Άλγεβρα Α΄ Λυκείου · 2017-07-31 · ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 242 1) Έστω...

Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου,Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας

Άλγεβρα Α ΛυκείουB΄ ΤΟΜΟΣ

protos.indd 1protos.indd 1 26/1/2015 10:53:1426/1/2015 10:53:14

Εκδόσεις Πατάκη – ΕκπαίδευσηΔημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας, Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, β΄ τόμοςΔιορθώσεις: Νάντια ΚουτσουρούμπαΥπεύθυνος έκδοσης: Βαγγέλης ΜπακλαβάςDTP: Γιώργος ΧατζησπύροςΦιλμ – μοντάζ: Μαρία Ποινιού-ΡένεσηCopyright© Σ. Πατάκης ΑΕΕΔΕ (Εκδόσεις Πατάκη), Δ. Διαμαντίδης, Γ. Ευθυμίου, Α. Κουπετώρης και Ι. Σταμπόλας, Αθήνα, 2014Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Ιανουάριος 2015Κ.Ε.Τ. 8779 – Κ.Ε.Π. 01/15ISBN (set.) 978-960-16-5254-2ISBN (vol. 2) 978-960-16-5250-4

ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ (ΠΡΩΗΝ ΠΕΙΡΑΙΩΣ) 38, 104 37 ΑΘΗΝΑ,ΤΗΛ.: 210.36.50.000, 210.52.05.600, 801.100.2665, ΦΑΞ: 210.36.50.069ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 16, 106 78 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 210.38.31.078YΠOKΑΤΑΣΤΗMA BOPEIAΣ EΛΛAΔAΣ: KOPYTΣAΣ (TEPMA ΠONTOY – ΠEPIOXH B΄ KTEO), 570 09 KAΛOXΩPI ΘEΣΣAΛONIKHΣ, Τ.Θ. 1213, ΤΗΛ.: 2310.70.63.54, 2310.70.67.15, ΦΑΞ: 2310.70.63.55 Web site: http://www.patakis.gr • e-mail: [email protected], [email protected]

Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευμα-τικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής αδείας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπα-ραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου.

Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση.


3

ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

16. Ανισώσεις 1ου βαθμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Επίλυση ανίσωσης – Επίλυση συστήματος ανισώσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Παραμετρικές ανισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Σύνθετες ανισώσεις (με απόλυτα και ρίζες) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Γενικές Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Φύλλο εργασίας στις ανισώσεις 2ου βαθμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

17. Ανισώσεις 2ου βαθμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Μορφές τριωνύμου – Πρόσημο τριωνύμου. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Επίλυση ανισώσεων 2ου βαθμού. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Συνθήκες δευτεροβάθμιων παραμετρικών εξισώσεων και ανισώσεων. . . . . . . . . . . . . 52Γενικές Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8ο Κριτήριο Αξιολόγησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

18. Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Πρόσημο γινομένου-πηλίκου – Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο . . . . . . . . . 65

19. Επαναληπτικές Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Φύλλο εργασίας στις ακολουθίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

20. Ακολουθίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Υπολογισμός ν-οστού *ν όρου ακολουθίας – Εύρεση αναδρομικού τύπου από τον γενικό όρο – Εύρεση γενικού όρου από τον αναδρομικό τύπο . . . . . . . . . . . . 88

21. Αριθμητική πρόοδος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Εύρεση στοιχείων αριθμητικής προόδου (Α.Π.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Απόδειξη ότι μία ακολουθία είναι Α.Π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Αριθμητικός μέσος – Διαδοχικοί όροι Α.Π. (δ.ό.Α.Π.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Αριθμητική παρεμβολή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Προβλήματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Γενικές Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

22. Γεωμετρική πρόοδος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Εύρεση στοιχείων γεωμετρικής προόδου (Γ.Π.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Απόδειξη ότι μία ακολουθία είναι Γ.Π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Διαδοχικοί όροι Γ.Π. (δ.ό.Γ.Π.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Γεωμετρική παρεμβολή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Ανατοκισμός. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Προβλήματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Γενικές Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153


4

Περιεχόμενα

23. Επαναληπτικές Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

24. Η έννοια της συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Πεδίο ορισμού συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Εύρεση τιμών συνάρτησης – Σύνολο τιμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Προβλήματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Γενικές Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9ο Κριτήριο Αξιολόγησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Φύλλο εργασίας στις καρτεσιανές συντεταγμένες και στη γραφική παράσταση συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

25. Καρτεσιανές συντεταγμένες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Καρτεσιανές συντεταγμένες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Αποστάσεις σημείου από άξονες και σημείου από σημείο – Κύκλος κέντρου ,0 0Ο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Γενικές Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10ο Κριτήριο Αξιολόγησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

26. Γραφική παράσταση συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Σχετική θέση και σημεία τομής γραφικών παραστάσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Γενικές Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239


Φύλλο εργασίας στην ευθεία. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

27. Η συνάρτηση α β f x x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Ο ρόλος των παραμέτρων α και β της ευθείας y xα β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Γραφική παράσταση ευθείας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Σχετική θέση δύο ευθειών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265Εύρεση τύπου ευθείας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Γενικές Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282


Φύλλο εργασίας στην αf x x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

28. Μελέτη των συναρτήσεων αf x x2 και ,α β γ f x x x2 με α 0 . . . . . . 293

Η συνάρτηση 2f x xα και οι συναρτήσεις της μορφής 2f x x p qα . . . 304Σύνδεση του τύπου της συνάρτησης , ,2 0f x x xα β γ α με τη γραφική της αναπαράσταση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318Άλλες συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333Γενικές Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

29. Επαναληπτικές Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348


Περιεχόμενα

5

Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

Σύνθετα θέματα – Προσομοίωση τράπεζας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

Τεστ Σωστού – Λάθους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3971ο Τεστ Σωστού – Λάθους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3992ο Τεστ Σωστού – Λάθους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4023ο Τεστ Σωστού – Λάθους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4054ο Τεστ Σωστού – Λάθους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4085ο Τεστ Σωστού – Λάθους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4116ο Τεστ Σωστού – Λάθους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

Απαντήσεις Τεστ Σωστού – Λάθους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

Παράρτημα Α: Αποδείξεις θεωρημάτων και προτάσεων σχολικού βιβλίου . . . . . . . . . 419

Ενδεικτικές Λύσεις – Απαντήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

Λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

Τυπολόγιο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608


ΦΥΛ

ΛΟ ΕΡ

ΓΑΣΙΑ

Σ

242

1) Έστω το σημείο ,3 2Α του καρτεσιανού επιπέδου. Να βρείτε τα σημεία ,M x y του επιπέδου που προκύπτουν, αν ξεκινώντας κάθε φορά από το σημείο Α προ-χωρήσουμε κ βήματα (μονάδες) παράλληλα με τον άξονα ΄x x και στη συνέχεια 2κ παράλληλα με τον άξονα ΄y y, για , , , ,1 2 3 1 2 κ , και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. (Όταν τα κ και 2κ είναι θετικά, εννοείται ότι προχωράμε κατά τη θετική φορά των αξόνων, κι όταν είναι αρνητικά, κατά την αρνητική φορά.)

Βήματα κ

Τετμημένη x του σημείου που προκύπτει μετά από

κ βήματα

Τεταγμένη y του σημείου που προκύπτει μετά από

κ βήματα

2

3

y

x

1

2

3

1

23

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤHN ΕΥΘΕΙΑ

27a.indd 24227a.indd 242 26/1/2015 11:27:2526/1/2015 11:27:25

ΦΥΛ

ΛΟ Ε

ΡΓΑ

ΣΙΑΣ

Φύλλο εργασίας στην ευθεία

243

Μπορείτε να υποθέσετε σε τι είδους γραμμή θα βρίσκονται όλα τα σημεία που μπορεί να προκύψουν με αυτή τη διαδικασία;Απ.: ........................................................................................................................

2) Έστω το σημείο ,2 1Α του καρτεσιανού επιπέδου. Να συμπληρώσετε τους πα-

ρακάτω πίνακες που αφορούν τα σημεία ,M x y του επιπέδου που προκύπτουν αν ξεκινώντας από το σημείο Α προχωρήσουμε κ βήματα παράλληλα με τον άξονα ΄x x και ακ βήματα παράλληλα με τον άξονα ΄y y για τις τιμές του α που δίνονται. (Όταν τα κ και ακ είναι θετικά, εννοείται ότι προχωράμε κατά τη θετική φορά των αξόνων, κι όταν είναι αρνητικά, κατά την αρνητική φορά.)

1α

κ x y1

2

y

x

1

2

1

23

5

4

2 α

κ x y1

2

y

x

1

21

2

3

5

4

1

2α

κ x y1

2

y

x

1

2

1

2

35

4

27a.indd 24327a.indd 243 26/1/2015 11:27:3126/1/2015 11:27:31

ΦΥΛ

ΛΟ ΕΡ

ΓΑΣΙΑ

Σ

244

Φύλλο εργασίας στην ευθεία

3) Λαμβάνοντας υπόψη τους πίνακες του ερωτήματος (2), να συμπληρώσετε τον διπλανό πίνακα απαντώντας στις πα-ρακάτω ερωτήσεις:α) Παρατηρώντας την τελευταία στή-

λη κάθε πίνακα του ερωτήματος (2), μπορείτε να διατυπώσετε κά-ποια σχέση που να συνδέει τις συ-ντεταγμένες x και y του σημείου M;

β) Ποια είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της γραμμής με τον άξονα ΄y y;γ) Να λύσετε τη σχέση του ερωτήματος (α) ως προς y.Πώς συνδέεται το αποτέλεσμα του ερωτήματος (γ) με την τεταγμένη του σημείου τομής με τον άξονα ΄y y και με τον α;Απ.: ........................................................................................................................Τον αριθμό α τον ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης ή κλίση της ευθείας.

4) Ποια σχέση συνδέει τις συντεταγμένες των σημείων ,Α x y μιας ευθείας που

τέμνει τον άξονα ΄y y στο σημείο ,0 β και έχει συντελεστή διεύθυνσης α;Απ.: ........................................................................................................................

5) Έστω τα σημεία ,2 1Α και ,3 2Β του καρτεσιανού επιπέδου.α) Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης που διέρχεται από τα σημεία Α και Β; Απ.: ...................................................................................................................β) Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου Β στη σχέση α βy x , να

βρείτε τον β. Απ.: ...................................................................................................................γ) Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β; Απ.: ...................................................................................................................

α Ερώτη-ση (α)

Ερώτη-ση (β)

Ερώτη-ση (γ)

1

1

2

2

27a.indd 24427a.indd 244 26/1/2015 11:27:3126/1/2015 11:27:31

245

Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο η οποία τέμνει τον άξονα ΄x x στο ση-μείο Α.

ΟΡΙΣΜΟΣ

Γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα ΄x x λέμε τη γωνία που διαγράφει η ημιευθεία Αx μέχρι να συ-

μπέσει με την ευθεία ε , όταν η ημιευθεία αυτή στραφεί κατά τη θετική φορά.Θετική φορά ορίζουμε τη φορά περιστροφής που είναι αντίθετη αυτής των δεικτών του ρολογιού.Αν μια ευθεία είναι παράλληλη με τον άξονα ΄x x ή συμπί-πτει με αυτόν, λέμε ότι σχηματίζει με τον άξονα ΄x x γωνία

0 ω .

Για τη γωνιά ω που σχηματίζει μια ευθεία ε με τον άξο-να ΄x x ισχύει 0 180 ω ή 0 ω π.

Κλίση ή συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ονομά-ζουμε τον αριθμό λ εφω. Αν 0λ , τότε 0 90 ω . Αν 0λ , τότε 90 180 ω . Αν 0λ , τότε 0 ω και η ευθεία είναι παράλληλη ή συμπίπτει με τον άξονα ΄x x.

H γραφική παράσταση της συνάρτησης α βf x x είναι ευθεία, έστω ε , η

οποία τέμνει τον άξονα ΄y y στο σημείο ,0Β β και έχει κλίση λ α.

Ένα σημείο ,Μ x y του επιπέδου είναι σημείο της ευθείας ε αν και μόνο αν

α βy f x y x . Από δω και στο εξής η εξίσωση α βy x θα ονομάζεται

εξίσωση της ευθείας ε .Αν ω είναι η γωνία της ευθείας α βy x με τον άξονα ΄x x, ισχύει ε ω α .

H συνάρτηση f (x) = αx + β27

27b.indd 24527b.indd 245 26/1/2015 11:29:1026/1/2015 11:29:10

246

Η συνάρτηση f (x) = αx + β

Αν γνωρίζουμε δύο σημεία της ευθείας ,1 1Α x y και ,2 2Β x y με 1 2x x , τότε η

κλίση της είναι 2 1

2 1

α y y

x x.

Πράγματι, αν α βy x είναι η εξίσωση της ευθείας, τότε ισχύει 1 1 α βy x και

2 2 α βy x . Αφαιρώντας κατά μέλη, έχουμε 2 12 1 2 1

2 1

α α y y

y y x xx x

.

Αν 0β , η συνάρτηση f παίρνει τη μορφή αf x x και η γραφική της παράσταση αy x περνάει από την αρχή των αξόνων. Ειδικότερα:

Αν 1α , τότε η ευθεία σχηματίζει με τον άξονα ΄x x γωνία 45 ω και είναι η δι-χοτόμος των γωνιών xOy και x΄Oy΄.

Αν 1 α , τότε η ευθεία σχηματίζει με τον άξονα ΄x x γωνία 135 ω και είναι η διχοτόμος των γωνιών x΄Oy και y΄Ox.

Σχετικές θέσεις δύο ευθειών

Έστω δύο ευθείες :1 1 1 ε α βy x και :2 2 2 ε α βy x οι οποίες σχηματίζουν με τον άξονα ΄x x γωνίες 1ω και 2ω αντίστοιχα. Αν 1 2α α , τότε 1 2εφω εφω , οπότε 1 2ω ω .

Στην περίπτωση αυτή, οι δύο ευθείες:― είναι παράλληλες, αν 1 2β β ,― ταυτίζονται, αν 1 2β β .

27b.indd 24627b.indd 246 26/1/2015 11:29:1926/1/2015 11:29:19


247

Αν 1 2α α , οι ευθείες τέμνονται. Ειδικότερα, αν 1 2β β , οι ευθείες τέμνονται πάνω στον άξονα ΄y y.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι ευθείες α βy x , , α β , είναι παράλληλες μεταξύ τους για α σταθερό και β μεταβλητό, ενώ διέρχονται όλες από το ίδιο σημείο

,0 β για β σταθερό και α μεταβλητό.

Η συνάρτηση f(x) = |x|

Από τον ορισμό της απόλυτης τιμής έχουμε:

αναν

x xf x x

x x

, 0, 0

Eπομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x x αποτελείται από τις ημιευ θείες με, 0y x x , και με, 0y x x .

27b.indd 24727b.indd 247 26/1/2015 11:29:2026/1/2015 11:29:20

248


Μ.1 Ο ρόλος των παραμέτρων α και β της ευθείας y = αx + β

[Μ.1.1] Για τον συντελεστή διεύθυνσης α (κλίση της ευθείας) ισχύει ότι:

i. [Μ.1.1.i] όταν γνωρίζουμε δύο σημεία ,1 1Α x y και ,2 2Β x y , με 1 2x x , της ευθείας, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης προκύπτει από τον τύπο

2 1

2 1

α y y

x x,

ii. [M1.1.ii] όταν γνωρίζουμε τη γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα ΄x x και ζητείται ο α ή, αντίστροφα, όταν γνωρίζουμε τον α και ζητείται η γωνία ω, χρησιμοποιούμε τη σχέση α εφω. Υπενθυμί-ζουμε ότι:

ω 0 30 45 60 120 135 150

εφω 0 3

31 3 3 1 3

3

iii. [M1.1.iii] αν 0α , τότε η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον θετικό ημιάξονα ΄x x είναι οξεία, ενώ, αν 0α , η γωνία αυτή είναι αμβλεία, και αντίστροφα. Η περίπτωση 0α αντιστοιχεί σε ευθεία της μορφής βy με γραφική παράσταση παράλληλη στον άξονα ΄x x.

[M.1.2] Ο σταθερός όρος β εκφράζει την τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα ΄y y, δηλαδή η ευθεία διέρχεται πάντα από το σημείο

,0 β . Αν 0β , η ευθεία περνάει από την αρχή των αξόνων.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1

n Λυμένα Θέματα

27.1 Δίνονται τα σημεία ,Α 1 0 , ,Β 3 4 , ,Γ 27 2 , ,x xΔ 2 2 . Να

βρεθούν:α. ο συντελεστής διεύθυνσης και το είδος της γωνίας ω που σχηματίζει

με τον άξονα ΄x x η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία: i. A, B, ii. B, Γ,

27b.indd 24827b.indd 248 26/1/2015 11:29:2026/1/2015 11:29:20


249

β. ο x , ώστε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Δ: i. να σχηματίζει με τον άξονα ΄x x οξεία γωνία, ii. να έχει κλίση 2.

Λύση

[Μ.1.1.i, M.1.1.iii]α. i. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας AB είναι:

B A

B A

y y

x xα

2 2

4 3 1 4 3 14 0 42 3 1 0

3 1 3 1 3 1 3 1 3 1

Άρα, αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία AB με τον άξονα ΄x x, θα εί-ναι 0 90 ω , δηλαδή οξεία.

ii. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ είναι:

By y

x xΓ

Γ Β

α 2 4 6 6

27 3 9 3 3 3 3 3

2

6 3 3 33 0

2 3 3 3

Άρα 90 180 ω , δηλαδή η γωνία ω που σχηματίζει η ΒΓ με τον άξονα ΄x x είναι αμβλεία.

[Μ.1.1.iii, M.1.1.ii]β. Έστω ω η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ΔA με τον άξονα ΄x x. Επειδή 2 1 0 x ,

ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΔA και είναι:

y y x x

x x x xΔ Α

Δ Α

α

2 2

2 0 2

1 1

i. Για να είναι η ω οξεία, πρέπει xx

x xx

α

2 1 0

2

20 0 2 0 2

1⇐=⇒ .

Άρα πρέπει ,2 x .ii. Για να έχει η ΔA κλίση ίση με 2, πρέπει:

ή22

2 12 2 2 2 2 2 1 0 0

1 2

α x

x x x x x xx

27.2 Δίνονται οι ευθείες καιε ζ η θ υ μ, , , , με αντίστοιχες εξισώ-

σεις y x 17 2, y x 2 1 2, y x 0, y x 2 3 , xy

2 12 8

2

και y x x 2 2 1 .

27b.indd 24927b.indd 249 26/1/2015 11:29:2426/1/2015 11:29:24

250


α. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης καθεμιάς από τις ευθείες και το είδος της γωνίας ω που σχηματίζει αυτή με τον άξονα ΄x x.

β. Ποιες από τις παραπάνω ευθείες: i. διέρχονται από την αρχή των αξόνων; ii. τέμνουν τον άξονα ΄y y στο σημείο , 0 2 ;

Λύση

[M.1.1.iii]

α. Για την ε , 17 0 α , άρα η γωνία ω είναι οξεία.Για τη ζ , 2 1 2 2 2 2 2 y x y x y x, άρα 2 0 α , επο-μένως η γωνία είναι αμβλεία.

Για την η , 0 y x y x, άρα 1 0 α , επομένως η γωνία είναι αμβλεία.

Για τη θ , 2 3 3 2 y x y x , άρα 3 0 α , επομένως η γωνία είναι οξεία.

Για την υ , 2 12 8 2 12 8

2 2 2

xy y x

12

2 4 2 6 22

y x y x , άρα 2 6 0 α , δηλαδή η γωνία είναι οξεία.

Για τη μ , 2 2 1 2 2 2 2 y x x y x x y , άρα

0 0 0 α εφω ω .[M.1.2]β. i. Όλες οι παραπάνω ευθείες είναι της μορφής α βy x . Από την αρχή των

αξόνων διέρχονται όσες έχουν 0β . Αυτό συμβαίνει μόνο με τις ζ και η .

ii. Τον άξονα ΄y y τέμνουν στο , 0 2 όσες από τις παραπάνω ευθείες έχουν

2 β , δηλαδή οι ευθείες και . ε θ υ μ

27.3 Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση y xκ κ κ 21 3 2. Να βρεθεί

ο κ , ώστε η ευθεία ε :α. να έχει κλίση ίση με 2,β. να έχει κλίση 0 και να μη συμπίπτει με τον ΄x x,γ. να σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον οριζόντιο άξονα,δ. να σχηματίζει με τον άξονα ΄x x γωνία 45o,ε. να περνάει από την αρχή των αξόνων, αλλά να μη συμπίπτει με τον

άξονα ΄x x.

27b.indd 25027b.indd 250 26/1/2015 11:29:2526/1/2015 11:29:25


251

Λύση

[M.1.2]

α. Πρέπει ή ή1 3 2 1 1 1 1 1 1 2 0 κ κ κ κ κ κ .β. Για να έχει κλίση 0, πρέπει:

ή ή1 3 0 1 3 1 3 1 3 4 2 κ κ κ κ κ κ

Επίσης, για να μη συμπίπτει η ε με τον ΄x x, πρέπει 2 2 0 κ κ . Λύνουμε την εξίσωση 2 22 0 1 1 0 1 1 1 0κ κ κ κ κ κ κ

ήκ κ κ κ 1 2 0 1 2 . Άρα και κ κ1 2.Τελικά, 4κ .

[Μ.1.1.iii]

γ. Για να σχηματίζει η ε αμβλεία γωνία με τον οριζόντιο άξονα, πρέπει

0 1 3 0 1 3 3 1 3 2 4 α κ κ κ κ . Άρα ,2 4 κ .[Μ.1.1.ii]

δ. Πρέπει 45 1 1 3 1 1 4 εφω εφ εφω κ κ

ή ή1 4 1 4 5 3κ κ κ κ .[Μ.1.2]

ε. Πρέπει η εξίσωση της ε να είναι της μορφής αy x, με 0α .Άρα πρέπει ή2 2 0 1 2 0 1 2 κ κ κ κ κ κ και από το ερώτημα (β) για 0α προκύπτει ότι 4κ και 2 κ . Τελικά, 1κ .

27b.indd 25127b.indd 251 26/1/2015 11:29:2726/1/2015 11:29:27

252


Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση

27.4 Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυν-σης των παρακάτω ευθειών:

α. 5 y x β. 21

3

xy

γ. 2y δ. 1

4

xy

ε. 2 3

5

xy στ. 1 3

3

x

y

ζ. 12 3

3

xy η. 2 2 α βy

27.5 Ποιες από τις παρακάτω ευθείες δι-έρχονται από την αρχή των αξόνων;

: , : ,

: , : ,

: , : , : , :

y x y x

x xy y

y y x x

ε ζ

η θ

ι κ λ μ

4 7 2 5

2 1 1

2 23 13 0 0 3

27.6 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα ΄x x καθεμία από τις παρακάτω ευθείες:

α. 3 y x β. 3 1

3

xy

γ. 23

x

y

δ. 3 y

ε. 3

3 x στ. 3 1

3

xy

ζ. 2 3

12y x η. 3 3

3

xy

θ. 3 3

3

xy ι. 3 2 2

51 2

x

y

27.7 Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυν-σης και το είδος της γωνίας που σχηματίζει

με τον άξονα ΄x x η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία:

α. , Α 2 2 και ,3 2 6Β

β. ,1312

8

Α και ,4 5 2 3Β

γ. ,2 2Α και ,1 1Β

δ. , 5617

2 3

Α και , 31055

35

Β

27.8 Να συμπληρωθεί με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) ο παρακάτω πίνακας:

Εξίσωση ευθείας

Διέρχεται από

τo Ο

Τέμνει

΄yy στο

1

Τέμνει

΄yy στο

2

Σχηματίζει

με ΄xx

οξεία

γωνία


με ΄xx

αμβλεία

γωνία

:1

22

3 ε x

y

:2 7 1 ε y x

:3 5 ε y x

:4 2 11 ε y x

:5 3 1 ε y x

:6

14

2

ε y x

:72

ε xy

27b.indd 25227b.indd 252 26/1/2015 11:29:2826/1/2015 11:29:28


253

27.9 Να συμπληρωθεί με Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) ο παρακάτω πίνακας:

Εξίσωση ευθείας

Διέρχεται από

τo Ο

Τέμνει

΄yy στο

3

Τέμνει

΄yy στο

2


με ΄xx

οξεία

γωνία


με ΄xx

αμβλεία

γωνία

:1 5ε y x

:2 2 ε y x

:3 3 2 ε y x

:4 3 2 ε y x

:5

2 8

2

ε x

y

:63

ε xy

:7 32

ε xy

:8

43

6

ε xy

27.10 Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυν-σης της ευθείας που περνάει από τα σημεία:

α. ,2 3Α και ,7 5Β

β. ,1 2Α και , Β 4 3

γ. ,0 1Α και ,3 1Β

δ. ,4 2Α και , Β 2 2

27.11 Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυν-σης και η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα ΄x x η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία:

α. ,3 5Α και ,3 1Β

β. ,1 3 7Α και ,3 7 1Β

γ. ,3 6Α και ,12 7Β

δ. ,41 1 Α β και ,4 4 4Β α α β

27.12 Έστω ευθεία που διέρχεται από τα

σημεία , 1Κ α και ,5Λ α α . Αν η γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα ΄x x εί-ναι 45, να βρεθεί ο α .

27.13 Έστω ευθεία που διέρχεται από τα

σημεία ,1 3Π α και , Ρ 3 3 . Αν η γω-

νία που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα ΄x x είναι 120, να βρεθεί ο α .

27.14 Αν η κλίση της ευθείας που διέρ-χεται από τα σημεία , 4Γ x και , 21Ε x

είναι θετική, να βρεθεί ο x .

27.15 Αν η κλίση της ευθείας που περ-

νάει από τα σημεία ,2Θ x και ,2 3Η x x x είναι αρνητική, να βρεθεί ο x .

27.16 Έστω ευθεία που διέρχεται από τα σημεία ,2Μ x και , 2N x x . Αν η ευθεία

σχηματίζει με τον άξονα ΄x x αμβλεία γωνία, να βρεθεί ο x .

27.17 Έστω ευθεία που διέρχεται από τα σημεία ,2Ξ x και , 1Σ x . Αν η ευ-

θεία σχηματίζει με τον άξονα ΄x x οξεία γω-νία, να βρεθεί ο x .

27.18 Δίνονται τα σημεία:

, , - , , , - , ,2 21 3 2 2 1Α Β Γ Δx x x x x

με 1x . Αν η ευθεία που περνάει από τα ση-μεία Α και Β σχηματίζει με τον άξονα ΄x x οξεία γωνία, να δείξετε ότι η ευθεία που περ-

27b.indd 25327b.indd 253 26/1/2015 11:29:2926/1/2015 11:29:29

254


νάει από τα σημεία Γ και Δ σχηματίζει με τον άξονα ΄x x αμβλεία γωνία.

27.19 Δίνεται η ευθεία:

: 10 1 1 ε λ λy x

Να βρεθεί ο λ , ώστε η ευθεία να διέρχε-ται από την αρχή των αξόνων.

27.20 Δίνεται η ευθεία:

: 3 21 5 2 3 2 ε λ λ λ λy x

με 1λ . Να βρεθεί:α. ο λ , ώστε η ευθεία να διέρχεται από

την αρχή των αξόνων,β. το είδος της γωνίας που σχηματίζει η ευ-

θεία με τον άξονα ΄x x για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα (α).

27.21 Αν η ευθεία:

: 23 2 1 η μ μy x

σχηματίζει με τον άξονα ΄x x γωνία 60, να βρεθεί ο μ .


:2 5 5

33

κ κη y x

σχηματίζει με τον άξονα ΄x x γωνία 150, να βρεθεί ο κ .

27.23 Να βρεθεί ο πραγματικός μ, ώστε

η ευθεία : 2 2 ζ μ μ μy x να είναι

παράλληλη στον άξονα ΄x x.

27.24 Να βρεθεί ο πραγματικός κ, ώστε

η ευθεία : 2 33 2 1 2 η κ κ κy x να είναι παράλληλη στον άξονα ΄x x.

27.25 Αν η ευθεία: : 2 2 10 2 26 2 1 η α β α β α βy x

είναι παράλληλη στον άξονα ΄x x, να βρεθούν οι , α β .


:2

2

61

λ λε λλ λ

y x

σχηματίζει με τον άξονα ΄x x οξεία γωνία, να βρεθεί ο λ .


: 2 3 5 2 ε λy x

σχηματίζει με τον άξονα ΄x x αμβλεία γωνία, να βρεθεί ο λ .


: 1 3 3 θ κy x

είναι η διχοτόμος του 1ου και του 3ου τεταρ-τημορίου, να βρεθεί ο κ .


: y xμθ

μ μ

2

3 5 10

1 1

είναι η διχοτόμος του 2ου και του 4ου τεταρ-τημορίου, να βρεθεί ο μ.

27.30 Αν η ευθεία: : 24 3 ε λ λy x

σχηματίζει με τον άξονα ΄x x οξεία γωνία και

διέρχεται από το σημείο ,1 1Α , να βρεθεί ο λ .


:2 4 3 1

2 2

λ λ λελ λ

y x

σχηματίζει με τον άξονα ΄x x αμβλεία γωνία

και διέρχεται από το σημείο , 1 2A , να βρεθεί ο λ .

27b.indd 25427b.indd 254 26/1/2015 11:29:3126/1/2015 11:29:31


255

Μ.2 Γραφική παράσταση ευθείας

Όταν μας ζητείται να σχεδιάσουμε μια ευθεία της μορφής α βy x ή τμήμα αυτής, βρίσκουμε δύο σημεία της ευθείας επιλέγοντας δύο κατάλληλες τιμές για την τετμημένη x. Πολλές φορές βολεύει να βρούμε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες συμπληρώνοντας το παρακάτω πινακάκι:

x α βy x

΄y y 0 β

΄x x βα

0

Η ζητούμενη ευθεία προκύπτει ενώνοντας τα δύο σημεία και είναι μοναδική, αφού, όπως γνωρίζουμε από την Ευκλείδεια Γεωμετρία, από δύο σημεία του επιπέδου διέρχεται μία και μόνο ευθεία.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 2

n Λυμένα Θέματα

27.32 Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

α. f x x 1 β. g x x 2 5

γ. αν αν

x xh x

x x1, 2

2 5, 2 δ. αν

αν 1, 2

2 5, 1x x

q xx x

ε. k x x x 1 4

Λύση

α. Η γραφική παράσταση της f είναι ευθεία της μορφής α βy x . Βρίσκουμε τα σημεία τομής της με τους άξονες:

x α βy x

΄y y 0 1 β

΄x x 1 βα

0

27b.indd 25527b.indd 255 26/1/2015 11:29:3226/1/2015 11:29:32

256


δηλαδή το σημείο τομής με τον άξονα ΄x x είναι το ,1 0Α και με τον ΄y y το

,0 1B . Άρα η ευθεία είναι:

β. Η γραφική παράσταση της g είναι ευθεία της οποίας βρίσκουμε τα σημεία τομής με τους άξονες:

x α βy x

΄y y 0 5β

΄x x 5

2 βα

0

δηλαδή το σημείο τομής με τον άξονα ΄x x είναι το ,5 02

Α και με τον ΄y y το

,0 5Β . Άρα η ευθεία είναι:

27b.indd 25627b.indd 256 26/1/2015 11:29:3426/1/2015 11:29:34


257

γ. Η γραφική παράσταση της h αποτελείται από τις ημιευθείες που προκύπτουν από τη γραφική παράσταση της f για 2x και από τη γραφική παράσταση της g για 2x

εξαιρουμένου του σημείου με τετμημένη 2x . Επίσης, είναι 2 2 1 f g , οπό-

τε οι δύο ημιευθείες έχουν κοινή αρχή το σημείο ,2 1Γ . Άρα η γραφική παράστα-ση της h είναι:

δ. Η γραφική παράσταση της q προκύπτει από τη γραφική παράσταση της h, αν εξαιρέσουμε τα σημεία για την τετμημένη x των οποίων ισχύει 1 2 x . Άρα η γραφική παράσταση της q είναι:

ε. Για 1x , 1 4 3 k x x x k x , ενώ για 1x ,

1 4 2 5 k x x x k x x .

27b.indd 25727b.indd 257 26/1/2015 11:29:3426/1/2015 11:29:34

258


Άρα ο τύπος της συνάρτησης k είναι ,,

xk x

x x3 12 5 1

Για 1x ισχύει ο τύπος 3y , άρα ο ένας κλάδος της kC είναι ημιευθεία με αρχή

το ,1 3Κ που είναι παράλληλη στον άξονα ΄x x.Για 1x ισχύει ο τύπος 2 5 y x , οπότε η γραφική παράσταση συμπίπτει με τη γραφική παράσταση της q στο διάστημα αυτό. Άρα η kC είναι:

27.33 Δίνονται οι εξισώσεις των ευθειών ε : y x 2 3, ζ : y 3 και

η : x 2.α. Να σχεδιάσετε:

i. την ευθεία ε ,

ii. τις ευθείες ζ και η στο ίδιο σύστημα αξόνων με την ε .β. Να βρεθεί το εμβαδόν του σχήματος που περικλείεται από τις ευ-

θείες ζ , η και τους άξονες ΄x x και ΄y y.γ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο

f x x 2 3, όταν: i. x 2, ii. x 1 2 και να βρεθεί το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που προκύπτει

στην περίπτωση (ii).

Λύση

α. i. Βρίσκουμε τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξονες:

27b.indd 25827b.indd 258 26/1/2015 11:29:3526/1/2015 11:29:35


259

Για 0x , 2 0 3 3 y , άρα το σημείο είναι το , Α 0 3 .

Για 0y , 30 2 3

2 x x , άρα το σημείο είναι το ,3 0

2

Β .

Επειδή το σημείο ,3 02

Β έχει ως τετμημένη κλάσμα, ίσως δεν μπορούμε

εύκολα να το σχεδιάσουμε με ακρίβεια. Γι’ αυτό μπορούμε να βρούμε ένα άλλο σημείο, π.χ. για 2x έχουμε 2 2 3 1 y , δηλαδή το σημείο

,2 1Γ . Έχοντας δύο σημεία, σχεδιάζουμε την ευθεία:

ii. Η ευθεία ζ είναι παράλληλη στον άξονα ΄x x και διέρχεται από το ,0 3Δ και

η η είναι παράλληλη στον ΄y y και διέρχεται από το ,2 0Ε .

27b.indd 25927b.indd 259 26/1/2015 11:29:3626/1/2015 11:29:36

260


β. Το σημείο τομής των ευθειών ζ και η είναι το ,2 3Ζ . Το σχήμα του οποίου

αναζητούμε το εμβαδόν είναι ορθογώνιο με κορυφές ,0 0Ο , ,2 0Ε , ,0 3Δ ,

,2 3Ζ και φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Το εμβαδόν του είναι 2 3 6 τετραγωνικές μονάδες.

γ. Η γραφική παράσταση της f είναι τμήμα της ευθείας ε .i. Πρόκειται για την ημιευθεία με αρχή το σημείο ,2 1Γ που αντιστοιχεί στα

σημεία με τετμημένη 2x .

ii. Για ,x y 1 2 1 3 5 και για 2x έχουμε 1y , άρα η ζητούμενη

27b.indd 26027b.indd 260 26/1/2015 11:29:3626/1/2015 11:29:36


261

γραφική παράσταση είναι το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία ,1 5 Η

και ,2 1Γ .

Το μήκος του ευθύγραμμου αυτού τμήματος είναι:

2 2 2 22 1 1 5 3 6 9 36 45 d μ.

27.34 α. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της :f με εξίσωση

f x x .

β. Να λύσετε τις x 3 και x 3.

Λύση

α. Η εξίσωση της f γίνεται ,,

00

x xf x

x x. Άρα η γραφική παράσταση φαίνεται

στο παρακάτω σχήμα:

27b.indd 26127b.indd 261 26/1/2015 11:29:3726/1/2015 11:29:37

262


β. Οι λύσεις της εξίσωσης 3x είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφι-

κής παράστασης της f x x με την ευθεία 3y .

Άρα 3x ή 3 x .

Οι λύσεις της ανίσωσης 3x είναι όλα τα x για τα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της ευθείας 3y , άρα

,3 3 x .

Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση

27.35 Να γίνει η γραφική παράσταση των παρακάτω ευθειών: α. 3y x β. 2 y xγ. 2 y δ. 4x

ε. 2

x

y

στ. 3

2

xy

ζ. 3 4y η. 2 3 x

27.36 Να σχεδιαστούν στο ίδιο σύστημα αξόνων οι ευθείες:

α. : y xε 2 1 και : y xη 2 1

β. : xyε

3

2 και : x

yη 2 3

4

27.37 Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδια-

στούν οι ευθείες : y xε 2 και : y xη 1

2.

Τι παρατηρείτε για τη θέση των δύο ευθειών;

27.38 Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδι-

αστούν οι ευθείες : y xε 3 , : y xη 3 1

και : y xζ 3 2. Τι παρατηρείτε για τη θέση των ευθειών;

27.39 Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχε-διαστούν οι ευθείες:

: y xε και : y xη 1Τι παρατηρείτε για τη θέση των δύο ευθειών;

27.40 Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχε-διαστούν οι ευθείες , ,2 2 3 y y x και

1 x . Οι παραπάνω ευθείες τέμνονται στα σημεία , , ,Α Β Γ Δ. Να βρεθεί το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ και το εμβαδόν του.

27.41 Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχε-διαστούν οι ευθείες , ,1 3 5 y y x και

27b.indd 26227b.indd 262 26/1/2015 11:29:3726/1/2015 11:29:37


263

x 1. Οι παραπάνω ευθείες τέμνονται στα σημεία , , ,Α Β Γ Δ. Να βρεθεί το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ και το εμβαδόν του.

27.42 Να γίνει η γραφική παράσταση των παρακάτω ευθειών: α. 5 y x για 1x

β. 2 1 y x για ,1 x

γ. 4 y x για 0x

δ. 3 4 y x για , 2 x

ε. 2 3 y x για 2 4 x

στ. 3 4 y x για ,1 3 x

ζ. 0y για ,3 1 x

η. 0x για ,1 4 y

27.43 Να γίνει η γραφική παράσταση

της γραμμής 11

2 y x για ,2 4 x και

να βρεθεί το μήκος της.

27.44 Να γίνει η γραφική παράσταση της γραμμής 3 2 y x για 1 2 x και να βρεθεί το μήκος της.

27.45 Να σχεδιάσετε τη συνάρτηση

3 19

4 4 f x x με ,1 5x και να βρεθεί

το μήκος της γραμμής.

27.46 Να σχεδιάσετε τη συνάρτηση

4 5

3

xg x με 2 1 x και να βρεθεί

το μήκος της γραμμής.

27.47 Να σχεδιαστούν στο ίδιο σύστημα

αξόνων οι συναρτήσεις 12

3 f x x ,

3g x x και 2h x .

27.48 Να σχεδιαστούν στο ίδιο σύστημα αξόνων οι συναρτήσεις 1 2 f x x,

3

2

xg x και 3 h x .

27.49 Αφού αρχικά απλοποιηθούν, να σχεδιαστούν στο ίδιο σύστημα αξόνων οι συναρτήσεις:

,18 3 8

21 1

3 2 3 2

xf x

g x x

και 22

2 h x

27.50 Να βρεθούν τα σημεία τομής των παρακάτω ευθειών με τους άξονες:α. 2 6 y x β. 1 y x

γ. 4

2

x

y

δ. 3

x

y

ε. 2 y στ. 1x

ζ. 2 1

3 2 y x

η. 2 18 y x

27.51 Δίνεται η ευθεία : 2 6 ε y x .α. Να βρεθούν τα σημεία τομής της με τους

άξονες.β. Να σχεδιάσετε την ευθεία.γ. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που

σχηματίζει η ευθεία με τους άξονες.

27.52 Δίνεται η ευθεία : 2

3

ζ x

y .

α. Να βρεθούν τα σημεία τομής της με τους άξονες.

β. Να σχεδιάσετε την ευθεία.γ. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που

σχηματίζει η ευθεία με τους άξονες.

27b.indd 26327b.indd 263 26/1/2015 11:29:3826/1/2015 11:29:38

361

1. Δίνεται η συνάρτηση 22 7 3

2 1

x x

f xx

και η ευθεία με γραφική παράσταση

gC η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία 8 6

3

xy και τέμνει τον άξονα ΄y y σε

σημείο με τεταγμένη το 1 .α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f .β. Να απλοποιηθεί ο τύπος της f .γ. Να βρεθεί ο τύπος της g .δ. Να βρεθούν τα σημεία τομής των fC και gC .

2. Έστω συνάρτηση : ,1 f , με 2 α β γf x x x και α, β , γ . Η

fC τέμνει τον άξονα ΄y y στο σημείο Β με τεταγμένη 1 και τον άξονα ΄x x στα

σημεία Γ , Δ που έχουν τετμημένες με άθροισμα 32

και γινόμενο 1 .

α. Να βρεθεί ο γ .β. Να βρεθούν οι α, β .

γ. Να βρεθεί σημείο Α της fC με τεταγμένη 72

.

δ. Να βρεθούν τα σημεία Β, Γ και Δ, αν γνωρίζουμε ότι η τετμημένη του Γ είναι θετική.

ε. Έστω η ευθεία με γραφική παράσταση gC που διέρχεται από το σημείο Α και σχηματίζει με τον άξονα ΄x x γωνία 45.

i. Να βρεθεί ο τύπος της g . ii. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των fC , gC . iii. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες η fC είναι κάτω από τη gC .

Γενικές ΕπαναληπτικέςΑσκήσεις

30epanal.indd 36130epanal.indd 361 26/1/2015 11:34:3126/1/2015 11:34:31

386

Σύνθετα θέματα – Προσομοίωση τράπεζας

14. Δίνονται οι εξισώσεις 13

2x (1) και 3 4x x (2).

α. Να λύσετε την (1).β. Να βρείτε την κοινή λύση των (1) και (2).

15. Δίνεται η παράσταση 3 4 2x xΑ .α. Να γράψετε την παράσταση Α χωρίς το απόλυτο.β. Να λύσετε την εξίσωση 0Α .

16. Δίνεται η παράσταση 4 2 4x xΒ .α. Να γράψετε την παράσταση Β χωρίς το απόλυτο.β. Να λύσετε την εξίσωση 2Β .

17. α. Να λύσετε την εξίσωση 2 3 5x .

β. Να λύσετε την εξίσωση 12 8 6 9

2 2 3 74 3

x xx

.

18. Δίνεται η εξίσωση 24 5 1 0,x xλ λ λ (1).α. Να λυθεί η (1), αν 4λ .β. Αν 4λ , να αποδείξετε ότι η (1) δεν είναι αδύνατη.γ. Αν η (1) έχει διπλή ρίζα, να βρεθεί ο λ.

19. α. Να λύσετε την εξίσωση 2 15 16 0x x .β. Να λύσετε την εξίσωση 4 215 16 0x x .

20. α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: i. 2 16x ii. 2 4 4x x iii. 22 10x x

β. Να λύσετε την εξίσωση 2 2 216 4 4 2 10 0x x x x x .

31syntheta.indd 38631syntheta.indd 386 26/1/2015 11:35:3826/1/2015 11:35:38

399

1ο Τεστ Σωστού – Λάθους

Α. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτά-σεις:1. α α23 9

2. α α2 9 3

3. και α α α2 9 3 3

4. ή α α α2 9 3 3

5. και 2 3 0 2 3x y x y

6. ή 2 3 0 2 3x y x y

7. 2 3 0 2x y x

8. Αν 2 3 0x y , τότε μπορεί 2x και 3y .

9. Αν 2 3 0x y , τότε, αν ισχύει 2x , θα ισχύει και 3y .

10. Αν 2 3 0x y , τότε θα ισχύει ακριβώς μία από τις 2x και 3y .

11. 4 4 7 0x x y

12. 4 4 7 0x x y

13. και 3 1 3 1 0x y x y

14. και 3 1 3 1 0x y x y

15. Αν 2 3 0u u , τότε θα ισχύουν τα 2u και 3u .

16. Αν 2 3 0u u , τότε θα ισχύει ένα από τα 2u και 3u .

17. Αν ή ω ω ω ω2 3 0 2 3 .

18. Αν 8 7 1x x , τότε 8x ή 7x .19. Αν 8 9y y .20. Αν 9 8y y .21. Αν 9 8y y .22. Αν 9y , τότε ισχύει 8y και όχι 8y , επειδή το y είναι ίσο με 9 και δεν

μπορεί να είναι 8.23. Η άρνηση της πρότασης «ο α είναι θετικός αριθμός» είναι «ο α είναι αρνη-

τικός αριθμός».24. Οι προτάσεις «ο α δεν είναι θετικός αριθμός» και α 0 είναι ισοδύναμες.

32test.indd 39932test.indd 399 26/1/2015 11:36:3126/1/2015 11:36:31

ΑΘΡΟΙΣ

ΜΑ Κ

ΑΙ

ΓΙΝΟΜ

ΕΝΟ Ρ

ΙΖΩΝ (S, P

)

β α

Sx

x1

2

γ α

Pxx

12

22

22

12

12

12

22

xx

xx

xx

SP

3

33

31

21

21

21

23

3x

xx

xxx

xx

SPS

Οι αριθμοί

x1 και

x2 είναι

ρίζες

της εξίσω

σης

x

SxP

20,

όπου

Sx

x1

2 και

Pxx

12

ΠΡ

ΑΓΜ

ΑΤΙΚΟ

Ι Α

ΡΙΘ

ΜΟ

ΙΕΞΙΣΩ

ΣΕΙΣ

αβα

00 ή

β

0

αβ

α0

0 και

β

0

ΠΡ

ΟΟ

ΔΟ

Ι

ΠΙΘ

ΑΝ

ΟΤΗ

ΤΕΣ

ΠΑ

ΡΑ

ΒΟ

ΛΗ

f(x

) =

αx

2 +

βχ +

γ

ΕΥΘ

ΕΙΑ

y =

αx +

β

ΤΥ

ΠΟ

ΛΟ

ΓΙ

Ο

ΔΥΝ

ΑΜ

ΕΙΣ

μν

μν

αα

α

μ

μν

ναα

α

ν

νν

αβ

αβ

με0

νν να

αβ

ββ

μν

νμα

α

νν

αα1

με0

νν

αβ

βα

αβ

α01,

με

α

0

ΑΠΟΛΥΤ

Η Τ

ΙΜΗ

αν αν

αα

αα

α0 0

αα

αα

22

αβ

αβ

,

αα

ββ

β0

αα και

αα

αβ

αβ

αβ

αα

xx Επίλυση εξισώσεων

Αν

,

θ

0 τό

τε

θθ

xx

Αν

,

θ

0 τό

τε

,θ

x αδύνατη

Αν

,

θ

0 τό

τε

x

x0

0

Αν

,

θ

0 τό

τε

θθ

xx

ή

θ

x

Αν

,

θ

0 τό

τε

θ

xx

0

Αν

,

θ

0 τό

τε

θx

x

Επίλυση ανισώσεων

Αν

,

θ

0 τό

τε

θ

θθ

xx

Αν

,

θ

0 τό

τε

,θ

x αδύνατη

Αν

,

θ

0 τό

τε

,θ

x αδύνατη

xx

0

xx

00

ΡΙΖ

ΕΣ

,

ν

ν αα

για

ν άρτιο

θετικό

,

ν

ν αα

για

α0

ν

νν

αβα

β, για

,

αβ

0

,

ν

νν

αα

ββ

για

α0 και

β

0

,

νν

ναβ

αβ

για

,

0αβ

,

νρ

νμρ

μα

α για

α0

,

ρ

νρνα

α για

α0

,

μ

νμ

να

α για

,

α

μ0

ακέραιο

και ν

θετικό ακέραιο

ΕΙΔΟΣ

ΡΙΖ

ΩΝ

Ομόσημες:

Δ P

0 0

Ετερόσημες

:

PΔ0 0

Θετικές

:

Δ P S

0 0 0

Αντίστροφες:

Δ P0 1

Αντίθετες:

0 0SΔ

Αρνητικές

:

Δ P S

0 0 0

ΕΠΙΛ

ΥΣΗ Ε

ΞΙΣΩ

ΣΗΣ

αχ2 +

βχ

+ γ

= 0

, α

0

→

Δβ

αγ2

4

Αν

,

Δ

0 τό

τε

,

βΔ

αx 1

22

(δύο

ρίζες

άνισες)

Αν

,

Δ

0 τό

τε

β αx 0

2 (μια

ρίζα

διπλή

)

Αν

,

Δ

0 τό

τε η

εξίσω

ση είναι

αδύνατη

ΕΞΙΣ

ΩΣΗ

xv = α

Αν

α0 και ν

περιττός, τότε

να

x

Αν

α0 και ν

άρτιος, τότε

να

x ή

να

x

Αν

α0 και ν

περιττός, τότε

να

xΑν

α0 και ν

άρτιος, τότε

αδύνατη

,

ΑΒ

ΑΒ

PP

P αν

ΑΒ

΄

Α

ΑP

P1

ΑΒ

ΑΒ

ΑΒ

PP

PP

Α

ΒΑ

ΑΒ

PP

P

Α

ΒΑ

ΒP

P

Κορυφή:

,

24

Kβ

Δα

α

Άξονας σ

υμμετρίας:

2

xβ α

ΑΡΙΘ

ΜΗΤΙ

ΚΗ Π

ΡΟΟΔΟΣ

(Α.Π

.)

ναα

νω

11

(ν-οστός ό

ρος)

νν

ωα

α1

(διαφορά

προόδου

)

α

γβ

2 (αριθμητικός μ

έσος

)

νν

ν

να

α

να

νω

S S

1

1

2

21

2

ΓΕΩΜ

ΕΤΡΙΚ

Η Π

ΡΟΟΔΟΣ

(Γ.Π

.)

ν

νααλ

11

(ν-οστός

όρος)

ν ν

αλ

α1

(λόγος

προόδου

)

βαγ

(γεωμετρικός

μέσος

)

ν

νλ

αλ

S1

1 1 (άθροισμα

ν πρώτων όρων Γ.Π

.)

αεφω

Αν

α

βε

yx

11

1 και

α

βε

yx

22

2, τότε:

─

//

εε

αα

12

12

─

εε

αα

12

12

1

,

Αx

y1

1 και

,

Βx

y2

2 σημεία της ευθείας

, τότε

α

yy

xx

21

21

ΔΙΑ

ΤΑΞΗ

α

βα

γβ

γ

0

γα

βαγ

βγ

⇐⇒

0

γα

βαγ

βγ

⇐⇒

1

1,

αβ

αβ

για α,

β ομόση

-

μους

και

22

00

0α

βα

β

ν

να

βα

β

, για

,

0αβ

και ν

θετικό ακέραιο

ΤΑΥΤ

ΟΤΗ

ΤΕΣ

α

βα

αββ

22

22

α

βα

αββ

22

22

αβ

ααβ

αββ

33

22

33

3

αβ

ααβ

αββ

33

22

33

3

αβ

αβ

αβ

22

α

βα

βα

αββ

33

22

α

βα

βα

αββ

33

22

α

βγ

αβ

γαβ

αγβγ

22

22

22

2

(άθροισμα

ν πρώτων

όρων Α

.Π.)

34typologio_new.indd 60834typologio_new.indd 608 26/1/2015 11:53:2326/1/2015 11:53:23

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου · 2017-07-31 · ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 242 1) Έστω...

Documents

Transcript of Άλγεβρα Α΄ Λυκείου · 2017-07-31 · ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 242 1) Έστω...