Α΄ Λυκείου Σελ. 1 / 2 §2.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2

ου ΒΑΘΜΟΥ

• Η εξίσωση αx2+βx+γ=0

ΑΣΚΗΣΗ 1. Να βρείτε το λ, ώστε η εξίσωση (λ–1)x2+|λ|x–λ=0 να είναι δευτέρου

βαθµού και να έχει ρίζα το 1.

ΑΣΚΗΣΗ 2. Να λύσετε τις εξισώσεις:

i. ) x2–4=0

ii. ) 2x2–1=0

iii. ) 3x2+1=0

iv. ) 3x2–x=0

v. ) 6x2–x–1=0

vi. ) –4x2+4x–1=0

vii. ) x(x–1)=–1

viii. ) x2–( 23 − )x– 6 =0

ΑΣΚΗΣΗ 3. Να λύσετε την εξίσωση αβx2–(α–β)x–1=0 για τις διάφορες τιµές των

α,β∈IR.

ΑΣΚΗΣΗ 4. Αν η εξίσωση x2–(λ–1)x–λ+1=0 έχει διπλή ρίζα, να βρείτε το λ και

µετά τη διπλή ρίζα της.

ΑΣΚΗΣΗ 5. Αν η εξίσωση λx2+(5λ–2)x+λ+2=0 έχει διπλή ρίζα τον αριθµό –1, να

βρείτε το λ και µετά να δείξετε ότι το –1 είναι διπλή ρίζα της εξίσωσης.

ΑΣΚΗΣΗ 6. Να βρείτε τις τιµές του y, ώστε η εξίσωση x2–2x+3=y µε άγνωστο το x

να έχει λύση. Μετά να λύσετε την εξίσωση στο διάστηµα [1,+∞).

ΑΣΚΗΣΗ 7. Αν α2<3β, να δείξετε ότι η εξίσωση x

2–αx+β=0 δεν έχει καµία

πραγµατική ρίζα.

ΑΣΚΗΣΗ 8. Αν υπάρχει πραγµατικός αριθµός λ, ώστε να ισχύει η ισότητα

λ2–αλ+β=0, να δείξετε ότι α

2≥4β.

• Άθροισµα και γινόµενο ριζών της εξίσωσης αx2+βx+γ=0, α≠0

ΑΣΚΗΣΗ 1. Αν x1, x2 είναι ρίζες της εξίσωσης x2+3x–1=0, να υπολογίσετε τις

παραστάσεις:

i. ) x1+x2

ii. ) x1⋅x2

iii. ) 2

2

2

1 xx +

iv. ) 3

2

3

1 xx +

v. ) 1

2

2

1

x

x

x

x+

vi. ) x1 – x2.

ΑΣΚΗΣΗ 2. Να βρείτε την εξίσωση 2ου

βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς:

i. ) –1, 2

ii. ) –1, 3

2

Α΄ Λυκείου Σελ. 2 / 2 ΑΣΚΗΣΗ 3. Να προσδιορίσετε τις ρίζες των παρακάτω εξισώσεων (χωρίς να

λυθούν):

i. ) x2

–5x+6=0

ii. ) x2

+4x–5=0

iii. ) x2

–(1– 3 )x– 3 =0

ΑΣΚΗΣΗ 4. Να βρείτε δύο αριθµούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν:

i. ) Άθροισµα –2 και γινόµενο –5

ii. ) Άθροισµα 7 και γινόµενο 8

ΑΣΚΗΣΗ 5. ∆ίνεται η εξίσωση x2–(λ3+8)x–8=0 (1)

i. ) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες για

κάθε λ∈IR.

ii. ) Να βρείτε το λ, ώστε:

a. ) οι ρίζες της εξίσωσης (1) να είναι αντίθετες.

b. ) η µία ρίζα της (1) να είναι ίση µε το τετράγωνο της άλλης.

• Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2ου

βαθµού

ΑΣΚΗΣΗ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις:

i. ) (x2+2x)

2–2(x

2+2x)–3=0

ii. ) (x

x1

− )2–3(

xx

1− )+2=0

iii. ) x2–|x|–2=0

iv. ) (x–3) 2+|x–3|–6=0

v. ) 2x4+x

2–1=0

vi. ) x4–x

2+1=0