Post on 03-Feb-2016
Una sinfonía Una sinfonía de de ΦΦ
enen
Clave de Clave de SeisSeis
Un círculo…
… y un triángulo equilátero inscrito
Los puntos medios de sus lados
Mediatriz,
Mediana
Bisectriz,
Altura
Circuncentro,
Baricentro,
Incentro
Ortocentro
… y la CUERDA que pasa por ellos
¡Queda dividida EN MEDIA y EXTREMA RAZÓN …!
por los lados del triángulo
La Sección o partición de un segmento en MEDIA y EXTREMA RAZÓN está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.-III). La idea es tan simple
como perfecta: El todo se divide en dos partes tal que, la razón proporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el
total, es decir, la suma de ambas.
Si AC = a, CB = b, AB = a + b, donde CB es el segmento menor, el segmento partido en Razón Áurea debe cumplir que:
b
a
a
baФ
a b
a + b
CB
AC
AC
AB
x 1/Φ2
x 1/Φ
1/Φ
1/Φ
1/Φ2
1/Φ
1
1
1/Φ3
1
1/Φ
1
1/Φ2
1/Φ
1/Φ2
1/Φ2
1/Φ
x 1/Φ
x 1/Φ
Demostración:
Éstos triángulos son cartabones, luego
son
semejantes
1
23
1
3
1
3
2
33
43
3
1Radio
Si, por
comodidad
3
3
1
entonces
y
33
4 3
1
53
1
3
3422
5 1
Con el Teorema de Pitágoras se deduce que
Lo que DEMUESTRA que:
1
2
15 3
1
35
33
43
2
33
2
2 15
Y, por tanto
1 2
15
Reduciendo la escala a la mitad …
Φ
1/Φ
… tenemos lo que queríamos demostrar
Las tres mediatrices
¡Y la propina!
Los tres segmentos áureos
Φ
11
1 1
1 1
ΦΦ
Si unimos los seis puntos tenemos…
1
Φ
1
1
Φ
1
Φ
1 1
El hexágono áureo con ángulos iguales
1
1
1
1 + Φ = Φ2
Φ2Φ2
120º
1 + Φ2
El hexágono
ÁUREO
1
1
1
1 + Φ = Φ2
Φ2Φ2
120º
1 + Φ2
El lado menor
El lado mayor
¡Y esta diagonal
es la suma de los lados!
Y aquí está el romboide áureo
1
Φ
Y el trapecio isósceles áureo
Φ
1
1/Φ
11/Φ
1/Φ
1/Φ2
1/Φ2
1/Φ3
El Secreto de El Secreto de ΦΦ : RECURSIVIDAD : RECURSIVIDAD
En esta figura se observa que hay dos cuerdas, el lado CD y la diagonal AB del hexágono, que son cortadas en MEDIA y EXTREMA RAZÓN pon los lados del triángulo equilátero. Lo que evidencia, una vez más, la COMPACIDAD de Φ.
1 Φ 1
1/Φ1 1C D
A B
1/Φ1/Φ 1 1