1

Σχολικό έτος 2014-2015

Τάξη : Γ’ Λυκείου

Μάθημα : Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Διαγώνισμα εξοικείωσης περιόδου Ιανουαρίου

ΘΕΜΑ 1ο

Α) Έστω μία συνάρτηση f , η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό

διάστημα [ , ] . Αν η f είναι συνεχής στο [ , ] και ( ) ( )f f ,

να αποδείξετε ότι : για κάθε αριθμό μεταξύ των ( )f και ( )f υπάρχει ένας τουλάχιστον

( , )ox τέτοιος ώστε ( )of x

ΜΟΝΑΔΕΣ : 7

Β ) Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι συνάρτηση 1-1 στο πεδίο

ορισμού της. ΜΟΝΑΔΕΣ : 4

Γ) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano και να δώσετε γεωμετρική

ερμηνεία του θεωρήματος. ΜΟΝΑΔΕΣ : 4

Δ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο

τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που

αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

ΜΟΝΑΔΕΣ : 2Χ5=10

1. Αν ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f τότε ισχύει η ισότητα xxff ))((1 ,για κάθε fx D

2. Αν μία συνάρτηση είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της τότε θα είναι και

γνησίως μονότονη σε αυτό.

3. Αν lxfoxx

)(lim και mxgoxx

)(lim με Rml , και )()( xgxf κοντά στο

ox τότε θα είναι : ml

2

4. Αν *lim ( )

ox xf x l R

τότε lim ( ) lim ( )

o ox x x xf x l ή f x l

5. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [α,β] τότε

το σύνολο τιμών της είναι το [f (β),f(α)].

ΘΕΜΑ 2ο

Δίνονται οι μιγαδικοί z,w για τους οποίους ισχύουν : z 1

13 i

(1)

και w=3z-2 (2)

1. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z κινούνται σε κύκλο

1(C ) κέντρου Κ(1,0) και ακτίνας 2

ΜΟΝΑΔΕΣ : 8

2. Να αποδείξετε ότι οι μιγαδικοί w ικανοποιούν την σχέση w 1 6

ΜΟΝΑΔΕΣ : 8

3. Να βρείτε τη τιμή της παράστασης z w και να δικαιολογήσετε

ότι οι εικόνες των μιγαδικών z, w και το σημείο Κ(1,0) είναι σημεία

συνευθειακά.

ΜΟΝΑΔΕΣ : 9

ΘΕΜΑ 3ο

Δίνονται οι συναρτήσεις :

( ) 2 ln( 2 1)f x x , με 2x και 2( ) 2g x x , με 0x

1. Να αποδείξετε ότι ( )( ) 2 ln( 1)f g x x με 0x

ΜΟΝΑΔΕΣ : 6

3

2. Να αποδείξετε ότι η f g είναι γνήσια φθίνουσα συνάρτηση στο

πεδίο ορισμού της και να βρείτε το σύνολο τιμών της. ΜΟΝΑΔΕΣ : 6

3. Να αποδείξετε ότι η f g αντιστρέφεται και να ορίσετε την

αντίστροφη συνάρτηση 1( )f g

ΜΟΝΑΔΕΣ : 6

4. Να βρείτε τους , R με 0 ώστε η συνάρτηση

1[ ( 2)]( ) ( ) , 2

2

( ) , 2

( ) ( ) ( ) 6, 2

2

xf g x x

x

h x x

f x g x f xx

x

να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

ΜΟΝΑΔΕΣ : 7

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : με (0) 1f και η

συνάρτηση

g : ® με 2

1( )

[ ( )] xg x

f x e

για κάθε x .

Α) ΜΟΝΑΔΕΣ : 4+3+2=9

1. Να αποδείξετε ότι 2 xf (x) e για κάθε x

2. Υπολογίστε το xlim f(x)

3. Να βρείτε τοxlim g(x)

4

Β) ΜΟΝΑΔΕΣ : 6

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 1)( ( ) ) [ ( 1) 1]xx g x e x f x

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο [0,1).

Γ) ΜΟΝΑΔΕΣ : 5+5=10

1. Να αποδείξετε ότι στο διάστημα [ , ] με , R υπάρχει ένα

τουλάχιστον για το οποίο ισχύει ( ) ( )

( )2

f ff

2. Αν επιπλέον για την f ισχύει (1) (3) (5) (6)f f f f να αποδείξετε

ότι δεν είναι 1-1.

Ο Υπεύθυνος του Λυκείου Οι καθηγητές

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ !!!