www.emathisis.gr

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης 1

www.emathisis.gr

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης 2

Ι. Η εξίσωση α + ∈�x β=0,α,β (1)

Φύλλο Εργασίας Ονοµ/µο: Ηµεροµηνία:

Στόχοι:

• Υπενθύµιση των εξισώσεων 1ου βαθµού από το Γυµνάσιο.

• Εισαγωγή της έννοιας της παραµέτρου.

• Λύση - ∆ιερεύνηση της εξίσωσης (1) µε άγνωστο το x και πα-ραµέτρους τα α και β.

1. Υπενθυµίσεις από το Γυµνάσιο:

Κάθε εξίσωση που έχει ή µπορεί να γραφτεί µε τη µορφή αx β 0+ = ,α,β∈�, λέγεται εξίσωση 1ου

βαθµού µε άγνωστο το x. Λύση αυτής της εξίσωσης όταν υπάρχει, ονοµάζουµε την τιµή ή τις τιµές του x (µπορεί να είναι και άπειρες) που την επαληθεύουν. � Παραδείγµατα

• Η εξίσωση x 2 0+ = έχει ως λύση την x 2= − .

• Η εξίσωση 2x 1 0− = έχει ως λύση την 1

x2

=

• Η εξίσωση 0x 3 0− = δεν έχει ____________ λύση και για το λόγο αυτό λέγεται

____________.

• Η εξίσωση 0x 0 0+ = έχει άπειρες λύσεις (δηλαδή το x µπορεί να πάρει οποιαδήποτε

πραγµατική τιµή) και λέγεται ____________ ή και ____________

2. Η έννοια της παραµέτρου

Ι. Προσπαθήστε να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

2x 1 x= ⇔ =… 3x 1 x= ⇔ = 4x 1 x= ⇔ =…

5x 1 x= ⇔ =… 6x 1 x= ⇔ =… 7x 1 x= ⇔ =…

ΙΙ. Τι παρατηρείτε για τις προηγούµενες εξισώσεις;

___________________________________________________________________________

ΙΙΙ. Αν είχατε γνώσεις προγραµµατισµού Η/Υ, ποια από τις παρακάτω λύσεις θα προτιµούσατε για την επίλυση των παραπάνω εξισώσεων;

Α. Θα δηµιουργούσα ξεχωριστά προγράµµατα για να λύνει κάθε µία εξίσωση χωριστά. �

Β. Θα έφτιαχνα ένα πρόγραµµα, που θα ζητούσε κάθε φορά την τιµή του συντελεστή του x, ας την ονοµάσουµε µε α και στη συνέχεια θα υπολόγιζε τις λύσεις της αντίστοιχης εξίσωσης.

�

www.emathisis.gr

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης 3

Αν επιλέξατε το (Β), µόλις χρησιµοποιήσατε για πρώτη φορά παράµετρο. Μπορείτε τώρα να δώ-

σετε µια δική σας εκδοχή για το τι είναι παράµετρος;

___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

IV. Τι θα συµβεί στην περίπτωση όπου α 0= ;

___________________________________________________________________________

3. Λύση και ∆ιερεύνηση της εξίσωσης αx = -β (1)

Προηγούµενα στο 2IV, είδαµε την ανάγκη «να προβλέψουµε», την περίπτωση όπου µια παράµετ-ρος πάρει κάποια κρίσιµη τιµή. Αυτού του είδους … οι προβλέψεις, µας υποχρεώνουν να κά-

νουµε διερεύνηση για τις διάφορες τιµές των παραµέτρων α και β κατά την επίλυση της εξίσω-

σης (1). Πριν δώσουµε τον ολοκληρωµένο πίνακα λύσεων, ας ξαναδούµε τα παραδείγµατα της Παραγρ.1

για τις περιπτώσεις που η εξίσωση αx β 0+ = έχει λύση, ή είναι αδύνατη ή είναι αόριστη. Μετά από

αυτό θα καταλήξουµε στον παρακάτω γενικό πίνακα λύσης της εξίσωσης που συζητάµε.

α 0≠

β 0≠

βx

α= −

β 0=

α 0=

II. Οι εξισώσεις |f(x)| = g(x) και |f(x)|=|g(x)|

www.emathisis.gr

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης 4

g(x) 0≥

g(x) 0<

f(x) g(x)=

| f(x) | g(x)=

f(x) g(x)= −

f(x) g(x)=

f(x) g(x)= −

| f(x) | | g(x) |=

Παραδείγµατα: Βλέπε Σχολικό Βιβλίο σελ. 58 – παράδειγµα 3ο και 2ο αντίστοιχα.

Λυµένα Παραδείγµατα

1. Οι συντελεστές είναι συγκεκριµένοι αριθ-µοί: Α. Να λυθεί η εξίσωση:

1 1 1 3(1 3x) (x 2) (x 2)

5 4 20 4− − + = − +

Λύση: Πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη µε το Ε.Κ.Π =20 και έχουµε:

2λ(λ 3)x (λ 3)(λ 1)− = − − (2)

∆ιερεύνηση: ∆ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις για την παράσταση 2λ(λ 3)− (που παίζει το ρόλο

της παραµέτρου α): Να ισούται ή όχι µε το 0. Πάµε: Ι. 2λ(λ 3) 0− ≠ δηλαδή λ 0 και λ 3≠ ≠ .

Τότε η εξίσωση θα έχει µία λύση που προκύπτει από τη σχέση (2) αν λύσουµε ως προς x. Τότε:

(λ 3)x

−=

(λ 1)

2λ (λ 3)

−

−

λ 1

2λ

−=

www.emathisis.gr

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης 5

4(1 3x) 5(x 2) x 2 15

1918x 19 x

18

− − + = − + ⇔

− = ⇔ = −

Β. Να λυθεί η εξίσωση:

2

1 1 4

x 2 x 2 x 4+ =

− + −

Λύση: Αρχικά θα περιορίσουµε τις τιµές του αγνώστου x αφού υπάρχουν παρονοµαστές που µηδενί-ζονται. Έτσι θα πρέπει:

2x 2 0,x 2 0,x 4 0− ≠ + ≠ − ≠ από όπου τελικά

έχουµε x 2,2≠ − .

Πολλαπλασιάζουµε τώρα και τα δύο µέλη µε το Ε.Κ.Π των παρονοµαστών που είναι το

2x 4 (x 2)(x 2)− = − + και θα έχουµε:

x 2 x 2 4 2x 4 x 2+ + − = ⇔ = ⇔ =

όπου αυτή η λύση απορρίπτεται από τους περι-ορισµούς και άρα η εξίσωση θα είναι αδύνατη, 2. Παραµετρική εξίσωση Α. Να επιλυθεί η εξίσωση:

2λ (2x 1) 6λx 4λ 3− = − + (1)

(άγνωστος ο x, παράµετρος το λ). Λύση: Κάνουµε πράξεις ώστε να έρθει στη µορφή

αx β= .

Θα είναι τελικά 22λ(λ 3)x λ 4λ 3− = − + οπότε

από παραγοντοποίηση τριωνύµου θα γράφεται τελικά:

ΙΙ. 2λ(λ 3) 0− = οπότε ή λ = 0 ή λ = 3. Σε κάθε

περίπτωση αντικαθιστούµε στην εξίσωση (2) τις τιµές αυτές για να δούµε την εξέλιξη της εξίσω-σης (αδύνατη ή αόριστη, όπως αναφέρει η θεω-ρία µας). Πάµε:

• λ 0= τότε από (2) έχουµε:

0x 3= όπου φανερά είναι αδύνατη (καµία λύση).

• λ 3= τότε από (2) έχουµε:

0x 0= όπου φανερά είναι αόριστη (άπειρες

λύσεις) δηλαδή η εξίσωση είναι ταυτότητα.

Β. Όµοια η εξίσωση: 3x 1

λx λ

+=

−

Λύση: Αρχικά θα πρέπει x λ 0 x λ− ≠ ⇔ ≠ . Τότε η εξί-

σωση µε πράξεις θα γράφεται:

2(λ 3)x λ 1− = + (1)

Όπως και προηγούµενα διακρίνουµε δύο πε-ριπτώσεις:

• λ 3≠ τότε θα υπάρχει µία λύση x µε 2λ 1

xλ 3

+=

−. Θα πρέπει όµως να είναι x λ≠

και άρα

2

2 2λ 1 1λ λ 3λ λ 1 λ

λ 3 3

+≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ −

−.

Τελικά για 1

λ 3,3

≠ − η εξίσωση έχει µοναδική

λύση.

• λ 3= η εξίσωση γράφεται 0x 10= που

φανερά είναι αδύνατη (καµία λύση).

Γ. 4 3 2 3

6 6 4 5

x x

x x

− − +=

− −

∆. 2 5

2 2 2

x x

x x

+=

− +.

9. Αν οι α, β είναι πραγµατικοί µε a β≠ να

λυθεί η εξίσωση:

2 2( ) ( ) 2 ( )x xα β α α β+ − + = − .

10. Α. Αν η εξίσωση 25 2 6x xλ λ λ+ = + + εί-

ναι αόριστη, να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης:

www.emathisis.gr

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης 6

Για εξάσκηση

1. Να λυθεί και να διερευνηθεί για τις διά-

φορες τιµές της παραµέτρου λ, η εξίσω-ση:

22 ( 2)x xλ λ+ = + .

2. ∆ίνεται η εξίσωση 3 2 1

3 2

x

x

λκλ κ

++ = + .

Να βρείτε τις τιµές των λ, κ ∈R για τις

οποίες η εξίσωση είναι: Ι. ταυτότητα ΙΙ. Αδύνατη.

3. Να βρεθεί ο µ∈R ώστε η εξίσωση

2( 3) 5 6xµ µ µ− = − + να έχει µοναδική

λύση το 0. 4. Αν η εξίσωση ( 1) 4( 1)x xλ λ − = − είναι

αδύνατη, να βρεθεί ο λ∈R.

5. Αν η εξίσωση

( 1) 2( 1) 2

3 6 3 5

x xλ µ µ− + −+ = + είναι ταυ-

τότητα (δηλαδή έχει άπειρες λύσεις) , να προσδιοριστούν οι πραγµατικοί λ και µ.

6. Να βρεθούν τα λ και µ∈R, ώστε η εξί-

σωση ( 1) 2 4xλ µ− = +

Ι. Να έχει µοναδική λύση ΙΙ. Να αληθεύει για κάθε x. ΙΙΙ. Να είναι αδύνατη.

7. Να βρεθούν οι τιµές του λ (αν υπάρχο-υν) ώστε οι παρακάτω εξισώσεις να είναι αδύνατες: Α. (2 1)( 2) 5 ( 1)( 2) 2− − − = + − −λ λ λx x

Β.

2

21 11 3 9 ( 10)

2 4x xλ λ λ λ + − = + + +

Γ. 2 2 24( 1) 1 4 (2 1) 4x xλ λ λ+ + − = + +

8. Να λύσετε τις εξισώσεις:

Α. 1 3 2

2 ( 2)( 3) 3

x x

x x x x

+ ++ =

− − − −

Β.

11

111 4

41

x

x

x

x

++

− =+

−−

2001 2004

3 2

( 1 ) (3 )

( )

λ λλ

− + + −−

Β. Να λυθεί η εξίσωση:

2

1 1 4

2 2 4x x x

+ =− + −

11. Να λυθεί η εξίσωση:

x 1 x 2 x 1 x 2

x 2 x 1 x 2 x 1

− + + −+ = +

+ − − +.

Υπόδειξη: Να αφαιρέσετε και από τα δύο

µέλη τον αριθµό -1-1.

12. Α. Να βρείτε την τιµή το λ για την οποία

η εξίσωση: ( 3 ) 2( )x xλ λ λ− = − − είναι

αδύνατη. Β. Να βρείτε την τιµή της παράστασης

2 2001( 1)λ µΑ = − αν η εξίσωση

24xµ λ+ = είναι αόριστη.

13. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Α. | 2x 1| 1 | 2 4x | 1

24 3

− + − −− = −

Β. | 2x 3 | 2λ 3+ = + µε άγνωστο το x.

14. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Α. 2x 4x 4 | x 2 |− + − = +

Β. 23 x 4 | x 2 |− = −

Γ. | 2 5x | x 3− − =

15. Να λυθεί η εξίσωση:

| 3x 2 | 3x 2 x− + − =

www.emathisis.gr

Επιµέλεια: Ματθαίος Τσιλπιρίδης 7

Ερωτήµατα Κλειστού τύπου

1. Η εξίσωση αx+β=0 είναι αδύνατη όταν α 0= Σ� Λ�

2. Η εξίσωση αx+β=0 είναι αδύνατη όταν α β 0= = Σ� Λ�

3. Η εξίσωση αx+β=0 έχει µοναδική λύση όταν β 0≠ Σ� Λ�

4. Αν η εξίσωση αx+β=0 είναι ταυτότητα τότε και η εξίσωση βx+α=0 είναι ταυτό-

τητα. Σ� Λ�

5. Αν η εξίσωση αx+β=0 είναι αδύνατη τότε και η εξίσωση βx+α=0 είναι αδύνα-

τη. Σ� Λ�

6. Αν η εξίσωση (α 1)x=β+1− είναι ταυτότητα τότε η εξίσωση 2 2(α 1)x=β -1− είναι

αδύνατη. Σ� Λ�

7. Η εξίσωση 2αx+β +1=0αποκλείεται να είναι ταυτότητα. Σ� Λ�

8. Η εξίσωση 2(α 1)x+β=0+ αποκλείεται να είναι αδύνατη. Σ� Λ�

9. Η εξίσωση 2 2(α 1)x+β +1=0+ έχει µοναδική λύση για κάθε τιµή των παραµέτ-

ρων α και β. Σ� Λ�

10. Οι εξισώσεις 2 2αx β 0 και α x β 0+ = + = είναι ισοδύναµες. Σ� Λ�

11. Η εξίσωση | x | α,α= ∈� έχει τουλάχιστον µία λύση ως προς x. Σ� Λ�

12. Η εξίσωση | x | α ,α= ∈� έχει τουλάχιστον µία λύση ως προς x. Σ� Λ�

13. Η εξίσωση 2| x | α ,α= − ∈� µε άγνωστο το x, είναι αδύνατη. Σ� Λ�

14. Η εξίσωση | x | | α |= − είναι αδύνατη στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Σ� Λ�

15. Οι εξισώσεις | f(x) | g(x)= και |f(x)|=|g(x)| είναι ισοδύναµες όταν g(x) 0≥ για

κάθε x πραγµατικό. Σ� Λ�