Μαθημαηικά Γ΄ Λςκείος Μιγαδικοί απιθμοί και Διανύζμαηα

Θεηικήρ και Τεσνολογικήρ Καηεύθςνζηρ http://lisari.blogspot.com

1

Βαζική άζκηζη 1 – Μιγαδικοί απιθμοί και Γιανύζμαηα

Έζηω ηα διαθοπεηικά ζημεία Α, Β, Ο , όπος Α(z1), B(z2) οι εικόνερ ηων μιγαδικών απιθμών ζηο μιγαδικό

επίπεδο. Να αποδείξεηε ηα παπακάηω:

α) Α, Β, Ο ζςνεςθειακά ζημεία αν, και μόνο αν, ςπάπσει ππαγμαηικόρ απιθμόρ *λ ηέηοιορ ώζηε:

1 2z λ z

β) Α, Β, Ο ζςνεςθειακά ζημεία αν, και μόνο αν, *21z z

γ) Α, Β, Ο ζςνεςθειακά ζημεία αν, και μόνο αν, *1

2

z

z

δ) Α, Β, Ο ζςνεςθειακά ζημεία αν, και μόνο αν, 2 11 2z z z z

Σημείωζη: Μποπεί κάθε ςποεπώηημα να δίνεηαι και ωρ ανεξάπηηηη άζκηζη.

Δπιμέλεια: Μάκηρ Χαηζόποςλορ

Απόδειξη

Θέηοςμε: 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2z x iy , όπος x ,y 0,0 και z x iy , όπος x ,y x ,y 0,0

α) Έσοςμε διαδοσικά,

*

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2

1 2

1 2i

1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2

O,A,B ζςνεςθειακά OA/ / OB

ηόηε ςπάπσει ππαγμαηικόρ απιθμόρ λ ηέηοιορ ώζηε OA λ OB

x , y λ x , y

x , y λx ,λy

x λx

και

y λy

x λx

και

i y λy i

x i y λx λy i

x i y λ x y i

z λ z

β) Α΄ ηπόπορ (σωπίρ ηην βοήθεια ηος ππώηος επωηήμαηορ)

Έσοςμε διαδοσικά,

1 1

2 2

2 1 1 2

O,A,B ζςνεςθειακά OA/ / OB

det OA,OB 0

x y0

x y

x y x y 0 1

Άπα έσοςμε,

Μαθημαηικά Γ΄ Λςκείος Μιγαδικοί απιθμοί και Διανύζμαηα

Θεηικήρ και Τεσνολογικήρ Καηεύθςνζηρ http://lisari.blogspot.com

2

1

21 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2

0

z z x iy x iy x x y y x y x y i x x y y

Β΄ ηπόπορ (με ηην βοήθεια ηος ππώηος επωηήμαηορ)

Έσοςμε,

2

1 2

z

2 21 2

2 *21 2

O,A,B ζςνεςθειακά z λ z

z z λ z z

z z λ z

γ) Α΄ ηπόπορ (σωπίρ ηην βοήθεια ηος ππώηος και δεύηεπος επωηήμαηορ)

Ξαναγπάθοςμε ηην ζσέζη μαρ όηι

1 1

2 2

2 1 1 2

O,A,B ζςνεςθειακά OA/ / OB

det OA,OB 0

x y0

x y

x y x y 0 1

άπα

0

11 1 2 21 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x iy x iyz x iy x x y y x y x y x x y yi

z x iy x iy x iy x y x y x y

Β΄ ηπόπορ (με ηην βοήθεια ηος δεύηεπος επωηήμαηορ)

Έσοςμε,

2

β*

21

:z*1

22

2

2 *12

2

*1

2

O,A,B ζςνεςθειακά z z

zz z

z

zz

z

z

z

Γ΄ ηπόπορ (με ηην βοήθεια ηος ππώηος επωηήμαηορ)

Έσοςμε διαδοσικά,

2

α*

1 2

:z*1

2

O,A,B ζςνεςθειακά z λ z , λ

zλ

z

δ) Έσοςμε διαδοσικά με ηην βοήθεια ηος (β) ςποεπωηήμαηορ,

β

21

2 21 1

2 11 2

O,A,B ζςνεςθειακά z z

z z z z από γνωζηή ππόηαζη

z z z z

Σημείωση: Πποκύπηει εύκολα και σωπίρ ηην βοήθεια ςποεπωηημάηων.