Συνοπτική Θεωρία 3ου

Κεφαλαίου Όριο – Συνέχεια Συνάρτησης

1. Εάν υπάρχουν τα όρια 0x x

lim f ( x ) , 0x x

lim g( x ) και είναι 1 2l ,l

αντίστοιχα, τότε :

0

1 2x xlim[ f ( x ) g( x )] l l

0

1 2x xlim[ f ( x ) g( x )] l l

0

1

x x2

f ( x ) llim

g( x ) l, εφόσον το 2l 0

0

1x xlim f ( x ) l .

2. Το όριο μιας συνάρτησης υπάρχει, αν και μόνο αν υπάρχουν τα πλευρικά

της όρια και είναι ίσα, δηλαδή 0x x

lim f ( x ) α , όπου α , αν και μόνο

αν : 0 0x x x x

lim f ( x ) lim f ( x ) α .

3. Αν τα δύο πλευρικά όρια μιας συνάρτησης είναι διαφορετικά, τότε θα

λέμε ότι δεν υπάρχει το όριο της f , όταν το x τείνει στο σημείο 0x .

4. Όταν ένα όριο έχει αποτέλεσμα 0

0 και στον αριθμητή ή στον

παρονομαστή του κλάσματος υπάρχουν ρίζες της μορφής x α ή

x α ή β x ή β x , τότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και

παρονομαστή με x α ή x α ή β x ή β x αντίστοιχα.

5. Θα λέμε ότι η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο A είναι

συνεχής στο σημείο 0x , αν και μόνο αν ισχύει ότι : 0

0x xlim f ( x ) f ( x ).

6. Δεν μπορούμε να μελετήσουμε τη συνέχεια μιας συνάρτησης σε ένα

σημείο, το οποίο δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της.

7. Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα τυχαίο σημείο του πεδίου ορισμού

της, τότε είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού.

8. Συναρτήσεις όπως αf ( x ) log x , με 0 α 1 , g( x ) ημ( x ),

h( x ) συν( x ) και xp( x ) e είναι συνεχείς. Επίσης κάθε άλλη

συνάρτηση που προκύπτει από σύνθεση αυτών είναι κι αυτή συνεχής.

1

Τρίτη, 30 Οκτωβρίου 2012

Κεφάλαιο 3ο

Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης Ι

Η έννοια του ορίου

Άσκηση η

1 : Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : α) 5 3

x 0lim( x 4x 2x 5 ) ,

β) 10 3

x 1lim( x 2x x 1) , γ) 8 2

x 1lim( x 2x 3 ) , δ)

4

x 1

x 2x 5lim

x 3,

ε) 2

x 1lim ( x 2 ) και στ)

2

2x 1

x x 2 2lim

x 4x 3.

Άσκηση η

2 : Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : α) 2x 0

3x 4lim

x 7x 8,

β) 2

x 1

x 2lim

6 x 5, γ)

2

2x 2

x 6lim

x 8x 9, δ) 3 2

x 2lim x 4x 5x 6 ,

ε) x 2

2x 5lim

5x 6 και στ)

x 3

x 3lim

5x.

Άσκηση η

3 : Να βρείτε το πεδίο ορισμού για τις παρακάτω συναρτήσεις και να

υπολογίσετε τα όρια τους, όταν το x 2 : α) 2x 4

f ( x )x 5

,

β) g( x ) x 5 και γ) 2x 6

h( x )x 1

.

Άσκηση η

4 : Να βρεθούν τα όρια : α) 2011 2

x 1lim[( x 2 ) ( x x 5 )] ,

β) 2

2x 3

x 7 x 2lim

x 2x 2, γ)

2

2x 2

x x x 3lim

x x 1, δ) 10 2

x 2lim( x 1) ( x x 1) ,

2

ε) 2

x 3

4x 7 x 2lim

5x 6 και στ)

2

x 3

x 6 x 5lim

9x 25.

Άσκηση η

5 : Να βρεθούν τα όρια : α) 2

x 1

x 3x 4lim

( x 1), β)

2

x 2

x 5x 6lim

( x 2 ),

γ) 2

x 1

2x 5x 7lim

( x 1), δ)

2

2x 0

x 3x 4lim

2x 5x 7, ε)

2

x 0

x 8xlim

x , στ)

3 2

x 0

x 2x xlim

x

και ζ) 2

x 4

x 16lim

( x 4 ).

Άσκηση η

6 : Να βρεθούν τα όρια : α) 2

x 1

x 3x 4lim

2x 1, β)

2

2x 2

x 4x 5lim

x 3,

γ) 2

2x 3

1 4xlim

x 5, δ)

3 2

x 2lim 3x 4x 6 x 2 , ε)

x 2

x 5lim

3x 6, στ)

2

x 1

3xlim

4x

και ζ) 2

x 0

x 5x 9 16 xlim

2x.

Ιδιότητες του Ορίου Συνάρτησης

Άσκηση η

1 : Αν γνωρίζετε ότι 0x x

lim f ( x ) 2 και το 0x x

lim g( x ) 5 , να

υπολογίσετε τα παρακάτω : α) 0x x

lim[ f ( x ) g( x )] , β) 0x x

lim[ f ( x ) g( x )] ,

γ) 0x x

f ( x )lim

g( x ), δ)

0

3

x xlim[ f ( x )] και ε)

0x xlim f ( x ) .

Άσκηση η

2 : Αν γνωρίζετε ότι 0x x

lim f ( x ) 1 και το 0x x

lim g( x ) 6 , να

υπολογίσετε τα παρακάτω : α) 0x x

lim[ f ( x ) g( x )] , β) 0x x

lim[ f ( x ) g( x )] ,

γ) 0x x

f ( x )lim

g( x ), δ)

0

2

x xlim[ f ( x )] και ε)

0x xlim f ( x ) .

3

Άσκηση η

3 : Αν γνωρίζετε ότι 0x x

lim f ( x ) 2 και το 0x x

lim g( x ) 3 , να

υπολογίσετε τα παρακάτω : α) 0x x

lim[ f ( x ) g( x )] , β) 0x x

5g( x )lim

f ( x ),

γ) 0x x

2 f ( x ) 4g( x )lim

f ( x ) g( x ), δ)

0x xlim f ( x ) 3g( x ) , ε)

0x x

1lim

2g( x ) και

στ) 0x x

f ( x ) g( x )lim

f ( x ) 3g( x ).

Πλευρικά Όρια Συνάρτησης

Άσκηση η

1 : Να απαντήσετε με συντομία στις παρακάτω ερωτήσεις.

1) Ποιο είναι το x αlim f ( x ) , όταν η συνάρτηση f ( x ) x ;

2) Εάν f ( x ) β , ποιο είναι το 0x x

lim f ( x ) ;

3) Ποια πρόταση συνδέει το 0x x

lim f ( x ) με τα πλευρικά όρια της f στο 0x ;

Άσκηση η

2 : Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε

να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις.

1) Τα όρια 0x x

lim f ( x ) και 0x x

lim f ( x ) λέγονται όρια της

f στο 0x .

2) Αν το x 1lim f ( x ) , τότε το

x 1 x 1

lim f ( x ) lim f ( x ) 3 .

3) Αν το x 2

lim f ( x ) α 1 και x 2

lim f ( x ) , τότε το α 2 .

Άσκηση η

3 : Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη

βοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το 0x x

lim f ( x ) , όταν :

α) 6 5x

f ( x )x 2

με 0x 2 , β) 2x

f ( x ) xx

με 0x 0 ,

4

γ)

x, x 1

f ( x ) 1, x 1

x

με 0x 1 , δ) 2x , x 1

f ( x )x 1, x 1

με 0x 1 και

ε) 2

2x, x 1f ( x )

x 1, x 1 με 0x 1 .

Άσκηση η

4 : Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη

βοήθεια αυτής να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το 0x x

lim f ( x ) , όταν :

α) 2

2

3x x 3f ( x )

x 1 με 0x 1 , β)

2

x 2f ( x )

x 4 με 0x 2 ,

γ) 2x , x 1

f ( x )5x, x 1

με 0x 1 και δ) 2

2x, x 1f ( x )

x 1, x 1 με 0x 1 .

Άσκηση η

5 : Δίνονται οι συναρτήσεις

2

2

x x 3, x 2f ( x )

x 5, x 2 και

2

2

x 1, x 1

x 1g( x )

x 3x 23 x , x 1

x 1

. Να βρεθούν τα όρια x 2lim f ( x ) και

x 1lim g( x ) .

Άσκηση η

6 : Δίνονται οι συναρτήσεις

2

2

x 3x 2, x 1f ( x )

x 3 x, x 1 και

2

x 2, x 1g( x )

x x 1, x 1 . Να βρεθούν τα όρια

x 1lim f ( x ) και

x 1lim g( x ) .

5

Άσκηση η

7 : Δίνονται οι συναρτήσεις

2

2

2

x 3 1, x 1

x 1 x 1f ( x )

3 x 3 6, x 1

x 1

και

2

2

x 2x 1, x 2g( x )

3x 2, x 2 . Να βρεθούν τα όρια

x 1lim f ( x ) και

x 2lim g( x ) .

Άσκηση η

8 : Δίνεται η συνάρτηση

3

2 2

x 1, x 1

f ( x ) x 1

x α x 2, x 1

. Να βρείτε

τις τιμές του α , έτσι ώστε να υπάρχει το x 1lim f ( x ) .

Μελέτη Απροσδιόριστης Μορφής 0

0 για Κλασματικές Συναρτήσεις

Άσκηση η

1 : Να βρεθούν τα όρια α) 2

x 2

x 4lim

x 2, β)

2

2x 2

x 3x 2lim

x 4,

γ) 2

2x 2

x 3x 2lim

x x 2, δ)

2

2x 1

2x 3x 1lim

x 1 και ε)

2

2x 1

2x 3x 1lim

x 1.

Άσκηση η

2 : Να βρεθούν τα όρια α) 2

2x 1

x x 2lim

x 3x 2, β)

3

2x 2

x 3x 2lim

x 5x 6,

γ) 2 2x 1

x 2lim

x 1 x 2x 3, δ)

3 2

2x 2

x 2x 3x 6lim

x 5x 6 και

ε) 2

2x 1

x x 1 5x 2lim

x 1 x 3x 2.

Άσκηση η

3 : Να υπολογίσετε τις τιμές των ορίων α) x 9

3 xlim

9 x,

6

β) 2

2x 0

1 1 xlim

x, γ)

2x 4

x 2lim

x 5x 4, δ)

2x 2

x 2 2lim

x 5 3 και

ε) 2x 2

x 2 2lim

x 5 3.

Άσκηση η

4 : Να υπολογίσετε τις τιμές των ορίων α) 2x 1

2 1lim

x 1 x 1,

β) 2 2x 2

4 x 1lim

x 4 x 3x 2, γ)

x 4

x 5 3lim

5 x 1 και δ)

x 4

x 5 3lim

5 x 1.

Άσκηση η

5 : α) Αν η συνάρτηση 2x 3 2x

f ( x )x 1

, τότε ποιο είναι το

x 1lim f ( x ) ;

β) Αν η συνάρτηση 2x 4x 3

f ( x )x 3

, τότε το όριο είναι : i) 1 ii) 2

iii) 4 iv) 2 v) 3 .

7

Τρίτη, 30 Οκτωβρίου 2012

Κεφάλαιο 3ο

Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης ΙΙ

Η έννοια της Συνεχούς Συνάρτησης

Άσκηση η

1 : Να δώσετε μια σύντομη απάντηση στις παρακάτω ερωτήσεις.

α) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα σημείο 0x ;

β) Σε ποια σημεία έχει νόημα η συνέχεια μιας συνάρτησης f ;

γ) Αν το o ox x x x

lim f ( x ) lim f ( x ) , μπορούμε να πούμε ότι η f είναι συνεχής στο

σημείο 0x ;

Άσκηση η

2 : Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε

αν προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις.

α) Η f λέγεται συνεχής στο 0x , όταν .

β) Αν το 0x x

lim f ( x ) δεν υπάρχει ή υπάρχει αλλά είναι διάφορο από το 0f ( x ) ,

τότε η συνάρτηση f συνεχής στο σημείο 0x .

γ) Έστω A υποσύνολο των πραγματικών αριθμών, και 0x A . Θα λέμε ότι η

συνάρτηση f : A είναι στο 0x , αν και μόνο αν ισχύει ότι :

0

0x xlim f ( x ) f ( x ).

Άσκηση η

3 : Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί

(Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ).

α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x , τότε το 0x ανήκει στο πεδίο

ορισμού της συνάρτησης.

β) Αν υπάρχει το x αlim f ( x ) , τότε η f είναι συνεχής στο σημείο α .

8

γ) Αν x 1 x 1

lim f ( x ) lim f ( x ) f (1) , τότε η συνάρτηση f είναι συνεχής στο

σημείο 0x 1 .

Άσκηση η

4 : Στις επόμενες συναρτήσεις να ελέγξετε τη συνέχεια στην τιμή του

x που αλλάζει τύπο η συνάρτηση. Σε κάθε σημείο ασυνέχειας να σημειώσετε

ποιες προϋποθέσεις του ορισμού συνέχειας παραβιάζονται.

α) 22x 3, x 1

f ( x ) 2, x 1

β) 2x 1, x 1

f ( x )3+ x , 0 x 1

γ)

2x 1, x 1

f ( x ) x 1

3, x 1

δ) 2x 2, x 1

f ( x )2x+1, x 1

.

Συνέχεια Συνάρτησης σε Διάστημα

Άσκηση η

1 : Να εξετάσετε αν είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους οι επόμενες

συναρτήσεις. Για αυτές που δεν είναι να βρείτε τα σημεία ασυνέχειας.

α) 2f ( x ) 3x 6x 2 , β) 2g( x ) 5x 3x 1, γ) 2

1h( x )

x 1,

δ) 2

1p( x )

2x 3 και ε)

2s( x )

x.

Άσκηση η

2 : Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο 2x 1, 0 x 3

f ( x )x 2, 3 x 5

.

Υπάρχουν τα όρια της συνάρτησης f στα σημεία 0 0x 1, x 2 και στα σημεία

0 0x 3, x 5 ;

Άσκηση η

3 : Έστω η συνάρτηση g με τύπο

2

2

2x 3, 1 x 3g( x )

x 7x 1, 3 x 6.

Υπάρχουν τα όρια της συνάρτησης g στα σημεία 0x 2 , 0x 3 και 0x 6 ;

9

Συνέχεια Βασικών Συναρτήσεων

Άσκηση η

1 : Να αναφέρετε τις πιο σημαντικές από τις βασικές συνεχείς

συναρτήσεις και να πείτε ποιό είναι το πεδίο ορισμού τους.

Άσκηση η

2 : Να δικαιολογήσετε γιατί οι επόμενες συναρτήσεις είναι συνεχείς

στο πεδίο ορισμού τους α) 2f ( x ) συν( x 1) , β) 1

f ( x )log( x )

,

γ) 2x 5f ( x ) e και δ) 2

2x 6f ( x ) ημ

x 3x 4.

Άσκηση η

3 : Η συνάρτηση f με τύπο 2( 5x 2 ) 2 3x

f ( x )x

είναι

ορισμένη για όλα τα x στο σύνολο {0 } και σ’ αυτό το σύνολο είναι

συνεχής. Μπορείτε να την ορίσετε κατάλληλα στο σημείο 0x 0 ώστε να είναι

συνεχής σε όλο το ;

Άσκηση η

4 : Η συνάρτηση f με τύπο 2x 4

f ( x )x 2

είναι ορισμένη για όλα τα

x του συνόλου { 2 } και σ’ αυτό το σύνολο είναι συνεχής. Μπορείτε να την

ορίσετε κατάλληλα στο σημείο 0x 2 ώστε να είναι συνεχής σε όλο το ;

Άσκηση η

5 : Η συνάρτηση f με τύπο 2x 8x

f ( x )x 8

είναι ορισμένη για όλα

τα x του συνόλου { 8 } και σ’ αυτό το σύνολο είναι συνεχής. Μπορείτε να

την ορίσετε κατάλληλα στο σημείο 0x 8 ώστε να είναι συνεχής σε όλο το ;

Άσκηση η

6 : Θεωρούμε τη συνάρτηση 2f ( x ) x 5x 6 .

α) Να υπολογίσετε την τιμή f (1) και μετά να παραγοντοποιήσετε τη διαφορά

f ( x ) f (1) .

β) Υπολογίστε το x 1

f ( x ) f (1)lim

x 1, αν βέβαια αυτό υπάρχει.

10

Άσκηση η

7 : Θεωρούμε τη συνάρτηση 2f ( x ) x 3x 4 .

α) Να υπολογίσετε την τιμή f ( 2 ) και μετά να παραγοντοποιήσετε τη διαφορά

f ( x ) f ( 2 ) .

β) Υπολογίστε το x 2

f ( x ) f ( 2 )lim

x 2, αν βέβαια αυτό υπάρχει.

Άσκηση η

8 : Αν η συνάρτηση

2αx 3βx 5,x 1

f ( x ) x 1

7, x 1

είναι συνεχής, να

αποδείξετε ότι α 2 και β 1 .

Άσκηση η

9 : Αν η συνάρτηση

2

3

x 2, x 1f ( x )

x α, x 1 είναι συνεχής, να βρείτε

την τιμή του αριθμού α .

Άσκηση η

10 : Βρείτε τις τιμές του αριθμού α που κάνουν την f συνεχή στο

σημείο που αλλάζει ο τύπος της, όπου 2

x 2, x 1f ( x )

αx 2α, x 1.

Επαναληπτικές Ασκήσεις Κεφαλαίου

Άσκηση η

1 : Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : α) 2

2x 2

x 5lim

x 7x 8

β) x 3

2x 3lim

8x και γ)

2

x 3

x 7x 5lim

9x 25.

Άσκηση η

2 : Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : α) 2

x 5

x 25lim

( x 5 ),

11

β) 3 2

x 0

x 2x xlim

x και γ)

2

2x 3

1 5xlim

x 4.

Άσκηση η

3 : ( ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ) Δίνεται η

συνάρτηση f : με τύπο :

2x 7x 12, x 4

x 4

f ( x ) α, x 4

x 43, x 4

x 2

.

α) Να βρείτε το x 4

lim f ( x ) , β) να βρείτε το x 4

lim f ( x ) και γ) να βρείτε για ποια

τιμή του α η f είναι συνεχής στο 0x 4 .

Άσκηση η

4 : ( ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010 ) Δίνεται η

συνάρτηση

2

2

x 4x 3, x 1,x 1

f ( x ) x 1

x 3 α, x 1

όπου α .

α) Να υπολογίσετε το x 1

lim f ( x ) , β) να υπολογίσετε το x 1

lim f ( x ) , γ) να

υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α , ώστε η f να είναι συνεχής στο 0x 1

και δ) για α 3 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

A 3 f (0 ) 2 f (6 )

12