1

1.1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ

Η σημαντικότερη ηλεκτρική ιδιότητα των σωμάτων, από την πλευρά των τεχνικών εφαρμογών είναι η ηλεκτρική τους αγωγιμότητα. Η ηλεκτρική αγωγιμότητα G ( Ω-1 ) εκφράζει την ευκολία με την οποία μεταφέρεται το ηλεκτρικό ρεύμα διαμέσου του σώματος. Μέτρο της είναι η ειδική ηλεκτρική αγωγιμότητα s ( Ω-1cm-1 ) :

1sr

= [ 1.1 ]

όπου r ( Ω·cm ) η ειδική ηλεκτρική αντίσταση του σώματος, η οποία

υπολογίζεται ως ακολούθως :

RAr =

[ 1.2 ]

όπου R η αντίσταση του σώματος από το νόμο του Ωhm, A η διατομή

του και το μήκος του. Πολλές φορές η αγωγιμότητα ορίζεται και ως η σταθερά αναλογίας που

συνδέει την πυκνότητα J του ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει το σώμα με την ένταση E του εφαρμοζόμενου ηλεκτρικού πεδίου :

JE

s = [ 1.3 ]

1.2 ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Ανάλογα με την τιμή ( σε θερμοκρασία δωματίου ) της ηλεκτρικής τους

αγωγιμότητας, τα σώματα κατατάσσονται γενικά ( αν και τα όρια δεν είναι εντελώς διακριτά ) σε τρεις κατηγορίες :

Αγωγοί ή Μέταλλα Τα υλικά αυτά σώματα έχουν τιμές αγωγιμότητας της τάξης των 107 με

105 Ω-1m-1 με περισσότερο αγώγιμα τον καθαρό άργυρο και τον καθαρό χαλκό ( 6.2 ×107 Ω-1m-1 και 5.2 ×107 Ω-1m-1 αντίστοιχα ). Τα σημαντικότερα αγώγιμα υλικά είναι τα μέταλλα και τα κράματα. Η αγωγιμότητα των μετάλλων μειώνεται με τη θερμοκρασία

2

Μονωτές

Χαρακτηρίζονται από αγωγιμότητα κάτω από 10-6 με σημαντικότερους εκπρόσωπους τα κεραμικά και τα πολυμερή.

Ημιαγωγοί

Έχουν αγωγιμότητα ενδιάμεση αυτής των μετάλλων και των μονωτών. Είναι της τάξης δηλαδή των 10-7 με 105. Η αγωγιμότητα τους αυξάνεται με τη θερμοκρασία.

Επιπλέον, υπάρχουν και ειδικές κατηγορίες υλικών όπως οι υπεραγωγοί, οι κρυαγωγοί…..

Για να εκδηλώνει ένα σώμα ηλεκτρική αγωγιμότητα πρέπει να διαθέτει

ηλεκτρικά φορτία που να μετακινούνται υπό την επίδραση ενός εξωτερικού ηλεκτρικού φορτίου. Η δυνατότητα αυτή εξαρτάται απ’ τη δομή του. Το πώς ακριβώς θα αναπτυχθεί σε επόμενο κεφάλαιο.

1.3 ΗΜΙΑΓΩΓΙΜΑ ΥΛΙΚΑ ΣΩΜΑΤΑ

Συνήθως οι ημιαγωγοί διακρίνονται σε δυο κατηγορίες, τους στοιχειακούς ( elemental semiconductors ) και τους σύνθετους ημιαγωγούς ( compound semiconductors ). Οι στοιχειακοί ημιαγωγοί απαντούν στην IV ομάδα του περιοδικού συστήματος ενώ οι σύνθετοι προκύπτουν με επιλεγμένους συνδυασμούς στοιχείων της III και V ομάδας. Στους ακόλουθους πίνακες δίνονται : τμήμα του περιοδικού πίνακα και οι κυριότεροι σήμερα ημιαγωγοί.

III IV V B C Al Si P Ga Ge As In Sb

Πίνακας 1

( Τμήμα του περιοδικού συστήματος )

Elemental Semiconductors Si Πυρίτιο Ge Γερμάνιο

3

Compound Semiconductors AlP Φωσφίδιο του Αργιλίου AlAs Αρσενικούχο Αργίλιο GaP Φωσφίδιο του Γαλλίου GaAs Αρσενικούχο Γάλλιο InP Φωσφίδιο του Ινδίου

Πίνακας 2

( Μερικοί από τους κυριότερους ημιαγωγούς ) Από τους στοιχειακούς ημιαγωγούς το πυρίτιο είναι το πλέον

διαδεδομένο και πολυχρησιμοποιημένο ενώ στη σύγχρονη εποχή γίνεται προσπάθεια να πάρει μερίδιο στην κατασκευή ΙC κυκλωμάτων το GaAs. Το GaAs είναι ένας σύνθετος ημιαγωγός που, όπως και οι υπόλοιποι σύνθετοι του πίνακα 2, προκύπτει με συνδυασμό ενός στοιχείου από την ΙΙΙ και ενός στοιχείου από την ΙV ομάδα του περιοδικού πίνακα. Οι καλές του οπτικές ιδιότητες το καθιστούν ιδανικό για οπτικές διατάξεις. Επίσης χρησιμοποιείται όταν απαιτείται υψηλή ταχύτητα.

Γενικά οι ημιαγωγοί είναι στερεά σώματα και αφού οι ιδιότητες τους εξαρτώνται από τη δομή τους ας αναφερθούμε λίγο στη δομή των στερεών σωμάτων.

2. ΔΟΜΗ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

2.1. ΑΜΟΡΦΑ, ΠΟΛΥΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΑ ΚΑΙ ΜΟΝΟΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΑ ΥΛΙΚΑ

Το κύριο χαρακτηριστικό των στερεών είναι ότι διαθέτουν εντός της

μάζας τους περιοχές όπου οι δομικές τους μονάδες ( άτομα ή μόρια ) είναι διατεταγμένες συμμετρικά και με ορισμένη περιοδικότητα. Ανάλογα με την έκταση των περιοχών αυτών, τα στερεά σώματα διακρίνονται σε τρεις γενικές κατηγορίες ( τύπους ) :

Άμορφα Πολυκρυσταλλικά και Μονοκρυσταλλικά

Τα άμορφα στερεά υλικά παρουσιάζουν τάξη μόνο σε έκταση μερικών

ατομικών ή μοριακών διαστάσεων. Χαρακτηριστική περίπτωση άμορφου

4

υλικού αποτελεί το γυαλί, βασικό συστατικό του οποίου είναι το διοξείδιο του πυριτίου ( SiO2 ).

Τα πολυκρυσταλλικά παρουσιάζουν υψηλό βαθμό τάξης σε μεγάλη έκταση. Αυτές οι περιοχές υψηλής τάξης, ή αλλιώς μονοκρυσταλλικές περιοχές, ποικίλουν σε μέγεθος και προσανατολισμό η μία ως προς την άλλη. Ονομάζονται κόκκοι ( grains ) και χωρίζονται μέσω ορίων που καλούνται όρια κόκκων.

Τα μονοκρυσταλλικά υλικά αποτελούν την ιδανική περίπτωση κατά την οποία σε όλο τον όγκο τους οι δομικές τους μονάδες χαρακτηρίζονται από υψηλό βαθμό τάξης και είναι προσανατολισμένες προς την ίδια διεύθυνση. Έχουν το πλεονέκτημα να έχουν καλύτερες ηλεκτρικές ιδιότητες έναντι των άλλων τύπων.

Στην εικόνα 1 δίδεται η δισδιάστατη απεικόνιση ενός άμορφου, ενός πολυκρυσταλλικού και ενός μονοκρυσταλλικού στερεού.

Εικόνα 1 Οι τρεις γενικοί τύποι στερεών σωμάτων : (a) άμορφο (b)

πολλυκρυσταλλικό (c) μονοκρυσταλλικό

2.2 ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 2.2.1 ΤΑ ΠΛΕΓΜΑΤΑ BRAVAIS Είπαμε λοιπόν ότι το κύριο χαρακτηριστικό των στερεών σωμάτων

είναι η συμμετρική διάταξη των δομικών μονάδων τους, δηλαδή η ύπαρξη κρυσταλλικού πλέγματος ( crystal lattice ). Κάθε κρυσταλλικό πλέγμα προκύπτει από την επανάληψη στο χώρο ενός απλού γεωμετρικού σχήματος που ονομάζεται στοιχειώδης κρύσταλλος ή κυψελίδα του κρυσταλλικού πλέγματος. Μια στοιχειώδης κυψελίδα δίνεται στην εικόνα 2 που ακολουθεί.

5

Εικόνα 2 ( Στοιχειώδης κυψελίδα )

Η σχέση που συνδέει την κυψελίδα με το πλέγμα χαρακτηρίζεται από

τρία διανύσματα a , b και c τα οποία δεν είναι απαραίτητο να είναι κάθετα ή ίσα σε μήκος μεταξύ τους. Με τη βοήθεια των διανυσμάτων αυτών, κάθε σημείο του κρυστάλλου στις τρεις διαστάσεις μπορεί να ορισθεί με το διάνυσμα r :

r = p a + q b + s c [ 2.1 ]

όπου p , q , s ακέραιοι που για απλότητα θεωρούμε πως είναι θετικοί

αριθμοί.

Τα κρυσταλλικά πλέγματα, με βάση τα στοιχεία συμμετρίας τους ( άξονες συμμετρίας και γωνίες πολυέδρων ), κατατάσσονται σε εφτά ομάδες, τα κρυσταλλικά συστήματα. Συνδυάζοντας τα εφτά αυτά κρυσταλλικά συστήματα με τους τέσσερις δυνατούς τύπους κυψελίδας παίρνουμε τα δεκατέσσερα πλέγματα Bravais, τα οποία δίνονται στην εικόνα 3 :

6

Εικόνα 3 ( Τα δεκατέσσερα πλέγματα Bravais )

2.2.2 Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΔΙΑΜΑΝΤΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΨΕΥΔΑΡΓΥΡΟΥ

Οι σπουδαιότεροι ημιαγωγοί έχουν είτε τη δομή του διαμαντιού

(diamond structure ), όπως τα Ge, Si είτε τη δομή του …….. (zincblende structure ), όπως το GaAs. Για να κατανοήσουμε όμως τις δομές αυτές ας θεωρήσουμε πρώτα την απλή ( sc ), την εδροκεντρωμένη ( fcc ) και την χωροκεντρωμένη ( bcc ) κυβική δομή ( cubic P, I, F της εικόνας 3 αντίστοιχα ).

Η απλή κυβική έχει ένα άτομο σε κάθε γωνία. Η εδροκεντρωμένη έχει ένα επιπλέον άτομο τοποθετημένο στο κέντρο του κύβου ενώ η χωροκεντρωμένη έχει επιπλέον, ως προς την απλή, άτομα σε κάθε έδρα του κύβου.

Η κυψελίδα της δομής του διαμαντιού (Εικόνα 4) είναι σαφώς πιο σύνθετη από τις δομές που περιγράψαμε προηγουμένως.

7

Εικόνα 4

( Η δομή διαμαντιού ) Η βασικότερη δομική μονάδα της είναι η τετραεδρική δομή της εικόνας

5. Πρόκειται , πρακτικά, για μια bcc δομή όπου όμως τέσσερα από τα

άτομα των κορυφών λείπουν. Κάθε άτομο στην τετραεδρική δομή έχει τέσσερα γειτονικά άτομα και αυτό είναι και το κυριότερο χαρακτηριστικό της δομής του διαμαντιού.

Εικόνα 5

( Η τετραεδρική δομή γειτονικών ατόμων της δομής διαμαντιού ) Τα αυτά ισχύουν και για την zincblende structure ( Εικόνα 6 ), με τη

διαφορά ότι στο πλέγμα υπάρχουν δυο ειδών άτομα. Όπως φαίνεται στην

8

εικόνα 7, που απεικονίζει τη βασική τετραεδρική δομική μονάδα της zincblende structure, κάθε άτομο Ga έχει τέσσερα γειτονικά άτομα As και αντίστροφα.

Εικόνα 6 Η δομή…

Εικόνα 7

9

Είναι προφανές ότι στην πράξη οι κρύσταλλοι δεν εκτείνονται στο άπειρο, τελικά τερματίζουν σε κάποια επιφάνεια. Αναλογιζόμενοι ότι οι ημιαγώγιμες διατάξεις κατασκευάζονται πάνω ή κοντά στις επιφάνειες ημιαγώγιμων υλικών, είναι εύκολο να συμπεράνουμε ότι τα χαρακτηριστικά τους επηρεάζονται από τις ιδιότητες των επιφανειών αυτών. Θα μας ήταν λοιπόν χρήσιμο να μπορούμε να τις περιγράψουμε με όρους του πλέγματος. Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση των δεικτών Miller.

Ας θεωρήσουμε το επίπεδο της εικόνας 8 :

Εικόνα 8

Βρίσκουμε τα σημεία τομής του επιπέδου ( crystal plane ) με τους άξονες a , b και c που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή του πλέγματος. Από την εξίσωση [1.1] προκύπτει p = 3, q = 2, s = 1.

αντιστρέφοντας έχουμε ( 31 ,

21 ,

11 ) και πολλαπλασιάζοντας με το

ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ( 6 ) παίρνουμε ( 2, 3, 6). Το επίπεδο της εικόνας 8 αναφέρεται ως το ( 2, 3, 6 ) επίπεδο. Οι ακέραιοι αυτοί ονομάζονται δείκτες Miller, γενικά ( h, k, l ).

Αξίζει να σημειωθεί ότι κάθε άλλο, παράλληλο σε αυτό που εξετάσαμε, επίπεδο χαρακτηρίζεται από την ίδια τριάδα δεικτών και είναι ισοδύναμό

10

του .Στην εικόνα 9 δίνονται τρία επίπεδα που θεωρούνται συχνά σε ένα κρύσταλλο του κυβικού συστήματος.

Εικόνα 9 ( Τα τρία συνηθέστερα επίπεδα στο κυβικό σύστημα )

Πολλές φορές είναι επιθυμητό να περιγράψουμε μια συγκεκριμένη

διεύθυνση εντός του κρυστάλλου. Αυτό γίνεται με τη χρήση τριών ακέραιων αριθμών που τοποθετούνται σε αγκύλες και αντιστοιχούν στις συντεταγμένες ενός διανύσματος σε αυτή τη διεύθυνση. Στην περίπτωση του απλού κυβικού πλέγματος η διεύθυνση [ h, k, l ] είναι κάθετη στο επίπεδο ( h, k, l ). Σε μη κυβικά πλέγματα αυτό δεν συμβαίνει πάντα.

2.3 ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΣΜΕΙΞΕΙΣ ΣΤΑ ΣΤΕΡΕΑ Στη μέχρι τώρα θεώρησή μας γύρω από τα στερεά σώματα μιλήσαμε

για την περίπτωση που ο κρύσταλλος είναι ιδανικός. Στην πραγματικότητα όμως το πλέγμα δεν είναι τέλειο. Η γεωμετρική περιοδικότητα που το χαρακτηρίζει έχει διαταραχθεί σε κάποιο βαθμό και το γεγονός αυτό επηρεάζει, πολλές φορές με τρόπο καθοριστικό, τις ηλεκτρικές ιδιότητες του υλικού. Η απόκλιση από το ιδανικό οφείλεται είτε σε ατέλειες είτε σε προσμείξεις εντός του κρυστάλλου.

2.3.1 ΑΤΕΛΕΙΕΣ

Ένας τύπος ατέλειας, κοινής για όλους τους κρυστάλλους, προκαλείται

από την θερμική κίνηση των δομικών μονάδων του πλέγματος. Οι δονήσεις αυτές ( lattice vibrations ) προξενούν τυχαία μεταβολή στις

11

ατομικές αποστάσεις διαταράσσοντας ελαφρώς την γεωμετρία του πλέγματος.

Ένα δεύτερο τύπο ατέλειας αποτελούν οι λεγόμενες σημειακές ατέλειες ( point defects ). Μια σημειακή ατέλεια δημιουργείται όταν ένα άτομο λείπει από ένα ορισμένο σημείο του πλέγματος ( vacancy defect ) ή όταν ένα άτομο εντοπίζεται σε μια ενδοπλεγματική θέση ( intersitial defect ). Στην περίπτωση των ατελειών αυτών , εικόνες 10a και 10b αντίστοιχα, δεν διαταράσσεται απλώς η γεωμετρία του πλέγματος αλλά επιπρόσθετα καταστρέφεται και ο ιδανικός χημικός δεσμός μεταξύ των ατόμων. Ας σημειωθεί ότι στην περίπτωση που οι δυο αυτές σημειακές ατέλειες συνυπάρχουν και είναι πλησίον η μια στην άλλη τότε αλληλεπιδρούν προκαλώντας ατέλειες γνωστές με τον αγγλικό όρο Frenkel defects.

Εικόνα 10

Ένας τρίτος τύπος ατέλειας είναι η περίπτωση στην οποία μια

ολόκληρη γραμμή από άτομα λείπει από την θέση της σε ένα πλέγμα ( line dislocation ). Έχει την ίδια επίδραση με αυτή των σημειακών ατελειών με τη διαφορά πως η αλλαγές στις ηλεκτρικές ιδιότητες του υλικού είναι πιο απρόβλεπτες. Μια ατέλεια του τύπου αυτού δίνεται στην εικόνα 11:

12

Εικόνα 11

( Διαταραχή γραμμή ) Υπάρχουν και άλλες πιο σύνθετες περιπτώσεις ατελειών που όμως δεν

κρίθηκε αναγκαίο να αναλυθούν στην παρούσα εργασία.

2.3.2 ΠΡΟΣΜΙΞΕΙΣ

Ξένα άτομα, άτομα πρόσμειξης, είναι πιθανό να βρίσκονται σε ένα πλέγμα. Τα άτομα αυτά μπορεί να είναι τοποθετημένα σε πλεγματικές ( substitutional impurities ) ή ενδοπλεγματικές θέσεις ( intersitial impurities ). Οι προσμείξεις αυτές άλλες φορές είναι επιθυμητές και άλλες όχι. Και οι δύο αυτές περιπτώσεις αποτελούν ελαττώματα του πλέγματος και δίνονται σχηματικά στην εικόνα 12 ( 1.18 σελ 15 )

Εικονα 12 ( α. Πρόσμιξη αντικατάστασης και β. ενδοπλεγματική πρόσμιξη )

13

4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ ΣΤΑ ΣΤΕΡΕΑ 4.1 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΣΤΑ ΣΤΕΡΕΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΖΩΝΩΝ

Τώρα έχουμε το απαιτούμενο θεωρητικό υπόβαθρο ώστε εξηγήσουμε την αγωγιμότητα που εμφανίζουν τα διάφορα σώματα και να τα κατατάξουμε σε μέταλλα, μονωτές και ημιαγωγούς με βάση την δομή τους.

Όπως είπαμε, για να εκδηλώνει ένα σώμα ηλεκτρική αγωγιμότητα, πρέπει να διαθέτει ηλεκτρικά φορτία που να έχουν τη δυνατότητα να μετακινηθούν υπό την επίδραση ηλεκτρικού φορτίου.

Ας θεωρήσουμε πρώτα την περίπτωση ενός μετάλλου. Η δομή των ζωνών του μπορεί να έχει μια από τις δυο ακόλουθες μορφές :

Ζώνη αγωγιμότητας κενή και ζώνη σθένους μερικώς κατειλημμένη.

Έστω π.χ. το διάγραμμα ζωνών του μεταλλικού νατρίου ( Na ) :

Εικόνα 27 ( Απλοποιημένο διάγραμμα ζωνών μεταλλικού Na )

14

Η ζώνη σθένους του είναι κατά το ήμισυ συμπληρωμένη. Συνεπώς τα ηλεκτρόνια, οι φορείς αγωγιμότητας στην περίπτωση αυτή, έχουν τη δυνατότητα, υπό την επίδραση εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου, να μετακινηθούν προς υψηλότερες ενεργειακές στάθμες μέσα στη ζώνη σθένους προσδίδοντας υψηλή τιμή αγωγιμότητας στο Na. Ομοίως και για τα υπόλοιπα αλκάλια.

Η ζώνη σθένους επικαλύπτεται με τη ζώνη αγωγιμότητας

Έστω π.χ. το διάγραμμα ζωνών του μαγνησίου ( Mg ) :

Εικόνα 28 ( Απλοποιημένο διάγραμμα ζωνών Mg )

Η πλήρως κατειλημμένη ζώνη σθένους επικαλύπτεται μερικώς με τη

ζώνη αγωγιμότητας. Έτσι, παρουσία εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου, ηλεκτρόνια της ζώνης σθένους μεταπίπτουν ευχερώς σε ελεύθερες στάθμες της ζώνης αγωγιμότητας, επιταχύνονται, καθίστανται ελεύθερα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας και προσδίδουν στο Mg υψηλές τιμές αγωγιμότητας. Ομοίως και με τις υπόλοιπες αλκαλικές γαίες.

Η επικάλυψη των ζωνών, εκτός από τις ζώνες σθένους και αγωγιμότητας, μπορεί να περιλάβει και κάποιες από τις χαμηλότερες ζώνες. Δηλαδή, εκτός από την απαγορευμένη ζώνη, εκμηδενίζονται και άλλα ενεργειακά διάκενα όπως π.χ. συμβαίνει στην περίπτωση του χαλκού ( Cu ) και του αργύρου ( Ag ), εξηγώντας, έτσι, τις πολύ υψηλές τιμές αγωγιμότητας που εμφανίζουν.

Ας θεωρήσουμε τώρα την περίπτωση ενός μονωτή.

15

Εικόνα 29

( Απλοποιημένο διάγραμμα ζωνών ενός μονωτή )

Σε ένα μονωτικό υλικό η ζώνη αγωγιμότητας είναι κενή ενώ η ζώνη σθένους είναι πλήρης. Επιπρόσθετα, το εύρος Εg της απαγορευμένης ζώνης είναι αρκετά μεγάλο ( 3.5 έως 6eV και μεγαλύτερο ) ώστε είναι εξαιρετικά απίθανο κάποια από τα ηλεκτρόνια σθένους να αποκτήσουν την ενέργεια που απαιτείται για να μεταπέσουν στη ζώνη αγωγιμότητας και να καταστούν ηλεκτρόνια αγωγιμότητας. Δεν υπάρχουν δηλαδή φορείς με δυνατότητα μετακίνησης, υπό την επίδραση εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου, και πρακτικά τα υλικά αυτά δεν άγουν το ηλεκτρικό ρεύμα.

Ας έρθουμε και στην περίπτωση που μας ενδιαφέρει, σε αυτή των

ημιαγωγών. Το διάγραμμα ζωνών ενός ημιαγωγού έχει ήδη δοθεί ( εικόνα 19 ). Είναι της ίδιας μορφής με εκείνο των μονωτών με μια όμως ειδοποιό διαφορά : το εύρος Εg της απαγορευμένης ζώνης είναι μικρό, μέχρι περίπου 2.5eV. έτσι είναι δυνατό μερικά ηλεκτρόνια, απορροφώντας ενέργεια με τη μορφή θερμότητας ή ακτινοβολίας, να μεταπηδήσουν στη ζώνη αγωγιμότητας μετατρεπόμενα σε ηλεκτρόνια αγωγιμότητας. Επιπρόσθετα, σε αντιδιαστολή με τα μέταλλα, φορείς αγωγιμότητας δεν είναι μόνο τα ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας αλλά και ένα δεύτερο είδος φορέα με θετικό ηλεκτρικό φορτίο, ο οποίος

16

καλείται οπή και εντοπίζεται στη ζώνη σθένους. Ας δούμε το φαινόμενο λίγο πιο αναλυτικά, προσπαθώντας να ορίσουμε το νέο αυτό φορέα.

4.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΟΠΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΗΜΙΑΓΩΓΟ Θεωρούμε την εικόνα 30 η οποία αποτελεί δισδιάστατη απεικόνιση του

ομοιοπολικού δεσμού μεταξύ των ατόμων πυριτίου σε ένα μονοκρύσταλλο Si.

Εικόνα 30 ( Ομοιοπολικός δεσμός σε μονοκρύσταλλο Si )

Όλα τα ηλεκτρόνια σθένους που απεικονίζονται παραπάνω βρίσκονται

στη ζώνη σθένους και η ζώνη αγωγιμότητας είναι κενή ( Τ = 300ο Κ ). Αν η θερμοκρασία αυξηθεί, μερικά ηλεκτρόνια σθένους ίσως αποκτήσουν ικανοποιητική ενέργεια ώστε να σπάσουν τον χημικό δεσμό και να μεταπηδήσουν στη ζώνη αγωγιμότητας ( εικόνα 31 ).

Πυρίτιο

17

Εικόνα 31

Περαιτέρω άνοδος της θερμοκρασίας θα έχει ως αποτέλεσμα να σπάσουν κι άλλοι δεσμοί και περισσότερα ηλεκτρόνια να μεταπηδήσουν στη ζώνη αγωγιμότητας. Καθώς αυτά μεταπηδούν στη ζώνη αγωγιμότητας αφήνουν ισάριθμες κενές θέσεις, θετικά φορτισμένες με φορτίο +e, στη ζώνη σθένους. Ηλεκτρόνια από τη ζώνη σθένους, απορροφώντας θερμική ενέργεια, είναι δυνατόν να μετακινηθούν προς την κενή αυτή θέση καταλαμβάνοντας την. Δημιουργείται, όμως, με αυτόν τον τρόπο μια νέα κενή θέση εκεί απ’ όπου έφυγαν. Η μετακίνηση ενός ηλεκτρονίου σθένους προς την κενή αυτή θέση ισοδυναμεί με μετακίνηση της ίδιας ( εικόνες 32α , 32β, 32γ ).

Πυρίτιο

+

-e

18

Εικόνα 32α

Εικόνα 32β

Πυρίτιο

+

Πυρίτιο

+

19

Εικόνα 32γ

Η κίνηση αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως κίνηση ενός θετικού φορτίου εντός της ζώνης αγωγιμότητας. Δηλαδή, στον κρύσταλλο του ημιαγωγού μπορούμε να ορίσουμε και ένα δεύτερο φορέα ηλεκτρικού φορτίου, ο οποίος συμβάλλει στην αγωγιμότητά του. Ονομάζεται οπή ( hole ), έχει ηλεκτρικό φορτίο ίσο με +e και υπό την επίδραση εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου κινείται προς την ίδια με το πεδίο διεύθυνση.

4.3 Η ΕΝΕΡΓΟΣ ΜΑΖΑ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ

Έστω ένα ηλεκτρόνιο το οποίο κινείται σε ένα κρυσταλλικό πλέγμα με

ταχύτητα v , υπο την επίδραση ενός ηλεκτροστατικού πεδίου έντασης F . Σε ένα στοιχειώδες χρονικό διάστημα dt , η αύξηση της ενέργειας του ηλεκτρονίου dE θα ισούται με το έργο για τη μετατόπισή του κατά την απόσταση vdt . Το έργο αυτό ισούται με το γινόμενο της δύναμης eF- που δρα στο ηλεκτρόνιο επί τη μετατόπισή του :

dE eF vdt= Χ- [ 4.1 ]

Από την κβαντομηχανική γνωρίζουμε ότι για τα ηλεκτρόνια ισχύει :

Πυρίτιο

+

20

1 dEvdk

=

[ 4.2 ]

Αντικαθιστώντας την τιμή της v από την [ 4.2 ] στην [ 4.1 ] έχουμε :

dk dk dveFdt dv dt

= = - [ 4.3 ]

Ας θεωρήσουμε τώρα ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο μάζας m , το οποίο

κινείται στο κενό, υπό την επίδραση ηλεκτροστατικού πεδίου έντασης F . Η δύναμη που δρα στο σωματίδιο είναι :

dveF mdt

=- [ 4.4 ]

Συγκρίνοντας τις [ 4.3 ] & [ 4.4 ] βλέπουμε ότι για να παρομοιάσουμε

τη συμπεριφορά ενός ηλεκτρονίου που κινείται σε ένα κρυσταλλικό πλέγμα με τη συμπεριφορά ενός εντελώς ελεύθερου ηλεκτρονίου, πρέπει να αποδώσουμε στο πρώτο μια υποθετική μάζα *m ίση με :

* dkm

dv= [ 4.5 ]

Στη συνέχεια, με μερικές μαθηματικές πράξεις, καταλήγουμε :

1 11 2 2* 2

2 21 ( ) ( )dv d E k d E km

dk dk dkζ φ ζ φζ φ χ χη ηχη χ χη ηχη χ χχ η ηχη χ χη ηθ ψ θ ψ θ ψ

= = =

- --

Ϋ [ 4.6 ]

2

2 2*1 1 ( )d E k

dkm=

[ 4.7 ]

Η ποσότητα *m ονομάζεται ενεργός μάζα και καθορίζεται από τη

μορφή της καμπυλότητας της συνάρτησης ( )E k . Όταν η καμπύλη E k- έχει τα κοίλα προς τα πάνω, όπως είναι ο

πυθμένας της ζώνης αγωγιμότητας, η *m είναι θετική, ενώ όταν έχει τα κοίλα προς τα κάτω, όπως είναι η ζώνη σθένους, η *m είναι αρνητική. Ώστε ένα ηλεκτρόνιο κινούμενο στη ζώνη σθένους συμπεριφέρεται σα να έχει αρνητική μάζα κινούμενο προς την ίδια με το πεδίο διεύθυνση. Είδαμε προηγουμένως ότι η κίνηση των ηλεκτρονίων στη ζώνη σθένους ισοδυναμεί με αντίθετη κίνηση φορέων με θετικό φορτίο τους οποίους ονομάσαμε οπές. Δηλαδή οι οπές επιταχύνονται από το πεδίο προς μια

21

κατεύθυνση αντίθετη από εκείνη της επιτάχυνσης των ηλεκτρονίων και συνεπώς η ενεργός τους μάζα θα είναι θετική ποσότητα.

Από την εξίσωση [ 4.7 ] μπορούμε να εξάγουμε το συμπέρασμα ότι η απόλυτη τιμή της ενεργού μάζας των φορέων είναι ανάλογη προς την ακτίνα καμπυλότητας της καμπύλης E k- . Γενικά, η μορφή των καμπυλών μεταβάλλεται με το k . Τα τμήματα όμως των καμπυλών γύρω από την κορυφή της ζώνης σθένους και τον πυθμένα της ζώνης αγωγιμότητας, τα οποία κυρίως περιγράφουν τους φορείς των ημιαγωγών, μπορούν να θεωρηθούν ως παραβολικά ( εικόνα 33 ) . Επομένως, οι τιμές των ενεργών μαζών των οπών της ζώνης σθένους (

*pm ) και των ηλεκτρονίων της ζώνης αγωγιμότητας ( *

nm ) κάθε ημιαγωγού μπορούν να θεωρούνται σταθερές.

Εικόνα 33 2.21 σελ59

4.4 ΤΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΖΩΝΩΝ ΣΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Αναλύσαμε μέχρι τώρα πως εφαρμόζεται η εξίσωση κύματος, όταν το

δυναμικό είναι περιοδικό, στην περίπτωση μονοδιάστατου πλέγματος και πώς προκύπτουν τα αντίστοιχα διαγράμματα Ε – k. Για να περιγράψουμε, όμως, με ακρίβεια τις ηλεκτρικές ιδιότητες των ημιαγωγών πρέπει να θεωρήσουμε τα διαγράμματα αυτά στις τρεις διαστάσεις και πώς διαμορφώνονται σε ένα τρισδιάστατο κρύσταλλο.

Στην εικόνα 34 απεικονίζεται μια εδροκεντρωμένη κυβική δομή όπου σημειώνονται και οι [100], [110] κρυσταλλογραφικές διευθύνσεις.

Εικόνα 34

a. σελ 66

Είναι εμφανές ότι η απόσταση μεταξύ των ατόμων του κρυστάλλου ποικίλλει συναρτήσει της διεύθυνσης. Ηλεκτρόνια κινούμενα σε διαφορετικές διευθύνσεις “νιώθουν” διαφορετικά προφίλ δυναμικού και συνεπώς διαφορετικά όρια στο χώρο k. Τα διαγράμματα Ε – k είναι, γενικά, συνάρτηση της κρυσταλλογραφικής διεύθυνσης στο χώρο k.

4.4.1 ΤΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΥΡΙΤΙΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΑΡΣΕΝΙΚΟΥΧΟΥ ΓΑΛΛΙΟΥ

22

Είδαμε στην περίπτωση του μονοδιάστατου μοντέλου ότι τα διαγράμματα Ε – k είναι συμμετρικά ως προς k, ώστε δεν είναι απαραίτητο να απεικονίζουμε και τους δυο άξονες. Συνήθης πρακτική είναι να απεικονίζουμε τη μορφή του διαγράμματος Ε – k για την [100] διεύθυνση στον κανονικό + k άξονα και στη θέση του - k άξονα να απεικονίζουμε την μορφή του για τη διεύθυνση [111], πάλι όμως για τις θετικές τιμές του κυματαριθμού. Αυτό είναι ιδιαίτερα βολικό καθώς στην περίπτωση των δομών diamond και zincblende οι ενέργειες Ev, Ev απαντούν είτε για k = 0 είτε κατά μήκος μιας εκ των δυο κρυσταλλογραφικών διευθύνσεων.

Ο αντίστροφος χώρος στην περίπτωση του GaAs διαμορφώνεται όπως φαίνεται στην εικόνα 35 :

Εικόνα 35

2,28α σελ 67

Οι ενέργειες Ev, Ec απαντούν για k = 0. Τα ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας τείνουν να συγκεντρωθούν στην ελάχιστη ενέργεια αυτής ενώ οι οπές στη ζώνη σθένους στην μέγιστη ενέργεια αυτής. Όταν το μέγιστο της ζώνη σθένους και το ελάχιστο της ζώνης αγωγιμότητας απαντούν στην ίδια τιμή του k τότε λέμε ότι το ενεργειακό διάκενο είναι άμεσο ( direct bandgap ). Στην περίπτωση αυτή μπορεί να λάβει χώρα μετάβαση ηλεκτρονίων από τη μια ζώνη στην άλλη χωρίς μεταβολή στην κρυσταλλική ορμή ( P =

2hkp

). Το άμεσο ενεργειακό διάκενο έχει

σημαντική επίδραση στις οπτικές ιδιότητες του υλικού, καθιστώντας το ιδανικό για κατασκευή οπτικών διατάξεων.

Στην περίπτωση του Si ο αντίστροφος χώρος διαμορφώνεται όπως φαίνεται στην εικόνα 36 :

Εικόνα 36 2.28σελ 67

Η μέγιστη ενέργεια της ζώνης σθένους απαντά για k = 0, όπως και στο

GaAs. Όμως η ελάχιστη ενέργεια της ζώνης αγωγιμότητας απαντά κατά μήκος της [100] κρυσταλλογραφικής διεύθυνσης. Ένα ενεργειακό διάκενο που οι Ev, Ec απαντούν σε διαφορετικές τιμές του k ονομάζεται έμμεσο ( indirect bandgap ). Στην περίπτωση του έμμεσου διάκενου, κατά την μετάβαση ηλεκτρονίων μεταξύ των ζωνών σθένους και αγωγιμότητας, οφείλουμε να πάρουμε υπ’ όψιν το νόμο της διατήρησης της ορμής. Η μετάβαση αυτή θα πρέπει οπωσδήποτε να περιλαμβάνει αλληλεπίδραση με τον κρύσταλλο ώστε η κρυσταλλική ορμή να διατηρείται.

23

Και το Ge έχει έμμεσο ενεργειακό διάκενο, με τη διαφορά ότι η Ec απαντά κατά μήκος της [111] κρυσταλλογραφικής διεύθυνσης ενώ η Ev απαντά για k = 0.

4.4.2 Η ΕΝΕΡΓΟΣ ΜΑΖΑ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΣΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

Η καμπυλότητα των διαγραμμάτων Ε – k κοντά στο ελάχιστο της ζώνης

αγωγιμότητας είδαμε ότι συνδέεται με την ενεργό μάζα των ηλεκτρονίων. Συγκρίνοντας τις εικόνες 35 & 36 μπορούμε να πούμε ότι η καμπυλότητα της ζώνης αγωγιμότητας στο ελάχιστο αυτής του GaAs είναι μεγαλύτερη αυτής του Si. Επομένως η αντίστοιχη ενεργός μάζα των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας του GaAs θα είναι μικρότερη από εκείνη του Si.

Η εξίσωση [ 4.7 ] έδωσε την ενεργό μάζα των φορέων στην περίπτωση του μονοδιάστατου μοντέλου. Για την περιγραφή της ενεργού μάζας σε ένα πραγματικό τρισδιάστατο κρύσταλλο χρειαζόμαστε τρεις τιμές, μια για κάθε κρυσταλλογραφική διεύθυνση στο χώρο k. Άρα :

2

2 2*1 1 ( )

ii

Ekm

JJ

=

k 1,2,3.i = [ 4.8 ]

5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ

Δείξαμε ότι στους ημιαγωγούς φορείς αγωγιμότητας είναι τα

ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας και οι οπές στη ζώνη σθένους. Το επόμενο σημαντικό βήμα είναι να υπολογίσουμε τον αριθμό των φορέων αυτών που είναι διαθέσιμοι και συνεισφέρουν στην αγωγιμότητα. Ο αριθμός αυτός είναι συνάρτηση του αριθμού των διαθέσιμων κβαντικών καταστάσεων – ενεργειακών σταθμών αφού η απαγορευτική αρχή του Pauli απαιτεί μονάχα ένα ηλεκτρόνιο να καταλαμβάνει μια δοσμένη κβαντική κατάσταση. Επομένως, χρειάζεται να γνωρίζουμε δυο πράγματα :

Την πυκνότητα των επιτρεπτών ενεργειακών σταθμών συναρτήσει της ενέργειας Ε

Την κατανομή των φορέων στις στάθμες αυτές

5.1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ

Η πυκνότητα των επιτρεπτών ενεργειακών σταθμών στη ζώνη

αγωγιμότητας δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση :

24

* 3/ 2

34 (2 )( ) n

c cmg E E Eh

= -p [ 5.1 ]

Η [ 5.1 ] ισχύει για E ≥ cE . Καθώς η ενέργεια του ηλεκτρονίου στη ζώνη αγωγιμότητας μειώνεται, μειώνεται και ο αριθμός των διαθέσιμων κβαντικών καταστάσεων.

Αντίστοιχα για τη ζώνη σθένους ισχύει :

vg ( E ) = * 3/ 2

34 (2 )p

vm

E Eh

-p

[ 5.2 ]

η οποία ισχύει για E ≤ vE . Καθώς έχουμε δείξει ότι εντός της απαγορευμένης ζώνης δεν υπάρχουν

διαθέσιμες κβαντικές καταστάσεις θα πρέπει )(Eg = 0 για vE < E < cE . Η εικόνα 3.. δίνει την πυκνότητα των κβαντικών καταστάσεων συναρτήσει της ενέργειας. Ας σημειωθεί ότι αν *

nm = *pm τότε οι vg ( E ),

cg ( E ) θα είναι συμμετρικές ως προς το μέσον της απαγορευμένης ζώνης.

Εικόνα 3..

2.29 sελ 70

5.2 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΩΝ FERMI & DIRAC

Η πιθανότητα κατάληψης μιας ενεργειακής στάθμης E από ένα ηλεκτρόνιο δίνεται απ’ την ονομαζόμενη συνάρτηση πιθανότητας Fermi – Dirac :

( ) 1( )( ) 1 exp( )F

F

N E f E E Eg EkT

= = -+ [ 5.2 ]

όπου k η σταθερά του Boltzman, )(EN , )(Eg ο αριθμός των

σωματιδίων και ο αριθμός των ενεργειακών σταθμών, ανά μονάδα όγκου και ενέργειας, αντίστοιχα και FE η ενέργεια Fermi. Η [ 5.2 ] μπορεί να

25

θεωρηθεί και ως ο λόγος των κατειλημμένων ενεργειακών σταθμών προς το σύνολο των ενεργειακών σταθμών σε κάθε τιμή της E .

Η εικόνα 36 δίνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής Fermi – Dirac για διάφορες θερμοκρασίες, με την προϋπόθεση ότι η

FE είναι ανεξάρτητη της θερμοκρασίας.

Εικόνα 36 2.34 σελ 73

Για Τ = 0ο K, τα ηλεκτρόνια καταλαμβάνουν τις ενεργειακές στάθμες

με τις χαμηλότερες ενέργειες. Για E < FE , η πιθανότητα μια ενεργειακή στάθμη να είναι κατειλημμένη ισούται με τη μονάδα ενώ αν E > FE η πιθανότητα είναι μηδενική. Άρα, στη θερμοκρασία του απολύτου μηδενός, όλες οι στάθμες κάτω από την FE είναι πλήρως κατειλημμένες ενώ όλες οι στάθμες πάνω από την FE κενές. Να τονίσουμε στο σημείο αυτό ότι η FE καθορίζει την στατιστική κατανομή των ηλεκτρονίων και δεν αντιστοιχεί απαραίτητα σε κάποια ενεργειακή στάθμη.

Για μεγαλύτερες θερμοκρασίες, παρατηρούμε ότι η πιθανότητα κάποιες στάθμες πάνω από την FE να ‘ναι κατειλημμένες ή κάποιες κάτω απ ‘την FE να ‘ναι κενές είναι μη μηδενική. Δηλαδή, ορισμένα ηλεκτρόνια απέκτησαν την απαιτούμενη θερμική ενέργεια ώστε να μεταπηδήσουν σε ανώτερες ενεργειακές στάθμες. Η πιθανότητα αυτή αυξάνει με την αύξηση της θερμοκρασίας.

Η συνάρτηση ( )Ff E είναι συμμετρική, ως προς FE με τη συνάρτηση 1- ( )Ff E η οποία δίνει την πιθανότητα που έχει μια ενεργειακή στάθμη να

είναι κενή. Η συμμετρία αυτή φαίνεται στην εικόνα 37 :

Εικόνα 37 2.35σελ 75

Αν E - FE >> k T, τότε μπορούμε να παραλείψουμε τη μονάδα στον

παρανομαστή της [ 5.2 ] οπότε :

( )Ff E ≈ ){ }FE - EexpkT

-( [ 5.3 ]

Η [ 5.4 ] είναι γνωστή ως η προσέγγιση Maxwell – Boltzman στη

συνάρτηση πιθανότητας Fermi – Dirac.

26

Εικόνα 38 2.36 σελ 75

5.3 Ο ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ ΣΕ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ

Έχοντας προσδιορίσει την πυκνότητα των επιτρεπτών καταστάσεων και

τη συνάρτηση που περιγράφει την κατανομή των φορέων αγωγιμότητας σε αυτές, είμαστε σε θέση να προσδιορίσουμε τον αριθμό των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας και των οπών στη ζώνη σθένους. Ως βάση της ανάλυσης που θα ακολουθήσει θα χρησιμοποιήσουμε την παραδοχή ότι ο ημιαγωγός σε κάθε περίπτωση βρίσκεται σε συνθήκες ισορροπίας ( thermal equilibrium ). Δηλαδή δεχόμαστε ότι δεν υπόκειται σε καμία εξωτερική δύναμη όπως τάση, ηλεκτρικό ή μαγνητικό πεδίο ή βάθμωση της θερμοκρασίας. Ο κρύσταλλος τότε είναι ηλεκτρικά ουδέτερος.

5.3.1 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ

Η κατανομή, συναρτήσει της ενέργειας, των ηλεκτρονίων στη ζώνη

αγωγιμότητας δίνεται από το γινόμενο της πυκνότητας των επιτρεπτών κβαντικών καταστάσεων με την πιθανότητα μια κβαντική κατάσταση να είναι κατειλημμένη από ένα ηλεκτρόνιο :

( )n E = ( ) ( )c Fg E f E [ 5.5 ]

όπου ( )Ff E η συνάρτηση πιθανότητας Fermi – Dirac και ( )cg E η

πυκνότητα των κβαντικών καταστάσεων στη ζώνη αγωγιμότητας. Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε τη συνολική συγκέντρωση των

ηλεκτρονίων ανά μονάδα όγκου στη ζώνη αγωγιμότητας :

0n = ( ) ( )c Fg E f E dEς [ 5.6 ]

Ως κάτω όριο ολοκλήρωσης τίθεται η cE . Άνω όριο θα έπρεπε να είναι το πάνω τμήμα της ζώνης αγωγιμότητας. Επειδή όμως η συνάρτηση πιθανότητας Fermi – Dirac πλησιάζει ραγδαία το μηδέν αυξανομένης της ενέργειας, τίθεται ως άνω όριο ολοκλήρωσης το άπειρο. Υποθέτοντας ότι η ενέργεια Fermi βρίσκεται εντός του gE και ότι E -

FE >> k T, καταλήγουμε έπειτα από σειρά πράξεων στην ακόλουθη έκφραση για τη συγκέντρωση των ηλεκτρονίων :

27

0n ( )exp{ }c Fc

E ENkT

- -= [ 5.7 ]

Η παράμετρος cN ονομάζεται συνάρτηση της ενεργού πυκνότητας καταστάσεων στη ζώνη αγωγιμότητας (effective density of states function in the conduction band ) και ισούται με :

*3/ 2

222( )n

cm kTNh

= p [ 5.8 ]

Τώρα, ξεκινώντας από την εξίσωση :

( ) ( ) 1 ( ){ }v Fp E g E f E= - [ 5.9 ] και ακολουθώντας ανάλογους φορμαλισμούς, καταλήγουμε στις ακόλουθες εξισώσεις :

0( )exp{ }F v

vE Ep N

kT- -= [ 5.10 ]

και

*

3/ 22

22( )p

vm kT

Nh

=p

[ 5.11 ]

όπου 0p η συγκέντρωση ανά μονάδα όγκου των οπών στη ζώνη σθένους και vN η συνάρτηση της ενεργού πυκνότητας καταστάσεων στη ζώνη σθένους ( effective density of states function in the valence band ).

Οι συναρτήσεις cN , vN για έναν ημιαγωγό είναι σταθερές, για δοσμένη θερμοκρασία. Στον πίνακα 4 δίνονται οι τιμές τους ( Τ = 300ο K ) για τα Si, Ge, GaAs.

3( )cN cm- 3( )vN cm- 0*mn m *

0pm m

Πυρίτιο 2.8×1019 1.04×1019 1.08 0.56

Αρσενικούχο Γάλλιο 4.7×1017 7.0×1018 0.067 0.48

Γερμάνιο 1.04×1019 6.0×1018 0.55 0.37

Πίνακας 4

28

(……)

5.4 Ο ΕΝΔΟΓΕΝΗΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ

5.4.1 ΟΡΙΣΜΟΣ

Ο ιδανικός ενδογενής ημιαγωγός ( intrinsic semiconductor ) είναι ένα καθαρό, ανόθευτο, χωρίς προσμίξεις και άνευ ατελειών στην κρυσταλλική δομή του ημιαγώγιμο υλικό. Στον ενδογενή ημιαγωγό, στη θερμοκρασία του απολύτου μηδενός, όλες οι ενεργειακές στάθμες στη ζώνη σθένους είναι πλήρεις και όλες στη ζώνη αγωγιμότητας κενές. Οι φορείς αγωγιμότητας προέρχονται από τη θερμική διέγερση – ιονισμό των ατόμων του πλέγματος. Η ενέργεια Fermi ( FiE από το intrinsic ) βρίσκεται κάπου μεταξύ των vE και cE .

5.4.2 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΕΝΔΟΓΕΝΗ ΗΜΙΑΓΩΓΟ

Στον ενδογενή ημιαγωγό οι συγκεντρώσεις των ηλεκτρονίων στη ζώνη

αγωγιμότητας ( in ) και των οπών στη ζώνη σθένους ( ip ) είναι ίσες. Οι εξισώσεις [ 5.6 ] και [ 5.10 ] παίρνουν τη μορφή :

0( )exp{ }c Fi

i cE En n N

kT- -= = [ 5.12 ]

και

0( )exp{ }Fi v

i i vE Ep p n N

kT- -= = = [ 5.13 ]

Πολλαπλασιαζόμενες μεταξύ τους :

2 exp( )gi c v

En N N

kT-

= [ 5.14 ]

Για δοσμένο ημιαγωγό, σε σταθερή θερμοκρασία, η τιμή του in είναι

σταθερή και ανεξάρτητη της ενέργειας Fermi. Οι τιμές του in που προκύπτουν από την εξίσωση [ 5.14 ], αντικαθιστώντας τα cN , vN από τον πίνακα 4 συνήθως διαφέρουν από τις πειραματικώς προσδιοριζόμενες τιμές. Η διαφορά όμως αυτή, τις περισσότερες φορές δεν είναι σημαντική. Στον πίνακα 5 δίνονται οι πιο κοινά αποδεκτές τιμές του in στους 3000 Κ για τα Si, Ge , GaAs.

29

Πυρίτιο 10 31.5 10in cm= ΄ -

Αρσενικούχο Γάλλιο 6 31.8 10in cm= ΄ -

Γερμάνιο 13 32.4 10in cm= ΄ -

Πίνακας 5 3.2 σελ 92

Η τιμή του in επηρεάζεται δραστικά από την θερμοκρασία, όπως

φαίνεται και στην εικόνα …..

Εικόνα… 3.2 σελ 94

5.4.3 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ FERMI ΣΕ ΕΝΔΟΓΕΝΗ ΗΜΙΑΓΩΓΟ

Δείξαμε ότι in = ip . Τότε :

( ) ( )exp exp{ } { }c Fi Fi vc v

E E E EN NkT kT

- - - -= [ 5.15 ]

Λογαριθμίζουμε με βάση το e, λύνουμε ως προς FiE , αντικαθιστούμε

τα cN , vN και τελικά καταλήγουμε :

*

*3 ln4

( )pFi midgap

n

mE E kT

m- = [ 5.16 ]

όπου 1 ( )

2 c vmidgapE E E= + η ενέργεια που αντιστοιχεί στο μέσο της

απαγορευμένης ζώνης. Αν * *p nm m= , τότε η FiE απαντά στο μέσο

ακριβώς της απαγορευμένης ζώνης. Αν * *p nm m› , τότε απαντά ελαφρώς πιο

πάνω απ΄ το μέσο. Τέλος, αν * *p nm m‹ , απαντά ελαφρώς πιο κάτω απ‘ το

μέσο. Η συνάρτηση πυκνότητας των καταστάσεων είναι ανάλογη της ενεργού μάζας των φορέων. Για να ισχύει in = ip , η FiE πρέπει να απομακρύνεται απ’ τη ζώνη με τη μεγαλύτερη πυκνότητα καταστάσεων, η οποία προφανώς θα περιέχει τους φορείς με τη μεγαλύτερη ενεργό μάζα.

Εικόνα 40

30

3.1 σελ 88

5.5 Ο ΕΞΩΓΕΝΗΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ

5.5.1 ΟΡΙΣΜΟΣ

Η σημαντικότερη, για τις τεχνολογικές εφαρμογές, ιδιότητα των ημιαγωγών είναι το γεγονός ότι μπορούμε να ελέγξουμε και να κατευθύνουμε τα ηλεκτρικά χαρακτηριστικά τους, μέσω της διαδικασίας της νόθευσης ( doping ), εισάγοντας, δηλαδή, μικρές, ελεγχόμενες ποσότητες συγκεκριμένων ατόμων στο πλέγμα τους. Τα άτομα αυτά ονομάζονται άτομα πρόσμιξης. Το ημιαγώγιμο υλικό που προκύπτει ονομάζεται ημιαγωγός προσμίξεων ή εξωγενής ημιαγωγός ( extriinsic semiconductor ). Ως αποτέλεσμα της νόθευσης, δεν υπάρχει πια ισότητα μεταξύ των φορέων αγωγιμότητας. Είτε τα ηλεκτρόνια είτε οι οπές θα υπερισχύουν και θα χαρακτηρίζονται ανάλογα ως φορείς πλειοψηφίας ( majority carriers ) ή μειοψηφίας (minority carriers ).

5.5.2 ΕΞΩΓΕΝΕΙΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ ΤΥΠΟΥ – n

Προκύπτουν αν σε ένα ενδογενή ημιαγωγό εισαχθούν άτομα πρόσμιξης

μεγαλύτερου σθένους από αυτό των ατόμων του ημιαγωγού. Ας θεωρήσουμε τη δισδιάστατη απεικόνιση του κρυσταλλικού

πλέγματος σε ένα μονοκρύσταλλο Si. Έστω ότι εισάγουμε στο πλέγμα ένα άτομο στοιχείου από την ομάδα V του περιοδικού συστήματος, π.χ. ένα άτομο φωσφόρου ( P ), ως πρόσμιξη αντικατάστασης ( substitutional imputity ). O P, o οποίος διαθέτει πέντε ηλεκτρόνια σθένους, εντάσσεται στο κρυσταλλικό πλέγμα υποκαθιστώντας ένα άτομο Si. Τέσσερα από τα ηλεκτρόνια του ατόμου του Ρ θα χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία ομοιοπολικού δεσμού με τα γειτονικά άτομα Si, αφήνοντας το πέμπτο ασθενέστερα συνδεδεμένο με το άτομο Ρ. Σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες, το ηλεκτρόνιο αυτό ( donor electron ) δεσμεύεται από το άτομο του Ρ ( εικόνα…). Απορροφώντας όμως μικρά ποσά ενέργειας μπορεί, ευκολότερα από τα υπόλοιπα τέσσερα τα οποία παίρνουν μέρος στο χημικό δεσμό, να μεταπηδήσει στη ζώνη αγωγιμότητας και να καταστεί ηλεκτρόνιο αγωγιμότητας. Το άτομο της πρόσμιξης καθίσταται κατιόν.

31

Εικόνα…… Η παρουσία των ατόμων της πρόσμιξης έχει ως αποτέλεσμα την

εισαγωγή μιας πρόσθετης επιτρεπόμενης ενεργειακής στάθμης, της στάθμης πρόσμιξης ( donor state με ενέργεια dE ), μέσα στην απαγορευμένη ζώνη και πολύ κοντά στη ζώνη αγωγιμότητας.

Πυρίτιο Φωσφόρος

-e

32

Εικόνα …..

Έτσι, ηλεκτρόνια απ’ τη στάθμη πρόσμιξης μπορούν πολύ εύκολα, απορροφώντας μικρά μόνο ποσά ενέργειας, που βρίσκονται ακόμα και στη συνήθη θερμοκρασία, να μεταπηδήσουν στη ζώνη αγωγιμότητας και να καταστούν ηλεκτρόνια αγωγιμότητας. Τα άτομα πρόσμιξης που παρέχουν ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας, χωρίς να δημιουργούν οπές στη ζώνη σθένους, ονομάζονται δότες ( donors ).

5.5.3 ΕΞΩΓΕΝΕΙΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ ΤΥΠΟΥ – p

Προκύπτουν αν σε ένα ενδογενή ημιαγωγό εισαχθούν άτομα πρόσμιξης

με σθένος μικρότερο απ’ εκείνο των ατόμων του ημιαγωγού. Επανερχόμαστε στο παράδειγμα του μονοκρυστάλλου Si που

προηγήθηκε. Έστω ότι εισάγουμε στο πλέγμα ως πρόσμιξη αντικατάστασης ένα άτομο στοιχείου της III ομάδας του περιοδικού συστήματος, π.χ. ένα άτομο βορίου ( Β ). Το άτομο του Β διαθέτει τρία ηλεκτρόνια σθένους. Επομένως, κατά την ένταξή του στο πλέγμα, μια θέση ομοιοπολικού δεσμού παρουσιάζεται κενή.

33

Εικόνα …

Ένα ηλεκτρόνιο σθένους από κάποιο γειτονικό άτομο Si, απορροφώντας μικρά ποσά ενέργειας, μπορεί να μετακινηθεί προς την κενή αυτή θέση καταλαμβάνοντας τη. Το άτομο του Β καθίσταται ανιόν, ενώ εκεί όπου έφυγε το ηλεκτρόνιο δημιουργείται μια κενή θέση η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως οπή.

Πυρίτιο Βόριο

34

Εικόνα ….

Η παρουσία των ατόμων της πρόσμιξης έχει ως αποτέλεσμα την εισαγωγή μιας πρόσθετης επιτρεπόμενης ενεργειακής στάθμης, της στάθμης πρόσμιξης ( acceptor state με ενέργεια aE ) μεσα στην απαγορευμένη ζώνη και πολύ κοντά στη ζώνη σθένους.

Εικόνα….. 3.7 σελ 99

Έτσι, ηλεκτρόνια από τη ζώνη σθένους μπορούν πολύ εύκολα,

απορροφώντας μικρά μόνο ποσά ενέργειας, που βρίσκονται ακόμη και στη συνήθη θερμοκρασία, να μεταπηδήσουν στη στάθμη πρόσμιξης. Καθώς αυτή απέχει ακόμη σημαντικά από τη ζώνη σθένους, παραμένουν εκεί αλλά ως αποτέλεσμα της μεταπήδησής τους δημιουργούνται στη ζώνη σθένους ισάριθμες οπές.

Τα άτομα των προσμίξεων που δημιουργούν οπές στη ζώνη σθένους, χωρίς να προσθέτουν ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας, ονομάζονται αποδέκτες ( acceptors ).

Συμπερασματικά, ένας εξωγενής ημιαγωγός είναι τύπου n όταν έχει

περίσσια ηλεκτρονίων και τύπου p όταν έχει περίσσια οπών.

Πυρίτιο Βόριο

+

35

5.5.4 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΙΟΝΙΣΜΟΥ

Η διαφορά c dE E- , στην περίπτωση ημιαγωγού τύπου n, και η διαφορά a vE E- , στην περίπτωση ημιαγωγού τύπου p, ισούται με την ενέργεια

που απαιτείται για να δημιουργηθεί ο αντίστοιχος φορέας αγωγιμότητας. Η ενέργεια αυτή ονομάζεται ενέργεια ιονισμού ( ionization energy ) και στον πίνακα….δίνονται οι τιμές της για τις σημαντικότερες προσμίξεις στο Si και στο Ge.

Ενέργεια Ιονισμού ( eV )

Πρόσμιξη Πυρίτιο Γερμάνιο Δότες

Φωσφόρος 0.045 0.012 Αρσενικό 0.05 0.0127 Αποδέκτες

Βόριο 0.045 0.0104 Αλουμίνιο 0.06 0.0102

Πίνακας 6 ( Ενέργειες ιονισμού προσμίξεων στο Si και στο Ge )

5.5.5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΤΌΜΩΝ ΠΡΟΣΜΙΞΗΣ ΣΕ ΣΥΝΘΕΤΟΥΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΥΣ

Έστω ένας ημιαγωγός τύπου III – V, π.χ. το GaAs. Στοιχεία της ομάδας

ΙΙ του περιοδικού συστήματος, όπως το βηρύλλιο ( Beryllium ), ο ψευδάργυρος ( Zinc ), το κάδμιο (Cadmium ) κ.τ.λ., μπορούν να εισέλθουν στο πλέγμα, ως προσμίξεις αντικατάστασης, στη θέση του Ga ( ομάδα ΙΙΙ ). Τα στοιχεία αυτά δρουν ως δότες. Ομοίως, στοιχεία της ομάδας VI εισέρχονται στο πλέγμα υποκαθιστώντας το As ( ομάδα V ) και δρουν ως αποδέκτες.

Στοιχεία της ομάδας ΙV μπορούν, επίσης, να χρησιμοποιηθούν ως προσμίξεις στο GaAs, η δράση τους όμως δεν είναι καθορισμένη μονοσήμαντα. Τα στοιχεία αυτά ονομάζονται…..( amphoteric ) και δρουν είτε ως δότες είτε ως αποδέκτες. Πειραματικά έχει δειχθεί ότι το Ge δρα κυρίως ως αποδέκτης ενώ το Si ως δότης. Οι ενέργειες ιονισμού για τις διάφορες προσμίξεις στο GaAs δίνονται στον πίνακα 7.

36

Πρόσμιξη Ενέργεια ιονισμού ( Ev ) Δότες

Σελήνιο 0.0059 Τελλούριο 0.0058

Πυρίτιο 0.0058 Γερμάνιο 0.0061 Αποδέκτες Βηρύλλιο 0.028

Ψευδάργυρος 0.0307 Κάδμιο 0.0347 Πυρίτιο 0.0345

Γερμάνιο 0.0404

Πίνακας 7

( Ενέργειες ιονισμού προσμίξεων στο GaAs )

5.5.6 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΕΞΩΓΕΝΗ ΗΜΙΑΓΩΓΟ

Στην περίπτωση εξωγενούς ημιαγωγού, η συγκέντρωση των

ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας και των οπών στη ζώνη σθένους δίνεται αντίστοιχα από τις εξισώσεις :

exp{ }F Fi

o iE En n

kT-= [ 5.17 ]

και

0( )exp{ }F Fi

iE Ep n

kT- -= [ 5.18 ]

Η εισαγωγή των ατόμων της πρόσμιξης έχει σαν αποτέλεσμα την αλλαγή της θέσης της στάθμης Fermi. Όπως φαίνεται από τις [ 5.17 ] & [ 5.18 ], καθώς η στάθμη Fermi διαφοροποιείται από την FiE , τα 0n , 0p διαφοροποιούνται από το in . Αν F FiE E› , τότε 0 in n› & 0 ip n‹ . Άρα 0 0n p› και ο ημιαγωγός είναι τύπου n. Αν F FiE E‹ , τότε 0 in n‹ & 0 ip n› . Άρα 0 0p n› και ο ημιαγωγός είναι τύπου p. Τα ως άνω απεικονίζονται στις εικόνες …& ……

37

3.8 σελ 102 κ 3.9 σελ 103

Πολλαπλασιάζοντας τις [ 5.17 ] & [ 5.18 ] παίρνουμε :

0 0 exp gc v

EkT

n p N Nμ όο οο ον ύο οο οξ ώ

=-

[ 5.19 ]

που σημαίνει ότι το γινόμενο 0 0n p , για έναν ημιαγωγό σε δοσμένη

θερμοκρασία είναι σταθερό.

5.5.7 ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΟΙ ΚΑΙ ΜΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΟΙ ΗΜΙΑΓΩΓΟΙ

Μη εκφυλισμένος ( nondegenarate ) χαρακτηρίζεται ένας ημιαγωγός όταν η συγκέντρωση των ατόμων της πρόσμιξης είναι μικρή, συγκρινόμενη με την πυκνότητα των ατόμων του. Τα άτομα της πρόσμιξης είναι διασκορπισμένα στη μάζα του ημιαγωγού σε απόσταση μεταξύ τους τέτοια ώστε να μην αλληλεπιδρούν οι φορείς αγωγιμότητας που προκύπτουν από την ένταξή τους στο πλέγμα.

Καθώς η συγκέντρωση τους αυξάνει, η απόσταση αυτή μειώνεται και κάποια στιγμή παίρνει τέτοια τιμή που επιτρέπει την μεταξύ τους αλληλεπίδραση. Τότε η στάθμη πρόσμιξης διευρύνεται σε ζώνη ενεργειών και, αν η συγκέντρωση των προσμίξεων αποκτήσει τιμή παραπλήσια της ενεργού πυκνότητας καταστάσεων, η ζώνη, πια, πρόσμιξης επικαλύπτεται με τον πυθμένα της ζώνης αγωγιμότητας (τύπος n ) ή με την κορυφή της ζώνης σθένους (τύπος p ). Στην πρώτη περίπτωση, όταν η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας υπερβαίνει τη cN , η στάθμη Fermi βρίσκεται εντός της ζώνης αγωγιμότητας. Αντίστοιχα, όταν η συγκέντρωση των οπών στη ζώνη σθένους υπερβαίνει τη vN , η στάθμη Fermi βρίσκεται εντός της ζώνης σθένους. Τα ως άνω απεικονίζονται στις εικόνες …& ….

3.11 α+β σελ 109

Οι ημιαγωγοί αυτοί ονομάζονται εκφυλισμένοι ( degenerate ) και η

προσέγγιση των Maxwell – Boltzman της συνάρτησης κατανομής παύει να ισχύει. Για το Si, συνήθως δεχόμαστε ως οριακή τιμή συγκέντρωσης προσμίξεων την 3×1017 cm-3 περίπου.

38

5.5.8 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Η συνάρτηση της πιθανότητας που έχει η στάθμη των δοτών να είναι

κατειλημμένη με ηλεκτρόνια δίνεται από την εξίσωση :

11 exp( )d

dFd

Nn E Eg kT

= -+ [ 5.20 ]

όπου dn η πυκνότητα των ηλεκτρονίων στη στάθμη των δοτών, dE η

ενέργεια της στάθμης των δοτών και dN η συγκέντρωση των ατόμων δοτών. Ο παράγοντας g ονομάζεται παράγοντας εκφυλισμού ( degeneracy factor ) και έχει την τιμή 2. Η [ 5.20 ] μπορεί να γραφεί και ως :

d d dn N N += - [ 5.21 ]

όπου dN + η συγκέντρωση των ατόμων δοτών που έχουν ιονισθεί. Ομοίως, για την περίπτωση των αποδεκτών ισχύει η εξίσωση :

11 exp( )a

a a aF a

Np N NE Eg kT

-== --+ [ 5.22 ]

όπου ap η συγκέντρωση των οπών στη ζώνη σθένους, aE η ενέργεια

της στάθμης των αποδεκτών, aN η συγκέντρωση των αποδεκτών και aN - η συγκέντρωση των αποδεκτών που έχουν ιονιστεί. Στην περίπτωση των αποδεκτών, για το Si & το GaAs, το g ισούται με 4.

5.5.9 ΠΛΗΡΗΣ ΙΟΝΙΣΜΟΣ ΚΑΙ FREEZE OUT

Αν ( )FdE E kT››- η [ 5.21 ] γίνεται :

( )2 exp1 exp2

{ }( )

Fd dd d

Fd

N E En NE E kTkT

- -=- [ 5.23 ]

Επίσης, ισχύει για τα ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας η [ 5.7 ] :

39

0n ( )exp{ }c Fc

E ENkT

- -=

Τότε, ο λόγος των ηλεκτρονίων στη στάθμη των δοτών προς το

άθροισμα των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας και στη ζώνη των δοτών υπολογίζεται ως :

0

1( )1 exp

2{ }

d

cc dd

d

nE ENn n

N kT

= - -+ + [ 5.24 ]

όπου ( )c dE E- η ενέργεια ιονισμού των ηλεκτρονίων των δοτών. Παρατηρούμε ότι ο λόγος αυτός είναι ανεξάρτητος της ενέργειας Fermi.

Έστω πυρίτιο n-τύπου , το οποίο έχει νοθευτεί με άτομα φωσφόρου.

Έστω ότι η συγκέντρωση της νόθευσης είναι 16 310dN cm-= . Στη

θερμοκρασία δωματίου ισχύει : 0

0.41%d

d

nn n

=+

. Δηλαδή, συγκριτικά με

τα ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας, ο αριθμός των ηλεκτρονίων στη στάθμη των δοτών είναι ελάχιστος. Δεχόμαστε, λοιπόν, ότι στους 3000 Κ όλα τα ηλεκτρόνια της στάθμης πρόσμιξης βρίσκονται στη ζώνη αγωγιμότητας. Έχουμε, δηλαδή, πλήρη ιονισμό των ατόμων δοτών. Τα αυτά ισχύουν και στην περίπτωση των αποδεκτών, πάντα για τυπικές τιμές συγκέντρωσης ατόμων πρόσμιξης ( της τάξης των 1016 cm-3 ).

Εικόνα …… 3.12σελ 112 Το αντίθετο φαινόμενο παρατηρείται στη θερμοκρασία του απόλυτου

μηδενός. Αν θεωρήσουμε έναν ημιαγωγό n-τύπου τότε κάθε στάθμη πρόσμιξης πρέπει να περιέχει ένα ηλεκτρόνιο ώστε d dn N= ή 0dN+ = . Απ’ την [ 5.20 ] εξάγουμε το συμπέρασμα ότι F dE E› που συνεπάγεται ότι η στάθμη Fermi απαντά πιο πάνω από τη στάθμη των δοτών. Ομοίως, σε έναν ημιαγωγό p-τύπου, η στάθμη Fermi απαντά κάτω από τη στάθμη των αποδεκτών. Πιο συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι η FE απαντά στο μέσο της απόστασης c dE E- ( n-τύπος ) ή στο μέσο της απόστασης

a vE E- ( p-τύπος ). Όπως παρατηρούμε και στην εικόνα …….κανένα ηλεκτρόνιο της στάθμης των δοτών δεν έχει μεταπηδήσει θερμικά στη ζώνη αγωγιμότητας και κανένα ηλεκτρόνιο απ’ τη ζώνη σθένους δεν έχει

40

μεταπηδήσει θερμικά στη στάθμη των αποδεκτών. Το φαινόμενο αυτό καλείται πάγωμα των φορέων ( freeze out ).

Eik;ona …. 3.13sel 112. Για θερμοκρασία Τ, με 0 00 300T‹ ‹ , συμβαίνει μερικός ιονισμός των

ατόμων δοτών και αποδεκτών.

5.6 COMPENSATED SEMICONDUCTORS

5.6.1 ΟΡΙΣΜΟΣ Ως compensated ημιαγωγός ορίζεται ένα ημιαγώγιμο υλικό το οποίο

περιέχει, στην ίδια περιοχή, τόσο άτομα δότες όσο και άτομα αποδέκτες. Αν adN N› τότε ονομάζεται compensated ημιαγωγός n-τύπου ενώ αν

a dN N› ονομάζεται compensated ημιαγωγός p-τύπου. Στην περίπτωση που adN N= τότε προκύπτει ένας πλήρως compensated ημιαγωγός ο οποίος έχει τα χαρακτηριστικά ενός ενδογενούς. Η εικόνα ….δίνει το διάγραμμα των ζωνών στην περίπτωση ενός compensated ημιαγωγού.

5.6.2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΚΑΙ ΟΠΩΝ

Η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων ( 0n ) σε ένα compensated ημιαγωγό

n-τύπου δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση :

20

2( )2 2

( )a ad di

N N N Nn n= + +- - [ 5.25 ]

όπου dN , aN οι συγκεντρώσεις δοτών και αποδεκτών και in η

ενδογενής συγκέντρωση των φορέων αγωγιμότητας. Ας σημειωθεί ότι η εξίσωση αυτή ισχύει και για την περίπτωση που 0aN = .

Τα ηλεκτρόνια είναι οι φορείς πλειοψηφίας. Η συγκέντρωση των φορέων μειοψηφίας υπολογίζεται έμμεσα ως :

2

00

inpn

= [ 5.26 ]

41

Όπως ήδη έχουμε αναφέρει, η προσθήκη ατόμων δοτών αυξάνει την συγκέντρωση των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας πάνω από την ενδογενή συγκέντρωση. Συγχρόνως, η συγκέντρωση των οπών στη ζώνη σθένους μειώνεται σε τιμή κατώτερη της ενδογενούς. Η προσθήκη των προσμίξεων έχει σαν αποτέλεσμα την ανακατανομή των ηλεκτρονίων στις διαθέσιμες ενεργειακές στάθμες ( εικόνα …. )

Εικόνα…… 3.15 σελ 117. Κάποια από τα ηλεκτρόνια που προκύπτουν από τον ιονισμό των δοτών

θα μεταπέσουν σε οπές της ζώνης σθένους και θα τις εκμηδενίσουν. Επομένως δε συνεισφέρουν όλα στην αγωγιμότητα του υλικού. Η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων στη ζώνη αγωγιμότητας δεν ισούται απλά με το άθροισμα της συγκέντρωσης των ηλεκτρονίων που προκύπτουν από τον ιονισμό των δοτών και της ενδογενούς συγκέντρωσης.

Η συγκέντρωση των οπών ( 0p ) σε ένα compensated ημιαγωγό p-τύπου

δίνεται από την εξίσωση :

20

22 2

( )a ad di

N N N Np n= + +- - [ 5.27 ]

η οποία ισχύει και για 0dN = . Η συγκέντρωση των φορέων μειοψηφίας υπολογίζεται έμμεσα ως :

2

00

innp

= [ 5.28 ]

5.6.3 Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΣΤΟΥΣ ΕΞΩΓΕΝΕΙΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΥΣ

Είδαμε στην παράγραφο 5.4.2 ότι η ενδογενής συγκέντρωση ( in )

είναι ισχυρή συνάρτηση της θερμοκρασίας. Καθώς η θερμοκρασία αυξάνεται, επιπρόσθετα ζεύγη οπών – ηλεκτρονίων δημιουργούνται θερμικά και τότε ο όρος 2

in της [ 5.25 ] κυριαρχεί. Από κάποια τιμή της θερμοκρασίας και έπειτα, ο ημιαγωγός χάνει τον εξωγενή του χαρακτήρα. Στην εικόνα …..δίνεται η μεταβολή της συγκέντρωσης των ηλεκτρονίων συναρτήσει της θερμοκρασίας στην περίπτωση πυριτίου νοθευμένου με άτομα δότες συγκέντρωσης 14 35 10dN cm= ΄ .

42

Εικόνα …. 3.16 σελ 117. Η μετατροπή των ημιαγωγών πρόσμιξης σε ενδογενής ημιαγωγούς με

την αύξηση της θερμοκρασίας έχει μεγάλη πρακτική σημασία διότι επιβάλλει ένα μέγιστο θερμοκρασιακό όριο για τη χρησιμοποίηση των ημιαγώγιμων διατάξεων.

5.7 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΤΗΣ ΣΤΑΘΜΗΣ FERMI

Υποθέτοντας ότι ο ημιαγωγός δεν είναι εκφυλισμένος , από την [ 5.7 ]

λύνοντας ως προς ( )c FE E- έχουμε :

0

ln cc F

Nn

E E kTζ φχη χη χη χηθ ψ

=- [ 5.29 ]

όπου το 0n υπολογίζεται από την [ 5.25 ]. Στην περίπτωση ενός ημιαγωγού n-τύπου, όπου idN n , ισχύει 0 dn N@ οπότε :

ln cc F

d

NE E kTNζ φχη χη χη χχηθ ψ

=- [ 5.30 ]

Απ’ την [ 5.30 ] μπορούμε να εξάγουμε το συμπέρασμα ότι όταν η

συγκέντρωση των δοτών αυξάνει τότε η FE πλησιάζει τη ζώνη αγωγιμότητας και το αντίστροφο. Στην περίπτωση compensated ημιαγωγού αντικαθιστούμε στην ως άνω εξίσωση το dN με τη διαφορά

adN N- . Ας σημειωθεί ότι οι ημιαγωγοί αυτού του τύπου συνήθως χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία υλικού με συγκεκριμένη στάθμη Fermi.

Μπορούμε, επίσης, να υπολογίσουμε τη διαφορά μεταξύ της στάθμης

Fermi και της ενδογενούς στάθμης Fermi ( FiE ) ως συνάρτηση της συγκέντρωσης των δοτών :

0lni

F Finn

E E kTζ φχη χη χη χηθ ψ

=- [ 5.31 ]

όπου πάλι το 0n δίνεται από την [ 5.25 ].

43

Χρησιμοποιώντας τις ίδιες παραδοχές μπορούμε να καταλήξουμε σε ανάλογους φορμαλισμούς για την περίπτωση ενός ημιαγωγού p-τύπου.

0ln v

F vNE E kTp

ζ φχη χη χη χηθ ψ=- [ 5.32 ]

και αν a iN n τότε :

ln vF v

NE E kTζ φχη= χη χηθ ψ

- ln vF v

a

NE E kTNζ φχη χη χη χηθ ψ

=- [ 5.33 ]

Όταν η συγκέντρωση των αποδεκτών αυξάνει, η στάθμη Fermi

πλησιάζει τη ζώνη σθένους και αντίστροφα. Στην περίπτωση ενός compensated ημιαγωγού, αντικαθιστούμε το aN με τη διαφορά a dN N- .

Επίσης ισχύει :

0lnFi Fi

pE E kTn

ζ φχη χη χη χηθ ψ=- [ 5.34 ]

όπου το 0p δίνεται από την εξίσωση [ 5.27 ]. Από τις εξισώσεις [ 3.65 ] & [ 3.68 ] προκύπτει ότι σε έναν ημιαγωγό n-

τύπου ( 0 in n› ) ισχύει F FiE E› και σε έναν ημιαγωγό p-τύπου ( 0 ip n› ) ισχύει F FiE E‹ .

Εικόνα …. 3.17 σελ 122.

5.8 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΗΣ ΣΤΑΘΜΗΣ FERMI ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΜΙΞΕΩΝ

Η μεταβολή της θέσης της στάθμης Fermi συναρτήσει της

συγκέντρωσης των προσμίξεων δίνεται στην εικόνα ….. Εικόνα… 3.18 σελ 124.

44

Καθώς η συγκέντρωση των προσμίξεων αυξάνει, η στάθμη Fermi μετατοπίζεται προς την ζώνη αγωγιμότητας ( n-τύπος ) ή προς τη ζώνη σθένους ( p-τύπος ).

Η εικόνα ….δίνει την μεταβολή της θέσης της ενέργειας Fermi με τη

θερμοκρασία στην περίπτωση του πυριτίου και για διάφορες τιμές συγκέντρωσης δοτών και αποδεκτών.

Εικόνα …. 3.19 σελ 124. Αυξανομένης της θερμοκρασίας το in αυξάνει και η FE πλησιάζει την FiE . Σε υψηλές θερμοκρασίες το υλικό αρχίζει να χάνει τα εξωγενή

χαρακτηριστικά του και μετατρέπεται σε ενδογενή ημιαγωγό. Σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες εμφανίζεται freeze out οπότε και η προσέγγιση Boltzman παύει να έχει ισχύ. Σε αυτές τις θερμοκρασίες η FE βρίσκεται πάνω από την dE ( n-τύπος ) ή κάτω από την aE ( p-τύπος ). Στη θερμοκρασία του απόλυτου μηδενός όλες οι ενεργειακές στάθμες κάτω από την στάθμη Fermi είναι κατειλημμένες και όλες οι ενεργειακές στάθμες πάνω από την στάθμη Fermi κενές.

6 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΦΟΡΕΩΝ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ

6.1 ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΦΟΡΕΩΝ

6.1.1 ΟΡΙΣΜΟΣ

Αν σε έναν ημιαγωγό εφαρμόσουμε ηλεκτρικό πεδίο, το πεδίο αυτό θα

παράγει μια δύναμη που θα ενεργεί στα ηλεκτρόνια και στις οπές του. Υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχουν διαθέσιμες ενεργειακές στάθμες στη ζώνη αγωγιμότητας και στη ζώνη σθένους, η δύναμη αυτή θα έχει σαν αποτέλεσμα την επιτάχυνση και μεταφορά των φορέων φορτίου. Η μεταφορά φορέων που οφείλεται σε εφαρμογή ηλεκτρικού πεδίου καλείται ολίσθηση ( drift ) και συνεπάγεται τη δημιουργία, εντός του ημιαγωγού, ηλεκτρικού ρεύματος το οποίο ονομάζεται ρεύμα ολίσθησης ( drift current ).

6.1.2 ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΦΟΡΕΩΝ

45

Ας θεωρήσουμε έναν όγκο με πυκνότητα φορτίου r . Έστω ότι τα

φορτία αυτά είναι θετικά και κινούνται με μέση ταχύτητα ολίσθησης du . Τα ως άνω ισοδυναμούν με ρεύμα ολίσθησης πυκνότητας drfJ ( amps/ cm2 ή coul/ cm2•sec ) :

drf dJ r u= [ 6.1 ]

Αν υποθέσουμε ότι τα φορτία είναι οπές τότε :

\ ( )p drf dJ ep u= [ 6.2 ]

Η εξίσωση κίνησης, παρουσία ηλεκτρικού πεδίου, μιας οπής είναι :

*pF m a eE= = [6.3 ]

όπου e το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο, a η επιτάχυνση, *

pm η ενεργός μάζα της οπής και E η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Θα περιμέναμε λοιπόν, δεδομένου ότι το πεδίο E διατηρείται σταθερό, γραμμική με το χρόνο αύξηση της ταχύτητας των οπών. Κάτι τέτοιο όμως δεν παρατηρείται στην πράξη. Οι φορείς αγωγιμότητας εμπλέκονται σε συγκρούσεις με τα άτομα του πλέγματος που υφίστανται θερμικές δονήσεις και με τα ιονισμένα άτομα πρόσμιξης. Η προκαλούμενη σκέδαση των φορέων μεταβάλλει τα χαρακτηριστικά της ταχύτητάς τους.

Καθώς, υπό την επίδραση του πεδίου , η οπή επιταχύνεται εντός του κρυστάλλου, η ταχύτητά της αυξάνει. Όταν συγκρουσθεί π.χ. με ένα άτομο του κρυστάλλου χάνει την ενέργειά της ή σημαντικό ποσοστό αυτής. Εν συνεχεία επιταχύνεται ξανά και αυξάνει την ενέργειά της ως την επόμενη σκέδαση. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται αδιάλειπτα. Μπορούμε να δεχθούμε ότι κατά τη διάρκεια της διαδικασίας αυτής η οπή αποκτά μια μέση ταχύτητα ολίσθησης η οποία, για χαμηλά ηλεκτρικά πεδία , είναι ευθέως ανάλογη του ηλεκτρικού πεδίου. Ισχύει :

pdp Eu m= [ 6.4 ]

όπου pm ο συντελεστής αναλογίας. Ονομάζεται κινητικότητα της οπής

( hole mobility ), είναι θετική ποσότητα και έχει μονάδες μέτρησης συνήθως cm2/ Vsec. Η κινητικότητα είναι σημαντική παράμετρος του

46

ημιαγωγού διότι περιγράφει την ευκολία μετακίνησης, υπό την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου, των φορέων του.

Συνδυάζοντας τις εξισώσεις [ 6.2 ] & [ 6.4 ] παίρνουμε :

\ ( ) pp drf dpJ ep e pEu m= = [ 6.5 ]

Το ρεύμα ολίσθησης που οφείλεται στην κίνηση των οπών έχει την ίδια με το εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο διεύθυνση.

Με ανάλογες σκέψεις έχουμε για την περίπτωση των ηλεκτρονίων :

\ ( )n drf dn dnJ enr u u= = - [ 6.6 ]

όπου \n drfJ η πυκνότητα του ρεύματος ολίσθηση οφειλόμενη στην κίνηση των ηλεκτρονίων και dnu η μέση ταχύτητα ολίσθησης αυτών. Για χαμηλά ηλεκτρικά πεδία ισχύει :

ndn Eu m= - [ 6.7 ]

όπου nm η κινητικότητα των ηλεκτρονίων ( επίσης θετική ποσότητα ).

Παρατηρούμε ότι τα ηλεκτρόνια κινούνται προς αντίθετη διεύθυνση απ’ αυτή του εφαρμοζόμενου ηλεκτρικού πεδίου.

Συνδυάζοντας τις εξισώσεις [ 6.6 ] & [ 6.7 ] παίρνουμε :

\ ( )( )n nn drfJ en E e nEm m= =- - [ 6.8 ]

Το συμβατικό ρεύμα ολίσθησης, οφειλόμενο στην κίνηση των ηλεκτρονίων, είναι προς την ίδια με το εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο διεύθυνση.

Οι κινητικότητες ηλεκτρονίων και οπών είναι συνάρτηση της θερμοκρασίας και της συγκέντρωσης των προσμίξεων. Ο πίνακας 8 δίνει μερικές τυπικές τιμές για χαμηλές συγκεντρώσεις σε θερμοκρασία δωματίου.

Στη δημιουργία του ρεύματος ολίσθησης συνεισφέρουν τόσο τα ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας του ημιαγωγού όσο και οι οπές στη ζώνη σθένους. Επομένως η ολική πυκνότητα του ρεύματος ολίσθησης θα δίνεται ως το άθροισμα των επιμέρους πυκνοτήτων \n drfJ και \p drfJ :

( )n pdrfJ e n Em m= + [ 6.9 ]

47

2( sec)n cm Vm Χ 2( sec)p cm Vm Χ

Πυρίτιο 1350 480

Αρσενικούχο Γάλλιο 8500 400 Γερμάνιο 3900 1900

Πίνακας 8

( Τυπικές τιμές κινητικότητας στη θερμοκρασία δωματίου και για χαμηλές συγκεντρώσεις νόθευσης )

6.1.3 ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΚΑΙ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΚΙΝΗΤΙΚΟΤΗΤΑ

Ξαναγράφουμε την εξίσωση [ 6.3 ] ως εξής :

*p

dF m eEdtu= = [ 6.10 ]

όπου u η ταχύτητα της οπής οφειλόμενη στο εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό

πεδίο. Η ταχύτητα αυτή δεν περιλαμβάνει την τυχαία θερμική κίνηση της οπής. Υποθέτουμε ότι τα *, pE m είναι σταθερά και ότι η αρχική ταχύτητα ολίσθησης είναι μηδέν. Τότε ολοκληρώνοντας έχουμε :

*p

eEtm

u = [ 6.11 ]

Η εικόνα ….α σελ 137 δείχνει ένα μοντέλο της τυχαίας θερμικής

κίνησης και ταχύτητας μιας οπής σε έναν ημιαγωγό, απουσία ηλεκτρικού πεδίου. Μεταξύ των συγκρούσεων μεσολαβεί ένας μέσος χρόνος ο οποίος συμβολίζεται με cpt ( free transit time ).

Eikona … A sel 137 Με την εφαρμογή ηλεκτρικού πεδίου, εικόνα …β σελ 137, ο μέσος

αυτός χρόνος δεν αλλάζει σημαντικά. Εικόνα …… Β σελ 137

48

Χρησιμοποιώντας το μέσο χρόνο cpt μεταξύ των συγκρούσεων έναντι του χρόνου t στην εξίσωση [ 6.11 ] μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση μέγιστη ταχύτητα της οπής \d peaku ακριβώς πριν την σκέδασή της :

\ *cp

d peakp

eE

mt

uζ φχη χη χη χη χηθ ψ

= [ 6.12 ]

Η μέση ταχύτητα ολίσθησης είναι το μισό της μέγιστης αυτής

ταχύτητας. Όμως με προσεκτικό και ακριβή προσδιορισμό του μέσου χρόνου μεταξύ των συγκρούσεων το ½ παραλείπεται και τότε η κινητικότητα των οπών υπολογίζεται ως :

*dp cp

pp

eE m

u tm = = [ 6.13 ]

Με το ίδιο σκεπτικό η κινητικότητα των ηλεκτρονίων υπολογίζεται ως :

*cn

nn

emtm = [ 6.14 ]

όπου cnt ο μέσος χρόνος μεταξύ των συγκρούσεων για ένα ηλεκτρόνιο. Δυο είναι οι μηχανισμοί σκέδασης που κυριαρχούν σε έναν ημιαγωγό

και επηρεάζουν την κινητικότητα των φορέων :

Φωνονική ή πλεγματική σκέδαση Τα άτομα του κρυστάλλου ενός ημιαγωγού έχουν ορισμένη ποσότητα

θερμικής ενέργειας σε θερμοκρασίες άνω του απόλυτου μηδενός ( 00 Κ ). Η ενέργεια αυτή προκαλεί τυχαία ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας τους στο πλέγμα διαταράσσοντας την συνάρτηση του τέλεια περιοδικού δυναμικού του πλέγματος. Ένα τέλεια περιοδικό δυναμικό σε ένα στερεό σώμα επιτρέπει στα ηλεκτρόνια να κινούνται εντός του χωρίς να σκεδάζονται. Η διαταραχή του δυναμικού έχει σαν αποτέλεσμα την αλληλεπίδραση των ηλεκτρονίων ή των οπών με τα δονούμενα άτομα του πλέγματος. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται πλεγματική σκέδαση ( lattice scattering ) ή φωνονική σκέδαση ( phonon scattering ).

Όσο πιο υψηλή είναι η θερμοκρασία τόσο πιο έντονη είναι η ταλάντωση των ατόμων του πλέγματος. Συνεπώς η σκέδαση των φορέων εξαρτάται από την θερμοκρασία. Αν συμβολίσουμε με Lm την κινητικότητα που παρατηρούμε όταν λαμβάνει χώρα μόνο πλεγματική σκέδαση τότε, σύμφωνα με τη θεωρία σκέδασης, :

49

3 2

L Tm µ - [ 6.15 ]

Η κινητικότητα στην περίπτωση αυτή αυξάνει καθώς η θερμοκρασία μειώνεται αφού η πιθανότητα σκέδασης των φορέων μειώνεται με τη μείωση της θερμοκρασίας.

Η εικόνα …δίνει την εξάρτηση της κινητικότητας των ηλεκτρονίων ( α ) και των οπών ( β ) από τη θερμοκρασία στην περίπτωση του πυριτίου. Σε ημιαγωγούς ελαφρώς νοθευμένους, η πλεγματική σκέδαση κυριαρχεί και η κινητικότητα των φορέων είναι ανάλογη του nT - .

Εικόνα …α 4.2α σελ 139 Εικόνα …β 4.2β σελ 139 Τα ένθετα στις εικόνες αυτές δείχνουν ότι ο παράγοντας n , στην πράξη,

δεν είναι ίσος με 3/2 όπως προβλέπει η θεωρία.

Σκέδαση από τις ιονισμένες προσμίξεις ????????????? Είπαμε ότι άτομα νόθευσης εισάγονται σε έναν ημιαγωγό με σκοπό τον

έλεγχο ή την αλλαγή των χαρακτηριστικών του. Δείξαμε ότι στη θερμοκρασία δωματίου τα άτομα της νόθευσης έχουν ιονιστεί πλήρως και συνεπώς δυνάμεις Coulomb αναπτύσσονται μεταξύ αυτών και των ηλεκτρονίων ή των οπών. Η αλληλεπίδραση αυτή προκαλεί σκέδαση ή συγκρούσεις των φορέων και μεταβάλλει τα χαρακτηριστικά της ταχύτητάς τους. Αν Im η κινητικότητα που θα παρατηρούσαμε αν λάμβανε χώρα μόνο σκέδαση από τις ιονισμένες προσμίξεις ( ionized impurity scattering ) τότε :

3/ 2

II

TN

m µ+

[ 6.16 ]

όπου I adN N N= ++ - η ολική συγκέντρωση των προσμίξεων που έχουν

ιονισθεί. Αύξηση της θερμοκρασίας συνεπάγεται αύξηση της τυχαίας θερμικής

ταχύτητας των φορέων. Όσο πιο μεγάλη είναι αυτή η ταχύτητα τόσο μικρότερος ο χρόνος παραμονής του φορέα πλησίον του ιονισμένου ατόμου νόθευσης, άρα τόσο ασθενέστερο το φαινόμενο της σκέδασης. Από την άλλη όσο πιο μεγάλη είναι η συγκέντρωση των ατόμων της νόθευσης τόσο πιθανότερο είναι κάποιος φορέας να βρεθεί πλησίον ενός

50

ιονισμένου ατόμου νόθευσης υφιστάμενο σκέδαση εξ αυτού. Επομένως αναμένουμε η κινητικότητα Im να αυξάνεται με τη θερμοκρασία και να μειώνεται με τη συγκέντρωση των προσμίξεων.Η εικόνα ….δείχνει τη γραφική παράσταση της κινητικότητας ηλεκτρονίων και οπών στα Si, Ge, GaAs συναρτήσει της συγκέντρωσης των προσμίξεων ( στη θερμοκρασία δωματίου, όπου θεωρούμε ότι έχουμε πλήρη ιονισμό ).

Εικόνα …. ( κινητικότητα των ηλεκτρονίων και των οπών συναρτήσει της

συγκέντρωσης των προσμείξεων για τα Si, Ge, GaAs στους 3000 Κ ) 4.3 σελ 140 Αν Lt , It ο μέσος χρόνος μεταξύ συγκρούσεων που οφείλονται σε

πλεγματική σκέδαση και σε σκέδαση από τις ιονισμένες προσμίξεις τότε Ldt t και Idt t είναι, αντίστοιχα, η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί

μέσα σε χρόνο dt πλεγματική σκέδαση ή σκέδαση από τις ιονισμένες προσμίξεις. Στην περίπτωση που οι δυο μηχανισμοί σκέδασης είναι ανεξάρτητοι ο ένας από τον άλλο τότε η ολική πιθανότητα που έχει ένας φορέας να υποστεί σκέδαση σε χρόνο dt είναι :

I L

dt dt dtt t t

= + [ 6.17 ]

όπου t ο μέσος χρόνος μεταξύ οποιασδήποτε σκέδασης. Συγκρίνοντας την εξίσωση αυτή με τους ορισμούς της κινητικότητας

που δόθηκαν μέσω των εξισώσεων [ 6.13 ] & [ 6.14 ] μπορούμε να γράψουμε :

1 1 1

I Lm m m= + [ 6.18 ]

ΦΔΓΦΔΓ

6.1.4 ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ Ας επανέλθουμε στον ορισμό της ειδικής αγωγιμότητας ( conductivity )

που δώσαμε μέσω της εξίσωσης [ 1.3 ]. Είναι στην περίπτωση ενός ημιαγωγού :

( )drfn pdrf

JJ e n p E E

Es m m s= Ϋ = + = [ 6.19 ]

51

Η αγωγιμότητα ενός ημιαγώγιμου υλικού είναι συνάρτηση της συγκέντρωσης των φορέων αγωγιμότητας και της κινητικότητάς τους. Επειδή όμως, για δοσμένη θερμοκρασία, οι κινητικότητες των φορέων εξαρτώνται από την συγκέντρωση των προσμίξεων τότε και η αγωγιμότητα θα είναι συνάρτηση αυτής.

Από την εξίσωση [ 1.1 ] έχουμε σε συνδυασμό με την εξίσωση [ 6.19 ] :

1 1( )n pe n p

rs m m

= =+

[ 6.20 ]

όπου r η ειδική ηλεκτρική αντίσταση του ημιαγωγού ( resistivity ). Η

εικόνα …..δείχνει την γραφική παράσταση της ειδικής αντίστασης συναρτήσει της συγκέντρωσης των προσμίξεων για τα Si, Ge, GaAs, GaP σε θερμοκρασία δωματίου.

Εικόνα … 4.4 σελ 142 Έστω μια ράβδος ημιαγώγιμου υλικού, όπως αυτή φαίνεται στην

εικόνα….. Εικόνα …. 4.5 σελ 143. Η εφαρμοζόμενη τάση V προκαλεί ηλεκτρικό ρεύμα έντασης I .

Μπορούμε να γράψουμε τότε :

IJA

= [ 6.21 ]

και

VEL

= [ 6.22 ]

Άρα η εξίσωση [ 6.19 ] ξαναγράφεται ως :

I VA L

sζ φχη χη χχηθ ψ

= [ 6.23 ]

ή

52

L LV I I IRA A

rsζ φ ζ φχ χη ηχ χη ηχ χχ χη ηθ ψ θ ψ

= = = [ 6.24 ]

Η εξίσωση [ 6.24 ] αποτελεί το νόμο του Ωhm για έναν ημιαγωγό. Η

αντίσταση είναι συνάρτηση της ειδικής αντίστασης, ή της ειδικής αγωγιμότητας, και της γεωμετρίας του ημιαγωγού.

Αν, για παράδειγμα, έχουμε έναν ημιαγωγό p-τύπου με συγκέντρωση αποδεκτών ia nN ( 0dN = ) και υποθέτοντας ότι οι κινητικότητες των ηλεκτρονίων και των οπών είναι της ίδιας τάξης μεγέθους τότε η ειδική αγωγιμότητα γράφεται :

( )n p pe n p e ps m m m= + » [ 6.25 ]

Σε περίπτωση πλήρη ιονισμού η [ 6.25 ] γίνεται :

1p ae Ns m

r= @ [ 6.26 ]

Η ειδική αγωγιμότητα και η ειδική αντίσταση είναι συνάρτηση των

παραμέτρων των φορέων πλειοψηφίας κατά πρώτο λόγο. Εικόνα … ( συγκέντρωση ηλεκτρονίων και ειδική αγωγιμότητα του πυριτίου ως

συνάρτηση του αντιστρόφου της θερμοκρασίας )4.6 σελ 144 Για ορισμένη συγκέντρωση νόθευση μπορούμε απεικονίσουμε γραφικά

την συγκέντρωση των φορέων και την ειδική αγωγιμότητα ενός ημιαγωγού ως συνάρτηση της θερμοκρασίας. Η εικόνα….δείχνει την συγκέντρωση των ηλεκτρονίων και την ειδική αγωγιμότητα του πυριτίου σαν συνάρτηση του αντιστρόφου της θερμοκρασίας στην περίπτωση που

15 310dN cm= - . Στην περιοχή των ενδιάμεσων θερμοκρασιών, εξωγενής περιοχή, έχουμε πλήρη ιονισμό και η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων παραμένει ουσιαστικά σταθερή. Δε συμβαίνει όμως το ίδιο και με την ειδική αγωγιμότητα αφού η κινητικότητα μεταβάλλεται με τη θερμοκρασία. Στην περιοχή των υψηλών θερμοκρασιών, η ενδογενής συγκέντρωση φορέων αυξάνει και αρχίζει να καθορίζει την συγκέντρωση των ηλεκτρονίων και την ειδική αγωγιμότητα. Στην περιοχή, τέλος, των χαμηλών θερμοκρασιών, αρχίζει να εμφανίζεται το πάγωμα των φορέων και η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων καθώς και η ειδική αγωγιμότητα μειώνονται με τη μείωση της θερμοκρασίας.

Για έναν ενδογενή ημιαγωγό η ειδική αγωγιμότητα γράφεται ως :

53

( )i n p ie ns m m= + [ 6.27 ]

Η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων ισούται με τη συγκέντρωση των οπών και για αυτό η ενδογενής ειδική αγωγιμότητα περιλαμβάνει τις κινητικότητες και των δυο φορέων. Γενικά οι κινητικότητες αυτές δεν είναι ίσες μεταξύ τους και κατά συνέπεια η ενδογενής ειδική αγωγιμότητα δεν έχει την ελάχιστη δυνατή τιμή σε δοσμένη θερμοκρασία.

6.1.4 ΤΑΧΎΤΗΤΑ ΚΟΡΟΥ

Στην ως τώρα συζήτησή μας γύρω από την ταχύτητα ολίσθησης υποθέσαμε ότι η κινητικότητα είναι ανεξάρτητη του εφαρμοζόμενου ηλεκτρικού πεδίου. Αυτό σημαίνει πως η ταχύτητα ολίσθησης αυξάνει γραμμικά με το ηλεκτρικό πεδίο. Η ολική ταχύτητα ενός σωματιδίου είναι το άθροισμα της τυχαίας θερμικής ταχύτητας και της ταχύτητας ολίσθησης. Στη θερμοκρασία δωματίου η τυχαία θερμική ενέργεια δίνεται ως :

21 3 3 (0.0259) 0.03885

2 2 2thm KT eVu = = = [ 6.28 ]

Η ενέργεια αυτή αντιστοιχεί σε μια μέση θερμική ταχύτητα της τάξης

των 107 cm2/ V για ένα ηλεκτρόνιο στο πυρίτιο. Χρησιμοποιώντας την τιμή του nm από τον πίνακα 8 παρατηρούμε ότι ταχύτητα ολίσθησης ιση με 105 cm/sec επιτυγχάνεται αν το εφαρμοζόμενο πεδίο είναι της τάξης των 75 V /cm. Το πεδίο αυτό δεν αλλάζει σημαντικά την ενέργεια του ηλεκτρονίου.

Στην εικόνα ……απεικονίζεται γραφικά η μέση ταχύτητα ολίσθησης ηλεκτρονίων και οπών συναρτήσει του εφαρμοζόμενου ηλεκτρικού πεδίου για τα Si, Ge και GaAs.

Εικόνα … 4.7 σελ 147 Για χαμηλά ηλεκτρικά πεδία, η ταχύτητα μεταβάλλεται γραμμικά με το

πεδίο και η κλίση της καμπύλης της ταχύτητας ολίσθησης συναρτήσει του ηλεκτρικού πεδίου ισούται με την κινητικότητα. Η συμπεριφορά της ταχύτητας ολίσθησης των φορέων σε υψηλά πεδία αποκλίνει σημαντικά από την γραμμικότητα. Για παράδειγμα, η ταχύτητα ολίσθησης των ηλεκτρονίων στο Si φτάνει σε μια τιμή κορεσμού ίση με 107 cm/sec για τιμή ηλεκτρικού πεδίου ίση με 30 kV /cm. Αν η ταχύτητα ολίσθησης

54

ενός φορέα πάρει την τιμή κορεσμού τότε και η πυκνότητα του ρεύματος ολίσθησης παίρνει τιμή κορεσμού και γίνεται ανεξάρτητη του πεδίου.

Ενδιαφέρον παρουσιάζει το σχετικό διάγραμμα για το GaAs, το οποίο είναι πολυπλοκότερο σε σχέση με αυτά των Si και Ge. Για χαμηλά ηλεκτρικά πεδία, η κλίση της καμπύλης ταχύτητας ολίσθησης – ηλεκτρικού πεδίου είναι σταθερή και αντιστοιχεί στην κινητικότητα του πίνακα 8. αυξανομένου του πεδίου η κινητικότητα των ηλεκτρονίων του GaAs πλησιάζει ένα μέγιστο και κατόπιν μειώνεται. Η κλίση σε ένα ορισμένο σημείο της καμπύλης ονομάζεται διαφορική κινητικότητα ( differential mobility ) και η αρνητική κλίση αναπαριστά και αρνητική διαφορική κινητικότητα. Αρνητική διαφορική κινητικότητα συνεπάγεται αρνητική αντίσταση. Το χαρακτηριστικό αυτό χρησιμοποιείται στο σχεδιασμό ταλαντωτών ( oscillators ).

Προκειμένου να κατανοήσουμε την έννοια της αρνητικής διαφορικής κινητικότητας ας θεωρήσουμε το διάγραμμα E k- του GaAs ( εικόνα .).

Εικόνα … 4.8 σελ 148. Η ενεργός μάζα πυκνότητας καταστάσεων του ηλεκτρονίου στην

κατώτερη κοιλάδα ισούται με 0* 0.067n mm = . Η μικρή ενεργός μάζα

οδηγεί σε μεγάλη κινητικότητα. Καθώς το ηλεκτρικό πεδίο αυξάνεται, αυξάνεται και η ενέργεια του ηλεκτρονίου και το ηλεκτρόνιο μπορεί να σκεδαστεί στην ανώτερη κοιλάδα όπου *

00.55nm m= . Άρα η κινητικότητα του ηλεκτρονίου μειώνεται, αφού αυξάνεται η ενεργός μάζα του. Ο μηχανισμός αυτός μεταφοράς ( intervalley transfer mechanism ) οδηγεί σε μειούμενη με την αύξηση του ηλεκτρικού πεδίου ταχύτητα ολίσθησης, δηλαδή σε αρνητική διαφορική κινητικότητα.

6.2 ΔΙΑΧΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ 6.2.1 ΟΡΙΣΜΟΣ

Μπορούμε να ερμηνεύσουμε με απλό τρόπο την έννοια της διάχυσης των φορέων σε ένα ημιαγωγό μέσω ενός παραδείγματος όπως αυτό που ακολουθεί. Θεωρούμε το δοχείο της εικόνας ….Το δοχείο αυτό χωρίζεται σε δυο μέρη μέσω μιας μεμβράνης. Το αριστερό του τμήμα περιέχει μόρια αερίου σε ορισμένη θερμοκρασία ενώ το δεξί τμήμα του είναι αρχικά άδειο. Τα μόρια του αερίου βρίσκονται σε διαρκή τυχαία θερμική κίνηση ώστε όταν η μεμβράνη σπάσει αυτά ρέουν, διαχέονται στο δεξί τμήμα του δοχείου.

55

Εικόνα …

( δοχείο χωρισμένο μέσω μεμβράνης σε δυο τμήματα, ένα εξ αυτών περιέχει μόρια αερίου )

Ορίζουμε ως διάχυση ( diffusion ) την διαδικασία ροής σωματιδίων από

μια περιοχή υψηλής συγκέντρωσης προς μια περιοχή χαμηλής συγκέντρωσης. Αν στο παράδειγμά μας τα μόρια του αερίου ήταν ηλεκτρικά φορτισμένα τότε η μεταφορά τους θα είχε σαν αποτέλεσμα την δημιουργία ηλεκτρικού ρεύματος διάχυσης ( diffusion current ).

6.2.2 ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΔΙΑΧΥΣΗΣ Υποθέτουμε ότι η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων μεταβάλλεται σε μια

διάσταση όπως φαίνεται στην εικόνα ….

Εικόνα …. ( Συγκέντρωση ηλεκτρονίων συναρτήσει της απόστασης )

n ( x

)

x x= +l x= 0 x= - l

n(-l)

n(0)

n(+l)

x=0

56

Η θερμοκρασία έχει υποτεθεί ότι είναι ομοιόμορφη ώστε η μέση θερμική ταχύτητα των ηλεκτρονίων να είναι ανεξάρτητη της απόστασης x . Θα υπολογίσουμε την ροή ( net flow?????????) των ηλεκτρονίων ανά μονάδα χρόνου και επιφάνειας δια μέσου του επιπέδου 0x = . Αν η απόσταση l της εικόνας … είναι η μέση ελεύθερη διαδρομή ( mean free path ) ενός ηλεκτρονίου, δηλαδή η μέση απόσταση που διανύει μεταξύ δυο συγκρούσεων ( cnthl u t= Χ ), τότε , κατά προσέγγιση, τα ηλεκτρόνια που βρίσκονται στη θέση x l= - και κινούνται προς τα δεξιά και τα ηλεκτρόνια που βρίσκονται στη θέση x l= και κινούνται προς τα αριστερά θα περάσουν μέσα από το επίπεδο 0x = . Τα μισά ηλεκτρόνια που βρίσκονται στη θέση x l= - θα κινούνται προς τα δεξιά και τα μισά της θέσης x l= προς τα δεξιά. Ο net????? ρυθμός ροής των ηλεκτρονίων ( nF ) προς τη διεύθυνση x+ στη θέση 0x = θα είναι :

1 1 1( ) ( ) { ( ) ( )}2 2 2n th th thF n l n l n l n lu u u= =-- + - - + [ 6.29 ]

Παίρνοντας το ανάπτυγμα Taylor γύρω από το 0x = της συγκέντρωσης

και κρατώντας τους δυο πρώτους όρους, η [ 6.29 ] ξαναγράφεται ως :

1 (0) (0)2n th

dn dnF n l n ldx dx

uμ όι ω ι ωο οο οκ ϊ κ ϊν ύκ ϊ κ ϊο οο ολ ϋ λ ϋξ ώ

= -- + [ 6.30 ]

η οποία γίνεται :

n thdnF l dxu Χ= - [ 6.31 ]

Η πυκνότητα του ρεύματος τότε θα ισούται με :

n thdnJ eF e ldx

u= = Χ- + [ 6.32 ]

Η εξίσωση [ 6.32 ] δίνει την πυκνότητα του ρεύματος διάχυσης

ηλεκτρονίων και όπως φαίνεται η πυκνότητα αυτή είναι ανάλογη της χωρικής παραγώγου, ή της κλίσης της πυκνότητας ( density gradient ), της συγκέντρωσης των ηλεκτρονίων. Η διάχυση ηλεκτρονίων από μια περιοχή υψηλής συγκέντρωσης προς μια περιοχή χαμηλής συγκέντρωσης παράγει μια ροή ηλεκτρονίων ( electron flux ) που στο παράδειγμά μας είναι προς την x- διεύθυνση. Το φορτίο των ηλεκτρονίων είναι αρνητικό και συνεπώς η συμβατική διεύθυνση του ρεύματος θα είναι προς την x+ διεύθυνση ( εικόνα …).

57

Εικόνα…. ( Διάχυση ηλεκτρονίων λόγω βάθμωσης της συγκέντρωσής τους )

Στην περίπτωση του μονοδιάστατου μοντέλου που μελετάμε, μπορούμε

να γράψουμε την πυκνότητα ρεύματος διάχυσης ηλεκτρονίων ως :

\ nnx difdnJ eDdx

= [ 6.33 ]

όπου nD ο συντελεστής διάχυσης ηλεκτρονίων ( electron diffusion

coefficient ). Δίνεται σε μονάδες cm2 /sec και είναι θετική ποσότητα. Αν το dn

dxγίνει αρνητικό τότε η πυκνότητα ρεύματος διάχυσης ηλεκτρονίων

θα είναι προς την x- διεύθυνση. Η εικόνα …δίνει ένα αντίστοιχο παράδειγμα με διάχυση οπών. Η

παραγόμενη ροή καθώς και η αντίστοιχη πυκνότητα ρεύματος διάχυσης οπών θα είναι προς την x+ διεύθυνση. Στην περίπτωση της μονοδιάστατης διάχυσης οπών ισχύει :

\ ppx difdpJ eDdx

= - [ 6.34 ]

όπου pD ο συντελεστής διάχυσης οπών ( hole diffusion coefficient ).

Δίνεται σε μονάδες cm2 /sec και είναι θετική ποσότητα. Αν το dpdx

γίνει

Ροή ηλεκτρονίων

Πυκνότητα ρεύματος διάχυσης ηλεκτρονίων

x

Συγκ

έντρ

ωση

ηλε

κτρο

νίων

n

58

αρνητικό τότε η πυκνότητα ρεύματος διάχυσης οπών θα είναι προς την x+ διεύθυνση.

Εικόνα … ( Διάχυση οπών λόγω βάθμωσης της συγκέντρωσής τους )

6.2.3 ΟΛΙΚΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

Έχουμε, λοιπόν, τέσσερις δυνατούς, ανεξάρτητους μηχανισμούς δημιουργίας ηλεκτρικού ρεύματος σε έναν ημιαγωγό. Ολίσθηση και διάχυση ηλεκτρονίων και ολίσθηση και διάχυση οπών. Στην περίπτωση μονοδιάστατου μοντέλου είναι :

n x p x n pdn dpJ en E ep E eD eDdx dx

m m= + + - [ 6.35 ]

και γενικεύοντας στις τρεις διαστάσεις :

pn x p x n n eD pJ en E ep E eDm m Ρ Ρ= -+ + [ 6.36 ]

Η κινητικότητα των φορέων συνδέεται με τον συντελεστή διάχυσης τους, στην περίπτωση μη εκφυλισμένου ημιαγωγού ( cN n ) μέσω των ακόλουθων εξισώσεων :

Ροή οπών

Πυκνότητα ρεύματος διάχυσης οπών

x

Συγκ

έντρ

ωση

οπώ

ν p

59

n nkTDe

m= [ 6.37 ]

και

p pkTDe

m= [ 6.38 ]

Με συνδυασμό των δυο αυτών εξισώσεων καταλήγουμε στην γνωστή

ως συσχέτιση Einstein ( Einstein relation ) :

pn

n p

DD kTem m

= = [ 6.38 ]

60

3. ΤΟ ΠΥΡΙΤΙΟ ΩΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΩΣ ΥΛΙΚΟ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΙΑΣ ΠΛΑΚΑΣ HALL

Όπως είπαμε το πυρίτιο είναι το συχνότερα χρησιμοποιούμενο στοιχείο στη βιομηχανία ημιαγωγών. Επιπρόσθετα, στην προκείμενη εργασία η υλοποίηση του αισθητήρα Hall έχει γίνει σε υπόστρωμα πυριτίου. Συνεπώς κρίνεται επικοδομητικό να παραθέσουμε σε αυτό το σημείο συγκεντρωτικά κάποιες από τις ιδιότητες του στοιχείου αυτού. Περιγράφουμε επίσης τους τρόπους σχηματισμού του οξειδίου του πυριτίου σε υπόστρωμα αυτού, τη διεργασία της θερμικής διάχυσης προσμείξεων καθώς και τη μεθοδολογία παρασκευής μονοκρυστάλλων πυριτίου. 3.1. ΔΟΜΗ, ΦΥΣΙΚΕΣ ΣΤΑΘΕΡΕΣ, ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΠΥΡΙΤΙΟΥ

Το πυρίτιο, ως στοιχειακός ημιαγωγός, ανήκει σην IV ομάδα του περιοδικού συστήματος έχοντας ατομικό αριθμό ίσο με 14. Όπως είδαμε στην παράγραφο 2.2.2, ακολουθεί την δομή διαμαντιού :κάθε άτομο πυριτίου συνδέεται με τα τέσσερα γειτονικά του με ομοιοπολικό δεσμό. Πρακτικά πρόκειται για μια bcc δομή όπου όμως λείπουν τέσσερα από τα άτομα των κορυφών ( εικόνες 4 & 5 ). Η σταθερά του κρυσταλλικού πλέγματος του Si, στους 300Κ, ισούται με 5,43095a = Å.

Έχει ατομικό βάρος 28,09 και πυκνότητα 32,328 g cmr = . Το σημείο τήξης του ισούται με 14150C. Στη θερμοκρασία των 300Κ η θερμική του αγωγιμότητα ισούται με 1,5W·cm-1·C-1.Στην ίδια θερμοκρασία, παρουσιάζει ειδική ηλεκτρική αντίσταση r ίση με 2315Ω·m.

Το καθαρό πυρίτιο είναι ενδογενής ημιαγωγός. Η ηλεκτρονική του δομή δόθηκε στην παράγραφο 3.7. Ας ανακαλέσουμε εδώ την εξωτερική ηλεκτρονική κατανομή του, στη θεμελιώδη του κατάσταση, που είναι της μορφής 2 23s p . Κατά το σχηματισμό ενός μονοκρυστάλλου πυριτίου, όπως δείχθηκε στην ίδια παράγραφο, οι ενεργειακές στάθμες των μεμονωμένων ατόμων διευρύνονται σε ζώνες. Το προκύπτον ενεργειακό διάγραμμα ζωνών του πυριτίου έχει ήδη δοθεί στην εικόνα 37 της παραγράφου 4.4.1. Το εύρος gE της απαγορευμένης ζώνης είναι έμμεσου χαρακτήρα και ισούται με 1.12eV στους 300Κ και με 1.17eV στους 0Κ. Η εξάρτηση του εύρους αυτού από τη θερμοκρασία και την πίεση έχει δοθεί στην παράγραφο 3.7.

Η κινητικότητα των φορέων αγωγιμότητας του πυριτίου, στους 300Κ, είναι 1500 και 450 2 1 1cm V s- -Χ Χ για τα ηλεκτρόνια και τις οπές αντίστοιχα. Η ενδογενής συγκέντρωση φορέων στη θερμοκρασία αυτή ισούται με 1.5 ×1010 cm-3 και η πυκνότητα των ενεργειακών καταστάσεων με 19 32.8 10cN cm-= ΄ για τη ζώνη

αγωγιμότητας και με 19 31.04 10vN cm-= ΄ για τη ζώνη σθένους. Οι ηλεκτρικές και ηλεκτρονικές του ιδιότητες μπορούν να ελεγχθούν αν εισαχθούν

σε αυτό ορισμένες ποσότητες προσμείξεων. Ανάλογα με το είδος και την συγκέντρωση των ατόμων της πρόσμειξης, το ενδογενές πυρίτιο μετατρέπεται σε εξωγενή ημιαγωγό τύπου n , p ( 1018 άτομα /cm3 ) ή n + , p + ( 1020 άτομα /cm3 ). Η ακριβής διαδικασία δόθηκε στις παραγράφους 5.5.2 & 5.5.3.