1ο ΘΔΜΑ

ΔΞΔΤΑΣΔΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΔΒΡΑΣ Α΄ ΛΥΚΔΙΟΥ

ΣΔ ΓΔΝΙΚΑ ΛΥΚΔΙΑ ΤΟΥ Ν. ΣΔΡΡΩΝ ηο 2010

1) Α. Έζησ 1 2,x x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο αx

2

+ βx + γ=0 κε α ≠ 0.

Να απνδείμεηε όηη: 1 2x x θαη

1 2x x

Β. Γίλεηαη ε εμίζσζε αx2

+ βx + γ=0 κε α ≠ 0 θαη Γ=β2-4αγ. Να γξάςεηε ην πιήζνο ησλ

ξηδώλ ηεο εμίζσζεο γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηεο δηαθξίλνπζαο Γ.

2) Α. Γίλεηαη ην ηξηώλπκν αρ2+βρ+γ κε α≠0 θαη ξίδεο ρ1,ρ2.

1. Να γξαθνύλ νη ζρέζεηο πνπ δίλνπλ ην άζξνηζκα θαη ην γηλόκελν ησλ ξηδώλ ηνπ

ηξησλύκνπ.

2.Να κεηαηξαπεί ην ηξηώλπκν ζε γηλόκελν πξσηνβαζκίσλ παξαγόλησλ.

3.Να δνζνύλ ηα δηαζηήκαηα ζηα νπνία ην ηξηώλπκν είλαη

i) νκόζεκν ηνπ α ii)εηεξόζεκν ηνπ α.

Β. ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο λα γξάςεηε αλ ε πξόηαζε είλαη ζσζηή θαη Λ αλ είλαη

ιαλζαζκέλε.

α) Η εμίζσζε 2νπ

βαζκνύ πνπ έρεη ξίδεο ρ1,ρ2 κε άζξνηζκα ρ1+ ρ2=-5 θαη γηλόκελν ρ1 ρ2=2

είλαη ε ρ2-5ρ+2=0

β) Σν ηξηώλπκν f(ρ)=ρ2+βρ-α

2 έρεη δύν ξίδεο εηεξόζεκεο.

γ) Αλ ην ηξηώλπκν f(ρ)=ρ2+αρ+β έρεη δηαθξίλνπζα αξλεηηθή ηόηε ρ

2+αρ+β<0 γηα θάζε ρ R.

δ) Έζησ ην ηξηώλπκν f(x)= αρ2+βρ+γ , α≠0.Αλ α>0 θαη Γ=0 ηόηε f(x)≥0 γηα θάζε ρ R.

3) Α. Έζησ ρ1 θαη ρ2 νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο αρ2+βρ+γ = 0, α 0. Να δείμεηε όηη : ρ1 ρ2 = .

Β. Να ζπκπιεξώζεηε ηηο πξνηάζεηο :

α) Αλ α < 0 ηόηε |α| =……….. β) |ρ| = |α| …..… γ) Αλ ζ > 0, ηόηε : |x | > ζ ………….

Γ. Να γξάςεηε ηε ιέμε σζηό ή Λάζνο δίπια ζην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηαζε :

α) Σν ηξηώλπκν αρ2+βρ+γ, α 0 είλαη νκόζεκν ηνπ γηα θάζε ρ R όηαλ Γ < 0.

β) Η εμίζσζε ρλ = α κε α < 0 θαη λ άξηην δελ έρεη πξαγκαηηθή ιύζε.

γ) Ιζρύεη |α+β| |α|+|β|

4) Α. Να απνδεηρζεί όηη : Αλ x (κε ζ>0), ηόηε x .

Β. Να γπάψεηε ηον απιθμό ηων παπακάηω πποηάζεων και δίπλα ηην ένδειξη Σ ή Λ αν η

ππόηαζη είναι ζωζηή ή λανθαζμένη.

η) Ιζρύεη 18 3 2 .

ηη) Η εμίζσζε 3x έρεη ιύζε ηελ ηηκή 3x .

ηηη) Σν πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο 2010 10f x x είλαη ην Α= ( ,201] .

ηλ) Αλ 1x , 2x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 1 0x x , ηόηε ην άζξνηζκα ησλ ξηδώλ είλαη ίζν κε ην

1.

λ) Αλ 1 1,x y θαη 2 2,x y δύν ζεκεία ζε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ, ηόηε ε

απόζηαζε ηνπο (ΑΒ) δίλεηαη από ηνλ ηύπν 2 2

2 2 1 1x y x y

5) Α. α)Να νξηζζεί ε απόιπηε ηηκή ελόο πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ α.

β)Αλ 0 λα απνδείμεηε όηη: x x .

Β. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ γξάθνληαο ζην γξαπηό ζαο ηε ιέμε

σζηό ή Λάζνο δίπια ζηνλ αξηζκό πνπ αληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηαζε.

1. (α, β πξαγκαηηθνί αξηζκνί)

2. , α 0

3. ε εμίζσζε αx = β είλαη ηαπηόηεηα αλ α = β = 0

6) Α. Γίλνληαη νη δηαθεθξηκέλεο επζείεο ε1 θαη ε2 κε εμηζώζεηο y=α1x+β1 θαη y=α2x+β2

αληίζηνηρα. Απνδείμηε όηη: νη επζείεο ε1 θαη ε2 είλαη παπάλληλερ κόλνλ όηαλ α1=α2.

Β. Έζησ ε κία επζεία κε εμίζσζε y=αx+β θαη ω ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε επζεία κε ηνλ

άξονα x’x. Χαξαθηεξίζηε σο σζηή () ή Λάζνο (Λ) θαζεκηά από ηηο πξνηάζεηο:

1. α = εθσ.

2. α<0 κόλνλ όηαλ 0ν<σ<90

ν.

3. 0ν<σ<90

ν.

4. Αλ 0 , ε επζεία (ε) δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.

5. Αλ α=0, ε επζεία (ε) είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα y’y.

7)Α. Να γξάςεηε ηνλ νξηζκό ηεο απόιπηεο ηηκήο ελόο πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ α.

Β. Να απνδείμεηε όηη αλ 0 θαη ηόηε κε .

Γ. Να ζπκπιεξώζεηε ζην γξαπηό ζαο ηα θελά ζηηο παξαθάησ πξνηάζεηο:

α) Αλ 0 ηόηε: ……………………………………

β) Αλ , 0 ηόηε: …………………………………

(

( (

( (

)

) )

) )

γ) Αλ δύν αξηζκνί έρνπλ άζξνηζκα S θαη γηλόκελν P ηόηε είλαη ξίδεο ηεο

εμίζσζεο……………………………………………………………………...

δ) Όηαλ α……..0, ε κνλαδηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο 0 είλαη ε ......

ε) Αλ 0 , ηόηε ε παξηζηάλεη ηε κε αξλεηηθή………ηεο εμίζσζεο ........

8) Α) Να δείμεηε όηη γηα νπνηνπζδήπνηε αξηζκνύο α,β ηζρύεη: =

Β) Να εμεηάζεηε αλ είλαη ζσζηή () ή ιαλζαζκέλε (Λ) θαζεκηά από ηηο παξαθάησ

πξνηάζεηο:

1) Γύν αληίζεηνη αξηζκνί έρνπλ ίζεο απόιπηεο ηηκέο.

2) Αλ x 1, ηόηε 11 x .

3) 23 = 23 .

4) Αλ 5x , ηόηε 55 xx .

5) Ιζρύεη aa γηα θάζε a .

9) Α. Γηα θάζε ,a b λα απνδείμεηε όηη: .

Β. Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο λ-νζηεο ξίδαο , ελόο κε αξλεηηθνύ αξηζκνύ 0 .

Γ. Πνηεο από ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο είλαη ζσζηέο () ή ιαλζαζκέλεο (Λ).

i. Γίλνληαη νη επζείεο : θαη : ηόηε ηζρύεη

ii. Γηα θάζε a ηζρύεη 2 21 1a a+ = + .

iii. n n na b a b+ = + γηα θάζε , 0 .

iv. Σν άζξνηζκα S ησλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο είλαη S

v.

10) Α . Έζησ 1x , 2x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 02 xx , κε 0 . Να δείμεηε όηη :

21 xx θαη 21.xx .

Β . Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο λ-νζηήο ξίδαο ελόο κε αξλεηηθνύ αξηζκνύ α.

Γ . Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ γξάθνληαο ζην θύιιν

απαληήζεσλ ηε ιέμε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ δίπια ζηνλ αξηζκό πνπ αληηζηνηρεί ζε

θάζε πξόηαζε .

1 . Γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό α ηζρύεη : a a .

2 . Αλ α ≥ 0 ηόηε ηζρύεη : 2a a .

3 . Αλ D , Dx , Dy είλαη νη νξίδνπζεο ελόο γξακκηθνύ ζπζηήκαηνο δύν εμηζώζεσλ κε

δύν αγλώζηνπο , D ≠ 0 θαη Dx = Dy = 0 ηόηε ην ζύζηεκα είλαη αδύλαην.

4 . Αλ x1 , x2 νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 0x x κε α ≠ 0 , ηόηε είλαη :

2

1 2( ) ( )x x x x x x .

5. Έλα ηξηώλπκν κε αξλεηηθή δηαθξίλνπζα είλαη πάληα ζεηηθό.

y=α1x+β1 y=α2x+β2 ε1 ε2

παπάλληλερ κόλνλ όηαλ α1=α2 θαη ε2 ε1

02 xx , κε 0

, α 0

11) Α. Να απνδεηρζεί όηη αλ 0 , ηόηε x x .

Β. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ, γξάθνληαο ζηελ θόιια αλαθνξάο

ζαο δίπια ζην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηαζε, ηε ιέμε Σωζηό, αλ ε

πξόηαζε είλαη ζσζηή, ή Λάθορ, αλ ε πξόηαζε είλαη ιαλζαζκέλε.

Ι. Αλ ε εμίζσζε 2αx βx γ 0 , α 0 έρεη ξίδεο ηα 1x , 2x , ηόηε

1 2

βx x

α.

ΙΙ. Η επζεία κε εμίζσζε y αx β, όπνπ β 0 δε δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ

αμόλσλ.

ΙΙΙ. Αλ λ άξηηνο, ηόηε v νx α x α .

12) Α . Αλ 0 λα απνδείμεηε όηη: x x .

Β. Να ραξαθηεξίζεηε ηηο πξνηάζεηο πνπ αθνινπζνύλ γξάθνληαο ζην ηεηξάδηό ζαο ηε ιέμε

Σωζηό ή Λάθορ δίπια ζην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζε θάζε πξόηαζε :

α) (α, β πξαγκαηηθνί αξηζκνί)

β) Αλ x1 θαη x2 oη ξίδεο ηεο εμίζσζεο αx2 +βx+γ=0, α ≠ 0 ηόηε x1x2=

2.

γ) | x |=| -x |

δ) Αλ ζ > 0 , ηόηε x = ζ x = ζ ή x = - ζ .

ε) | α | 2

= α 2

Γ. ηελ εμίζσζε 2α β γ 0, α 0x x , λα αληηζηνηρίζεηε θάζε πξόηαζε ηεο ζηήιεο Α

ζε κηα πξόηαζε ηεο ζηήιεο Β

13) Α. Γηα πνηεο ηηκέο ησλ α,β R ε εμίζσζε: αx+β=0

α. έρεη κνλαδηθή ιύζε β. είλαη αδύλαηε γ. έρεη άπεηξεο ιύζεηο κνλάδεο(6)

Β. Θεσξνύκε δύν δηαθεθξηκέλεο επζείεο ε1 θαη ε2 κε εμηζώζεηο y=α1x+β1 θαη y=α2x+β2

αληίζηνηρα. Να απνδείμεηε όηη νη επζείεο είλαη παξάιιειεο κόλν όηαλ νη ζπληειεζηέο

δηεύζπλζεο απηώλ είλαη ίζνη. κνλάδεο(9)

Γ. Να ζεκεηώζεηε ζσζηό () ή ιάζνο (Λ) ζηηο παξαθάησ πξνηάζεηο

α. 2x x , γηα θάζε ρ R

β. x 2 2 x<2

γ. Αλ Α(x1,y1) θαη Β(x2,y2) είλαη δύν ζεκεία ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ ηόηε:

(ΑΒ)=( x2- x1)2+( y2- y1)

2

δ. Αλ ε1: y=α1x+β1 θαη ε2:y=α2x+β2 είλαη δύν επζείεο θάζεηεο ηόηε: α1α2=-1

ε. Η εμίζσζε x2+αx+1=0, έρεη πξαγκαηηθέο ξίδεο, γηα θάζε α R

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

1. Γ<0 α 2 άληζεο ξίδεο.

2. Γ=0 β 2 αθέξαηεο ξίδεο.

3. Γ>0 γ 2 ξεηέο ξίδεο.

δ Η εμίζσζε είλαη αδύλαηε.

ε 2 ξίδεο ίζεο κεηαμύ ηνπο.

14) Ι. Αλ 1x θαη

2x είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2

β 0ax x , όπνπ 0a , λα

απνδείμεηε όηη a

xx 21 θαη

1 2

βx x

a

Ι Ι. Πνηά από ηηο ζρέζεηο Α, Β, Γ ή Γ ζπκπιεξώλεη ζσζηά θάζε κία από ηηο

παξαθάησ πξνηάζεηο;

1. Γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό α ηζρύεη:

Α.

0

0

a

aa

Β.

0

0

a

aa

Γ. aa Γ. a a

2. Αλ 0 , ηόηε x ηζνδπλακεί κε:

Α. x Β. x ή x Γ. x Γ. x

3. Αλ 0 , ηόηε x ηζνδπλακεί κε:

Α. x Β. x ή x Γ. x Γ. x

4. Γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό α ηζρύεη:

Α. aa2 Β. aa2 Γ. aa2 Γ. 22 aa

5. Αλ 0a θαη N, ηζρύεη:

Α. aa Β. aa Γ. aa Γ. aa

15) Α Έζησ ρ1, ρ2 είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο αρ

2+βρ+γ=0, α≠0. Αλ S=ρ1+ρ2 είλαη ην

άζξνηζκα, θαη Ρ=ρ1ρ2 είλαη ην γηλόκελν ησλ ξηδώλ, λα απνδείμεηε όηη: S θαη P

Β. Να ζεκεηώζεηε ηελ ζσζηή απάληεζε ζηηο παξαθάησ εξσηήζεηο:

I. Αλ ηζρύεη (α+β)2=α

2+β

2 ηόηε είλαη:

Α. α=0 κόλν Β. β=0 κόλν Γ. α=0 ή β=0 Γ. α=β=0

II. Η παξάζηαζε α2+β

2 είλαη ίζε κε:

Α. (α+β)2 Β. (α-β)

2 Γ. (α+β)

2-2αβ Γ. (α+β)

2+2αβ Δ.2αβ-(α+β)

2

III. Αλ α+β+γ=0 ηόηε α3+β

3+γ

3-3αβγ είλαη ίζε κε:

Α. 1 Β. 0 Γ.(α+β+γ)3-3αβγ Γ. Καλέλα από ηα παξαπάλσ

IV. Η παξάζηαζε 2αβ-α2-β

2 είλαη ίζε κε:

Α. (α+β)2 Β.(α-β)

2 Γ.(β-α)

2 Γ. –(α+β)

2 Δ. –(α-β)

2

16) Να γξάςεηε ηνλ αξηζκό ησλ παξαθάησ πξνηάζεσλ θαη δίπια ηελ έλδεημε ή Λ αλ ε

πξόηαζε είλαη αληίζηνηρα ζσζηή ή ιαλζαζκέλε.

i) Η ηζόηεηα x x ηζρύεη γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό x .

ii) ) Ιζρύεη x x γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό x >0.

iii) | α | 2

= α 2

iv) Η αλίζσζε 0x ηζρύεη γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό.

v)Οη επζείεο y= 2x4

3 θαη y=

65

8x είλαη θάζεηεο.

17) Α) η) Η εμίζσζε αρ+β=0 είλαη αόξηζηε όηαλ α = β = 0. Λ

η η) Αλ γ < 0, ηόηε α > β αγ > βγ. Λ

η η η) Αλ α, β εηεξόζεκνη, ηόηε αβ > 0. Λ

Β) Έρνπκε α = - α, όηαλ η) α>1, η η) α<0, η η η) α = 0, ηλ) α 0, λ) α≥0.

18) Α. Έζησ ρ1 θαη ρ2 νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο : αρ2+βρ+γ=0, α≠0 . Αλ κε S ζπκβνιίζνπκε ην

άζξνηζκα ρ1 + ρ2 θαη κε P ην γηλόκελν ρ1 ρ2 ησλ ξηδώλ απηώλ ηόηε:

α) Να απνδείμεηε όηη: S , β) Να ζπκπιεξώζεηε ηελ ηζόηεηα: 1 2P x x ……

B. Να θαηαζθεπάζεηε εμίζσζε 2νπ

βαζκνύ αλ είλαη γλσζηό όηη νη ξίδεο ηεο έρνπλ άζξνηζκα

S = 5 θαη γηλόκελν P = 6.

Γ. Γηα θάζε κηα από ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο α, β θαη γ, λα κεηαθέξεηε ζηε θόιια ζαο ην

γξάκκα ηεο θαη δίπια ηελ έλδεημε (Σ), αλ είλαη Σωζηή ή (Λ), αλ είλαη Λάθορ.

1. αλ x 3 ηόηε ρ = 3 ή ρ = -3

2. αλ ζ > 0, ηόηε x x

3. 12

4 33

19) Α. Αλαθέξεηε ηηο ηδηόηεηεο ηεο πξόζζεζεο θαη ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ ησλ πξαγκαηηθώλ

αξηζκώλ.

Β. Χαξαθηεξίζηε κε (ζσζηό) ή Λ(ιάζνο) ηηο ζρέζεηο:

1) 2 2 2( ) 2x y x xy y 2) 2 2( )( )

3) 3 3 2 2 3( ) 3 3 4) 3 3 2 2( )( )x y x y x xy y

20) Α. Έζησ 1 2,x x νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο αx

2

+ βx + γ=0 κε α ≠ 0. Αλ κε S ζπκβνιίζνπκε ην

άζξνηζκα 1 2x x θαη κε P ην γηλόκελν 1 2x x ησλ ξηδώλ απηήο, λα απνδείμεηε ηνπο ηύπνπο

S θαη P

Β. Χαξαθηεξίζηε σο (ζσζηό) ή Λ(ιάζνο) ηηο πξνηάζεηο:

α) Ιζρύεη 2 2 0a a a a .

β) ή x a x a x a

γ) Αλ γηα ηελ εμίζσζε αx2

+ βx + γ=0 κε α ≠ 0 είλαη αγ<0, ηόηε ε εμίζσζε έρεη δπν ξίδεο

άληζεο.

δ) Αλ 0x yD D D ηόηε ην ζύζηεκα είλαη αόξηζην.

ε) ηελ επζεία 3 8y x ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη απηή κε ηνλ ρ’ρ είλαη νμεία.