ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ...

2

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Η πραγματικότητα στην αγορά εργασίας των μηχανικών μεταβάλλεται με γρήγορους ρυθμούς. Από τις συστηματικές έρευνες του ΕΜΠ (στους αποφοίτους του Ιδρύματος) και του ΤΕΕ (στο σύνολο των μηχανικών της χώρας) έχουν εντοπιστεί οι συμπληρωματικές γνώσεις που είναι χρήσιμες στο σύγχρονο μηχανικό, στα πρώτα βήματα αλλά και κατά την εξέλιξή της επαγγελματικής του σταδιοδρομίας.

Μεταξύ άλλων η επιχειρηματικότητα -ως κουλτούρα ή/και ως σύνολο ειδικών γνώσεων- απασχολεί ή θα απασχολήσει την πλειοψηφία των μηχανικών. Η εξελισσόμενη «κοινωνία και οικονομία της γνώσης» κάνει ολοένα πιο σαφή, στενή και αναντικατάστατη τη σύνδεση τεχνολογικών γνώσεων και επιχειρηματικών δραστηριοτήτων. Ως δυναμικά στελέχη επιχειρήσεων ή ως (μικροί ή μεγάλοι) επιχειρηματίες, πολλοί από τους νέους μηχανικούς θα αναλάβουν την ευθύνη επιχειρηματικών αποφάσεων.

Το εκπαιδευτικό πρόγραμμα «Τεχνολογία & Επιχειρηματικότητα» δεν περιορίζεται στη δημιουργία ενός μαθήματος. Στόχος του προγράμματος είναι η δημιουργία ενός ευρύτερου και εύχρηστου περιβάλλοντος (εκπαιδευτικό υλικό, μελέτες περίπτωσης, εργαλεία προσομοίωσης, υλικό τεκμηρίω-σης και υποστήριξης) το οποίο θα διευκολύνει τις Σχολές και τους διδάσκοντες του Ιδρύματος να αναβαθμίσουν υπάρχοντα ή να διαμορφώσουν νέα μαθήματα. Στο περιβάλλον αυτό, οι ενδιαφερόμενοι προπτυχιακοί και μεταπτυχιακοί φοιτητές αλλά και οι νέοι απόφοιτοι του Ιδρύματος θα βρουν την ευκαιρία να εμβαθύνουν στο αντικείμενο, να αναγνωρίσουν ευκαιρίες και περιορισμούς και να προσανατολίσουν τις αποφάσεις τους «μετά γνώσεως λόγου».

Το περιβάλλον του προγράμματος «Τεχνολογία & Επιχειρηματικές Αποφάσεις» διαρθρώνεται στις ακόλουθες 6 ενότητες.

Ενότητα Ι: Βασικό Εκπαιδευτικό Υλικό Ενότητα ΙΙ: Ειδικά Θέματα Εμβάθυνσης Ενότητα ΙΙI: Μελέτες Περίπτωσης Ενότητα IV: Εργαστηριακές Ασκήσεις & Οδηγοί Ενότητα V: Υλικό Τεκμηρίωσης Ενότητα VI: Υλικό Υποστήριξης

Στην Ενότητα I την ευθύνη του συντονισμού και της επιμέλειας έχει ο Λευτέρης Παπαγιαννάκης, καθηγητής ΕΜΠ, επιστημονικός υπεύθυνος του προγράμματος. Η δομή της ενότητας είναι η ακόλουθη:

Μέρος 1ο: Ιστορία- Θεωρία – Πολιτικές

Κεφάλαιο 1: Η έννοια και η σημασία της επιχειρηματικότητας Σταύρος Ιωαννίδης, Αν. Καθηγητής, Πάντειον Πανεπιστήμιο

Κεφάλαιο 2: Δημόσιες Πολιτικές για την Επιχειρηματικότητα Λευτέρης Παπαγιαννάκης, Καθηγητής ΕΜΠ

Μέρος 2ο: Επιχειρηματικός Σχεδιασμός

Κεφάλαιο 3: Από την Ιδέα στο Προϊόν μέσω της Αγοράς Ιωσήφ Χασσίδ, Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς

Κεφάλαιο 4: Κόστος και Χρηματοδότηση Μανώλης Καβουσανός, Καθηγητής ΟΠΑ

3

Κεφάλαιο 5: Αξιολόγηση – Απόφαση Μανώλης Καβουσανός, Καθηγητής ΟΠΑ

Κεφάλαιο 6: Επιχειρηματικό Σχέδιο Ειρήνη Βουδούρη, Λέκτορας ΟΠΑ

Κεφάλαιο 7: Διαχείριση Πόρων και Ικανοτήτων Γιάννης Καλογήρου, Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ, Αιμιλία Πρωτόγερου, ερευνήτρια ΕΜΠ

Κεφάλαιο 8: Επιχειρηματικότητα και Νέες Τεχνολογίες Επικοινωνιών και Πληροφόρησης (ICTs) Μαρία Γιαουτζή, Καθηγήτρια ΕΜΠ, Στέλλα Φλυτζάνη

Κεφάλαιο 9: Το περιβάλλον και η Επιχειρηματικότητα Λευτέρης Παπαγιαννάκης, Καθηγητής ΕΜΠ

Το πρόγραμμα αυτό υποστηρίζεται από το Υπουργείο Παιδείας και χρηματοδοτείται από πόρους του Γ’ ΚΠΣ (ΕΠΕΑΕΚ, δράση «Εισαγωγή μαθημάτων ενθάρρυνσης της Επιχειρηματικότητας»).

Λ.Π. 01.10.2005

4

Πίνακας Περιεχομένων 1. ΕΙΣΑΓΩΓΉ ..............................................................................................................6

2. ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΉ ΑΞΊΑ ΤΟΥ ΧΡΉΜΑΤΟΣ.......................................................6 2.1. ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ ΜΙΑΣ ΕΠΈΝΔΥΣΗΣ....................................................................7

2.1.1. Προβλήματα μελλοντικής αξίας .........................................................7 2.1.1.1. Απλό επιτόκιο, χωρίς ανατοκισμό .............................................7 2.1.1.2. Σύνθετος Ανατοκισμός ................................................................7 2.1.1.3. Σύνθετος Συχνός Ανατοκισμός ..................................................8 2.1.1.4. Συχνός ανατοκισμός: Ετησιοποιημένα επιτόκια ή ισοδύναμα ετήσια επιτόκια .................................................................................................8 2.1.1.5. Διαρκής / Συνεχής ανατοκισμός ................................................8

2.1.2. Προβλήματα Παρούσας Αξίας ...........................................................9 2.1.2.1. Συντελεστής προεξόφλησης ή αναγωγής ................................9 2.1.2.2. Προεξόφληση συχνότερη από μία φορά το έτος, διακριτή ..10 2.1.2.3. Διαρκής (συνεχής) προεξόφληση ...........................................10

2.1.3. Προβλήματα εσωτερικού βαθμού απόδοσης ................................10 2.1.3.1. ΕΒΑ: Προεξοφλήσεις συχνότερες από μια φορά στο έτος ..11 2.1.3.2. ΕΒΑ: Διαρκώς ανατοκιζόμενο επιτόκιο ..................................11

2.2. ΠΡΟΒΛΉΜΑΤΑ ΡΑΝΤΏΝ (ΠΟΛΛΑΠΛΏΝ ΕΠΕΝΔΎΣΕΩΝ) .................................11 2.2.1. Τελική αξία- Μη σταθερές ράντες (Ανισόποσες ταμειακές ροές)11 2.2.2. Προβλήματα παρούσας αξίας..........................................................12 2.2.3. Προβλήματα βαθμού απόδοσης......................................................13

2.2.3.1. Βαθμός απόδοσης.....................................................................13 2.2.3.2. Εσωτερικός βαθμός απόδοσης (ΕΒΑ) ...................................13

2.2.4. Σταθερές ράντες (Ισόποσες ταμειακές ροές) στο διηνεκές ..........13 2.2.5. Πρόσκαιρες σταθερές ράντες - Ισόποσες ροές στο πεπερασμένο μέλλον 14

2.2.5.1. Μελλοντική αξία σταθερής πρόσκαιρης ράντας ....................15

3. ΑΞΙΟΛΌΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΎΣΕΩΝ - ΤΕΧΝΙΚΈΣ ...............................................17 3.1. ΚΑΘΑΡΆ ΠΑΡΟΎΣΑ ΑΞΊΑ (ΚΠΑ).......................................................................17 3.2. ΚΑΘΑΡΌ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΌ ΑΠΟΤΈΛΕΣΜΑ (ΚΟΑ)..............................................18 3.3. ΣΎΓΚΡΙΣΗ ΚΠΑ ΚΑΙ ΚΟΑ.................................................................................19 3.4. ΕΣΩΤΕΡΙΚΌΣ ΒΑΘΜΌΣ ΑΠΌΔΟΣΗΣ (ΕΒΑ) ........................................................19 3.5. ΧΡΌΝΟΣ ΑΠΟΠΛΗΡΩΜΉΣ..............................................................................20

3.5.1 Χρόνος Αποπληρωμής: Μια Επένδυση ...............................................20 3.5.2.Χρόνος Αποπληρωμής: Αμοιβαία Αποκλειόμενες Επενδύσεις ........21

3.6. ΣΎΓΚΡΙΣΗ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΏΝ ΚΡΙΤΗΡΊΩΝ ΑΞΙΟΛΌΓΗΣΗΣ .....................................21

4. ΑΝΆΛΥΣΗ ΚΑΘΑΡΏΝ ΤΑΜΕΙΑΚΏΝ ΡΟΏΝ.............................................22 4.1. ΑΡΧΙΚΌ ΚΌΣΤΟΣ ΕΠΈΝΔΥΣΗΣ .............................................................................23 4.2. ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΌ ΚΌΣΤΟΣ ........................................................................................24 4.3. ΕΙΣΠΡΆΞΕΙΣ ΑΠΌ ΠΩΛΉΣΕΙΣ................................................................................24 4.4. ΤΟ ΚΕΦΆΛΑΙΟ ΚΊΝΗΣΗΣ ΩΣ ΡΟΉ ΜΕΤΡΗΤΏΝ .......................................................24 4.5. ΦΌΡΟΙ ................................................................................................................25 4.6. Η ΈΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΑΠΟΣΒΈΣΕΩΝ ............................................................................26

4.6.1. Η Μέθοδος της Ευθείας ή Σταθερής Απόσβεσης .........................26 4.6.2. Μέθοδος της Ταχείας Απόσβεσης του αθροίσματος των ψηφίων των ετών .............................................................................................................27

5

4.6.3. Απόσβεση & Υπολειμματική Αξία παγίων στοιχείων....................28 4.7. ΚΑΘΑΡΈΣ ΤΑΜΕΙΑΚΈΣ ΡΟΈΣ ΜΕΤΆ ΑΠΌ ΦΌΡΟΥΣ (ΚΤΡΜΦ)................................29

4.7.1. Πρώτη μέθοδος (Direct Approach) ......................................................29 4.7.2. Δεύτερη μέθοδος (Indirect Approach) .................................................31 4.7.3. Υπολογισμός των ΚΤΡμφ παρουσία δανείων ....................................31 4.7.4. Υπολογισμός Επιπλέον (Σχετικών) ΚΤΡ Επένδυσης .......................32

4.8. ΕΠΙΛΟΓΉ ΕΠΙΤΟΚΊΟΥ ΠΡΟΕΞΌΦΛΗΣΗΣ ...............................................................33 4.8.1. Κίνδυνος και απόδοση...........................................................................33 4.8.2. Προσδιορισμός του επιτοκίου προεξόφλησης ...................................34

4.8.2.1. Μοντέλο αποτίμησης του μερίσματος: ....................................35 4.8.2.2. Μοντέλο αποτίμησης κεφαλαιακών στοιχείων ......................36 4.8.2.3. Εξωτερική αύξηση κεφαλαίου και σχετικό κόστος ................37

4.8.3. Σταθμισμένο επιτόκιο προεξόφλησης..................................................37

5. ΑΞΙΟΛΌΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΎΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΘΕΣΤΏΣ ΑΒΕΒΑΙΌΤΗΤΑΣ.........38

5.1 Η ΈΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΌΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΟΙ ΠΗΓΈΣ ΤΟΥ ΚΙΝΔΎΝΟΥ ...........................38 5.2 ΙΕΡΆΡΧΗΣΗ ΚΤΡ ΜΕ ΒΆΣΗ ΤΟΝ ΚΊΝΔΥΝΟ ...........................................................40 5.3 ΑΝΑΜΕΝΌΜΕΝΗ ΚΠΑ & ΕΒΑ ...........................................................................41 5.4 ΚΑΝΟΝΙΚΉ ΚΑΤΑΝΟΜΉ ΚΑΙ ΚΠΑ - ΚΤΡ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΆ ΑΝΕΞΆΡΤΗΤΕΣ .........42 5.5 ΑΝΆΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΊΑΣ - SENSITIVITY ANALYSIS .............................................43 Ανάλυση Ευαισθησίας: Παράδειγμα .....................................................................43

5.6 ΑΝΆΛΥΣΗ ΣΕΝΑΡΊΩΝ ..........................................................................................46 5.7 ΣΗΜΕΊΟ ΜΗΔΕΝΙΚΏΝ ΚΕΡΔΏΝ ............................................................................46 5.8 ΠΡΟΣΟΜΟΊΩΣΗ ΤΎΠΟΥ MONTE CARLO...............................................................46 5.9 ΔΈΝΔΡΑ ΑΠΟΦΆΣΕΩΝ .........................................................................................49

6. ΠΕΡΊΛΗΨΗ ...........................................................................................................51

7. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΊΑ .................................................................................................51

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ......................................................................................................53

ΕΠΙΤΌΚΙΟ ΠΡΟΕΞΌΦΛΗΣΗΣ, Ε ........................................................................54 ΈΤΟΣ.........................................................................................................................54

ΕΠΙΤΌΚΙΟ ΠΡΟΕΞΌΦΛΗΣΗΣ, Ε ........................................................................55

ΈΤΟΣ.........................................................................................................................55

ΕΠΙΤΌΚΙΟ ΠΡΟΕΞΌΦΛΗΣΗΣ, Ε ........................................................................56

ΈΤΟΣ.........................................................................................................................56

ΕΠΙΤΌΚΙΟ ΠΡΟΕΞΌΦΛΗΣΗΣ, Ε ........................................................................57 ΈΤΟΣ.........................................................................................................................57

6

1. Εισαγωγή

Στο κεφάλαιο 4 με τίτλο “Κόστος και Χρηματοδότηση” παρουσιάστηκαν οι βασικές καταστάσεις λογαριασμών χρήσεως για μια επιχείρηση, όπως η κατάσταση ταμειακών ροών (εισροών και εκροών), ο ισολογισμός και ο λογαριασμός της κατάστασης αποτελεσμάτων χρήσεως. Μέσα από αυτές τις καταστάσεις αποτυπώνεται ο πλούτος της επιχείρησης, οι χρηματικές της υποχρεώσεις, η διάρθρωση του πλούτου και των υποχρεώσεων της επιχείρησης και οι ταμειακές ροές της. Επίσης, παρουσιάστηκαν οι εναλλακτικές πηγές κεφαλαίου στις οποίες μπορεί να καταφύγει μια επιχείρηση για τη χρηματοδότηση των επιχειρηματικών της σχεδίων.

Στο κεφαλαίο 5 στόχος είναι να παρουσιαστούν τα οικονομικά εργαλεία που έχει στη διάθεσή της η διοίκηση της επιχείρησης, μέσα από τα οποία μπορούν να ληφθούν αποφάσεις, δεδομένων των στοιχείων που δίδονται στις λογιστικές καταστάσεις.

Το δεύτερο μέρος του κεφαλαίου αυτού ξεκινά με την έννοια της διαχρονικής αξίας του χρήματος και τον υπολογισμό, για μια σειρά ταμειακών ροών που προκύπτουν από την επένδυση, της μελλοντικής αξίας, της παρούσας αξίας και του βαθμού απόδοσης των χρηματοροών. Εξετάζονται περιπτώσεις μιας και πολλαπλών επενδύσεων και δίνονται παραδείγματα υπολογισμού σε κάθε περίπτωση.

Οι έννοιες αυτές είναι απαραίτητες για να χρησιμοποιηθούν στο τρίτο μέρος του κεφαλαίου τα εργαλεία οικονομικής αξιολόγησης των επενδυτικών σχεδίων, όπως η Καθαρή Παρούσα Αξία (ΚΠΑ), ο Εσωτερικός Βαθμός Απόδοσης (ΕΒΑ) και η περίοδος αποπληρωμής του αρχικού κεφαλαίου.

Τέλος τροποποιείται το περιβάλλον εργασίας από καθεστώς βεβαιότητας σε καθεστώς αβεβαιότητας, το οποίο είναι και το περιβάλλον που αντιμετωπίζουν οι επιχειρήσεις και οι επενδυτές στην πράξη. Για παράδειγμα, δεν είναι γνωστές εκ των προτέρων οι καθαρές ταμειακές ροές του επενδυτικού σχεδίου. Στην περίπτωση αυτή, μπορεί να βοηθήσουν στις επενδυτικές αποφάσεις οι μέθοδοι της ανάλυσης ευαισθησίας, η ανάλυση σεναρίων, η προσομοίωση τύπου Monte Carlo, η ανάλυση νεκρού σημείου και η ανάλυση με δένδρα αποφάσεων.

2. Διαχρονική Αξία του Χρήματος

Η αξία του χρήματος σε διαφορετικές περιόδους είναι διαφορετική. Ο λόγος είναι ότι υπάρχει ο πληθωρισμός ο οποίος μειώνει την αγοραστική του αξία. Εάν οι τιμές των προϊόντων αυξάνονται κατά 10% ετησίως, 100 € σήμερα θα αγοράσουν προϊόντα τα οποία θα αξίζουν 10% λιγότερο μετά από ένα χρόνο. Επίσης, το ότι υπάρχει, αυτό που είναι γνωστό στα οικονομικά ως, κόστος ευκαιρίας του χρήματος οδηγεί στο ίδιο συμπέρασμα. Το κόστος ευκαιρίας αναφέρεται στην καλύτερη εναλλακτική χρήση του χρήματος και σε τι μπορεί αυτή να αποφέρει εάν την είχε αναλάβει ο επενδυτής. Για παράδειγμα, εάν υπάρχει ένας λογαριασμός ταμιευτηρίου ο οποίος προσφέρει επιτόκιο 10% σε ετήσια βάση, τα 100 € που θα τοποθετηθούν στο λογαριασμό αυτό θα γίνουν 110 € σε ένα έτος. Επομένως, η αξία των 100 € σήμερα ισοδυναμεί με μια αξία 110 € σε ένα έτος και αντιστρόφως. Δηλαδή 110 € σε ένα έτος αξίζουν 100€

7

σήμερα. Στη συνέχεια εξετάζεται πιο συστηματικά το πρόβλημα της μέτρησης της διαχρονικής αξίας του χρήματος και πως μπορούν ταμειακές ροές που προκύπτουν σε διαφορετικές χρονικές περιόδους να γίνουν συγκρίσιμες, ώστε να μπορούν να ληφθούν αποφάσεις.

Επενδύσεις στην παραγωγή (π.χ. ξενοδοχεία, πλοία) ή σε αξιόγραφα (π.χ. μετοχές) / χρεόγραφα (π.χ. ομολογίες) αποφέρουν μια σειρά καθαρών ταμειακών ροών (ΚΤΡ), όπως στον ακόλουθο πίνακα.

Πίνακας: Επενδύσεις ως Σειρά Καθαρών Ταμειακών Ροών (ΚΤΡ)

Χρονική Περίοδος

Τ0 Τ1 Τ2 ... Τν

Χρηματοροή

Χ0 Χ1 Χ2 ... Χν

Εισροή(+)/Εκροή(-) - + + ... +

Κατά την ανάλυση που ακολουθεί χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι Συμβολισμοί / Υποθέσεις:

ΠΑ = Παρούσα αξία ή τιμή αξιόγραφων, π.χ. μετοχών, ομολογιών ΜΑ = Μελλοντική αξία αξιόγραφων r = Επιτόκιο προεξόφλησης κάθε περιόδου ν = Τοκοφόρος περίοδος. Οι τόκοι λαμβάνονται στο τέλος κάθε περιόδου – δηλαδή Ληξιπρόθεσμα. (Τόκοι λαμβανόμενοι στην αρχή κάθε περιόδου λέγονται Προκαταβλητέοι).

2.1. Προβλήματα μιας επένδυσης 2.1.1. Προβλήματα μελλοντικής αξίας 2.1.1.1. Απλό επιτόκιο, χωρίς ανατοκισμό

Ποσό χρημάτων (ΠΑ) κατατίθεται σε λογαριασμό ταμιευτηρίου, για ν περιόδους, όπου ο τόκος πληρώνεται στο τέλος της περιόδου χωρίς ανατοκισμό. Η μελλοντική αξία του ποσού (ΜΑ), σε ν περιόδους είναι: ΜΑ = ΠΑ (1 + ν r).

Παράδειγμα: €100 επενδυόμενα για 2 έτη, με 10% ετήσιο επιτόκιο, θα αυξηθούν σε: ΜΑ = €100 (1 + 2 x 0,1) = €120.

2.1.1.2. Σύνθετος Ανατοκισμός

Στην περίπτωση αυτή ο τόκος κάθε έτους προστίθεται στο αποταμιευμένο ποσό και όλο το ποσό ανατοκίζεται. Επομένως, το ποσό ΠΑ, επενδυόμενο με r κάθε περίοδο, θα αυξηθεί σε ΜΑ=ΠΑ(1+ r)ν. Ο όρος (1 + r)ν ονομάζεται συντελεστής ανατοκισμού, ΣΑ.

Παράδειγμα: Ποσό €100 επενδυόμενο για 2 έτη, με 10% ετήσιο επιτόκιο, αυξάνεται σε ΜΑ = €100 (1 + 0,1)2 = €121.

8

2.1.1.3. Σύνθετος Συχνός Ανατοκισμός Ονομαστικό Επιτόκιο (r), ανατοκίζεται μ φορές το έτος και η επένδυση

πραγματοποιείται για ν έτη. Ο επενδυτής θα λάβει μ x ν δόσεις, μεγέθους μr % η

καθεμία. Επομένως, νμ

μxr ) + (1ΠΑ =ΜΑ .

Παράδειγμα: Ποσό € 100 επενδυόμενο για 2 έτη, με ετήσιο επιτόκιο 10%, θα αυξηθεί:

Με εξαμηνιαίο ανατοκισμό σε: ΜΑ = € 100 22)21,0 + (1 x = € 121,55

Με τριμηνιαίο ανατοκισμό σε: ΜΑ = € 100 24)41,0 + (1 x = € 121,84

2.1.1.4. Συχνός ανατοκισμός: Ετησιοποιημένα επιτόκια ή ισοδύναμα ετήσια επιτόκια

Το ετησιοποιημένο επιτόκιο ή ισοδύναμο ετήσιο επιτόκιο (i), είναι το επιτόκιο εκείνο το οποίο, εάν ανατοκιστεί μία φορά κατά τη διάρκεια του έτους, θα αποδώσει την ίδια μελλοντική αξία, με ονομαστικό επιτόκιο ανατοκιζόμενο συχνότερα του έτους. Έτσι, το αρχικό κεφάλαιο (ΠΑ) επενδυόμενο για ένα έτος, με επιτόκιο i, θα αυξηθεί σε ΜΑ=ΠΑ(1+i), και το ΜΑ θα είναι το ίδιο, εάν το ΠΑ είχε ανατοκιστεί μ φορές το

έτος με επιτόκιο r/μ κάθε περίοδο, .) + (1ΠΑ =ΜΑ μ

μr Επομένως, ) + (1 = i+1 μ

μr .

Παράδειγμα: Τι ετησιοποιημένο επιτόκιο αντιστοιχεί σε ετήσιο επιτόκιο 10%, με: α) εξαμηνιαίο ανατοκισμό;

Απάντηση: 1025,0)21,0 + (1 = i + 1 2 =⇒ i δηλ. i = 10,25 % ετησίως

β) τριμηνιαίο ανατοκισμό;

Απάντηση: 1038,0)41,0 + (1 = i + 1 4 =⇒ i δηλ. i = 10,38 % ετησίως

2.1.1.5. Διαρκής / Συνεχής ανατοκισμός Έστω ότι η συχνότητα ανατοκισμού (μ), γίνεται πολύ μεγάλη. Τότε η μελλοντική

αξία, ΜΑ=ΠΑ(1+μr )μ x ν , υπολογίζεται ως:

μ

μ

μ

xrr

r ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ΠΑ=ΜΑ /)

/11( , η οποία με τη σειρά της τείνει στο ΠΑxerxν , δεδομένου

του ότι όταν μ→∞, και ∞→ν

lim e=+ ν

ν)11( , όπου e = 2,718.

Επομένως, ΜΑ = ΠΑ x er x ν.

9

Παράδειγμα: Ποσό € 100 επενδυόμενο για 2 έτη, με ετήσιο επιτόκιο 10% και διαρκή ανατοκισμό, θα αυξηθεί σε: ΜΑ = 100 e0,1 x 2 = € 122,14

Συμπεράσματα:

• Επιτόκιο ανατοκιζόμενο περισσότερες από μια φορές κατά τη διάρκεια του έτους, αντιστοιχεί σε ετήσιο επιτόκιο υψηλότερου του ονομαστικού σε ετήσια βάση.

• Λογαριασμοί ταμιευτηρίου με το ίδιο ονομαστικό επιτόκιο, αλλά υψηλότερη συχνότητα ανατοκισμού, είναι προτιμότεροι από αυτούς με μικρότερη συχνότητα ανατοκισμού.

• Η μελλοντική αξία ποσού είναι ανάλογη της συχνότητας ανατοκισμού κατά τη διάρκεια του έτους (όπως και του επιτοκίου και της τοκοφόρου περιόδου) – η αύξηση είναι εκθετική σε σχέση με τη συχνότητα.

2.1.2. Προβλήματα Παρούσας Αξίας

Αφού η μελλοντική αξία του ποσού ΠΑ είναι ΜΑ = ΠΑ (1 + r)ν, η παρούσα αξία (ΠΑ), του ποσού ΜΑ, που θα πληρωθεί σε ν περιόδους με επιτόκιο προεξόφλησης r,

είναι: ν)1( =ΠΑ

r+ΜΑ .

Παράδειγμα: Η ΠΑ του μελλοντικού ποσού €125 λαμβανόμενου σε 2 έτη, με επιτόκιο προεξόφλησης 10% είναι: ΠΑ = €125 ( 1 + 0,1)-2 = € 103,31.

2.1.2.1. Συντελεστής προεξόφλησης ή αναγωγής

Ο συντελεστής ν)1(1r+

με τον οποίο πολλαπλασιάζεται ένα μελλοντικό ποσό για τον

υπολογισμό της παρούσας αξίας, του είναι γνωστός ως συντελεστής προεξόφλησης ή συντελεστής αναγωγής. Το επιτόκιο r είναι γνωστό ως το επιτόκιο προεξόφλησης ή επιτόκιο αναγωγής.

Παράδειγμα: Εάν το προεξοφλητικό επιτόκιο είναι r = 10%, ο συντελεστής προεξόφλησης που πολλαπλασιάζει οποιοδήποτε ποσό λαμβανόμενο 2 χρόνια στο

μέλλον, είναι: 0,8264 =)1,01(

1 = d 22 +

• Η ΠΑ είναι αντιστρόφως ανάλογη του επιτοκίου προεξόφλησης (r) και της τοκοφόρου περιόδου (ν).

10

2.1.2.2. Προεξόφληση συχνότερη από μία φορά το έτος, διακριτή Εάν το ονομαστικό επιτόκιο (r) χρησιμοποιείται για προεξόφληση μ φορές στη διάρκεια του έτους, αφού η μελλοντική αξία του ποσού ΠΑ είναι

νx μ) + (1ΠΑ =ΜΑ μr , η Παρούσα Αξία του είναι

νμ

μxr )1(

=ΠΑ +

ΜΑ .

2.1.2.3. Διαρκής (συνεχής) προεξόφληση Διαρκής (Συνεχής) προεξόφληση σημαίνει ότι μ→∞, στον παραπάνω τύπο.

Επομένως, νrxeΜΑ =ΠΑ .

Παραδείγματα:

1. Η ΠΑ ποσού €125, λαμβανόμενου σε 2 έτη με εξαμηνιαία προεξόφληση και

ετήσιο επιτόκιο προεξόφλησης 10%, είναι: 102,84 =

21,01

125 =ΠΑ 22x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

€.

2. Η ΠΑ ποσού €125, λαμβανόμενου σε 2 έτη με διαρκή προεξόφληση και ετήσιο

επιτόκιο προεξόφλησης 10%, είναι: 102,34 = 125 =ΠΑ 21,0 xe€.

Συμπεράσματα:

• Χρηματικό ποσό προεξοφλούμενο με επιτόκιο συχνότερα από μία φορά κατά τη διάρκεια του έτους, αντιστοιχεί σε ετήσιο προεξοφλητικό επιτόκιο υψηλότερου του ονομαστικού σε ετήσια βάση.

• Η παρούσα αξία ποσού είναι αντιστρόφως ανάλογη της συχνότητας προεξόφλησης κατά τη διάρκεια του έτους. Επίσης η ΠΑ είναι αντιστρόφως ανάλογη του επιτοκίου και της τοκοφόρου περιόδου. Η μείωση είναι εκθετική σε σχέση με τη συχνότητα.

2.1.3. Προβλήματα εσωτερικού βαθμού απόδοσης

Αφού η ΜΑ = ΠΑ (1 + r)ν, ο εσωτερικός βαθμός απόδοσης, ΕΒΑ αξιόγραφου με τρέχουσα τιμή ΠΑ, και μελλοντική αξία ΜΑ, σε ν περιόδους στο μέλλον, δίδεται από

τη λύση του ΠΑ

=+MAr ν)1( . Επομένως, 1

/1

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΠΑΜΑ

=ν

r . Δηλαδή, ο ΕΒΑ είναι το

επιτόκιο εκείνο το οποίο εξισώνει την ΠΑ με τη ΜΑ για δεδομένη χρονική περίοδο επένδυσης (ν).

11

Παράδειγμα: Επενδυτής πληρώνει €100 για αξιόγραφο με μελλοντική αξία €125,

λαμβανόμενο σε 2 έτη. Ο ΕΒΑ του αξιόγραφου είναι 0,1180 = 1-100125 =r

2/1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ .

2.1.3.1. ΕΒΑ: Προεξοφλήσεις συχνότερες από μια φορά στο έτος Ο ονομαστικός ετήσιος ΕΒΑ επένδυσης, με ΠΑ που υπόσχεται ΜΑ σε ν έτη και μ

προεξοφλήσεις στη διάρκεια του έτους, δίδεται από τη λύση στο ΠΑΜΑ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

νμ

μ

xr1 .

Έτσι, ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ΠΑΜΑ 1μ =r

1νμ x

.

Παράδειγμα: Επενδυτής πληρώνει €100 για αξιόγραφο με μελλοντική αξία €125, λαμβανόμενο σε 2 έτη. Ο ΕΒΑ του αξιόγραφου με εξαμηνιαία προεξόφληση είναι

0,11471100125 2 =r

221

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ x

. Δηλαδή, %5,11≅r .

2.1.3.2. ΕΒΑ: Διαρκώς ανατοκιζόμενο επιτόκιο

Ο ΕΒΑ δίνεται από τη λύση στο ΠΑΜΑ

=νxre . Δηλαδή στο ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΠΑΜΑ

elog=xr ν .

Επομένως, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΠΑΜΑ

= ln1ν

r .

Παράδειγμα: Επενδυτής πληρώνει €100 για αξιόγραφο με μελλοντική αξία €125, λαμβανόμενο σε 2 έτη. Ο ΕΒΑ του αξιόγραφου με διαρκή προεξόφληση είναι

1 125r = ln = 0,11162 100

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. Δηλαδή 11,16%.

2.2. Προβλήματα Ραντών (Πολλαπλών επενδύσεων) 2.2.1. Τελική αξία- Μη σταθερές ράντες (Ανισόποσες ταμειακές ροές) Ας υποθέσουμε ότι έχουμε όχι μία, αλλά Ci ταμειακές ροές, i=1,...,ν, σε λογαριασμό ταμιευτηρίου για μία χρονική περίοδο, όπου οι ταμειακές ροές πραγματοποιούνται στο τέλος κάθε περιόδου. Πρόκειται για μια ληξιπρόθεσμη μη σταθερή ράντα. Τότε

∑=

=ΜΑν

1

i-νi r) + (1 C

i.

12

Παράδειγμα: Συνταξιοδοτικό πρόγραμμα αναμένει την ακόλουθη ταμειακή ροή στο τέλος των 3 πρώτων ετών ύπαρξης του

Έτος Ποσό ( € εκ) 1 100 2 50 3 75

Η αναμενόμενη απόδοση σε επενδύσεις είναι 10%. Ποια θα είναι η αξία του προγράμματος στο τέλος της περιόδου;

Απάντηση:

ΜΑ = 100 (1 + 0,1)3-1 + 50 (1 + 0,1)3-2 + 75 (1 + 0,1)3-3 = 121 + 55 + 75 = €251 εκ.

2.2.2. Προβλήματα παρούσας αξίας

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε Ci ληξιπρόθεσμες ταμειακές ροές, σε μελλοντικές χρονικές περιόδους i=1,...,ν, για τις οποίες ζητείται να υπολογιστεί η παρούσα αξία

τους την περίοδο 0. Τότε την περίοδο 0: ∑= +

ν

1 )1( =ΠΑ

ii

i

rC

Παράδειγμα:

Προσφέρεται σε επενδυτή η δυνατότητα να πληρώσει €200 σε αντάλλαγμα της ακόλουθης ταμειακής ροής

Έτος Ποσό (€ εκ) 1 100 2 50 3 75

Εάν οι εναλλακτικές επενδύσεις έχουν 10% απόδοση, συμφέρει η προσφορά;

Απάντηση:

Θα πρέπει να εξεταστεί η ΠΑ των ταμειακών ροών

ΠΑ= 32 )1,01(75

)1,01(50

)1,01(100

++

++

+= 90,9+41,3+56,3=€188,5

Το ποσό αυτό είναι μικρότερο των €200 που καλείται να πληρώσει ο επενδυτής. Επομένως, η πρόταση δεν τον συμφέρει.

13

Γενικά, για να ληφθεί η απόφαση αποδοχής ή μη επιχειρηματικού σχεδίου, η παρούσα αξία των καθαρών ταμειακών ροών της επένδυσης συγκρίνεται με το κεφάλαιο (την επένδυση) που απαιτείται σήμερα για την απόκτηση των μελλοντικών ροών. Όταν η παρούσα αξία είναι μεγαλύτερη του κεφαλαίου, η επένδυση γίνεται αποδεκτή.

2.2.3. Προβλήματα βαθμού απόδοσης

2.2.3.1. Βαθμός απόδοσης

Ο βαθμός απόδοσης ορίζεται ως το μοναδικό εκείνο επιτόκιο το οποίο, όταν χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της μελλοντικής αξίας μιας σειράς ταμειακών ροών, δίνει μία συγκεκριμένη μελλοντική αξία.

Παράδειγμα: Το συνταξιοδοτικό πρόγραμμα του προηγούμενου παραδείγματος εκτιμάται σε €300εκ στο τέλος των 3 ετών. Τι βαθμό απόδοσης πέτυχε;

Απάντηση: r είναι η λύση στο 300 = 100(1+r)2 + 50 (1+r) + 75. Επομένως, r = 0,27 (δηλ. 27% ετησίως).

2.2.3.2. Εσωτερικός βαθμός απόδοσης (ΕΒΑ)

Ο ΕΒΑ είναι το μοναδικό εκείνο επιτόκιο, το οποίο όταν χρησιμοποιηθεί για προεξόφληση μια σειράς ταμειακών ροών, δίνει μία συγκεκριμένη παρούσα αξία.

Παράδειγμα: Επενδυτής πληρώνει €200 για ταμειακές ροές €100, €50, €75 σε 3 συνεχόμενα έτη. Τι ΕΒΑ πέτυχε;

Απάντηση: Με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων, r είναι η λύση στο

32 )1(75

)1(50

)1(100= 200

rrr ++

++

+. Επομένως r = 0,065, δηλ. 6,5 %

Στο παραπάνω παράδειγμα η συνάρτηση είναι τρίτου βαθμού και οι χρηματοροές σχετικά «εύκολα» νούμερα. Όμως για προβλήματα υπολογισμού του ΕΒΑ με περισσότερες περιόδους απαιτείται χρήση Η/Υ στην επίλυση των προβλημάτων.

2.2.4. Σταθερές ράντες (Ισόποσες ταμειακές ροές) στο διηνεκές

Έστω μια επένδυση, η οποία δίνει ταμειακές ροές C, σε κάθε περίοδο, στο διηνεκές. Η σειρά αυτή ονομάζεται σταθερή ράντα στο διηνεκές (άπειρο).

Η τελική αξία ράντας στο διηνεκές είναι άπειρη.

Η παρούσα αξία (ΠΑ) και ο ΕΒΑ όμως είναι πεπερασμένα (συγκεκριμένα) ποσά.

Συγκεκριμένα, 1

ΠΑ = (1 )i

i

C Cr r

∞

=

=+∑ .

14

Παράδειγμα: Μια ομολογία 3,5%, δίνει τοκομερίδιο (C) αξίας €1,75, δύο φορές το χρόνο για κάθε €100 ονομαστικής αξίας της ομολογίας, πληρωτέα στο διηνεκές. Ποια είναι η τιμή της ομολογίας, αν τα μακροχρόνια επιτόκια είναι 10%;

Απάντηση: 35 =05,075,1 =ΠΑ €

Αν η τιμή της ομολογίας είναι €30, ποιος είναι ο εσωτερικός βαθμός απόδοσης (ΕΒΑ) της;

Απάντηση: 0,0583 =3075,1 =r (δηλ. 11,67% ανά έτος.)

2.2.5. Πρόσκαιρες σταθερές ράντες - Ισόποσες ροές στο πεπερασμένο μέλλον

Ένα αξιόγραφο, το οποίο δίνει ταμειακές ροές C ανά περίοδο για ένα σταθερό αριθμό περιόδων (ν), ονομάζεται πρόσκαιρη σταθερή ράντα. Για μια ράντα η μελλοντική αξία και η παρούσα αξία της είναι πεπερασμένες. Η ταμειακή ροή C αντιστοιχεί στο τοκοχρεολύσιο (μέγεθος ή ποσό ή όρος) της ράντας. Το τοκοχρεολύσιο περιλαμβάνει την πληρωμή των τόκων και την αποπληρωμή του κεφαλαίου (το χρεολύσιο).

Η ΠΑ της ράντας είναι:

∑= +

ν

1 )1( =ΠΑ

iir

C (1 ) 1 1 1/(1 )= C C (1 )

r rr r r

ν ν

ν

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − +=⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ο όρος εντός της αγκύλης είναι ο συντελεστής παρούσας αξίας (ΣΠΑ). Είναι ο συντελεστής ο οποίος πολλαπλασιάζει το τοκοχρεολύσιο (C) κατά τον υπολογισμό της ΠΑ. Υπάρχουν ειδικοί πίνακες που παρουσιάζουν τους συντελεστές αυτούς προς διευκόλυνση των υπολογισμών (βλ. σχετικό παράρτημα).

Παράδειγμα: Ένα συνταξιοδοτικό πρόγραμμα προσφέρει € 1.000 ανά έτος για 10 χρόνια ή το συνολικό ποσό των € 6.500 σήμερα. Ποιο είναι προτιμότερο, εάν r=10%;

Απάντηση: Η ΠΑ της ράντας είναι:

6.144,61446,6000.1)1,1(1,0

1)1,01( 1.000 =ΠΑ 10

10

==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+ x €

Εναλλακτικά, μέσω του πίνακα ΣΠΑ, χρησιμοποιώντας το συντελεστή ΣΠΑ=6.1446, πολλαπλασιάζουμε το C = €1000 με το 6,1446 και έχουμε την ίδια απάντηση.

Συμπέρασμα: Το συνολικό ποσό που καταβάλλεται άμεσα είναι προτιμητέο.

15

2.2.5.1. Μελλοντική αξία σταθερής πρόσκαιρης ράντας

Η μελλοντική αξία μιας ράντας μπορεί να προσδιοριστεί ως η τελική αξία της παρούσας αξίας της. Δηλαδή, ΜΑ=ΠΑ(1+r)ν.

Επομένως, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+r

r 1)1( C =ΜΑ ν

.

Ο όρος στην αγκύλη είναι ο συντελεστής μελλοντικής αξίας της ράντας (ΣΜΑ). Οι ΣΜΑ δίνονται σε πίνακα στο σχετικό παράρτημα του κεφαλαίου. Οι τιμές των ΣΜΑ, από πίνακες αυτού του είδους, χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων που αφορούν στον υπολογισμό των ΜΑ, πολλαπλασιάζοντας το C με τον κατάλληλο ΣΜΑ.

Παράδειγμα: Πληρώνουμε € 50 ανά μήνα σε αποταμιευτικό πρόγραμμα για 2 χρόνια. Τι συνολικό ποσό θα συγκεντρωθεί στο τέλος, αν το κεφάλαιο επιτυγχάνει απόδοση επένδυσης ίση με 12%;

Απάντηση: 240,12(1 ) 1

12MA = 50 1.348,67 0,1212

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

€

Σημειώνεται ότι η τιμή του ν είναι 12 μήνες επί 2 έτη = 24 περίοδοι. Αυτό χρησιμοποιείται ως ν στον παραπάνω τύπο. Επίσης το επιτόκιο της περιόδου που χρησιμοποιείται είναι το μηνιαίο επιτόκιο 0,12/12=0,01=1%, καθώς η περίοδος αναφοράς είναι σε μήνες.

Εναλλακτικά μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι πίνακες του παραρτήματος, να ευρεθεί η τιμή του ΣΜΑ για ν=24, r=0,01, και να πολλαπλασιαστεί το C=50 με αυτήν την τιμή.

2.2.5.2. Τοκοχρεολύσια και βαθμός απόδοσης κεφαλαίου

Το τοκοχρεολύσιο (C), μίας ράντας και ο ΕΒΑ (r), που απαιτούνται για την επίτευξη προκαθορισμένης παρούσας ή μελλοντικής αξίας, μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο της παρούσας αξίας ή τον τύπο της μελλοντικής αξίας που ορίσθηκαν παραπάνω. Ας δούμε τα προβλήματα αυτά με μερικά παραδείγματα.

Παραδείγματα:

1. Τοκοχρεολυτική δόση δανείου

Στεγαστικό δάνειο αξίας €30.000 πρέπει να αποπληρωθεί με ισόποσες μηνιαίες δόσεις σε 15 χρόνια με 10% επιτόκιο. Πόσο θα πρέπει να είναι το μέγεθος της κάθε τοκοχρεολυτικής δόσης;

Απάντηση: Λύνοντας τον τύπο της ΠΑ ως προς C, υπολογίζεται ότι:

16

38,3221)

121,01(

)12

1,01(12

1,0

30.000 = C180

180

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

+€.

2. Αποταμιεύσεις

Τι ποσό πρέπει να κατατίθεται κάθε μήνα για να εξασφαλιστεί το συνολικό ποσό των € 30.000 σε διάστημα 15 ετών, υποθέτοντας μέσο βαθμό απόδοσης ίσο με 10% των επενδυμένων κεφαλαίων;

Απάντηση: Λύνοντας τον τύπο της MΑ ως προς C, υπολογίζεται ότι:

72,381)

121,01(

121,0

30.000 = C180

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+€

3. Μέσος Βαθμός Απόδοσης

Συνδρομητής πληρώνει € 50 ανά μήνα για 10 χρόνια σε αντάλλαγμα για την υπόσχεση του συνολικού ποσού των € 11.500. Ποιο μέσο βαθμό απόδοσης πρέπει να επιτύχει το κεφάλαιο για να ικανοποιηθεί η ανωτέρω υπόσχεση;

Απάντηση: Με τη μέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων, χρησιμοποιώντας τον τύπο της ΜΑ, υπολογίζεται ότι η απόδοση θα πρέπει να είναι r=12%.

4. Ανάλυση χρονοδιαγράμματος αποπληρωμής δανείου

Κατά την αποπληρωμή ενός δανείου ένα μέρος του τοκοχρεολυσίου αφορά στην καταβολή των τόκων, και το υπόλοιπο, στην καταβολή των χρεολυσίων.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε συνάψει καταναλωτικό δάνειο €.2.000, για 3 έτη με ετήσιο επιτόκιο 12%. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται η ανάλυση του χρονοδιαγράμματος αποπληρωμής του δανείου με τη μέθοδο των ίσων τοκοχρεο-λυσίων1. Η τοκοχρεολυτική δόση κάθε περιόδου υπολογίζεται να είναι σταθερή και ίση με € 832,70. Στη στήλη (2) εμφανίζεται ο τόκος κάθε περιόδου ως ποσοστό 12% του εναπομείναντος κεφαλαίου κάθε περιόδου, το οποίο βρίσκεται στην τελευταία στήλη. Οι τόκοι κατά την πρώτη περίοδο υπολογίζονται ως 12% του 2.000 = 240 €. Στη στήλη (3) εμφανίζεται το χρεολύσιο, το οποίο προκύπτει αφαιρώντας από το σταθερό τοκοχρεολύσιο τους τόκους κάθε περιόδου (832,7-240=592,70 € για την πρώτη περίοδο). Το εναπομένον κεφάλαιο της πρώτης περιόδου (στήλη 4) υπολογίζεται ως 2.000-592,7=1.407,30 €.

Έτσι το τοκοχρεολύσιο παραμένει σταθερό σε κάθε περίοδο, ενώ η κατανομή του σταθερού αυτού ποσού μεταξύ τόκων και χρεολυσίου μεταβάλλεται διαχρονικά. Οι

1 Η αποπληρωμή δανείου με ίσα τοκοχρεολύσια είναι ο πλέον συνήθης τρόπος, γιατί διευκολύνει τις επιχειρήσεις στους λογαριασμούς τους. Ο υπολογισμός του σταθερού τοκοχρεολυσίου στηρίζεται σε σύνθετο μαθηματικό τύπο.

17

τόκοι μειώνονται, ενώ το χρεολύσιο αυξάνεται καθώς πλησιάζουμε το τέλος ζωής του δανείου. Το δάνειο έχει εξοφληθεί στο τέλος του τρίτου έτους.

Ανάλυση Χρονοδιαγράμματος Αποπληρωμής Δανείου € 2.000, σε 3 περιόδους, με r=12%.

(1) (2) (3)=(1)-(2) ΥπόλοιποΈτος Τοκοχρεολύσιο Τόκος Χρεολύσιο Κεφάλαιο

0 2000 1 832,70 240,00 592,70 1.407,30 2 832,70 168,88 663,82 743,48 3 832,70 89,22 743,48 0,00

3. Αξιολόγηση Επενδύσεων - Τεχνικές

Μετά την ανάλυση της διαχρονικής αξίας του χρήματος, εξετάζεται στη συνέχεια το θέμα της αξιολόγησης των επενδυτικών σχεδίων και πιο συγκεκριμένα η ανάλυση παραγωγικών επενδύσεων (π.χ. Ξενοδοχείων, Μηχανημάτων, κ.ά.). Έστω π.χ. ότι εξετάζεται μια αρχική επένδυση Κ0, η οποία θα αποφέρει i Καθαρές Ταμειακές Ροές (ΚΤΡ) στην επενδυτική περίοδο i=1,…,ν, όπου:

ΚΤΡi = Ταμειακές Εισροέςi – Ταμειακές Εκροέςi

= Έσοδαi – Έξοδαi, σε κάθε χρονική περίοδο i

Εξετάζονται οι εξής μέθοδοι αξιολόγησης επενδυτικών σχεδίων:

• Καθαρή Παρούσα Αξία, ΚΠΑ,

• Καθαρό Οικονομικό Αποτέλεσμα, ΚΟΑ,

• Εσωτερικός Βαθμός Απόδοσης, ΕΒΑ,

• Περίοδος Αποπληρωμής Κεφαλαίου.

3.1. Καθαρά Παρούσα Αξία (ΚΠΑ)

Η ΚΠΑ ενός επενδυτικού σχεδίου ορίζεται ως:

Όπου

Κ0 : Κόστος επένδυσης στο έτος 0

ΚΤΡi : Καθαρές ταμειακές ροές την περίοδο i

( ) 01 1

Κ−+ΚΤΡ

=ΚΠΑ ∑=

ν

ii

i

r

18

r : Επιτόκιο Προεξόφλησης2 των ΚΤΡi, i=1,...,ν

Αγνοώντας προς το παρόν τον Κίνδυνο, το επιτόκιο προεξόφλησης, r, εκφράζει την απόδοση που μπορεί να επιτευχθεί στην αγορά Κεφαλαίου από τους Χρηματοδότες της επένδυσης.

1) Όταν η ΚΠΑ > 0 η Επένδυση γίνεται Αποδεκτή

2) Όταν η ΚΠΑ = 0 η Επένδυση είναι οριακή και αξιολογείται κατά περίπτωση

3) Όταν η ΚΠΑ < 0 η Επένδυση απορρίπτεται

Όταν εξετάζονται αμοιβαία αποκλειόμενες επενδύσεις (ανταγωνιστικά επενδυτικά σχέδια) επιλέγεται εκείνη η επένδυση με τη μεγαλύτερη ΚΠΑ.

Παράδειγμα - Αξιολόγηση Επένδυσης σε Κτίριο 1. Χρηματοροές: Κόστος Κτιρίου: K0 = 350 €, Τιμή μετά από ένα έτος: KTΡ1 = 400

€

2. Ευκαιριακό Κόστος Κεφαλαίου: Δηλαδή, το κόστος παρόμοιων επενδύσεων, το οποίο εκτιμάται από την αγορά κεφαλαίου, είναι r = 7%.

3. Προεξόφληση μελλοντικών ΚΤΡ και υπολογισμός ΚΠΑ

4. Η επένδυση γίνεται αποδεκτή αφού η ΚΠΑ των ΚΤΡ είναι μεγαλύτερη του κόστους της επένδυσης, Κ0 . Εναλλακτικά, η επένδυση γίνεται αποδεκτή αφού η ΚΠΑ είναι θετική.

3.2. Καθαρό Οικονομικό Αποτέλεσμα (ΚΟΑ) Η Διαφορά μεταξύ ΚΤΡ και Κ0(1+r) - δηλαδή η διαφορά μεταξύ της Μελλοντικής Αξίας (ΜΑ) των ΚΤΡ και της ΜΑ του Κ0 – ονομάζεται Καθαρό Οικονομικό Αποτέλεσμα (ΚΟΑ):

Καθαρό Οικονομικό Αποτέλεσμα= ΚΤΡ - Κ0(1+r)

Όταν: ΚΟΑ > 0, Η Επένδυση αποδεκτή,

2 Το επιτόκιο που χρησιμοποιείται για την προεξόφληση των ΚΤΡ είναι διαφορετικό για διαφορετικά επενδυτικά σχέδια. Θα πρέπει να αντικατοπτρίζει την κατηγορία κινδύνου στην οποία κατατάσσεται το επενδυτικό σχέδιο υπό εξέταση. Για παράδειγμα, ο κίνδυνος επένδυσης στον κλάδο των τραπεζών θεωρείται χαμηλότερος από τον κίνδυνο που ενέχει επενδυτικό σχέδιο στην ποντοπόρο ναυτιλία. Επομένως το επιτόκιο προεξόφλησης για την ποντοπόρο ναυτιλία θα πρέπει να είναι υψηλότερο σε σχέση με το αντίστοιχο επιτόκιο της επένδυσης στον τραπεζικό κλάδο. Υψηλότερος κίνδυνος συνήθως σημαίνει και υψηλότερη απαιτούμενη απόδοση, έτσι ώστε ο επιχειρηματίας να είναι διατεθειμένος να αναλάβει τον κίνδυνο αυτό.

24350374

350)07,01(400

)1( 01

+=−=

−+=Κ−+ΚΤΡ

=ΚΠΑ r

19

ΚΟΑ < 0, Η Επένδυση απορρίπτεται,

ΚΟΑ = 0, Είμαστε Αδιάφοροι.

Όταν εξετάζονται αμοιβαία αποκλειόμενες επενδύσεις (ανταγωνιστικά επενδυτικά σχέδια) επιλέγεται εκείνη με το μεγαλύτερο ΚΟΑ.

3.3. Σύγκριση ΚΠΑ και ΚΟΑ

Δεδομένα: Κόστος Επένδυσης € 1.000, ΚΤΡ1 = € 1.250, Κόστος Κεφαλαίου r = 0,2 και ν=1. Η ΚΠΑ είναι:

Το Καθαρό Οικονομικό Αποτέλεσμα, ΚΟΑ, είναι:

ΚΟΑ: 1.250 – 1.000 (1,2) = 50 Συμπέρασμα: τόσο η ΚΠΑ όσο και το ΚΟΑ υποδεικνύουν ότι η επένδυση είναι αποδεκτή.

3.4. Εσωτερικός Βαθμός Απόδοσης (ΕΒΑ) Ο ΕΒΑ (επίσης γνωστός και ως Συντελεστής Εσωτερικής Απόδοσης) υπολογίζεται ως το επιτόκιο εκείνο το οποίο εξισώνει το κόστος της επένδυσης Κ0 με την παρούσα αξία των ΚΤΡ. Δηλαδή, είναι η λύση ως προς r μιας εκ των ακολούθων εξισώσεων:

1. Όταν ο ΕΒΑ > κόστος κεφαλαίου, η Επένδυση γίνεται Αποδεκτή

2. Όταν ο ΕΒΑ = κόστος κεφαλαίου, η Επένδυση είναι οριακή και αξιολογείται κατά περίπτωση

3. Όταν ο ΕΒΑ < κόστος κεφαλαίου, η Επένδυση απορρίπτεται

Όταν εξετάζονται αμοιβαία αποκλειόμενες επενδύσεις (ανταγωνιστικά επενδυτικά σχέδια) επιλέγεται εκείνη με τον μεγαλύτερο ΕΒΑ.

Παράδειγμα: Δεδομένα: Κ0=350, ΚΤΡ1=400, ν=1, Κόστος κεφαλαίου = 12%. Να υπολογιστεί ο ΕΒΑ της επένδυσης.

Απάντηση: Ο ΕΒΑ είναι το r εκείνο το οποίο μηδενίζει την ΚΠΑ, και βρίσκεται από τη λύση του:

67,4110002,1

1250=−=ΚΠΑ

( ) 01 1

Κ=+ΚΤΡ∑

=

ν

ii

i

r ( ) 01 1

0 Κ−+ΚΤΡ

=∑=

ν

ii

i

r

20

ΕΒΑ=14,3% > 12%, επομένως η επένδυση είναι αποδεκτή.

Ο ΕΒΑ αφορά σε ένα συγκεκριμένο επενδυτικό σχέδιο και υπολογίζει την απόδοση (ως ποσοστό) της επένδυσης λαμβάνοντας υπόψη το ύψος της αρχικής επένδυσης την περίοδο 0, τις ταμειακές ροές των επόμενων περιόδων και τη διάρθρωσή τους. Το συγκεκριμένο επενδυτικό σχέδιο ανήκει σε συγκεκριμένη κατηγορία κινδύνου, κατά την εκτίμηση του επενδυτή. Ο επενδυτής επίσης γνωρίζει την απαιτούμενη απόδοση από επενδύσεις αυτής της κατηγορίας κινδύνου, η οποία ισούται με το κόστος κεφαλαίου του για επενδύσεις αυτού του είδους. Κατά συνέπεια, εάν η απόδοση της επένδυσης, σύμφωνα με τον ΕΒΑ, είναι μεγαλύτερη από το κόστος κεφαλαίου (ή ευκαιριακό κόστος ή απαιτούμενη απόδοση) της επιχείρησης / επενδυτή, η επένδυση γίνεται αποδεκτή. Σύγκριση του ΕΒΑ με τα άλλα κριτήρια αξιολόγησης γίνεται πιο κάτω.

3.5. Χρόνος Αποπληρωμής

3.5.1 Χρόνος Αποπληρωμής: Μια Επένδυση

Υπολογίζεται ο αριθμός των ετών που απαιτείται για να αποπληρωθεί το αρχικά επενδυόμενο κεφάλαιο. Το επενδυτικό σχέδιο εγκρίνεται όταν η περίοδος αποπληρωμής είναι μικρότερη του επιθυμητού χρόνου ανάκτησης του κεφαλαίου.

Πλεονεκτήματα:

• Προτιμητέο κριτήριο σε περιόδους έλλειψης ρευστότητας και για επιχειρηματικά σχέδια μεγάλου κινδύνου

• Απλότητα στους υπολογισμούς και κατανόηση του κριτηρίου

Μειονεκτήματα:

• Λαμβάνει υπόψη μόνο την ταχύτητα αποπληρωμής και όχι την απόδοση

• Δεν λαμβάνει υπόψη χρηματοροές πέραν της περιόδου αποπληρωμής


Εταιρεία αποφασίζει να επεκταθεί σε μια πολιτικά ριψοκίνδυνη χώρα της κεντρικής Ασίας, με επένδυση της τάξης των €5.000. Επιθυμεί να αποπληρώσει το αρχικό κόστος της επένδυσης σε 5 έτη και να αποσυρθεί από την αγορά αυτή, διότι αναμένει αρνητικές εξελίξεις σε 5 χρόνια. Οι ταμειακές ροές ανά περίοδο που εκτιμά ότι θα προκύψουν από την επένδυση παρουσιάζονται στον πίνακα.

( ) 35014000 −+

==ΚΠΑr

21

Έτος Ταμειακές ροές

0 -5.000 1 1.500 2 2.000 3 -500 4 2.000 5 3.500

Η περίοδος αποπληρωμής είναι 4 έτη. Επομένως, το επενδυτικό σχέδιο εγκρίνεται, αφού η περίοδος αποπληρωμής είναι μικρότερη του επιθυμητού χρόνου ανάκτησης του κεφαλαίου.

3.5.2.Χρόνος Αποπληρωμής: Αμοιβαία Αποκλειόμενες Επενδύσεις

Μεταξύ δύο αμοιβαία αποκλειόμενων επενδύσεων, επιλέγεται το επιχειρηματικό σχέδιο με τη μικρότερη περίοδο αποπληρωμής του αρχικού κόστους της επένδυσης.

3.6. Σύγκριση Εναλλακτικών Κριτηρίων Αξιολόγησης Έστω ότι υπάρχουν εναλλακτικοί τρόποι για την επένδυση ενός δεδομένου ποσού χρημάτων. Μπορεί να αποδειχθεί ότι, δεδομένου του αντικειμενικού στόχου της επιχείρησης να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της, βέλτιστη κατανομή των πόρων επιτυγχάνεται αν επιλέξουμε το έργο με τη Μεγαλύτερη Καθαρή Παρούσα Αξία, δεδομένου του τρέχοντος προεξοφλητικού επιτοκίου.

Παράδειγμα: Τρία εναλλακτικά επιχειρηματικά σχέδια προβλέπουν τις ακόλουθες τετραετείς χρηματικές ροές:

Έτος A B Γ

0 -1.900 -1.500 -1.900

1 400 600 1.900

2 800 1200 200

3 800 200 100

4 700 10 10

Έστω επίσης ότι το προεξοφλητικό επιτόκιο είναι 10%

Σχέδιο A: KΠΑ = 203,95

Σχέδιο B: KΠΑ = 194,28

22

Σχέδιο Γ: KΠΑ = 74,52

Συνεπώς επιλέγεται το σχέδιο Α σύμφωνα με το κριτήριο της KΠΑ.

Στον ακόλουθο πίνακα παρουσιάζονται εκτός από την ΚΠΑ και τα κριτήρια του ΕΒΑ και της περιόδου αποπληρωμής για κάθε επενδυτικό σχέδιο.

Επενδυτικό Κριτήριο

A

Σχέδιο

B

Γ

KΠΑ 203,95 194,28 74,52

ΕΒΑ(%) 14,5 17,9 13,7

Αποπληρωμή (έτη) 3 2 1

Στο τελευταίο παράδειγμα, κάθε ένα από τα τρία κριτήρια αξιολόγησης μπορεί να οδηγήσει στην επιλογή διαφορετικού επενδυτικού σχεδίου. Εάν η επιχείρηση χρησιμοποιήσει το κριτήριο της ΚΠΑ τότε επιλέγεται το σχέδιο Α, εάν χρησιμοποιηθεί το κριτήριο του ΕΒΑ επιλέγεται το σχέδιο Β, ενώ με το κριτήριο αποπληρωμής του αρχικού κεφαλαίου επιλέγεται το σχέδιο Γ.

Στην πράξη οι επιχειρήσεις συχνά επιλέγουν το σχέδιο με τον υψηλότερο ΕΒΑ (με την προϋπόθεση ότι ΕΒΑ> r) ή το σχέδιο με τη μικρότερη περίοδο αποπληρωμής (ή επανείσπραξης). Αυτά είναι συνήθως μη ιδεατά (sub-optimal), δηλαδή δεν οδηγούν στην επιλογή του σχεδίου με την υψηλότερη παρούσα αξία και ως εκ τούτου του σχεδίου το οποίο επιτυγχάνει τη βέλτιστη κατανομή των πόρων.

Από αυτή τη σκοπιά, η ΚΠΑ αποτελεί το προτιμητέο κριτήριο αξιολόγησης επενδυτικών σχεδίων. Ο λόγος είναι ότι με το κριτήριο της ΚΠΑ η αξία της επένδυσης εκφράζεται σε απόλυτες τιμές (σε ευρώ), ενώ με το κριτήριο του ΕΒΑ εκφράζεται ως ποσοστό. Έτσι, ο ΕΒΑ, ως ποσοστό αγνοεί τη διάσταση «μέγεθος», και μπορεί να οδηγήσει στην επιλογή μιας επένδυσης με μεγάλο ποσοστό κέρδους αλλά πολύ μικρό μέγεθος κέρδους, έναντι μιας άλλης με μικρό ποσοστό κέρδους αλλά μεγάλο κέρδος σε απόλυτη τιμή. Η ΚΠΑ λαμβάνει υπόψη της την απόδοση (μέσω του επιτοκίου προεξόφλησης) και το μέγεθος της επένδυσης.

Επιπλέον, το κριτήριο της ΚΠΑ δεν επηρεάζεται από τις εναλλαγές των προσήμων των ΚΤΡ και δεν δίνει πολλαπλές λύσεις, όπως είναι δυνατόν να συμβεί για ορισμένα επενδυτικά σχέδια, τα οποία εμφανίζουν περισσότερους από έναν θετικούς ΕΒΑ.

4. Ανάλυση Καθαρών Ταμειακών Ροών

Ο επενδυτής καλείται να λάβει αποφάσεις για την αξιολόγηση επενδυτικών σχεδίων, όπως για παράδειγμα επενδύσεις σε ακίνητα, εργοστάσια, μηχανήματα ή δεσμεύσεις παραγωγικών πόρων με τη μορφή ανάπτυξης νέων προϊόντων, εισαγωγή τεχνολογίας στην παραγωγική διαδικασία, επαναχρηματοδότηση μακροχρόνιου δανείου, κλπ.

23

Αποφάσεις πρέπει, επίσης, να ληφθούν για την αντικατάσταση υπαρχόντων εγκαταστάσεων με νέες.

Όπως αναφέρθηκε, το κριτήριο της ΚΠΑ ή του ΕΒΑ μπορεί να βοηθήσουν στην αξιολόγηση τέτοιου είδους αποφάσεων. Δεδομένου ότι για τον υπολογισμό της ΚΠΑ ή του ΕΒΑ απαιτούνται εκτιμήσεις για τις ΚΤΡ, στη συνέχεια εξετάζονται εκτενέστερα οι ΚΤΡ ενός επενδυτικού σχεδίου. Συχνά, αυτό που ενδιαφέρει κατά την αξιολόγηση ενός επενδυτικού σχεδίου είναι οι σχετικές ΚΤΡ που προκύπτουν από το νέο επενδυτικό σχέδιο, σε σύγκριση με τη μη ανάληψη του επενδυτικού σχεδίου. Οι ΚΤΡ ορίζονται ως:

ΚΤΡi = Ταμειακές Εισροέςi – Ταμειακές Εκροέςi,

όπου:

Ταμειακές Εισροές = Εισπράξεις από πωλήσεις ή εξοικονομήσεις κόστους

λειτουργίας ως αποτέλεσμα της επένδυσης σε νέα μηχανήματα

ή σε εκσυγχρονισμό των παλαιών

+ Υπολειμματική Αξία.

Ταμειακές Εκροές = Αρχικό Κόστος Επένδυσης + Λειτουργικό κόστος + Φόροι

= (Κεφάλαιο για την Απόκτηση επενδυτικών στοιχείων

+ Κόστος εγκατάστασης επενδυτικών στοιχείων

- Έσοδα από την πώληση παλαιών μηχανημάτων

± Φόροι επί της τιμής πώλησης παλαιών μηχανημάτων

+ Κεφάλαιο Κίνησης)

+ (Μισθοί + Πρώτες Ύλες + Λοιπές Λειτουργικές Δαπάνες)

+ Φόροι

Ακολούθως, παρουσιάζεται το κάθε συστατικό μέρος της ΚΤΡ.

4.1. Αρχικό κόστος επένδυσης Το αρχικό κόστος της επένδυσης μπορεί να διαχωριστεί στο κεφάλαιο προ εγκατάστασης και στο κεφάλαιο εγκατάστασης της παραγωγικής μονάδας. Το κεφάλαιο προ εγκατάστασης συνίσταται στην αγορά οικοπέδων, στις δαπάνες της απαραίτητης υποδομής π.χ. δρόμοι για την προσπέλαση της περιοχής που θα κατασκευαστεί το έργο και σε τυχόν ερευνητικές και μελετητικές δαπάνες. Το κεφάλαιο εγκατάστασης περιλαμβάνει την αγορά του εξοπλισμού, τη διαμόρφωση του χώρου, την κατασκευή κύριων και βοηθητικών εγκαταστάσεων, τα συστήματα ασφάλειας, κ.λπ.

24

4.2. Λειτουργικό κόστος Το κόστος λειτουργίας καλύπτει όλη τη διαδικασία παραγωγής, ανάλογα με το είδος του παραγόμενου προϊόντος ή υπηρεσιών, καθώς και τα γενικά έξοδα διάθεσης, οι προμήθειες, κ.λπ. Αφετηρία υπολογισμού του κόστους λειτουργίας αποτελεί ο τεχνικός σχεδιασμός (σχέδιο εκτέλεσης εργασιών), βάση του οποίου καταρτίζονται οι πίνακες των μηχανημάτων και του προσωπικού. Στους πίνακες του εξοπλισμού σημειώνονται στοιχεία αναφορικά με το είδος των μηχανημάτων, την ισχύ τους, την παραγωγικότητά τους, τις ώρες λειτουργίας, κ.λπ. Στους πίνακες προσωπικού καταγράφονται οι ειδικότητες, οι μισθοί, οι βάρδιες, κ.ά. Επίσης, καταγράφονται στοιχεία για τα γενικά έξοδα (π.χ. καταναλώσεις ενέργειας).

Συχνά, το λειτουργικό κόστος εκφράζεται σε χρηματικές μονάδες ανά μονάδα παραγόμενου προϊόντος (π.χ. €/tn).

4.3. Εισπράξεις από πωλήσεις Τα έσοδα ισούνται γενικά με το γινόμενο της τιμής πώλησης του προϊόντος επί την αντίστοιχη ετήσια παραγωγή.

Το πρόβλημα της εκτίμησης των ετήσιων εσόδων είναι ένα αντικείμενο με ιδιαίτερες απαιτήσεις, καθώς προϋποθέτει αφενός την εκτίμηση του ρυθμού παραγωγής και αφετέρου τις επικρατούσες και μελλοντικές συνθήκες στην αγορά του προϊόντος.

Το πρόβλημα αφορά κυρίως σε:

(α) σφάλματα εκτίμησης του ρυθμού παραγωγής (π.χ. εσφαλμένη εκτίμηση της απόδοσης προσωπικού και εξοπλισμού, ανεπαρκής διοίκηση, κακή συντήρηση και διακοπές στη διαδικασία, διαφορετικές συνθήκες περιβάλλοντος, κ.λπ.).

(β) σφάλματα εκτίμησης του όγκου και της αξίας των πωλήσεων (προϊόντων ή υπηρεσιών) εξαιτίας μεταβολών της τιμής πώλησης στην αγορά, κακή εκτίμηση της ζητούμενης ποσότητας και του μεριδίου αγοράς λόγω ανεπαρκούς έρευνας αγοράς αναφορικά με τους πελάτες και τον ανταγωνισμό, μεταβολές που οφείλονται σε εξωγενείς μακροοικονομικούς ή άλλους παράγοντες, κ.λπ.

4.4. Το κεφάλαιο κίνησης ως ροή μετρητών Στον υπολογισμό των ΚΤΡ είναι σημαντικό οι ροές μετρητών (εισπράξεις και πληρωμές) να υπολογίζονται τη χρονική στιγμή που πραγματοποιούνται και όχι όταν συμφωνούνται, π.χ. έσοδα και έξοδα συγκεκριμένης περιόδου υπολογίζονται ως ταμειακές ροές της περιόδου όταν εισπράξεις και πληρωμές πραγματοποιούνται την ίδια περίοδο.

Οι πωλήσεις επί πιστώσει π.χ. περιλαμβάνουν ετεροχρονισμό μεταξύ της πράξης των πωλήσεων και της είσπραξης, η οποία μπορεί να πραγματοποιηθεί, για παράδειγμα, 2 μήνες αργότερα. Ο ετεροχρονισμός, π.χ. εσόδων και εισπράξεων, απαιτεί αυξημένο κεφάλαιο κίνησης και αποτελεί βραχυχρόνια μορφή δανεισμού από την επιχείρηση προς τον πελάτη.

25

Το καθαρό κεφάλαιο κίνησης αναφέρεται στη διαφορά μεταξύ:

του κυκλοφορούντος ενεργητικού, δηλαδή των ρευστών ή άμεσα ρευστοποιήσιμων στοιχείων της επιχείρησης (=μετρητά + εμπορεύσιμα χρεόγραφα σε κόστος αγοράς + εισπρακτέα γραμμάτια + εισπρακτέοι λογαριασμοί – πρόβλεψη για εκπτώσεις) και

των βραχυπρόθεσμων υποχρεώσεων της επιχείρησης (=δάνεια τραπεζών + λογαριασμοί πληρωτέοι + οφειλόμενοι μισθοί και έξοδα + οφειλόμενοι φόροι).

Αποτυπώνει τη δυνατότητα της επιχείρησης να ικανοποιήσει τις βραχυπρόθεσμες υποχρεώσεις της σε πληρωμές από τα ρευστά διαθέσιμά της – βλέπε κεφάλαιο 4 του παρόντος τόμου.

Για την αξιολόγηση επενδύσεων ενδιαφέρει το επιπλέον καθαρό κεφάλαιο κίνησης (ή η μείωσή του) που θα προκύψει εάν η νέα επένδυση γίνει αποδεκτή:

η αύξηση του Κεφαλαίου Κίνησης αποτελεί Ταμειακή Εκροή ενώ

η μείωση του Κεφαλαίου Κίνησης αποτελεί Ταμειακή Εισροή

Παράδειγμα

Έτος Κεφάλαιο Μεταβολές στο Ροή

Κίνησης ΚεφάλαιοΚίνησης Μετρητών

1 10.000 -10.000 Ταμειακή Εκροή


3 11.000 2.000 Ταμειακή Εισροή


5 0 15.000 Ταμειακή Εισροή

4.5. Φόροι Οι φόροι που πληρώνονται από μια επιχείρηση αποτελούν μια εκροή, η οποία υπάρχει μόνο σε περίπτωση κερδοφορίας. Οι φόροι αντιστοιχούν σε ένα ποσοστό επί των κερδών της επιχείρησης, το ύψος του οποίου καθορίζεται από την αντίστοιχη νομοθεσία. Επειδή ο τρόπος υπολογισμού των φόρων επιδρά σημαντικά στην αποδοτικότητα της επένδυσης, κατά την αξιολόγηση επενδυτικών σχεδίων θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη όλες οι σχετικές φορολογικές διατάξεις.

Σημαντική παράμετρος στον υπολογισμό των φόρων αποτελούν οι αποσβέσεις των πάγιων στοιχείων της επιχείρησης, δεδομένου ότι εκπίπτουν από τα κέρδη, όπως παρουσιάζεται αναλυτικότερα στις επόμενες ενότητες.

26

4.6. Η έννοια των Αποσβέσεων Τα πάγια στοιχεία, όπως για παράδειγμα μηχανήματα, τα οποία αγοράζονται από μια επιχείρηση και χρησιμοποιούνται στην παραγωγική διαδικασία των προϊόντων της χάνουν την αξία τους, για λόγους όπως η διαρκής χρήση τους (φθείρονται) και η απαξίωση της τεχνολογίας τους (εμφανίζονται παραγωγικότερα μηχανήματα λόγω εξέλιξης της τεχνολογίας). Έχουν επομένως μια φυσική διάρκεια ζωής και μια οικονομική διάρκεια ζωής. Η τελευταία έχει ιδιαίτερη σημασία καθώς για την επιβίωση της η επιχείρηση δεν μπορεί να υστερεί τεχνολογικά έναντι των επιχειρήσεων ανταγωνιστών. Παρόλο λοιπόν που η φυσική διάρκεια ζωής ενός μηχανήματος μπορεί να είναι μεγάλη, συνήθως αυτό αποσύρεται νωρίτερα από την παραγωγική διαδικασία καθώς εξελίσσεται η τεχνολογία και απαξιώνεται το μηχάνημα τεχνολογικά και οικονομικά.

Ταυτόχρονα, η χρήση μέρους της αξίας των μηχανημάτων στην παραγωγή (αφού μειώνεται η αξία τους) αντιμετωπίζεται οικονομικά ως κόστος και ως εκ τούτου η απόσβεση αυτή εξαιρείται της φορολογίας. Λογιστικά δε για την εταιρεία οι αποσβέσεις μπορεί να χρησιμοποιηθούν ως εσωτερική πηγή κεφαλαίων (μαζί με τα παρακρατηθέντα κέρδη). Έτσι, οι αποσβέσεις έχουν σημασία φορολογικά, όμως δεν θεωρούνται ως λειτουργικές ταμειακές ροές κατά την αξιολόγηση των επενδύσεων. Οι ΚΤΡ επηρεάζονται από τις αποσβέσεις μόνο έμμεσα μέσω της φορολογίας.

Υπάρχουν διαφορετικές μέθοδοι αποσβέσεων, οι οποίες εξαρτώνται από τη φορολογική νομοθεσία κάθε χώρας. Η χρήση κάποιας μεθόδου αποσβέσεων έχει σχέση με την πολιτική της εταιρείας και τον κλάδο στον οποίο δραστηριοποιείται. Έτσι, εταιρείες που δραστηριοποιούνται σε δυναμικούς κλάδους, όπως της τεχνολογίας, επιλέγουν ταχείς ρυθμούς αποσβέσεων.

Στη συνέχεια παρουσιάζονται μέσω ενός παραδείγματος δύο από τις κυριότερες μεθόδους αποσβέσεων. Η ευθεία ή σταθερή μέθοδος απόσβεσης, η οποία είναι και η απλούστερη και χρησιμοποιείται στα παραδείγματά μας και η ταχεία μέθοδος του αθροίσματος των ψηφίων των ετών.

4.6.1. Η Μέθοδος της Ευθείας ή Σταθερής Απόσβεσης Έστω ένα μηχάνημα με αρχική αξία ΑΑ = €250.000 και υπολειμματική αξία ΥΑ= €10.000. Η οικονομική και φυσική ζωή του μηχανήματος για την επιχείρηση είναι ν=5 έτη. Ο πίνακας παρουσιάζει τη σταθερή απόσβεση κάθε έτους υπολογισμένη ως:

ΑΕ=(ΑΑ-ΥΑ)/ν=(250.000-10.000)/5)

και την αντίστοιχη λογιστική αξία (ΛΑ) του μηχανήματος ανά έτος, υπολογισμένη για το έτος ν ως:

ΛΑ(ν)=ΛΑ(ν-1)-AE(ν).

27

Μέθοδος της Ευθείας ή Σταθερής Απόσβεσης

Αρχική Αξία, ΑΑ Υπολειμματική Αξία, ΥΑ Έτη Απόσβεσης, ν

250000 10000 5 Έτος, ι=0,...,ν Απόσβεση Έτους, ΑΕ Λογιστική Αξία Έτους, ΛΑ

ΛΑ(ν) = ΑΑ - (ν(ΑΑ-ΥΑ) / ν) ΑΕ = (ΑΑ-ΥΑ) / ν ΛΑ(ν) = ΛΑ(ν-1) - AE(ν)

0 250000 1 48000 202000 2 48000 154000 3 48000 106000 4 48000 58000 5 48000 10000

Παρατηρείται ότι η απόσβεση του κάθε έτους είναι σταθερή στα €48.000, επιφέροντας αντίστοιχη σταθερή μείωση στη λογιστική αξία του μηχανήματος ανά έτος, η οποία εμφανίζεται στην τελευταία στήλη του πίνακα. Η τελική αξία στο 5ο έτος, εξ’ ορισμού, είναι €10.000.

4.6.2. Μέθοδος της Ταχείας Απόσβεσης του αθροίσματος των ψηφίων των ετών

Το παράδειγμα αυτό παρουσιάζει το ίδιο μηχάνημα με πριν. Το μόνο που αλλάζει είναι η μέθοδος υπολογισμού της απόσβεσης. Στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται το άθροισμα των ψηφίων των ετών (μιας αριθμητικής προόδου) ως:

Σν=ν(ν+1)/2=15.

Στη συνέχεια, οι συντελεστές απόσβεσης (ΣΑ), που εμφανίζονται στη δεύτερη στήλη του πίνακα, υπολογίζονται ως:

5/15, 4/15, 3/15, 2/15, 1/15.

Βεβαίως το άθροισμά τους ισούται με 1, ενώ φθίνουν μη γραμμικά. Η απόσβεση του έτους υπολογιζόμενη ως:

ΑΕ=ΣΑ(ΑΑ-ΥΑ)

εμφανίζεται στην τρίτη στήλη του πίνακα. Μια γρήγορη σύγκριση με την αντίστοιχη στήλη του πίνακα της μεθόδου της ευθείας απόσβεσης αναδεικνύει ότι, σχετικά μεγάλα ποσά αποσβένονται στα αρχικά στάδια της ζωής του μηχανήματος και πολύ λιγότερα αργότερα, σε σχέση με τα σταθερά ποσά απόσβεσης ανά έτος της ευθείας μεθόδου. Η ίδια εικόνα εμφανίζεται και στην τελευταία στήλη του πίνακα, όπου υπολογίζεται η λογιστική αξία (ΛΑ) του μηχανήματος σε κάθε έτος, έχοντας αφαιρέσει από την ΛΑ του προηγούμενου έτους την απόσβεση του έτους. Περίπου 60% της αξίας του μηχανήματος αποσβένονται στα πρώτα 2 έτη, ποσό το οποίο ανέρχεται περίπου στα 80% στα πρώτα 3 έτη με την ταχεία μέθοδο απόσβεσης, με αντίστοιχα ποσοστά 40% και 60% περίπου με την ευθεία μέθοδο απόσβεσης.

28

Αρχική Αξία, ΑΑ

Υπολειμματική Αξία, ΥΑ Έτη Απόσβεσης, ν Άθροισμα Ετών Απόσβ.,Σν=ν(ν+1)/2

250000 10000 5 15 Έτος, ι=0,...,ν Συντελεστής Απόσβεση Έτους, ΑΕ Λογιστική Αξία Έτους, ΛΑ

Απόσβεσης,ΣΑ ΑΕ=((ν-ι+1)/Σν)(ΑΑ-ΥΑ)ΛΑ(ν)=ΑΑ-ι[ν-(ι/2)+0,5]/Σν(ΑΑ-ΥΑ) =(ν-ι+1) / Σν ΑΕ = ΣΑ * (ΑΑ-ΥΑ) ΛΑ(ν) = ΛΑ(ν-1) - AE(ν)

0 250000 1 0.3333 80000 170000 2 0.2667 64000 106000 3 0.2000 48000 58000 4 0.1333 32000 26000 5 0.0667 16000 10000

4.6.3. Απόσβεση & Υπολειμματική Αξία παγίων στοιχείων

Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι κατά τη λήψη μιας απόφασης για την πώληση ή αγορά παγίων στοιχείων (εξοπλισμών, κτιρίων κλπ), ο τρόπος υπολογισμού της απόσβεσης καθώς και η εκάστοτε λογιστική ή (τελικά) υπολειμματική αξία τους επηρεάζει τα καθαρά κέρδη ή ζημίες κι επομένως την απόδοση της επένδυσης.

Παράδειγμα: Πώληση παγίων στοιχείων

Μηχάνημα παραγωγής στοίχισε αρχικά €1000 και τώρα έχει Λογιστική αξία €600. Ο φορολογικός συντελεστής της εταιρείας είναι 35%. Διακρίνονται τρεις περιπτώσεις:

1. Το παλαιό μηχάνημα πωλείται προς €800. Το συνολικό κέρδος μετά από φόρο είναι: (800-600) (1-0,35) = 200 x 0,65 =€130, ενώ ο φόρος είναι 200 x 0,35= €70.

2. Το μηχάνημα πωλείται €600. Δεν υπάρχει φορολογική υποχρέωση, αφού δεν υπάρχει κέρδος ή ζημία από την πώληση.

3. Το μηχάνημα πωλείται €500. Υπάρχει ζημία, η οποία οδηγεί σε φορολογική εξοικονόμηση (δηλαδή μειώνονται οι φόροι), η οποία υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τη ζημία με το φορολογικό συντελεστή της επιχείρησης: (600-500) 0,35 = €35.

Παράδειγμα: Υπολογισμός Αρχικού Κόστους Επένδυσης

Εταιρεία αγοράζει νέο μηχάνημα σε αντικατάσταση παλαιού προς €2500, με ευθεία απόσβεση 5 ετών και μηδενική υπολειμματική αξία. Το κόστος εγκατάστασης του μηχανήματος είναι €500. Για τη λειτουργία του νέου μηχανήματος απαιτείται αύξηση των αποθεμάτων κατά €50. Το παλαιό μηχάνημα, με διάρκεια ζωής 8 έτη, αγοράστηκε πριν 3 χρόνια προς €2400. Η ετήσια απόσβεση του είναι €300, με μηδενική υπολειμματική αξία. Το παλιό μηχάνημα μπορεί να πωληθεί σήμερα προς €2550. Ο φορολογικός συντελεστής της εταιρείας είναι 35%. Υπολογίστε το αρχικό κόστος της επένδυσης.

29

Οι φόροι από την πώληση του παλαιού μηχανήματος υπολογίζονται ως εξής:

Λογιστική Αξία του σήμερα είναι €1500 (= 2400 - 3 x 300)

Φόρος επί του κέρδους: (2550 - 1500) 0,35 = € 367,5

4.7. Καθαρές ταμειακές ροές μετά από φόρους (ΚΤΡμφ) Ο σωστός υπολογισμός των ΚΤΡμφ είναι καθοριστικής σημασίας για τη λήψη ορθών αποφάσεων όσον αφορά στην αξιολόγηση των επενδυτικών σχεδίων, καθώς οι ΚΤΡμφ είναι εκείνες που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της ΚΠΑ και του ΕΒΑ του υπό αξιολόγηση επενδυτικού σχεδίου. Ακολούθως παρουσιάζονται δύο μέθοδοι υπολογισμού των ΚΤΡμφ.

4.7.1. Πρώτη μέθοδος (Direct Approach)

Για κάθε χρονική περίοδο, έστω ανά έτος, του επενδυτικού σχεδίου υπολογίζονται:

(1) ΚΤΡπφ = Εισπράξεις – Πληρωμές.

(2). Επειδή οι Αποσβέσεις (Α) εκπίπτουν της φορολογίας τα Φορολογητέα Κέρδη (ΦΚ) υπολογίζονται ως: ΦΚ = ΚΤΡπφ - Αποσβέσεις.

(3) Φόροι = Φορολογητέα Κέρδη x Φορολογικό Συντελεστή (ΦΣ).

(4) ΚΤΡμφ = ΚΤΡπφ – Φόροι.

Όπου ΚΤΡπφ = ΚΤΡ προ φόρων, ΚΤΡμφ = ΚΤΡ μετά από φόρους

Προσοχή: Οι φόροι υπολογίζονται επί των αποτελεσμάτων χρήσης (Λογιστικών Κερδών), έχοντας αφαιρέσει από τις εισπράξεις τα λειτουργικά έξοδα και τις

€ 867,5 Κόστος Αρχικής Επένδυσης

€ 367,5 + Φόροι από πώληση παλαιού μηχανήματος

€ 2550 - Είσπραξη από παλαιό μηχάνημα

€ 50 + Αύξηση Αποθεμάτων

€ 500 + Κόστος Εγκατάστασης

€ 2500 Αξία νέου μηχανήματος

30

αποσβέσεις. Η αξιολόγηση επενδύσεων γίνεται με βάση τις φορολογημένες ΚΤΡ (ΚΤΡμφ).

Στον υπολογισμό των ΚΤΡ είναι σημαντικό να υπολογίζονται τα Οικονομικά Μεγέθη, τα οποία προκύπτουν από τη λειτουργία του συγκεκριμένου επενδυτικού σχεδίου που αξιολογείται και μόνο, και όχι ο λογιστικός επιμερισμός εξόδων άλλων επενδυτικών σχεδίων της επιχείρησης. Έτσι, για αποφάσεις υπολογίζονται οι ΚΤΡ με και χωρίς την επένδυση (with and without the project).

Πρέπει να εξετάζονται όλα τα άμεσα και έμμεσα οφέλη που μπορεί να επιφέρει μια επένδυση. Έτσι για την επιχείρηση, οι ΚΤΡ που σχετίζονται με την επένδυση ισοδυναμούν με τη διαφορά των συνολικών ΚΤΡ με και χωρίς την επένδυση. Και αυτό επειδή δύναται να δημιουργηθούν έμμεσες ταμειακές ροές λόγω της αλληλεξάρτησης της επένδυσης με άλλα επενδυτικά σχέδια / πόρους στην εταιρεία.


Δεδομένα: Κόστος Επένδυσης = €1.000. Απόσβεση 2ετής με την ευθεία μέθοδο. Κόστος Κεφαλαίου r = 0,2 και διάρκεια ν = 2 έτη. Φορολογικός Συντελεστής = 0,35.

Μεγέθη σε € Έτος 1 Έτος 2Πωλήσεις 2.000 2.500Λειτουργικό Κόστος -1.000 -1.200ΚΤΡπφ 1.000 1.300Αποσβέσεις -500 -500Φορολογητέα Κέρδη 500 800Φόροι (ΦΣ=35%) -175 -280

ΚΤΡμφ (=ΚΤΡπφ-Φόροι) 825 1.020 Οι ακόλουθοι υπολογισμοί έχουν λάβει χώρα στον παραπάνω πίνακα:

• ΚΤΡπφ = Πωλήσεις – Λειτουργικό Κόστος

• Αποσβέσεις ανά έτος = 1.000 / 2 = 500

• Φορολογητέα κέρδη = ΚΤΡπφ – Αποσβέσεις • Φόροι = Φορολογητέα κέρδη x Φορολογικός Συντελεστής

• ΚΤΡμφ = ΚΤΡπφ – Φόροι

Οι ΚΤΡμφ χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της ΚΠΑ και του ΕΒΑ της επένδυσης. Έτσι, για το υπό εξέταση επενδυτικό σχέδιο λαμβάνουμε:

31

και ΕΒΑ = 50,34%, όπου η απαιτούμενη απόδοση είναι 20%.

Επομένως, η επένδυση γίνεται αποδεκτή και με τα δύο κριτήρια.

4.7.2. Δεύτερη μέθοδος (Indirect Approach)

Για κάθε χρονική περίοδο, έστω ανά έτος, του επενδυτικού σχεδίου υπολογίζονται τα ίδια μεγέθη, όπως και στην πρώτη μέθοδο, ήτοι Εισπράξεις, Πληρωμές, Αποσβέσεις, Φορολογητέα Κέρδη και Φόροι συναρτήσει του Φορολογικού Συντελεστή.


Δεδομένα: Κόστος Επένδυσης = €1.000. Απόσβεση 2ετής με την ευθεία μέθοδο. Κόστος Κεφαλαίου r = 0,2 και διάρκεια ν = 2 έτη. Φορολογικός Συντελεστής = 0,35.

Πωλήσεις 2.000 2.500Λειτουργικό Κόστος -1.000 -1.200Αποσβέσεις -500 -500Φορολογητέα Κέρδη 500 800Φόροι (ΦΣ=35%) -175 -280Αποσβέσεις 500 500ΚΤΡμφ (=ΦΚ-Φ+Α) 825 1.020

Οι ακόλουθοι υπολογισμοί έχουν λάβει χώρα στον παραπάνω πίνακα:

• Αποσβέσεις ανά έτος = 1.000 / 2 = 500

• Φορολογητέα Κέρδη = Πωλήσεις – Λειτουργικό Κόστος – Αποσβέσεις • Φόροι = Φορολογητέα Κέρδη x Φορολογικό Συντελεστή

• ΚΤΡμφ = ΚΤΡπφ – Φόροι + Αποσβέσεις

Αυτές οι ΚΤΡμφ είναι ίδιες με πριν και επομένως το συμπέρασμα θα είναι ίδιο όσον αφορά στην αποδοχή του επενδυτικού σχεδίου.

4.7.3. Υπολογισμός των ΚΤΡμφ παρουσία δανείων

Εάν υπάρχουν δάνεια, κατά τον υπολογισμό των ΚΤΡμφ (προς χρήση τους στην αξιολόγηση των επενδυτικών σχεδίων με τις μεθόδους της ΚΠΑ ή του ΕΒΑ), τότε είναι προτιμότερο να αγνοούνται οι τόκοι και να χρησιμοποιείται το μετά από φόρους (το φορολογημένο) επιτόκιο για την προεξόφληση των ΚΤΡμφ ή τη σύγκριση του

2

825 10201000 395,831,2 1,2

ΚΠΑ = − + + =

32

ΕΒΑ με αυτό3. Το φορολογημένο επιτόκιο υπολογίζεται ως r(1-ΦΣ). Έτσι, για ΦΣ=35% και r=15%, r(1-ΦΣ) = 0,15(1-0,35) = 9,75%.

4.7.4. Υπολογισμός Επιπλέον (Σχετικών) ΚΤΡ Επένδυσης

Όπως αναφέρθηκε σε πολλές περιπτώσεις ενδιαφέρει τον επενδυτή να αξιολογήσει τις σχετικές ΚΤΡ που προκύπτουν από το νέο επενδυτικό σχέδιο, σε σύγκριση με τη μη ανάληψη του επενδυτικού σχεδίου.

Παράδειγμα: Εταιρεία έχει την επιλογή χρήσης νέου μηχανήματος, σε αντικατάσταση παλαιού, στην παραγωγή προϊόντων της. Η ετήσια απόσβεση του παλαιού και νέου μηχανήματος είναι, αντίστοιχα, €300 και €500. Εκτιμάται ότι τα ετήσια έσοδα και το λειτουργικό κόστος των δύο μηχανημάτων είναι:

Ο φορολογικός συντελεστής της εταιρείας είναι 35%. Να υπολογιστούν οι επιπλέον (σχετικές) ΚΤΡ μετά από φόρους (ΚΤΡμφ).

Πρώτος υπολογισμός:

3 Τόσο στη διεθνή όσο και στην ελληνική βιβλιογραφία ακολουθείται διακριτή προσέγγιση αναφορικά με την αξιολόγηση της επένδυσης (investment analysis) και με τη χρηματοδότησή της (financing analysis). Το πρώτο βήμα στη διαδικασία της αξιολόγησης αφορά στη λήψη της απόφασης για το αν πρέπει ή όχι να γίνει αποδεκτό το επενδυτικό σχέδιο (εξετάζεται δηλ. η βιωσιμότητά του). Στο στάδιο αυτό χρησιμοποιείται το συνολικό κόστος της επένδυσης, χωρίς να διαχωρίζονται οι πηγές των κεφαλαίων (π.χ. ίδια και ξένα κεφάλαια, επιχορηγήσεις, κ.λπ.). Η αξιολόγηση του επενδυτικού σχεδίου πραγματοποιείται με τα συνήθη κριτήρια (π.χ. ΚΠΑ) βάσει του σταθμισμένου επιτοκίου προεξόφλησης. Εφόσον το σχέδιο χαρακτηρίζεται βιώσιμο, στο δεύτερο στάδιο εξετάζεται λεπτομερώς η χρηματοδότηση του σχεδίου σε σχέση με τις εναλλακτικές επιλογές που διαθέτει ο επενδυτής.

€1200 €600 €1800 Νέο

€800 €700 €1500 Παλαιό

Καθαρά Κέρδη προ Αποσβέσεων και Φόρων

Λειτουργικό Κόστος

Έσοδα Μηχάνημα

€ 330 Επιπλέον ΚΤΡ

= 70 + Μεταβολή στις Αποσβέσεις x ΦΣ (500-300) 0,35 = 200 x 0,35

= -(-65) - Μεταβολή στις Πληρωμές x (1 – ΦΣ) (600-700) (1-0,35) = -(-100 x 0,65)

= 195 Μεταβολή στα Έσοδα x (1 – ΦΣ): (1800-1500) (1-0,35) = 300 x 0,65

33

Επιπλέον ΚΤΡμφ = Μεταβολή στα Έσοδα x (1–ΦΣ) - Μεταβολή στις Πληρωμές x (1–ΦΣ)

+ Μεταβολή στις Αποσβέσεις x ΦΣ

Απόφαση: Η αντικατάσταση του παλαιού μηχανήματος με το νέο μηχάνημα συμφέρει γιατί αυξάνει την Καθαρή Ταμειακή Ροή της επιχείρησης.

Δεύτερος Υπολογισμός: Εναλλακτικά, το ίδιο αποτέλεσμα μπορεί να εξαχθεί ως εξής:

Οι επιπλέον ΚΤΡμφ για την επιχείρηση, από την εγκατάσταση του νέου μηχανήματος είναι + € 330. Το αποτέλεσμα είναι προφανώς ίδιο με πριν: η επένδυση συμφέρει.

4.8. Επιλογή επιτοκίου προεξόφλησης

4.8.1. Κίνδυνος και απόδοση

Από τα όσα έχουν αναφερθεί, καθίσταται προφανές ότι η εκτίμηση της ΚΠΑ ενός επενδυτικού σχεδίου είναι άμεσα συνυφασμένη με το επιτόκιο προεξόφλησης των μελλοντικών ΚΤΡ του σχεδίου.

Ο προσδιορισμός του επιτοκίου προεξόφλησης (δηλ. της ελάχιστης αποδεκτής απόδοσης) εξαρτάται από το κόστος κεφαλαίου και από τον επιχειρηματικό κίνδυνο που ενέχει η συγκεκριμένη επένδυση.

Γενικά, οι επενδυτές αποστρέφονται τον κίνδυνο (risk averse). Μπορεί όμως να γίνει διάκριση των επενδυτών σε τρεις κατηγορίες:

• Πολλοί επενδυτές, όπως π.χ. οι χαμηλόμισθοι και οι συνταξιούχοι, δεν έχουν εισοδηματικά περιθώρια ανάληψης επενδύσεων με κίνδυνο. Κατά κανόνα επενδύουν σε έντοκα γραμμάτια του δημοσίου, τραπεζικά ομόλογα, κ.λ.π.

€955 €500 (1200-500)(1-0,35) = €455 Νέο

€330 €200 €455 – €325 = €130 Επιπλέον Ροές

€625 €300 (800-300)(1-0,35) = €325 Παλαιό

= ΚΤΡμφ +Αποσβέσεις Καθαρά Κέρδη μφ Μηχάνημα

34

• Υπάρχουν όμως επενδυτές που αναλαμβάνουν υψηλότερο κίνδυνο όταν αναμένουν υψηλότερες αποδόσεις (risk premium). Κατά κανόνα επενδύουν σε ομολογίες εταιρειών, μετοχές, αμοιβαία κεφάλαια, ακίνητα, κ.λ.π.

• Μερικοί επενδυτές τέλος επιζητούν επενδύσεις με υψηλότερη απόδοση, αγνοώντας παντελώς τον κίνδυνο (risk lovers).

Στην ελεύθερη, αποτελεσματικά λειτουργούσα, αγορά κεφαλαίου καθορίζονται διάφορες αποδόσεις (επιτόκια) ανάλογα με τον κίνδυνο. Αυτά τα επιτόκια μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αξιολόγηση επενδύσεων (στα κριτήρια ΚΠΑ, ΕΒΑ).

• Υπάρχει κατ’ αρχήν το «Χωρίς Κίνδυνο Επιτόκιο» -σημείο αναφοράς- το οποίο αντιστοιχεί στο επιτόκιο που προσδιορίζεται από τα Έντοκα Γραμμάτια του Δημοσίου, διαφόρου διάρκειας.

• Τα επιτόκια των άλλων κατηγοριών επενδυτικών στοιχείων είναι υψηλότερα, έχουν απόδοση επιπλέον του χωρίς κίνδυνο επιτοκίου, ανάλογα με τον κίνδυνο που κρίνει η αγορά ότι ενέχουν.

Έτσι, προεξοφλώντας τις αναμενόμενες ΚΤΡ με το ανάλογο επιτόκιο (το προσαρμοσμένο για κίνδυνο επιτόκιο) ή συγκρίνοντας τον ΕΒΑ επένδυσης με αυτό, λαμβάνεται υπόψη ο κίνδυνος κατά την αξιολόγηση. Η σχέση απόδοσης - κινδύνου που μπορούσε να επιτύχει επενδυτής, με επένδυση σε διάφορα επενδυτικά στοιχεία στις ΗΠΑ από το 1926-1996, φαίνεται και στον πίνακα. Παρατηρείται, ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο κίνδυνος που ενέχει το επενδυτικό προϊόν τόσο μεγαλύτερη είναι η απόδοση που προσφέρει.

Μέση Απόδοση (%) Τυπική Απόκλιση (%)

Πληθωρισμός 3.2 4.6

Γραμμάτια Δημοσίου -Treasury Bills

3.7 3.3

Μακράς διάρκειας Ομολογίες Δημοσίου - Treasury Bonds

5.4 8.7

Κοινές Μετοχές Υψηλής κεφαλαιοποίησης

12.3 20.5

Κοινές μετοχές Χαμηλής κεφαλαιοποίησης

17.6 34.8

4.8.2. Προσδιορισμός του επιτοκίου προεξόφλησης

Το απαιτούμενο επιτόκιο προεξόφλησης, όπως αναφέρθηκε, αντανακλά το κόστος μιας ασφαλούς επένδυσης προσαυξημένο κατά έναν αποδεκτό συντελεστή ασφάλειας, ο οποίος επηρεάζεται από ένα πλήθος παραγόντων. Συχνά, το απαιτούμενο επιτόκιο προεξόφλησης στηρίζεται σε υποκειμενική κρίση, με βάση την εμπειρία του επενδυτή. Έχουν όμως αναπτυχθεί και ποσοτικές μέθοδοι, οι οποίες

35

βασίζονται στη θεωρία χαρτοφυλακίου. Ακολούθως δίνονται ορισμένες ποσοτικές μέθοδοι προσδιορισμού του κόστους κεφαλαίου από ομολογιακά δάνεια και ίδια (μετοχικά) κεφάλαια.

α. Ομολογιακά δάνεια

Μια επιχείρηση μπορεί να εκδώσει ομόλογα προκειμένου να προσελκύσει νέους επενδυτές. Τα ομόλογα αυτά διατίθενται στην ονομαστική τους τιμή και το επιτόκιο προεξόφλησης καθορίζεται από την απόδοση που επιδιώκει ο επενδυτής. Έτσι, το κόστος κεφαλαίου προ φόρων για την επιχείρηση ισούται με την απόδοση που επιδιώκει ο επενδυτής. Δεδομένου όμως ότι η επιστροφή των τόκων στους επενδυτές εκπίπτει από το φορολογικό εισόδημα το κόστος κεφαλαίου μετά φόρων ισούται με το επιτόκιο προ φόρων επί 1 μείον το συντελεστή φορολογίας.


Μια επιχείρηση προσφέρει ομόλογα αξίας 100 εκατ. Euro με απόδοση 9%, στην ονομαστική τους τιμή. Εάν ο συντελεστής φορολογίας είναι 35%, ποιο είναι το κόστος κεφαλαίου μετά φόρων?

Κόστος κεφαλαίου (μετά φόρων) = 0,09 * (1-0,35) = 5,85%

β. Κόστος μετοχικών κεφαλαίων

Όπως και στην περίπτωση του κόστους των ομολόγων έτσι και στην περίπτωση των μετοχικών κεφαλαίων το κόστος ισούται με την αναμενόμενη από τους κατόχους των μετοχών απόδοση. Η αύξηση του μετοχικού κεφαλαίου επιτυγχάνεται με δύο τρόπους: (i) εσωτερικά, από τα αδιάθετα κέρδη και (ii) εξωτερικά, δηλ. από τη διάθεση νέων μετοχών. Η εκτίμηση του κόστος της εσωτερικής αύξησης κεφαλαίου επιτυγχάνεται με διάφορες μεθόδους, όπως: το μοντέλο αποτίμησης του μερίσματος (Dividend Valuation Model) και το μοντέλο αποτίμησης κεφαλαιακών στοιχείων (Capital Asset Pricing Model), οι οποίες παρουσιάζονται συνοπτικά, ως ακολούθως.

4.8.2.1. Μοντέλο αποτίμησης του μερίσματος:

Ο μετοχικός πλούτος μιας επιχείρησης (ή η αξία της) ισούται με την αξία των κοινών μετοχών της επιχείρησης, η οποία με τη σειρά της ισούται με την παρούσα αξία όλων των μελλοντικών χρηματικών εισροών που θα δημιουργηθούν από την επένδυση προς όφελος των επενδυτών. Γενικά, τα μελλοντικά κέρδη μιας επιχείρησης μπορούν να λάβουν δύο μορφές: πληρωμή μερισμάτων στους μετόχους ή αύξηση της αξίας της μετοχής (κέρδος κεφαλαίου). Εάν ένας επενδυτής σκοπεύει να διατηρήσει τις μετοχές του επ’ άπειρον, τότε η αξία της επιχείρησης για αυτόν ισούται με:

36

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

= ∑=

ν

τν

α

τ

ε1 )1(MK (1)

όπου: Κ = η αξία της επιχείρησης

Μτ = το μέρισμα που λαμβάνει το χρόνο τ

εα = το απαιτούμενο επιτόκιο (η αναμενόμενη απόδοση)

Εάν τα μερίσματα της επιχείρησης αναμένεται να αυξάνουν αενάως κατά ρυθμό κ,

τότε η αξία της επιχείρησης μπορεί να εκφραστεί ως:

κεα −= 1MK (2)

όπου: Μ1 = το αναμενόμενο μέρισμα που θα πληρωθεί την περίοδο 1

Εάν το Μ1 εκφράζει το μέρισμα ανά μετοχή τότε η αξία Κ αναπαριστά την τιμή ανά μετοχή. Η εξίσωση (2) είναι γνωστή και ως μοντέλο Gordon, από τον ομώνυμο αναλυτή (Gordon, 1962). Από την εξίσωση (2) προκύπτει ότι το απαιτούμενο επιτόκιο εα ισούται με:

κεα +=KM1 (3)

4.8.2.2. Μοντέλο αποτίμησης κεφαλαιακών στοιχείων

Σύμφωνα με το συγκεκριμένο μοντέλο, το οποίο αναπτύχθηκε πρωτογενώς από τον Markowitz (1952), η απαιτούμενη απόδοση μιας επένδυσης ισούται με το άθροισμα του συντελεστή απόδοσης μιας επένδυσης μηδενικού κινδύνου και του συντελεστή προσαρμογής του κινδύνου που ενέχει η επένδυση στον συγκεκριμένο κλάδο.

Το μοντέλο βασίζεται στην παραδοχή ότι υπάρχει μια σχέση ευθέως ανάλογη μεταξύ του κινδύνου μιας επένδυσης και ενός επιτοκίου για το οποίο ο κίνδυνος γίνεται αποδεκτός. Ως κίνδυνος εκφράζεται η μεταβλητότητα των αποτελεσμάτων της επιχείρησης. Ο κίνδυνος προέρχεται από δύο παράγοντες: αυτούς που επηρεάζουν το σύνολο της αγοράς (συστηματικός κίνδυνος) και αυτούς που επιδρούν μόνο στη συγκεκριμένη επιχείρηση, π.χ. διοικητικές ικανότητες, απεργίες, κ.λπ. (μη συστηματικός κίνδυνος).

Εάν ένας επενδυτής είναι κάτοχος πολλών μετοχών τότε πιθανότητα ο μη-συστηματικός κίνδυνος εξαλείφεται και παραμένει μόνο ο συστηματικός. Ο συστηματικός κίνδυνος εκφράζεται με το συντελεστή β (beta factor), ο οποίος δίνεται από την κλίση της γραμμής συσχέτισης των αποτελεσμάτων της μετοχής και της απόδοσης του συνόλου της αγοράς (λεπτομέρειες υπολογισμού μπορούν να βρεθούν στους Τσώλα, 2002, Τσακίρη κ.ά., 1998).

Έτσι, σύμφωνα με το μοντέλο το απαιτούμενο επιτόκιο ισούται με:

37

εα = εμ + β* (εαγ – εμ)

όπου: εα = το απαιτούμενο επιτόκιο προεξόφλησης

εμ = συντελεστής απόδοσης για επένδυση μηδενικού κινδύνου

εαγ = συντελεστής απόδοσης της αγοράς

β = ο συντελεστής β

4.8.2.3. Εξωτερική αύξηση κεφαλαίου και σχετικό κόστος

Το κόστος από την αύξηση του μετοχικού κεφαλαίου με την πώληση νέων μετοχών είναι συνήθως υψηλότερο από αυτό της χρήσης αδιάθετων κερδών καθώς η τιμή του νέου μετοχικού πακέτου πρέπει να είναι μικρότερη από την τρέχουσα τιμή της αγοράς, ώστε να προσελκύσει τους επενδυτές. Επιπλέον, το γεγονός ότι η τιμή της μετοχής πριν την ανακοίνωση της αύξησης του μετοχικού πακέτου αναπαριστά το σημείο ισορροπίας της αγοράς, η ισορροπία αυτή, λόγω αύξησης της προσφοράς, διαταράσσεται και (με δεδομένο ότι οι άλλοι παράγοντες παραμένουν σταθεροί) αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση της τιμής στο νέο σημείο ισορροπίας.

Το κόστος κεφαλαίου από την αύξηση του μετοχικού πακέτου δίνεται από τον ακόλουθο τύπο:

κεκαθ

α +=KM1 (5)

όπου: Κκαθ = το συνολικό καθαρό ποσό ανά μετοχή που λαμβάνεται από την επιχείρηση.

4.8.3. Σταθμισμένο επιτόκιο προεξόφλησης

Συχνά, οι επιχειρήσεις εξασφαλίζουν χρήματα για νέες επενδύσεις μέσα από έναν συνδυασμό ιδίων και δανειακών κεφαλαίων (βλ. Αναλυτικότερα Κεφ. 4 παρόντος τόμου). Σε αυτές τις περιπτώσεις το κόστος του κεφαλαίου υπολογίζεται ως σταθμισμένο κόστος

Σε αυτές τις περιπτώσεις το κόστος του κεφαλαίου (και κατ’ επέκταση το επιτόκιο προεξόφλησης) υπολογίζεται ως σταθμισμένο κόστος με βάση την αναλογία ιδίων/δανειακών κεφαλαίων στη συγκεκριμένη επένδυση:

εα = Ι*κΙ + Δ*κΔ (6)

όπου: εα = το σταθμισμένο κόστος κεφαλαίου

Ι = το ποσοστό των ιδίων κεφαλαίων στο σύνολο της επένδυσης

κΙ = το κόστος των ιδίων κεφαλαίων

38

Δ = το ποσοστό των δανειακών κεφαλαίων στο σύνολο της επένδυσης

κΔ = το κόστος των δανειακών κεφαλαίων

5. Αξιολόγηση Επενδύσεων σε καθεστώς Αβεβαιότητας

5.1 Η έννοια της αβεβαιότητας και οι πηγές του κινδύνου

Στη μέχρι τώρα ανάλυση η υπόθεση λειτουργίας ήταν ότι κατά την αξιολόγηση των επενδύσεων οι μελλοντικές ΚΤΡ για ένα επιχειρηματικό σχέδιο προς αξιολόγηση είναι γνωστές. Συνήθως όμως οι μελλοντικές ΚΤΡ κάθε περιόδου δεν είναι γνωστές με βεβαιότητα, δεδομένου ότι δεν είναι γνωστή με βεβαιότητα η έκβαση των συστατικών μερών των ΚΤΡ. Όταν μπορούν να υπάρξουν περισσότερες από μία πιθανές εκβάσεις στην τιμή των ΚΤΡ τότε οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται σε καθεστώς αβεβαιότητας ή καθεστώς κινδύνου. Για μια επιχείρηση μπορεί να γίνει διάκριση στις ακόλουθες πηγές αβεβαιότητας / κινδύνου:

1. Επιχειρηματικός Κίνδυνος (Business Risk), προκαλείται από πιθανές μεταβολές στις ΚΤΡ προ τόκων και φόρων. Εξαρτάται από τις μεταβολές στη ζήτηση, στην τιμή πώλησης του προϊόντος, στις τιμές των συντελεστών παραγωγής, και στη λειτουργική μόχλευση.

2. Ο Κίνδυνος Ρευστότητας (Liquidity Risk), πηγάζει από την αδυναμία να πωληθούν άμεσα επενδυτικά στοιχεία (χωρίς σημαντική έκπτωση στην τιμή τους) αν παραστεί ανάγκη για την εταιρεία.

3. Ο Κίνδυνος Πτώχευσης (Default Risk) προκαλείται από την αδυναμία της εταιρείας να πληρώσει τις δόσεις δανείου(ων) που έχει συνάψει. Π.χ. Ομολογιακό δάνειο.

4. Κίνδυνος Αγοράς (Market Risk) προκαλείται από μεταβολές στην τιμή των μετοχών της εταιρείας, λόγω της συσχέτισης της μετοχής με τις χρηματιστηριακές αγορές.

5. Ο Κίνδυνος των Επιτοκίων (Interest Rate Risk), πηγάζει από τη μεταβολή στην τιμή των επενδυτικών στοιχείων λόγω της μεταβολής των επιτοκίων. Π.χ. Η τιμή μιας ομολογίας μειώνεται όταν αυξάνουν τα επιτόκια.

6. Ο Κίνδυνος Αγοραστικής Αξίας (Purchasing Power Risk) αναφέρεται στη μείωση της αγοραστικής αξίας ποσού χρημάτων όταν μεταβάλλονται οι τιμές (ο πληθωρισμός).

Όταν υπάρχουν περισσότερες από μία πιθανές εκβάσεις στην τιμή των ΚΤΡ – γενικότερα σε μια μεταβλητή που αφορά την επιχείρηση - χρησιμοποιούνται κατανομές πιθανοτήτων για την περιγραφή τους.

Ο ακόλουθος πίνακας παρουσιάζει μια τέτοια κατανομή των ΚΤΡ, δηλαδή τρεις πιθανές εκβάσεις για τις ΚΤΡ, ανάλογα με την πιθανή μελλοντική κατάσταση της οικονομίας και την πιθανότητα να υπάρξει η κάθε μια έκβαση.

39

Κατάσταση Οικονομίας ΚΤΡi Pi Κακή -500 0,2 Μέτρια 200 0,6 Καλή 400 0,2

Για την αξιολόγηση προεξοφλείται η Αναμενόμενη Τιμή (Expected Value) ή η Μαθηματική Ελπίδα (Mathematical Expectation) της ΚΤΡ.

Ο Γενικός Τύπος για τον υπολογισμό της μαθηματικής ελπίδας μεταβλητής Χ, είναι:

Κατάσταση Οικονομίας ΚΤΡi Pi KTPi*Pi Κακή -500 0,2 -100 Μέτρια 200 0,6 120 Καλή 400 0,2 80 Μέσος όρος = Ε(ΚΤΡ) = 100

Η ύπαρξη αβεβαιότητας για την έκβαση της τιμής της ΚΤΡ ενέχει κίνδυνο (Risk). Αυτός μπορεί να ποσοτικοποιηθεί μέσω της διακύμανσης (Variance). Η διακύμανση μεταβλητής Χ, εκφράζει τη διασπορά των τιμών της μεταβλητής περί τη μέση τιμή της. Υπολογίζεται ως:

Μεταβλητές με μεγαλύτερη διακύμανση ενέχουν υψηλότερο κίνδυνο, και αντιστρόφως.

Παράδειγμα υπολογισμού της διακύμανσης των ΚΤΡ Κατάσταση Οικονομίας ΚΤΡi Pi KTPi*Pi KTPi-E(KTP) (KTPi-E(KTP))^2 Pi*(KTPi-E(KTP))^2 Κακή -500 0,2 -100 -600 360000 72000 Μέτρια 200 0,6 120 100 10000 6000 Καλή 400 0,2 80 300 90000 18000 Μέσος όρος = Ε(ΚΤΡ) = 100 Διακύμανση σ^2= 96000

i

n

ii PΈ ∑

=

×ΚΤΡ=ΚΤΡΕ1

)(,τσι

( ) i

n

ii PV

2

1

2 )()( ∑=

ΧΕ−Χ==Χ σ

i

n

ii PV 2

1

2 ])([)( ∑=

ΚΤΡΕ−ΚΤΡ==ΚΤΡ σ

i

n

ii PXXE ∑

=

×=1

)(

40

Επειδή η διακύμανση μετρά τη διασπορά γύρω από το τη μέση τιμή σε όρους των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιμών, δεν εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις αποκλίσεις και ως εκ τούτου δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μέτρο σύγκρισης αυτών. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιείται η θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, η οποία καλείται τυπική απόκλιση, σ (Standard Deviation). Η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται ως το πλέον σημαντικό μέτρο για τη μέτρηση της μέσης απόκλισης από την κεντρική τάση (δηλ. τη μέση τιμή).

Αν η κατανομή πιθανοτήτων των ΚΤΡ είναι κανονική τότε:

α) Το 68,27% των περιπτώσεων βρίσκεται μεταξύ, Ε(ΚΤΡ) ± σ

β) Το 95,45% των περιπτώσεων βρίσκεται μεταξύ, Ε(ΚΤΡ) ± 2σ

γ) Το 99,73% των περιπτώσεων βρίσκεται μεταξύ, Ε(ΚΤΡ) ± 3σ

Σημαντική, επίσης, στατιστική παράμετρος, η οποία χρησιμοποιείται στην αξιολόγηση επενδύσεων υπό καθεστώς αβεβαιότητας είναι ο Συντελεστής Μεταβλητότητας (Coefficient of Variation), ο οποίος μετρά τη διασπορά των τιμών της κατανομής σε σχετικούς όρους και υπολογίζεται από τον τύπο:

ΣΜ = (σ / Ε(Χ)) x 100

Επειδή οι παράμετροι σ και Ε(Χ) μετρούνται στις ίδιες μονάδες ο ΣΜ είναι αδιάστατος αριθμός, γεγονός που επιτρέπει τις συγκρίσεις ακόμη και μεταξύ ετεροειδών κατανομών.

5.2 Ιεράρχηση ΚΤΡ με βάση τον Κίνδυνο

Οι επενδύσεις μπορούν να ιεραρχηθούν με βάση τον κίνδυνο που ενέχουν χρησιμοποιώντας την τυπική απόκλιση (Standard Deviation). Έτσι, π.χ. στον παρακάτω πίνακα, Α και Β έχουν ίδια E(ΚΤΡ). Όμως, η επένδυση Β είναι προτιμότερη γιατί ενέχει χαμηλότερο κίνδυνο, σ. Ο Συντελεστής Μεταβλητότητας ΣΜ (Coefficient of Variation) προτιμείται αφού λαμβάνει υπόψη τον κίνδυνο σε σχέση με τη μέση απόδοση. Π.χ. Η Γ, σύμφωνα με το σ, είναι χειρότερη σε σχέση με την Α ή την Β. Όμως, η Γ έχει διπλάσια ΚΤΡ από τις Α ή Β. Έτσι, σύμφωνα με το ΣΜ προτιμείται η Γ.

Α Β Γ E(KTΡ) 100 100 200 σ 310 253 350 ΣΜ=σ/Ε(ΚΤΡ) 3,1 2,53 1,75

41

5.3 Αναμενόμενη ΚΠΑ & ΕΒΑ

Σε σχέση με τα όσα αναφέρθησαν παραπάνω, είναι προφανές ότι ένας επενδυτής μπορεί να υπολογίσει, με τη βοήθεια των αναμενόμενων ΚΤΡ, την αναμενόμενη ΚΠΑ ή τον αναμενόμενο ΕΒΑ.


Έστω επένδυση € 150, διάρκειας 2 ετών, με απαιτούμενη απόδοση 15%. Το χωρίς κίνδυνο επιτόκιο είναι 10%. Το πριμ για κίνδυνο είναι 5%. Καθώς το επενδυτικό σχέδιο αξιολογείται σε καθεστώς αβεβαιότητας, οι κατανομές πιθανοτήτων για τις ΚΤΡ των δύο ετών παρουσιάζονται στους επόμενους δύο πίνακες.

Κατάσταση Οικονομίας ΚΤΡi Pi KTPi*Pi Κακή -500 0,2 -100 Μέτρια 200 0,6 120 Καλή 400 0,2 80 Μέσος όρος = Ε(ΚΤΡ) 100

Κατάσταση Οικονομίας ΚΤΡi Pi KTPi*Pi Κακή -300 0,2 -60 Μέτρια 300 0,6 180 Καλή 400 0,2 80 Μέσος όρος = Ε(ΚΤΡ) 200

Η αναμενόμενη ΚΠΑ, Ε(ΚΠΑ) του επενδυτικού σχεδίου υπολογίζεται ως:

Καθώς, Ε(ΚΠΑ) = 88,19 > 0, η επένδυση είναι αποδεκτή.

Χρησιμοποιώντας το κριτήριο του ΕΒΑ, ο αναμενόμενος Ε(ΕΒΑ) = 54%. Καθώς (ΕΒΑ) >15% η επένδυση είναι αποδεκτή και με αυτό το κριτήριο.

Προσοχή: στον υπολογισμό της Ε(ΚΠΑ) έχει χρησιμοποιηθεί το προσαρμοσμένο για κίνδυνο επιτόκιο του 15%. Το ίδιο συμβαίνει και με τον ΕΒΑ, συγκρίνεται ο Ε(ΕΒΑ) με το 15%.

Προσαρμοσμένο για Κίνδυνο Επιτόκιο

( ) ( ) ( )19,88150

15,1200

15,1100

1)()( 20

1=−+=−

+ΚΤΡΕ

=ΚΠΑΕ ∑= Kri

ii

ν

42

Η μέθοδος αυτή, βασιζόμενη στην αντίστροφη σχέση απόδοσης κινδύνου, απαιτεί τη χρήση υψηλότερου επιτοκίου προεξόφλησης για επενδυτικά σχέδια με μεγαλύτερο κίνδυνο.

Π.χ. Στο προηγούμενο παράδειγμα, εάν ο κίνδυνος αυξηθεί περαιτέρω, στον τύπο της ΚΠΑ θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί 20% αντί για 15%. Ως αποτέλεσμα η Ε(ΚΠΑ)=72,22 – η οποία είναι μικρότερη από πριν.

5.4 Κανονική Κατανομή και ΚΠΑ - ΚΤΡ διαχρονικά ανεξάρτητες

Έστω ότι οι ΚΤΡ είναι διαχρονικά ανεξάρτητες (π.χ. όταν κάποιο προϊόν παράγεται για αρκετά χρόνια). Τότε

Αναμενόμενη ΚΠΑ:

Διακύμανση ΚΠΑ:

Εάν η κατανομή των ΚΤΡ είναι κανονική μπορεί να υπολογιστεί η πιθανότητα P(ΚΠΑ<0), και επομένως η πιθανότητα να απορριφθεί το επενδυτικό σχέδιο.

Παράδειγμα Έστω τα δεδομένα του ακόλουθου πίνακα

Περίοδος 0 1 2 3 Ε(ΚΤΡi) -1000 500 500 300 σ(ΚΤΡi) 110 100 120 V(KTPi)/[(1+r)^2i] 10568,61 7628,95 9595,33 r = 0,07 E(ΚΠΑ)= 149 σ(ΚΠΑ)= 167 Ζ= 0,8931

( ) ( )22,72150

2,1200

2,1100)( 2 =−+=ΚΠΑΕ

( )0

1 1)(

)( Kr

EE

iii−

+

ΚΤΡ=ΚΠΑ ∑=

ν

( )∑= +

ΚΤΡ=Π≡ΚΠΑ

ν

σ1

22

1)(

)()(i

ii

rV

AKV

( ) ( ) ( )149

07,01300

07,01500

07,015001000)( 32 =

++

++

++−=ΚΠΑE

43

Η πιθανότητα να εμφανιστεί αρνητική ΚΠΑ, ισοδύναμα η πιθανότητα να απορριφθεί το υπό εξέταση επενδυτικό σχέδιο, είναι:

P(KΠΑ < 0) = P(Z < [(0-149)/167] = -0,8931) = 18,67%.

Εναλλακτικά, η πιθανότητα ο ΕΒΑ του σχεδίου να είναι χαμηλότερος του χωρίς κινδύνου επιτοκίου είναι 18,67%.

5.5 Ανάλυση Ευαισθησίας - Sensitivity Analysis

Η ΚΠΑ επηρεάζεται από τις ΚΤΡ και το επιτόκιο προεξόφλησης. Οι ΚΤΡ, όπως αναφέρθηκε, εξαρτώνται από τις πωλήσεις (=ποσότητα x τιμή προϊόντος), τα έξοδα (κόστος πρώτων υλών, εργασίας, ενέργειας, κλπ) και τη φορολογία.

Η ανάλυση ευαισθησίας εξετάζει την ευαισθησία (τη μεταβολή) στην τιμή της ΚΠΑ για μεταβολές σε κάθε ένα από τους παράγοντες που την επηρεάζουν ξεχωριστά – κρατώντας τους άλλους παράγοντες σταθερούς (ceteris paribus). Π.χ. εξετάζεται η επίδραση στην ΚΠΑ των μεταβολών που επισυμβαίνουν στην τιμή της ενέργειας κατά 5%, 10%, 15%, κλπ. Έτσι, μπορεί να προσδιοριστεί η σημαντικότητα του κάθε παράγοντα που επηρεάζει την τιμή της ΚΠΑ.

Ανάλυση Ευαισθησίας: Παράδειγμα

Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζονται οι χρηματοροές ενός τριετούς επενδυτικού σχεδίου, με αρχικό κόστος επένδυσης 100 χρηματικές μονάδες. Το προσαρμοσμένο για κίνδυνο επιτόκιο είναι 20%. Η ΚΠΑ=6 και ο ΕΒΑ=24,2%. Επομένως το επενδυτικό σχέδιο είναι αποδεκτό και με τα δύο κριτήρια.

Στο διάγραμμα εξετάζεται γραφικά η ευαισθησία της ΚΠΑ σε μεταβολές του κινδύνου του επιχειρηματικού σχεδίου, όπως εκφράζεται μέσα από το ύψος του προσαρμοσμένου για κίνδυνο επιτοκίου. Υπάρχει αρνητική σχέση μεταξύ ΚΠΑ και επιτοκίου. Όσο μεγαλύτερη είναι η κλίση της καμπύλης τόσο μεγαλύτερη είναι η ευαισθησία της ΚΠΑ στο επίπεδο των επιτοκίων.

K0 ΚΤΡ1 ΚΤΡ2 ΚΤΡ3 r KΠΑ ΕΒΑ-100 50 60 40 0.20 6 24.2%

( ) ( ) ( ) 167=07,0+1

120+

07,0+1100

+07,0+1

110=)ΚΠΑ(σ

5,0

6

2

4

2

2

2

44

Ο παρακάτω πίνακας και το αντίστοιχο γράφημα εξετάζουν την επίδραση των μεταβολών του αρχικού κόστους στην ΚΠΑ του επενδυτικού σχεδίου, δεδομένου του ότι όλοι οι άλλοι παράγοντες που επηρεάζουν το επενδυτικό σχέδιο παραμένουν σταθεροί.

Μεταβολή Κ0 ΚΠΑ -0,2 -80 26

-0,15 -85 21 -0,1 -90 16

-0,05 -95 11 0 -100 6

0,05 -105 1 0,1 -110 -4

0,15 -115 -9 0,2 -120 -14

Ο ακόλουθος πίνακας παρουσιάζει την επίδραση στην ΚΠΑ και στον ΕΒΑ, μεταβολών της τάξης του ± 5% στις ΚΤΡ του επενδυτικού σχεδίου.

Ανάλυση Ευαισθησίας Επίδραση στην ΚΠΑ των Μεταβολών Επιτοκίου

-10

-5

0

5

10

15

0.17

0.18

0.19 0.2 0.2

10.2

20.2

30.2

40.2

50.2

60.2

70.2

80.2

9 0.3

Επιτόκιο

ΚΠΑ

Ανάλυση Ευαισθησίας - Επίδραση μεταβολών του Αρχικού Κόστους, Κ0, στην ΚΠΑ

-20

-10

010

20

30

-80 -85 -90 -95 -100 -105 -110 -115 -120

Αρχικό Κόστος Επένδυσης, Κ0

ΚΠΑ

45

Μεταβολή Κ0 ΚΤΡ1 ΚΤΡ2 ΚΤΡ3 r ΚΠΑ ΕΒΑ

-0,2 -100 40,0 48 32 0,2 -15 10,0% -0,15 -100 42,5 51 34 0,2 -9 13,7% -0,1 -100 45,0 54 36 0,2 -4 17,2%

-0,05 -100 47,5 57 38 0,2 1 20,8% 0 -100 50,0 60 40 0,2 6 24,2%

0,05 -100 52,5 63 42 0,2 12 27,6% 0,1 -100 55,0 66 44 0,2 17 31,0%

0,15 -100 57,5 69 46 0,2 22 34,3% 0,2 -100 60,0 72 48 0,2 28 37,6%

Ο τελευταίος πίνακας και το αντίστοιχο «αραχνοειδές διάγραμμα» (spider diagram) συγκρίνουν την επίδραση στην ΚΠΑ ισοδύναμων μεταβολών στο Κ0 (ΔΚ0) και στις ΚΤΡ (ΔΚΤΡ).

Μεταβολή ΚΠΑ (ΔΚ0) ΚΠΑ (ΔΚΤΡ)

-0,2 26 -15 -0,15 21 -9 -0,1 16 -4

-0,05 11 1 0 6 6

0,05 1 12 0,1 -4 17

0,15 -9 22 0,2 -14 28

-20-15-10

-505

101520253035

-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3

Μεταβολή

ΚΠΑ

€

ΚΠΑ (ΔΚ0)

ΚΠΑ (ΔΚΤΡ)

Η ΚΠΑ φαίνεται να είναι πιο ευαίσθητη σε αλλαγές στις ΚΤΡ σε σχέση με μεταβολές στο Κ0. Αυτό φαίνεται από τη σύγκριση του εύρους της απόκλισης της ΚΠΑ από την τιμή αναφοράς (ΚΠΑ = 6) για μεταβολές στο Κ0 σε σχέση με το εύρος της ΚΠΑ για ισοδύναμες μεταβολές στις ΚΤΡ. Επίσης, μπορεί να αναπαραστεί στο «αραχνοειδές διάγραμμα» από το διαφορετικό συντελεστή κλίσης των δύο ευθειών (όσο πιο πολύ

46

επιδρά στην ΚΠΑ η μεταβλητή, τόσο μεγαλύτερη κλίση ευθείας εμφανίζει στο διάγραμμα).

5.6 Ανάλυση Σεναρίων

Η ανάλυση ευαισθησίας εξετάζει την επίδραση μεταβολών παραγόντων, ενός κάθε φορά, όπως πωλήσεις, κόστος πρώτων υλών, κλπ, στην επένδυση. Η ανάλυση σεναρίων εξετάζει την επίδραση στην επένδυση συνδυασμού αλλαγών σε παράγοντες που επηρεάζουν το επενδυτικό σχέδιο. Π.χ. πώς αλλάζει η αξία του επενδυτικού σχεδίου εάν αυξηθεί η τιμή του πετρελαίου κατά 20%, εάν η κατάκτηση της αγοράς με το νέο προϊόν μείνει στο 10% αντί του αναμενόμενου 20%, κ.λπ. Στην πορεία αναγνωρίζονται και ιεραρχούνται οι παράγοντες που επιδρούν σημαντικότερα στην διαμόρφωση της αξίας της επένδυσης και κατανοούνται καλύτερα οι αλληλοεπιδράσεις μεταξύ των μεταβλητών και των εναλλακτικών λύσεων.

5.7 Σημείο Μηδενικών Κερδών

Το σημείο όπου η ΚΠΑ της επένδυσης γίνεται θετική (η επένδυση γίνεται συμφέρουσα) ονομάζεται Σημείο Μηδενικών Κερδών ή Νεκρό Σημείο Παραγωγής (break even point) – βλέπε προηγούμενο κεφάλαιο για εκτενή παρουσίαση της ανάλυσης του νεκρού σημείου παραγωγής.

Η ανάλυση ευαισθησίας αναδεικνύει αυτά τα σημεία για διαφορετικές συνθήκες, π.χ. εάν το λειτουργικό κόστος της επένδυσης μειωθεί ή αυξηθεί κατά 10%, 20%, κ.λπ., εάν τα επιτόκια δανεισμού μειωθούν ή αυξηθούν κατά 10%, 20%, κ.λπ., αν η τιμή πώλησης μειωθεί ή αυξηθεί κατά 10%, 20%, κ.λπ..

5.8 Προσομοίωση τύπου Monte Carlo

Κατά την ανάλυση ευαισθησίας εξετάζεται η επίδραση της κάθε μίας μεταβλητής ξεχωριστά στην μεταβολή της αξίας της επένδυσης ή ένας μικρός συνδυασμός μεταβολών σε λίγες μεταβλητές. Η μέθοδος της Monte Carlo Προσομοίωσης επιτρέπει την ταυτόχρονη μεταβολή διαφόρων παραγόντων και την εξέταση όλων των πιθανών συνδυασμών των μεταβολών. Δηλαδή επιτρέπει την εξέταση της κατανομής των πιθανοτήτων όλων των εκβάσεων στις τιμές των μεταβλητών. Στην πορεία είναι σημαντικό να προσδιοριστεί το σωστό υπόδειγμα εξέλιξης κάθε μεταβλητής και η αλληλεπίδραση μεταξύ των μεταβλητών που καθορίζουν την αξία της επένδυσης. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούνται Η/Υ και εξειδικευμένα λογισμικά με τη βοήθεια των οποίων καθίσταται εφικτή η δημιουργία της κατανομής πιθανοτήτων, βασιζόμενη στα υποδείγματα που ορίσθηκαν.


47

Έστω ένα επενδυτικό σχέδιο με τον ακόλουθο πίνακα ταμειακών ροών. Η ΚΠΑ και ο ΕΒΑ του επενδυτικού σχεδίου υπολογίζονται σύμφωνα με την εφαρμογή των γνωστών τύπων, για επιτόκιο προεξόφλησης 8%.

Έτος 0 1 2 3 4 5 Επενδύσεις 50000 0 0 0 0 0 Έσοδα (Euro) 45000 45000 45000 45000 45000 Κόστος παραγωγής (Euro) 17100 17100 17100 17100 17100 ΚΤΡπφ (Euro) 27900 27900 27900 27900 27900 Αποσβέσεις (Euro) 10000 10000 10000 10000 10000 Φορολογητέο εισόδημα (Euro) 17900 17900 17900 17900 17900 Φόροι (Euro) (50%) 8950 8950 8950 8950 8950 ΚΤΡμφ -50000 18950 18950 18950 18950 18950 ΚΠΑ επενδυτικού σχεδίου (Euro) 25.662 ΕΒΑ (%) 25,94%

Έστω ότι με βάση ιστορικά δεδομένα έχει διαπιστωθεί ότι η τιμή πώλησης μεταβάλλεται, λαμβάνοντας τιμές από μία λογαριθμοκανονική κατανομή με μέση τιμή 150 και τυπική απόκλιση 20 και οι άλλες δαπάνες παραγωγής λαμβάνουν τιμές από μια κανονική κατανομή με μέση τιμή 12 και τυπική απόκλιση 1,2.

Ποια είναι η πιθανότητα να ληφθεί τιμή για την ΚΠΑ μεγαλύτερη από 30.000 Euro? Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί ΕΒΑ μικρότερη από 22%?

Για την πιθανολογική ανάλυση της απόδοσης της επένδυσης ειδικό λογισμικό, εφαρμόζοντας τη μέθοδο προσομοίωσης Monte Carlo με 1000 επαναλήψεις.

Τα αποτελέσματα της ανάλυσης παρουσιάζονται στους ακόλουθους πίνακες και διαγράμματα.

Στατιστικά μεγέθη της εκτίμησης της ΚΠΑ

Στατιστικό μέγεθος ΚΠΑ Μέση τιμή 25.720Διάμεσος 25.688Τυπική απόκλιση 5.882 Ελάχιστη ΚΠΑ 9.628Μέγιστη ΚΠΑ 44.237Τυπικό σφάλμα της μέσης τιμής 186

48

Στατιστικά μεγέθη της εκτίμησης του ΕΒΑ Στατιστικό μέγεθος ΕΒΑ Μέση τιμή 25,93%Διάμεσος 25,95%Τυπική απόκλιση 3,84%Ελάχιστη ΕΑΚ 15,05%Μέγιστη ΕΑΚ 37,65%Τυπικό σφάλμα της μέσης τιμής 0,12%

Πιθανότητα εμφάνισης ίσης ή μεγαλύτερης τιμής ΚΠΑ από την εμφανιζόμενη στον πίνακα

Ποσοστό ΚΠΑ 100% 9.62890% 18.12580% 20.61270% 22.40960% 24.18450% 25.68840% 27.18730% 28.78720% 30.63910% 33.2430% 44.237

Πιθανότητα εμφάνισης ίσης ή μεγαλύτερης τιμής ΕΒΑ από την εμφανιζόμενη στον πίνακα

Ποσοστό ΕΑΚ 100% 15,05%90% 20,93%80% 22,60%70% 23,80%60% 24,97%50% 25,95%40% 26,93%30% 27,96%20% 29,15%10% 30,81%0% 37,65%

Με τη βοήθεια της πιθανολογικής ανάλυσης προκύπτει ότι η πιθανότητα να υπερβεί η ΚΠΑ την τιμή των 30.000 Euro είναι περίπου 23%. Επίσης, η τιμή να ληφθεί ΕΒΑ μικρότερος από 22% είναι 16,5% (προκύπτει από τον τελευταίο πίνακα δεδομένου ότι η πιθανότητα ΕΑΚ>22% είναι 83,5%).

49

5.9 Δένδρα Αποφάσεων

Κατά τη λήψη επενδυτικών αποφάσεων θα πρέπει να αναλύονται όλα τα πιθανά αποτελέσματα, συμπεριλαμβανομένων των επακόλουθων σχετικών επενδυτικών αποφάσεων. Αυτό μπορεί να είναι σημαντικό ειδικά σε περιπτώσεις όπου εξετάζεται το επενδυτικό σχέδιο για ένα νέο προϊόν. Δηλαδή εάν οι σημερινές αποφάσεις επηρεάζουν τις μετέπειτα αποφάσεις, τότε και οι μετέπειτα αποφάσεις θα πρέπει να ληφθούν υπόψη για σωστή ανάλυση στην τρέχουσα περίοδο. Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση των δένδρων αποφάσεων.

Τα δένδρα αποφάσεων έχουν βέβαια και τα μειονεκτήματά τους καθώς για ανάλυση πολλών περιόδων και πολλών πιθανών αποτελεσμάτων η μέθοδος γίνεται αποτρεπτικά πολύπλοκη για χρήση σε πραγματικά προβλήματα. Όμως αναγκάζουν τον αναλυτή να εξετάσει τις μελλοντικές επενδυτικές αποφάσεις, τις πιθανές αρνητικές εξελίξεις και τις αλληλεπιδράσεις των αποφάσεων μεταξύ των περιόδων.


Εταιρεία έχει τη δυνατότητα επένδυσης σε μηχάνημα, διάρκειας ζωής 2 ετών, με αρχικό κόστος, Κ0=€ 100.000. Από την επένδυση αναμένει τις ακόλουθες, μετά από φόρους, ΚΤΡ:

Τον πρώτο χρόνο αναμένεται ότι οι μετά από φόρους ΚΤΡ θα είναι €50.000 με 40% πιθανότητα, €60.000 με 30% πιθανότητα και €80.000 με 30% πιθανότητα.

Το δεύτερο έτος λειτουργίας οι ΚΤΡ εξαρτώνται από την έκβαση των ΚΤΡ του πρώτου έτους. Αυτές οι «υπό συνθήκη» πιθανότητες και ΚΤΡ δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Η απαιτούμενη απόδοση είναι 25%. Να αξιολογηθεί η επένδυση.

Απάντηση:

Το δένδρο αποφάσεων κατασκευάζεται στον παρακάτω πίνακα.

Περίοδος 2: Υπό Συνθήκη Πιθανότητες και ΚΤΡΕάν ΚΤΡ1=50.000 Εάν ΚΤΡ1=60.000 Εάν ΚΤΡ1=80.000P2 /P1 ΚΤΡ2 P2 /P1 ΚΤΡ2 P2 /P1 ΚΤΡ2

0.2 40000 0.2 60000 0.1 900000.5 60000 0.6 80000 0.8 1000000.3 80000 0.2 100000 0.1 110000

50

Στη συνέχεια:

Υπολογίζονται αρχικά οι ΚΠΑ για κάθε κλάδο του δένδρου, j=1,...,9, με το συνήθη τύπο. Δηλαδή:

( )

( ) ( )

01

1 2

.1

50.000 40.000, 100.000 34.400,1, 25 1, 25

ii

ij K

r

Έ

ν

τσι κλπ

=

ΚΤΡΚΠΑ = −

+

ΚΠΑ = + − = −

∑

Οι ΚΠΑ αυτές εμφανίζονται στην προτελευταία στήλη του πίνακα.

Κατόπιν υπολογίζονται οι από κοινού πιθανότητες στην τρίτη από τα δεξιά στήλη του πίνακα. Στη συνέχεια οι πιθανότητες αυτές πολλαπλασιάζουν την κάθε ΚΠΑ, για τον υπολογισμό της αναμενόμενης ΚΠΑ, Ε(ΚΠΑ)=-736, μέσω του τύπου:

Οι υπολογισμοί εμφανίζονται στην τελευταία στήλη του πίνακα.

Σύμφωνα με την Ε(ΚΠΑ) η επένδυση απορρίπτεται. Αντιθέτως εάν ληφθεί υπόψη το απλό άθροισμα των ΚΠΑ = 4.000, τότε η αξιολόγηση οδηγείται σε λάθος απόφαση – την αποδοχή του επενδυτικού σχεδίου.

Περίοδος 0 Περίοδος 1 Περίοδος 2 P1*(P2/P1) rP2 /P1 = P1&P2 0.25

P1 ΚΤΡ1 Υπό ΚΤΡ2 Από Κοινού ΚΠΑ E(ΚΠΑ)Συνθήκη Πιθανότητα Πιθανότητα =(P1&P2)*ΚΠΑ

0.2 40000 0.080 -34400 -27520.4 50000 0.5 60000 0.200 -21600 -4320

0.3 80000 0.120 -8800 -1056

0.2 60000 0.060 -13600 -816-100000 0.3 60000 0.6 80000 0.180 -800 -144

0.2 100000 0.060 -800 -48

0.1 90000 0.030 21600 6480.3 80000 0.8 100000 0.240 28000 6720

0.1 110000 0.030 34400 1032Σύνολα 1 1 4000 -736

73634400*03,0...)21600(*2,0)34400(*08,0

*)2&1()(1

−=++−+−=

ΚΠΑ=ΚΠΑΕ ∑=μ

jjjPP

51

6. Περίληψη

Στο παρόν κεφαλαίο παρουσιάστηκαν τα οικονομικά εργαλεία που έχει στη διάθεσή της η διοίκηση της επιχείρησης, μέσα από τα οποία μπορούν να ληφθούν αποφάσεις για την αξιολόγηση των επενδυτικών σχεδίων. Τα επενδυτικά σχέδια αποφέρουν μια σειρά από ταμειακές ροές οι οποίες προκύπτουν από σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Όμως, η αξία της ίδια ταμειακής ροής σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα είναι διαφορετική. Για το σκοπό αυτό παρουσιάστηκε αρχικά η έννοια της διαχρονικής αξίας του χρήματος και πως μπορούν ταμειακές ροές, οι οποίες λαμβάνονται σε διαφορετικά χρονικά διαστήματα, να μετατραπούν σε ροές ανηγμένες στην ίδια χρονική στιγμή. Με βάση τις έννοιες αυτές παρουσιάζονται τα εργαλεία οικονομικής αξιολόγησης των επενδυτικών σχεδίων, όπως η Καθαρή Παρούσα Αξία (ΚΠΑ), ο Εσωτερικός Βαθμός Απόδοσης (ΕΒΑ) και η περίοδος αποπληρωμής του αρχικού κεφαλαίου. Επίσης, παρουσιάζονται μέθοδοι αξιολόγησης των επενδύσεων σε καθεστώς αβεβαιότητας, όπως οι μέθοδοι της ανάλυσης ευαισθησίας, η ανάλυση σεναρίων, η προσομοίωση τύπου Monte Carlo, η ανάλυση νεκρού σημείου και η ανάλυση με δένδρα αποφάσεων.

7. Βιβλιογραφία

• Brealey, R. and Myers, S., (2003): ‘Principles of Corporate Finance, Irwin/McGraw-Hill

• Brigham Ε. and L. Capenski 1999 “Financial Management”, Edition Dryden Press.

• Brigham E. and Weston F. 1990 «Βασικές Αρχές Χρηματοοικονομικής Διαχείρισης και Πολιτικής», Εκδόσεις Παπαζήση

• Copeland, T.E. and Weston, J.F., “Financial Theory and Corporate Policy”, Addison Wesley, Third Edition, 1988.

• Fabozzi, F. and Modigliani, F., (1996): ‘Capital Markets, Institutions and Increments’, Prentice-Hall

• Lerner, J., (2000): ‘Venture Capital and Private Equity’, Wiley Publications.

• Ross, S., (1999): ‘Essentials of Corporate Finance’, Irwin/McGraw-Hill

• Ross, S., Westerfield, R. and Jaffe, J., (2002): ‘Corporate Finance’, Irwin/McGraw-Hill.

• Lumby S. and Chris Jones (1999): “Investment Appraisal and Financial Decisions”, Edition Thomson Learning.

52

• Weston, F. J. and Copeland, T.E., ‘Managerial Finance’, The Dryden Press, Orlando, Florida, USA.

• Αποστολόπουλος, Ι.Ν., ‘Ειδικά Θέματα Χρηματοοικονομικής Διοικήσεως’, Εκδόσεις Σταμούλη, Αθήνα.

• Καβουσανός, Ε. Γ., (2004), ‘Εφαρμογές Μαθηματικού Λογισμού σε Επιχειρησιακά και Οικονομικά Προβλήματα. Παρουσίαση με τη χρήση του Excel’, Εκδόσεις Γ. Μπένου, Αθήνα.

• Καραθανάσης, Γ., (1999): ‘Χρηματοοικονομική Διοίκηση και Χρηματιστηριακές Αγορές’, Εκδόσεις Μπένου, Αθήνα.

• Καραθανάσης, Γ., (1990): ‘Χρηματοοικονομικά Θέματα’, Εκδόσεις Μπένου, Αθήνα.

• Τσακίρης, Π., Τσώλας, Ι. και Καλιαμπάκος, Δ. (1999). Εκτίμηση του επιτοκίου προεξόφλησης στη βάση ανάλυσης δεδομένων της ελληνικής κεφαλαιαγοράς. Η περίπτωση των μεταλλουργικών επιχειρήσεων. Τεχνικά Χρονικά, ΤΕΕ, τ. 1-2, σελ. 19-29.

• Τσώλας, Γ. (2002). Εκπόνηση οικονομοτεχνικών μελετών. Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα.

53

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ

54

Πίνακας 1. Συντελεστής Προεξόφλησης. Παρούσα αξία 1 Euro, το οποίο λαμβάνεται κατά το ν-οστό έτος με επιτόκιο προεξόφλησης ε

Επιτόκιο προεξόφλησης, ε

Έτος 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%

1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 0,9009 0,8929 0,8850 0,8772 0,8696 0,8621 0,8547 0,8475 0,8403 0,8333

2 0,9803 0,9612 0,9426 0,9246 0,9070 0,8900 0,8734 0,8573 0,8417 0,8264 0,8116 0,7972 0,7831 0,7695 0,7561 0,7432 0,7305 0,7182 0,7062 0,6944

3 0,9706 0,9423 0,9151 0,8890 0,8638 0,8396 0,8163 0,7938 0,7722 0,7513 0,7312 0,7118 0,6931 0,6750 0,6575 0,6407 0,6244 0,6086 0,5934 0,5787

4 0,9610 0,9238 0,8885 0,8548 0,8227 0,7921 0,7629 0,7350 0,7084 0,6830 0,6587 0,6355 0,6133 0,5921 0,5718 0,5523 0,5337 0,5158 0,4987 0,4823

5 0,9515 0,9057 0,8626 0,8219 0,7835 0,7473 0,7130 0,6806 0,6499 0,6209 0,5935 0,5674 0,5428 0,5194 0,4972 0,4761 0,4561 0,4371 0,4190 0,4019

6 0,9420 0,8880 0,8375 0,7903 0,7462 0,7050 0,6663 0,6302 0,5963 0,5645 0,5346 0,5066 0,4803 0,4556 0,4323 0,4104 0,3898 0,3704 0,3521 0,3349

7 0,9327 0,8706 0,8131 0,7599 0,7107 0,6651 0,6227 0,5835 0,5470 0,5132 0,4817 0,4523 0,4251 0,3996 0,3759 0,3538 0,3332 0,3139 0,2959 0,2791

8 0,9235 0,8535 0,7894 0,7307 0,6768 0,6274 0,5820 0,5403 0,5019 0,4665 0,4339 0,4039 0,3762 0,3506 0,3269 0,3050 0,2848 0,2660 0,2487 0,2326

9 0,9143 0,8368 0,7664 0,7026 0,6446 0,5919 0,5439 0,5002 0,4604 0,4241 0,3909 0,3606 0,3329 0,3075 0,2843 0,2630 0,2434 0,2255 0,2090 0,1938

10 0,9053 0,8203 0,7441 0,6756 0,6139 0,5584 0,5083 0,4632 0,4224 0,3855 0,3522 0,3220 0,2946 0,2697 0,2472 0,2267 0,2080 0,1911 0,1756 0,1615

11 0,8963 0,8043 0,7224 0,6496 0,5847 0,5268 0,4751 0,4289 0,3875 0,3505 0,3173 0,2875 0,2607 0,2366 0,2149 0,1954 0,1778 0,1619 0,1476 0,1346

12 0,8874 0,7885 0,7014 0,6246 0,5568 0,4970 0,4440 0,3971 0,3555 0,3186 0,2858 0,2567 0,2307 0,2076 0,1869 0,1685 0,1520 0,1372 0,1240 0,1122

13 0,8787 0,7730 0,6810 0,6006 0,5303 0,4688 0,4150 0,3677 0,3262 0,2897 0,2575 0,2292 0,2042 0,1821 0,1625 0,1452 0,1299 0,1163 0,1042 0,0935

14 0,8700 0,7579 0,6611 0,5775 0,5051 0,4423 0,3878 0,3405 0,2992 0,2633 0,2320 0,2046 0,1807 0,1597 0,1413 0,1252 0,1110 0,0985 0,0876 0,0779

15 0,8613 0,7430 0,6419 0,5553 0,4810 0,4173 0,3624 0,3152 0,2745 0,2394 0,2090 0,1827 0,1599 0,1401 0,1229 0,1079 0,0949 0,0835 0,0736 0,0649

16 0,8528 0,7284 0,6232 0,5339 0,4581 0,3936 0,3387 0,2919 0,2519 0,2176 0,1883 0,1631 0,1415 0,1229 0,1069 0,0930 0,0811 0,0708 0,0618 0,0541

17 0,8444 0,7142 0,6050 0,5134 0,4363 0,3714 0,3166 0,2703 0,2311 0,1978 0,1696 0,1456 0,1252 0,1078 0,0929 0,0802 0,0693 0,0600 0,0520 0,0451

18 0,8360 0,7002 0,5874 0,4936 0,4155 0,3503 0,2959 0,2502 0,2120 0,1799 0,1528 0,1300 0,1108 0,0946 0,0808 0,0691 0,0592 0,0508 0,0437 0,0376

19 0,8277 0,6864 0,5703 0,4746 0,3957 0,3305 0,2765 0,2317 0,1945 0,1635 0,1377 0,1161 0,0981 0,0829 0,0703 0,0596 0,0506 0,0431 0,0367 0,0313

20 0,8195 0,6730 0,5537 0,4564 0,3769 0,3118 0,2584 0,2145 0,1784 0,1486 0,1240 0,1037 0,0868 0,0728 0,0611 0,0514 0,0433 0,0365 0,0308 0,0261

55

Πίνακας 2. Συντελεστής Ανατοκισμού. Μελλοντική αξία 1 Euro, το οποίο επενδύεται σήμερα, το ν-οστό έτος με επιτόκιο προεξόφλησης ε,


Έτος 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%

1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1100 1,1200 1,1300 1,1400 1,1500 1,1600 1,1700 1,1800 1,1900 1,2000 2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2321 1,2544 1,2769 1,2996 1,3225 1,3456 1,3689 1,3924 1,4161 1,4400 3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,3676 1,4049 1,4429 1,4815 1,5209 1,5609 1,6016 1,6430 1,6852 1,7280 4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5181 1,5735 1,6305 1,6890 1,7490 1,8106 1,8739 1,9388 2,0053 2,0736 5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,6851 1,7623 1,8424 1,9254 2,0114 2,1003 2,1924 2,2878 2,3864 2,4883 6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,8704 1,9738 2,0820 2,1950 2,3131 2,4364 2,5652 2,6996 2,8398 2,9860 7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,0762 2,2107 2,3526 2,5023 2,6600 2,8262 3,0012 3,1855 3,3793 3,5832 8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,3045 2,4760 2,6584 2,8526 3,0590 3,2784 3,5115 3,7589 4,0214 4,2998 9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,5580 2,7731 3,0040 3,2519 3,5179 3,8030 4,1084 4,4355 4,7854 5,1598

10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 2,8394 3,1058 3,3946 3,7072 4,0456 4,4114 4,8068 5,2338 5,6947 6,1917 11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,1518 3,4785 3,8359 4,2262 4,6524 5,1173 5,6240 6,1759 6,7767 7,4301 12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,4985 3,8960 4,3345 4,8179 5,3503 5,9360 6,5801 7,2876 8,0642 8,9161 13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 3,8833 4,3635 4,8980 5,4924 6,1528 6,8858 7,6987 8,5994 9,5964 10,6993 14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,3104 4,8871 5,5348 6,2613 7,0757 7,9875 9,0075 10,1472 11,4198 12,8392 15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 4,7846 5,4736 6,2543 7,1379 8,1371 9,2655 10,5387 11,9737 13,5895 15,4070 16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950 5,3109 6,1304 7,0673 8,1372 9,3576 10,7480 12,3303 14,1290 16,1715 18,4884 17 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545 5,8951 6,8660 7,9861 9,2765 10,7613 12,4677 14,4265 16,6722 19,2441 22,1861 18 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,5599 6,5436 7,6900 9,0243 10,5752 12,3755 14,4625 16,8790 19,6733 22,9005 26,6233 19 1,2081 1,4568 1,7535 2,1068 2,5270 3,0256 3,6165 4,3157 5,1417 6,1159 7,2633 8,6128 10,1974 12,0557 14,2318 16,7765 19,7484 23,2144 27,2516 31,9480 20 1,2202 1,4859 1,8061 2,1911 2,6533 3,2071 3,8697 4,6610 5,6044 6,7275 8,0623 9,6463 11,5231 13,7435 16,3665 19,4608 23,1056 27,3930 32,4294 38,3376

56

Πίνακας 3. Συντελεστής παρούσας αξίας (ΣΠΑ).


Έτος 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%

1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 0,9009 0,8929 0,8850 0,8772 0,8696 0,8621 0,8547 0,8475 0,8403 0,8333

2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 1,7125 1,6901 1,6681 1,6467 1,6257 1,6052 1,5852 1,5656 1,5465 1,5278

3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 2,4437 2,4018 2,3612 2,3216 2,2832 2,2459 2,2096 2,1743 2,1399 2,1065

4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 3,1024 3,0373 2,9745 2,9137 2,8550 2,7982 2,7432 2,6901 2,6386 2,5887

5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 3,6959 3,6048 3,5172 3,4331 3,3522 3,2743 3,1993 3,1272 3,0576 2,9906

6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 4,2305 4,1114 3,9975 3,8887 3,7845 3,6847 3,5892 3,4976 3,4098 3,3255

7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 4,7122 4,5638 4,4226 4,2883 4,1604 4,0386 3,9224 3,8115 3,7057 3,6046

8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349 5,1461 4,9676 4,7988 4,6389 4,4873 4,3436 4,2072 4,0776 3,9544 3,8372

9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590 5,5370 5,3282 5,1317 4,9464 4,7716 4,6065 4,4506 4,3030 4,1633 4,0310

10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 5,8892 5,6502 5,4262 5,2161 5,0188 4,8332 4,6586 4,4941 4,3389 4,1925

11 10,3676 9,7868 9,2526 8,7605 8,3064 7,8869 7,4987 7,1390 6,8052 6,4951 6,2065 5,9377 5,6869 5,4527 5,2337 5,0286 4,8364 4,6560 4,4865 4,3271

12 11,2551 10,5753 9,9540 9,3851 8,8633 8,3838 7,9427 7,5361 7,1607 6,8137 6,4924 6,1944 5,9176 5,6603 5,4206 5,1971 4,9884 4,7932 4,6105 4,4392

13 12,1337 11,3484 10,6350 9,9856 9,3936 8,8527 8,3577 7,9038 7,4869 7,1034 6,7499 6,4235 6,1218 5,8424 5,5831 5,3423 5,1183 4,9095 4,7147 4,5327

14 13,0037 12,1062 11,2961 10,5631 9,8986 9,2950 8,7455 8,2442 7,7862 7,3667 6,9819 6,6282 6,3025 6,0021 5,7245 5,4675 5,2293 5,0081 4,8023 4,6106

15 13,8651 12,8493 11,9379 11,1184 10,3797 9,7122 9,1079 8,5595 8,0607 7,6061 7,1909 6,8109 6,4624 6,1422 5,8474 5,5755 5,3242 5,0916 4,8759 4,6755

16 14,7179 13,5777 12,5611 11,6523 10,8378 10,1059 9,4466 8,8514 8,3126 7,8237 7,3792 6,9740 6,6039 6,2651 5,9542 5,6685 5,4053 5,1624 4,9377 4,7296

17 15,5623 14,2919 13,1661 12,1657 11,2741 10,4773 9,7632 9,1216 8,5436 8,0216 7,5488 7,1196 6,7291 6,3729 6,0472 5,7487 5,4746 5,2223 4,9897 4,7746

18 16,3983 14,9920 13,7535 12,6593 11,6896 10,8276 10,0591 9,3719 8,7556 8,2014 7,7016 7,2497 6,8399 6,4674 6,1280 5,8178 5,5339 5,2732 5,0333 4,8122

19 17,2260 15,6785 14,3238 13,1339 12,0853 11,1581 10,3356 9,6036 8,9501 8,3649 7,8393 7,3658 6,9380 6,5504 6,1982 5,8775 5,5845 5,3162 5,0700 4,8435

20 18,0456 16,3514 14,8775 13,5903 12,4622 11,4699 10,5940 9,8181 9,1285 8,5136 7,9633 7,4694 7,0248 6,6231 6,2593 5,9288 5,6278 5,3527 5,1009 4,8696

57

Πίνακας 4. Συντελεστής μελλοντικής αξίας (ΣΜΑ). Επιτόκιο προεξόφλησης, ε

Έτος 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%

1 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

2 2,0100 2,0200 2,0300 2,0400 2,0500 2,0600 2,0700 2,0800 2,0900 2,1000 2,1100 2,1200 2,1300 2,1400 2,1500 2,1600 2,1700 2,1800 2,1900 2,2000

3 3,0301 3,0604 3,0909 3,1216 3,1525 3,1836 3,2149 3,2464 3,2781 3,3100 3,3421 3,3744 3,4069 3,4396 3,4725 3,5056 3,5389 3,5724 3,6061 3,6400

4 4,0604 4,1216 4,1836 4,2465 4,3101 4,3746 4,4399 4,5061 4,5731 4,6410 4,7097 4,7793 4,8498 4,9211 4,9934 5,0665 5,1405 5,2154 5,2913 5,3680

5 5,1010 5,2040 5,3091 5,4163 5,5256 5,6371 5,7507 5,8666 5,9847 6,1051 6,2278 6,3528 6,4803 6,6101 6,7424 6,8771 7,0144 7,1542 7,2966 7,4416

6 6,1520 6,3081 6,4684 6,6330 6,8019 6,9753 7,1533 7,3359 7,5233 7,7156 7,9129 8,1152 8,3227 8,5355 8,7537 8,9775 9,2068 9,4420 9,6830 9,9299

7 7,2135 7,4343 7,6625 7,8983 8,1420 8,3938 8,6540 8,9228 9,2004 9,4872 9,7833 10,0890 10,4047 10,7305 11,0668 11,4139 11,7720 12,1415 12,5227 12,9159

8 8,2857 8,5830 8,8923 9,2142 9,5491 9,8975 10,2598 10,6366 11,0285 11,4359 11,8594 12,2997 12,7573 13,2328 13,7268 14,2401 14,7733 15,3270 15,9020 16,4991

9 9,3685 9,7546 10,1591 10,5828 11,0266 11,4913 11,9780 12,4876 13,0210 13,5795 14,1640 14,7757 15,4157 16,0853 16,7858 17,5185 18,2847 19,0859 19,9234 20,7989

10 10,4622 10,9497 11,4639 12,0061 12,5779 13,1808 13,8164 14,4866 15,1929 15,9374 16,7220 17,5487 18,4197 19,3373 20,3037 21,3215 22,3931 23,5213 24,7089 25,9587

11 11,5668 12,1687 12,8078 13,4864 14,2068 14,9716 15,7836 16,6455 17,5603 18,5312 19,5614 20,6546 21,8143 23,0445 24,3493 25,7329 27,1999 28,7551 30,4035 32,1504

12 12,6825 13,4121 14,1920 15,0258 15,9171 16,8699 17,8885 18,9771 20,1407 21,3843 22,7132 24,1331 25,6502 27,2707 29,0017 30,8502 32,8239 34,9311 37,1802 39,5805

13 13,8093 14,6803 15,6178 16,6268 17,7130 18,8821 20,1406 21,4953 22,9534 24,5227 26,2116 28,0291 29,9847 32,0887 34,3519 36,7862 39,4040 42,2187 45,2445 48,4966

14 14,9474 15,9739 17,0863 18,2919 19,5986 21,0151 22,5505 24,2149 26,0192 27,9750 30,0949 32,3926 34,8827 37,5811 40,5047 43,6720 47,1027 50,8180 54,8409 59,1959

15 16,0969 17,2934 18,5989 20,0236 21,5786 23,2760 25,1290 27,1521 29,3609 31,7725 34,4054 37,2797 40,4175 43,8424 47,5804 51,6595 56,1101 60,9653 66,2607 72,0351

16 17,2579 18,6393 20,1569 21,8245 23,6575 25,6725 27,8881 30,3243 33,0034 35,9497 39,1899 42,7533 46,6717 50,9804 55,7175 60,9250 66,6488 72,9390 79,8502 87,4421

17 18,4304 20,0121 21,7616 23,6975 25,8404 28,2129 30,8402 33,7502 36,9737 40,5447 44,5008 48,8837 53,7391 59,1176 65,0751 71,6730 78,9792 87,0680 96,0218 105,9306

18 19,6147 21,4123 23,4144 25,6454 28,1324 30,9057 33,9990 37,4502 41,3013 45,5992 50,3959 55,7497 61,7251 68,3941 75,8364 84,1407 93,4056 103,7403 115,2659 128,1167

19 20,8109 22,8406 25,1169 27,6712 30,5390 33,7600 37,3790 41,4463 46,0185 51,1591 56,9395 63,4397 70,7494 78,9692 88,2118 98,6032 110,2846 123,4135 138,1664 154,7400

20 22,0190 24,2974 26,8704 29,7781 33,0660 36,7856 40,9955 45,7620 51,1601 57,2750 64,2028 72,0524 80,9468 91,0249 102,4436 115,3797 130,0329 146,6280 165,4180 186,6880

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ...

Documents

Transcript of ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ...