3

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Definição 3.1: Dado um espaço de probabilidade (Ω,F , P ), uma variável aleatória X éuma função real definida no espaço Ω, e que toma valores em R tal que o conjunto ω ∈ Ω :

[X(ω) ≤ x] (ou simplesmente [X ≤ x]), é um evento evento aleatório para todo x ∈ R, istoé,

X : Ω→ R é uma variável aleatória, se [X ≤ x] ∈ F ∀x ∈ R

A variável aleatória X é uma função que associa um número real X(ω) a cada resultado ωno espaço amostral de um experimento aleatório.

Para muitos é estranho utilizar o termo variável para designar uma função. Neste contexto apalavra variável é utilizada para enfatizar que se trata de uma quantidade cujo valor depende decada ponto do espaço amostral. É aleatória porque o seu valor depende de um ponto ao acasodo espaço amostral.

Exemplo 3.1: Considere um experimento no qual um estudante é submetido a três questõesde múltipla escolha. Considerando que cada questão o estudante pode acertar (C) ou errar (E),todos os resultados possíveis podem ser obtidos pela arvore abaixo.

Assim, o espaço amostral é um conjunto com 8 elementos dado por

Ω = CCC,CCE,CEC,CEE,ECC,ECE,EEC,EEE

Seja X o numero de acertos temos que o ocorrência no espaço amostral pode ser:

Ω =

CCC

3,CCE

2,CEC

2,CEE

1,ECC

2,ECE

1,EEC

1,EEE

0

Variáveis Aleatórias 2

Assim, a cada resultado elementar asssociamos um valor numérico, que corresponde aonúmero de acertos, e temos que

X(ω) = 0, 1, 2, 3

Exemplo 3.2: Considere um experimento em que um atirador que dispara um tiro para umalvo circular com 1 metro de raio. Vamos admitir que o atirador é bem experiente para que otiro nunca saia fora do alvo, de modo que o espaço amostral Ω, será constituído por todos ospontos do alvo. Seja X a distância entre o ponto e o centro do alvo.

Ω = (x, y)|x2 + y2 ≤ 1 e X(ω) =√

(x2 + y2)

Assim definimos uma função que associa a cada ponto do alvo, enquanto lugar geométrico,a sua distância ao centro, que é um valor numérico.

Definição 3.2 (Função de Distribuição): A função de distribuição de uma variável aleatóriaX , representada por FX , ou simplesmente F , é definida por:

FX(x) = P (X ∈ (−∞, x]) = P (X ≤ x)

A função de distribuição de X é frequentemente chamada de função de distribuição acumu-lada (fdc) de X . A fdc é simplesmente uma maneira conveniente de especificar a probabilidadede todos os intervalos semi-infinitos da reta real, e seus complementos, uniões e interseções

O conhecimento da função de distribuição acumulada é suficiente para entendermos o com-portamento de uma variável aleatória. Mesmo que a variável assuma valores apenas num sub-conjunto dos reais, a função de distribuição é definida em toda a reta. Ela é chamada de funçãode distribuição acumulada pois acumula as probabilidades dos valores inferiores ou iguais a x.

Proposição 3.1: Uma função de distribuição de uma variável X em (Ω,F , P ) obedece àsseguintes propriedades:

• Se x1 ≤ x2 então F (x1) ≤ F (x2); isto é, F é não-decrescente.

• F é contínua a direita

• limx→−∞

F = 0 e limx→∞

F = 1

Tendo em mente que F (x) = P (X ≤ x), podemos observar que:

1. P (X > a) = 1− P (X ≤ a) = 1− F (a)

2. P (a < X ≤ b) = P (X ≤ b)− P (X ≤ a) = F (b)− F (a)

3. P (X = a) = P (X ≤ a)−P (X < a) = F (a)−F (a−). Ou seja, P (X = a) é o tamanhodo salto da função de distribuição em x = a. Se a função for contínua no ponto x = a

então P (X = a) = 0.

Variáveis Aleatórias 3

Figura 3.1: representação gráfica da função de distribuição acumulada

Exemplo 3.3: Seja F (x) a função

F (x) =

0 se x < 0

x se 0 ≤ x ≤ 1

1 se x > 1

Mostre que F é de fato uma função de distribuição :F (x) é não decrescente para todo x real, assim vale a primeira propriedade. F (x) é contínua

nos reais, e assim temos a continuidade a direita. E os limites de F (x) são 0 e 1. Logo as trêspropriedades são satisfeitas.

Calcule P(X > 1

8

), P(18< X ≤ 2

5

)e P

(X ≤ 2

5|X > 1

8

)Vamos obter:

F

(1

8

)=

1

8F

(2

5

)=

2

5

Assim

P

(X >

1

8

)= 1− F

(1

8

)= 1− 1

8=

7

8

P

(1

8< X ≤ 2

5

)= F

(2

5

)− F

(1

8

)=

2

5− 1

8=

11

40

P

(X ≤ 2

5|X >

1

8

)=

P(X ≤ 2

5∩X > 1

8

)P (X > 1

8)

=P(18< X ≤ 2

5

)P (X > 1

8)

=114078

=11

35

Variáveis Aleatórias 4

As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas, conforme esquema a seguir.

VariávelAlea-tória

uullllllllllllllllll

))RRRRRRRRRRRRRRRRRR

Discreta

Contínua

Os possíveis resultadosestão contidos em um

conjunto finito e enumerável

Os possíveis resultadosabragem todo um

intervalo de número reais

Exemplo 3.4: As variáveis aleatórias abaixo são exemplo de variáveis discretas:

• Lança-se uma moeda 10 vezes e anota-se o número de caras. Este número pode ser 0, 1,2 ...10.

• Em uma pesquisa de mercado feita com 200 pessoas, perguntam-se estes compram umdeterminado produto. O número de pessoas que compram o produto varia de 0 a 200.

• Conta-se o número de acidentes que ocorrem em uma rodovia num feriado prolongado.O número de acidentes em questão pode ser: 0, 1, 2... Como não temos um valor quelimite esse número, supomos que o número de acidentes é qualquer inteiro não negativo.

• Número de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um intervalo de tempo.

Exemplo 3.5: As variáveis aleatórias abaixo são exemplo de variáveis continuas:

• Mede-se a altura de uma mulher em uma cidade. O valor encontrado é um número real.Aqui também sabemos que esse número não passa de 3 metros, mas é conveniente consi-derar qualquer numero real positivo.

• Em um exame físico para selecionar um jogador de futebol é medido o peso de cadacandidato; aqui também consideramos que o resultado pode ser qualquer número realpositivo.

• Em campanhas preventivas de hipertensão arterial é comum de tempos em tempos medir-se o nível de colesterol. O valor de cada medida pode ser um número real não negativo.

• Para pacientes que se apresentam num hospital a primeira atitude é medir-se a tempera-tura; o valor da temperatura é um número real que se pode considerar compreendido entre35o e 42oC.

• Retira-se uma lâmpada da linha de produção e coloca-se a mesma em um soquete acendendo-a; observa-se a mesma até que se queime. O tempo de duração da lâmpada é um numeroreal não negativo.

Variáveis Aleatórias 5

3.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

Definição 3.3: A variável aleatória X é discreta se tem um número finito ou enumerávelde valores, isto é, se existe um conjunto finito ou enumerável x1, x2, x3, ... ⊂ R tal queX(ω) ∈ x1, x2, x3, ... ∀ω ∈ Ω.

Definição 3.4: SeX for uma variável aleatória discreta, com possíveis valores x1, x2, x3, ...,então sua Função de probabilidade é a função que associa a cada valor possível xi a sua pro-babilidade de ocorrência p(xi), ou seja:

p(xi) = P (X = xi), i = 1, 2, 3, ...

Uma função de probabilidade deve satisfazer:

p(xi) ≥ 0, i = 1, 2, 3, ...∞∑i=1

p(xi) = 1

Se X é discreta, ao conjunto (xi, p(xi), i = 1, 2, 3, ..) damos o nome de distribuição deprobabilidade, e temos que[X ≤ x] =

⋃i:xi≤x

[X = xi], assim:

F (x) = P [X ≤ x] =∑i:xi≤x

P (X = xi) =∑i:xi≤x

P (xi)

Exemplo 3.6: Lançam-se 2 dados. Seja X a soma das faces, determinar a distribuição deprobabilidade de X.

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P (X) 1

36236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

Figura 3.2: representação gráfica da distribuição de probabilidade e da função de distribuiçãoacumulada de X

Variáveis Aleatórias 6

3.2 VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

Definição 3.5: A variável aleatória X é (absolutamente) contínua se sua função de distri-buição F (x) é contínua. Isto é, se existe uma função f , tal que

F (x) =

∫ x

−∞f(u)du

para todo x ∈ R

Definição 3.6: Se X é uma variável aleatória contínua, uma função de densidade de pro-babilidade é uma função f(x) que satisfaz as seguintes propriedades:

a) f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R

b)∫ ∞−∞

f(x)dx = 1

Uma primeira observação importante que resulta da interpretação geométrica de probabili-dade como área sob a curva de densidade de probabilidade é a seguinte: se X é uma variávelaleatória contínua, então a probabilidade do eventoP (X = a é zero, ou seja, a probabilidade deX ser exatamente igual a um valor específico é nula. Assim, uma função f sendo uma fdp, nãorepresenta a probabilidade de coisa alguma. Somente quando a função for integrada entre doislimites, ela produzirá uma probabilidade. Como consequência, temos as seguintes igualdades:

P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) =

∫ b

a

f(x)dx

Exemplo 3.7: O tempo gasto, em minutos, por um estudante para responder a uma questãode um teste é uma variável aleatória contínua com função dada por

f(x) =

x4

para 1 ≤ x ≤ 3

0 para outros valores

Pela notação verifica-se que o estudante gasta um tempo entre 1 e 3 minutos.Verifique se f(x) é uma função de densidade de probabilidade:

1. f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R

• Para x < 1→ f(x) = 0

• Para 1 ≤ x ≤ 3→ f(x) > 0

• Para x > 3→ f(x) = 0

2.∫R

f(x)dx = 1

∫ ∞−∞

f(x)dx =

∫ ∞−∞

x

4dx =

∫ 3

1

x

4dx =

1

4

∫ 3

1

xdx =1

4

x2

2

]31

=1

4

(32

2− 12

2

)=

1

4

(9

2− 1

2

)=

1

4

8

2= 1

Variáveis Aleatórias 7

Qual a probabilidade do aluno responder uma questão entre 2 e 3 minutos?

P (2 < x < 3) =

∫ 3

2

x

4dx =

1

4

∫ 3

2

xdx =1

4

x2

2

]32

=1

4

(32

2− 22

2

)=

1

4

(9

2− 4

2

)=

1

4

5

2=

5

8= 0, 625

Exemplo 3.8: Determinar valores de c para que a função f(x) abaixo:

f(x) =

c(1− x)2 para 0 ≤ x < 1

21c+1

para 12≤ x ≤ 1

0 para outros valores

Verifique se f(x) é uma função de densidade de probabilidade. Verificar as duas condições

1. f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R,

• Para x < 12

temos f(x) ≥ 0 se c ≥ 0

• Para 12≤ x ≤ temos f(x) ≥ 0 se c+ 1 > 0⇒ c > 1

• Assim, f(x) é não negativa se c > 1

2.∫R

f(x)dx = 1

∫ ∞−∞

f(x)dx = 1 =

∫ 0

−∞0dx+

∫ 12

0

c(1− x)2dx+

∫ 1

12

1

c+ 1dx+

∫ ∞1

0dx

1 =

∫ 12

0

c(1− x)2dx+

∫ 1

12

1

c+ 1dx

1 =−c(1− x)3

3

] 12

0

+x

c+ 1

]112

1 =7c

24+

1

2(c+ 1)=

7c(c+ 1) + 12

24(c+ 1)

1 =7c2 + 7c+ 12

24c+ 24

O que resulta em

7c2 − 17c− 12 = 0⇒ c = −4

7c = 3

Como c > 1 então a solução negativa é descartada e logo c = 3

Teorema 3.1: Se X é uma variável aleatória contínua, então F por ser obtida de f e viceversa.

Variáveis Aleatórias 8

Exemplo 3.9: Seja X uma variável aleatória representando o tempo de conservação aotelefone. Supondo que a função de distribuição é dada por F (x) = (1 − e−λx)I[0,∞), comλ > 0. Determine a função de densidade de probabilidade correspondente.

f(x) =dF (x)

dx= λe−λxI[0,∞)

Exemplo 3.10: Ache a constante k para que a seguinte função seja uma função de densi-dade de probabilidade. E determine a função de distribuição.

f(x) = kx2I[−k,k](x)

Fazendo∫R

f(x)dx = 1

∫R

kx2I[−k,k]dx =

∫ k

−kkx2dx = k

x3

3

]k−k

=k

3(k3 + k3) =

2k4

3

Assim, igualando o resultado a 1, temos

2k4

3= 1⇒ k =

4

√3

2

Logo

f(x) =4

√3

2x2I[− 4

√32, 4√

32

](x)

Assim, a função de distribuição é

F (x) =

∫ x

− 4√

32

4

√3

2u2du =

4

√3

2

u3

3

]x4√

32

=4

√3

2

(x3 − (1, 5)

34

3

)

Desta forma

F (x) =4

√3

2

(x3 − (1, 5)

34

3

)I[− 4√

32, 4√

32

](x) + I( 4√

32,∞)

(x)

3.3 EXERCÍCIOS

3.3.1 Teóricos

3.1) Seja X uma variável aleatória contínua com fdp f(x) e função de distribuição F (x). Paraum número fixo x0, defina a função

g(x) =

f(x)

1−F (x0x ≥ x0

0 x < x0

Variáveis Aleatórias 9

Mostre que g(x) é uma fdp.

3.2) Seja f(x) e g(x) funções de densidade de probabilidade, mostre que

h(x) = θf(x) + (1− θ)g(x)

é também uma f.d.p.

3.3) Seja f(x) =1

2I[θ−1,θ+1](x)

a) Mostre que para qualquer valor de θ, f(x) define uma função de densidade de probabili-dade

b) Obtenha a função de distribuição

3.4) Mostre que as seguintes funções são funções de densidade de probabilidade

a) f(x) = e−xI(0,∞)(x)

b) g(x) = 2e−2xI(0,∞)(x)

c) h(x) = (θ + 1)f(x)− θg(x)

d) h(x) = θ1f(x)− θ2g(x), se θ1 + θ2 = 1

3.5) Determine os valores de a e b, para a função F (x) seja a função de distribuição.

F (x) =

a− 2b para x < 0

ax para 0 ≤ x < 1

(a+ b)(x− 1) para 1 ≤ x < 2

1 para x ≥ 2

3.6) Verique se as funções abaixo podem ser consideradas fpd’s. Se sim encontre o valor daconstante a e a função de distribuição.

f(x) = acosxI(0,π) g(x) = asenxI(0,π)

3.7) Suponha que o gráfico da figura seguinte representa a função densidade de probabilidadede uma variável aleatória X

a) Qual a relação entre a e b?

Variáveis Aleatórias 10

b) Se b > 0, determine o valor de b quando a = 1 e calcule, com estes valores, a função dedistribuição da variável aleatória X .

3.3.2 Práticos

3.1) A variável X tem a função de distribuição dada por:

F (x) =

0 para x < −112

para − 1 ≤ x < 12

34

para 12≤ x < 2

1 para x ≥ 2

a) Classifique a variável X e obtenha a correspondente função de densidade ou de probabi-lidade, conforme o caso.

b) Represente graficamente F (x)

c) Determine P (X ≥ 0) e P (X > 0)

3.2) A variável X tem a função de distribuição dada por:

F (x) =

0 para x < −2x+210

para − 2 ≤ x < 0x+210

+ 3x2

250para 0 ≤ x < 5

1 para x ≥ 5

a) Classifique a variável X e obtenha a correspondente função de densidade ou de probabi-lidade, conforme o caso.

b) Represente graficamente F (x)

c) Determine P (X ≥ 0) e P (X > 0)

c) Determine P (X ≥ 1|x > 0)

3.3) Seja a função f(x) abaixo:

f(x) = k(x+ 1)I(−1,3)(x)

a) Determine o valor de k para que a função seja uma fdp

b) Encontre a distribuição acumulada e o calcule P (X ≤ −1), P (X ≤ 2), P (0 < X <

2, 5), P (X > 3)

c) Determine P (X ≥ 0) e P (X > 0)

c) Determine P (X ≥ 1|x > 0)

Variáveis Aleatórias 11

3.4) Seja X a temperatura (em oC) de reação de um certo processo químico, com fdp dada por:

f(x) =

0, 5x para 0 ≤ x ≤ 2

0 caso contrário

Calcule as probabilidade a seguir:

a) P (X ≤ 1)

b) P (0, 5 ≤ X ≤ 1, 5)

c) P (X > 1, 5)

3.5) Considere a seguinte função de densidade de probabilidade

f(x) = kxI(x)[0,2) + k(4− x)I(x)[2,4]

Calcule as probabilidade a seguir:

a) Determine o valor de k para que f(x) seja uma fpd.

b) Encontre a função de distribuição de X

3.6) Considere a seguinte função:

f(x) =

12

para 0 < x < 1

x− k para 2 < x < 3

0 para outros valores

a) Determine o valor de k de forma que esta função seja uma função de densidade de pro-babilidade de X

b) Encontre a função de distribuição de X

c) Calcule P (X > 32) e P (X > 5

2|1 < X < 3)

3.7) Considere a função de densidade de probabilidade definida por:

f(x) = k(x− 1)I(1,b)(x)

Determine o valor de k de modo que P (1 < X < 4) = 1/2 e depois determine o valorapropriado para a constante b