2019Μαθηματικά α΄ γυμνασίου [3] Περιεχόμενα ΑΛΓΕΒΡΑ...

[2]

Στο συγκεκριμένο τεύχος περιέχεται

όλη η θεωρία και μια συλλογή ασκήσεων

για τα μαθηματικά της B΄ Γυμνασίου

Δεν αντικαθιστά το σχολικό βιβλίο

αλλά λειτουργεί ως συμπλήρωμά

για την καλύτερη κατανόηση του

Σεπτέμβριος 2019

Μαθηματικά

α΄ γυμνασίου

[3]

Περιεχόμενα

ΑΛΓΕΒΡΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

1.1 Η έννοια της μεταβλητής – Αλγεβρικές παραστάσεις 5

1.2 Εξισώσεις α΄ βαθμού 12

1.4 Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων 27

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

2.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού 35

2.2 Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί 45

2.3 Προβλήματα 55

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.1 Η έννοια της συνάρτησης 62

3.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης 69

3.3 Η συνάρτηση xαy 84

3.4 Η συνάρτηση βxαy 95

3.5 Η συνάρτηση x

αy Υπερβολή 104

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

4.1 Βασικές έννοιες της στατιστικής: Πληθυσμός – Δείγμα 109

4.2 Γραφικές παραστάσεις 112

4.5 Μέση τιμή – Διάμεσος 117

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ – ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

1.1 Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας 121

1.2 Μονάδες μέτρησης επιφανειών 126

1.3 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων 130

1.4 Πυθαγόρειο θεώρημα 144

[4]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

2.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας 157

2.2 Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας 168

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο : ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ

3.1 Εγγεγραμμένες γωνίες 181

3.2 Κανονικά πολύγωνα 192

3.3 Μήκος κύκλου 199

3.5 Εμβαδόν κυκλικού δίσκου 204

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο : ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ

4.2 Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου 211

4.3 Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου 215

Απαντήσεις – Υποδείξεις ασκήσεων 217

Το εξώφυλλο δημιουργήθηκε με τη χρήση της ιστοσελίδας canva.com

[5]

1.1 Η έννοια της μεταβλητής – Αλγεβρικές παραστάσεις

Η έννοια της μεταβλητής

Η μεταβλητή είναι ένα γράμμα του ελληνικού ή του λατινικού συνήθως αλφαβήτου (π.χ. x, y, t, α,

β κλπ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου. Με τις

μεταβλητές μπορούμε να εκφράσουμε διάφορες καταστάσεις της καθημερινής ζωής. Τις μεταβλητές

τις χρησιμοποιούμε επίσης για να διατυπώσουμε με μαθηματικό τρόπο κάποιες προτάσεις ή ιδιότητες

των αριθμών.

Παράδειγμα 1 : Όταν μετακινούμαστε με ταξί πληρώνουμε 1,29 € για την τιμή εκκίνησης (σημαία)

και 0,74 € για κάθε χιλιόμετρο διαδρομής. Πως θα βρούμε πόσα χρήματα θα πληρώσουμε για

διαδρομές των 3 km, των 5 km ή των 10 km;

Λύση

Για μια διαδρομή των 3 km θα πληρώσουμε: 51,322,229,174,0329,1 €.



Είναι λοιπόν εύκολο να συμπεράνουμε πως για μια διαδρομή x χιλιομέτρων, το κόστος της μετακίνη-

σής μας με το ταξί υπολογίζεται με τη βοήθεια της παράστασης: x74,029,1

Α΄ ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Κεφάλαιο 1ο

Εξισώσεις - Ανισώσεις

[6]

Παράδειγμα 2 : Ένα κατάστημα ειδών ένδυσης κατά την περίοδο των εκπτώσεων πουλάει όλα τα

προϊόντα του 10% φθηνότερα από τις αναγραφόμενες τιμές. Πώς θα βρει ο ταμίας

πόσο κοστίζει το κάθε προϊόν την περίοδο των εκπτώσεων;

Λύση

Αν ονομάσουμε x την αρχική τιμή του κάθε προϊόντος (δηλ. την τιμή πριν την περίοδο των εκπτώ-

σεων), τότε η έκπτωση θα είναι x100

10 . Άρα για να βρει ο ταμίας πόσο κοστίζει το κάθε ρούχο μετά

την έκπτωση αρκεί να αφαιρέσει την έκπτωση από την αρχική τιμή: x9,0x1,0xx100

10x

Αλγεβρικές παραστάσεις

Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση.

π.χ. 6

2:

3

424253

2

Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παρά-

σταση.

π.χ. 42x3x2

Παράδειγμα 3 : - Σκέψου έναν μονοψήφιο αριθμό

- Πολλαπλασίασέ τον με το 5.

- Πρόσθεσε το 10 στο αποτέλεσμα.

- Διπλασίασε το αποτέλεσμα.

- Αφαίρεσε από το γινόμενο 20.

- Διαίρεσε τη διαφορά με το 10.

Ποιο είναι το τελικό αποτέλεσμα και πώς εξηγείται;

Λύση

Το τελικό αποτέλεσμα είναι ο αριθμός που σκεφτήκαμε αρχικά, διότι αν ονομάσουμε x τον αριθμό

αυτόν, τότε ακολουθώντας τις οδηγίες του παραδείγματος δημιουργούμε την ακόλουθη παράσταση:

x

10

x10

10

2020x10

10

20210x5

.

[7]

Δραστηριότητα 1

- Σκέψου έναν αριθμό

- Πολλαπλασίασέ τον με το 9.

- Αφαίρεσε το 9 από το αποτέλεσμα.

- Διαίρεσε με το 3 τη διαφορά.

- Πρόσθεσε το 3 στο τελικό αποτέλεσμα.

Ποιο είναι το τελικό αποτέλεσμα και πώς εξηγείται;

Λύση

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Αναγωγή ομοίων όρων

Για να φέρουμε μια αλγεβρική παράσταση σε απλούστερη μορφή, χρησιμοποιούμε πολλές φορές

την επιμεριστική ιδιότητα: γβαγβγα

π.χ. x5x)23(x2x3

x10x)1235(x12x3x5

y5x5y)105(x)72(y10x7y5x2

Η διαδικασία με την οποία φέρνουμε σε απλούστερη μια αλγεβρική παράσταση κάνοντας χρήση της

επιμεριστικής ιδιότητας, λέγεται αναγωγή ομοίων όρων.

Παράδειγμα 4 : Να απλοποιήσετε την παράσταση: 3yx101y3x6

Λύση

4y4x431y13x10631yy3x10x63yx101y3x6

[8]

Παράδειγμα 5 : Να υπολογίσετε το εμβαδόν του παρακάτω σχήματος:

Λύση

Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι το γινόμενο των διαστάσεών

του. Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο του σχήματος η μία διάσταση είναι yx και η άλλη

διάσταση είναι yx

1

. Επομένως: 1

yx

yx

yx

1yxE

Παράδειγμα 6 : Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 5x109)1x2(5Α όταν

05,0x .

Λύση

Πρώτα απλοποιούμε την παράσταση κάνοντας πράξεις και αναγωγές ομοίων όρων και στο τέλος

αντικαθιστούμε την τιμή της μεταβλητής.

40x100455x)9010(45x905x105x109)1x2(5Α

Άρα για 05,0x έχουμε: 454054005,0100Α


(Προτεινόμενη από τις οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηματικών Β΄ Γυμνασίου για το

Σχολικό Έτος 2018-2019 - Πηγή: www.minedu.gov.gr)

Χρησιμοποιώντας σπίρτα κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο (1ο σχήμα) και κατόπιν προσθέτουμε

δίπλα του άλλο ένα τετράγωνο (2ο σχήμα) κι άλλο ένα τετράγωνο (3ο σχήμα), κοκ.

Να βρείτε πόσα σπίρτα χρειάζονται για 4 τετράγωνα, για 10 τετράγωνα, για 57 τετράγωνα;

Λύση

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[9]

Ασκήσεις

1. Να χρησιμοποιήσετε μεταβλητές, για να εκφράσετε με μια αλγεβρική παράσταση τις παρακάτω

φράσεις:

α) το διπλάσιο ενός αριθμού ελαττωμένο κατά 10

β) το τετράγωνο ενός αριθμού αυξημένο κατά 2

γ) το μισό ενός αριθμού ελαττωμένο κατά 5

δ) το άθροισμα δύο αριθμών αυξημένο κατά 3


φράσεις:

α) το τετράγωνο του αθροίσματος τριών αριθμών

β) το τετράγωνο της διαφοράς δύο αριθμών

γ) η διαφορά τετραγώνων δύο αριθμών


φράσεις:

α) ο κύβος του αθροίσματος δύο αριθμών

β) ο κύβος της διαφοράς δύο αριθμών

γ) το άθροισμα των κύβων δύο αριθμών ελαττωμένο κατά 5

δ) το διπλάσιο της διαφοράς των κύβων δύο αριθμών


φράσεις:

α) το 10% ενός αριθμού β) ένας αριθμός αυξημένος κατά 10%

γ) ένας αριθμός ελαττωμένος κατά 10%

5. Να εκφράσετε με τη χρήση μιας μεταβλητής:

α) τρεις διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς β) τρεις διαδοχικούς άρτιους αριθμούς

γ) δύο αντίστροφους αριθμούς δ) δύο αντίθετους αριθμούς

6. Μία εταιρεία ηλεκτρικών ειδών αυξάνει την τιμή των προϊόντων της κατά 15%. Με τη χρήση

μεταβλητής να εκφράσετε την νέα τιμή κάθε προϊόντος σε σχέση με την τιμή πριν την ανατίμη-

ση.

[10]

7. Να εκφράσετε με τη βοήθεια των μεταβλητών x, y, ω την περίμετρο του παρακάτω τριγώνου.

8. Στο παρακάτω σχήμα, δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα είναι τοποθετημένα το ένα δίπλα στο

άλλο. Να εκφράσετε το εμβαδόν της σκιασμένης περιοχής με τη βοήθεια των μεταβλητών x, y, z.

9. Στο παρακάτω σχήμα, τρία ορθογώνια παραλληλόγραμμα είναι τοποθετημένα το ένα δίπλα στο

άλλο. Να εκφράσετε την περίμετρο της του σχήματος με τη βοήθεια των μεταβλητών x, α και β.

10. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

α) x12x10x5 β) x20x8x32

γ) yy11y12y10 δ) 415183


α) x52:x7x9x14 β) x4x302x30x5x15

γ) 520:9073 δ) 1098310


α) y15x8y9x5 β) 7y11x93yx

γ) y5x12y15x2 δ) yxy11x99

[11]


α) y3x23yx37y4x2 β) x3y16x4y3y5x24

γ) y10yx24y5x δ) y3x25x4xy25x23

14. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων:

α) xy7y2x6 , όταν 3x και 7y

β) xyx7yx36 , όταν 3x και 4y

15. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παρακάτω παραστάσεων:

α) 5221425 , αν 2

β) 4334 , αν 1

γ) 1656 , αν 4

16. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παρακάτω παραστάσεων:

α) 41824 , αν 1

β) 31313 , αν 6

1

γ) 2324 , αν 32

17. Για να υπολογίσει ένα πελάτης μιας εταιρείας κινητής τηλεφωνίας το κόστος του κάθε τηλεφω-

νήματος, πρέπει να γνωρίζει ότι το κάθε δευτερόλεπτο χρεώνεται με 0,004 €.

α) Να βρείτε (με χρήση μεταβλητής) την αλγεβρική παράσταση που υπολογίζει το κόστος κάθε

τηλεφωνήματος.

β) Αν για ένα τηλεφώνημα χρεωθούμε με 0,24 €, πόση διάρκεια είχε το τηλεφώνημα;

18. Να βρείτε την πλευρά ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν ισούται με το άθροισμα των

εμβαδών των παρακάτω ορθογωνίων

[12]

1.2 Εξισώσεις α΄ βαθμού

Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων




Στο παρακάτω σχήμα όλα τα σακουλάκια έχουν το ίδιο βάρος, κάθε κυβάκι ζυγίζει 50 γρ. και η ζυ-

γαριά ισορροπεί. Μπορείτε να βρείτε (χωρίς χαρτί και μολύβι) το βάρος που έχει κάθε σακουλάκι;

Περιγράψτε τον τρόπο που λύσατε το πρόβλημα, πρώτα με λόγια και μετά με μαθηματικές σχέσεις.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[13]


Αν στο σχήμα της δραστηριότητας 1, προσθέσουμε ένα σακουλάκι στο αριστερό μέρος της ζυγα-

ριάς, τι θα συμβεί στη ζυγαριά; Τι πρέπει να κάνουμε στο δεξί μέρος της ζυγαριάς ώστε η ζυγαριά

να ισορροπήσει και πάλι;

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………


Αν στο σχήμα της δραστηριότητας 1, αφαιρέσουμε δύο κύβους από το αριστερό μέρος της ζυγα-

ριάς, τι θα συμβεί στη ζυγαριά; Τι πρέπει να κάνουμε στο δεξί μέρος της ζυγαριάς ώστε η ζυγαριά

να ισορροπήσει και πάλι;

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[14]

Συμπεραίνουμε ότι:

Αν και στα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, προκύπτει και πάλι

ισότητα. Δηλαδή αν βα τότε γβγα

Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, προκύπτει και πάλι



Η ζυγαριά του παρακάτω σχήματος παρατηρούμε ότι ισορροπεί.

(σχήμα από το σχολικό βιβλίο Μαθηματικών Β΄ Γυμνασίου)

Αν στο αριστερό μέρος της ζυγαριάς βάλουμε τρεις κύβους, πόσα κουτάκια πρέπει να βάλουμε στο

δεξί μέρος της ζυγαριάς;

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Συμπεραίνουμε ότι:

Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει και πάλι


Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει και πάλι

ισότητα. Δηλαδή αν βα τότε γ

β

γ

α με 0γ

[15]

Η έννοια της εξίσωσης

Εξίσωση ονομάζεται μία ισότητα η οποία περιέχει έναν άγνωστο αριθμό x.

π.χ. 3)1x(21x4

Η παράσταση 1x4 ονομάζεται 1ο μέλος της εξίσωσης (δηλ. η παράσταση πριν το =) ενώ η

παράσταση 3)1x(2 ονομάζεται 2ο μέλος της εξίσωσης (δηλ. η παράσταση μετά το =).

Σε κάθε εξίσωση ο στόχος μας είναι να προσδιορίσουμε την τιμή που πρέπει να πάρει ο άγνωστος

αριθμός έτσι ώστε η εξίσωση να επαληθεύεται, δηλαδή τα δύο μέλη της εξίσωσης να είναι ίσα.

Η τιμή που πρέπει να πάρει ο άγνωστος ώστε να επαληθεύεται η εξίσωση ονομάζεται λύση της

εξίσωσης. Η διαδικασία που ακολουθούμε για να βρούμε τη λύση μιας εξίσωσης ονομάζεται

επίλυση της εξίσωσης (την διαδικασία αυτή θα την περιγράψουμε παρακάτω).

Ας δούμε ένα παράδειγμα εξίσωσης από την Α΄ Γυμνασίου:

95x

59x Επίλυση της εξίσωσης

4x

Λύση της εξίσωσης

Αν μια εξίσωση δεν έχει λύση ονομάζεται αδύνατη εξίσωση ενώ αν μια εξίσωση έχει ως λύσεις

όλους τους αριθμούς, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις, τότε ονομάζεται ταυτότητα ή αόριστη.


α) Στις παρακάτω ισότητες να συμπληρώσετε τον αριθμό που λείπει:

i. 5......2 ii. 6......5

iii. 191......4 iv. 313......2

β) Γράψτε την εξίσωση που αντιπροσωπεύει καθεμιά από τις ισότητες του α΄ ερωτήματος

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[16]


Κατασκευάστε μια εξίσωση με λύση τον αριθμό 2.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Κατασκευάστε μια εξίσωση που να έχει λύση τον αριθμό 5.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Βαθμός μιας εξίσωσης ονομάζεται η μεγαλύτερη δύναμη στην οποία είναι υψωμένος ο άγνωστος.

π.χ. η εξίσωση x2x2x 43 είναι 4ου

βαθμού

η εξίσωση 21xx 2 είναι 3ου

βαθμού (πώς εξηγείται;)

Στη Β΄ Γυμνασίου οι εξισώσεις με τις οποίες θα ασχοληθούμε είναι εξισώσεις 1ου

βαθμού.

[17]

Για να επιλύσουμε μια εξίσωση 1ου

βαθμού ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών

Απαλείφουμε τους παρονομαστές

(δηλαδή πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π.

των παρονομαστών και στη συνέχεια κάνουμε απλοποιήσεις)

Κάνουμε πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα συνήθως) και απαλείφουμε τις παρενθέσεις

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους

(ΠΡΟΣΟΧΗ: όταν ένας όρος αλλάζει μέλος τότε αλλάζει και πρόσημο)

Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και η εξίσωση παίρνει τη μορφή: αx = β

Αν α ≠ 0 τότε x = Αν α = 0

β ≠ 0 τότε η

εξίσωση είναι

αδύνατη

β = 0 τότε η εξίσωση είναι

αόριστη ή ταυτότητα,

δηλ. έχει άπειρες λύσεις

[18]

Παράδειγμα 1 : Να εξετάσετε αν ο αριθμός 3 είναι λύση της εξίσωσης 1x)1x(2x3 .

Λύση

Για να εξετάσουμε αν ένας αριθμός είναι λύση μιας εξίσωσης, αρκεί να ελέγξουμε αν ο αριθμός αυτός

επαληθεύει την εξίσωση. Εξετάζουμε δηλαδή αν αντικαθιστώντας αυτόν τον αριθμό στη θέση του

αγνώστου x, η ισότητα είναι σωστή.

Έχουμε λοιπόν: 13)13(233

132233

13433

44 (ισχύει)

Άρα ο αριθμός 3 είναι λύση της εξίσωσης 1x)1x(2x3 .

Παράδειγμα 2 : Να λυθεί η εξίσωση: 2x12x1x2x2

Λύση

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση δεν έχει παρονομαστές, άρα τα δύο πρώτα βήματα για την επίλυση των

εξισώσεων (δηλαδή την εύρεση του ΕΚΠ των παρονομαστών και την απαλοιφή των παρονομαστών)

τα παραβλέπουμε. Έχουμε λοιπόν:

2x12x1x2x2

2x22x2x2x2

222x2xx2x2

6x3

3

6

3

x3

άρα 2x

Για να σιγουρευτούμε ότι λύσαμε την εξίσωση σωστά, δεν έχουμε παρά να κάνουμε επαλήθευση.

Η επαλήθευση γίνεται αντικαθιστώντας τη λύση που βρήκαμε στην θέση του αγνώστου στην αρχική

εξίσωση. Αν η ισότητα που προκύπτει ισχύει, τότε και η λύση που βρήκαμε είναι η σωστή.

Για το παράδειγμα 2, αντικαθιστούμε το 2 (που βρήκαμε ως λύση) στην αρχική εξίσωση κι έχουμε:

2212212222 δηλαδή 22 (ισχύει), επομένως η εξίσωση λύθηκε σωστά.

Η επαλήθευση δεν είναι υποχρεωτική διαδικασία κατά την επίλυση των εξισώσεων. Γίνεται απλά και

μόνο για να σιγουρευτούμε ότι έχουμε λύσει την εξίσωση σωστά.

Εκτελούμε τις επιμεριστικές ιδιότητες

και απαλείφονται οι παρενθέσεις


(προσέχουμε όταν ένας όρος αλλάζει

μέλος τότε αλλάζει και πρόσημο)

Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου

[19]

Παράδειγμα 3 : Να λυθεί η εξίσωση: 2

x912x

6

8x2

3

1x

Λύση

2

x912x

6

8x2

3

1x

2

x9126x6

6

8x26

3

1x6

x9123x68x21x2

x2736x68x22x2

3682x27x6x2x2

42x21

21

42

21

x21

Άρα 2x


x87

3

4x

5

6x

Λύση

115

x87

3

4x

5

6x

ΕΚΠ(3, 5, 15) = 15

11515

x8715

3

4x15

5

6x15

15x874x56x3 (γιατί ο αριθμητής 7+8x δεν μπήκε σε παρένθεση;)

15x8720x518x3

1572018x8x5x3

10x10

Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών :

ΕΚΠ(2, 3, 6) = 6

Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο της εξίσωσης

με το ΕΚΠ, δηλ. με το 6.

Απαλείφουμε τους παρονομαστές κάνοντας

τις αντίστοιχες απλοποιήσεις

ΠΡΟΣΟΧΗ: μετά τις απλοποιήσεις βάζουμε

πάντα τους αριθμητές σε παρένθεση

Εκτελούμε τις επιμεριστικές ιδιότητες και

απαλείφονται οι παρενθέσεις


Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου

[20]

10

10

10

x10

άρα 1x


1x7

5

x

4

3x2

Λύση

10

1x7

5

x

4

3x2

ΕΚΠ(4, 5, 10) = 20

10

1x720

5

x20

4

3x220

1x72x43x25

2x14x415x10

215x14x4x10

17x0

Η συγκεκριμένη εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν έχει λύση διότι δεν υπάρχει αριθμός που να

επαληθεύει την εξίσωση. Στο παράδειγμα 5 αυτό είναι προφανές, γιατί όποιον αριθμό κι αν πολλα-

πλασιάσουμε με το 0 θα δώσει ως αποτέλεσμα 0 και όχι 17 όπως απαιτεί η εξίσωση.

Γενικεύοντας, κάθε εξίσωση που παίρνει τη μορφή βx0 (με 0β ) είναι αδύνατη,

δηλαδή δεν έχει λύση.


Κατασκευάστε μια αδύνατη εξίσωση.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[21]


3x

3

x3

2

1x

Λύση

6

3x

3

x3

2

1x

ΕΚΠ(2, 3, 6) = 6

6

3x6

3

x36

2

1x6

3xx321x3

3xx263x3

363xx2x3

0x0

Η συγκεκριμένη εξίσωση είναι ταυτότητα (ή αόριστη), άρα έχει ως λύσεις όλους τους αριθμούς

(δηλαδή έχει άπειρες λύσεις). Στο παράδειγμα 6 αυτό είναι προφανές, διότι όποιον αριθμό κι αν

πολλαπλασιάσουμε με το 0 θα δώσει ως αποτέλεσμα 0 όπως απαιτεί και η εξίσωση.

Γενικεύοντας, κάθε εξίσωση που παίρνει τη μορφή 0x0 λέγεται ταυτότητα ή αόριστη

και έχει άπειρες λύσεις.


Κατασκευάστε μια αόριστη εξίσωση.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[22]

Ασκήσεις

1. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 3x415x3 β) 2x31x32

γ) x63x42x3 δ) 73x4

ε) 37x5 στ) 04x2

ζ) 402x7 η) 2x32x7

θ) 3x287x5 ι) 6x593x2


α) x42232x32x2 β) 11x2x2x3x3

γ) 2x1221x51x4 δ) 4x92x10

ε) xx121x34x2 στ) x242x21x66

ζ) 6x210x2x2x3 η) 3x2(x2)= (x10)

3. Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) 71x43x65 β) 1x4x211x34x10

γ) x292x33x δ) 827253 xxx


α) 11x1x23x5 β) 61x53x21x4

γ) x22x323x δ) x522x3x37


α) 6x22x3x6 β) x101x54x327

γ) x512x52x112 δ) 182x341x210x32


α) 1x21x33x56 β) 1x2x3121x23

γ) x1x4211x33 δ) x1x321x312xx 3

[23]

7. Να λύσετε τις εξισώσεις

α) 232

13

x

x β) 3

31

13

x

x

γ) 3

x2

5

4x

δ)

2

8x =

4

4x

3

5x


α) 12

3x30

2

x54

4

3x2

β)

2

x3

3

x2

γ) 6

11

3

2x

2

x23

δ) 2

6

xx

2

x

3

3x


α) 20

4x

4

6x

5

x41

β)

2

2x3

3

1x2

5

x3

2

γ) 12

1x11x

4

2x

3

x1

δ)

6

x310x

3

1

2

x4


α) 19

1x

3

4

2

6x

β)

3

)1x(2

2

3x

= x – 5

γ) 4

3x

4

1x3

2

3x2

–1 δ)

5

1x16

10

3x2

2

1x6


α) x2

x31

7

)2x3(2

β)

3

)1x(2)5x(

2

3x

γ) 2

1x3

2

15x

4

)1x(3

δ) 20

7

x2)2x3(

7

)3x4(5


α) 10

11

5

)1x(2

2

1

5

1x2

β)

6

1x5

3

)x1(2

2

1x3

γ) 2

5y2

5

2y

10

5

2

1y3

δ)

6

13x

3

)2x(2

4

x1

[24]

13. Να λύσετε τις εξισώσεις

α) 36

3

3

6

4

2

xxx β) 10

2

2

4

1

2

34

xxx

γ) 325

1

3

4

x

xx δ)

10

2

4

4

5

136

xx

xx


α)

34

22

5

533

xx

x β)

15

1

5

13

2

1

3

12

xx

xx

γ) 3

21

3

3 xxx

δ)

6

41

2

52

3

7 xxx


α) 1x4

1x

3

3x2

β)

3

x7x

4

3x

2

x5

γ) 8

6x

2

1x

4

5x

δ)

x1

4

x5

2

1x37


α) 16

x

4

2x

3

x6

β)

0

4

1x

2

x

4

23x3

2

x135

γ) 3x6

x2

2

2x

δ)

8

1x14

4

x3

2

1xx


α) 2

3

2

1x4

3

5x2

β)

2

1xx

7

1x6

γ) 2

x410x2

4

x35

δ)

3

x54x3

5

4x

2

1x3


α) 3

10xx

6

2x7

β)

10

x9

2

x1x

5

x34

γ) 6

1x5

3

x4

2

x3

δ)

15

13x24

5

2x4

3

x56

[25]


α) 6

8x5

3

1x2x

2

3x

β)

14

1x11x

2

1x

7

x56

γ) 8

8x18

2

x1

4

6x3x

δ)

5

36

20

74

2

1

4

2 xxx


α) 4

7

8

26

4

13

xx

x β)

6

1

2

1

3

1 xxx

γ) xxxx

6

72

2

21

3

2 δ)

24

5

3

4

1

2

4

1

x

xx

21. Να βρείτε την τιμή του x αν γνωρίζετε ότι η περί-

μετρος του διπλανού σχήματος είναι 2

23. Τι είδους είναι

το τρίγωνο;

22. Να προσδιορίσετε τις γωνίες του διπλανού τριγώνου, αν γνω-

ρίζετε ότι είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά ΒΓ (ο άγνωστος

x παριστάνει μοίρες).

[26]

23. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε το x

( ο άγνωστος x παριστάνει μοίρες) .

Τι είδους είναι το τρίγωνο;

24. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο που να έχει ως μήκη πλευρών τους αριθμούς

1x , 5x και 16x2 .

25. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τρίγωνο που τα μέτρα των γωνιών του να είναι 2

45x2 o,

3

80x3 o και

5

x1051o ( ο άγνωστος x παριστάνει μοίρες).

[27]

1.4 Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων

Η μεγαλύτερη χρησιμότητα των εξισώσεων στα μαθηματικά είναι ότι βοηθούν στην αντιμετώπιση

και τη λύση προβλημάτων της καθημερινής ζωής. Όλοι οι άνθρωποι κατά τη διάρκεια της ζωής τους

θα βρεθούν απέναντι σε πρακτικά προβλήματα, τα οποία για να μπορέσουν να τα ξεπεράσουν εύκολα

και σωστά, θα πρέπει να έχουν αποκτήσει την ικανότητα και την ευχέρεια να τα χειριστούν με τη

χρήση των εξισώσεων.

Οι εξισώσεις αποτελούν το βασικό εργαλείο για την επίλυση εξειδικευμένων προβλημάτων τόσο

στα ανώτερα μαθηματικά όσο και σε άλλες επιστήμες όπως η Φυσική, η Χημεία κλπ.

Η μετάφραση της φυσικής γλώσσας στα … μαθηματικά

Πολλές εκφράσεις της καθημερινότητας μπορούμε να τις μεταφράσουμε από τη φυσική μας γλώσ-

σα στη μαθηματική γλώσσα. Η μετάφραση αυτή γίνεται με τη βοήθεια και τη χρήση μεταβλητών και

συμβόλων πράξεων.

Παράδειγμα 1 : Να «μεταφράσετε» στη μαθηματική γλώσσα την έκφραση:

«το πενταπλάσιο ενός αριθμού ελαττωμένο κατά 10 ισούται 50»

Λύση

Συμβολίζουμε με x τον άγνωστο αριθμό, οπότε:

το πενταπλάσιο ενός αριθμού x5

ελαττωμένο κατά 10 –10

ισούται =

με 50 50

Συνεπώς η έκφραση «το πενταπλάσιο ενός αριθμού ελαττωμένο κατά 10 ισούται 50» σε μαθηματική

γλώσσα αποτυπώνεται από την εξίσωση: 5010x5


«το ημιάθροισμα δύο αριθμών ισούται με το διπλάσιο της διαφοράς τους»

Λύση

Συμβολίζουμε με x και y τους δύο άγνωστους αριθμούς.

[28]

Ημιάθροισμα δύο αριθμών είναι το μισό του αθροίσματός τους, δηλαδή 2

yx .

Άρα:

το ημιάθροισμα δύο αριθμών 2

yx

ισούται =

η διαφορά δύο αριθμών yx

το διπλάσιο της διαφοράς τους yx2

Συνεπώς η έκφραση «το ημιάθροισμα δύο αριθμών ισούται με το διπλάσιο της διαφοράς τους» σε

μαθηματική γλώσσα αποτυπώνεται από την ισότητα: yx22

yx


«Ένας αριθμός ισούται με το 40% ενός άλλου»

Λύση

Συμβολίζουμε με x τον πρώτο αριθμό και με y τον δεύτερο αριθμό. Τότε η έκφραση «Ένας αριθμός

ισούται με το 40% ενός άλλου» σε μαθηματική γλώσσα αποτυπώνεται από την ισότητα: y100

40x


Να μετατρέψετε σε φυσική γλώσσα την ισότητα: 51x2

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………


Να μετατρέψετε σε φυσική γλώσσα την ανισότητα: 21x

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[29]

Η λύση των προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων

Για να λύσουμε ένα πρόβλημα με τη χρήση των εξισώσεων ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

Διαβάζουμε καλά το πρόβλημα (όσες φορές χρειαστεί) για να το κατανοήσουμε.

Χρησιμοποιούμε ένα γράμμα (συνήθως το x) για να εκφράσουμε το ζητούμενο του προβλήματος.

Εκφράζουμε όλα τα δεδομένα του προβλήματος με τη βοήθεια του x.

Σχηματίζουμε την εξίσωση του προβλήματος προσπαθώντας να «μεταφράσουμε» τα δεδομένα στη

μαθηματική γλώσσα.

Λύνουμε την εξίσωση και ελέγχουμε αν οι λύσεις ικανοποιούν το πρόβλημα.

Παράδειγμα 4 : Τρεις φίλοι έχουν συνολικά 900 € . Ο Γιάννης έχει τα τριπλάσια χρήματα από τον

Χρήστο και ο Χρήστος έχει τα διπλάσια χρήματα από τον Δημήτρη. Πόσα χρήματα

έχει ο καθένας;

Λύση

Συμβολίζουμε με x τα χρήματα του Δημήτρη. Τότε:

τα χρήματα του Χρήστου θα είναι 2x (αφού έχει τα διπλάσια χρήματα από τον Δημήτρη) και

τα χρήματα του Γιάννη θα είναι x6x23 (αφού έχει τα τριπλάσια χρήματα από τον Χρήστο)

Το άθροισμα των χρημάτων και των τριών φίλων είναι 700 € άρα η εξίσωση που σχηματίζεται είναι:

900x6x2x

Λύνουμε την εξίσωση κι έχουμε:

900x6x2x

900x9

9

900

9

x9

100x

Άρα ο Δημήτρης έχει 100 €, ο Χρήστος έχει 2001002 € και ο Γιάννης έχει 6001006 €

Παράδειγμα 5 : Να βρείτε έναν αριθμό που το τριπλάσιό του αυξημένο κατά 1 δίνει τον αριθμό ελατ-

τωμένο κατά 9

Λύση

Συμβολίζουμε με x τον ζητούμενο αριθμό, οπότε το τριπλάσιο του αριθμού είναι x3 .

Το τριπλάσιο του αριθμού αυξημένο κατά 1 είναι: 1x3 .

Ο αριθμός ελαττωμένος κατά 9 είναι: 9x

Συνεπώς η εξίσωση που λύνει το πρόβλημα είναι: 9x1x3


9x1x3

91xx3

10x2

[30]

2

10

x

x2

5x

Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι το 5.

Παράδειγμα 6 : Η βασική πεντάδα μιας ομάδας μπάσκετ έχει μέσο όρο ύψους 2 m. Αν τα ύψη των

τεσσάρων παικτών είναι 190 cm, 195 cm, 200 cm, 205 cm να βρείτε το ύψος του

πέμπτου παίκτη της ομάδας.

Λύση

Συμβολίζουμε με x (σε cm) το ύψος του πέμπτου παίκτη. Ο μέσος όρος ύψους των πέντε παικτών

είναι 200 cm (υπενθυμίζουμε ότι στις ασκήσεις πρέπει όλα τα μεγέθη να είναι εκφρασμένα στην ίδια

μονάδα μέτρησης, 2m = 200 cm).

Για να βρούμε το μέσο όρο του ύψους, προσθέτουμε τα ύψη των πέντε παικτών και το άθροισμα το

διαιρούμε δια 5, δηλαδή: 2005

x205200195190

.

Λύνουμε την εξίσωση:

2005

x205200195190

20055

x2052001951905

1000x205200195190

1000x790

7901000x

210x

Άρα ο πέμπτος παίκτης της ομάδας έχει ύψος 210 cm.

Παράδειγμα 7 : Ένας παππούς μοίρασε στα τρία εγγόνια του ένα χρηματικό ποσό ως εξής: Το πρώτο

εγγόνι πήρε το 4

1 του ποσού και 5 επιπλέον ευρώ, το δεύτερο εγγόνι πήρε το 10 € λι-

γότερα από το μισό ποσό και το τρίτο πήρε 10 € λιγότερα από το δεύτερο εγγόνι.

Ποιο ήταν το αρχικό ποσό και πόσα χρήματα πήρε το κάθε εγγόνι;

Λύση

Συμβολίζουμε με x το αρχικό ποσό που μοίρασε ο παππούς.

Το πρώτο εγγόνι πήρε: 54

x €

Το δεύτερο εγγόνι πήρε: 102

x €

[31]

To τρίτο εγγόνι πήρε: 10102

x €

Το άθροισμα των χρημάτων που πήραν και τα τρία εγγόνια δίνει το συνολικό ποσό x.

Άρα η εξίσωση που λύνει το πρόβλημα είναι: x10102

x10

2

x5

4

x


x10102

x10

2

x5

4

x

x41041042

x4104

2

x454

4

x4

x44040x240x220x

40404020x4x2x2x

100x

Άρα το ποσό που έδωσε ο παππούς στα εγγόνια του ήταν 100 €.

Το πρώτο εγγόνι πήρε 3054

100 €

Το δεύτερο εγγόνι πήρε 40102

100 €

Το τρίτο εγγόνι πήρε 3010102

100 €

Παράδειγμα 8 : Στο ελληνικό ποδοσφαιρικό πρωτάθλημα της σεζόν 2018-2019 ο ΠΑΟΚ ανακηρύ-

χθηκε πρωταθλητής συγκεντρώνοντας 80 βαθμούς και διατηρώντας το αήττητο σε

όλη τη διάρκεια του πρωταθλήματος . Αν γνωρίζετε ότι ο ΠΑΟΚ ξεκίνησε το πρωτά-

θλημα έχοντας τιμωρία αφαίρεσης 2 βαθμών και ότι έδωσε συνολικά 30 αγώνες, πό-

σες νίκες και πόσες ισοπαλίες είχε κατά τη διάρκεια της σεζόν; (Σε κάθε νίκη η ομάδα

κερδίζει 3 βαθμούς και σε κάθε ισοπαλία 1 βαθμό)

Λύση

Αν συμβολίσουμε με x το πλήθος των νικών του ΠΑΟΚ, τότε οι ισοπαλίες του θα ήταν x30 (διότι

όλοι οι αγώνες του πρωταθλήματος ήταν 30 και δεν έχασε σε κανένα παιχνίδι ).

Σε κάθε νίκη η ομάδα παίρνει 3 βαθμούς, άρα από τις νίκες συγκέντρωσε x3 βαθμούς.

Σε κάθε ισοπαλία η ομάδα παίρνει 1 βαθμό, άρα από τις ισοπαλίες συγκέντρωσε x30 βαθμούς.

Ο ΠΑΟΚ ξεκίνησε το πρωτάθλημα με αφαίρεση 2 βαθμών και συγκέντρωσε συνολικά 80 βαθμούς.

Άρα η εξίσωση του προβλήματος είναι: 802x30x3 .

Λύνουμε την εξίσωση: 802x30x3

802x30x3

23080xx3

52x2

[32]

2

52

2

x2

26x

Άρα οι νίκες του ΠΑΟΚ ήταν 26 και οι ισοπαλίες 42630 .

Παράδειγμα 9 : Να βρεθούν οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου, αν η μία είναι 200 μεγαλύτε-

ρη από την άλλη.

Λύση

Συμβολίζουμε με x τη μία οξεία γωνία.

Αν η άλλη οξεία γωνία είναι κατά 200 μεγαλύτερη, τότε η δεύτερη οξεία γωνία θα είναι 020x .

Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα γωνιών ενός τριγώνου είναι 1800, άρα η εξίσωση του προβλήματος είναι:

1809020xx .

Λύνουμε την εξίσωση:

1809020xx

1809020xx

2090180xx

70x2

2

70

2

x2

35x

Άρα η μία οξεία γωνία είναι 350 και η άλλη οξεία γωνία είναι 0552035

(Το πρόβλημα θα μπορούμε να το αντιμετωπίσουμε και διαφορετικά. Αν συμβολίσουμε με x τη μεγα-

λύτερη οξεία γωνία τότε 020x είναι η μικρότερη οξεία γωνία. Τότε βέβαια η εξίσωση του προβλή-

ματος θα είναι: 1809020xx )


Να κατασκευάσετε ένα πρόβλημα που να λύνεται από την εξίσωση 8xx3

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[33]

Ασκήσεις

1. Ένας πατέρας είναι 42 ετών και η κόρη του 12. Πόσα χρόνια πρέπει να περάσουν ώστε η ηλικία

του πατέρα να είναι διπλάσια της κόρης;

2. Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί με άθροισμα 50.

3. Να βρεθούν δυο αριθμοί που διαφέρουν κατά 6 και ο λόγος τους είναι 10

7.

4. Υπάρχει ακέραιος αριθμός που το τριπλάσιό του ελαττωμένο κατά 2 να ισούται με 5;

5. Ένα καρπούζι ζυγίζει 3 κιλά και μισό καρπούζι. Πόσα κιλά είναι το καρπούζι;

6. Σε ένα σχολείο τα κορίτσια είναι 40 περισσότερα από τα αγόρια. Αν τα αγόρια τριπλασιαστούν

τότε θα γίνουν διπλάσια από τα κορίτσια. Πόσα είναι τα παιδιά του σχολείου;

7. Τρία παιδιά μοιράστηκαν ένα ποσό. Το πρώτο παιδί πήρε το 3

1 του ποσού και 100 € επιπλέον.

Το δεύτερο παιδί πήρε το 9

1 του ποσού και επιπλέον 200 €, ενώ το τρίτο παιδί πήρε το

6

1 του

ποσού και 50 €. Ποιο είναι το συνολικό ποσό που μοιράστηκαν τα παιδιά και πόσα χρήματα πήρε

το καθένα;

8. Η Ζωή αγόρασε 15 μπλε και κόκκινα στυλό και πλήρωσε συνολικά 10 €. Αν το κάθε μπλε στυλό

κοστίζει 0,5 € και το κάθε κόκκινο στυλό κοστίζει 1 €, πόσα μπλε και πόσα κόκκινα στυλό αγό-

ρασε;

9. Σε μια ημερήσια εκδρομή, συμμετείχαν 15 παιδιά τα οποία ξόδεψαν συνολικά 125 €. Αν το κάθε

αγόρι ξόδεψε 5€ και το κάθε κορίτσι 10 €, να βρείτε πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια συμμετείχαν

στην εκδρομή.

10. Οι μαθητές ενός γυμνασίου είναι συνολικά 560. Αν η Α΄ τάξη έχει τριπλάσιους μαθητές από τη

Β΄ τάξη και η Γ΄ τάξη έχει 35 περισσότερους μαθητές από την Α΄ τάξη, να υπολογίσετε το πλή-

θος των μαθητών κάθε τάξης.

[34]

11. Σε έναν χώρο στάθμευσης βρίσκονται συνολικά 50 αυτοκίνητα και μηχανές. Αν τα αυτοκίνητα

και οι μηχανές που είναι σταθμευμένα έχουν συνολικά 180 ρόδες, να βρείτε πόσα είναι τα

αυτοκίνητα και πόσες οι μηχανές;

12. Στην ημερήσια εκδρομή ενός γυμνασίου συμμετείχαν 350 μαθητές και η μετακίνησή τους έγινε

με 8 λεωφορεία. Κάποια από τα λεωφορεία ήταν 30 θέσεων και κάποια 52 θέσεων. Πόσα ήταν τα

μικρά λεωφορεία (30 θέσεων) και πόσα τα μεγάλα (52 θέσεων) ;

13. Ένα παιχνίδι ερωτήσεων παίζεται με τους εξής κανόνες: για κάθε σωστή απάντηση παίρνουμε 3

βαθμούς και για κάθε λάθος απάντηση χάνουμε 1 βαθμό. Αν σε 10 συνολικά ερωτήσεις συγκε-

ντρώσαμε 18 βαθμούς, πόσες σωστές και πόσες λάθος απαντήσεις δώσαμε;

14. Ο κύριος Γιώργος ψώνισε από τη λαϊκή αγορά ροδάκινα, αχλάδια και βερίκοκα και πλήρωσε

συνολικά 17 €. Τα ροδάκινα κόστιζαν 1,5 € το κιλό, τα αχλάδια 1 € το κιλό και τα βερίκοκα 2,5 €

το κιλό. Αν τα ροδάκινα ήταν διπλάσια σε κιλά από τα βερίκοκα και τα αχλάδια ήταν τριπλάσια

σε κιλά από τα βερίκοκα, να βρείτε πόσα κιλά από κάθε είδος φρούτου αγόρασε ο κύριος

Γιώργος.

15. Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου διαφέρουν κατά 8 cm. Αν η περίμετρος του ορθογωνίου είναι

76 cm, να βρείτε τις διαστάσεις.

16. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος 10 m και πλάτος 5 m. Πόσο πρέπει να αυξηθεί το

πλάτος του ορθογωνίου ώστε να διπλασιαστεί το εμβαδόν του;

17. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο η γωνία της κορυφής είναι 300 μεγαλύτερη από κάθε γωνία της

βάσης. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου

18. Να βρεθούν οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου αν η μία είναι πενταπλάσια της άλλης.

19. Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μία γωνία είναι διπλάσια από μια άλλη, να βρείτε πόσες μοίρες

είναι κάθε γωνία του τριγώνου.

20. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο μία γωνία είναι διπλάσια από μια άλλη. Να βρείτε πόσες μοίρες είναι

κάθε γωνία του τριγώνου.

[35]

2.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού

Μη αρνητικοί αριθμοί

Από την Α΄ Γυμνασίου γνωρίζουμε ότι θετικοί είναι οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν.

Πρέπει να γνωρίζουμε όμως ότι κάθε αριθμός που είναι μεγαλύτερος ή ίσος με το μηδέν ονομάζεται

μη αρνητικός αριθμός.

Δηλαδή: ο αριθμός x θα λέγεται θετικός αν 0x

ο αριθμός x θα λέγεται μη αρνητικός αν 0x

Συνοψίζοντας, οι μη αρνητικοί αριθμοί είναι όλοι οι θετικοί μαζί με το μηδέν.

Τετραγωνική ρίζα

ΟΡΙΣΜΟΣ : Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α, ονομάζεται ο μη αρνητικός

αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει ως αποτέλεσμα τον αριθμό α.

Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται α .

π.χ. 00 διότι 002 , 11 διότι 112 , 24 διότι 422

39 διότι 932 , 5

4

25

16 διότι

25

16

5

42


Πραγματικοί αριθμοί

[36]


Να βρείτε τους αριθμούς: 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 ,

196 , 225 , 400 , 625 , 900

Λύση

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………


Να βρείτε τους αριθμούς: 25,0 , 64,0 , 44,1 , 121

36

Λύση

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[37]

Από τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας προκύπτει ότι:

αν αx τότε αx 2

Πρέπει να τονίσουμε ότι τόσο η υπόριζη ποσότητα (δηλαδή ο αριθμός που είναι μέσα στην

τετραγωνική ρίζα), όσο και το αποτέλεσμα της ρίζας είναι πάντοτε μη αρνητικοί αριθμοί (δηλαδή

αριθμοί μεγαλύτεροι ή ίσοι με το μηδέν)

Οι ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας είναι:

αα2

, με 0α

αα 2

βαβα με 0β,α

β

α

β

α με 0α και 0β

Παράδειγμα 1 : Είναι σωστό να γράψουμε 10100 ;

Λύση

Παρατηρούμε ότι 100)10( 2 , όμως η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντοτε μη αρνητικός

αριθμός. Έχουμε ήδη επισημάνει ότι τόσο ο αριθμός μέσα στη ρίζα όσο και το αποτέλεσμα της

ρίζας είναι μη αρνητικοί αριθμοί. Άρα είναι λάθος να γράψουμε 10100 .


Να χαρακτηρίσετε ως σωστή ή λάθος καθεμιά από τις παρακάτω ισότητες και να δικαιολογήσετε την

απάντησή σας

α) 24

β) 816

γ) 636

δ) 6010610036100363600

ε) 166103610036100136

στ) 51520225400225400175

[38]

Πρέπει συνεπώς να προσέχουμε πολύ κατά την εφαρμογή των ιδιοτήτων της τετραγωνικής

ρίζας. Προσοχή λοιπόν: βαβα και βαβα

Επίλυση απλών εξισώσεων 2ου

βαθμού

Για να λύσουμε απλές εξισώσεις 2ου

βαθμού (εξισώσεις δηλαδή που ο μεγαλύτερος εκθέτης του

αγνώστου είναι το 2), ακολουθούμε τα ίδια βήματα που ακολουθούσαμε και στις εξισώσεις 1ου

βαθ-

μού μέχρι να προσδιορίσουμε την τιμή του x2.

Αν αx 2 με 0α , τότε αx ή αx .

Διαπιστώνουμε συνεπώς ότι στην περίπτωση αυτή, οι εξισώσεις 2ου

βαθμού έχουν δύο λύσεις.

Αν 0x 2 τότε 0x

Αν αx 2 με 0α , τότε η εξίσωση είναι αδύνατη διότι δεν υπάρχει αριθμός που να υψωθεί στο

τετράγωνο και να δώσει ως αποτέλεσμα έναν αρνητικό αριθμό.

Διαπιστώνουμε συνεπώς ότι στην περίπτωση αυτή, οι εξισώσεις 2ου

βαθμού είναι αδύνατες.

Παράδειγμα 2 : Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 9x 2 β) 22 x219x3

Λύση

α) 9x 2 β) 22 x219x3

9x ή 9x 319xx2 22

3x ή 3x 16x 2

16x ή 16x

4x ή 4x

Παράδειγμα 3 : Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου στο παρακάτω

σχήμα:

Λύση

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο κι έχουμε:

222 43x

[39]

169x 2

25x 2

25x

5x

Στη λύση της συγκεκριμένης εξίσωσης δεν γράφουμε και την αρνητική λύση (όπως στο παράδειγμα

2), διότι το x στο συγκεκριμένο παράδειγμα εκφράζει το μήκος της πλευράς ενός τριγώνου, οπότε δεν

μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός.

Παράδειγμα 4 : Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου στο παρακάτω

σχήμα:

Λύση

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο κι έχουμε:

222 159x

22581x 2

81225x 2

144x 2

144x

12x

Όπως και στο παράδειγμα 3, στη της εξίσωσης δεν γράφουμε και την αρνητική λύση διότι το x στο

εκφράζει το μήκος της πλευράς ενός τριγώνου, οπότε δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός.

[40]

Παράδειγμα 5 : Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει βάση 12 cm και περίμετρο 32 cm. Να βρείτε το ύψος

και το εμβαδόν του τριγώνου.

Λύση

Η βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι 12 cm και η περίμετρος

του τριγώνου 32 cm, άρα καθεμιά από τις ίσες πλευρές θα

ισούται με 102:202:1232 cm

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάμεσος προς τη βάση είναι και

ύψος (και διχοτόμος). Άρα αν ΑΜ είναι η διάμεσος του

ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (όπως φαίνεται και στο σχήμα) τότε

62

12ΜΓΒΜ .

Για να βρούμε το ύψος του τριγώνου, εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο

θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΜ κι έχουμε:

222 ABBMAM

222 106x

10036x 2

36100x 2

64x 2

64x

8x

Παράδειγμα 6 : Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχουν νόημα οι παραστάσεις:

α) 8x β) x5

Λύση

Για να έχει νόημα μια τετραγωνική ρίζα, θα πρέπει η υπόριζη ποσότητα να είναι μη αρνητική. Άρα:

α) 8x08x

β) 5x0x5

[41]

Ασκήσεις

1. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή ή λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις και να

δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας:

α) 3264 β) 416

γ) 10010 δ) 6925

ε) 39 στ) 2461636

2. Να υπολογίσετε τις παρακάτω τετραγωνικές ρίζες:

α) 36 , 3600 , 36,0

β) 121 , 1210000 , 21,1

γ) 225 , 22500 , 0225,0

δ) 49

25,

81

169,

625

400

3. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων:

α) 925249 β) 1644001003


α) 400

9

100

1

25

81 β)

36

25

16

9

9

42


α) 3232 β) 232

γ) 2)32( δ) 2

32


α) )18()2( β) )6(2)3(

γ) 2)5( δ) )8()2( 3

[42]


α) 2)4( β) 2

3

γ) 22 43 δ) 22 1215


α) 4916 β) 4964100

γ) 4234 δ) 975193


α) 42 β) 2520

γ) 16254045 δ) 31442716


α) 64x 2 β) 100x 2

γ) 22 x69x35 δ) 22 x303x2

11. Να προσδιορίσετε τον αριθμό του οποίου το τετράγωνο ελαττωμένο κατά 32 ισούται με το

μισό του τετραγώνου του αριθμού αυτού.

12. Για ποιες τιμές του x έχουν νόημα οι παρακάτω ρίζες:

α) 5x β) 6x

γ) x7 δ) x8

13. Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά σε καθένα από τα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα:

[43]

14. Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει βάση 16 cm και περίμετρο 50 cm. Να βρείτε το ύψος και το εμβα-

δόν του τριγώνου.

15. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με 25ΑΓΑΒ cm και ύψος προς τη βάση 24 cm. Να βρείτε την

περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου.

16. Να υπολογίσετε το μήκος της διαγωνίου ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου με διαστάσεις

6 cm και 8 cm.

17. Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου ΑΒΓΔ είναι 10ΑΓ cm και 24ΒΔ cm. Να βρείτε το μήκος της

πλευράς του ρόμβου, την περίμετρο και το εμβαδόν του.

18. Να υπολογίσετε τα x και y στο παρακάτω σχήμα:

[44]

19. Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου διαφέρουν κατά 3 cm. Αν η περίμετρος του

ορθογωνίου είναι 42 cm, να βρείτε:

α) τις διαστάσεις του ορθογωνίου β) το μήκος της διαγωνίου

20. Αν το εμβαδόν του τετραγώνου στο παρακάτω σχήμα είναι 100 cm2, να υπολογίσετε την πλευ-

ρά x στο παρακάτω σχήμα.

[45]

2.2 Άρρητοι αριθμοί - Πραγματικοί αριθμοί

Ρητοί αριθμοί

Φυσικοί είναι οι αριθμοί: 0, 1, 2, 3, … . Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται IN .

Ακέραιοι είναι οι αριθμοί: …, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, …. Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμ-

βολίζεται Ζ .

Ρητοί είναι όλοι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσματα ακεραίων αριθμών, δηλαδή

είναι όλοι οι αριθμοί της μορφής λ

κ με κ, λZ και 0λ .

Προφανώς όλοι οι φυσικοί και ακέραιοι αριθμοί είναι ρητοί αριθμοί.

π.χ. ρητοί αριθμοί είναι οι εξής: 0, 3, 6, 4

5,

2

1, 0,12

Άρρητοι αριθμοί

Κάθε αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί στη μορφή λ

κ με κ, λZ (και 0λ ) λέγεται άρρητος

αριθμός. Αυτό σημαίνει πως κάθε άρρητος αριθμός δεν μπορεί να γραφεί ούτε ως δεκαδικός, ούτε ως

περιοδικός δεκαδικός αριθμός.

Παράδειγμα 1 : α) Ένα δωμάτιο στο σπίτι μας έχει τετραγωνικό δάπεδο πλευράς 4 m. Πόσο είναι το

εμβαδόν του;

β) Το σαλόνι του σπιτιού μας έχει τετραγωνικό δάπεδο με εμβαδόν 36 m2. Ποιο είναι

το μήκος της πλευράς του;

γ) Αν ένα άλλο δωμάτιο έχει επίσης τετραγωνικό δάπεδο με εμβαδόν 10 m2, ποιο εί-

ναι το μήκος της πλευράς του;

Λύση

α) Το δωμάτιο που έχει τετραγωνικό δάπεδο πλευράς 4 m, θα έχει εμβαδόν: 164E 2 m2.

β) Το σαλόνι του σπιτιού έχει τετραγωνικό δάπεδο με εμβαδόν 36 m2. Αν συμβολίσουμε με x την

πλευρά του, τότε θα ισχύει: 36x 2 άρα 636x m (το x είναι θετικός αριθμός αφού εκφράζει

το μήκος πλευράς τετραγώνου).

[46]

γ) Συμβολίζουμε με y την πλευρά του δωματίου που έχει τετραγωνικό δάπεδο και εμβαδόν 10 m2 .

Προφανώς θα ισχύει: 10y2 άρα 10y . Ποιος είναι όμως ο αριθμός y; Μπορούμε να τον προσ-

διορίσουμε με ακρίβεια;

Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός που αν υψωθεί στο τετράγωνο θα μας δώσει

αποτέλεσμα 10. Άρα ο αριθμός που αναζητάμε θα είναι σίγουρα δεκαδικός. Ποιος όμως;

Διαπιστώνουμε ότι:

22 4103

22 2,324,101061,91,3

22 17,30489,10109856,916,3

22 163,3004569,1010998244,9162,3

Συνεχίζοντας αυτήν τη διαδικασία, διαπιστώνουμε πως δεν μπορούμε να βρούμε με ακρίβεια έναν

αριθμό που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει 10. Παρόλα αυτά ο αριθμός αυτός υπάρχει και

είναι το μήκος της πλευράς του τετραγώνου που έχει εμβαδόν 10 m2..

Ο αριθμός 10 δεν μπορεί να προσδιοριστεί με ακρίβεια, παρά μόνο προσεγγιστικά. Συνεπώς δεν

μπορεί να γραφεί σε μορφή δεκαδικού αριθμού με πεπερασμένο πλήθος δεκαδικών ψηφίων (δηλαδή

με συγκεκριμένο πλήθος δεκαδικών ψηφίων) ούτε ως περιοδικός δεκαδικός αριθμός, άρα είναι άρρη-

τος αριθμός.

Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι άρρητοι είναι και οι αριθμοί 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 ,

11 … κλπ. Ένας άρρητος αριθμός που δεν προέρχεται από τετραγωνική ρίζα κάποιου ρητού αριθ-

μού είναι το π, το οποίο θα συναντήσουμε στη μέτρηση του κύκλου.

Παράδειγμα 2 : Να κατασκευάσετε γεωμετρικά τον άρρητο αριθμό 2 .

Λύση

Θεωρούμε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο που καθεμιά

από τις κάθετες πλευρές του έχει μήκος 1. Αν x είναι η υποτείνουσα

του ορθογωνίου τριγώνου τότε εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο

θεώρημα έχουμε:

222 11x

2x 2

2x

Άρα 2 είναι το μήκος της υποτείνουσας ισοσκελούς ορθογωνίου

τριγώνου με κάθετες πλευρές μήκους 1.

[47]


Να κατασκευάσετε γεωμετρικά τον άρρητο αριθμό 5 .

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Πραγματικοί αριθμοί

Όλοι οι αριθμοί που γνωρίζουμε, δηλαδή οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί, αποτελούν το σύνολο

των πραγματικών αριθμών. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με IR .

Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να παρασταθούν με τη βοήθεια μιας ευθείας. Κάθε πραγματικός

αριθμός αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό σημείο της ευθείας αλλά και αντίστροφα κάθε σημείο της ευ-

θείας αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό. Για το λόγο αυτό η συγκεκριμένη ευθεία

ονομάζεται ευθεία ή άξονας των πραγματικών αριθμών.

Παράδειγμα 3 : Να τοποθετήσετε στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς:

2, 4

3, 0, 2 ,

2

5

Λύση

Μπορούμε να γράψουμε όλους τους αριθμούς σε δεκαδική μορφή, χρησιμοποιώντας για τους άρ-

ρητους αριθμούς τις δεκαδικές τους προσεγγίσεις με δύο δεκαδικά ψηφία. Έτσι θα βοηθηθούμε να

καταλάβουμε σε ποια θέση (περίπου) θα τοποθετηθούν οι αριθμοί πάνω στον άξονα. Έχουμε λοιπόν:

75,04

3 41,12 12,1

2

24,2

2

5

[48]

Τοποθετούμε τους πραγματικούς αριθμούς πάνω στην ευθεία κι έχουμε:


Να βρείτε σε ποιο από τα σημεία Α, Β, Γ και Δ του παρακάτω άξονα των πραγματικών αριθμών αντι-

στοιχεί καθένας από τους αριθμούς: 3 , 2 , 5 , 3

2 .

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.


Μπορούμε να απαντήσουμε στις ερωτήσεις παρακάτω ερωτήσεις;

«Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αρνητικός πραγματικός αριθμός;»

«Ποιος είναι ο προηγούμενος πραγματικός αριθμός από το 2;»



Πόσοι πραγματικοί αριθμοί βρίσκονται ανάμεσα στο 0 και το 1;

[49]

Παράδειγμα 4 : Να λυθεί η εξίσωση: 5x 2 .

Λύση

Λύνουμε την απλή δευτεροβάθμια εξίσωση όπως δείξαμε και στο παράδειγμα 2 της προηγούμενης

παραγράφου (§2.1).

5x 2

5x ή 5x

Το πρόβλημα που συναντάμε τώρα, είναι ότι δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ακριβώς τη 5 .

Σε αυτές τις περιπτώσεις αφήνουμε το αποτέλεσμα με τη μορφή της τετραγωνικής ρίζας και δεν προ-

σπαθούμε να βρούμε κάποια δεκαδική της προσέγγιση.

Παράδειγμα 5 : Να απλοποιηθούν οι τετραγωνικές ρίζες: 8 , 50 , 108 , 320 , 1000

Λύση

Όταν μια τετραγωνική ρίζα δεν μπορούμε να την προσδιορίσουμε με ακρίβεια (δηλαδή όταν

η υπόριζη ποσότητα δεν είναι τετράγωνο κάποιου ρητού αριθμού), προσπαθούμε (αν γίνεται) να την

απλοποιήσουμε. Η απλοποίηση μιας τετραγωνικής ρίζας γίνεται ως εξής:

Γράφουμε την υπόριζη ποσότητα ως γινόμενο δύο αριθμών, αρκεί ο ένας από τους δυο παράγοντες

του γινομένου να έχει τετραγωνική ρίζα που μπορούμε να προσδιορίσουμε. Στη συνέχεια χρησιμο-

ποιούμε την ιδιότητα βαβα . Ας δούμε τη διαδικασία αυτήν στην πράξη:

2224248

2522522550

36336336108

58564564320

101010100101001000

Παράδειγμα 6 : Να βρεθεί η άγνωστη πλευρά στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο.

Λύση

Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε:

[50]

222 27x

27x 2

9x 2

9x (το x είναι θετικός αριθμός αφού εκφράζει το μήκος πλευράς τριγώνου)

3x


Λύση


222 42x

164x 2

20x 2

20x

Η άγνωστη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου, δηλαδή η υποτείνουσα στο συγκεκριμένο παράδειγμα,

έχει υπολογιστεί. Επειδή η 20 δεν μπορεί να προσδιοριστεί ακριβώς, το αποτέλεσμα που βρήκαμε

είναι αποδεκτό και σωστό. Παρόλα αυτά όταν μπορούμε να απλοποιήσουμε μια τετραγωνική ρίζα,

καλό είναι να προχωρούμε στην απλοποίησή της. Δηλαδή: 52545420x


Λύση


222 x24

2x416

[51]

2x416

2x12

12x

3234x

Παράδειγμα 9 : Να απλοποιηθεί η παράσταση: 22325

Λύση

Όταν μια παράσταση έχει όμοια ριζικά, μπορούμε να εφαρμόσουμε την επιμεριστική ιδιότητα προκει-

μένου να την απλοποιήσουμε.

23213522325

Ρητοποίηση

Όταν ένα κλάσμα έχει ως παρονομαστή μια τετραγωνική ρίζα που είναι άρρητος αριθμός, προ-

σπαθούμε να το μετατρέψουμε σε ένα ισοδύναμο κλάσμα που να έχει ρητό παρονομαστή. Η διαδικα-

σία αυτή ονομάζεται ρητοποίηση και γίνεται πολλαπλασιάζοντας και αριθμητή και παρονομαστή με

την τετραγωνική ρίζα του παρονομαστή.

Παράδειγμα 10 : Να ρητοποιήσετε το κλάσμα 5

8 (δηλαδή να το μετατρέψετε σε ισοδύναμο κλά-

σμα με ρητό παρονομαστή).

Λύση

Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα με άρρητο παρονομαστή σε κλάσμα με ρητό παρονομαστή, πολλα-

πλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με την τετραγωνική ρίζα που βρίσκεται στον παρο-

νομαστή. Δηλαδή:

5

58

5

58

55

58

5

82

[52]

Ασκήσεις

1. Ποιοι από τους επόμενους αριθμούς είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι;

α) 5,25 β) 9,1212121212…

γ) 7,123456789874532158647… δ) 2,101001000100001000001…

2. Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι:

α) 69,1 β) 5

γ) 25 δ) 1,01

ε) 3

1 στ) 20

3. Να τοποθετήσετε στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς:

7 , 3

10, 5 , 2,

4

3, 2 ,

4

5


α) 6x 2 β) 40x 2

γ) 22 x212x4 δ) 5x1xxx53 2

5. Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τα μήκη x, y, z και ω.

[53]

6. Να βρείτε τα μήκη x και y στο παρακάτω σχήμα.

7. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ =

ΑΓ) με περίμετρο 16 cm και 4ΒΓ cm. Να βρείτε:

α) το μήκος των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ

β) το μήκος του ύψους ΑΔ

γ) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

8. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (090Α

) με 8ΒΓ cm. Να βρείτε:

α) το μήκος των ίσων πλευρών ΑΒ και ΑΓ

β) το εμβαδόν του τριγώνου

9. Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο του διπλανού

σχήματος. Να υπολογίσετε:

α) το μήκος της υποτείνουσας

β) το εμβαδόν του τριγώνου

γ) το μήκος του ύψους προς την υποτείνουσα.

10. Η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι 4 cm. Να βρείτε:

α) την πλευρά του τετραγώνου β) το εμβαδόν του τετραγώνου

11. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 6 cm. Να βρείτε:

α) το ύψος του τριγώνου β) το εμβαδόν του τριγώνου

12. Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ με πλευρά 10 cm και 060Α

. Να βρείτε το εμβαδόν του ρόμβου.

[54]

13. Στο παρακάτω σχήμα η χορδή AB έχει μήκος 4 cm και η απόστασή της από το κέντρο Ο είναι

1 cm. Να προσδιορίσετε το μήκος της ακτίνας του κύκλου.

[55]

2.3 Προβλήματα

Οι άρρητοι αριθμοί χρησιμοποιούνται σε πολλά προβλήματα των μαθηματικών αλλά και της καθη-

μερινής ζωής.

Παράδειγμα 1 : Ένα αυτοκίνητο έχει μήκος 4 m και πλάτος 1,9 m. Μπορεί το αυτοκίνητο να κάνει

αναστροφή σε δρόμο πλάτους 4,4 m;

Λύση

Για να μπορέσει το αυτοκίνητο να κάνει αναστροφή στο δρόμο, θα πρέπει η διαγώνιος του αυτοκινή-

του να είναι μικρότερη ή ίση του πλάτους του δρόμου (όπως φαίνεται και στα παρακάτω σχήματα)

Αν ονομάσουμε δ τη διαγώνιο του αυτοκινήτου, τη βρίσκουμε με τη βοήθεια του Πυθαγορείου

θεωρήματος κι έχουμε: 222 9,14δ

61,316δ2

61,19δ2

61,19δ

Επειδή από τη μια δεν μπορούμε να βρούμε με ακρίβεια τη διαγώνιο του αυτοκινήτου, αλλά από

την άλλη πρέπει να τη συγκρίνουμε με το πλάτος του δρόμου, μπορούμε να κάνουμε το εξής: αντί να

συγκρίνουμε τους αριθμούς 61,19 και 4,4 μπορούμε να συγκρίνουμε τα τετράγωνά τους. Όποιος

αριθμός έχει το μεγαλύτερο τετράγωνο, αυτός θα είναι και ο μεγαλύτερος από τους δύο. Έχουμε

λοιπόν:

[56]

61,1961,192

και 36,194,4 2

Άρα 36,1961,19 οπότε και 4,461,19 . Συνεπώς το αυτοκίνητο δεν μπορεί να κάνει αναστροφή

στο δρόμο.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Είδαμε στο παράδειγμα ότι επειδή δεν μπορούσαμε να συγκρίνουμε τους αριθμούς,

προχωρήσαμε στη σύγκριση των τετραγώνων τους. Αυτό γίνεται μόνο όταν οι αριθμοί που θέλουμε

να συγκρίνουμε είναι θετικοί (μπορείτε να εξηγήσετε γιατί;)

Παράδειγμα 2 : Μία πλατεία σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου έχει μήκος διπλάσιο από το

πλάτος της και η διαγώνιός της είναι 150 m.

α) Να βρείτε τις διαστάσεις της πλατείας.

β) Ποιο είναι το εμβαδόν της πλατείας;

γ) Αν θέλουμε να κάνουμε πλακόστρωση της πλατείας με τετραγωνικά πλακάκια

διαγωνίου 2

2m, να βρείτε πόσα πλακάκια θα χρειαστούμε.

Λύση

α) Αν υποθέσουμε ότι το πλάτος της πλατείας είναι x, τότε το μήκος της είναι 2x. Εφαρμόζοντας το

Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο που σχηματίζουν οι δυο διαδοχικές πλευρές της πλατείας με τη

διαγώνιό της, τότε έχουμε:

222 150)x2(x

22500x4x 22

22500x5 2

5

22500x 2

4500x 2

4500x

5900x

5900x

530x m

Άρα η πλατεία έχει πλάτος 530 m και μήκος 560 m.

β) Το εμβαδόν της πλατείας είναι: 90005180051800560530Ε2

m2

γ) Αν ονομάσουμε y την πλευρά από το τετραγωνικό πλακάκι που θα χρησι-

μοποιήσουμε για την πλακόστρωση της πλατείας, τότε εφαρμόζοντας το Πυ-

θαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζουν οι δυο διαδοχικές

πλευρές του τετραγώνου με τη διαγώνιό του και έχουμε:

[57]

2

22

2

2yy

4

2y2 2

2

1y2 2

4

1y 2

4

1y

2

1y m

Άρα το εμβαδόν από το κάθε τετραγωνικό πλακάκι θα είναι: 4

1

2

1Ε

2

m

2.

Για να βρούμε πόσα πλακάκια θα χρειαστούμε για την πλακόστρωση της πλατείας, αρκεί να διαιρέ-

σουμε το εμβαδόν της πλατείας με το εμβαδόν από το κάθε πλακάκι. Άρα:

36000490004

1:9000 πλακάκια θα χρειαστούν για την πλακόστρωση της πλατείας.

Παράδειγμα 3 : Θεωρούμε τετράπλευρο ΑΒΓΔ με 090ΓΑ

, ΑΔAB , 23ΒΔ και

ΒΓ2ΓΔ . Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.

Λύση

Για να βρούμε την περίμετρο του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ θα πρέπει να

βρούμε το μήκος της κάθε πλευράς του.

Αν συμβολίσουμε x το μήκος της πλευράς AB και y το μήκος της

πλευράς ΒΓ τότε με τη βοήθεια των δεδομένων προκύπτει:

xΑΔΑΒ και y2ΒΓ2ΓΔ .

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ

κι έχουμε:

222 23xx

29x2 2

18x2 2

9x 2

9x

3x

Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΔ κι έχουμε:

[58]

222 23y2y

18y4y 22

18y5 2

5

18y 2

5

18y

5

18y

25

518y

(μετατρέπουμε τον άρρητο παρονομαστή σε ρητό)

5

90y

5

109y

5

103y

Επομένως: 3ΑΔΑΒ , 5

103yΒΓ και

5

106

5

1032ΓΔ

Η περίμετρος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ είναι: 5

10930

5

1096

5

106

5

10333

Για να βρούμε το εμβαδόν του ΑΒΓΔ, θα προσδιορίσουμε πρώτα τα εμβαδά των ορθογωνίων τριγώ-

νων ΑΒΔ και ΒΓΔ.

2

933

2

1ΑΔΑΒ

2

1Ε ΑΒΔ

5

18

50

180

50

1018

50

1018

5

103

5

106

2

1ΒΓΓΔ

2

1Ε

2

ΒΓΔ

Το εμβαδόν του ΑΒΓΔ είναι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων ΑΒΔ και ΒΓΔ οπότε:

10

81

10

3645

5

18

2

9ΕΕΕ ΒΓΔΑΒΔΑΒΓΔ

[59]

Ασκήσεις

1. Το διπλανό σήμα του κώδικα οδικής κυκλοφορίας έχει διαγώνιο 70 cm. Να

βρείτε το εμβαδόν που καταλαμβάνει η επιφάνεια του σήματος.

2. Το διπλανό σήμα του κώδικα οδικής κυκλοφορίας έχει εμβαδόν 5000

cm2. Ποια είναι η περίμετρός του;

3. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 4 cm. Στις πλευρές του τετραγώνου παίρνουμε τα σημεία Ε,

Ζ, Η και Θ έτσι ώστε να ισχύει 1ΔΖΓΗΒΘΑΕ cm (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχή-

μα). Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του τετραγώνου ΕΖΗΘ.

[60]

4. Μια σκάλα ύψους 2

34m είναι τοποθετημένη πλάγια σε έναν κατακόρυφο τοίχο όπως φαίνεται

στο παρακάτω σχήμα. Η βάση της σκάλας απέχει από τον κατακόρυφο τοίχο 1,5 m και η κορυφή

της σκάλας βρίσκεται 0,5 m χαμηλότερα από το ψηλότερο σημείο του τοίχου. Να βρείτε το ύψος

του τοίχου.

5. Σε ένα τετραγωνικό οικόπεδο πλευράς 30 m θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα τριγωνικό κήπο

όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (ο κήπος είναι η γραμμοσκιασμένη περιοχή).

α) Να βρείτε την περίμετρο του κήπου

β) Σε κάθε πλευρά του τριγωνικού κήπου θα φυτέψουμε μικρά δεντράκια. Αν στη υποτείνουσα

του κήπου φυτέψουμε ένα δέντρο κάθε 3 m και στις κάθετες πλευρές του κήπου φυτέψουμε ένα

δέντρο κάθε 23 m, να βρείτε πόσα δέντρα θα φυτέψουμε συνολικά.

6. Η διαγώνιος μιας πλευράς ενός ζαριού είναι 22 cm. Να βρείτε το συνολικό

εμβαδόν του ζαριού (δηλ. το άθροισμα των εμβαδών όλων των πλευρών του).

[61]

7. Στη σοφίτα του σπιτιού του παρακάτω σχήματος θέλουμε να τοποθετήσουμε μια βιβλιοθήκη

ύψους 2,10 m. Γνωρίζουμε ότι η πρόσοψη του σπιτιού έχει μήκος 7 m και η περίμετρος της σκε-

πής (δηλαδή το άθροισμα των ίσων πλευρών της τριγωνικής σκεπής) είναι 65 m. Μπορούμε να

τοποθετήσουμε τη βιβλιοθήκη;

7 m

[62]

3.1 Η έννοια της συνάρτησης

Η συνάρτηση είναι μια από τις βασικότερες έννοιες που συναντάμε σε όλους τους κλάδους των

μαθηματικών. Το πιο σημαντικό όμως είναι ότι οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται πάρα πολύ συχνά

σε δραστηριότητες της καθημερινότητάς μας.

Παράδειγμα 1 : Ο μηνιαίος μισθός των υπαλλήλων σε μια εταιρεία τηλεφωνικών πωλήσεων υπολο-

γίζεται ως εξής: Κάθε υπάλληλος αμείβεται με βασικό μισθό 450 € και κερδίζει επι-

πλέον 30 € για κάθε πώληση που κάνει.

α) Ποιος θα είναι ο μισθός ενός υπαλλήλου που θα κάνει 6 τηλεφωνικές πωλήσεις

σε ένα μήνα;

β) Να εκφράσετε το μηνιαίο μισθό y ενός υπαλλήλου ως συνάρτηση των x πωλή-

σεων που θα πετύχει.

γ) Πόσες πωλήσεις έχει κάνει ένας υπάλληλος σε ένα μήνα, αν ο μισθός του είναι

750 €;

Λύση

α) Κάθε υπάλληλος πληρώνεται με βασικό μισθό 450 €, ανεξαρτήτως των πωλήσεων που επιτυγχά-

νει. Για κάθε πώληση ο κάθε υπάλληλος παίρνει επιπλέον 30 €. Άρα ο μηνιαίος μισθός ενός υπαλλή-

λου που θα κάνει 6 τηλεφωνικές πωλήσεις είναι:

630180450306450 €

β) Με x πωλήσεις το μήνα, ο υπάλληλος θα έχει μισθό: x30450y .

Με τη σχέση αυτή κάθε τιμή της μεταβλητής x (δηλαδή του αριθμού πωλήσεων που κάνει ο υπάλ-

ληλος) αντιστοιχίζεται σε μια μοναδική τιμή της μεταβλητής y (δηλαδή του μισθού που παίρνει). Μια


Συναρτήσεις

[63]

τέτοια σχέση στα μαθηματικά ονομάζεται συνάρτηση. Μπορούμε επομένως να λέμε απλά ότι έχουμε

ορίσει τη συνάρτηση x30450y .

γ) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση x30450y , θέτουμε 750y κι έχουμε:

x30450750

750450x30

300x30

30

300x

10x

Άρα ο υπάλληλος έχει κάνει 10 πωλήσεις το μήνα

ΟΡΙΣΜΟΣ : Συνάρτηση ονομάζεται η διαδικασία με την οποία κάθε τιμή της μεταβλητής x

αντιστοιχίζεται σε μία μοναδική τιμή της μεταβλητής y.

Πολλές φορές λέμε ότι η μεταβλητή y εκφράζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής x.

Για κάθε συνάρτηση μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν πίνακα τιμών, δηλαδή έναν πίνακα στον

οποίον αντιστοιχίζονται οι τιμές των μεταβλητών x και y.

π.χ για τη συνάρτηση x2y έχουμε:

για 1x προκύπτει κάνοντας αντικατάσταση στη συνάρτηση: 212y

για 0x προκύπτει 002y




Τα ζεύγη των τιμών αυτών μπορούν να παρασταθούν με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα:

x 1 0 1 2 5

y 2 0 2 4 10

Ο παραπάνω πίνακας λέγεται πίνακας τιμών της συνάρτησης x2y .

[64]


Ένα κατάστημα ένδυσης κατά την περίοδο των εκπτώσεων μειώνει τις τιμές των προϊόντων της κατά

15%. Να γράψετε τη συνάρτηση που δίνει τη νέα τιμή των προϊόντων y ως συνάρτηση της παλιάς

τους τιμής x.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Παράδειγμα 2 : Δίνεται η συνάρτηση 2xy . Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών:

x 3 1 5

y 2 14

Λύση

Για 3x έχουμε: 5232)3(y

Για 1x έχουμε: 3212)1(y

Για 2y έχουμε: 2x2 άρα λύνοντας την εξίσωση που προκύπτει έχουμε:

22x

0x

Για 5x έχουμε: 325y

Για 14y έχουμε: 2x14

214x

16x

Επομένως ο πίνακας τιμών της συνάρτησης συμπληρωμένος γίνεται:

x 3 1 0 5 16

y 5 3 2 3 14

[65]


Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης 22

xy

x 4 2 8

y 2 3

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Παράδειγμα 3 : Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις x και y έχει περίμετρο 20 cm. Να

εκφράσετε την πλευρά y ως συνάρτηση της πλευράς x. Αν 5x cm τι παρατηρείτε;

Λύση

Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι 20y2x2

Λύνουμε τη σχέση ως προς y κι έχουμε: x220y2

2

x220y

2

x102y

x10y

Αν 5x cm τότε 5510y cm επομένως το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο.

[66]

Παράδειγμα 4 : Δίνεται τετράγωνο πλευράς x. Να εκφράσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του

τετραγώνου ως συνάρτηση του x. Στη συνέχεια να συμπληρώσετε τον παρακάτω

πίνακα τιμών:

x 1 2 3 4 10

Π

Ε

Λύση

Αν Π είναι η περίμετρος και Ε το εμβαδόν του τετραγώνου τότε:

x4Π και 2xΕ

Συμπληρώνοντας τον πίνακα τιμών με τη βοήθεια των συναρτήσεων για την περίμετρο και το εμβα-

δόν, έχουμε:

x 1 2 3 4 10

Π 4 8 12 16 40

Ε 1 4 9 16 100

Παράδειγμα 5 : Παρακάτω δίνεται πίνακας τιμών της συνάρτησης βxαy . Να προσδιορίσετε τα

α και β.

x 0 1

y 2 4

Λύση

Για 0x γνωρίζουμε ότι 2y άρα: β0α2

β2

Για 1x γνωρίζουμε ότι 4y άρα: 21α4

α24

2α

Άρα η συνάρτηση είναι 2x2y

[67]

Ασκήσεις

1. Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών των παρακάτω συναρτήσεων:

α) 1x2xy 2

x 1 0 1 2 3

y

β) x2xy 3

x 2 1 0 1 2

y

γ) 4xx4y

x 2 1 0 1 2

y


α) x

2y

x 2 1 1 2 4

y

β) 1xy

x 0 3 8 15 24

y


α) y=4x+2 β) y=2x+3 γ) y=5

2x1

x 2 0 1 3 x 3 1 1 2 x 10 5 2 20

y y y

[68]


α) y=x2+2 β) y=x

2+1 γ) y=

x

51

x 4 1 1 2 x 2 1 1 2 x 1 0,5 1 5

y y y

5. Ο πίνακας τιμών της συνάρτησης βxαxy 2 είναι ο παρακάτω:

x 0 2

y 1 5

Να προσδιορίσετε τις τιμές των α και β.

6. Ο παρονομαστής y ενός κλάσματος είναι τριπλάσιος του αριθμητή x. Να εκφράσετε τον παρονο-

μαστή y ως συνάρτηση του αριθμητή x.

7. Ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 80 km/h. Να εκφράσετε την απόσταση S που διανύει το αυ-

τοκίνητο ως συνάρτηση του χρόνου t.

8. Τα παρακάτω σχήματα παριστάνουν πυραμίδες με βάση τρίγωνο, τετράπλευρο, πεντάγωνο, εξά-

γωνο.

Αν συνεχίζουμε να αυξάνουμε τον αριθμό των πλευρών της βάσης των πυραμίδων, να συμπλη-

ρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Αριθμός πλευρών βάσης x 3 4 5 6 7

Αριθμός κορυφών πυραμίδας y

Να γράψετε τον αριθμό των κορυφών της πυραμίδας y ως συνάρτηση του αριθμού πλευρών της

βάσης x.

(Η άσκηση βασίζεται σε δραστηριότητα που προτείνεται από τις οδηγίες διδασκαλίας των Μαθη-

ματικών Β΄ Γυμνασίου για το σχολικό έτος 2018-2019 - Πηγή: www.minedu.gov.gr)

[69]

3.2 Καρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική παράσταση

Καρτεσιανές συντεταγμένες – Σύστημα συντεταγμένων

Για να κατανοήσουμε την έννοια των συντεταγμένων, ας δούμε προσεκτικά τον παρακάτω χάρτη

που απεικονίζει μια περιοχή της Θεσσαλονίκης. Χωρίσαμε το χάρτη σε μικρά τετράγωνα για να

μπορέσουμε να προσδιορίσουμε τη θέση βασικών σημείων της πόλης.

Αν έχουμε ως σημείο εκκίνησης στον χάρτη το γήπεδο του ΠΑΟΚ τότε για να προσδιορίσουμε τη

θέση του Λευκού Πύργου, πρέπει να μετακινηθούμε 6 τετράγωνα αριστερά και 4 τετράγωνα πάνω,

άρα (6, 4). Αντιστοίχως για να εντοπίσουμε την περιοχή της Τριανδρίας (ξεκινώντας από την ίδια

θέση), θα πρέπει να μην μετακινηθούμε δεξιά ή αριστερά παρά μόνο 3 τετράγωνα πάνω, άρα (0, 3).

Με τον τρόπο που περιγράψαμε παραπάνω, μπορούμε να εντοπίσουμε τη θέση οποιοδήποτε ση-

μείου πάνω σε ένα χάρτη, κάνοντας δύο κινήσεις. Μια μετακίνηση αριστερά ή δεξιά από το σημείο

αναφοράς και μία μετακίνηση πάνω ή κάτω από το σημείο αναφοράς.

Όσα περιγράψαμε παραπάνω τα εφαρμόζουμε στα μαθηματικά προκειμένου να εντοπίσουμε τη

θέση οποιουδήποτε σημείου του επιπέδου. Πιο συγκεκριμένα:

[70]

Σχεδιάζουμε δυο κάθετους άξονες xx και yy με κοινή αρχή Ο και ίδιες μονάδες μέτρησης. Για

οποιοδήποτε σημείο Α του επιπέδου, φέρνουμε μια κάθετη ευθεία προς τον άξονα xx και εντοπίζου-

με σε ποιον αριθμό του xx αντιστοιχίζεται το σημείο Α. Στη συνέχεια φέρνουμε μια κάθετη ευθεία

προς τον άξονα yy και εντοπίζουμε σε ποιον αριθμό του yy αντιστοιχίζεται το σημείο Α. Οι δύο

αυτοί αριθμοί προσδιορίζουν τη θέση του σημείου Α και ονομάζονται συντεταγμένες του σημείου Α.

Ας δούμε το παρακάτω σχήμα:

Το σημείο Α αντιστοιχίζεται στο ζεύγος των αριθμών (2, 4). Πρέπει να προσέχουμε πολύ διότι

πάντοτε ο πρώτος αριθμός είναι ο αριθμός που αντιστοιχεί στον οριζόντιο άξονα και ο δεύτερος

αριθμός είναι αυτός που αντιστοιχεί στον κατακόρυφο άξονα.

Ο αριθμός 2 (δηλαδή ο 1ος

αριθμός) λέγεται τετμημένη του σημείου Α και ο αριθμός 4 (δηλαδή ο

2ος

αριθμός) λέγεται τεταγμένη του Α. Το ζεύγος (2, 4) αποτελεί τις συντεταγμένες του σημείου Α.

Αλλά και αντίστροφα αν μας δώσουν ένα ζεύγος αριθμών, μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε σε ένα

μοναδικό σημείο του επιπέδου. Για παράδειγμα το ζεύγος (2, 3) το αντιστοιχίζουμε στο σημείο Β

(όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα) ακολουθώντας την αντίστροφη διαδικασία. Δηλαδή,

εντοπίζουμε πρώτα τον αριθμό 2 στον άξονα xx και φέρνουμε μια κάθετη ευθεία προς αυτόν, στη

συνέχεια εντοπίζουμε τον αριθμό 3 στον άξονα yy και φέρνουμε μια κάθετη ευθεία προς αυτόν και

τέλος βρίσκουμε το σημείο στο οποίο συναντιούνται οι δύο κάθετες, που είναι και το ζητούμενο

σημείο. Δηλαδή:

[71]

Συμπεραίνουμε συνεπώς ότι:

Κάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα ζεύγος συντεταγμένων και αντίστροφα κάθε

ζεύγος αριθμών αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του επιπέδου.

Οι άξονες xx και yy του επιπέδου λέμε ότι αποτελούν ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων ή απλώς

ένα σύστημα συντεταγμένων. Ειδικότερα, όταν στους δύο άξονες οι μονάδες μέτρησης έχουν το ίδιο

μήκος, το σύστημα των αξόνων λέγεται ορθοκανονικό.

Κάθε σύστημα συντεταγμένων χωρίζει το επίπεδο σε τέσσερα μέρη ή όπως αλλιώς λέμε σε τέσσερα

τεταρτημόρια, όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα:

[72]


Να βρείτε τι είδους πρόσημο έχουν οι συντεταγμένες ενός σημείο που βρίσκεται:

α) στο 1ο τεταρτημόριο

β) στο 2ο τεταρτημόριο

γ) στο 3ο τεταρτημόριο

δ) στο 4ο τεταρτημόριο

Παράδειγμα 1 : Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ του παρακάτω

σχήματος.

Λύση

Α(1, 3), Β(2, 2), Γ(1, 2), Δ(2, 1), Ε(3, 0) και Ζ(0, 1)

Πρέπει να προσέξουμε ότι:

κάθε σημείο του άξονα xx έχει τεταγμένη 0, δηλαδή έχει συντεταγμένες της μορφής (x, 0)

κάθε σημείο του άξονα yy έχει τετμημένη 0, δηλαδή έχει συντεταγμένες της μορφής (0, y)

[73]


Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ , Δ, Ε και Ζ στο παρακάτω σχήμα:

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Παράδειγμα 2 : Να βρείτε τα συμμετρικά του σημείου Α(1, 3) ως προς:

α) τον άξονα xx

β) τον άξονα yy

γ) την αρχή των αξόνων

Λύση

α) Για να βρούμε το συμμετρικό του σημείου Α(1, 3) ως προς τον

άξονα xx , φέρνουμε από το σημείο Α κάθετο ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ

προς τον xx και το προεκτείνουμε κατά ίσο τμήμα ΜΒ. Το σημείο

Β(1, 3) είναι το συμμετρικό του Α ως προς τον άξονα xx .

[74]

β) Για να βρούμε το συμμετρικό του σημείου Α(1, 3) ως προς τον

άξονα yy , φέρνουμε από το σημείο Α κάθετο ευθύγραμμο τμήμα ΑΝ

προς τον yy και το προεκτείνουμε κατά ίσο τμήμα ΝΓ. Το σημείο

Γ(1, 3) είναι το συμμετρικό του Α ως προς τον άξονα yy .

`

γ) Για να βρούμε το συμμετρικό του σημείου Α(1, 3) ως προς την αρχή των

αξόνων, φέρνουμε το τμήμα ΑΟ και το προεκτείνουμε κατά ίσο τμήμα ΟΔ.

Το σημείο Δ(1, 3) είναι το συμμετρικό του Α ως προς την αρχή των αξόνων.

Συνοψίζουμε τα συμπεράσματα του παραδείγματος 2:

Το συμμετρικό του σημείου Α(x, y) ως προς τον άξονα xx είναι Β(x, y).

Το συμμετρικό του σημείου Α(x, y) ως προς τον άξονα yy είναι Γ(x, y).

Το συμμετρικό του σημείου Α(x, y) ως προς τον άξονα yy είναι Δ(x, y).


Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

Συμμετρικό ως

προς τον xx

Συμμετρικό ως

προς τον yy Συμμετρικό ως προς το O(0,0)

A(2, 5)

B(3, 8)

[75]

Παράδειγμα 3 : Να υπολογίσετε την απόσταση των σημείων Α(3, 1) και Β(1, 4).

Λύση

Πάνω σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων τοπο-

θετούμε τα σημεία Α και Β. Φέρνουμε κάθετη ευθεία από το Α

προς τον άξονα yy και από το Β προς τον xx . Ονομάζουμε Γ

το σημείο που τέμνονται οι δυο ευθείες και έτσι σχηματίσαμε το

ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

Με τη βοήθεια των αξόνων στο σύστημα συντεταγμένων

διαπιστώνουμε ότι τα μήκη των πλευρών ΑΓ και ΒΓ είναι:

4ΑΓ και 3ΒΓ

Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα στο ΑΒΓ κι έχουμε:

222 ΒΓΑΓΑΒ

222 34ΑΒ

25ΑΒ2

525ΑΒ

Γενικεύοντας το παράδειγμα 3, η απόσταση δύο σημείων Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δίνεται από την

σχέση:

212

2

12 yyxxΑΒ

Παράδειγμα 4 : Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(2, 4), Β(4, 0) και Γ(0, 2) σχηματίζουν ορθογώνιο

τρίγωνο.

Λύση

Βρίσκουμε τα μήκη των τμημάτων ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ.

20164424024ΑΒ2222

20416240240ΒΓ2222

40364622402ΓΑ 2222

Εξετάζουμε αν ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ:

4020202020ΒΓΑΒ2222

4040ΓΑ22

Άρα 222 ΒΓΑΒΓΑ οπότε ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με

υποτείνουσα την πλευρά ΓΑ.

[76]

Γραφική παράσταση συνάρτησης

Παράδειγμα 5 : Δίνεται η συνάρτηση x2xy 2 .

α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών:

x 1 0 1 2 3

y

β) Να τοποθετήσετε τα σημεία (x, y) που προκύπτουν από τον παραπάνω πίνακα τι-

μών σε ένα σύστημα συντεταγμένων.

γ) Να ενώσετε τα σημεία που βρήκατε.

Λύση

α) Κάνοντας τις ανάλογες πράξεις, συμπληρώνουμε των πίνακα τιμών της συνάρτησης κι έχουμε:

x 1 0 1 2 3

y 3 0 1 0 3

β)

γ) Αν ενώσουμε τα σημεία του προηγούμενου σχήματος με ευθύγραμμα τμήματα, προκύπτει το

σχήμα:

[77]

Αν στον πίνακα τιμών της συνάρτησης, πάρουμε περισσότερες τιμές (δηλαδή θεωρητικά αν δημιουρ-

γήσουμε έναν πίνακα τιμών για όλες τις πραγματικές τιμές του x) τότε θα σημειώσουμε στο σύστημα

αξόνων περισσότερα σημεία και το σχήμα που θα προκύψει θα έχει τη μορφή:

Η γραμμή που δημιουργήσαμε τελικά στο παράδειγμα 5, ονομάζεται γραφική παράσταση της συ-

νάρτησης.

ΟΡΙΣΜΟΣ Αν έχουμε μια συνάρτηση με την οποία ένα μέγεθος y εκφράζεται ως συνάρτηση ενός

άλλου μεγέθους x, τότε ονομάζουμε γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής το

σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες (x, y).

Η γραφική παράσταση δίνει μια εποπτική εικόνα της συνάρτησης και μας βοηθάει να βγάλουμε

χρήσιμα συμπεράσματα και πληροφορίες για τη σχέση των μεταβλητών x και y.

Παράδειγμα 6 : Να εξετάσετε αν το σημείο Α(2, 6) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

2x4y

Λύση

Ένα σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης αν οι συντεταγμένες του επαληθεύ-

ουν τον τύπο της. Αντικαθιστούμε συνεπώς την τετμημένη του σημείου στη θέση του x, την τεταγμέ-

νη του σημείου στη θέση του y και εξετάζουμε αν η ισότητα που προκύπτει από τον τύπο της συνάρ-

τησης ισχύει. Δηλαδή για το σημείο Α(2, 6) και τη συνάρτηση 2x4y έχουμε :

2246

286

66 (ισχύει)

Άρα το σημείο Α(2, 6) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 2x4y .

[78]

Βλέποντας στο παρακάτω σχήμα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης επαληθεύουμε το συμπέρα-

σμα που ήδη βγάλαμε, δηλαδή ότι το σημείο Α(2, 6) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

2x4y .

Παράδειγμα 7 : Να εξετάσετε αν το σημείο Α(1, 2) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης

2xy .

Λύση

Παρατηρούμε ότι: 212

12 (δεν ισχύει)

Άρα το σημείο Α(1, 2) δεν ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 2xy .

[79]

Παράδειγμα 8 : Δίνεται ο πίνακας τιμών μιας συνάρτησης:

x 1 0 1

y 2 0 2

α) Ο παραπάνω πίνακας τιμών μπορεί να αντιστοιχεί στη συνάρτηση x2y ;

β) Το παρακάτω σχήμα αποτελεί τη γραφική παράσταση της συνάρτησης x2y ;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας

γ) Ο πίνακας τιμών που δόθηκε αρχικά μπορεί να αντιστοιχεί στη συνάρτηση

)1x(x)1x(x2y ;

Το σχήμα του β΄ ερωτήματος μπορεί να αποτελεί τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης )1x(x)1x(x2y ;

Λύση

α) Για 1x έχουμε: 2)1(2y



Άρα οι τιμές του πίνακα που δίνονται επαληθεύουν τη συνάρτηση x2y . Επομένως ο πίνακας που

δίνεται μπορεί να αποτελεί πίνακα τιμών της συνάρτησης x2y ,

β) Το σχήμα που δίνεται αποτελεί τη γραφική παράσταση της συνάρτησης x2y διότι παρατηρούμε

πως σε όλα τα σημεία της γραμμής οι τεταγμένες είναι διπλάσιες από τις τετμημένες τους. Άρα τα

σημεία της γραμμής που δίνεται έχουν συντεταγμένες που επαληθεύουν τη συνάρτηση x2y .

γ) Για 1x έχουμε: 2)11()1()11()1(2y

Για 0x έχουμε: 0)10(0)10(02y

Για 1x έχουμε: 2)11(1)11(12y

Άρα οι τιμές του πίνακα που δίνονται επαληθεύουν τη συνάρτηση )1x(x)1x(x2y .

[80]

Παρατηρούμε ότι το σημείο Α(2, 4) ανήκει στο σχήμα που δίνεται στο ερώτημα β΄. Όμως το σημείο

Α(2, 4) δεν ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης )1x(x)1x(x2y , διότι:

)12(2)12(224

12344

104 (δεν ισχύει)

Άρα η συνάρτηση )1x(x)1x(x2y δεν μπορεί να έχει ως γραφική παράσταση το σχήμα

που δίνεται στο β΄ ερώτημα.




Η παρακάτω γραφική παράσταση δείχνει τη θερμοκρασία Τ (σε βαθμούς Κελσίου) ενός τόπου κατά

τη διάρκεια ενός 24ώρου.

α) Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη θερμοκρασία; Ποια ώρα του 24ώρου συμβαίνουν;

Ποια σημεία της γραφικής παράστασης δείχνουν την ελάχιστη και τη μέγιστη θερμοκρασία;

β) Ποια είναι η θερμοκρασία στις 2 τη νύχτα, στις 2 το μεσημέρι και στις 11 το βράδυ; Ποια ώρα η

θερμοκρασία είναι 6οC;

γ) Τι εκφράζει με βάση το πρόβλημα το σημείο (20,9) της γραφικής παράστασης;

δ) Ποιες άλλες πληροφορίες μπορούμε να αντλήσουμε από αυτή τη γραφική παράσταση;

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[81]

Ασκήσεις

1. Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων να τοποθετήσετε τα σημεία Α(2, 1), Β(0, 1), Γ(0, 2),

Δ(3, 3), Ε(4, 2), Z(5, 4), H(4, 5) και Ο(0, 0)

2. Δίνεται το σημείο Σ(3, 2). Να βρείτε το συμμετρικό του ως προς:

α) τον άξονα xx β) τον άξονα yy γ) την αρχή των αξόνων

3. Δίνεται το σημείο Ρ(4, 1). Να βρείτε το συμμετρικό του ως προς:

α) τον άξονα xx β) τον άξονα yy γ) την αρχή των αξόνων

4. Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων:

α) Α(1, 4) και Β(2, 3) β) Γ(2, 4) και Δ(3, 4)

5. Να βρείτε την απάσταση του σημείου Α(2, 6) από τους άξονες.

6. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(4, 2), Β(2, 12) και Γ(2, 6) σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.

[82]

7. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(2, 2), Β(0,1) και Γ(3, 3) σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.

8. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(1, 2), Β(3, 1) και Γ(1, 1) σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο.

9. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(1, 1), Β(0,1) και Γ(2, 1) σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο.

10. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α(5, 2), B(2, 5), Γ(1, 2) σχηματίζουν ορθογώνιο και ισοσκελές

τρίγωνο.

11. Δίνονται τα σημεία Α(2, 2), B(1, 3) και Γ(2, 0).

α) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ.

β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου.

12. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησης:

x 2 1 0 1 2

y

[83]

13. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησης:

x 2 0 2

y

14. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βx)1α(y 2 διέρχεται από τα σημεία Α(0, 2)

και Β(1, 1). Να προσδιορίσετε τους αριθμούς α και β.

15. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 1xαxy 3 διέρχεται από τo σημείο Α(1, 2).

Να προσδιορίσετε το α και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της:

x 1 0 3

y 13

[84]

3.3 Η συνάρτηση y=ax

Ανάλογα ποσά

ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ποσά λέγονται ανάλογα, εάν μεταβάλλονται με τέτοιο τρόπο, που όταν οι τιμές

του ενός πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό τότε και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου

να πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό.

Δυο ποσά x και y θα είναι συνεπώς ανάλογα, όταν οι αντίστοιχες τιμές τους δίνουν πάντα το ίδιο

πηλίκο. Δηλαδή: αx

y ή xαy .

Επομένως κάθε συνάρτηση της μορφής xαy εκφράζει τη σχέση που συνδέει δυο ανάλογα ποσά.

Παράδειγμα 1 : Τα 3

2 του ανθρώπινου σώματος αποτελείται από νερό. Με βάση την πληροφορία

αυτή, να συμπληρώσετε τον πίνακα:

Μάζα ανθρώπου σε Kg (x) 60 75 81

Μάζα νερού σε Kg (y) 60

Ποια σχέση συνδέει τα δύο ποσά;

Λύση

Εφόσον τα 3

2 του ανθρώπινου σώματος αποτελείται από νερό, διαπιστώνουμε ότι:

αν 60x Kg τότε 40603

2y Kg


2y Kg


2y Kg

αν 60y Kg τότε 902

360

3

2:60x Kg

[85]

Άρα ο πίνακας τιμών γίνεται:

Μάζα ανθρώπου σε Kg (x) 60 75 81 90

Μάζα νερού σε Kg (y) 40 50 54 60

Διαιρώντας τις αντίστοιχες τιμές των δύο ποσών έχουμε:

3

2

90

60

81

54

75

50

60

40

Επιβεβαιώνουμε δηλαδή ότι όταν δυο ποσά είναι ανάλογα, τότε οι αντίστοιχες τιμές τους δίνουν

πάντοτε το ίδιο πηλίκο, δηλαδή αx

y .

Γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx

Παράδειγμα 2 : Δίνεται η συνάρτηση x2y . Nα συμπληρώσετε τον πίνακα:

x 2 1 0 1 2

y

Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Λύση

Aν 2x τότε 4)2(2y

Aν 1x τότε 2)1(2y

Aν 0x τότε 002y



Άρα ο πίνακας τιμών γίνεται:

x 2 1 0 1 2

y 4 2 0 2 4

Σημειώνουμε σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων τα σημεία που προκύπτουν από τον πί-

νακα τιμών.

[86]

Ενώνοντας στη συνέχεια τα σημεία αυτά, παίρνουμε το παρακάτω σχήμα:

Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης x2y είναι ευθεία γραμμή που διέρχεται από την

αρχή των αξόνων.

[87]

Οδηγούμαστε συνεπώς στο παρακάτω συμπέρασμα:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης xαy είναι μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των

αξόνων.

Όταν αναφερόμαστε στην ευθεία που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης xαy , τότε λέμε:

«η ευθεία με εξίσωση xαy » ή απλώς «η ευθεία xαy »

Ο αριθμός α ονομάζεται κλίση της ευθείας xαy ή συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας xαy .

Ειδικότερα:

ο άξονας xx είναι η ευθεία με εξίσωση 0y

ο άξονας yy είναι η ευθεία με εξίσωση 0x

Η κλίση της ευθείας xαy , δηλαδή ο αριθμός α, ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας που σχημα-

τίζει η ευθεία με τον οριζόντιο θετικό ημιάξονα. Δηλαδή:

εφωα

Παράδειγμα 3 : Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτή-

σεων x2y και x2

3y .

Λύση

Οι συναρτήσεις των οποίων θέλουμε να κατασκευάσουμε τις γραφικές παραστάσεις, είναι της μορ-

φής xαy . Άρα οι γραφικές τους παραστάσεις θα είναι ευθείες που θα διέρχονται από την αρχή των

αξόνων. Για να κατασκευάσουμε μια ευθεία χρειάζεται να γνωρίζουμε δύο σημεία της. Για αυτόν το

[88]

λόγο κατασκευάζουμε για κάθε μια συνάρτηση έναν πίνακα τιμών από τον οποίο θα προκύψουν τα

δύο σημεία που χρειαζόμαστε για την κάθε γραφική παράσταση.

Για τη συνάρτηση x2y :

x 0 1

y 0 2

Άρα τα σημεία είναι (0, 0) και (1, 2)

Για τη συνάρτηση x2

3y :

x 0 2

y 0 3


Τοποθετούμε τα σημεία για την κάθε συνάρτηση στο σύστημα συντεταγμένων και ενώνοντάς τα,

προκύπτουν οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις (ευθείες), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Με τη βοήθεια του παραδείγματος 3 οδηγούμαστε στα παρακάτω συμπεράσματα:

Αν 0α τότε η ευθεία xαy βρίσκεται στο 1ο 3

ο τεταρτημόριο

Αν 0α τότε η ευθεία xαy βρίσκεται στο 2ο 4

ο τεταρτημόριο

[89]


Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων xy και

xy . Τι παρατηρείτε για τη θέση των ευθειών που σχεδιάσατε ως προς τις γωνίες των αξόνων;

Παράδειγμα 4 : Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το

σημείο Α(2, 6).

Λύση

Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, άρα η εξίσωσή της (δηλαδή η συνάρτηση της οποίας

η ευθεία αποτελεί γραφική παράσταση) είναι της μορφής xαy .

Οι συντεταγμένες του σημείου Α(2, 6) επαληθεύουν την εξίσωσή της, δηλαδή:

α26

6α2

2

6

2

α2

3α

Άρα η εξίσωση της ευθείας είναι: x3y

[90]

Παράδειγμα 5 : Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα 60 km/h. Να εκφράσετε το διάστη-

μα S που διανύει το αυτοκίνητο ως συνάρτηση του χρόνου t.

Λύση

Τα ποσά του διαστήματος S που διανύει το αυτοκίνητο και του χρόνου t που κινείται είναι ανάλο-

γα. Άρα ο λόγος τους είναι σταθερός και ισχύει:

t

Su (u συμβολίζουμε την ταχύτητα του αυτοκινήτου)

t

S60

t60S

Παράδειγμα 6 : Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης x2y ,

αν 2x1 .

Λύση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης x2y είναι ως γνωστόν ευθεία. Όμως για τις τιμές του x

πρέπει να ισχύει ότι 2x1 . Στις περιπτώσεις που υπάρχει τέτοιου είδους συνθήκη για την μετα-

βλητή x τότε ο πίνακας τιμών που κατασκευάζουμε για τη συνάρτηση καλό θα είναι να περιέχει τις

ακραίες τιμές που παίρνει το x. Άρα:

x 1 2

y 2 4


[91]

Παράδειγμα 7 : Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας του παρακάτω σχήματος

Λύση

Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, άρα η εξίσωσή είναι της μορφής xαy . Το σημείο

Α(4, 3) ανήκει στην ευθεία, άρα ισχύει: α43

4

α4

4

3

4

3α

Επομένως η εξίσωση της ευθείας είναι x4

3y

Παράδειγμα 8 : Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει

κλίση 4. Στη συνέχεια να τη σχεδιάσετε.

Λύση

Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, άρα η εξίσωσή της είναι της μορφής xαy . Εφόσον η

κλίση της ευθείας είναι 4α , έχουμε: x4y .

Κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης:

x 0 1

y 0 4


[92]

Παράδειγμα 9 : Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχη-

ματίζει με τον οριζόντιο άξονα γωνία 060ω

. Στη συνέχεια να τη σχεδιάσετε.

Λύση

Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, άρα η εξίσωσή της είναι της μορφής xαy . Εφόσον η

ευθεία σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα γωνία ο60ω

, ισχύει: 360εφεφωα ο

Άρα η εξίσωση της ευθείας είναι x3y

Κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης:

x 0 1

y 0 3

Άρα τα σημεία είναι (0, 0) και (1, 3 ), οπότε:

[93]

Ασκήσεις

1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αναλόγων ποσών.

x 2 3 6

y 1 5 6

α) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x.

β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

2. Σε ένα κατάστημα ηλεκτρονικών συσκευών γίνεται έκπτωση 25% στις τιμές όλων των προϊό-

ντων.

α) Να εκφράσετε τη νέα τιμή y ενός προϊόντος ως συνάρτηση της αρχικής του τιμής x.

β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

γ) Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, να βρείτε την νέα τιμή μιας ηλεκτρονικής συ-

σκευή όταν η αρχική της τιμή ήταν 8 €.

3. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

α) y=2

1x β) y=

5

4 x

γ) y= 1,5x δ) y= 2 x

4. Να κατασκευάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

α) y = 2x, αν 0

x

5

β) y=4

1x, αν x4

γ) y= 5x, αν

x

1

5. Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης που η γραφική της παράσταση είναι ευθεία που

διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο Α(1,3).


διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο Α(2,5).


διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα γωνία 600.

[94]

8. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει γωνία 450 με τον οριζόντιο άξονα

και διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

9. Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο Α(3, 3 ). Να βρείτε τη γωνία

που σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα.

10. Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο Α(1, 1). Να βρείτε τη γωνία

που σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα.

11. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε1 και ε2 του παρακάτω σχήματος.

12. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε1 και ε2 του παρακάτω σχήματος. Τι είδους γωνία

σχηματίζουν;

[95]

3.4 Η συνάρτηση y=ax+β

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης βxαy , όπου x είναι πραγματικός αριθμός και 0β ,

είναι μια ευθεία παράλληλη προς τη γραφική παράσταση της συνάρτησης xαy και τέμνει τον

άξονα yy στο σημείο (0, β).

Παράδειγμα 1 : Η εταιρεία ύδρευσης χρεώνει με 0,5 € κάθε κυβικό μέτρο νερού που καταναλώ-

νουμε.

α) Αν ονομάσουμε x τα κυβικά μέτρα νερού που καταναλώνουμε και y το αντί-

στοιχο ποσό πληρωμής σε €, να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

Κυβικά μέτρα x 10 20 50

Ποσό πληρωμής y 15 30

β) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x και να σχεδιάσετε τη γραφική παρά-

σταση της συνάρτησης.

γ) Αν η εταιρεία ύδρευσης χρεώνει 15 € πάγιο το μήνα, να συμπληρώσετε τον πα-

ρακάτω πίνακα με το νέο ποσό πληρωμής y έπειτα από την προσθήκη του παγίου.

Κυβικά μέτρα x 10 20 50

Ποσό πληρωμής y 30 45

δ) Να εκφράσετε το y ως συνάρτηση του x και να σχεδιάσετε τη γραφική παρά-

σταση της νέας συνάρτησης στο ίδιο σύστημα αξόνων με την προηγούμενη.

ε) Τι παρατηρείτε για τις δύο γραφικές παραστάσεις;

Λύση

α) Γνωρίζουμε ότι για κάθε κυβικό μέτρο νερού πληρώνουμε 0,5 €, άρα:

για 10x το ποσό πληρωμής θα είναι 55,010y


για 15y τα κυβικά μέτρα νερού που καταναλώθηκαν θα είναι 5,0x15 άρα 30x



[96]

Κυβικά μέτρα x 10 20 30 50 60

Ποσό πληρωμής y 5 10 15 25 30

β) Τα ποσά x και y είναι προφανώς ανάλογα με 5,0x

y άρα x5,0y

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι:

γ) Γνωρίζουμε ότι για κάθε κυβικό μέτρο νερού πληρώνουμε 0,5 € και επιπλέον 15 € πάγιο άρα:






Κυβικά μέτρα x 10 20 30 50 60

Ποσό πληρωμής y 20 25 30 40 45

δ) Η νέα συνάρτηση που συνδέει τα δύο ποσά είναι: 15x5,0y

Η γραφική παράσταση της νέας συνάρτησης στο ίδιο σύστημα αξόνων με την προηγούμενη είναι:

[97]

ε) Παρατηρούμε ότι οι δύο γραφικές παραστάσεις είναι ευθείες παράλληλες μεταξύ τους. Η ευθεία

15x5,0y παρατηρούμε επίσης ότι τέμνει τον άξονα yy στο σημείο (0, 15).

Όταν αναφερόμαστε στη γραφική παράσταση της συνάρτησης βxαy , μπορούμε να

λέμε «η ευθεία με εξίσωση βxαy » ή απλώς «η ευθεία βxαy ». Ο αριθμός α είναι

η κλίση της ευθείας βxαy .

Παράδειγμα 2 : Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτή-

σεων x2

1y , 2x

2

1y και 1x

2

1y .

Λύση

Γνωρίζουμε πως οι γραφικές παραστάσεις και των τριών συναρτήσεων είναι ευθείες, άρα κατασκευά-

ζουμε για κάθε μια έναν πίνακα τιμών με δύο σημεία.

[98]

Για τη συνάρτηση x2

1y :

x 0 2

y 0 1

Για τη συνάρτηση 2x2

1y :

x 0 2

y 2 3

Για τη συνάρτηση 1x2

1y :

x 0 2

y 1 0

Παρατηρούμε ότι οι τρεις ευθείες έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης, δηλαδή την ίδια κλίση και

είναι μεταξύ τους παράλληλες. Επίσης παρατηρούμε ότι η ευθεία 2x2

1y βρίσκεται 2 θέσεις πά-

νω από την ευθεία x2

1y και η ευθεία 1x

2

1y βρίσκεται 1 θέση κάτω από την ευθεία x

2

1y .

[99]

Γενικεύοντας τα όσα διαπιστώσαμε στο παράδειγμα 2 έχουμε:

Οι ευθείες που έχουν την ίδια κλίση (ή αλλιώς τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης) είναι μετα-

ξύ τους παράλληλες. Αλλά και αντίστροφα, αν δυο ευθείες είναι παράλληλες τότε έχουν την

ίδια κλίση.

Η ευθεία βxαy είναι παράλληλη προς την ευθεία xαy και βρίσκεται β μονάδες πά-

νω από την xαy αν 0β ή |β| μονάδες κάτω από την xαy αν 0β .

Άρα αν θέλουμε να σχεδιάσουμε σε ένα σύστημα συντεταγμένων την ευθεία βxαy ,

μπορούμε να σχεδιάσουμε αρχικά την ευθεία xαy και στη συνέχεια να την μετατοπίσου-

με β θέσεις πάνω αν 0β ή |β| θέσεις κάτω αν 0β .

Παράδειγμα 3 : Να σχεδιάσετε την ευθεία 5x2y με τη βοήθεια της ευθείας x2y .

Λύση

Κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών της ευθείας x2y .

x 0 2

y 0 4

Σχεδιάζουμε την ευθεία x2y στο σύστημα συντεταγμένων και στη συνέχεια την μετατοπίζουμε

κατά 5 μονάδες προς τα κάτω. Με τον τρόπο αυτό σχεδιάζουμε και την ευθεία 5x2y .

[100]


Στο ίδιο σύστημα να σχεδιάσετε την ευθεία 1x2

1y με τη βοήθεια της ευθείας x

2

1y .

x

y

Παράδειγμα 4 : Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση 2x3y αν 1x2

Λύση

Κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης, φροντίζοντας να συμπεριλάβουμε τις ακραίες

τιμές που παίρνει η μεταβλητή x (δηλαδή το 2 και το 1).

x 2 1

y 4 5

[101]

Παρατηρούμε ότι λόγω του περιορισμού που έχει η μεταβλητή x, η γραφική παράσταση της συνάρτη-

σης δεν είναι ευθεία γραμμή αλλά ευθύγραμμο τμήμα.

Παράδειγμα 5 : Να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης που η γραφική της παράσταση είναι

ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(0, 1) και Β(1, 3).

Λύση

Εφόσον η γραφική παράσταση είναι ευθεία γραμμή, η συνάρτηση θα είναι της μορφής βxαy .

Τα σημεία Α(0, 1) και Β(1, 3) ανήκουν στη γραφική παράσταση, άρα επαληθεύουν τον τύπο της.

Για το σημείο Α(0, 1) έχουμε: β0α1

1β

Για το σημείο Β(1, 3) έχουμε: 11α3

1α3

α13

2α

Επομένως ο τύπος της συνάρτησης είναι: 1x2y

[102]

Ασκήσεις

1. O Γιάννης πήγε με την παρέα του σε ένα ψυχαγωγικό πάρκο με πολλά παιχνίδια. Για την είσοδό

του στο πάρκο πλήρωσε 5 € ενώ για τη συμμετοχή του σε κάθε παιχνίδι πλήρωσε από 3 €. Να εκ-

φράσετε το σύνολο των χρημάτων y που ξόδεψε ο Γιάννης κατά την επίσκεψή του στο ψυχαγω-

γικό πάρκο σε συνάρτηση με τον αριθμό x των παιχνιδιών στα οποία συμμετείχε.

2. Μια εταιρεία σταθερής τηλεφωνίας χρεώνει με 0,25 € το κάθε τηλεφώνημα και επιπλέον σε κάθε

μηνιαίο λογαριασμό συμπεριλαμβάνει πάγια χρέωση 8 €. Να εκφράσετε το ποσό πληρωμής y σε

συνάρτηση με το πλήθος x των τηλεφωνημάτων σε χρονικό διάστημα ενός μήνα. Στη συνέχεια

να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.


α) y = 5x2 β) y = 3x+4

γ) y = 3

2x+1 δ) y =

4

1 x1

ε) y = 2,5x2 στ) 1x5,1y

4. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

α) y = 2x3 β) y = 2x+4

γ) y =2

1x1 δ) y =3x1

ε) y= 22 x στ) y= 1x3

5. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

α) y = x, y = x+2 και y = x2 β) y= 2

1x, y =

2

1x

2

1 και y =

2

1x+2

6. Να κατασκευάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

α) y = 5x, y = 5x2, y = 5

1x+1

β) y = 2x, y = 2x+1, y = 2

1x+4

γ) y = 3

1x, y =

3

1x4, y = 3x+1

[103]


α) y = x+2, αν 2

x

2 β) y = 3x5, αν 0

x

<

5

γ) y =

4

1x+1, αν 4

<

x

<

8 δ) y = 4x1, αν

x

1


α) y= 6x5, αν 1

x

2 β) y = 2x+3, αν 1

<

x

<

1


διέρχεται από τα σημεία Α(0, 5) και Β(2, 1).



11. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης που η γραφική της παράσταση είναι ευθεία γραμμή η οποία





διέρχεται από τα σημεία:

α) Α(0, 1) και Β(2, 3) β) Γ(0, 4) και Δ(2, 8) γ) Ε(3, 0) και Ζ(2, 3)


διέρχεται από το σημείο (0, 5) και είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y = 2x+3.

15. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει γωνία 450 με τον οριζόντιο άξονα

και διέρχεται από το σημείο Α(3, 6).


διέρχεται από το σημείο Α(2, 5) και σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα γωνία 450.

17. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία y = 2x και

διέρχεται από το σημείο Α(1, 4).

[104]

18. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία y = 3x+10 και

διέρχεται από το σημείο Α(1, 4).


διέρχεται από το σημείο Α(2, 5) και είναι παράλληλη στην ευθεία y=2

1x+11.

20. Να προσδιορίσετε την τιμή του λ αν γνωρίζετε ότι η ευθεία y = (λ+3) x+2 είναι παράλληλη

στην ευθεία y = x+2020.

3.5 Η υπερβολή

Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, εάν μεταβάλλονται με τέτοιο τρόπο, που

όταν οι τιμές του ενός πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό τότε οι αντίστοιχες τιμές

του άλλου διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό.

Δυο ποσά x και y θα είναι συνεπώς αντιστρόφως ανάλογα, όταν οι αντίστοιχες τιμές τους δίνουν

πάντα το ίδιο πηλίκο. Δηλαδή: αxy ή x

αy .

Επομένως κάθε συνάρτηση της μορφής x

αy εκφράζει τη σχέση που συνδέει δυο αντιστρόφως

ανάλογα ποσά.

[105]

Παράδειγμα 1 : Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν 6 m2. Να εκφράσετε το πλάτος y

ως συνάρτηση του μήκους x. Κατασκευάστε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης και

σχεδιάστε πρόχειρα τη γραφική της παράσταση.

Λύση

Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος x και πλάτος y έχει εμβαδόν 6xy άρα x

6y .

Διαπιστώνουμε ότι τα ποσά x και y έχουν σταθερό γινόμενο ( 6xy ) άρα είναι αντιστρόφως ανά-

λογα ποσά.

Δημιουργούμε έναν πίνακα τιμών για τη συνάρτηση:

x 6 3 2 1 1 2 3 6

y 1 2 3 6 6 3 2 1

Τοποθετούμε τα σημεία σε ένα σύστημα συντεταγμένων και στη συνέχεια τα ενώνουμε πρόχειρα:

Όσες περισσότερες τιμές πάρουμε για το x στον πίνακα τιμών, τόσα περισσότερα σημεία θα σημειώ-

σουμε στο σύστημα συντεταγμένων και η γραφική παράσταση θα είναι πιο κοντά στην πραγματική

της μορφή. Θεωρητικά για να κατασκευάσουμε την πραγματική γραφική παράσταση θα πρέπει να

δημιουργήσουμε έναν πίνακα τιμών στον οποίο να έχουμε χρησιμοποιήσει όλες τις τιμές που μπορεί

να πάρει η μεταβλητή x (δηλαδή να κατασκευάσουμε έναν πίνακα τιμών με άπειρες τιμές)

Τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης x

6y θα είναι:

[106]

Η γραφική παράσταση που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα ονομάζεται υπερβολή και αποτελείται από

δύο κλάδους.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης x

αy , όπου 0α , λέγεται υπερβολή και αποτελείται από

δύο κλάδους που βρίσκονται:

στο 1ο και το 3

ο τεταρτημόριο αν 0α

στο 2

ο και το 4

ο τεταρτημόριο αν 0α

[107]

Κάθε υπερβολή παρατηρούμε ότι έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων και άξονες συμμετρί-

ας τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων, δηλαδή τις ευθείες xy και xy .

Παράδειγμα 2 : Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις υπερβολές x

4y και

x

4y

Λύση

Για να σχεδιάσουμε μια υπερβολή χρειαζόμαστε έναν πίνακα τιμών με έξι τουλάχιστον τιμές (τρεις

θετικές και τις αντίστοιχες τρεις αρνητικές)

Για την x

4y :

x 4 2 1 1 2 4

y 1 2 4 4 2 1

Για την x

4y :

x 4 2 1 1 2 4

y 1 2 4 4 2 1

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων στο ίδιο σύστημα αξόνων είναι:

[108]

Ασκήσεις


α) y =x

5 β) y =

x

2

γ) y =x

9 δ) y=

x

15

2. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

x

8y και

x

8y .

3. Δίνεται η συνάρτηση x

αy . Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο

Α(2, 3), να προσδιορίσετε το α και στη συνέχεια να χαράξετε τη γραφική της παράσταση.

4. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν 10 m2. Να εκφράσετε το πλάτος y σε συνάρτη-

ση με το μήκος x και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

5. Ένα τρίγωνο έχει εμβαδόν 8 m2. Να εκφράσετε το ύψος σε συνάρτηση με τη βάση του τριγώνου

και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

[109]

4.1 Βασικές έννοιες της Στατιστικής

Παράδειγμα 1 : Σε μία δημοσκόπηση που πραγματοποιήθηκε στην πόλη της Θεσσαλονίκης, ρωτή-

θηκαν 2000 άτομα ποιο κόμμα θα ψηφίσουν στις επερχόμενες βουλευτικές εκλογές.

Τα αποτελέσματα της δημοσκόπησης ήταν τα εξής:

800 άτομα απάντησαν ότι θα ψηφίσουν το κόμμα Α

600 άτομα απάντησαν ότι θα ψηφίσουν το κόμμα Β

400 άτομα απάντησαν ότι θα ψηφίσουν το κόμμα Γ

200 άτομα απάντησαν ότι θα ψηφίσουν το κόμμα Δ

α) Ποιο είναι το ποσοστό που λαμβάνει το κάθε κόμμα στην συγκεκριμένη δημο-

σκόπηση;

β) Είναι αξιόπιστα τα αποτελέσματα της δημοσκόπησης προκειμένου να προβλέ-

ψουμε το αποτέλεσμα των βουλευτικών εκλογών;

Λύση

α) Το ποσοστό των ψήφων που παίρνει το κόμμα Α στη δημοσκόπηση είναι: 404,02000

800 %

Ομοίως για τα υπόλοιπα κόμματα τα ποσοστά είναι:

Για το κόμμα Β: 303,02000

600 %

Για το κόμμα Γ: 202,02000

400 %

Για το κόμμα Δ: 101,02000

200 %


Περιγραφική Στατιστική

[110]

β) Τα αποτελέσματα προφανώς δεν είναι αντιπροσωπευτικά για όλη την ελληνική επικράτεια, διότι η

συμπεριφορά του εκλογικού σώματος διαφέρει από περιοχή σε περιοχή.

Για να εξασφαλίσουμε την αξιοπιστία μιας έρευνας, θα πρέπει να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα

διαφορετικά. Στο παράδειγμα 1, για να είμαστε σίγουροι ότι το αποτέλεσμα είναι σωστό και αντιπρο-

σωπεύει όλο τον ελληνικό πληθυσμό, θα πρέπει να ερωτηθούν για το ποιο κόμμα που θα ψηφίσουν

στις επερχόμενες βουλευτικές εκλογές όλοι οι Έλληνες ψηφοφόροι. Δηλαδή θα πρέπει να ερωτηθεί το

σύνολο του πληθυσμού και όχι ένα μέρος του, δηλαδή ένα δείγμα.

Στο παράδειγμα 1 συνεπώς, ο πληθυσμός είναι το σύνολο όλων των Ελλήνων ψηφοφόρων, ενώ το

δείγμα είναι ένα μέρος του πληθυσμού (τα 2000 άτομα που ερωτήθηκαν), στο οποίο επικεντρωνόμα-

στε για να πραγματοποιήσουμε τη δημοσκόπηση.

Καταλήγουμε συνεπώς στο συμπέρασμα ότι μια δημοσκόπηση δίνει αξιόπιστα αποτελέσματα όταν

πραγματοποιείται στον πληθυσμό και όχι σε ένα δείγμα του πληθυσμού. Και τίθεται συνεπώς το ερώ-

τημα: γιατί οι δημοσκοπήσεις γίνονται σε ένα δείγμα του πληθυσμού και όχι σε όλον τον πληθυσμό;

Η απάντηση είναι απλή. Είναι πολύ δύσκολο να πραγματοποιήσουμε μια δημοσκόπηση σε ολόκληρο

τον πληθυσμό ενός προβλήματος, διότι το μέγεθος του πληθυσμού είναι συνήθως πολύ μεγάλο. Ο

πληθυσμός του παραδείγματος 1 αποτελείται από το σύνολο όλων των Ελλήνων ψηφοφόρων, οι

οποίοι είναι περίπου 9 εκατομμύρια (σύμφωνα με τους εγγεγραμμένους στους εκλογικούς καταλό-

γους). Καταλαβαίνουμε λοιπόν πως είναι σχεδόν αδύνατο στα πλαίσια μιας έρευνας, να ρωτήσουμε 9

εκατομμύρια άτομα για το ποιο κόμμα θα ψηφίσουν στις επερχόμενες βουλευτικές εκλογές. Για τον

λόγο αυτόν επιλέγουμε ένα μέρος του πληθυσμού, δηλαδή ένα δείγμα του.

Το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο μελετάμε έναν πληθυσμό ή ένα δείγμα του λέγεται

μεταβλητή. Στην πραγματικότητα η μεταβλητή είναι το ερώτημα που τίθεται στη δημοσκόπηση. Η

μεταβλητή του παραδείγματος 1 είναι το κόμμα που θα ψηφίσουν οι ψηφοφόροι στις επερχόμενες

βουλευτικές εκλογές.

Η επιλογή του δείγματος δεν είναι εύκολη. Για να μπορεί η δημοσκόπηση να δίνει όσο το δυνατόν

πιο ρεαλιστικά αποτελέσματα, θα πρέπει το δείγμα να αντιπροσωπεύει τον πληθυσμό. Η διαδικασία

που ακολουθείται για την επιλογή του δείγματος λέγεται δειγματοληψία. Το πλήθος των ατόμων του

δείγματος, λέγεται μέγεθος του δείγματος. Στην περίπτωση του παραδείγματος 1 το μέγεθος του

δείγματος είναι 2000 άτομα.

Αν μια έρευνα δεν πραγματοποιηθεί σε ένα δείγμα του πληθυσμού αλλά σε όλο τον πληθυσμό,

τότε λέγεται απογραφή.

Παράδειγμα 2 : Θέλουμε να μελετήσουμε το ποσοστό των ανδρών και των γυναικών στην ελληνική

κοινωνία. Για να πραγματοποιήσουμε την έρευνα επιλέγουμε ως δείγμα τα μέλη

μιας στρατιωτικής μονάδας. Είναι αντιπροσωπευτικό το δείγμα;

Λύση

[111]

Το δείγμα προφανώς δεν είναι αντιπροσωπευτικό, γιατί τα μέλη μιας στρατιωτικής μονάδας είναι

κατά τη συντριπτική τους πλειοψηφία άνδρες.


Θέλουμε να μελετήσουμε τον αριθμό των παιδιών σε κάθε ελληνική οικογένεια. Για να βγάλουμε

συμπεράσματα, μελετήσαμε ένα δείγμα 1000 οικογενειών.

α) Ποιος είναι ο πληθυσμός της έρευνας;

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

β) Ποιος είναι το μέγεθος του δείγματος;

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

γ) Ποια είναι η μεταβλητή της έρευνας;

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Ασκήσεις

1. Στις εκλογές που έγιναν για την ανάδειξη του πενταμελούς συμβουλίου ενός τμήματος της Β΄

Γυμνασίου, ψήφισαν 25 άτομα. Ο Πέτρος στην ψηφοφορία έλαβε 8 ψήφους. Τι ποσοστό των

μαθητών ψήφισαν τον Πέτρο;

2. Σε ένα γυμνάσιο 300 μαθητών οι 105 αρίστευσαν. Ποιο είναι το ποσοστό των μαθητών που αρί-

στευσαν;

[112]

3. Για να βρούμε τα ποσοστά των οπαδών των ποδοσφαιρικών ομάδων στην ελληνική επικράτεια,

ρωτήσαμε 500 άτομα στην περιοχή της Τούμπας, ποια ομάδα υποστηρίζουν.

α) Ποιος είναι ο πληθυσμός της έρευνας;

β) Ποιο είναι το μέγεθος του δείγματος;

γ) Ποια είναι η μεταβλητή της έρευνας;

δ) Είναι το δείγμα αντιπροσωπευτικό; Αν όχι, προτείνετε ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα.

4.2 Γραφικές παραστάσεις στη Στατιστική

Για να παραστήσουμε τα αποτελέσματα μιας στατιστικής έρευνας, χρησιμοποιούμε κάποια χαρα-

κτηριστικά διαγράμματα που αποτελούν τις γραφικές παραστάσεις της Στατιστικής.

Εικονογράμματα

Στα εικονογράμματα χρησιμοποιούμε την εικόνα ενός αντικειμένου για να δείξουμε πόσες φορές

αυτό παρουσιάζεται στην έρευνά μας. Σ’ ένα τέτοιο διάγραμμα πρέπει να υπάρχει ο τίτλος ο οποίος

δηλώνει το είδος και τη μεταβλητή της έρευνας, η κλίμακα που δείχνει τον αριθμό των αντικειμένων

που παριστάνει η εικόνα καθώς και ο τίτλος κάθε στήλης.

Ας δούμε ένα παράδειγμα μιας στατιστικής έρευνας και πώς τα αποτελέσματά της μπορούν να

μετατραπούν σε εικονόγραμμα.

Σε μία έρευνα συμμετείχαν οι μαθητές της Β΄ τάξης ενός Γυμνασίου. Το θέμα της έρευνας ήταν ο

τρόπος με τον οποίο επιλέγουν να περάσουν τον ελεύθερό τους χρόνο οι έφηβοι. Οι απαντήσεις που

δόθηκαν καθώς και το πλήθος των μαθητών που έδωσαν την κάθε απάντηση δίνονται στον παρακάτω

πίνακα:

[113]

Πηγαίνοντας βόλτα με φίλους 60

Ενασχόληση με μέσα κοινωνικής δικτύωσης 30

Παρακολουθώντας τηλεόραση 20

Ακούγοντας μουσική 30

Παίζοντας ηλεκτρονικά παιχνίδια 20

Κάνοντας αθλητισμό 40

Τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στον παραπάνω πίνακα μπορούν εύκολα να αποτυπωθούν στο

παρακάτω εικονόγραμμα:

Ραβδογράμματα

Στα ραβδογράμματα χρησιμοποιούμε ορθογώνια παραλληλόγραμμα τα οποία υψώνουμε ανάλογα

με το πλήθος των απαντήσεων που δόθηκαν. Σ’ ένα ραβδόγραμμα πρέπει βέβαια, να υπάρχουν ο

τίτλος του, που να περιγράφει το είδος της έρευνας και οι τίτλοι των αξόνων. Αυτοί οι τίτλοι αξόνων

μας δείχνουν ότι ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις απαντήσεις που δόθηκαν και ο κάθετος άξονας

τον αριθμό των ατόμων που έδωσαν την κάθε απάντηση. Τα ραβδογράμματα, γενικά, σχεδιάζονται

εύκολα και είναι πιο ακριβή από τα εικονογράμματα.

Το ραβδόγραμμα που αντιστοιχεί στην έρευνα που περιγράψαμε παραπάνω, για τον τρόπο με τον

οποίο επιλέγουν να περάσουν τον ελεύθερο χρόνο τους οι έφηβοι, είναι το εξής:

[114]

Πώς περνούν οι έφηβοι τον ελεύθερο χρόνο τους

Τα ορθογώνια ενός ραβδογράμματος μπορεί να είναι τοποθετημένα κάθετα, όπως φαίνεται στο

παραπάνω σχήμα. Πολλές φορές όμως τα ορθογώνια μπορεί να τα σχεδιάζουμε και οριζόντια:

0

10

20

30

40

50

60

70

Βόλτα με φίλους

Μέσα κοινωνικης δικτύωσης

Τηλεόραση Μουσική Ηλεκτρονικά παιχνίδια

Αθλητισμός

0 10 20 30 40 50 60 70



Τηλεόραση

Μουσική

Ηλεκτρονικά παιχνίδια


[115]

Κυκλικά διαγράμματα

Στα κυκλικά διαγράμματα το δείγμα παριστάνεται με τη βοήθεια ενός κυκλικού δίσκου και οι

διάφορες απαντήσεις που δόθηκαν παριστάνονται με τη βοήθεια κυκλικών τομέων διαφορετικού χρώ-

ματος. Για να κατασκευαστεί σωστά το κυκλικό διάγραμμα θα πρέπει να υπολογίσουμε τη γωνία του

κάθε κυκλικού τομέα. Η γωνία αυτή υπολογίζεται με τη βοήθεια του τύπου:

0360γματοςίδεγεθοςέμ

θηκανόδπουσειςήαπαντθ

Στην περίπτωση του παραδείγματος που αναφέρθηκε παραπάνω, οι γωνίες των αντίστοιχων κυκλικών

τομέων θα είναι:

για όσους επιλέγουν τη βόλτα με τους φίλους: 00 108360

200

60θ

για όσους επιλέγουν τα μέσα κοινωνικής δικτύωσης: 00 54360

200

30θ

για όσους επιλέγουν την τηλεόραση: 00 36360

200

20θ

για όσους επιλέγουν τη μουσική: 00 54360

200

30θ

για όσους επιλέγουν τα ηλεκτρονικά παιχνίδια: 00 36360

200

20θ

για όσους επιλέγουν τον αθλητισμό: 00 72360

200

40θ

Άρα το κυκλικό διάγραμμα της έρευνας είναι:

Πώς περνούν οι έφηβοι τον ελεύθερο χρόνο τους



Τηλεόραση

Μουσική

Ηλεκτρονικά παιχνίδια


[116]

Χρονόγραμμα

Τα χρονογράμματα είναι διαγράμματα, τα οποία χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε τη χρο-

νική εξέλιξη ενός φαινομένου. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να παραστήσουμε τα κέρδη μιας εταιρείας

(σε χιλιάδες €) κατά τα έτη 1998 - 2004 , μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το παρακάτω χρονόγραμ-

μα.

(παράδειγμα που περιλαμβάνεται στο σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών Β΄ Γυμνασίου)

[117]

4.5 Μέση τιμή - Διάμεσος

Μέση τιμή

Παράδειγμα 1 : Τα ύψη των δέκα παικτών που αποτελούν μια ομάδα μπάσκετ είναι (σε cm):

190, 205, 183, 197, 202, 203, 205, 198, 207, 210

Να βρείτε τη μέση τιμή του ύψους των παικτών της ομάδας.

Λύση

Για να βρούμε τη μέση τιμή του ύψους των παικτών της ομάδας, αρκεί να προσθέσουμε τα ύψη όλων

των παικτών και το άθροισμα να το διαιρέσουμε με το πλήθος των παικτών. Δηλαδή η ζητούμενη

μέση τιμή θα είναι:

20010

2000

10

210207198205203202197183205190

cm

Άρα η μέση τιμή του ύψους στην ομάδα μπάσκετ είναι 200 cm.

Συνοψίζοντας:

Για να βρούμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουμε όλες τις παρατη-

ρήσεις και διαιρούμε με το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Παράδειγμα 2 : Οι βαθμοί που πήρε ο Γιώργος στα διαγωνίσματα του 1ου

τετραμήνου είναι:

19, 18, 12, 16, 20, 20, 19, 17, 18, 15, 19 και 17.

Να βρείτε τη μέση τιμή (μέσο όρο) των βαθμών που πήρε ο Γιώργος στα διαγωνί-

σματα.

Λύση

Η μέση τιμή των βαθμών του Γιώργου στα διαγωνίσματα είναι:

5,1712

210

12

171915181719202016121819

[118]




Οι μηνιαίες αποδοχές εννέα εργαζομένων μιας επιχείρησης είναι (σε ευρώ):

700, 600, 2900, 950, 700, 800, 700, 2100, 900

α) Να βρείτε τη μέση τιμή των αποδοχών των εργαζομένων.

β) Να διατάξετε τους μισθούς (αποδοχές) κατά αύξουσα σειρά.

γ) Να βρείτε το «μεσαίο» μισθό.

δ) Να συγκρίνετε τον «μεσαίο» μισθό με την μέση τιμή. Να συζητηθεί το αποτέλεσμα της

σύγκρισης.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………


Οι βαθμοί του Χρήστου στην περίοδο των εξετάσεων του Ιουνίου ήταν 17, 18, 19 και 20 ενώ οι

αντίστοιχοι βαθμοί του Γιάννη ήταν 18, 18, 19 και 19. Ποιο από τα δύο παιδιά τα πήγε καλύτερα

στις εξετάσεις;

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[119]

Διάμεσος

Η διάμεσος δ των παρατηρήσεων ενός δείγματος έχει την έννοια της μεσαίας παρατήρησης, όταν

οι τιμές του δείγματος διαταχθούν σε αύξουσα (ή φθίνουσα) σειρά. Για να βρούμε συνεπώς τη διά-

μεσο ενός δείγματος ακολουθούμε την εξής διαδικασία:

Τοποθετούμε τις τιμές του δείγματος σε αύξουσα σειρά

Αν το μέγεθος του δείγματος (δηλαδή το πλήθος των παρατηρήσεων) είναι περιττός αριθμός, τότε

η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση. Αν όμως το μέγεθος του δείγματος είναι άρτιος αριθμός,

τότε η διάμεσος είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων.

Παράδειγμα 3 : Να βρείτε τη διάμεσο στα παρακάτω δείγματα:

α) 3, 8, 9, 1, 5, 7, 100

β) 2, 7, 6, 4, 6, 6, 1, 10

Λύση

α) Διατάσσουμε τις τιμές του δείγματος σε αύξουσα σειρά: 1, 3, 5, 7, 8, 9, 100

Οι τιμές του δείγματος είναι 7 (περιττός αριθμός) άρα η διάμεσος είναι η 4η παρατήρηση, δηλαδή

7δ

β) Διατάσσουμε τις τιμές του δείγματος σε αύξουσα σειρά: 1, 2, 4, 6, 6, 6, 7, 10

Οι τιμές του δείγματος είναι 8 (άρτιος αριθμός) άρα η διάμεσος είναι το ημιάθροισμα της 4ης

και

5ης

παρατήρησης. Δηλαδή: 62

66δ

Στο β΄ ερώτημα του συγκεκριμένου παραδείγματος η διάμεσος τυχαίνει να ισούται με κάποια από

τις τιμές του δείγματος. Συνήθως όμως, στις περιπτώσεις που το μέγεθος του δείγματος είναι άρτιος

αριθμός, η διάμεσος δεν ταυτίζεται με κάποια από τις τιμές του δείγματος. Αντίθετα, όταν το μέγεθος

του δείγματος είναι περιττός αριθμός, τότε προφανώς η διάμεσος ταυτίζεται πάντοτε με μία τιμή του

δείγματος (τη μεσαία παρατήρηση).


Η μέση τιμή ή η διάμεσος μπορεί να είναι μεγαλύτερη από την μέγιστη τιμή του δείγματος;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[120]

Ασκήσεις

1. Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρακάτω δειγμάτων:

α) 3, 5, 4, 8, 11, 1, 7, 8, 7 β) 13, 15, 14, 18, 21, 11, 17, 18, 17

γ) 6, 10, 8, 16, 22, 2, 14, 16, 14 δ) 3, 5, 4, 8, 11, 1, 7, 8, 7

Τι παρατηρείτε;

2. Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρακάτω δειγμάτων:

α) 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9 β) 1, 5, 5, 5, 5, 5, 9

γ) 2, 4, 6, 8, 10, 12 δ) 1, 3, 5, 9, 11, 13

3. Οι βαθμοί της Αναστασίας στον έλεγχο του 2ου

τετραμήνου είναι: 20, 19, 20, 17, 20, 16, 17, 19,

18 και 17. Να βρείτε τη μέση τιμή (μέσο όρο) της βαθμολογίας της.

4. Η μέγιστη θερμοκρασία κάθε ημέρας του Ιουνίου στη Θεσσαλονίκη ήταν:

30, 31, 34, 32, 29, 35, 34, 35, 36, 37, 28, 29, 30, 31, 28

29, 30, 26, 28, 32, 31, 31, 30, 29, 33, 35, 32, 30, 28, 27

Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των θερμοκρασιών

5. Ένας μαθητής της Β΄ Γυμνασίου έχει γράψει σε τέσσερα τεστ στα μαθηματικά τους εξής βαθ-

μούς: 12, 20, 17, 18. Πόσο πρέπει να γράψει στο επόμενο τεστ ώστε η μέση τιμή της βαθμο-

λογίας του να είναι 17;

6. Η σχολική ομάδα μπάσκετ ενός Γυμνασίου αποτελείται από εννέα παίκτες με ύψη: 168 cm,

172 cm, 180 cm, 165 cm, 173 cm, 175 cm, 179 cm, 171 cm και 174 cm. Ο γυμναστής της ομά-

δας θέλει άλλον έναν παίκτη ώστε να ανεβάσει το μέσο ύψος της ομάδας. Πόσο ύψος (τουλάχι-

στον) θα πρέπει να έχει ο νέος παίκτης της ομάδας;

7. Το μέσο ύψος μια ομάδας μπάσκετ (δηλαδή η μέση τιμή του ύψους των καλαθοσφαιριστών) που

αποτελείται από 10 παίκτες είναι 200 cm. Αν φύγει από την ομάδα ένας παίκτης με ύψος 195 cm

και αντικατασταθεί από έναν παίκτη με ύψος 205 cm, πόσο θα γίνει το νέο μέσο ύψος της ομά-

δας;

8. Ένα τμήμα της Β΄ Γυμνασίου αποτελείται από 15 κορίτσια και 10 αγόρια. Στο διαγώνισμα του

1ου

τετραμήνου στα μαθηματικά, ο μέσος όρος της βαθμολογίας των κοριτσιών ήταν 16 και των

αγοριών 17. Ποιος είναι ο μέσος όρος της βαθμολογίας όλου του τμήματος;

[121]

1.1 Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας

Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός ο οποίος εκφράζει την έκταση

που καταλαμβάνει η επιφάνεια αυτή στο επίπεδο. Ο αριθμός αυτός εξαρτάται από τη μονάδα μέτρη-

σης επιφανειών που χρησιμοποιούμε.

Παράδειγμα 1 : Ο ιδιοκτήτης του οικοπέδου Α προτείνει στον ιδιοκτήτη του οικοπέδου Β να ανταλ-

λάξουν τα οικόπεδά τους. Είναι δίκαιη αυτή η ανταλλαγή;

Λύση

Β΄ ΜΕΡΟΣ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ


Εμβαδά επίπεδων σχημάτων

Πυθαγόρειο θεώρημα

[122]

Αν επιλέξουμε ως μονάδα μέτρησης του εμβαδού το τετραγωνάκι που βρίσκεται μέσα σε κάθε σχήμα,

τότε διαπιστώνουμε πως και τα δύο οικόπεδα έχουν το ίδιο εμβαδόν, δηλαδή έχουν εμβαδόν 6. Άρα η

ανταλλαγή των οικοπέδων είναι δίκαιη.

Παράδειγμα 2 : Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται δύο πλατείες μιας πόλης. Το δημοτικό

συμβούλιο ανέθεσε στην ίδια εταιρεία την πλακόστρωση των δύο πλατειών. Η

πλακόστρωση θα γίνει με ίδιας ποιότητας υλικά και για τις δύο πλατείες. Το κόστος

των εργασιών για κάθε πλατεία θα είναι το ίδιο;

Λύση

Οι εργασίες για την πλακόστρωση των δύο πλατειών γίνονται από την ίδια εταιρεία με ίδιας ποιό-

τητας υλικά. Επομένως το πόσο θα κοστίσουν οι εργασίες για την κάθε πλατεία, εξαρτάται από την

επιφάνεια που καταλαμβάνει, δηλαδή από το εμβαδόν της (όσο μεγαλύτερη είναι η πλατεία, τόσο με-

γαλύτερο θα είναι και το κόστος των εργασιών). Χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης του εμβαδού

το τετράγωνο με τις διακεκομμένες γραμμές που φαίνεται στο σχήμα, παρατηρούμε ότι το εμβαδόν

της τριγωνικής πλατείας είναι 9 ενώ της πλατείας που έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου

είναι 12.

Άρα το κόστος των εργασιών για την πλακόστρωση της ορθογώνιας πλατείας είναι μεγαλύτερο.


Υπολογίστε την περίμετρο και το εμβαδόν καθενός από τα παρακάτω σχήματα:

Εμβαδόν:……………… Εμβαδόν:……………… Εμβαδόν:………………

Περίμετρος: ………….. Περίμετρος: ………….. Περίμετρος: …………..

Το εμβαδόν ενός σχήματος εξαρτάται από την περίμετρό του;

[123]

Παράδειγμα 3 : Να προσδιορίσετε το εμβαδόν του παρακάτω σχήματος χρησιμοποιώντας ως μονάδα

μέτρησης το τετράγωνο με τις διακεκομμένες γραμμές που περιέχεται στο σχήμα.

Στη συνέχεια ξαναυπολογίστε το εμβαδόν του ίδιου σχήματος χρησιμοποιώντας ως

μονάδα μέτρησης το γραμμοσκιασμένο τρίγωνο που περιέχεται στο σχήμα.

Λύση

Αν χρησιμοποιήσουμε ως μονάδα μέτρησης του εμβαδού το τετράγωνο με τις διακεκομμένες

γραμμές, παρατηρούμε ότι το εμβαδόν του σχήματος είναι 12. Το εμβαδόν όμως του ίδιου σχήματος

με μονάδα μέτρησης το γραμμοσκιασμένο τρίγωνο (όπως φαίνεται στο 2ο σχήμα) θα είναι 24, διότι σε

κάθε τετραγωνάκι περιέχονται 2 τρίγωνα.

Διαπιστώνουμε δηλαδή ότι το ίδιο σχήμα παρουσιάζει διαφορετική τιμή για το εμβαδόν όταν

αλλάζουμε τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιούμε (ενώ η επιφάνεια που καταλαμβάνει στο

επίπεδο παραμένει προφανώς σταθερή). Καταλήγουμε άρα στο συμπέρασμα ότι η τιμή του εμβαδού

ενός σχήματος εξαρτάται κάθε φορά από τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιούμε.

[124]

Ασκήσεις

1. Ποιο από τα γράμματα της παρακάτω εικόνας έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν;

2. Βρείτε το εμβαδόν των παρακάτω σχημάτων. Τι παρατηρείτε;

[125]

3. Χρησιμοποιώντας δύο διαφορετικές μονάδες μέτρησης, να προσδιορίσετε το εμβαδόν του παρα-

κάτω σχήματος. Να περιγράψετε σε κάθε περίπτωση τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιήσατε.

[126]

1.2 Μονάδες μέτρησης επιφανειών

Η βασική μονάδα μέτρησης του εμβαδού είναι το

τετραγωνικό μέτρο, δηλαδή ένα τετράγωνο πλευράς 1

m. Το τετραγωνικό μέτρο συμβολίζεται m2.

1 m

Γνωρίζουμε ότι dm10m1 , άρα το τετρα-

γωνικό μέτρο αποτελείται από 1001010

τετράγωνα πλευράς 1 dm.

Το κάθε ένα τετράγωνο που έχει πλευρά 1 dm

λέγεται τετραγωνικό δεκατόμετρο ή τετρα-

γωνική παλάμη και συμβολίζεται dm2.

Ομοίως γνωρίζουμε ότι cm10dm1 , άρα το τετραγωνικό δεκατόμετρο αποτελείται από

1001010 τετράγωνα πλευράς 1 cm.

Το κάθε τετράγωνο που έχει πλευρά 1 cm λέγεται τετραγωνικό εκατοστόμετρο ή τετραγωνικός

πόντος και συμβολίζεται cm2. Άρα 22 cm1001010dm1 και 222 cm10000dm100m1 .

[127]

Αντιστοίχως mm10cm1 , άρα το τετραγωνικό εκατοστόμετρο αποτελείται από 1001010 τε-

τράγωνα πλευράς 1 mm. Το κάθε τετράγωνο που έχει πλευρά 1 mm λέγεται τετραγωνικό χιλιοστο-

μετρο και συμβολίζεται mm2. Άρα: 2222 mm1000000cm10000dm100m1 .

Άλλες μονάδες μέτρησης εμβαδού είναι το τετραγωνικό χιλιόμετρο (δηλαδή τετράγωνο πλευράς 1

km) το οποίο συμβολίζεται km2 και το στρέμμα το οποίο χρησιμοποιείται κυρίως για την μέτρηση

επιφανειών που καλύπτουν οικόπεδα και χωράφια. Το 1 στρέμμα περιέχει 1000 m2.

H σχέση που συνδέει τις μονάδες μέτρησης εμβαδού που είδαμε μέχρι τώρα περιγράφεται στο

παρακάτω σχήμα:

km2

x10002 :1000

2

m2

x102 :10

2

dm2

x102 :10

2

cm2

x102 :10

2

mm2

Το 1 στρέμμα είναι 1000 m2

Παράδειγμα 1 : Να μετατρέψετε σε m2 τα παρακάτω μεγέθη: 1200 cm

2, 53 dm

2, 1234567 mm

2

Λύση

22 m12,010000:1200cm1200

22 m53,0100:53dm53

22 m234567,11000000:1234567mm1234567

[128]

Παράδειγμα 2 : Να μετατρέψετε σε cm2 τα παρακάτω μεγέθη: 3,5 m

2, 78,25 dm

2, 9876 mm

2

Λύση

22 cm35000100005,3m5,3

22 cm782510025,78dm25,78

22 cm76,98100:9876mm9876

Παράδειγμα 3 : Να τοποθετήσετε σε αύξουσα σειρά τα εμβαδά:

3,5 m2, 340 dm

2, 345000 cm

2 και 354000 mm

2

Λύση

Για να τοποθετήσουμε σε αύξουσα σειρά τα εμβαδά (δηλαδή για να μπορέσουμε ουσιαστικά να τα

συγκρίνουμε μεταξύ τους) θα πρέπει να τα μετατρέψουμε έτσι ώστε όλα να έχουν την ίδια μονάδα

μέτρησης. Αποφασίζουμε να τα μετατρέψουμε όλα σε m2 (η επιλογή της μονάδας μέτρησης είναι

τυχαία).

22 m4,3100:340dm340

22 m5,3410000:345000cm345000

22 m354,01000000:354000mm354000

Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι: 2222 cm345000m5,3dm340mm354000 .


Ποια είναι η κατάλληλη μονάδα μέτρησης εμβαδού για να υπολογίσουμε την επιφάνεια που κατά-

λαμβάνει:

α) ένα οικόπεδο

β) το σπίτι μας

γ) η αυλή του σχολείου

δ) το εξώφυλλο ενός βιβλίου

ε) ο νομός Θεσσαλονίκης

[129]

Ασκήσεις

1. Να μετατρέψετε σε m2 τα μεγέθη: 32 cm

2, 1926 dm

2, 20192006 mm

2 .

2. Να μετατρέψετε σε dm2 τα μεγέθη: 451 cm

2, 3,12 m

2, 21100 mm

2 .

3. Να μετατρέψετε σε cm2 τα μεγέθη: 0,0314 dm

2, 0,01 m

2, 1234 mm

2 .

4. Να μετατρέψετε σε mm2 τα μεγέθη: 0,09 cm

2, 5 m

2, 2,006 dm

2 .

5. Να μετατρέψετε σε km2 τα μεγέθη: 23000000 cm

2, 1000 m

2.

6. Να μετατρέψετε σε στρέμματα τα μεγέθη: 5500 m2, 220000 dm

2.

7. Να τοποθετήσετε σε φθίνουσα σειρά τα παρακάτω εμβαδά:

2 στρέμματα, 2 km2, 20000 m

2, 2000000 cm

2

8. Να τοποθετήσετε σε αύξουσα σειρά τα παρακάτω εμβαδά:

31 cm2, 3,1 dm

2, 310 mm

2 και 0,31 m

2

9. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

m2

dm2

cm2

mm2

0,95

10,01

1200

264000

10. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

km2

στρέμματα

m2

dm2

2

10

120000

2000000

[130]

1.3 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων

Εμβαδόν τετραγώνου

Θεωρούμε ένα τετράγωνο πλευράς 4 cm. Κάθε

πλευρά του τετραγώνου μπορούμε να τη χωρίσουμε

σε 4 ίσα τμήματα, μήκους 1 cm το καθένα (όπως

φαίνεται και στο διπλανό σχήμα). Παρατηρούμε ότι

η επιφάνεια που καταλαμβάνει το τετράγωνο χωρίζε-

ται σε 1644 μικρότερα τετράγωνα πλευράς 1 cm

το καθένα. Επομένως το εμβαδόν του τετραγώνου

είναι 16 cm2.

Άρα γενικεύοντας, για να βρούμε το εμβαδόν Ε ενός τε-

τραγώνου πλευράς α, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

2αΕ

Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου

Θεωρούμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με

πλευρές 3 cm και 4 cm. Κάθε πλευρά του ορθογω-

νίου μπορούμε να τη χωρίσουμε σε ίσα τμήματα, μή-

κους 1 cm το καθένα (όπως φαίνεται και στο διπλα-

νό σχήμα). Παρατηρούμε ότι η επιφάνεια που κατα-

λαμβάνει το ορθογώνιο χωρίζεται σε 1243 μι-

κρότερα τετράγωνα πλευράς 1 cm το καθένα. Άρα

το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου

είναι 12 cm2.

[131]

Γενικεύοντας, για να βρούμε το εμβαδόν Ε ενός ορ-

θογωνίου παραλληλογράμμου με πλευρές α και β,

χρησιμοποιούμε τον τύπο:

βαΕ

Τις πλευρές του ορθογωνίου τις ονομάζουμε μήκος (τη μεγαλύτερη πλευρά) και πλάτος (τη μικρό-

τερη) και αποτελούν τις διαστάσεις του ορθογωνίου. Άρα το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλο-

γράμμου ισούται με το γινόμενο των διαστάσεών του ή διαφορετικά: τοςάπλκοςήμΕ

Παράδειγμα 1 : Να βρείτε την περίμετρο ορθογωνίου παραλληλογράμμου που έχει μήκος 15 cm και

εμβαδόν 90 cm2.

Λύση

Αν x είναι το πλάτος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου,

τότε:

90x15

15

90x

6x cm

Άρα η περίμετρος του ορθογωνίου είναι: 42123062152 cm

Παράδειγμα 2 : Το δάπεδο στο δωμάτιο του Χρήστου έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου

με διαστάσεις 4 m μήκος και 3 m πλάτος. Αν το δάπεδο στρωθεί με τετραγωνικά

πλακάκια πλευράς 40 cm και το κάθε πλακάκι κοστίζει 0,6 €, να βρείτε πόσα

χρήματα θα χρειαστούν για να στρωθεί με πλακάκια το δωμάτιο.

Λύση

Το εμβαδόν του δωματίου είναι 1234 m2.

Το εμβαδόν που έχει το κάθε πλακάκι είναι: 16004040 cm2 ή 16,010000:1600 m

2

(υπενθυμίζουμε ότι για να μπορέσουμε να λύσουμε σωστά μια άσκηση θα πρέπει όλα τα ομοειδή

μεγέθη να είναι εκφρασμένα στην ίδια μονάδα μέτρησης)

Για να βρούμε πόσα πλακάκια θα χρειαστούν για το δωμάτιο του Χρήστου, διαιρούμε το εμβαδόν του

δωματίου με το εμβαδόν που έχει το κάθε πλακάκι: 7516,0:12 πλακάκια

Άρα τα χρήματα που θα χρειαστούν είναι: 456,075 €.

[132]

Εμβαδόν παραλληλογράμμου

Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με βά-

ση βΓΔ και το ύψος του υAE (όπως φαίνεται

και στο διπλανό σχήμα).

Για να βρούμε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου

ΑΒΓΔ, αποκόπτουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ

και το μεταφέρουμε δίπλα στην πλευρά ΒΓ, όπως

φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Διαπιστώνουμε συνεπώς με αυτήν τη μετακίνηση του ορθογωνίου τριγώνου, ότι το παραλληλό-

γραμμο μετασχηματίζεται σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με ίδιο εμβαδόν.

Άρα το εμβαδόν του παραλληλογράμμου θα είναι:

υβE

Το εμβαδόν συνεπώς ενός παραλληλογράμμου ισούται με το γινόμενο της μιας βάσης του επί

το αντίστοιχο ύψος.

Πρέπει να σημειώσουμε ότι ως βάση ενός παραλληλογράμμου μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδή-

ποτε πλευρά του (και όχι αναγκαστικά μια πλευρά με οριζόντιο προσανατολισμό). Αναλόγως με το

ποια πλευρά επιλέγουμε ως βάση, φέρνουμε και το αντίστοιχο ύψος στο παραλληλόγραμμο το οποίο

είναι η απόσταση των δύο απέναντι παράλληλων πλευρών, δηλαδή το κάθετο τμήμα ανάμεσα στη

βάση και την απέναντι πλευρά της.

Συνεπώς στο παραπάνω παραλληλόγραμμο θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ως βάση την πλευρά ΒΓ

οπότε το αντίστοιχο ύψος θα ήταν το ΑZ (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα).

[133]

Το εμβαδόν τότε του παραλληλογράμμου θα είναι: ΑΖΒΓΕ

Γενικά το εμβαδόν ενός σχήματος μπορούμε να το συμβολίσουμε (εκτός από Ε) γράφοντας το όνο-

μα του σχήματος ανάμεσα σε δύο παρενθέσεις. Έτσι στην περίπτωση του παραπάνω παραλληλογράμ-

μου, θα μπορούσαμε να γράψουμε για το εμβαδόν του:

υβ)ΑΒΓΔ( ή ΑΕΓΔ)ΑΒΓΔ( ή ΑΖΒΓ)ΑΒΓΔ(

Παράδειγμα 3 : Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ του παρακάτω σχήματος, με ΒΓ//ΔA//EZ

και ΓΔ//ΑΒ//ΗΘ . Αν Ε, Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΔΓ αντίστοιχα και

το εμβαδόν του ΑΒΓΔ είναι 24 cm2, να προσδιορίσετε το εμβαδόν της γραμμο-

σκιασμένης περιοχής.

Λύση

Τα τετράπλευρα ΕΒΘΚ και ΗΚΖΔ είναι παραλληλόγραμμα. Ας θεωρήσουμε ως βάση του ΕΒΘΚ την

πλευρά ΒΕ και ύψος το υ1 (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα) και για το ΗΚΖΔ θεωρήσουμε ως

βάση το ΔΖ και ύψος το υ2. Επειδή το Ε είναι μέσο της πλευράς ΑΒ, ισχύει: 2

ΓΔ

2

ΑΒΕΒ .

Ομοίως το Ζ είναι μέσο του ΔΓ, άρα 2

ΓΔΔΖ .

[134]

2

υΓΔυ

2

ΓΔυυ

2

ΓΔυ

2

ΓΔυ

2

ΓΔυΔΖυΕΒ)ΗΚΖΔ()ΕΒΘΚ( 212121

122

24

2

)ΑΒΓΔ( cm

2.

Εμβαδόν τυχαίου τριγώνου

Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τη

διαγώνιό του ΑΓ, η οποία το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα

(διότι έχουν τις πλευρές τους μία προς μία ίσες), όπως

φαίνεται και στο διπλανό σχήμα. Εφόσον τα τρίγωνα

είναι ίσα θα έχουν και το ίδιο εμβαδόν, δηλαδή ισχύει:

)ΑΓΔ()ΑΒΓ(

Παρατηρούμε ότι η βάση και το ύψος του παραλληλο-

γράμμου ΑΒΓΔ ταυτίζονται με τη βάση και το ύψος του

τριγώνου ΑΓΔ.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, το οποίο έχει βάση β και

ύψος υ έχουμε:

)ΑΒΓ()ΑΓΔ()ΑΒΓΔ(

)ΑΓΔ(2υβ

2

υβ)ΑΓΔ(

2

υβ)ΑΓΔ(

Άρα αποδείξαμε ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου με

βάση β και ύψος υ δίνεται από τον τύπο:

2

υβΕ

Το εμβαδόν ενός τριγώνου ισούται με το μισό του γινομένου μιας βάσης του με το αντίστοιχο

ύψος.

[135]

Ως βάση ενός τριγώνου μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε πλευρά του (και όχι αναγκαστικά

αυτήν που έχει οριζόντιο προσανατολισμό). Για την εύρεση όμως του εμβαδού του τριγώνου θα πρέ-

πει να χρησιμοποιήσουμε το αντίστοιχο ύψος προς την πλευρά αυτή. Δηλαδή:

2

ΒΔΑΓΕ

2

ΓΕΑΒΕ

Παράδειγμα 4 : Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ του παρακάτω σχήματος, με εμβαδόν 10 cm2.

Να προσδιορίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΔΓΕ.

Λύση

Για το εμβαδόν του τριγώνου ΔΓΕ έχουμε:

52

10

2

)ΑΒΓΔ(

2

υΔΓΔΓΕ

cm

2

[136]

Παράδειγμα 5 : Από σημείο Μ της διαγωνίου ΑΓ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ φέρνουμε τα

τμήματα ΒΓ//ΑΔ//ΕΖ και ΔΓ//ΑΒ//ΗΘ . Να συγκρίνετε τα εμβαδά των

παραλληλογράμμων ΕΒΘΜ και ΗΜΖΔ.

Λύση

Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ είναι ίσα (διότι οι πλευρές τους είναι ίσες) άρα θα έχουν και ίσα εμβαδά,

οπότε )ΑΔΓ()ΑΒΓ( .

Στο παραλληλόγραμμο ΑΕΜΗ, τα τρίγωνα ΑΕΜ και ΑΗΜ είναι ίσα, άρα )ΑΗΜ()ΑΕΜ( .

Ομοίως στο παραλληλόγραμμο ΜΘΓΖ, τα τρίγωνα ΜΘΓ και ΜΖΓ είναι ίσα άρα )ΜΖΓ()ΜΘΓ( .

Επομένως: )ΗΜΖΔ()ΜΖΓ()ΑΗΜ()ΑΔΓ()ΜΘΓ()ΑΕΜ()ΑΒΓ()ΕΒΘΜ(

Συνεπώς τα παραλληλόγραμμα ΕΒΘΜ και ΗΜΖΔ έχουν το ίδιο εμβαδόν.


Να δείξετε ότι η διάμεσος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δύο τρίγωνα με ίδιο εμβαδόν. Μπορείτε να

εξετάσετε αν τα τρίγωνα αυτά είναι και ίσα;

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[137]

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Ο τύπος που ισχύει για το εμβαδόν του τυχαίου τριγώνου, ισχύει και στην περίπτωση του ορθογω-

νίου τριγώνου. Το εμβαδόν συνεπώς ενός ορθογωνίου τρίγωνου ισούται με το μισό του γινομένου της

βάσης με το αντίστοιχο ύψος. Στο ορθογώνιο τρίγωνο θεωρούμε συνήθως ως βάση τη μία κάθετη

πλευρά, οπότε το αντίστοιχο ύψος του είναι η άλλη κάθετη πλευρά.

Άρα για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος αν

θεωρήσουμε ως βάση την κάθετη πλευρά ΑΓ τότε το αντίστοιχο ύψος

είναι η άλλη κάθετη πλευρά ΑΒ. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ θα

δίνεται από τον τύπο:

2

ΑΒΑΓΕ

Το ότι για το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ισχύει ο ίδιος τύπος που ισχύει και για το τυχαίο

τρίγωνο, μπορεί να δικαιολογηθεί και ως εξής:

Θεωρούμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΔΓ και τη

διαγώνιο ΒΓ (όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα). Το ΑΒΔΓ

χωρίζεται σε δύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα, στο ΑΒΓ και στο ΒΔΓ. Τα

ορθογώνια τρίγωνα εφόσον είναι ίσα θα έχουν και ίσα εμβαδά, άρα

)ΒΔΓ()ΑΒΓ( . Έχουμε λοιπόν:

)ΒΔΓ()ΑΒΓ()ΑΒΔΓ(

)ΑΒΓ(2)ΑΒΔΓ(

2

)ΑΒΔΓ()ΑΒΓ(

2

ΑΒΑΓ)ΑΒΓ(

Εμβαδόν τραπεζίου

Θεωρούμε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ με μεγάλη βάση τη ΔΓ και μικρή βάση την ΑΒ. Συνηθίζουμε να

συμβολίζουμε τη μεγάλη βάση με Β και τη μικρή με β, άρα ΒΔΓ και βΑΒ .

Τοποθετούμε δίπλα στο τραπέζιο ΑΒΓΔ ένα ίσο τραπέζιο (όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα),

οπότε σχηματίζεται ένα παραλληλόγραμμο. Η βάση του παραλληλογράμμου ισούται με το άθροισμα

των βάσεων του τραπεζίου και το ύψος του είναι το ίδιο με το ύψος του τραπεζίου.

[138]

Τα τραπέζια ΑΒΓΔ και ΒΕΖΓ είναι ίσα, άρα έχουν και το ίδιο εμβαδόν, δηλαδή )ΒΕΖΓ()ΑΒΓΔ( .

Έχουμε λοιπόν:

)ΒΕΖΓ()ΑΒΓΔ()ΑΕΖΔ(

)ΑΒΓΔ(2ΑΗΔΖ

2

ΑΗΔΖ)ΑΒΓΔ(

2

υ)βΒ()ΑΒΓΔ(

υ2

βΒ)ΑΒΓΔ(

Άρα το εμβαδόν ενός τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεων του με

το ύψος του. Δηλαδή:

υ2

βΒΕ

Παράδειγμα 6 : Η μεγάλη βάση ενός τραπεζίου είναι διπλάσια από τη μικρή και το ύψος του είναι 2

cm. Αν το εμβαδόν του τραπεζίου είναι 6 cm2, να υπολογίσετε τα μήκη των βάσεων

του.

Λύση

Αν η μικρή βάση είναι x cm, τότε η μεγάλη βάση θα είναι 2x cm. Από τον τύπο του εμβαδού του

τραπεζίου έχουμε:

υ2

βΒΕ

22

xx26

x36

[139]

3

6x

2x cm

Άρα η μικρή βάση είναι 2 cm και η μεγάλη βάση 4 cm.

Παράδειγμα 7 : Το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΖΕ στο παρακάτω σχήμα είναι 9 m2. Αν 1ΔΕ m

και 2ΖΓ m, να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ

Λύση

9)ΑΒΖΕ( άρα 9ΑΒ2 οπότε 3ΑΒ m

6231ΖΓΕΖΔΕΓΔ m

Άρα για το τραπέζιο ΑΒΓΔ έχουμε:

5,132

27

2

39

2

3)63(

2

ΑΕ)ΓΔΑΒ()ΑΒΓΔ(

m

2.

Παράδειγμα 8 : Να βρείτε το εμβαδόν του παρακάτω σχήματος:

[140]

Λύση

Για να προσδιορίσουμε το εμβαδόν του σχήματος, φέρνουμε κατάλληλα ευθύγραμμα τμήματα,

ώστε να αναλυθεί σε πολύγωνα που μπορούμε να βρούμε το εμβαδόν τους εύκολα.

Ένας τρόπος χωρισμού του σχήματος σε μικρότερα πολύγωνα είναι ο παρακάτω (μπορεί το σχήμα να

χωρισθεί και με διαφορετικό τρόπο σε μικρότερα πολύγωνα των οποίων τα εμβαδά υπολογίζονται

εύκολα):

Χωρίσαμε το σχήμα σε ένα τραπέζιο, ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και ένα τετράγωνο.

Βρίσκουμε το εμβαδόν καθενός πολυγώνου:

72

2)25(Ε ουίτραπεζ

21373)25(Ε ουίορθογων

42Ε 2νουώτετραγ

Άρα το εμβαδόν όλου του σχήματος είναι: 324217Ε

Ασκήσεις

1. Αν το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι 225 cm2, να υπολογίσετε την περίμετρό του.

2. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο 80 cm και το μήκος του είναι τριπλάσιο από το

πλάτος του. Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου.

[141]

3. Mια αίθουσα διδασκαλίας έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου με μήκος 8m και πλάτος

3m. Πρόκειται να πλακοστρωθεί με τετράγωνα πλακάκια πλευράς 50cm. Να υπολογίσετε πόσα

πλακάκια θα χρειαστούν για την πλακόστρωση.

4. Ένα περιοδικό έχει 80 σελίδες με διαστάσεις 21,5cm και 29cm. Να υπολογίσετε πόσα τετραγω-

νικά μέτρα χαρτιού χρειάζονται για ένα περιοδικό.

5. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με εμβαδόν 4 cm2.

Προεκτείνουμε την πλευρά ΔΓ κατά τμήμα

ΔΓ2ΓΕ . Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου

ΒΔΕ.

6. Να συγκρίνετε τα εμβαδά των γραμμοσκιασμένων περιοχών στα δύο παραλληλόγραμμα, αν

γνωρίζετε ότι τα παραλληλόγραμμα είναι ίσα.

7. Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει πλευρές ΑΒ = 15m και BΓ = 10m. Αν το ύψος που αντιστοιχεί

στην μεγαλύτερη πλευρά είναι υ1=6m, να βρεθεί το ύψος που αντιστοιχεί στην μικρότερη

πλευρά.

8. Το τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ = 20cm και το τετράγωνο με πλευρά 10cm, έχουν ίσα εμβαδά. Να υπολο-

γίσετε τo ύψος του τριγώνου από την κορυφή Α.

9. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου αν η μεγάλη βάση είναι 6dm το ύψος του είναι

υ = 2dm και η μικρή βάση είναι τα δυο τρίτα της μεγάλης βάσης.

10. Η μεγάλη βάση ενός τραπεζίου είναι τριπλάσια της μικρής. Αν το ύψος του τραπεζίου είναι 2 m

και το εμβαδόν του 12 m2, να υπολογίσετε τις βάσεις του.

11. Στο ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ του σχήματος, η

μεγάλη βάση είναι ΑΒ = 15m και το ύψος του είναι

υ = 8m. Αν το εμβαδόν του ορθογωνίου ΓΔΖΗ είναι

40m2, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου.

[142]

12. Αν ΖΗ = 50, ΓΔ = 100, ΑΔ = 40 και ΑΖ = 30, να υπολογίσετε

το εμβαδόν του διπλανού σχήματος.

13. Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΓΔ3ΒΔ .

Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ είναι 6 cm2, να βρείτε

το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

14. Τα τετράγωνα ΑΒΓΔ και ΓΕΖΗ του διπλανού

σχήματος έχουν εμβαδά 9 m2 και 4 m

2 αντίστοιχα.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΒΓΕ.

15. Να βρείτε το εμβαδόν του διπλανού

σχήματος.

[143]

16. Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι 45 cm2. Στην πλευρά ΑΒ θεωρούμε σημείο Ε

τέτοιο ώστε 3

ΑΒΑΕ . Κατασκευάζουμε τα παραλληλόγραμμα AEZH, ΗΖΙΘ και ΘΙΓΚ (όπως

φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα). Να υπολογίσετε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιο-

χής.

17. Από ένα πάρκο σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου με διαστάσεις 35 m μήκος και 20 m

πλάτος, αποφασίστηκε να περάσουν δύο δρόμοι πλάτους 5m, όπως φαίνεται και στο παρακάτω

σχήμα. Ποιο θα είναι το εμβαδό του πάρκου που θα απομείνει μετά την κατασκευή των δρόμων;

[144]

1.4 Πυθαγόρειο θεώρημα

Πυθαγόρειο θεώρημα

Το Πυθαγόρειο θεώρημα εκφράζει τη σχέση που συνδέει τις κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου

τριγώνου με την υποτείνουσα. Δηλαδή:

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών ισούται με το

τετράγωνο της υποτείνουσας.

222 ΑΓΑΒΒΓ

ή

222 γβα

Υπενθυμίζουμε ότι κάθε πλευρά ενός τριγώνου μπορεί να ονομαστεί με το αντίστοιχο μικρό γράμμα

της απέναντι κορυφής.

Παράδειγμα 1 : Να προσδιορίσετε την πλευρά x σε καθένα από τα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα:

Λύση

[145]

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα σε καθένα από τα παραπάνω ορθογώνια τρίγωνα.

Για το 1ο τρίγωνο: 222 34x

916x 2

25x 2

5x

Για το 2ο τρίγωνο: 222 x1215

225144x 2

144225x 2

81x 2

9x

Για το 3ο τρίγωνο: 222 x610

10036x 2

36100x 2

64x 2

8x

Παράδειγμα 2 : Τα τετράγωνα ΑΒΓΔ και ΓΕΖΗ έχουν εμβαδό 144 και 81 αντίστοιχα. Να βρείτε το

μήκος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου ΒΓΕ.

Λύση

Από το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ βρίσκουμε το μήκος της πλευράς ΒΓ:

144)ΑΒΓΔ(

144ΒΓ2

12ΒΓ

[146]

Από το εμβαδόν του τετραγώνου ΓΕΖΗ βρίσκουμε το μήκος της πλευράς ΓΕ:

81)ΓΕΖΗ(

81ΓΕ 2

9ΓΕ

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΕ κι έχουμε:

222 ΓΕΒΓΒΕ

222 912ΒΕ

81144ΒΕ 2

225ΒΕ 2

15ΒΕ

Παράδειγμα 3 : Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και τα τετράγωνα ΑΒΕΔ, ΒΓΖΗ και ΑΓΘΙ που

σχηματίζονται εξωτερικά του τριγώνου, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να

δείξετε ότι: )ΑΓΘΙ()ΑΒΕΔ()ΒΓΖΗ(

Λύση

Γνωρίζουμε από τον τύπο του εμβαδού τετραγώνου ότι:

2ΒΓ)ΒΓΖΗ( (1) , 2ΑΒ)ΑΒΕΔ( (2), 2ΑΓ)ΑΓΘΙ( (3)

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ κι έχουμε: 222 ΑΓΑΒΒΓ

Αντικαθιστώντας στη σχέση του Πυθαγορείου θεωρήματος τις σχέσεις (1), (2) και (3) έχουμε:

222 ΑΓΑΒΒΓ

)ΑΓΘΙ()ΑΒΕΔ()ΒΓΖΗ(

[147]

Παράδειγμα 4 : Να βρείτε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου ορθογωνίου του παρακάτω σχήματος:

Λύση

Το ΑΒΔΕ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, άρα: 6ΑΕΒΔ .

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔΓ:

222 ΒΓΔΓΒΔ

222 10ΔΓ6

100ΔΓ36 2

36100ΔΓ2

64ΔΓ2

8ΔΓ

Άρα: 8ΔΓΔΕ

Επομένως το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι: 4868)ΑΒΔΕ(

Αντίστροφο Πυθαγορείου θεωρήματος

Αν σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων

των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με τη γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη

μεγαλύτερη πλευρά να είναι ορθή.

Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι 222 ΑΓΑΒΒΓ , τότε το

τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία

Α .

[148]

Παράδειγμα 5 : Αν τo εμβαδόν του παρακάτω τριγώνου είναι 24 cm2, να προσδιορίσετε το x και να

εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Λύση

2

x8,4E

x4,224

4,2

24x

10x cm

Εξετάζουμε αν ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος:

100643686

10010

22

2

άρα 222 8610

Οπότε ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος, άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με

υποτείνουσα την πλευρά με μήκος 10 cm.

Παράδειγμα 6 : Δίνεται τρίγωνο με πλευρές 3 cm, 4 cm και 5 cm. Να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι

ορθογώνιο. Στη συνέχεια να εξετάσετε αν το τρίγωνο που έχει τριπλάσιες πλευρές

είναι επίσης ορθογώνιο.

Λύση

Για το τρίγωνο με πλευρές 3 cm, 4 cm και 5 cm έχουμε:

2516943

255

22

2

άρα 222 435 οπότε ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος

άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Για το τρίγωνο με πλευρές 9 cm, 12 cm και 15 cm έχουμε:

22514481129

22515

22

2

άρα 222 12915 οπότε ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεω-

ρήματος άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

[149]

Παράδειγμα 7 : Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με μήκος 10ΑΒ και πλάτος 6ΑΔ

Αν το Μ είναι το μέσο της ΑΒ και το σημείο Ν βρίσκεται στην πλευρά ΒΓ έτσι ώστε

να ισχύει 4BN , να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΜΔΝ είναι ορθογώνιο.

Λύση

Το Μ είναι μέσο του ΑΒ άρα: 5ΜΒΑΜ

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΜΔ:

222 ΜΔΑΜΑΔ

222 ΜΔ56

2ΜΔ2536

61ΜΔ2

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΜΒΝ:

222 ΜΝΒΝΜΒ

222 ΜΝ45

2ΜΝ1625

41ΜΝ 2

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΝΓΔ:

222 ΔΝΓΔΝΓ

222 ΔΝ102

2ΔΝ1004

104ΔΝ2

Εξετάζουμε αν το τρίγωνο ΜΔΝ είναι ορθογώνιο:

1024161ΜΝΜΔ

104ΔΝ

22

2

άρα 222 ΜΝΜΔΔΝ οπότε δεν ισχύει το αντίστροφο του

Πυθαγορείου θεωρήματος και επομένως το ΜΔΝ δεν είναι ορθογώνιο

[150]

Ασκήσεις

1. Να προσδιορίσετε την πλευρά x σε καθένα από τα παρακάτω τρίγωνα:

2. Αν η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι 23 cm, να βρείτε την περίμετρό του.

3. Ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο έχει εμβαδόν 8 cm2. Να βρείτε το εμβαδόν τετραγώνου

που έχει ως πλευρά την υποτείνουσα του τριγώνου.

4. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (090Α

) με 12ΑΒ

και 16ΑΓ . Να βρείτε:

α) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

β) την υποτείνουσα του τριγώνου ΑΒΓ

γ) το ύψος ΑΔ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.

5. Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΓΔ και το ύψος

του ΔΒ. Αν είναι ΑΒ = 12, ΔΒ = 5 και ΔΓ= 29 ,

τότε:

α) να προσδιορίσετε τα μήκη x, y

β) να προσδιορίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΓΔ

γ) να ελέγξετε αν το ΑΓΔ είναι ορθογώνιο.

[151]

6. Να υπολογίσετε τις πλευρές x, y στο παρακάτω σχήμα και να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΔ

είναι ορθογώνιο:

7. Στο παρακάτω σχήμα να προσδιορίσετε τα x, y και στη συνέχεια να ελέγξετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ

είναι ορθογώνιο.

8. Να προσδιορίσετε το x στο παρακάτω σχήμα:

Είναι το τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο;

9. Στο παρακάτω σχήμα, να προσδιορίσετε τα x, y και στη συνέχεια να ελέγξετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ

είναι ορθογώνιο.

[152]

10. Να προσδιορίσετε στο παρακάτω σχήμα, τα x, y.

11. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ. Αν είναι ΑΒ = 17, ΑΓ = 10 και ΑΔ = 8, να

υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

12. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και φέρνουμε τη διάμεσό του ΑΔ. Αν ΒΓ = 4 και

ΑΔ = 2, να προσδιορίσετε τα μήκη των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ.

13. Αν το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι 3 cm, να προσδιορίσετε:

α) το μήκος της πλευράς του τριγώνου

β) το εμβαδόν του

14. Αν το ορθογώνιο του παρακάτω σχήματος έχει εμβαδόν Ε=24, να βρείτε τις πλευρές x, y.

15. Δίνεται τρίγωνο με μήκη πλευρών x3, x+1 και x+5. Αν η περίμετρος του τριγώνου είναι 48cm,

τότε:

α) να προσδιορίσετε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου

β) να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και να βρείτε το εμβαδόν του

[153]

16. Δίνεται ρόμβος με διαγώνιους 6m και 8m. Να προσδιορίσετε το εμβαδόν και την περίμετρο

του ρόμβου.

17. Να προσδιορίσετε τα x, y στο παρακάτω σχήμα.

18. Το εμβαδόν του τραπεζίου του διπλανού σχήματος είναι E=60. Nα προσδιορίσετε την πλευρά x.

19. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΔ και το ύψος του ΔΓ. Με πλευρά την

ΑΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου το ορθογώνιο

παραλληλόγραμμο ΑΓΕΖ, το οποίο έχει εμβαδόν 12 cm2. Αν

5ΑΔ cm, 4ΑΖ cm και ΒΔ= 97 cm, να υπολογίσετε τα

μήκη των πλευρών ΑΓ, ΓΔ, ΒΓ. Στη συνέχεια να

υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ.

20. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ορθογώνιο τρίγω-

νο ΓΔΕ. Με πλευρά την ΓΔ κατασκευάζουμε

εξωτερικά του τριγώνου το τετράγωνο ΑΒΓΔ

και πλευρά την ΔΕ κατασκευάζουμε εξωτερικά

του ΑΒΓ, το τετράγωνο ΔΕΖΗ.

Αν ΑΓ= 32 και ΕΗ=5 2 , να προσδιορίσετε

το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΕ.

[154]

21. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά 10 και η διάμεσός του ΑΔ. Αν Ε είναι η προβολή

του Δ στην ΑΓ και ΕΓ=3 να προσδιορίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΔΕ.

22. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και Ε το μέσο της πλευράς ΓΔ

(όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα).

Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΕ είναι 4, να βρείτε:

α) την πλευρά του τετραγώνου

β) το μήκος της πλευράς ΑΕ.

23. Δίνονται τα τετράγωνα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ όπως φαί-

νονται στο διπλανό σχήμα. Αν γνωρίζετε ότι το εμβαδόν

του τετραγώνου ΕΖΗΘ είναι 25 cm2, να προσδιορίσετε το

x και στη συνέχεια το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ.

24. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ) με

6ΑΒ και εμβαδόν 104)ΑΒΓΔ( . Το

τρίγωνο ΒΖΓ είναι ορθογώνιο και ισο-

σκελές με εμβαδόν 32)ΒΖΓ( .

Να βρείτε:

α) το ύψος του τραπεζίου

β) το μήκος της μεγάλης βάσης του

τραπεζίου

γ) το μήκος της πλευράς ΑΔ.

[155]

25. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με μήκος 10ΑΒ και πλάτος 4ΒΓ . Αν

52ΒΕ , τότε:

α) Να βρείτε το μήκος του τμήματος ΕΓ.

β) Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ορθογώνιο.

26. Να αποδείξετε ότι το ύψος υ ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α είναι 2

3αυ .

[157]

2.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας

Δύο από τα σήματα το Κώδικα Οδικής Κυκλοφορίας (Κ.Ο.Κ.) που συναντάμε συχνά στους δρό-

μους είναι αυτά που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Ποια είναι η ερμηνεία αυτών των σημάτων;

Το πρώτο σήμα μας προειδοποιεί ότι ο δρόμος είναι κατηφορικός με κλίση 10% ενώ το δεύτερο

σήμα αντιστοίχως μας ενημερώνει ότι ο δρόμος είναι ανηφορικός με κλίση 10%. Τι σημαίνει όμως

«κλίση 10%»;

Η πιο απλή ερμηνεία της κλίσης που μπορούμε να δώσουμε στα συγκεκριμένα σήματα, είναι ότι

για κάθε 100 m οριζόντιας απόστασης που θα διανύουμε, θα κατεβαίνουμε 10 m (σύμφωνα με το 1ο

σήμα) ή θα ανεβαίνουμε 10 m (σύμφωνα με το 2ο σήμα).

Δηλαδή:


Τριγωνομετρία

[158]

Το 1ο σήμα μας προειδοποιεί ότι ο δρόμος θα είναι κατηφορικός με κλίση 10%

Αντίστοιχα το 2ο σήμα μας προειδοποιεί ότι ο δρόμος θα είναι ανηφορικός με κλίση 10%.

Μεταφέροντας το πρόβλημα σε ένα απλό ορθογώνιο τρίγωνο με μια οξεία γωνία ω (όπως φαίνεται

στο παρακάτω σχήμα) τότε ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη

πλευρά, είναι αυτό που ονομάσαμε «κλίση». Ο λόγος αυτός αποτελεί την εφαπτομένη της γωνίας ω.

Δηλαδή:

Ο λόγος που σχηματίζεται αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά με την προσκείμενη κάθε-

τη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου, είναι πάντοτε σταθερός, ονομάζεται εφα-

πτομένη της γωνίας ω και συμβολίζεται εφω.

άπλευρθετηάκμενηίπροσκε

άπλευρθετηάκναντιέαπεφω

ΑΓ

ΑΒεφω

[159]

Παράδειγμα 1 : Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ο90Α

) με 2ΑΒ και 5ΒΓ . Να

υπολογίσετε τις εφαπτομένες των γωνιών

Β και

Γ .

Λύση

Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ για να

προσδιορίσουμε το μήκος της πλευράς ΑΓ.

222 ΒΓΑΓΑΒ

222 5ΑΓ2

5ΑΓ4 2

45ΑΓ2

1ΑΓ2

1ΑΓ

Επομένως 2

1

ΑΒ

ΑΓΒεφ

και 21

2

ΑΓ

ΑΒΓεφ

Παρατηρούμε ότι οι συμπληρωματικές γωνίες έχουν αντίστροφες εφαπτομένες.

Παράδειγμα 2 : Να σχεδιάσετε μια γωνία με εφαπτομένη 2

1.

Λύση

Για να κατασκευάσουμε μια γωνία με εφαπτομένη 2

1, θα πρέπει να σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρί-

γωνο στο οποίο οι κάθετες πλευρές να έχουν λόγο 2

1. Εδώ θα πρέπει να τονίσουμε ότι δεν είναι υπο-

χρεωτικό η μία πλευρά να έχει μήκος 1 και η άλλη 2. Ο λόγος των δύο πλευρών θα πρέπει να είναι 2

1.

Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε κατασκευάζοντας ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές που έχουν

μήκη 2 και 4 ή 3 και 6 κ.ο.κ.

Η γωνία ω του διπλανού σχήματος, είναι η ζητούμενη γωνία.

[160]


) με 3ΑΒ και 75,0Γεφ

. Να

υπολογίσετε τα μήκη των υπολοίπων πλευρών του τριγώνου.

Λύση

Από τον ορισμό της εφαπτομένης έχουμε:

ΑΓ

ΑΒΓεφ

ΑΓ

375,0

3ΑΓ75,0

75,0

3ΑΓ

4ΑΓ

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο ΑΒΓ κι έχουμε:

222 ΑΓΑΒΒΓ

222 43ΒΓ

169ΒΓ 2

25ΒΓ 2

5ΒΓ

Παράδειγμα 4 : Στο παρακάτω σχήμα δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΕ (ο90Β

), ΑΓΖ

(ο90Γ

) και ΑΔΗ (ο90Δ

). Αν 2ΓΔΒΓΑΒ και 22ΖΗΕΖΑΕ ,

να υπολογίσετε την εφαπτομένη της γωνίας

ω σε καθένα από τα τρίγωνα. Τι παρα-

τηρείτε;

[161]

Λύση

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ κι έχουμε:

222 ΑΕΒΕΑΒ

222 22ΒΕ2

8ΒΕ4 2

48ΒΕ 2

4ΒΕ2

2ΒΕ

Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ έχουμε: 12

2

ΑΒ

ΒΕεφω .

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΖ κι έχουμε:

222 ΑΖΓΖΑΓ

222 24ΓΖ4

32ΓΖ16 2

1632ΓΖ2

16ΓΖ2

4ΓΖ

Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΖ έχουμε: 14

4

ΑΓ

ΓΖεφω .

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΗ κι έχουμε:

222 ΑΗΔΗΑΔ

222 26ΔΗ6

72ΔΗ36 2

3672ΔΗ2

36ΔΗ2

6ΔΗ

Άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΗ έχουμε: 16

6

ΑΔ

ΔΗεφω .

Παρατηρούμε ότι η εφαπτομένη της γωνίας ω είναι σταθερή, σε όποιο τρίγωνο κι αν την υπολογίσου-

με.

[162]

Παράδειγμα 5 : Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ. Αν 34ΑΓ , 2ΒΔ και 3Βεφ

,

να υπολογίσετε:

α) το ύψος ΑΔ του τριγώνου

β) το μήκος του τμήματος ΔΓ

γ) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

Λύση

α) Στο ορθογώνιο ΑΒΔ έχουμε:

ΒΔ

ΑΔΒεφ

2

ΑΔ3

32ΑΔ

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα:

222 ΑΓΔΓΑΔ

222

34ΔΓ32

48ΔΓ12 2

1248ΔΓ2

36ΔΓ2

36ΔΓ

6ΔΓ

γ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι:

382

316

2

328

2

3262

2

ΑΔΔΓΒΔ

2

ΑΔΒΓΑΒΓ

[163]


) με 4ΑΓ , 132ΒΓ , ΑΒΔΕ και

4ΒΔ (όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα). Να υπολογίσετε:

α) την πλευρά ΑΒ

β) την

Βεφ

γ) την πλευρά ΔΕ

δ) την πλευρά ΒΕ

ε) το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΕΔΓ

Λύση

α) Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ.

222 ΒΓΑΓΑΒ

222 1324ΑΒ

5216ΑΒ2

1652ΑΒ2

36ΑΒ2

36ΑΒ

6ΑΒ

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:

ΑΒ

ΑΓΒεφ

6

4Βεφ

3

2Βεφ

γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔΕ έχουμε:

ΒΔ

ΔΕΒεφ

[164]

4

ΔΕ

3

2

8ΔΕ3

3

8ΔΕ

δ) Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔΕ κι έχουμε:

222 ΒΕΔΕΒΔ

2

2

2 ΒΕ3

84

2ΒΕ

9

6416

2ΒΕ

9

14464

9

208ΒΕ 2

9

208ΒΕ

3

134ΒΕ

ε) Για να βρούμε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΕΔΓ, αρκεί να αφαιρέσουμε από το εμβαδόν του

ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΒΔΕ.

)ΒΔΕ()ΑΒΓ()ΑΕΔΓ(

2

ΔΕΒΔ

2

ΑΓΑΒ)ΑΕΔΓ(

2

3

84

2

46)ΑΕΔΓ(

2

3

32

2

24)ΑΕΔΓ(

6

3212)ΑΕΔΓ(

6

3272)ΑΕΔΓ(

6

40)ΑΕΔΓ(

3

20)ΑΕΔΓ(

[165]

Ασκήσεις

1. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας που βρίσκεται στην

τελευταία σελίδα του σχολικού βιβλίου, να υπολογίσετε το μήκος x σε καθένα από τα παρακάτω

σχήματα:

2. Να σχεδιάσετε μια γωνία

ω με 2ωεφ

.

3. Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος.

Να υπολογίσετε τα μήκη x και y και στη συνέχεια

να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

4. Να προσδιορίσετε το μήκος x και να βρείτε το

εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής του

διπλανού σχήματος.

5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με

A = 600. Αν το ύψος του ΒΔ έχει μή-

κος 2 3 και η πλευρά ΒΓ έχει μήκος 2 7 , να προσδιορίσετε

το εμβαδόν του τριγώνου.

[166]

6. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος

του ΑΜ. Αν ισχύει ότι 045Β

και ΑΜ = ΜΓ = 2 , να

εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

7. Αν στο διπλανό σχήμα το τετράγωνο ΓΔΕΖ έχει εμβαδόν 36, η πλευρά

ΒΖ = 2 και Α

Γ Ζ=450, να προσδιορίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

8. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (

A =900) και το ύψος του ΑΔ. Αν

ΒΔ=3 και ΑΒ=6, να προσδιορίσετε τη εφαπτομένη της γωνίας ω

και στη συνέχεια το μήκος της πλευράς ΑΓ.

9. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ και η διαγώνιός του ΑΓ.

Αν ΒΕΑΓ, ΒΓ=2 και Β

Α Γ=300. Να προσδιορίσετε:

α) την διαγώνιο ΑΓ

β) την πλευρά ΑΒ

γ) το τμήμα ΒΕ

δ) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΕ.

[167]

10. Δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ, στα οποία

γνωρίζουμε ότι ΓΔ= 2 , 030

B και Α

Γ Δ = 450.

Να υπολογίσετε τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ.

11. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν

είναι ΔΕ//ΒΖ (όπως φαίνεται στο σχήμα), ΒΕ = 2,

ΔΕ =

4 2 και Α

E Δ = 45

0, να προσδιορίσετε το

εμβαδόν του ΑΒΓΔ.

12. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Αν

ΑΔ = 2, 060

B και 045

ΓAΔ , να προσδιορί-

σετε τα μήκη των τμημάτων ΒΔ, ΔΓ, ΑΓ καθώς

και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

[168]

2.2 Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας

Ημίτονο οξείας γωνίας

Ο λόγος που σχηματίζεται αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός

ορθογωνίου τριγώνου με την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός, ονομάζεται ημίτονο της γωνίας ω

και συμβολίζεται ημω.

νουσαίυποτε

άπλευρθετηάκναντιέαπημω

ΒΓ

ΑΒημω

Συνημίτονο οξείας γωνίας

Ο λόγος που σχηματίζεται αν διαιρέσουμε την προσκείμενη κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω

ενός ορθογωνίου τριγώνου με την υποτείνουσα, είναι πάντοτε σταθερός, ονομάζεται συνημίτονο της

γωνίας ω και συμβολίζεται συνω.


άπλευρθετηάκμενηίπροσκεσυνω

ΒΓ

ΑΓσυνω

[169]

Γνωρίζουμε ότι η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η υποτείνουσα, οπότε

προφανώς τα κλάσματα νουσαίυποτε

άπλευρθετηάκναντιέαπ και


άπλευρθετηάκμενηίπροσκε θα είναι

μικρότερα της μονάδας (διότι ο παρονομαστής τους είναι μεγαλύτερος από τον αριθμητή). Έτσι

καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι για το ημίτονο και το συνημίτονο των οξειών γωνιών ισχύει:

1ημω0 και 1συνω0


Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ο90Α

. Να αποδείξετε ότι 1ΒσυνΒημ 22

.

(Ο συμβολισμός

Βημ 2 είναι ισοδύναμος με το

2

Βημ

, εκφράζει δηλαδή το τετράγωνο του ημιτο-

νου της γωνίας

Β . Αντίστοιχα το

Βσυν 2 εκφράζει το τετράγωνο του συνημιτόνου της γωνίας

Β .)

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[170]

Τριγωνομετρικός πίνακας

Χρήσιμο είναι να γνωρίζουμε τον παρακάτω τριγωνομετρικό πίνακα, ο οποίος μας δίνει τους τριγω-

νομετρικούς αριθμούς των γωνιών ο30 , ο45 και ο60 .

ω ο30 ο45 ο60

ημω 2

1

2

2

2

3

συνω 2

3

2

2

2

1

εφω 3

3 1 3

Παράδειγμα 1 : Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (ο90Α

) με 9ΑΒ και 12ΑΓ . Να υπολο-

γίσετε τα ημίτονα και συνημίτονα των γωνιών

Β και

Γ .

Λύση

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο

ΑΒΓ για να προσδιορίσουμε το μήκος της πλευράς ΒΓ.

222 ΒΓΑΓΑΒ

222 ΒΓ129

2ΒΓ14481

225ΒΓ2

15225ΒΓ

Επομένως 5

4

15

12

ΒΓ

ΑΓΒημ

, 5

3

15

9

ΒΓ

ΑΒΓημ

5

3

15

9

ΒΓ

ΑΒΒσυν

, 5

4

15

12

ΒΓ

ΑΓΓσυν

Παρατηρούμε ότι οι για τις συμπληρωματικές γωνίες

Β και

Γ ισχύει ότι:

ΓσυνΒημ και

ΒσυνΓημ

[171]

Παράδειγμα 2 : Να σχεδιάσετε μια γωνία με συνημίτονο 2

1.

Λύση

Για να κατασκευάσουμε μια γωνία με συνημίτονο 2

1, θα πρέπει να σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο

τρίγωνο στο οποίο η μία κάθετη πλευρά με την υποτείνουσα να έχουν λόγο 2

1. Εδώ θα πρέπει να

τονίσουμε και πάλι ότι δεν είναι υποχρεωτικό η μία πλευρά να έχει μήκος 1 και η άλλη 2. Ο λόγος

των δύο πλευρών θα πρέπει να είναι 2

1. Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε κατασκευάζοντας ορθογώ-

νιο τρίγωνο με μια κάθετη πλευρά μήκους 3 και υποτείνουσα μήκους 6.

Η γωνία ω του διπλανού σχήματος, είναι η ζητούμενη

γωνία.


) με 6ΒΓ και 5,0Γημ

. Να

υπολογίσετε τα μήκη των υπολοίπων πλευρών του τριγώνου.

Λύση

Από τον ορισμό του ημιτόνου έχουμε:

ΒΓ

ΑΒΓημ

6

ΑΒ5,0

65,0ΑΒ

3ΑΒ

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο ΑΒΓ κι έχουμε:

222 ΑΓΑΒΒΓ

222 ΑΓ36

2ΑΓ936

936ΑΓ2

27ΑΓ2

3327ΑΓ

[172]

Παράδειγμα 4 : Να υπολογίσετε το εμβαδόν του παρακάτω τριγώνου:

Λύση

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε:

ΑΒ

ΑΔΒημ

4

ΑΔ60ημ ο

4

ΑΔ

2

3

34ΑΔ2

32ΑΔ

Άρα το εμβαδόν του τριγώνου είναι: 352

325

2

ΑΔΒΓΑΒΓ


) και το ύψος του ΑΔ. Αν 12ΑΒ ,

ο60Β

και ο45Γ

, τότε να υπολογίσετε:

α) το ύψος ΑΔ

β) την πλευρά ΑΓ

γ) την πλευρά ΒΓ

δ) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ

Λύση

[173]

α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε:

ΒΓ

ΑΔΒημ

12

ΑΔ60ημ ο

12

ΑΔ

2

3

312ΑΔ2

36ΑΔ

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε:

ΑΓ

ΑΔΓημ

ΑΓ

3645ημ ο

ΑΓ

36

2

2

312ΑΓ2

2

312ΑΓ

662

612ΑΓ

(κάναμε ρητοποίηση πολλαπλασιάζοντας αριθμητή και παρονομαστή με 2 )

γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ: ΑΒ

ΒΔΒσυν

12

ΒΔ60συν ο

12

ΒΔ

2

1

12ΒΔ2

6ΒΔ

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΔ: ΔΓ

ΑΔΓεφ

ΔΓ

3645εφ ο

ΔΓ

361

36ΔΓ

[174]

Άρα η πλευρά ΒΓ είναι: 366ΔΓΒΔΒΓ

δ) Για το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ έχουμε:

31831831831833366

2

36366

2

ΑΔΒΓΑΒΓ

2

54318

Παράδειγμα 6 : Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα 2ρ cm. Από ένα σημείο Β εκτός του κύ-

κλου φέρνουμε εφαπτόμενο τμήμα ΑΒ, τέτοιο ώστε 4ΒΟ cm. Να υπολογίσετε τη

γωνία ΑΟΒ

.

Λύση

Γνωρίζουμε από την Α΄ Γυμνασίου ότι η ακτίνα που καταλήγει στο

σημείο επαφής είναι πάντοτε κάθετη στην εφαπτομένη. Άρα το

τρίγωνο ΑΒΟ είναι ορθογώνιο με ο90Α

.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΟ, υπολογίζουμε το συνημίτονο της γωνίας

ΑΟΒ

:

ΟΒ

ΟΑΑΟΒσυν

4

2ΑΟΒσυν

2

1ΑΟΒσυν

Άρα με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού πίνακα, καταλήγουμε ότι ο60ΑΟΒ

.

[175]

Ασκήσεις

1. Να υπολογίσετε τις πλευρές x, y, ω στα παρακάτω σχήματα:

2. Να υπολογίσετε το ύψος και το εμβαδόν ισόπλευρου τριγώνου πλευράς 4.

3. Ένα σπασμένο δέντρο σχηματίζει ορθογώνιο τρίγωνο με το έδαφος . Αν η γωνία που σχηματίζει

το σπασμένο κομμάτι με το έδαφος είναι ο30 , ενώ το άλλο κομμάτι έχει ύψος 2 m, να βρείτε το

ύψος που είχε αρχικά το δέντρο.

4. Στο διπλανό σχήμα, δίνεται κύκλος (Ο, 6cm). Nα υπολογίσετε το

εμβαδόν του τριγώνου ΑΒO, αν γνωρίζετε ότι Α

O Β=600.

5. Να προσδιορίσετε τα x, y στο διπλανό

σχήμα. Είναι το τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο;

[176]

6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Αν ΑΓ = 4 3

ΑΒ = 4 και 060

B , να προσδιορίσετε το μήκος των

τμημάτων ΑΔ, ΒΔ, ΔΓ και τη γωνία

Γ . Στη συνέχεια

να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και

να βρείτε το εμβαδόν του.

7. Να προσδιορίσετε τα μήκη x και y στο διπλανό σχήμα.

8. Στο διπλανό σχήμα γνωρίζουμε ότι ΓΔ = 4,

oBΓA 60

και oΔBΓ 30

. Να υπολογίσετε τις

γωνίες φ, θ καθώς και τα μήκη των πλευρών ΒΓ,

ΑΒ και ΑΓ. Στη συνέχεια να προσδιορίσετε το

εμβαδόν του τριγώνου ΒΓΔ.

9. Στο διπλανό δίνεται ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ, για το οποίο ισχύουν

090ΓΑ

, ΑΒ = ΑΔ = 2 και ΓΔ = 1. Αν το Μ είναι μέσο της

πλευράς ΒΔ, να προσδιορίσετε:

α) την διαγώνιο ΒΔ

β) τη γωνία

ω

γ) το ευθύγραμμο τμήμα ΓΜ.

10. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ. Αν ΑΓ=8 2 ,

Β = 600 και

Γ = 450, να προσδιορίσετε το μήκος της πλευράς

ΑΒ.

[177]

11. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (

A =900) και το

ύψος του ΑΔ προς την υποτείνουσα. Αν ΑΔ = 2 και

Γ =300, να προσδιορίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

12. Στο διπλανό σχήμα, το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

ΑΒΓΔ έχει εμβαδόν 30. Αν ο90ΒΕΑ

και Α

B Ε=300,

να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΕ.

13. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ και Μ είναι το μέσο της πλευ-

ράς ΑΒ. Αν ΔΜ = 22 και oΔMA 45

, να βρείτε το εμ-

βαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ.

14. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με

ΑΒ = 24, ΒΓ=20 και

A =1500. Να βρείτε

το εμβαδόν του παραλληλογράμμου.

15. Να προσδιορίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ για το

οποίο ισχύει ΑΒ = 3, ΑΓ = 5 και

A =600.

[178]

16. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Αν ΑΓ = 8 ,

ΑΒ = 24 και 030

Γ , να προσδιορίσετε το μήκος

του ΑΔ, και τη γωνία

B .

17. Στο διπλανό σχήμα δίνονται δυο ορθογώνια τρί-

γωνα ΑΒΓ και ΒΔΑ για τα οποία γνωρίζουμε ότι

ΒΔ = 4, ΑΔ = 8 και φBΓAΔAB

. Να υπολο-

γίσετε τα μήκη των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ καθώς

και τη γωνία φ.

18. Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος

του ΑΔ και το τετράγωνο ΒΔΕΖ που έχει εμβαδόν

16. Αν ΓΔ=12 και Α

B Γ= 600, να προσδιορίσετε τα

μήκη των πλευρών ΑΒ, ΑΔ, ΑΓ και το εμβαδόν του

τριγώνου ΑΒΓ. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο;

19. Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (

A = 900) και

η διάμεσός του ΒΜ. Αν 52BM και ΑΜ = 4, να

προσδιορίσετε τα μήκη των τμημάτων x, y και τους

τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

20. Στο διπλανό σχήμα γνωρίζουμε ότι ΒΕ =3 2 ,

ΓΔ =2 2 , 045Β

και Ε

Γ Δ=300. Να προσδιο-

ρίσετε τη γωνία θ.

[179]

21. Στο διπλανό σχήμα, το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου

ΒΓΔ είναι 9, η πλευρά ΒΔ= 3 και

A = 600. Να προσδιο-

ρίσετε το μήκος των τμημάτων ΓΔ, ΑΔ και ΑΓ.


A = 900).

Αν Δ είναι το μέσο της ΑΓ, ΔΕΒΓ, ο30Γ

και ΒΓ=3

38, να προσδιορίσετε το εμβαδόν του

τετραπλεύρου ΑΒΕΔ.

23. Δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ που έχουν κοινή

υποτείνουσα την ΑΓ. Αν γνωρίζετε ότι ο60AΓB

, ο45ΔAΓ

και ΑΓ = 4, να προσδιορίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου

ΑΒΓΔ.

24. Στο διπλανό σχήμα δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ

(ο90Α

) και ΒΔΜ (ο90Δ

) με 3ΔΜ , 23ΑΓ και

ο30ΜΒΔ

. Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, να βρείτε

το μήκος της πλευράς ΑΒ.

[180]

25. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, στο οποίο η

διαγώνιος ΑΓ σχηματίζει με την πλευρά ΑΒ γωνία 300. Αν το

εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι 4 3 , να προσδιορίσετε

την περίμετρό του.

26. Στο διπλανό σχήμα γνωρίζουμε ότι :

ο90BΔΓABΓ

, ο30ΓAB

, ο45ΓBΔ

και

ΑΒ = 32 . Αν Η είναι το μέσο του τμήματος ΒΔ,

να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου ΔΕΖΗ.

[181]

3.1 Εγγεγραμμένες γωνίες

Επίκεντρη γωνία

Θεωρούμε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Μια γωνία yOx

της

οποίας η κορυφή συμπίπτει με το κέντρο Ο του κύκλου, λέγεται επί-

κεντρη γωνία.

Ειδικότερα:

Κάθε γωνία που η κορυφή της είναι το κέντρο ενός κύκλου (Ο, ρ), ονομάζεται επίκεντρη γωνία.

Όπως βλέπουμε και στο παραπάνω σχήμα, οι πλευρές Οx και Oy τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Α

και Β αντίστοιχα και έτσι σχηματίζεται το τόξο

ΑΒ . Το τόξο

ΑΒ ονομάζεται αντίστοιχο τόξο της

επίκεντρης γωνίας yOx

ή όπως αλλιώς λέμε η γωνία yOx

βαίνει στο τόξο

ΑΒ .


Μέτρηση κύκλου

[182]

Ως μέτρο ενός τόξου ορίζεται το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας, δηλαδή το μέτρο ενός

τόξου το μετράμε σε μοίρες. Αυτό πρακτικά σημαίνει πως η επίκεντρη γωνία και το αντίστοιχο τόξο

της έχουν το ίδιο μέτρο, άρα όσων μοιρών είναι η επίκεντρη γωνία τόσων μοιρών θα είναι και το αντί-

στοιχο τόξο και αντίστροφα.

Αν δηλαδή στο παραπάνω σχήμα η επίκεντρη γωνία είναι ο40 τότε και το αντίστοιχο τόξο θα είναι

ο40 . Επομένως αν γνωρίζουμε το μέτρο μιας επίκεντρης γωνίας τότε ουσιαστικά γνωρίζουμε και το

μέτρο του αντίστοιχου τόξου και αντίστροφα, αν γνωρίζουμε το μέτρο ενός τόξου τότε γνωρίζουμε

και το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας.


Να βρείτε πόσες μοίρες έχει ο κύκλος και το ημικύκλιο. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους, δυο ίσες επίκεντρες γωνίες αντιστοιχούν σε ίσα τόξα αλλά

και αντίστροφα, δυο ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες επίκεντρες γωνίες.

[183]


Να βρείτε τα μέτρα των τόξων

ΑΒ και

ΓΔ στο παρακάτω σχήμα . Είναι ίσα τα τόξα;


…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Εγγεγραμμένη γωνία

Μια γωνία

xAy που η κορυφή της Α ανήκει στον κύκλο (Ο, ρ) και οι πλευρές της Ax και Ay

τέμνουν τον κύκλο, λέγεται εγγεγραμμένη γωνία στον κύκλο (Ο, ρ).

Το τόξο

ΒΓ του κύκλου (Ο, ρ) που περιέχεται στην

εγγεγραμμένη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της γωνίας ή

όπως αλλιώς λέμε η εγγεγραμμένη γωνία βαίνει στο τόξο

ΒΓ .

[184]

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης γωνίας που αντιστοιχεί στο ίδιο τόξο.

Στο διπλανό σχήμα η εγγεγραμμένη γωνία

ΒΑΓ και η επίκεντρη γωνία

ΒΟΓ αντιστοιχούν στο (ίδιο) τόξο

ΒΓ . Αν η επίκεντρη γωνία

ΒΟΓ

έχει μέτρο ο120 τότε η εγγεγραμμένη γωνία

ΒΑΓ θα ισούται με το

μισό της

ΒΟΓ , δηλαδή με ο60 .

Εφόσον ο120ΒΟΓ

, άρα και το αντίστοιχο τόξο θα έχει μέτρο ο120 .

Άρα καταλήγουμε στο συμπέρασμα:

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της.


Να βρείτε το μέτρο της εγγεγραμμένης γωνίας ΓΑΒ

του παρακάτω σχήματος:

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

[185]

Σύμφωνα με τη δραστηριότητα 3 καταλήγουμε ότι:

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που αντιστοιχεί σε ημικύκλιο είναι ορθή.


Να βρείτε τα μέτρα των εγγεγραμμένων γωνιών

ω και

φ του παρακάτω σχήματος:

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Καταλήγουμε συνεπώς στο συμπέρασμα ότι:

Οι εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που αντιστοιχούν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι

μεταξύ τους ίσες.

[186]

Παράδειγμα 1 : Θεωρούμε κύκλο (Ο, ρ) και τα τόξα ο80ΑΒ

και ο120ΒΓ

. Να βρείτε τις γωνίες

του τριγώνου ΑΒΓ.

Λύση

Η γωνία

Α είναι εγγεγραμμένη και αντιστοιχεί στο τόξο ο120ΒΓ

, άρα

οο

602

120Α

.

Η γωνία

Γ είναι εγγεγραμμένη και αντιστοιχεί στο τόξο ο80ΑΒ

, άρα

οο

402

80Γ

.

Γνωρίζουμε ότι το άθροισμα γωνιών του τριγώνου είναι ο180 , άρα:

ο180ΓΒΑ

οοο 18040Β60

οοο 4060180Β

ο80Β

Παράδειγμα 2 : Να προσδιορίσετε το μέτρο της γωνίας

φ στο παρακάτω σχήμα:

Λύση

Παρατηρούμε ότι η μη κυρτή επίκεντρη γωνία του σχήματος έχει μέτρο ο210 , άρα για την επίκεντρη

κυρτή γωνία

ΓΟΒ θα ισχύει: οοο 150210360ΓΟΒ

.

Γνωρίζουμε ότι κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας, άρα:

οο

752

150

2

ΒΟΓφ

.

[187]

Παράδειγμα 3 : Θεωρούμε κύκλο (Ο, ρ) και τα διαδοχικά του σημεία Α, Β, Γ, Δ τα οποία σχημα-

τίζουν τα τόξα ο60ΑΒ

, ο100ΒΓ

και ο80ΓΔ

.

Να βρείτε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓ.

Λύση

ΓΔΒΓΑΒ360ΑΔ ο

οοοο 8010060360ΑΔ

ο120ΑΔ

Η γωνία

Α είναι εγγεγραμμένη στο τόξο

οοο 18080100ΓΔΒΓΒΓΔ

άρα οο

902

180Α

Η γωνία

Β είναι εγγεγραμμένη στο τόξο οοο 20080120ΓΔΑΔΑΔΓ

,

άρα οο

1002

200Α

Η γωνία

Γ είναι εγγεγραμμένη στο τόξο οοο 18012060ΑΔΑΒΒΑΔ

,

άρα οο

902

180Γ

.

Η γωνία

Δ είναι εγγεγραμμένη στο τόξο οοο 16010060ΒΓΑΒΑΒΓ

, άρα οο

802

160Δ

Παράδειγμα 4 : Δίνεται κύκλος (Ο, 3 cm) και η διάμετρός του ΒΓ. Αν το σημείο Α βρίσκεται πάνω

στον κύκλο και ισχύει ο60ΑΒ

, τότε:

α) να δείξετε ότι το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο

β) να βρείτε το μήκος της πλευράς ΑΒ

γ) να προσδιορίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

Λύση

α) Η γωνία ΓΑΒ

είναι εγγεγραμμένη και βαίνει σε ημικύκλιο,

άρα είναι ορθή, δηλαδή: ο90ΓΑΒ

.

Συνεπώς το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

β) Η γωνία

Γ είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο τόξο

ο60ΑΒ

, επομένως: οο

302

60Γ

.

[188]

Η ακτίνα του κύκλου είναι 3 cm άρα για τη διάμετρο ΒΓ θα ισχύει: 632ΒΓ cm

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: ΒΓ

ΑΒΓημ

6

ΑΒ30ημ ο

6

ΑΒ

2

1

6ΑΒ2

3ΑΒ cm

γ) Για να βρούμε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, χρειάζεται να γνωρίζουμε τα μήκη των

καθέτων πλευρών του. Για να βρούμε το μήκος της ΑΓ εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα:

222 ΒΓΑΓΑΒ

222 6ΑΓ3

36ΑΓ9 2

936ΑΓ2

27ΑΓ2

3327ΑΓ cm

Το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ είναι: 2

39

2

333

2

ΑΓΑΒ)ΑΒΓ(

cm

2.

Παράδειγμα 5 : Σε κύκλο (Ο, ρ) φέρνουμε δυο παράλληλες χορδές ΑΒ και ΓΔ. Να δείξετε ότι οι

χορδές ΑΓ και ΒΔ είναι ίσες.

Λύση

Οι χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι παράλληλες, άρα

ΑΔΓΔΑΒ

(ως εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων ΑΒ και ΓΔ που τέ-

μνονται από την ΑΔ).

Οι γωνίες

ΔΑΒ και

ΑΔΓ είναι εγγεγραμμένες και ίσες μεταξύ

τους, άρα θα αντιστοιχούν σε ίσα τόξα. Δηλαδή:

ΑΓΒΔ .

Όμως ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές, επομένως συμπε-

ραίνουμε ότι: ΑΓΒΔ .

[189]

Παίρνοντας αφορμή από το παράδειγμα 5, αξίζει να αναφέρουμε ότι στον ίδιο κύκλο ή σε

ίσους κύκλους ισχύει η παρακάτω αλυσίδα αντιστοιχίσεων :

Ίσες επίκεντρες γωνίες Ίσες εγγεγραμμένες γωνίες Ίσα τόξα Ίσες χορδές

Ασκήσεις

1. Να προσδιοριστούν οι ζητούμενες γωνίες σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα:

2. Να προσδιορίσετε τις ζητούμενες γωνίες στα παρακάτω σχήματα:

3. Να προσδιορίσετε στο διπλανό σχήμα τη γωνία x αν

γνωρίζετε ότι ο120ΑΔ

και ο80ΒΓ

.

[190]

4. Στο διπλανό σχήμα δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγαμμένο σε

κύκλο (Ο, ρ). Αν Δ είναι σημείο του τόξου

ΒΓ , να προσδιορίσετε

τη γωνία ΓΔΒ

.

5. Στο διπλανό σχήμα γνωρίζουμε ότι η ακτίνα του κύκλου είναι

ρ = 3 και

ΑΔ = 600 . Να προσδιορίσετε το μήκος x της πλευράς

ΒΓ.

6. Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος (Ο, ρ) με διάμετρο την ΑΓ.

Αν 10x2ΓBA

, xΓB

και 40x3ΑΔ

. Να προσδιο-

ρίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.

7. Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύ-

κλο. Αν γνωρίζουμε ότι ΑΔΒΓ , Δ

A Γ = 450,

ΑΓ = 1200 και

ΒΔ=2, να προσδιορίσετε το μέτρο του τόξου

BΑ και τα μήκη

των πλευρών ΔΓ και ΑΓ.

8. Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο

σε κύκλο με την πλευρά ΒΓ να είναι διάμετρος του κύ-

κλου και ΑΚ το ύψος του τριγώνου.

Αν είναι γνωστό ότι ΟΑ = ΟΒ = ΑΒ και ΑΚ= 3 , να

προσδιορίσετε:

α) το μήκος της πλευράς ΑΒ

β) το μήκος της πλευράς ΑΓ

γ) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

[191]

9. Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ, οι

οποίες τέμνονται στο σημείο Κ. Αν είναι γνωστό ότι ΚΔ=2 3

και ΑΔ = 4, να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας Α

B Γ και του

τόξου

ΒΔ .

10. Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι χορδές ΑΓ και ΔΒ, οι οποίες

τέμνονται κάθετα στο σημείο Κ. Αν είναι γνωστό ότι

ΑΔ = 600,

ΒΓ =1200, ΓΚ=2 3 και ΑΚ= 3 , να προσδιορίσετε το εμβα-

δόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.

11. Στο διπλανό σχήμα, οι διάμετροι ΑΓ και ΒΔ του κύκλου, σχημα-

τίζουν γωνία 600. Αν η ακτίνα του κύκλου είναι ρ = 2, να προσδιο-

ρίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.

12. Δίνεται κύκλος (Ο, ρ) με ΑΟΒΓ, ΑΓ=2 2 και

ΒΔ = ο120

(όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα). Να προσδιορίσετε την

γωνία Δ

B Γ καθώς και τα μήκη των πλευρών ΒΔ, ΔΓ.

13. Δίνεται εγγεγραμμένο τρίγωνο ΑΒΓ, με την πλευρά του ΒΓ

να είναι διάμετρος του κύκλου και ΑΒ = 2 . Αν η ακτίνα του

κύκλου είναι ρ = 1, να προσδιορίσετε την εγγεγραμμένη γωνία

x του σχήματος.

[192]

3.2 Κανονικά πολύγωνα

Όπως διαπιστώσαμε και στο παράδειγμα 5 της προηγούμενης ενότητας (§3.1), στον ίδιο κύκλο ή

σε ίσους κύκλους ισχύουν τα εξής:

Ίσες επίκεντρες γωνίες αντιστοιχούν σε ίσες εγγεγραμμένες γωνίες και αντίστροφα.

Ίσες εγγεγραμμένες γωνίες αντιστοιχούν σε ίσα τόξα και αντίστροφα.

Ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές και αντίστροφα.

Πολύγωνο

Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστή τεθλασμένη γραμμή. Κάθε πολύγωνο με ν πλευρές (και ν

κορυφές αντίστοιχα) ονομάζεται ν-γωνο ή ν-πλευρο (προφανώς με ν φυσικό αριθμό και 3ν ).

Αν το πλήθος των πλευρών είναι 3ν , τότε το πολύγωνο λέγεται τρίγωνο.

τρίγωνο

Αν το πλήθος των πλευρών είναι 4ν , τότε το πολύγωνο λέγεται τετράπλευρο (και όχι τετράγωνο

διότι το τετράγωνο είναι ένα πολύ εξειδικευμένο τετράπλευρο που έχει τις γνωστές ιδιότητες).

τετράπλευρο

[193]

Αν το πλήθος των πλευρών είναι 5ν , 6ν , 7ν , …. τότε το πολύγωνο λέγεται αντίστοιχα

πεντάγωνο, εξάγωνο, επτάγωνο,… κ.ο.κ.

πεντάγωνο εξάγωνο επτάγωνο

Κανονικό πολύγωνο

Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό αν έχει όλες τις πλευρές του είναι μεταξύ τους ίσες και όλες τις

γωνίες του μεταξύ τους ίσες.

π.χ.

ισόπλευρο τρίγωνο τετράγωνο κανονικό εξάγωνο

Για να κατασκευάσουμε ένα κανονικό ν-γωνο ακολουθούμε την εξής διαδικασία:

Κατασκευάσουμε κύκλο (Ο, ρ)

Υπολογίζουμε τη γωνία ν

360ω

(ν είναι το πλήθος των πλευρών του κανονικού πολυγώνου)

Σχηματίζουμε διαδοχικά ν επίκεντρες γωνίες

ω , οι οποίες χωρίζουν τον κύκλο σε ν ίσα τόξα.

Ενώνουμε με διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα τα άκρα των τόξων.

Ας δούμε αναλυτικά τον τρόπο κατασκευής του κανονικού εξαγώνου:

[194]

Κατασκευάζουμε αρχικά έναν κύκλο (Ο, ρ) και ορίζουμε τη

γωνία ο60

6

360ω

.

Σχεδιάζουμε τις 6 διαδοχικές επίκεντρες γωνίες ο60ω

οι

οποίες χωρίζουν τον κύκλο σε έξι ίσα τόξα που το καθένα

έχει μέτρο ο60 (όσο είναι δηλαδή και το μέτρο της

αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας).

Ενώνουμε με διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα τα άκρα των

τόξων και έτσι κατασκευάζουμε το κανονικό εξάγωνο.


Να κατασκευάσετε (σύμφωνα με τη διαδικασία που έχουμε περιγράψει) ένα ισόπλευρο τρίγωνο.


Να κατασκευάσετε (σύμφωνα με τη διαδικασία που έχουμε περιγράψει) ένα τετράγωνο.

[195]

Παρατηρούμε ότι για την κατασκευή ενός κανονικού πολυγώνου, απαιτείται αρχικά η σχεδίαση

ενός κύκλου, του οποίου σημεία είναι τελικά οι κορυφές του κανονικού πολυγώνου. Ο κύκλος αυτός

ονομάζεται περιγεγραμμένος κύκλος του κανονικού πολυγώνου, ενώ το πολύγωνο λέγεται εγγε-

γραμμένο στον κύκλο. Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται και κέντρο του κανονικού

πολυγώνου.

Κάθε μία από τις επίκεντρες γωνίες

ω που σχεδιάζουμε κατά την κατασκευή του κανονικού

πολυγώνου, λέγεται κεντρική γωνία και έχει μέτρο:

ν

360ω

ο

Γωνία ενός κανονικού πολυγώνου ονομάζουμε τη γωνία που σχηματίζουν δύο διαδοχικές πλευ-

ρές του. Η γωνία αυτή συμβολίζεται με

φ και το μέτρο της δίνεται από τον τύπο:

ν

360180φ

οο

Παρατηρούμε προφανώς ότι :

Η γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι παραπληρωματική της κεντρικής του γωνίας.

Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζονται όλα τα χαρακτηριστικά στοιχεία ενός κανονικού ν-γώνου.

νω

: κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

ν

360ω

ο

ν

νφ

: γωνία κανονικού πολυγώνου

ν

360180φ

οο

ν

Α1Α2: πλευρά κανονικού ν-γώνου (η πλευρά του

κανονικού ν-γωνου συμβολίζεται λν)

Ο: κέντρο κανονικού ν-γώνου

[196]

Παράδειγμα 1 : Να προσδιορίσετε τη γωνία και την κεντρική γωνία ενός κανονικού 12-γώνου.

Λύση

οοοο

ο

12 1503018012

360180φ

οο

3012

360ω

12

Παράδειγμα 2 : Ποιο κανονικό πολύγωνο έχει γωνία ο144 ;

Λύση

ο

12 144φ

οο

ο 144ν

360180

ν

360144180

οοο

οο

36ν

360

360ν36

36

360ν

10ν

Άρα το κανονικό δεκάγωνο έχει γωνία ο144 .

Παράδειγμα 3 : Υπάρχει κανονικό πολύγωνο με γωνία ο100 ;

Λύση

Αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο με ο100 , τότε θα ισχύει:

ο

ν 100φ

οο

ο 100ν

360180

ν

360100180

οοο

οο

80ν

360

360ν80

[197]

2

9

80

360ν

Επειδή όμως το ν πρέπει να είναι φυσικός αριθμός (δεν γίνεται ένα κανονικό πολύγωνο να έχει πλή-

θος πλευρών που δεν είναι φυσικός αριθμός!!!), καταλήγουμε ότι δεν υπάρχει κανονικό πολύγωνο με

γωνία ο100 .

Παράδειγμα 4 : Υπάρχει κανονικό πολύγωνο που η γωνία του να ισούται με την κεντρική του γωνία;

Λύση

Αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο που η γωνία του να ισούται με την κεντρική του γωνία, τότε θα

ισχύει:

νν φω

ν

360180

ν

360 οο

ο

οοο

180ν

360

ν

360

οο

180ν

720

720ν180

180

720ν

4ν

Άρα το τετράγωνο είναι το μοναδικό κανονικό πολύγωνο που η γωνία του και η κεντρική του γωνία

είναι ίσες.

[198]

Ασκήσεις

1. Να βρείτε το πλήθος των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου με κεντρική γωνία:

α) 600, β) 120

0, γ) 45

0, δ) 30

0, ε) 20

0, στ) 10

0

2. Να βρείτε το πλήθος των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου με γωνία:

α) 1200, β) 135

0, γ) 90

0, δ) 170

0, ε) 108

0

3. Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο με κεντρική γωνία: α) 720, β) 45

0, γ) 55

0

4. Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο με γωνία: α) 1620, β) 80

0, γ) 73

0.

5. Να βρείτε τη γωνία και την κεντρική γωνία ενός κανονικού: α) 6-γωνου, β) 8-γωνου

6. Δίνεται κανονικό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ και ΑΝ η διχοτόμος της γωνίας

ΔΑΕ . Να δείξετε ότι

ΑΒΑΝ

[199]

3.3 Μήκος κύκλου


Μετρήστε τη διάμετρο δ καθενός από τους παρακάτω κύκλους, στη συνέχεια με τη βοήθεια μιας

κλωστής μετρήστε το μήκος L κάθε κύκλου και συμπληρώστε τα παρακάτω κενά.

δ …… δ …… δ ……

L …… L …… L ……

Υπολογίστε για κάθε κύκλο τι αποτέλεσμα δίνει ο λόγος δ

L;

Αν κάνουμε σωστά τις μετρήσεις στην δραστηριότητα 1, θα διαπιστώσουμε πως για κάθε κύκλο ο

λόγος δ

L δίνει αποτέλεσμα περίπου 3,14.

Αποδεικνύεται ότι σε όλους τους κύκλους, ο λόγος του μήκους του κύκλου προς τη διάμετρό του

είναι σταθερός. Ο σταθερός αυτός αριθμός ονομάστηκε π και είναι ένας άρρητος αριθμός με άπειρα

δεκαδικά ψηφία, τα οποία δεν προκύπτουν με συγκεκριμένη διαδικασία.

.......6939935028841971264338327989793238461415926535,3π

[200]

Σύμφωνα λοιπόν με όλα όσα αναφέραμε, καταλήγουμε ότι ισχύει η σχέση: πδ

L

Από τη σχέση αυτή προκύπτει και ο τύπος που μας δίνει το μήκος ενός κύκλου:

δπL ή ρπ2L

όπου ρ είναι η ακτίνα του κύκλου

Αν στις ασκήσεις χρειαστεί να αντικαταστήσουμε το π τότε θα χρησιμοποιούμε την προσεγγιστική

τιμή 3,14.

Παράδειγμα 1 : Ένας κύκλος έχει ακτίνα 3ρ cm. Να υπολογίσετε το μήκος του.

Λύση

84,18314,32πρ2L cm

Θα μπορούσαμε την άσκηση να τη λύσουμε χωρίς να αντικαταστήσουμε το π με την προσεγγιστική

τιμή 3,14 (κι έτσι θα είχαμε το πραγματικό αποτέλεσμα και όχι ένα προσεγγιστικό). Στην περίπτωση

αυτή θα γράφαμε: π63π2πρ2L cm. Από μαθηματικής άποψης αυτό είναι και το σωστότερο

αποτέλεσμα. Παρόλα αυτά στη Β΄ Γυμνασίου συνηθίζουμε να αντικαθιστούμε το π και να βρίσκουμε

προσεγγιστικά αποτελέσματα στη μέτρηση του μήκους των κύκλων.

Παράδειγμα 2 : Ένας κύκλος έχει μήκος 7,15L cm. Να υπολογίσετε την ακτίνα του.

Λύση

πρ2L

ρ14,327,15

ρ28,67,15

28,6

7,15ρ

5,2ρ cm

[201]

Παράδειγμα 3 : Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με 3ΑΒ και

4ΒΓ . Να βρείτε το μήκος του κύκλου.

Λύση

Η γωνία

Β είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο και αντιστοιχεί σε ημικύκλιο, άρα ο90Β

.

Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο ΑΒΓ κι έχουμε:

222 ΒΓΑΒΑΓ

222 43ΑΓ

169ΑΓ2

25ΑΓ2

525ΑΓ

Η ΑΓ είναι διάμετρος του κύκλου, επομένως η ακτίνα του κύκλου θα είναι 2

5

2

ΑΓρ .

Για το μήκος του κύκλου ισχύει: 7,152

514,32πρ2L


ο30Γ

. Να βρείτε το μήκος του κύκλου.

Λύση

[202]

Η γωνία


.

Στο ορθογώνιο ΑΒΓ έχουμε: ΑΓ

ΑΒΓημ

ΑΓ

330ημ ο

ΑΓ

3

2

1

6ΑΓ

Η ΑΓ είναι διάμετρος του κύκλου, επομένως η ακτίνα του κύκλου θα είναι 32

6

2

ΑΓρ .

Για το μήκος του κύκλου ισχύει: 84,18314,32πρ2L .

Ασκήσεις

1. Να βρείτε το μήκος ενός κύκλου με ακτίνα: α) 5 cm β) 10 cm.

2. Να βρείτε το μήκος ενός κύκλου με διάμετρο: α) 5 cm β) 10 cm.

3. Να υπολογίσετε το μήκος ημικυκλίου με ακτίνα: α) 5 cm β) 10 cm.


A =900

) με ΑΒ = 9 και ΑΓ = 12.

Να υπολογίσετε το άθροισμα του μήκους των ημικυκλίων που σχη-

ματίζονται εκτός του τριγώνου, με διαμέτρους τις πλευρές του τριγώ-

νου.

5. Αν τα μήκη δύο κύκλων διαφέρουν κατά 16π cm, να βρείτε κατά πόσο διαφέρουν οι διάμετροι

των κύκλων.

6. Δίνεται κύκλος με διάμετρο ΑΒ. Από σημείο Γ του κύκλου φέρνουμε τις χορδές ΓΑ και ΓΒ έτσι

ώστε να είναι ΓΑ = 8 και ΓΒ = 6. Να υπολογίσετε το μήκος του κύκλου.

[203]

7. Αν ένα ποδήλατο διανύσει μια απόσταση 1884 m, κάνοντας η κάθε ρόδα του

1000 στροφές, να υπολογίσετε ποια είναι η ακτίνα της ρόδας.

8. Η μπροστινή ρόδα ενός τρακτέρ έχει ακτίνα 0,75m ενώ πίσω ρόδα του

τρακτέρ (που είναι μεγαλύτερη) έχει διπλάσια ακτίνα. Αν η μπροστινή

ρόδα κάνει 30 περιστροφές να βρείτε πόσες περιστροφές έχει κάνει η

πίσω ρόδα.

9. Στο διπλανό σχήμα δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, ρ)

με 32ΑΓ και ο60Β

. Να βρείτε το μήκος του κύκλου και το

εμβαδόν του τριγώνου.

10. Το μήκος του κύκλου στο διπλανό σχήμα είναι 47,1 cm.

Αν ΑΓ = 12 cm , να προσδιορίσετε το μήκος της χορδής ΑΒ.

11. Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και εγγεγραμμένο τρίγωνο ΑΒΓ. Αν

γνωρίζετε ότι ΑΒ = 8 3 και

AB = 1200, να υπολογίσετε το μήκος

του κύκλου.

12. Στη διάμετρο ΑΒ ενός κύκλου (Ο, ρ), παίρνουμε τα σημεία Γ, Δ

έτσι ώστε ΑΓ = ΓΔ = ΔΒ. Κατασκευάζουμε στο εσωτερικό του κύ-

κλου (Ο, ρ), με διαμέτρους τα τμήματα ΑΓ, ΓΔ, ΔΒ τρεις κύκλους.

Να αποδείξετε ότι το άθροισμα του μήκους των τριών κύκλων στο

εσωτερικό του (Ο, ρ) ισούται με το μήκος του κύκλου (Ο, ρ).

[204]

3.5 Εμβαδόν κυκλικού δίσκου

Κυκλικός δίσκος ονομάζεται η περιοχή του επιπέδου που περικλείεται

από έναν κύκλο (Ο, ρ).

Το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ δίνεται από τον τύπο:

2ρπΕ

Παράδειγμα 1 : Να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου με ακτίνα 2ρ cm..

Λύση

56,12414,3214,3ρπΕ 22 cm2

Παράδειγμα 2 : Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν 26,28Ε cm2. Να υπολογίσετε την ακτίνα του.

Λύση

2ρπΕ

2ρ14,326,28

2ρ14,3

26,28

9ρ2

39ρ cm

[205]


8ΒΓ . Να βρείτε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής.

Λύση

Η γωνία


.

Εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο ΑΒΓ κι έχουμε:

222 ΒΓΑΒΑΓ

222 86ΑΓ

6436ΑΓ2

100ΑΓ2

10100ΑΓ

Η ακτίνα του κυκλικού δίσκου είναι: 52

10

2

ΑΓρ

Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου είναι: 5,782514,3514,3ρπΕ 22σκουίδύκυκλικο

Το εμβαδόν του τριγώνου είναι: 242

86

2

ΒΓΑΒ)ΑΒΓ(

Άρα το εμβαδόν της ζητούμενης περιοχής, θα προκύψει αν αφαιρέσουμε από το εμβαδόν του

κυκλικού δίσκου το εμβαδόν του τριγώνου, οπότε:

5,54245,78)ΑΒΓ(ΕΕ σκουίδύκυκλικο

[206]

Παράδειγμα 4 : Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι με ακτίνες 3ρ1 και 2ρ 2 . Να βρείτε το εμβα-

δόν του δακτυλίου. (Δακτύλιος ονομάζεται η περιοχή του επιπέδου που βρίσκεται

ανάμεσα σε δύο ομόκεντρους κύκλους)

Λύση

Για να βρούμε το εμβαδόν του ζητούμενου δακτυλίου, θα πρέπει να

αφαιρέσουμε από το εμβαδόν του μεγάλου κυκλικού δίσκου το

εμβαδόν του μικρού κυκλικού δίσκου. Δηλαδή:

414,3914,3214,3314,3πρπρΕ 222

2

2

1ουίδακτυλ

7,15514,34914,3

Ασκήσεις

1. Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου με:

α) ακτίνα ρ = 4 β) ακτίνα ρ = 5

γ) διάμετρο δ = 20 δ) διάμετρο δ = 8

2. Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου όταν το μήκος του αντίστοιχου κύκλου είναι:

α) L = 4π β) L = 12π

γ) L = π δ) L = 2π

3. Αν ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν π, να υπολογίσετε το μήκος του αντίστοιχου κύκλου.

4. Αν ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν 9π, να υπολογίσετε το μήκος του αντίστοιχου κύκλου.

5. Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν 225π. Να βρείτε την ακτίνα και το μήκος του κύκλου.

6. Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν 625π. Να βρείτε την ακτίνα και το μήκος του κύκλου.

[207]

7. Αν τριπλασιάσουμε το μήκος ενός κύκλου, πόσες φορές θα μεγαλώσει το εμβαδόν του;

8. Αν τετραπλασιάσουμε το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου, πόσο θα μεγαλώσει το εμβαδόν του;

9. Δυο ομόκεντροι κύκλοι έχουν ακτίνες ρ1 = 5 και ρ2 = 8. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του δακτυλίου

που σχηματίζουν.

10. Αν το εμβαδόν του δακτυλίου δύο κύκλων είναι 20π και η ακτίνα του μεγάλου κύκλου είναι 6,

να προσδιορίσετε την ακτίνα του μικρού κύκλου.

11. Αν στο διπλανό σχήμα είναι

B = 450 και το εμβαδόν του τριγώνου

είναι 16, να προσδιορίσετε το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου.

12. Αν στο διπλανό σχήμα είναι

B =300 και το εμβαδόν του τριγώ-

νου είναι 2

325, να προσδιορίσετε το μήκος και το εμβαδόν του

κύκλου.


A =900) με ΑΒ = 6 και ΑΓ = 8.

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ημικυκλίου με διάμετρο το ΒΓ ισούται

με το άθροισμα των εμβαδών των ημικυκλίων με διαμέτρους τις κάθε-

τες πλευρές του τριγώνου.

14. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΟΑΒ (ΟΑ = ΟΒ) και

ΟΜ το ύψος του. Κατασκευάζουμε κύκλο με κέντρο

το Ο και ακτινα ΟΜ, ο οποίος τέμνει τις πλευρές ΟΑ

και ΟΒ του τριγώνου στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα,

τα οποία είναι και μέσα των πλευρών αυτών.

Αν 32ΜΒ , να βρείτε:

α) τη γωνία

Β

β) το μήκος του κύκλου

γ) το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου.

[208]

15. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Κ, ρ), έτσι

ώστε η πλευρά ΒΓ να είναι διάμετρος του κύκλου. Αν

B = 600

και ΑΒ = 6, να προσδιορίσετε το εμβαδόν του χωρίου που

περιέχεται μεταξύ του κύκλου και του τριγώνου.

16. Σε κύκλο (Κ, ρ) εγγράφουμε τρίγωνο ΑΒΓ με την πλευρά ΒΓ να

είναι διάμετρος του κύκλου. Αν ΑΚΒΓ και ΑΓ= 2 , να προσδιορί-

σετε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής.

17. Σε κύκλο (Κ, ρ) εγγράφουμε τρίγωνο ΑΒΓ με την πλευρά ΒΓ να είναι

διάμετρος του κύκλου. Αν

Γ = 450 και ΑΓ= 2 2 , να προσδιορίσετε το

εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής.

18. Δίνεται ο κύκλος (Κ, 2 ) και το εγγεγραμμένο σε αυτόν τετράγωνο

ΑΒΓΔ. Να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής.

19. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν η πλευρά ΒΓ του

τριγώνου είναι διάμετρος του κύκλου κι επιπλέον γνωρίζουμε ότι ΑΓ=4

και ημ

B = 0,8, να υπολογίσετε:

α) το μήκος του κύκλου

β) το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου

γ) το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής.

[209]

20. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν η πλευρά

ΒΓ του τριγώνου είναι διάμετρος του κύκλου κι επιπλέον γνω-

ρίζουμε ότι ΑB = 6 και συν

B =5

3, να υπολογίσετε:

α) το μήκος του κύκλου

β) το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου

γ) το εμβαδόν του τριγώνου

δ) το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής.

21. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 10. Με κέντρο την κορυφή Α και

ακτίνα την πλευρά του τετραγώνου, γράφουμε το τόξο

ΒΔ . Να υπολο-

γίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής.

22. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 8 και ο εγγεγραμμένος κύκλος

(Κ, ρ) στο τετράγωνο. Να προσδιορίσετε το εμβαδόν της γραμμοσκια-

σμένης περιοχής.

23. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 6. Κατασκευάζουμε στο

εσωτερικό του τέσσερα τεταρτοκύκλια με κέντρα τις κορυφές του

τετραγώνου και ακτίνα το μισό της πλευράς. Να προσδιορίσετε την

περίμετρο και το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής.

24. Δίνεται κύκλος (Κ, 5) και ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ

εγγεγραμμένο στον κύκλο. Αν Β

Δ Γ=300, να προσδιορίσετε το εμβαδόν

της επιφάνειας που περιέχεται μεταξύ του κύκλου και του ορθογωνίου.

25. Δίνονται δυο ομόκεντροι κύκλοι (Κ, 6) και (Κ, ρ), με ρ > 6.

Αν η χορδή ΑΒ του κύκλου (Κ, ρ), εφάπτεται στον (Κ, 6) στο

σημείο Μ και ισχύει ότι ΑΒ=16, να προσδιορίσετε το εμβαδόν

του δακτυλίου.

[210]

26. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ ( ΒΓΑΔ ) με

βάσεις 2ΑΒ και 10ΓΔ . Με διαμέτρους τις πλευρές

του ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε ημικύκλια εξωτερικά του

τραπεζίου. Αν 18)ΑΒΓΔ( , να προσδιορίσετε το εμ-

βαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής στο διπλανό

σχήμα.

[211]

4.2 Στοιχεία και εμβαδόν πρίσματος και κυλίνδρου

Πρίσμα

Πρίσμα ονομάζεται το τρισδιάσταστο γεωμετρικό σχήμα το οποίο οριοθετείται από δύο ίδια πα-

ράλληλα πολύγωνα (βάσεις του πρίσματος) και οι υπόλοιπες έδρες του είναι παραλληλόγραμμα.

(σχήμα από το σχολικό βιβλίο)

Κάθε πρίσμα αποτελείται συνεπώς από δύο έδρες που είναι ίσα παράλληλα πολύγωνα και ονο-

μάζονται βάσεις του πρίσματος και τις άλλες έδρες που είναι παραλληλόγραμμα και αποτελούν τις

παράπλευρες έδρες του πρίσματος. Στα πρίσματα που θα μελετήσουμε, οι παράπλευρες έδρες θα

είναι ορθογώνια παραλληλόγραμμα (ορθά πρίσματα).


Στερεομετρία

[212]

Δυο από τα σημαντικότερα (ορθά) πρίσματα είναι ο κύβος και το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο.

(σχήμα από το σχολικό βιβλίο)

Η απόσταση των δύο βάσεων λέγεται ύψος του πρίσματος

Εμβαδόν επιφάνειας πρίσματος

Για το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός πρίσματος ισχύει:

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός πρίσματος ισούται με το γινόμενο της περιμέτρου της

βάσης του επί το ύψος του πρίσματος. Δηλαδή:

ψοςύσηςάβμετροςίπερΕ π

Για το ολικό εμβαδόν επιφάνειας ενός πρίσματος ισχύει:

Το ολικό εμβαδόν ενός πρίσματος είναι το άθροισμα του εμβαδού της παράπλευρης επιφάνειας Επ

και των εμβαδών Εβ των δύο βάσεων. Δηλαδή:

βπολ Ε2ΕΕ

Κύλινδρος

Ένας κύλινδρος αποτελείται από δύο ίσους και παράλληλους κυκλικούς δίσκους (βάσεις του κυ-

λίνδρου) και την παράπλευρη επιφάνεια που αν την ξετυλίξουμε έχει σχήμα ορθογωνίου παραλ-

ληλογράμμου.

Η απόσταση των δύο βάσεων λέγεται ύψος του κυλίνδρου.

[213]

Για το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός κυλίνδρου ισχύει:

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός κυλίνδρου ισούται με το γινόμενο της περιμέτρου της

βάσης του επί το ύψος του κυλίνδρου. Δηλαδή:

υπρ2ψοςύσηςάβμετροςίπερΕ π

Για το ολικό εμβαδόν επιφάνειας ενός κυλίνδρου ισχύει:

Το ολικό εμβαδόν ενός κυλίνδρου είναι το άθροισμα του εμβαδού της παράπλευρης επιφάνειας Επ

και των εμβαδών Εβ των δύο βάσεων. Δηλαδή:

2βπολ πρ2υπρ2Ε2ΕΕ

Ασκήσεις

1. Να βρείτε το ολικό εμβαδόν ενός ζαριού ακμής 2 cm.

2. Να βρείτε την ολική επιφάνεια ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με μήκος 5 m, πλάτος 3 m

και ύψος 2 m.

3. Μια πισίνα έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου και οι διαστάσεις του είναι 40 m μήκος,

15 m πλάτος και 2,5 m βάθος. Θέλουμε να βάλουμε πλακάκια στην πισίνα που κοστίζουν 4€ το

[214]

τετραγωνικό μέτρο. Πόσα χρήματα χρειάζονται για να τοποθετηθούν τα πλακάκια στην πισίνα;

4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας του παρακάτω πρίσματος.

(προτεινόμενη άσκηση από τις οδηγίες διδασκαλίας Μαθηματικών Β΄ Γυμνασίου – πηγή: minedu.gov.gr)





[215]

7. Να βρείτε το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας ενός κυλίνδρου που έχει ακτίνα βάσης 5 cm και ύψος

10 cm.

8. Ένας κύλινδρος έχει ακτίνα βάσης 3cm και εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας 30π cm2.

Να προσδιορίσετε:

α) το ύψος του κυλίνδρου

β) το ολικό εμβαδόν

4.3 Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου

Όγκος κυλίνδρου

Ο όγκος ενός κυλίνδρου ισούται με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του επί το ύψος :

)ψοςύ()σηςάβνόμβαδΕ(γκοςΌ

Όγκος πρίσματος

Ο όγκος ενός πρίσματος ισούται με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του επί το ύψος :

)ψοςύ()σηςάβνόμβαδΕ(γκοςΌ

[216]

Ασκήσεις

1. Να βρείτε τον όγκο κυλίνδρου με ακτίνα βάσης 10 cm και ύψος 5 cm.

2. Να βρείτε τον όγκο κυλίνδρου με περίμετρο βάσης 62,8 cm και ύψος 15 cm.

3. Να βρείτε τον όγκο κυλίνδρου που είναι ανοιχτό από πάνω, έχει εμβαδόν παράπλευρης επιφάνειας

628 cm2 και το ύψος του ισούται με την ακτίνα βάσης του

4. Σε κύβο με ακμή 12 cm να βρείτε:

α) το ολικό εμβαδόν του κύβου

β) τον όγκο του κύβου

5. Πρίσμα έχει βάση ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 9cm και 12cm. Αν το ύψος του πρί-

σματος είναι 10cm, να βρείτε το ολικό εμβαδόν του πρίσματος και τον όγκο του.

6. Πρίσμα έχει βάση κανονικό εξάγωνο πλευράς 6 cm. Αν το πρίσμα έχει ύψος 5cm και είναι ανοι-

χτό από την πάνω όψη του να προσδιορίσετε:

α) το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας

β) το ολικό εμβαδόν

γ) τον όγκο

7. Δίνεται ορθογώνιο πρίσμα με βάση τετράγωνο πλευράς 5 m. Αν το ύψος του πρίσματος είναι

20 dm, να βρείτε τον όγκο του πρίσματος.

[217]

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1.1

1. α) 10x2 β) 2x 2 γ) 52

x

δ) 3yx

2. α) 2zyx β) 2yx

γ) 22 yx

3. α) 3yx , β) 3yx

γ) 5yx 33 δ) 33 yx2

4. α) x100

10 β) x

100

10x

γ) x100

10x

5. α) x , 1x , 2x με x ακέραιο

β) x2 , 2x2 , 4x2 με x ακέραιο

γ) x , x

1 με 0x , δ) x , x

6. x100

15x

7. y2x4

8. zyzx ή zyx

9. β2α2

10. α) x3 β) x20 γ) y10 δ) ω3

11. α) x10 β) x74 γ) α10 δ) ω10

12. α) y6x3 β) ω10y10x10

γ) y10x10 δ) y10x100

13. α) y6x17 β) yx γ) yx9

δ) y15x15

14. α) 50, β) 40

15. α) 6 β) 9 γ) 10

16. α) 4 β) 1 γ) 0

17. α) x004,0 β) 60 δευτερόλεπτα

18. 6

1.2

1. α) 18 β) 0 γ) 3 δ) 1 ε) 2

στ) 2 ζ) 6 η) 0 θ) 4 ι) 3

2. α) 3 β) 1 γ) 1 δ) 16 ε) αδύνατη

στ) ταυτότητα ζ) ταυτότητα η) αδύνατη

3. α) 10 β) αδύνατη γ) 0 δ) 7

4. α) 3 β) 0 γ) 1 δ) 5

5. α) ταυτότητα β) ταυτότητα

γ) ταυτότητα δ) ταυτότητα

6. α) αδύνατη β) αδύνατη

γ) αδύνατη δ) αδύνατη

7. α) 7 β) 1 γ) 1 δ) 8

8. α) 5 β) 1 γ) 2

1 δ) 1

9. α) 1 β) 2 γ) αδύνατη

δ) ταυτότητα

10. α) 14 β) 5 γ) ταυτότητα

δ) αδύνατη

Α΄ ΜΕΡΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ

[219]

11. α) 2 β) 5 γ) 5 δ) αδύνατη

12. α) ταυτότητα β) αδύνατη γ) 7

δ) 13

13. α) 0 β) 5 γ) 1 δ) 0

14. α) 2 β) 1 γ) ταυτότητα

δ) αδύνατη

15. α) 3 β) 1 γ) 0 δ) 7

16. α) 2 β) αδύνατη γ) 2

5

δ) αδύνατη

17. α) 2 β) 1 γ) 7 δ) 1

18. α) 2 β) 5

3 γ) ταυτότητα δ) 1


γ) ταυτότητα δ) ταυτότητα


γ) ταυτότητα δ) 0

21. 4, ισοσκελές

22. 15

23. 30, ορθογώνιο

24. 50x

25. Προκύπτει αδύνατη εξίσωση.

1.4

1. 18

2. 11, 12, 13, 14

3. 14 και 20

4. Δεν υπάρχει

5. 6

6. 200

7. Συνολικό ποσό: 900 €, 1ο παιδί: 400 €,

2ο παιδί: 300 €, 3

ο παιδί : 200€

8. 10 μπλε, 5 κόκκινα

9. 5 αγόρια, 10 κορίτσια

10. Α΄ : 225, Β΄:75, Γ΄:260

11. 10 μηχανές και 40 αυτοκίνητα

12. 3 μικρά και 5

13. 7 σωστές και 3 λάθος

14. 4 κιλά ροδάκινα, 6 κιλά αχλάδια και 2

κιλά βερίκοκα

15. 15cm και 23 cm

16. 5 m

17. ο50 , ο50 , ο80

18. ο15 , ο75

19. ο30 , ο60 , ο90 ή ο45 , ο45 , ο90

20. ο45 , ο45 , ο90 ή ο36 , ο36 , ο72

[220]

2.1

1. Όλα είναι λάθος

2. α) 6, 60, 0,6 β) 11, 1100, 1,1

γ) 15, 150, 0,15 δ) 7

5,

9

13,

5

4

3. α) 0 β) 6

4. α) 20

31 β)

3

5

5. α) 8 β) 32 γ) 32 δ) 32

6. α) 6 β) 6 γ) 5 δ) 8

7. α) 4 β) 3 γ) 5 δ) 9

8. α) 3 β) 3 γ) 3 δ) 10

9. α) 2 β) 10 γ) 30 δ) 5

10. α) 8 β) 10 γ) 4 δ) 6

11. 8

12. α) 5x β) 6x γ) 7x δ) 8x

13. 20, 12, 6, 25

14. ύψος: 15, εμβαδόν: 120

15. περίμετρος: 64, εμβαδόν 175

16. 10

17. πλευρά: 13, περίμετρος: 52,

εμβαδόν: 120

18. 5x , 12y

19. α) 9 cm, 12 cm β) 15 cm

20. 8

2.2

1. α) ρητός β) ρητός γ) άρρητος

δ) άρρητος

2. α) ρητός β) άρρητος γ) ρητός

δ) ρητός ε) άρρητος στ) άρρητος

3.

4. α) 6 β) 102 γ) 22

δ) 5

5. 53x , 2y , 7z , 52ω

6. 54x , 412y

7. α) 6 β) 24 γ) 28

8. α) 24 β) 16

9. α) 24 , β) 8, γ) 22

10. α) 22 β) 8

11. α) 33 β) 39

12. 350

13. 5

[221]

2.3

1. 2450 cm2

2. 2200 cm

3. 104 cm, 10 cm2

4. 3 m

5. α) 30230 m β) 20

6. 24 cm2

7. Το σημείο με το μεγαλύτερο ύψος στη

σοφίτα είναι 2m.

3.1

1. α)

x 1 0 1 2 3

y 4 1 0 1 4

β)

x 2 1 0 1 2

y 4 1 0 1 4

γ) 4xx4y

x 2 1 0 1 2

y 10 4 4 2 14

2. α)

x 2 1 1 2 4

y 1 2 2 1 0,5

β)

x 0 3 8 15 24

y 1 2 3 4 5

3. α)

x 2 0 1 3

y 6 2 6 14

β)

x 3 1 1 2

y 9 5 1 1

γ)

x 10 5 2 20

y 5 3 0,2 7

4. α)

x 4 1 1 2

y 18 3 3 6

β)

x 2 1 1 2

y 3 0 0 3

γ)

x 1 0,5 1 5

y 6 11 4 0

5. 1α , 1β

6. x3y

7. t80S

[222]

8.

x 3 4 5 6 7

y 4 5 6 7 8

1xy

3.2

1.

2. α) Α(3, 2) β) Β(3,2) γ) Γ(3, 2)

3. α) Α(4, 1) β) Β(4, 1) γ) Γ(4, 1)

4. α) 10 β) 65

5. 102

6. 222 ΒΓΑΓΑΒ

7. 222 ΒΓΑΒΑΓ

8. ΑΓΑΒ

9. ΑΓΑΒ

10. 222 ΒΓΑΒΑΓ και ΒΓΑΒ

11. α) 2ΑΒ , 20ΑΓ , 18ΒΓ

β) 222 ΒΓΑΒΑΓ γ) 6

12.

x 2 1 0 1 2

y 0 3 0 3 0

13.

x 2 0 2

y 4 0 4

14. 4α , 2β

15. 2α

x 1 0 2 3

y 2 1 13 34

3.3

1.

x 2 3 6 10 12

y 1 1,5 3 5 6

α) x2

1y

[223]

β)

2. α) x75,0y

β)

γ) 6 €

3. α)

β)

γ)

δ)

[224]

4. α)

β)

γ)

5. x3y

6. x2

5y

7. x3y

8. xy

9. ο30

10. ο45

11. (ε1): x2y , (ε2): x2

3y

12. (ε1): x2y , (ε2): x2

1y , ορθή γωνία

3.4

1. 5x3y

2. 8x25,0y

[225]

3. α)

β)

γ)

δ)

ε)

στ)

[226]

4. α)

β)

γ)

δ)

ε)

στ)

[227]

5. α)

β)

6. α)

β)

γ)

7. α)

β)

[228]

γ)

δ)

8. α)

β)

9. 5x2y

10. 3xy

11. 4x2y

12. 2x2y

13. α) 1xy β) 4x2y

γ) 9x3y

14. 5x2y

15. 3xy

16. 7xy

17. 2x2y

18. 1x3y

19. 4x2

1y

20. 4

[229]

3.5

1. α)

β)

γ)

δ)

2.

3. 6α

[230]

4. x

10y

5. β

16υ

4.1

1. 32%

2. 35%

3. α) Όλοι οι οπαδοί των ποδοσφαιρικών

ομάδων στην Ελλάδα

β) Τα 500 άτομα που ρωτήθηκαν.

γ) Ποια ομάδα υποστηρίζει ο κάθε

οπαδός

δ) Όχι.

4.5

1. α) μέση τιμή: 6, διάμεσος: 7

β) μέση τιμή: 16, διάμεσος: 17

γ) μέση τιμή: 12, διάμεσος: 14

δ) μέση τιμή: 6, διάμεσος: 7

2. α) μέση τιμή:5, διάμεσος: 5

β) μέση τιμή:5, διάμεσος: 5

γ) μέση τιμή:7, διάμεσος: 7

δ) μέση τιμή:7, διάμεσος: 7

3. 18,3

4. Μέση τιμή: 31, Διάμεσος: 31

5. 18

6. Πρέπει να έχει ύψος πάνω από 173 cm

7. 201 cm

8. 16,4

[231]

1.1

1. To O.

2. Και τα δύο σχήματα 13.

3. Η απάντηση εξαρτάται από τη μονάδα

μέτρησης που χρησιμοποήθηκε.

1.2

1. 0,0032 m2, 19,26 m

2, 20,192006 m

2

2. 4,51 dm2, 312 dm

2, 2,1100 dm

2

3. 3,14 cm2, 100 cm

2, 12,34 cm

2

4. 9 mm2, 5000000 mm

2, 20060 mm

2

5. 0,0023 km2, 0,001 km

2

6. 5,5 στρ., 2,2 στρ.

7. 2 km2 > 20000 m

2 > 2 στρέμματα >

2000000 cm2

8. 310 mm2 < 31 cm

2 < 3,1 dm

2 < 0,31 m

2

9.

m2

dm2

cm2

mm2

0,95 95 9500 950000

0,1001 10,01 1001 100100

0,12 12 1200 120000

0,264 26,4 2640 264000

10.

km2

στρ.

m2

dm2

2 2000 2000000 200000000

0,01 10 10000 1000000

0,12 120 120000 12000000

0,02 20 20000 2000000

1.3

1. 60 cm

2. 300 cm2

3. 96

4. 4,988 m2

5. 6 cm2

6. Είναι ίσα (γιατί;)

7. 9 m

8. 10 cm

Β΄ ΜΕΡΟΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

[232]

9. 10 dm2

10. μικρή βάση 3 m, μεγάλη 9 m

11. 80m2

12. 6250

13. 8 cm2

14. 3 m2

15. 13,5 cm2

16. 15 cm2

17. 450 m2

1.4

1. 10, 9, 10, 5, 5

2. 12 cm

3. 32 cm2

4. α) 96 β) 20 γ) 9,6

5. α) 13x , 2y β) 35

γ) δεν είναι ορθογώνιο

6. 3x , 6y , δεν είναι ορθογώνιο

7. 10x , 9y , δεν είναι ορθογώνιο

8. 21x , δεν είναι ορθογώνιο

9. 8,1x , 2,3y , είναι ορθογώνιο

10. 15x , 10y

11. 84

12. 22

13. α) 2 cm, β) 3 cm2

14. 6x , 10y

15. α) 12, 16, 20 β) είναι ορθογώνιο, 96

16. 24 m2, 20 m.

17. 10x , 9y

18. 10x

19. 3ΑΓ cm, 4ΓΔ cm, 9ΒΓ cm

20. 6

21. 12325

22. α) 4 β) 52

23. 3x cm, 49ΑΒΓΔ cm2

24. α) 4 β) 46 γ) 24

25. α) 2 β) είναι ορθογώνιο.

26. Εφαρμογή πυθαγορείου θεωρήματος

στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται

από το ύψος του ισόπλευρου τριγώνου, τη

βάση και τη μία πλευρά του.

[233]

2.1

1. 1ο σχήμα: 3,921, 2

ο σχήμα: 24

2.

με ΑΒ2ΒΓ

3. 3x , 1,2y και 15,9)ΑΒΓ(

4. 7,836

5. 36

6. Είναι ορθογώνιο.

7. 24

8. 2

3εφω , 33x

9. α) 4, β) 32 , γ) 3 , δ) 2

33

10. 2ΑΓ , 4ΒΓ , 32ΑΒ

11. 24

12. 3

32ΒΔ , 2ΔΓ , 22ΑΓ

2.2

1. 33x , 2y , 4ω

2. 32 , 34

3. 6 m

4. 4

39cm

2

5. 38x , 12y , είναι ορθογώνιο

6. 2x , 6y , 32ω , ο30θ ,

το ΑΒΓ ορθογώνιο είναι ορθογώνιο,

38)ΑΒΓ(

7. 6x , 23y

8. ο30θφ

, 4x , 2y , 32ω ,

34)ΒΓΔ(

9. α) 2 β) ο30ω

γ) 1

10. 3

316

11. 3

38

12. 2

325

13. 8

14. 240

15. 4

315

16. 4ΑΔ , ο45Β

[234]

17. 34ΑΒ , 12ΑΓ , 38ΒΓ ,

ο30φ

18. 8ΑΒ , 34ΑΔ , 38ΑΓ ,

το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο

19. 6x , 10y , 5

3ημω ,

5

4συνω ,

4

3εφω

20. ο30θ

21. 36ΓΔ , 6ΑΔ , 12ΑΓ

22. 6

313

23. 324

24. 11

25. 4 43

26. 8

3.1

1. 1ο σχήμα:

ο160ω

2ο σχήμα:

ο30φ

, ο60θ

2. 1ο σχήμα:

ο70θ

, ο35φ

2ο σχήμα:

ο15φ

, ο75ω

3. o100x

4. o120

5. 3x

6. o60A

, ο120Γ

, ο90ΔΒ

7. ο90ΑΒ

, 32ΔΓ , 62ΑΓ

8. α) 2ΑΒ β) 32ΑΓ

γ) 32)ΑΒΓ(

9. ο30ΓBA

, ο120ΒΔ

10. 2

315

11. 34

12. ο30ΓΒΔ

, 32ΔΒ , 2ΔΓ

13. o45x

3.2

1. α) 60 β) 3 γ) 8 δ) 12 ε) 18 στ) 36

2. α) 6 β) 8 γ) 4 δ) 6 ε) 5

3. α) υπάρχει β) υπάρχει γ) δεν υπάρχει

4. α) υπάρχει β) υπάρχει γ) δεν υπάρχει

5. α) ο60 β) ο45

6. Χρειάζεται να δείξουμε ότι ΒΓ//ΑΔ .

[235]

3.3

1. α) 31,4 cm β) 62,8 cm.

2. α) 15,7 cm β) 31,4 cm.

3. α) 15,7 cm β) 31,4 cm.

4. 56,52

5. 16 cm

6. 31,4

7. 0,3 m

8. 15

9. 56,12L 32E

10. 9 cm

11. 50,24

12. Παρατηρούμε ότι ρ2

ΔΒ

2

ΓΔ

2

ΑΓ

3.5

1. α) 50,24 β) 78,5 γ) 314, δ) 50,24

2. α) 12,56 β) 113,04 γ) 0,785 δ) 3,14

3. 6,28

4. 18,84

5. 15ρ , 2,94L

6. 25ρ , 157L

7. 9

8. 16

9. 122,46

10. 4

11. 12,25L 24,50E

12. 4,31L 5,78E

13. 10ΒΓ , π5π4π3 222

14. α) ο30Β

β) 12,56 γ) 12,56

15. 31804,113

16. 0,57

17. 2,28

18. 2,28

19. α) 15,7 β) 19,625 γ) 3,8125

20. α) 31,4 β) 78,5 γ) 24 δ) 54,5

21. 21,5

22. 13,76

23. 7,74

24. 3255,78

25. 200,96

26. 60,445

[236]

4.2

1. 24 cm2

2. 62 m2

3. 3500 €

4. 150 cm2

5. 214 cm2

6. 120 cm2

7. 471 cm2

8. α) 5 cm β) 150,72 cm2

4.3

1. 1570 cm3

2. 471 cm3

3. 3140 cm3

4. α) 864 cm2 β) 1728 cm

3

5. 636 cm2, 1080 cm

3

6. α) 180 cm2, β) 180354 γ) 3270

7. 50 m3

2019Μαθηματικά α΄ γυμνασίου [3] Περιεχόμενα ΑΛΓΕΒΡΑ...

Documents

Transcript of 2019Μαθηματικά α΄ γυμνασίου [3] Περιεχόμενα ΑΛΓΕΒΡΑ...