Μαθηματικά γενικής παιδείας γ΄ λυκείου

Επαναληπτικές ασκήσεις στο 1ο κεφάλαιο : Διαφορικός Λογισμός

1. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού :

α) 2xx

2x)x(f

2

2

−+−= β) 12xx)x(g 2 −−+=

γ) 2)2xxln()x(h 2 −−+= δ) 2

2

x91

14x)x(s

−−

−−= .

2. Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια :

α) 2xx

1xlim

2

2

1x −+−

→β)

π−

ηµ

π→ x2x

lim

2x

γ) 1x

3x4xlim 2

3

1x −+−

→δ)

4x22x

lim 21x −−+

→

3. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων :

α) x2ex)x(f −= β) xln

x)x(g

2

=

γ) x21x)x(h 2 −−= δ) x4)x(s 2ηµ=

ε) 22 xx)x(t συν= στ) x)x(k 2εφ=

4. Έστω η συνάρτηση 1x8x2)x(f 2 +−=

α) βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) βρείτε την f΄

γ) ποια είναι η εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης

i) στο σημείο της Α(0,f(0))

ii) που είναι παράλληλη στην ευθεία y=4x-2

iii) που είναι παράλληλη στον άξονα x´x

iv) που είναι κάθετη στην ευθεία x+y=-2

v) που σχηματίζει με τον άξονα x´x γωνία 135ο

vi) που διέρχεται από το Β(0,-18)

5. Το εμβαδόν μιας επιφάνειας που μεταβάλλεται με τον χρόνο δίνεται από τον τύπο

2tt2lnt2t)t(E 3 −+−= . Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού την χρονική στιγμή

t0=2.

6. Ένα κινητό σημείο κινείται πάνω στον οριζόντιο άξονα και η συνάρτηση

1t9t6t)t(x 23 ++−= δίνει την τετμημένη του σημείου σε κάθε χρονική στιγμή t (sec).

α) Ποια είναι η αρχική θέση του σημείου πάνω στον άξονα ;

β) Ποια είναι η ταχύτητα του σημείου σε κάθε χρονική στιγμή t;

γ) Πότε το σημείο είναι ακίνητο ; Ποια είναι η επιτάχυνση αυτές τις χρονικές στιγμές ;

δ) Ποιο είναι το συνολικό διάστημα που διήνυσε το σημείο τα πρώτα 5 sec ;

ε) Ποια είναι η μέση ταχύτητα του σημείου τα πρώτα 5 sec ;

7. Να μελετήσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα :

α) x

16x)x(f 2 += β) x2ex)x(g =

γ) 6x11x3x3x)x(h 234 −+−−= δ) xlnx)x(t =

ε) 2lnx21

x31

)x(v 23 +−= στ) 4x

x1015)x(s

2 ++=

8. Έστω η συνάρτηση 1x

1x)x(f

2 −−=

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y.

γ) Να υπολογίσετε τα : )x(flim1x→ και [ ]2003

1x)x(flim

→

δ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης )0(f)0(f)0(fA ′′+′+=

9. Δίνεται η συνάρτηση xe)x(f α= ,α ∈ R.

α) Να βρείτε τις f΄(x) και f΄΄(x)

β) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε να ισχύει η σχέση f΄΄(x)+2f´(x)=3f(x) για κάθε x ∈ R

γ) Να βρείτε την τιμή του α για την οποία η γραφική παράσταση της f(x) στο σημείο Α(0,1)

δέχεται εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία y=3x-11.

10. Έστω ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 5x)1x(x)x(f 2 +β++α=

στο σημείο της Α(-1,8) έχει συντελεστή διεύθυνσης –4.

α) Να αποδείξετε ότι α=-1 και β=-3

β) Για τις τιμές των α και β που βρήκατε

i) να υπολογίσετε το όριο xx

)x(flim

21x −→

ii) να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία

iii) να δείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα.

11. Δίνεται η συνάρτηση 2x21)x(f −=

α) να βρείτε το πεδίο ορισμού της f

β) να βρείτε την εφαπτόμενη της καμπύλης της f στο x0=21

γ) να βρείτε την μέγιστη τιμή της f

δ) να βρείτε το x

)x(f1lim

0x

−→

12. Δίνεται η συνάρτηση 2x

)1xln()x(f2

+−=

α) να δείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο της καμπύλης της f ώστε η εφαπτομένη να είναι παράλληλη

στον άξονα x΄x.

β) να βρείτε το σημείο της καμπύλης f που η εφαπτομένη σε αυτό έχει τον ελάχιστο συντελεστή

διεύθυνσης.

γ) να βρείτε την εφαπτομένη της καμπύλης της f στο παραπάνω σημείο του (β) ερωτήματος.

13. Δίνεται η συνάρτηση Rx,ee)x(f x2x2 ∈+= −

α) να αποδείξετε ότι )x(f4)x(f ′=′′

β) να λύσετε την εξίσωση 2xe2)x(f

21

)x(f =′+

γ) Να βρείτε για ποια τιμή του x, ο ρυθμός μεταβολής της f είναι μηδέν.

14. Να βρείτε το σημείο της καμπύλης της 5x18x6x)x(f 23 ++−= με τον ελάχιστο συντελεστή

διεύθυνσης.

15. Η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογώνιου κήπου είναι τοίχος. Αν διαθέτουμε σύρμα μήκους 200m ,

ποια θα είναι η μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια του κήπου που θα περιφράξουμε.

16. Ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με τετράγωνη βάση είναι ανοικτό από πάνω.

Η ολική του επιφάνεια είναι 2352 cm2. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του κουτιού, ώστε να

έχει τον μεγαλύτερο δυνατό όγκο ;

17. Θέλουμε να κατασκευάσουμε μια αφίσα, της οποίας η τυπωμένη επιφάνεια να είναι 50 cm2 με

περιθώρια 4cm πάνω και κάτω και 2cm στα πλάγια. Να βρείτε τις διαστάσεις του χαρτιού, ώστε η

επιφάνεια της αφίσας να είναι ελάχιστη.

18. Δίνεται η συνάρτηση 2xx2)x(f −= .

α) να υπολογίσετε το 4x

)x(flim

22x −→

β) να αποδείξετε ότι 0)x(f)x(f)x1( =′+′′− για κάθε x∈ R.

γ) να γράψετε την εξίσωση της εφαπτόμενης της καμπύλης της )x(xf)x(g = στο σημείο της,

όπου αυτή παρουσιάζει μέγιστη κλίση.