1

Il vettore rappresenta la posizione del punto P nello spazio.

r!

rappresenta lo spostamento del punto P fra l’istante t1 e l’istante t2.

12 rrr!!!

−=Δ

Py

x

r!

1P2P

1r!

2r!

12 rrr!!!

−=Δy

x

VETTORE POSIZIONE E VETTORE SPOSTAMENTO

2

La velocità vettoriale del punto P è:

tr

ttrrv12

12

Δ

Δ=

−

−=

!!!!

La velocità rappresenta la velocità media nell’intervallo (t1,t2). Quando l’ampiezza dell’intervallo Δt diventa molto piccola (tende a zero), si ottiene la velocità istantanea che è un vettore tangente alla traiettoria.

v!

VELOCITÀ VETTORIALE

v!y

x

1r!

2r!

3

Le componenti della velocità vettoriale lungo gli assi di riferimento rappresentano le velocità dei punti proiezione sugli assi x ed y.

Le proprietà della velocità esaminate nel piano (x,y) si generalizzano al moto nello spazio rispetto agli assi x,y,z.

x

y

v!

xv!

yv!

VELOCITÀ VETTORIALE

Come nel caso UNIDIMENSIONALE, se vogliamo il valore istantaneo di velocità vettoriale dobbiamo considerare intervalli di tempo molto piccoli. Cioè: vistantanea se Δtà0 STUDIAMO LA DIREZIONE

X[m]

Y[m] r

r’

Δr

traiettoria

VELOCITÀ VETTORIALE

La DIREZIONE del vettore vistantanea è quella della retta tangente alla TRAIETTORIA nel punto considerato.

X[m]

Y[m] r

traiettoria

VELOCITÀ VETTORIALE

6

P1 P2 1v

!

1v!

2v!

2v!

v!

Δ

L’accelerazione vettoriale del punto P è:

tv

ttvva12

12

Δ

Δ=

−

−=

!!!!

L’accelerazione rappresenta l’accelerazione media nell’intervallo (t1,t2).

a!

ACCELERAZIONE VETTORIALE

7

Quando l’ampiezza dell’intervallo Δt diventa molto piccola (tende a zero), si ottiene l’accelerazione istantanea.

y

x

v!

a!

L’accelerazione istantanea è sempre orientata verso la parte concava della traiettoria.

L’accelerazione è nulla solo e soltanto quando il vettore velocità è costante (moto rettilineo uniforme).

ACCELERAZIONE VETTORIALE

8

UNITÀ DI MISURA

r!" #$= m!" #$

v!" #$=ms

!

"%

#

$&= m ⋅s−1!

"#$

a!" #$=mss

!

"

%%%

#

$

&&&=ms2!

"%

#

$&= m ⋅s−2!

"#$

9

Se la velocità vettoriale è costante il moto è rettilineo e sono percorsi spazi uguali in tempi uguali, cioè gli spazi percorsi sono proporzionali ai tempi impiegati.

Considerando l’asse x lungo la direzione del moto e passando dai vettori agli scalari, si ottiene:

dove xo è la posizione iniziale (all’istante t=0).

Le variabili x e v sono numeri positivi o negativi, secondo le convenzioni già stabilite.

tvxx o +=

MOTO RETTILINEO UNIFORME

10

Il moto rettilineo uniforme è rappresentato da una retta nel grafico spazio-tempo.

La pendenza della retta è la velocità del moto.

vttxxpendenza12

12 =−

−=

1x

2x

1t 2t

α

t

x

MOTO RETTILINEO UNIFORME

11

In tale moto, la velocità è rappresentata da una retta orizzontale nel grafico velocità-tempo.

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20 25

tempo (s)

spaz

io (m

)0

1020

30

0 5 10 15 20 25

tempo (s)

velo

cit

à (

m/s

)

Il moto rettilineo uniforme è rappresentato da una retta nel grafico spazio-tempo.

vtxx o +=

MOTO RETTILINEO UNIFORME

12

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

13

In un moto rettilineo con accelerazione costante lungo l’asse x, la velocità è:

atvv o +=

Lo spazio percorso è dato da

2

oo

oo

m

mo

at21tvxx

at21v

2vvv

tvxx

++=

+=+

=

+=

xo è la posizione iniziale (t=0)

vo è la velocità iniziale (t=0)

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

14

xo= 150 m vo= 4 m/s a = 10 m/s2 0

500

1000

1500

2000

2500

0 5 10 15 20 25

tempo (s)

spaz

io (m

)

0

50

100

150

200

250

0 5 10 15 20 25

tempo (s)

velo

cita

` (m

/s)

024681012

0 5 10 15 20 25

tempo (s)

acce

lera

zion

e (m

/s^2

)

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

15

xo= 400 m vo= - 75 m/s a = 8 m/s2 0

100200300400500600

0 5 10 15 20 25

tempo (s)sp

azio

(m)

-100

-50

0

50

100

0 5 10 15 20 25

tempo (s)

velo

cita

` (m

/s)

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25

tempo (s)

acce

lera

zion

e (m

/s^2

)

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

16

xo= 150 m vo= 50 m/s a = - 8 m/s2

-150

-100

-50

0

50

100

0 5 10 15 20 25

tempo (s)

velo

cita

` (m

/s)

-10

-8

-6

-4

-2

00 5 10 15 20 25

tempo (s)

acce

lera

zio

ne

(m/s

^2)

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

-600

-400

-200

0

200

400

0 5 10 15 20 25

tempo (s)sp

azio

(m)

17

xo= 500 m vo= - 4 m/s a = - 12 m/s2

-2500-2000-1500-1000-5000

5001000

0 5 10 15 20 25

tempo (s)sp

azio

(m)

-300

-250

-200

-150

-100

-50

00 5 10 15 20 25

tempo (s)

velo

cita

` (m

/s)

-14-12-10-8-6-4-200 5 10 15 20 25

tempo (s)

acce

lera

zion

e (m

/s^2

)

MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

18

y

MOTO VERTICALE NEL CAMPO DELLA GRAVITÀ

Fotografia stroboscopica di una mela che cade; gli intervalli di tempo sono uguali.

Un oggetto lasciato cadere da una torre cade con velocità crescente e copre distanze via via maggiori ogni secondo.

19

y

MOTO VERTICALE NEL CAMPO DELLA GRAVITÀ

(a) Una palla ed un leggero pezzo di carta vengono lasciati cadere allo stesso istante. (b) Ripetizione dell’esperimento con la carta appallottolata

(a) Una pietra e una piuma vengono lasciati cadere simultaneamente (a) in aria, (b) nel vuoto.

20

In vicinanza della superficie terrestre tutti i corpi si muovono con la stessa accelerazione g = 9.8 m/s2 = 980 cm/s2

gtvv

gt21tvy

o

2o

−=

−=

y

xg!

ov!

y

MOTO VERTICALE NEL CAMPO DELLA GRAVITÀ

21

Corpo lanciato verso l’alto: raggiunge la massima altezza h=hmax quando la velocità è nulla (al tempo t=tmax).

2gvgt

21tvh

gvt 0gtvv

2o2

maxmax0max

omaxmaxo

=−=

=⇒=−=

MOTO VERTICALE NEL CAMPO DELLA GRAVITÀ

22

Le due sfere hanno velocità verticale iniziale nulla: esse cadono in verticale con la stessa legge.

MOTO NEL CAMPO DELLA GRAVITÀ

23

Se la velocità iniziale non è lungo la verticale il corpo descrive una parabola. La velocità orizzontale rimane costante, mentre la velocità verticale varia.

MOTO DI UN PROIETTILE

a = g = 9.8 m/s2

Un punto materiale ha velocità iniziale v0 inclinata di un angolo θ sull’orizzontale.

Vogliamo determinare la traiettoria del punto materiale. Si osserva che l’accelerazione è presente solo nella direzione Y.

SUPERFICIE TERRESTRE X

Y

v0 θ

Scriviamo separatamente le equazioni orarie del punto materiale su asse X ed asse Y.

MOTO DI UN PROIETTILE

MOTO DEL PROIETTILE (2)

a = g = 9.8 m/s2

Che tipo di Equazioni orarie governano il moto del punto materiale?

SUPERFICIE TERRESTRE X

Y

v0

θ

Su asse X non c’è accelerazione: equazione del moto rettilineo uniforme. Su asse Y c’è accelerazione g: equazione del moto uniformemente accelerato.

MOTO DEL PROIETTILE (3)

a = g = 9.8 m/s2

X

Y

v0

θ v0x

v0y

v0x = v0 cosθv0y = v0senθ

Si scompone la velocità iniziale secondo le componenti X e Y.

€

x = v0xt

y = v0yt −12gt2

Le due equazioni orarie sono:

MOTO DEL PROIETTILE (4)

a = g = 9.8 m/s2

Dalle due equazioni orarie si elimina il tempo e si ricava l’equazione della traiettoria: t=x/v0x y = v0y x/v0x –g(x/v0x)2/2à y = –(g/2v0x

2)x 2 +(v0y/v0x)x

X

Y

v0

θ v0x

v0y

Equazione di secondo grado del tipo: y = ax 2+bx+c EQUAZIONE DI UNA…PARABOLA!

MOTO DEL PROIETTILE (5)

MOTO DEL PROIETTILE (6) Dalle due equazioni orarie e dalla equazione

della traiettoria si possono ricavare molte caratteristiche salienti sul moto.

1.  Quanto tempo il proiettile resta in aria? 2.  Qual è la massima altezza raggiunta? 3.  A che distanza tocca Terra?

ESERCIZI (1)

Problema 1 Un sasso viene lanciato con una velocità di modulo pari a v = 17 m/s e con un angolo di θ = 58° sopra l’orizzontale. Trascurando la resistenza dell’aria, determinare il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza.

Soluzione Nel punto di massima altezza la componente y della velocità è nulla. Se t* è il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza: Vy(t*) = 0 Ma Vy = V0y-gtà0 = V0y-g t* à t* = V0y/g = V0sen θ /g

ESERCIZI (2)

Problema 1 Un aereo da soccorso vola ad una velocità v = 360 km/h alla quota costante di h = 490 m. Quale distanza x, misurata sull’orizzontale, percorre un pacco lasciato cadere dall’aereo?

Soluzione La velocità iniziale ha SOLO la componente orizzontale, che rimane costante. x= V0xt con V0x = 360 km/h E’ necessario determinare t* = tempo impiegato dal pacco a raggiungere il suolo y=h-gt2/2à 0=h-g t* 2/2 à t*2=2h/g à t* = (2h/g)1/2 x = V0x (2h/g)1/2