεγάλη αύξηση του βέλους κάµψης, ικανή να δώσει έγκαιρη

προειδοποίηση στο µικρής πιθανότητας ενδεχόµενο καµπτικής αστοχίας της δοκού,

σύµφωνα µε τις απαιτήσεις που περιγράφηκαν στην ενότητα 3.7.1. Αλλά για να

εξασφαλισθούν οι παραπάνω απαιτήσεις για δεδοµένη φέρουσα ικανότητα και


83

έγκαιρη προειδοποίηση επικείµενης αστοχίας, θα πρέπει να αποκλεισθεί το

ενδεχόµενο κάθε µορφής αστοχίας της δοκού πλην της καµπτικής.

3.7.4.3 Eξασφάλιση καµπτικής αστοχίας

Η διαδικασία υπολογισµού της καµπτικής ροπής και της αντίστοιχης

φέρουσας ικανότητας, που αναπτύχθηκε παραπάνω, εξασφαλίζει επάρκεια αντοχής

τόσο στο διαµήκη θλιπτήρα όσο και στο διαµήκη ελκυστήρα του δικτώµατος που

αποτελεί το προσοµοίωµα του διατµητικού µήκους της δοκού. Αποµένει να ελεγχθεί

η επάρκεια των διαγώνιων θλιπτήρων και να υπολογιστεί ο απαιτούµενος οπλισµός

που θα αποτελέσει τους εγκάρσιους ελκυστήρες του δικτυώµατος, έτσι ώστε να

αποκλεισθεί το ενδεχόµενο αστοχίας σε τέµνουσα, πριν να εξαντληθεί η καµπτική

αντοχή της δοκού.

Σύµφωνα µε όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.7.2.2, η τέµνουσα δύναµη

που αντιστοιχεί στην αντοχή του διαγώνιου θλιπτήρα είναι

Vmax=(√2/2)FD=(1/4)bzfcd. Για να αποκλειστεί το ενδεχόµενο αστοχίας του

θλιπτήρα αυτού πριν την καµπτική αστοχία, θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη

Vmax>Vf. Εάν Vmax<Vf , θα πρέπει να αυξηθεί το πλάτος b της δοκού µέχρις ότου

αλλάξει η φορά της ανισότητας. Όµως, η ικανοποίηση της παραπάνω συνθήκης δεν

αρκεί για να αποκλειστεί το ενδεχόµενο αστοχίας σε τέµνουσα πριν να εξαντληθεί η

καµπτική αστοχία. Για να συµβεί αυτό θα πρέπει ο οπλισµός που απαιτείται για να

σχηµατιστεί ένας εγκάρσιος ελκυστήρας να µπορεί να αναλάβει µια δύναµη Vs ίση

µε Vf -Vc, όπου Vc είναι η τέµνουσα δύναµη που αναλαµβάνουν οι επικουρικοί

µηχανισµοί αστοχίας που αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.4 (βλ. επίσης ενότητα

3.7.2.2). Σύµφωνα µε όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα 3.7.2.2, ο απαιτούµενος

οπλισµός είναι Asv=(Vf -Vc)/fyd. O οπλισµός αυτός, που απαιτείται σε µήκος z,

κατανέµεται οµοιόµορφα έτσι ώστε να καλύπτει όλο το τµήµα του διατµητικού

µήκους που εκτείνεται µεταξύ της διατοµής που απέχει απόσταση z από τη στήριξη

και της διατοµής που περιέχει το σηµείο φόρτισης.


84

Υπάρχει όµως το ενδεχόµενο να ισχύει Vc>Vf. Στην περίπτωση αυτή η

µεταφορά του φορτίου στις στηρίξεις δεν απαιτεί τη λειτουργία της δοκού ως

δικτύωµα. Παρά ταύτα και στην περίπτωση αυτή κρίνεται ως απαραίτητη η

τοποθέτηση εγκάρσιου οπλισµού, µε τη µορφή συνδετήρων, ικανού να αναλάβει µια

εφελκυστική τάση ίση µε fctd=fct/γc=1/1.5=0.67. Ο ελάχιστος αυτός οπλισµός

χρησιµοποιείται διότι προκαλεί ανακατανοµή των συγκεντρώσεων των εσωτερικών

τάσεων, που αναπτύσσονται λόγω της µεγάλης ανοµοιογένειας του σκυροδέµατος,

συµβάλλοντας κατ’ αυτόν τον τρόπο στην «προσαρµογή» της εσωτερικής έντασης

στις παραδοχές σχεδιασµού. Όπως και στην περίπτωση των συνδετήρων που

αποτελούν τους εγκάρσιους ελκυστήρες του δικτυώµατος, η ελάχιστη απόσταση των

συνδετήρων που αποτελούν τον ελάχιστο εγκάρσιο οπλισµό θα πρέπει να είναι

µικρότερη από τον µοχλοβραχίονα z των εσωτερικών διαµηκών δυνάµεων.

3.7.4.4 Έλεγχος βέλους κάµψης στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας

Έχοντας ήδη ικανοποιήσει τις απαιτήσεις του δοµοστατικού σχεδιασµού για

επαρκές περιθώριο ασφάλειας έναντι αστοχίας υπό δεδοµένο φορτίο και επαρκή

προειδοποίηση στην περίπτωση του µικρής πιθανότητας ενδεχόµενου αστοχίας, θα

πρέπει να εξασφαλισθεί και ικανοποιητική συµπεριφορά του δοµικού στοιχείου υπό

συνθήκες λειτουργίας. Στην περίπτωση της δοκού, η τελευταία από τις παραπάνω

απαιτήσεις ικανοποιείται συνήθως όταν το βέλος κάµψης είναι µικρότερο από µια

οριακή τιµή που λαµβάνεται ίση µε l/300, όπου l είναι το άνοιγµα της δοκού.

Ο υπολογισµός του βέλους κάµψης γίνεται µε τον τρόπο που περιγράφεται

στην ενότητα 3.7.3 και απαιτεί να ληφθούν υπόψη τόσο οι στιγµιαίες όσο και οι

χρόνιες παραµορφώσεις της δοκού υπό τα φορτία που περιγράφονται στο σχήµα

3.16. Η τιµή του βέλους κάµψης που προκύπτει συγκρίνεται µε την προαναφερθείσα

οριακή τιµή και, εάν βρεθεί ότι είναι µεγαλύτερη, θα πρέπει να γίνει κατάλληλη

προσαρµογή των γεωµετρικών χαρακτηριστικών της δοκού, ώστε να αλλάξει η φορά

της ανισότητας. Η προσαρµογή αυτή συνήθως ικανοποιείται µε την αύξηση του

στατικού ύψους της διατοµής, αλλά σπανίως υπάρχει ανάγκη να γίνει, διότι η αρχική


85

εκτίµηση του στατικού ύψους βασίζεται σε εµπειρία που λαµβάνει υπόψη την

ανάγκη για µικρά βέλη κάµψης υπό συνθήκες λειτουργίας. Η εµπειρία αυτή έχει

ενσωµατωθεί στους ισχύοντες κανονισµούς υπό µορφή πινάκων που διευκολύνουν

την αρχική επιλογή του στατικού ύψους της δοκού.

3.7.5 Παράδειγµα σχεδιασµού αµφιέρειστης δοκού

Σχεδιάζεται δοκός ορθογωνικής διατοµής, ανοίγµατος 6 m, ικανή να

αναλάβει οµοιόµορφα κατανεµηµένο φορτίο (σχεδιασµού) έντασης q=70 kN/m,

χρησιµοποιώντας σκυρόδεµα και χάλυβα µε χαρακτηριστικές τιµές της θλιπτικής

αντοχής (κυλίνδρου) και τάσης διαρροής, αντίστοιχα, fck=26 MPa και fyk=500 MPa,

µε αντίστοιχους µερικούς συντελεστές ασφαλείας γc=1.5 και γs=1.15. ∆ίνονται

επίσης η εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος σε κάµψη fct,fl=4 MPa, ο

συντελεστής ερπυσµού φ=1.2, το µέτρο ελαστικότητας του σκυροδέµατος Ec=31000

MPa και το µέτρο ελαστικότητας του χάλυβα Εs=200000 MPa.

(α) Αρχική επιλογή γεωµετρικών χαρακτηριστικών (βλ. ενότητα 3.7.4.1)

Λαµβάνονται d=l/12=6000/12=500 mm, b=d/2=500/2=250 mm και

As=Md/(0.9dfyd) = (ql2/8)/(0.9dfyd) = (70• 62/8)•106/(0.9•500•500/1.15) = 1610 mm2.

(β) Έλεγχος αρχικής επιλογής και τελικός προσδιορισµός γεωµετρικών

χαρακτηριστικών (βλ. ενότητα 3.7.4.2)

Τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της διατοµής µαζί µε µια σχηµατική

παράσταση της εσωτερικής έντασης και των εσωτερικών και εξωτερικών δράσεων

απεικονίζονται στο σχήµα 3.21. Από το σχήµα φαίνεται ότι αντικαθιστώντας

Fc=0.68fcdbx=0.68•(26/1.5)•250x = 2946.67x και Fs=Asfyd=1610•500/1.15= 700000

N στη σχέση Fc−Fs=0, που εκφράζει την ισοδυναµία των εσωτερικών και

εξωτερικών αξονικών δυνάµεων, προκύπτει x=700000/2946.67~237 mm.


86

Για x=237 mm, η σχέση εs=0.0035•(500−x)/x (βλ. σχήµα 3.21) δίνει

εs=0.0035•(500−237)/237~0.38% που είναι µεγαλύτερο από το ανηγµένη

παραµόρφωση διαρροής εy=fyd/Es=(500/1.15)/200000~0.217%, γεγονός που

επαληθεύει την παραδοχή για διαρροή του χάλυβα. Έτσι για x=237 mm, ο

µοχλοβραχίονας των εσωτερικών αξονικών δυνάµεων Fc=Fs=700000 Ν προκύπτει

από τη σχέση z=d-0.4x=500−0.4•237~405.4 mm και συνεπώς η καµπτική αντοχή

της διατοµής είναι Mf=700000•405.4=283.5kNm.

Η παραπάνω ροπή υπολείπεται της ροπής σχεδιασµού Md=ql2/8=315 kN

κατά ∆Μ=315−283.5=31.5 kN. Σύµφωνα µε τα όσα αναπτύχθηκαν στην ενότητα

3.7.2.1, για την ανάληψη της ροπής αυτής µπορεί να τοποθετηθεί ισόποσος

θλιβόµενος και εφελκυόµενος οπλισµός ∆Αs σε απόσταση d′=50 mm και d=500 mm,

αντίστοιχα, από την ακραία θλιβόµενη ίνα της διατοµής, ο οποίος, στην οριακή

κατάσταση διαρροής της δοκού, ευρίσκεται σε κατάσταση διαρροής. Η ροπή που

αναλαµβάνει ο οπλισµός αυτός δίνεται από τη σχέση ∆Μ = ∆Αsfyd(d−d′) από την

οποία προκύπτει ∆Αs = ∆Μ/[fyd(d−d′)] = 31.5•106/[500/1.15(500-50)] = 161 mm2.

Συνεπώς ο απαιτούµενος οπλισµός είναι θλιβόµενος Αs′ = 161 mm2 και

εφελκυόµενος Αs = 1610+161 = 1771 mm2. Τοποθετείται θλιβόµενος οπλισµός

2Φ12 (=226.08 mm2) και εφελκυόµενος οπλισµός 6Φ20 (=1884 mm2).

0.85x26/1.5 εc = 0.0035

500

250

0.8 x

Fs

Fc

1610

0.4 x

x

εc = 0.0035 (500-x)/x Eσωτερικές δυνάµεις

Eξωτερικές δυνάµεις

Σχήµα 3.21 ∆οκός παραδείγµατος 3.7.5. Γεωµετρικά χαρακτηριστικά και εντατική κατάσταση διατοµής χωρίς θλιβόµενο οπλισµό (Μονάδες: N,mm).

Mf


87

(γ) Υπολογισµός καµπτικής αντοχής και φέρουσας ικανότητας (βλ. ενότητα

3.7.4.2)

Το σχήµα 3.22 δείχνει την τελική µορφή της διατοµής µαζί µε την εσωτερική

ένταση και τις εσωτερικές και εξωτερικές δράσεις. Υποθέτοντας ότι τόσο ο

θλιβόµενος όσο και ο εφελκυόµενος οπλισµός ευρίσκεται σε κατάσταση διαρροής

και θέτοντας Fs′=226.08(500/1.15) ≈98296 N, Fs=1884(500/1.15) ≈819130 N και

Fc=0.68(26/1.5)250x ≈ 2946.67x στη σχέση Fs′+Fc−Fs=0, που εκφράζει την

ισοδυναµία των εσωτερικών και εξωτερικών αξονικών δυνάµεων, προκύπτει

x=244.63 mm. (Για x=244.63 mm, επαληθεύεται η παραδοχή για διαρροή του

οπλισµού διότι εs′ = 0.0035(244.63−50)/244.63 ~ 0.278% > 0.217% και εs =

0.0035(500−244.63)/244.63 ~ 0.365% > 0.217%).

Λαµβάνοντας τις ροπές των εσωτερικών αξονικών δυνάµεων (Fs′=98296 Ν

και Fc=2946.67x=2946.67=720844 N) ως προς το γεωµετρικό κέντρο του

εφελκυόµενου οπλισµού προκύπτει η καµπτική αντοχή Μf = Fs′(d-d′) + Fc(d-0.4x)

=98296(500-50) + 720844(500-0.4• 244.63)~44.23+289.89=334.12 kNm>Md=315

kNm. Η φέρουσα ικανότητα της δοκού που αντιστοιχεί στην τιµή αυτή της

καµπτικής αντοχής είναι qf = 8Mf/l2 = 8•334.12/62 ~ 74.25 kN/m.

500

250

0.8 x

Fs

0.85x26/1.5

Fc

0.4 x

x

εs = 0.0035 (500-x)/x

50 ε's = 0.0035 (x-500)/x

F's

Mf

Σχήµα 3.22 ∆οκός παραδείγµατος 3.7.5.Γεωµετρικά χαρακτηριστικά και εντατική κατάσταση διατοµής µε θλιβόµενο οπλισµό (Μονάδες: N,mm).

226.08

1884


88

(δ) Εξασφάλιση καµπτικής αστοχίας (βλ. ενότητα 3.7.4.3)

Η µέγιστη τέµνουσα δύναµη που µπορεί να αναλάβει το δικτύωµα

αντιστοιχεί στην αντοχή του διαγώνιου θλιπτήρα του δικτυώµατος και δίνεται από

τη σχέση Vmax=0.25bzfcd = 0.25•250(500-0.4•244.63)26/1.5 ~435.66 kN. Η µέγιστη

τέµνουσα δύναµη που αναπτύσσεται στη δοκό είναι

maxVf=Mfl/2=74.25•6/2=222.75 kN. Το γεγονός ότι Vmax>maxVf εξασφαλίζει έναντι

πρόωρης αστοχίας λόγω εξάντλησης της αντοχής του διαγώνιου θλιπτήρα.

Η συµβολή των επικουρικών µηχανισµών στην αντοχή σε τέµνουσα δίνεται

από τη σχέση Vc=bdfctd=250•500•1/1.5~83.33 kN. Στο τµήµα της δοκού µεταξύ των

διατοµών οι οποίες απέχουν απόσταση z από τις στηρίξεις, το οποίο υπόκειται σε

τέµνουσα δύναµη Vf >2Vc, η τέµνουσα δύναµη ∆V=Vf −Vc θα πρέπει να αναληφθεί

από τους εγκάρσιους ελκυστήρες του δικτυώµατος µε το οποίο προσοµοιάζεται η

λειτουργία του τµήµατος αυτού της δοκού (βλ. ενότητες 3.4 και 3.6.2). Στο τµήµα

της δοκού, συνολικού µήκους 4490 mm (βλ. σχήµα 3.23), όπου η τέµνουσα δύναµη

είναι µικρότερη από 2Vc, τοποθετείται ελάχιστος εγκάρσιος οπλισµός, ικανός να

αναλάβει εφελκυστικές τάσεις fctd=0.67 MPa. Ανά µέτρο µήκους ο απαιτούµενος

εγκάρσιος οπλισµός είναι Asv,min= 0.67•250•1000/(500/1.15) ~ 385.25 mm2.

Επιλέγοντας απόσταση συνδετήρων 250 mm το απαιτούµενο εµβαδόν του

παραπάνω οπλισµού είναι ισοδύναµο µε 96 mm2. Τοποθετούνται δίτµητοι

συνδετήρες Φ8/250 (= 400 mm2 >385 mm2).

Στο τµήµα της δοκού το οποίο εκτείνεται µεταξύ της διατοµής µε απόσταση

από τη στήριξη 405 mm (απ' όπου αρχίζουν να λειτουργούν οι εγκάρσιοι

ελκυστήρες του δικτυώµατος (βλ. σχήµα 3.23)) και της διατοµής µε απόσταση από

τη στήριξη 755 mm (πέραν από την οποία επαρκεί ο ελάχιστος οπλισµός) ο

εγκάρσιος οπλισµός υπολογίζεται για τη µέγιστη τιµή 192.68 kN της τέµνουσας

δύναµης η οποία αναπτύσσεται στο τµήµα αυτό (βλ. σχήµα 3.23). Από τη δύναµη

αυτή ο εγκάρσιος οπλισµός θα αναλάβει Vs = Vf−Vc = 192.68−83.33=109.35 kN

(>Vc=83.33 kN). Ο οπλισµός αυτός, ο οποίος απαιτείται σε µήκος z =

500−0.4•244.63 ~ 402 mm, είναι Asv = 109.35•103/(500/1.15) ~ 251.51 mm2.

Τοποθετούνται Φ8/160 που ισοδυναµούν µε 252.45 mm2.


89

(ε) Έλεγχος βέλους κάµψης (βλ. ενότητες 3.7.3 και 3.7.4.4)

Από τις σχέσεις που περιέχονται στα σχήµατα 3.19 και 3.20 προκύπτουν οι

τιµές των ροπών αδρανείας της αρηγµάτωτης και ρηγµατωµένης διατοµής,

Ig=4263•106 mm4 και Icr=2024•106 mm4, αντίστοιχα. Για αντοχή του σκυροδέµατος

σε καµπτικό εφελκυσµό fct,fl =4 MPa, η αντίστοιχη ροπή (που προκαλεί ρηγµάτωση

της διατοµής) είναι Mcr= fct,flIg/(h-x) = 4•4263•106/(550-294.33)~66.76 MPa (βλ.

ενότητα 3.7.3). Υποθέτοντας ότι το φορτίο που αντιστοιχεί στην οριακή κατάσταση

λειτουργικότητας είναι το 60% του φορτίου αστοχίας, δηλ. qa=0.6qf=0.6•75~45

kN/m, η αντίστοιχη ροπή κάµψης είναι Ma=45•62/8~202.5 kNm. Θέτοντας τις τιµές

των Ma, Mcr, Ig και Icr στη σχέση 3.13 προκύπτει Ie=2074•106 mm4.

2Φ8/160 18Φ8/250

4500

405

160

405

160

185 185 (α)

(β)

405

4490

755

222.75 192.68 2Vc=166.66

222.75 192.68

2Vc=166.66

Σχήµα 3.23 ∆οκός παραδείγµατος 3.7.5 (α) ∆ιάταξη εγκάρσιου οπλισµού και (β) διάγραµµα τεµνουσών δυνάµεων.

50

50 50


90

Υποθέτοντας µόνιµο φορτίο qg = 20 kN/m, η αντίστοιχη ροπή κάµψης είναι

Mg=qgl2/8=20•62/8=90 kNm και, συνεπώς, η καµπυλότητα λόγω ερπυσµού υπό

µόνιµο φορτίο δίδεται από τη σχέση 1/rlp=Mg/(Ec,crIe), όπου Ec,cr=

Ec/(1+φ)=31000/(1+1.2) ~ 14091 MPa το µακροπρόθεσµο µέτρο ελαστικότητας του

σκυροδέµατος. Έτσι, 1/rlp = 90•106/(2074•106•14091) = 3•10-6 m-1.

Η στιγµιαία καµπυλότητα λόγω ωφέλιµου φορτίου είναι 1/rI =

(Ma−Mg)/EcIe= (202.5−90)/(31000•2074•106) ~ 1.75•10-6 m-1. Αγνοώντας την

καµπυλότητα λόγω συστολής ξηράνσεως, η συνολική καµπυλότητα είναι 1/r =

3•10-6 + 1.75•10-6 = 4.75•10-6 m-1. Το βέλος κάµψης της δοκού w προκύπτει από

την ολοκλήρωση της σχέσης w′′=1/r το αποτέλεσµα της οποίας εκφράζεται

προσεγγιστικά από τη σχέση w=kl2(1/r), όπου k λαµβάνεται από τον πίνακα 3.1 για

διάφορα σχήµατα διαγραµµάτων ροπών κάµψης. Για διάγραµµα ροπών κάµψης

παραβολικού σχήµατος ο πίνακας δίνει k=0.104 οπότε w = 0.104• 60002•4.75•10-6

~ 17.784 mm < l/300 = 6000/300 =20 mm και συνεπώς πληρούνται οι απαιτήσεις

λειτουργικότητας.


91

Πίνακας 3.1 Τιµές παραµέτρου κ για διάφορα διαγράµµατα ροπών κάµψεως


92

Κεφάλαιο 3 -...

Documents

Transcript of Κεφάλαιο 3 -...