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Distribuição de Probabilidade

Prof.: Joni Fusinato

[email protected]

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Variáveis Aleatórias Contínuas

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Distribuição de Probabilidade Contínua

Modelo Normal

Modelo t de Student Modelo χ2

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Distribuição Normal

• Considerada a mais importantedas distribuições deprobabilidades contínuas.

• Seu gráfico, chamado de curvanormal ou curva gaussiana temforma de sino e descrevefenômenos que ocorrem nanatureza, indústria e pesquisa.

• A equação depende de doisparâmetros: µ e σ (média edesvio populacionais).

https://www.youtube.com/watch?v=9xUBhhM4vbM

https://www.youtube.com/watch?v=4HpvBZnHOVI

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Quando o número de variáveis aumenta,a densidade de probabilidade da variávelaproxima–se da curva em forma de sino dadistribuição normal.

Mesa de Galton

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• Usada quando não se tem a média e o desvio padrãopopulacional.

• Nestes casos usa-se a média e o desvio padrão amostral quesegue a distribuição normal.

Distribuição de t Student

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Distribuição de χ2

• A distribuição χ2 ou qui-quadrado éuma das distribuições mais usadasrealizar testes de χ2.

• Este teste serve para avaliarquantitativamente a relação entre oresultado de um experimento e adistribuição esperada para ofenômeno. Isto é, ele nos diz comquanta certeza os valoresobservados podem ser aceitos comoregidos pela teoria em questão.

• Testes de hipótese usam, também, adistribuição χ2.

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Distribuição NormalGauss

Definição:

Seja X uma variável aleatória contínua tal que X tem distribuição normal com média µ e variância σ2 se, e somente se sua função densidade de probabilidade for dada por:

( ) 1f x dx

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A distância entre a média e um ponto qualquer é dado em número de desvios padrões (z)

Normal padronizada

Normal não padronizada

z = x - µ

µ x 0 z

PP

Distribuição Normal

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Distribuição Normal Padrão

Características:

Média: µ = 0Desvio-Padrão: σ = 1

Distribuição Normal Reduzida ou Padronizada

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Um significado prático para o que aprendemos

• Analistas da linha de produção calcularam o tempo médio de 75 segundos e desvio padrão de 6 segundos para a montagem de uma peça.

• Graficamente temos:

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Exemplo 1: Analistas da linha de produção calcularam o tempo médio de 75 segundos e desvio padrão de 6 segundos para a montagem de uma peça. Qual a probabilidade de um trabalhador levar um tempo menor ou igual a 81 segundos?

Transformar a variável X em variável normal padronizada Z

Consultando a tabela conclui-se que a probabilidade é de 84,13% de levar um tempo menor ou igual a 81 segundos

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Atenção! Para resolver os exemplos será adotada a tabela de distribuição Normal Padrão Acumulada

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Em uma região, o QI das pessoas adultas segue a distribuição normal com média de 100 pontos e desvio-padrão de 15 pontos. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade desta pessoa ter QI menor que 75 pontos?

X < 75= 100 = 15

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Probabilidade de X < 75 é de 4,75%

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Exemplo 2: A equipe interna de uma empresa audita balanços contábeis e demora em média 40 minutos e desvio-padrão de 12 minutos. Uma empresa de Contabilidade afirma que pode realizar essa atividade em 25 minutos em média. Qual a probabilidade dessa afirmação ser verdadeira?

X = 25= 40 = 12

P(X = 25) = 10,56%

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Probabilidade de X = 25 é de 10,56%

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1) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujocomprimento segue a distribuição normal com média = 10,00 m edesvio padrão = ± 0,09 m. Se o comprimento dos tubosultrapassar 10,20 m eles serão refugados. Calcule a probabilidadedos tubos terem comprimentos superiores a 10,20 m

22,209,0

1020,10

Xz

P (Z 2 ,2 2 ) = 0 ,9 8 6 8 = 1 - 0 ,9 8 6 8 = 0 ,0 1 3 2 = % 1 ,3 2

f(x)

10

X10,20

0 2,22 Z

Consultando tabela temos:

Atividades

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DISTRIBUIÇÃO T - STUDENT

William Sealy Gosset

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DISTRIBUIÇÃO T - STUDENT

• Distribuição de probabilidade publicada por um autor que sechamou de Student, pseudônimo de William Sealy Gosset, quenão podia usar seu nome verdadeiro para publicar trabalhosenquanto trabalhasse para a cervejaria Guinness.

• A distribuição t de Student aparece naturalmente no problema dese determinar a média de uma população (que segue adistribuição normal) a partir de uma amostra. Neste problema,não se sabe qual é a média ou o desvio padrão da população, masela deve ser normal.

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• Padronizar variável aleatória normal requer que o µ e σ sejam conhecidos. Na prática, porém, não podemos calcular z = (x - µ)/ σ porque σ é desconhecido. Em vez disso, substituímos σ por s(desvio padrão amostral) e calculamos a estatística t.

sxt

DISTRIBUIÇÃO T - STUDENT

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• Se a variância da população, σ2 não é conhecida, não podemos usar a distribuição normal como a distribuição de referência para a média da amostra. Neste caso usamos a distribuição t.

• Se a distribuição de referência é normal e a variância da população é estimado por s2, a quantidade:

• que é conhecido como a média padronizada ou como a estatística t, terá à distribuição com ν = n - 1 graus de liberdade.

Xts / n

DISTRIBUIÇÃO T - STUDENT

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Exemplo 1: Para os dados de nitrato, a média da amostra deconcentração é igual a 7,51 mg/L e encontra-se a uma distânciaconsiderável abaixo do verdadeiro valor de referência 8,00 mg/L. Sea verdadeira média da amostra é de 8,0 mg/L e o laboratório estámedindo precisamente, um valor tão baixo quanto 7,51 mg/L queocorrem por acaso apenas quatro vezes em 100. Sabe-se que odesvio padrão é 1,38 em 27 amostras. “Qual a probabilidade de seobter uma amostra tão pequenas com média = 7,51 mg/L a partir daanálise das 27 amostras?"

Xts / n

27/38,1851,7

t

19,5/38,10,49-

t

842,10,2658

0,49-t

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A DISTRIBUIÇÃO T

• A distribuição de referência é necessária, a fim de escolher se o resultado é facilmente explicada por mero acaso ou se é variação excepcional.

• A distribuição T é uma relevante referência que representa o conjunto de resultados que poderiam ocorrer por acaso.

• Um resultado que cai sobre a cauda da distribuição pode ser considerado excepcional.

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Tabela 1 - Distribuição T

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Tabela 2- Distribuição t

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https://www.youtube.com/watch?v=yhfODPGaMmY –Distribuição Normal com exemplos (Prof Allan)

https://www.youtube.com/watch?v=-N60-uc_Erk –Distribuição Normal com exemplos (Profa Zuleica)