ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Περιέχονται:

Δραστηριότητα

Θεωρία: ορισμοί και ιδιότητες

Προτεραιότητα πράξεων

Βοηθητικό υλικό (links)

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

•Ένα ηλεκτρονικό αρχείο υπολογιστή μολύνθηκε από ιό, ο οποίος μεταδίδεται ως εξής :

κάθε μολυσμένο με αυτόν τον ιό αρχείο μολύνει τρία άλλα αρχεία μέσα σε μία ώρα λειτουργίας του υπολογιστή.

Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε πόσα αρχεία θα έχουν μολυνθεί σε πέντε ώρες λειτουργίας του υπολογιστή…

ΔΡΑΣ

ΤΗΡΙ

ΟΤΗ

ΤΑ

Όπως γνωρίζουμε είναι:

23 = 2 . 2 . 2 = 8,

42 = 4 . 4 = 16,

34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81.

Όμοια είναι:

(-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = -8,

(-4)2 = (-4) . (-4) =16,

(-3)4 = (-3) . (-3) . (-3) . (-3) = 81.

Γενικά αν α είναι ρητός αριθμός και ν είναι φυσικός

μεγαλύτερος του 1 (ν > 1), τότε ορίζουμε ως νιοστή δύναμη

του α και συμβολίζουμε αν το γινόμενο που αποτελείται από

ν παράγοντες ίσους με α.

Δηλαδή : αν = α . α . … . α με α ρητό και ν φυσικό, ν > 1.

Ο ρητός α λέγεται β ά σ η της δύναμης.

Ο φυσικός ν > 1 λέγεται ε κ θ έ τ η ς της δύναμης.

412

ΔύναμηΔύναμη

ΒάσηΒάση

Εκθέτης

• Η δύναμη αν διαβάζεται : νιοστή δύναμη του α ήα στη νιοστή. • Η δύναμη α2 διαβάζεται : τετράγωνο του α ή α στο τετράγωνο.

• Η δύναμη α3 διαβάζεται : κύβος του α ή α στον κύβο.

ΠΡΟΣΗΜΟ ΔΥΝΑΜΕΩΝΠΡΟΣΗΜΟ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

Αφού ο φυσικός αριθμός ν δηλώνει το Αφού ο φυσικός αριθμός ν δηλώνει το πλήθος των ίσων παραγόντων της πλήθος των ίσων παραγόντων της

δύναμης, σύμφωνα με την ιδιότητα του δύναμης, σύμφωνα με την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού πολλών παραγόντων πολλαπλασιασμού πολλών παραγόντων

θα ισχύει θα ισχύει : :

Όταν α > 0 τότε και αΌταν α > 0 τότε και αν ν > 0 > 0 δηλ. δηλ. Θετική βάσηΘετική βάση θετικός εκθέτηςθετικός εκθέτης Θετική δύναμηΘετική δύναμη

Όταν α < 0 και ν άρτιος τότε και αΌταν α < 0 και ν άρτιος τότε και αν ν > 0 > 0 δηλ. δηλ. Αρνητική βάσηΑρνητική βάση άρτιος εκθέτης άρτιος εκθέτης Θετική δύναμηΘετική δύναμη

Όταν α < 0 και ν περιττός τότε και αΌταν α < 0 και ν περιττός τότε και αν ν < 0 < 0 δηλ. δηλ. Αρνητική βάσηΑρνητική βάση περιττός εκθέτηςπεριττός εκθέτης Αρνητική δύναμηΑρνητική δύναμη

► Θετική βάση οποιοσδήποτε εκθέτης +

► Αρνητική βάση άρτιος εκθέτης +

► Αρνητική βάση περιττός εκθέτης -

Ι Δ Ι Ο Τ Η Τ Ε Σ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

► Ίδιες βάσεις + πολλαπλασιασμός

► Ίδιες βάσεις + διαίρεση

► Ίδιους εκθέτες + πολλαπλασιασμός

► Ίδιους εκθέτες + διαίρεση

► (Δύναμη) εκθέτη

Ίδιες βάσεις + πολλαπλασιασμόςΙΙ11 Το γινόμενο δυνάμεων με Το γινόμενο δυνάμεων με την ίδια βάση είναι δύναμη την ίδια βάση είναι δύναμη με την ίδια βάση και εκθέτη με την ίδια βάση και εκθέτη το άθροισμα των εκθετών.το άθροισμα των εκθετών.

ΙΙ22 Το πηλίκο δυνάμεων με Το πηλίκο δυνάμεων με την ίδια βάση (διάφορη του την ίδια βάση (διάφορη του 0) είναι δύναμη με την ίδια 0) είναι δύναμη με την ίδια βάση και εκθέτη τη διαφορά βάση και εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου.τον εκθέτη του διαιρετέου.

,

: , 0

Ίδιες βάσεις + διαίρεση

Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση….

3 2

3 2 ........ ....

4 4 (αναλυτικός υπολογισμός)

4 4 4 = 4 (υπολογισμός με χρήση ιδιότητας)

Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση….

3

2

3........ ....

2

4 (αναλυτικός υπολογισμός)4

4 4 = 4 (υπολογισμός με χρήση ιδιότητας)4

Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση….

3

3

3........ ....

3

4 (αναλυτικός υπολογισμός)4

4 4 = 4 (υπολογισμός με χρήση ιδιότητας)4

Επομένως ορίζουμε : 0 ..... με α 0

Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση ακόμη….3

3 2

3

3 4

3

30 4

39

4 4

x x x

xxx x xx xx x xx

Ίδιους εκθέτες + πολλαπλασιασμός ΙΙ3 3 Για να υψώσουμε ένα γινόμενο Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε κάθε σε έναν εκθέτη, υψώνουμε κάθε παράγοντα του γινομένου στον παράγοντα του γινομένου στον εκθέτη αυτό.εκθέτη αυτό.

ΙΙ44 Για να υψώσουμε ένα πηλίκο ή Για να υψώσουμε ένα πηλίκο ή κλάσμα σε έναν εκθέτη υψώνουμε κλάσμα σε έναν εκθέτη υψώνουμε κάθε όρο του στον εκθέτη αυτό.κάθε όρο του στον εκθέτη αυτό.

: ( )

Ίδιους εκθέτες + διαίρεση

Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση….

3

3

3... ....

3

4 (αναλυτικός υπολογισμός)2

4 4( ) = (υπολογισμός με χρήση ιδιότητας)2 2

Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση…. ανάποδα τώρα…

22

22

3

2 5( ) = 3 4

15 2( ) =36 3

2( )3

Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση ακόμη….

4

4

4........ ......

4

(αναλυτικός υπολογισμός)

(υπολογισμός με χρήση ιδιότητας)

3 ....3

3 3 33

0 ..... με α 0 Επομένως ορίζουμε :

(Δύναμη) εκθέτη

ΙΙ55 Για να υψώσουμε μια δύναμη σε Για να υψώσουμε μια δύναμη σε έναν εκθέτη γράφουμε την βάση έναν εκθέτη γράφουμε την βάση και για εκθέτη γράφουμε το και για εκθέτη γράφουμε το γινόμενο των εκθετών.γινόμενο των εκθετών.

,

με 1, 1

Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση….

3 2

3 2

(αναλυτικός υπολογισμός)

(υπολογισμός με χρήση ιδιότητας)

(4 ) ................ ................

(4 ) ................ ................

Ας κάνουμε λίγη εξάσκηση….

3 2

3 2

3 2

3 2

3 4

(2 )

(( 2) )

(( 1) )

( 2 )

( 1 )

Ασκήσεις για το σπίτι: 10, 11, 12, 13 σελ. 62 Φ5

TIPS OF THE DAY…TIPS OF THE DAY…

χ + χ = 2 . χ ενώ χ . χ = χ2

( 3 . χ )2 = 32 . Χ2 = 9 . χ2

ενώ

( 3 + χ )2 = ( 3 + χ ) . ( 3 + χ) = 3 .3 + 3 . χ + 3 . χ + χ . χ = 9 + 6 . χ + χ2

Η ιδιότητα ισχύει μόνο για τον πολλαπλασιασμό

και τη διαίρεση

ΔΥΝΑΜΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΡΗΤΟ ΚΑΙ

ΕΚΘΕΤΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΡΗΤΟ

(διάφορο του 0)

ΑΣ κάνουμε ότι μάθαμε πριν…

......2

4

2......... .......

4

(αναλυτικός υπολογισμός)

(υπολογισμός με χρήση ιδιότητας)

5 55 5 5 5

Άρα ισχύει ……..=……..

Επομένως ορίζουμε

.....

με α 0 και φυσικό αριθμό

1 1

ΑΡΑ ΙΣΧΥΕΙ ……..=……..

..... 1 1

με α 0 και φυσικό αριθμό

Ορίζουμε ως δύναμη ρητού αριθμού α διάφορου του 0με εκθέτη αρνητικό ακέραιο -ν, τη δύναμη με βάση τον αντίστροφο του ρητού α και εκθέτη τον φυσικό αριθμό ν.

ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΟΡΙΣΜΟΙ…

1 , με ρητό αριθμό.

0 1, με ρητό 0.

1 1 , με ρητό, φυσικό, 0.

ΔΥΝΑΜΕΙΣΔΥΝΑΜΕΙΣΟΡΙΣΜΟΙΟΡΙΣΜΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΟΟ11 ΙΙ11

ΟΟ22 ΙΙ22

ΟΟ33ΙΙ33

ΟΟ44 II44

ΙΙ55

.....ά

1

0 1, 0

1 1 , 0

, 0

, 0

, ,

ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝΥπολογισμός παρενθέσεων – αγκυλών (από μέσα προς τα έξω).

Υπολογισμός δυνάμεων.

Πολλαπλασιασμοί - Διαιρέσεις.

Προσθέσεις (αφαιρέσεις).

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Επιπλέον υλικό •http://teachertube.com/viewArticle.php?article_id=115&title=Multiply_and_divide_by_powers_of_ten#

•http://www.mathgoodies.com/lessons/vol3/exponents.html

•Αλέξης Π. Κόκκωνας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΔΟΥΚΑ•Σχολικό βιβλίο Βανδουλάκης,Καλλιγάς,Μαρκάκης και Φερεντίνος

Μουσικό Σχολείο Ξάνθης

Επιμέλεια: Κοτσιμπού Τόνια

Μουσικό Σχολείο Ξάνθης

Ασκήσεις για το σπίτι: 10,11,12,13, 15,16,17,18 σελ.62-63 Φ5