Un Punto de Equilibrio

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Diagramas de fase Un punto de equilibrio es estable si dado algún punto de partida y ( 0 ) =y 0 “cercano a” esto es, dentro de alguna distancia “δ”, la trayectoria permanece cerca de dentro de alguna distancia Formalmente, un punto de equilibrio es estable si para cada hay un “δ” tal que cada trayectoria y ( t ) con satisface En otras palabras, si una trayectoria que empieza “cerca a” un punto de equilibrio permanece cerca a este punto durante todo el tiempo futuro, entonces el punto de equilibrio se dice que es estable. Un punto de equilibrio es asintóticamente estable si es estable justo como lo hemos definido, y también si cualquier trayectoria que empieza cerca al punto de equilibrio se aproxima al punto de equilibrio según Formalmente, un punto de equilibrio se dice que es asintóticamente estable si este es estable y hay un tal que para cada trayectoria y (t ) con converge a y E según En la figura 17 tenemos el caso de un punto de equilibrio asintóticamente estable. En esta figura se observa que las posibles trayectorias correspondientes al diagrama de fase de la figura 11 convergen en el largo plazo hacia el valor . En la figura 16 tenemos el caso de un punto de equilibrio inestable. En esta figura se observa que las posibles trayectorias correspondientes al diagrama de fase de la figura 10 divergen en el largo plazo de E y , y E , y E . E y 0 E y 0 y . 0 t y t y E . t 0 E y 0 y . t E y . y E

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Un Punto de Equilibrio

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Page 1: Un Punto de Equilibrio

Diagramas de fase

Un punto de equilibrio es estable si dado algún punto de partida y (0 )= y0 “cercano a” esto es, dentro de alguna distancia “δ”, la trayectoria permanece cerca de dentro de alguna distancia Formalmente, un punto de equilibrio es estable si para cada hay un “δ” tal que cada trayectoria y (t ) con satisface En otras palabras, si una trayectoria que empieza “cerca a” un punto de equilibrio permanece cerca a este punto durante todo el tiempo futuro, entonces el punto de equilibrio se dice que es estable. Un punto de equilibrio es asintóticamente estable si es estable justo como lo hemos definido, y también si cualquier trayectoria que empieza cerca al punto de equilibrio se aproxima al punto de equilibrio según Formalmente, un punto de equilibrio se dice que es asintóticamente estable si este es estable y hay un

tal que para cada trayectoria y (t ) con converge a y E según

En la figura 17 tenemos el caso de un punto de equilibrio asintóticamente estable. En esta figura se observa que las posibles trayectorias correspondientes al diagrama de fase de la figura 11 convergen en el largo plazo hacia el valor . En la figura 16 tenemos el caso de un punto de equilibrio inestable. En esta figura se observa que las posibles trayectorias correspondientes al diagrama de fase de la figura 10 divergen en el largo plazo de

Figura 16

Ey

,yE

,yE .

Ey 0

Ey0y .0tyty E

.t

0 Ey0y

.t

Ey

.y E

t

ty

Ey

A0y

B0y

Page 2: Un Punto de Equilibrio

Figura 17

En la figura 12 podemos apreciar una curva de fase que forma un “lazo cerrado”. Esto se debe a que es una relación. Cuando el diagrama de fase es un lazo cerrado, un movimiento oscilatorio de amplitud constante ocurrirá siempre que se verifiquen dos condiciones: i) una parte de la curva de fase debe permanecer encima y otra parte debajo del eje “y”, de modo que haya una etapa en la que “y” crece y otra etapa en la que “y” decrece, ii) la curva de fase debe presentar pendiente no definida en los puntos de intersección con el eje “y”.En la figura 12 también se puede apreciar que en los puntos “B” y “F” de la curva de fase se cumple que la y sin embargo estos puntos no representan puntos de equilibrio. Más bien, son extremos (mínimos y máximos) relativos de la trayectoria temporal correspondiente a esta curva de fase, tal como se aprecia en la figura 18. En esta figura, se aprecia que la trayectoria temporal de “y” oscila periódicamente entre el valor correspondiente al punto B (mínimo relativo) y el valor correspondiente al punto F (máximo relativo).

De los casos antes vistos podemos concluir que una condición necesaria, pero no suficiente, que debe satisfacer todo punto de equilibrio es que la

t

ty

Ey

A0y

B0y

yf

,0dtdy

Ey

.0dttdy E

Page 3: Un Punto de Equilibrio

Figura 18

En la tabla I se muestra el signo/valor de la tasa de cambio de “y” respecto al tiempo y de la tasa de cambio de “f” con respecto a “y” para cada uno de los puntos de las figuras 18 y 12 respectivamente.

Tabla

Del análisis realizado en esta sección podemos observar que la estabilidad dinámica del equilibrio, o equivalentemente la convergencia de la trayectoria temporal dependerá del signo que tenga la pendiente de la curva de fase en la vecindad al punto de intersección de dicha curva con el eje “y”. Por ejemplo, en la figura 10 se aprecia que en la vecindad al punto la curva de fase presenta una lo cual da lugar a la inestabilidad dinámica. Mientras que en la figura 11 se aprecia que en la vecindad al punto la curva de fase presenta una

lo cual da lugar a la estabilidad dinámica de la variable “y”. Sin embargo, en la figura 12 se aprecia que en los puntos “B” y “F”, que como ya hemos dicho no son puntos de equilibrio (son sólo las cotas de una trayectoria temporal fluctuante), la curva de fase presenta una

que no está definida.

,ty

Ey ,0dyyfd

Ey

,0dyyfd

dyyfd

PuntoA (-) (-)B 0C (+) (+)D (+) 0E (+) (-)F 0G (-) (+)H (-) 0

dtdy dydtdyddyyfd

Page 4: Un Punto de Equilibrio

Asimismo, si la curva de fase es tangencial al eje horizontal, permaneciendo siempre a un lado de este (es decir, si el punto de tangencia es un máximo o un mínimo de la curva de fase), el punto de equilibrio es estable por uno de sus lados e inestable por el otro1. Este es el caso del punto de la figura 13, estable por izquierda (para valores menores a ) e inestable por derecha (para valores mayores a ). En la figura 19 observamos las posibles trayectorias temporales correspondientes a la curva de fase de la figura 13. Se observa que si entonces la trayectoria temporal de “y” converge en el largo plazo hacia el valor Sin embargo, si entonces la trayectoria temporal de “y” diverge del valor (rama de la trayectoria temporal que se encuentra a la izquierda de la asíntota vertical y encima del valor ). Además, si el punto de tangencia corresponde a un punto de inflexión horizontal de la curva de fase (figura 14), entonces el punto de equilibrio es estable (inestable) si la curva de fase permanece encima (debajo) del eje “y” a la izquierda (derecha) del punto de inflexión. En la figura 20 podemos ver la trayectoria temporal correspondiente al diagrama de fase de la figura 14.

Por otro lado, es importante resaltar que pueden existir movimientos oscilatorios (convergentes o divergentes) de amplitud no constante cuando es una relación. En este caso la curva de fase no será un lazo cerrado como la figura 12 (aunque seguirá satisfaciendo las condiciones i) y ii) de ocurrencia de un ciclo de la página 336) sino una espiral (divergente) como muestra la figura 15. La posible trayectoria temporal correspondiente a este diagrama de fase aparece en la figura 21.

En el caso que existan puntos de equilibrio múltiples, las afirmaciones acerca de la estabilidad o inestabilidad deberán realizarse en relación a un particular punto de equilibrio. Por tanto, con sistemas que contienen múltiples equilibrios nos referimos a estabilidad local o a inestabilidad local, es decir, hacemos referencia únicamente a características del sistema en la vecindad de un punto de equilibrio. En la figura 22 se observan dos puntos de equilibrio:

es un repulsor localmente inestable (la pendiente de la ecuación

diferencial en la vecindad del origen es positiva) y es un atractor localmente estable (la pendiente de de la ecuación diferencial en la vecindad de “a” es negativa).

1 A este tipo de punto se le denomina shunt. Un shunt es un punto de equilibrio alrededor del cual el sistema evoluciona sin invertir su sentido (las flechas del eje “y” apuntan en un mismo sentido).

Ey

Ey

Ey

E0 yy0y

.y E E0 yy0y

Ey

Ey

yf

0k*1

ak*2

Page 5: Un Punto de Equilibrio

Si sólo existe un punto de equilibrio en un sistema dinámico, entonces tal punto de equilibrio o es globalmente estable o globalmente inestable. En el caso de un sistema globalmente estable, para cualquier entonces el sistema convergerá al punto de equilibrio. Para un sistema globalmente inestable, para cualquier entonces el sistema divergirá del punto de equilibrio. De forma general podemos decir que si una curva de fase tiene sólo un punto de equilibrio y permanece completamente encima del eje “y” a la izquierda del punto de equilibrio, y permanece completamente debajo del eje “y” a la derecha del punto de equilibrio, entonces el punto de equilibrio será globalmente estable. Tal es el caso del punto de equilibrio en la figura 11.

Figura 19

Figura 20

,y0y E

,y0y E

Ey

t

ty

Ey A0y

B0y

t

ty

Ey

A0y

B0y

Page 6: Un Punto de Equilibrio

Figura 21

Figura 22

t

dttdk

0k*1 ak*

2

Page 7: Un Punto de Equilibrio

Ejemplos:

Realice un análisis cuantitativo y/o cualitativo de las siguientes ecuaciones diferenciales:

1.- Mecanismo de ajuste de precio (Tâtonnemet Walrasiano): León Walras visualizaba el equilibrio de mercado como resultado de un proceso de tanteo (Tâtonnemet en francés) en el que un “referee” o “licitador” anuncia el precio “P” de determinado bien, y luego los compradores y vendedores hacen su puja. Si esta puja resulta en un exceso de demanda entonces el precio se incrementa hasta el equilibrio, en el que la oferta iguala a la demanda y se vacía el mercado y viceversa para un exceso de oferta, es decir es proporcional al exceso de demanda: Donde es la velocidad de ajuste. Si la demanda es y la oferta es

siendo entonces el exceso de demanda será: Por tanto,

Remplazando las expresiones de la oferta y la demanda en tenemos:

(246)

(247)

Para realizar el análisis cualitativo de la ecuación diferencial necesitamos construir el diagrama de fase. Dado que la ecuación (246) representa una recta en el plano -P, necesitaremos dos puntos para poder construir dicha recta. Para ello, primero determinaremos el punto de equilibrio, intersección con el eje “P”, igualando la ecuación (246) a cero:

Como sabemos que no tiene sentido económico un precio de equilibrio negativo. Por tanto, para que ya que por el enunciado del problema La condición siempre se cumplirá si la oferta tiene pendiente positiva y si la demanda tiene pendiente negativa En segundo lugar, determinaremos el

0pE

,0pE dtdP

.PkEdtdP 0k

bPaPD

,PPS ,0a

.PSPDPE .PSPDkdtdP

dtdP

PbkakPbPakdtdPP '

akPbkP '

'P

b

aP0PbkakP EE

'

0b0PE

.0a 0b

0

.0b

Page 8: Un Punto de Equilibrio

otro punto de la recta (intersección con el eje “ ”) reemplazando en la ecuación (246):

En consecuencia, el diagrama de fase será:

Figura 23

Se puede apreciar que el punto de equilibrio es un atractor y dado que la pendiente de la ecuación diferencial en la vecindad de es negativa, entonces

será estable. Además, como el diagrama de fase sólo tiene un único punto de equilibrio, entonces será globalmente estable. Asimismo, si el sistema

empezase en el punto las líneas de fuerza (flechas) harían que en el largo plazo se alcanzara el punto . En consecuencia, el punto es también un punto de equilibrio asintóticamente estable. De manera análoga, si el

sistema empezase en se acercaría al punto en el largo plazo de manera asintótica.

Para realizar el análisis cuantitativo necesitamos resolver la ecuación diferencial (246). Para ello, primero calcularemos la solución complementaria. El polinomio característico de la solución complementaria es:

En consecuencia, la solución complementaria será:

'P

0P

0akP '

EP P

dtdP

B0P

A0P

ak

EP

EP

EP

EP

,PP EB0

EP EP

,PP EA0 EP

bkr0bkr

tbkC AeP

Page 9: Un Punto de Equilibrio

Para encontrar la solución particular probamos con por lo que

remplazando en la ecuación (247) tenemos:

(248)Por tanto, la solución general (trayectoria temporal) del precio será:

(249)

Si para el instante inicial tenemos que entonces:

Reemplazando “A” en (249) tenemos:

(250)

La ecuación (250) será asintóticamente estable si ya que en dicho caso la función exponencial que aparece en el primer sumando de la derecha irá disminuyendo con el tiempo y cuando Por tanto:

Si el mercado es estable, es decir, el exceso de demanda se reduce y eventualmente desaparece al incrementar los precios. En caso digamos porque entonces para que el precio de equilibrio siga siendo positivo deberá verificarse que En este caso, el mercado es inestable: continua e indefinidamente la inflación tendrá lugar. Al ser el término exponencial tenderá a infinito cuando el tiempo tienda a infinito y por tanto, el precio en el largo plazo se incrementará indefinidamente alejándose del punto de equilibrio.

En la figura 24 se aprecian las posibles trayectorias temporales de la ecuación (250) considerando que

,0PBP 'PP

'PP PyP

b

aPakPbk PP

b

aAetP tbk

0t ,P0P 0

b

aPA

b

aAP 00

b

ae

b

aPtP tbk

0

,0b

.0et tbk

.0Pb

atPlím E

t

,0b

,0b

,0y0b

.0a0a

,0b

:0b

Page 10: Un Punto de Equilibrio

Figura 24

2.- Modelo Keynesiano: Consideremos un modelo macroeconómico en el que la renta “Y” se incrementa en respuesta al exceso de demanda agregada “ ”. Para una simple economía cerrada, con inversión “ ” y gasto gubernamental “ ” exógenamente dados, la demanda agregada es la suma del consumo “C” la inversión “ ” y el gasto “ ”. El consumo es una función continua no lineal estrictamente creciente respecto a la renta, esto es, con

Por tanto, el modelo dinámico es, para una constante “k” positiva:

(251)

Del enunciado del problema tenemos que:

Reemplazando el consumo en la expresión anterior tenemos:

Reemplazando la última expresión en (251) tenemos:

(252)

Donde

Dado que no conocemos la función explícitamente, sólo podremos realizar un análisis cualitativo de (252).

t

tP

EP

A0P

B0P

YD

0I 0G

0I

0G

YCC

.0dYYdC

YDkdt

dY

00 GICD

00 GIYCD

YkfYGIYCkdt

dYY 00

'

.YGIYCYf 00

Yf

Page 11: Un Punto de Equilibrio

Para obtener el diagrama de fase de la ecuación (252), primeramente vamos a calcular la pendiente de la curva de fase en el plano -Y2:

(253)

Donde

En segundo lugar, vamos a calcular la curvatura de la curva de fase en el plano -Y:

(254)

Donde .

De la expresión anterior podemos ver que si la función de consumo es

estrictamente convexa respecto a la renta, entonces la curva de

fase también será estrictamente convexa respecto a la renta, Por otro lado, si es estrictamente creciente con la renta, entonces

Esto significaría que la propensión marginal al consumo Además, como para una renta nula resulta que el intercepto de la curva de fase con el eje “ ” es y al ser resulta que Entonces, para valores de “Y”

estrictamente positivos siendo y resultaría que Por tanto, la curva de fase no interceptaría al eje “Y”,

es decir, no habría ningún punto de equilibrio ya que para ello tendría que verificarse que Pero como entonces tendría que ser igual a cero. Pero esto último es imposible ya que

En consecuencia, si y el modelo será inestable. En la figura 25 se aprecia que la curva de fase para este caso es aquella que no intercepta al eje horizontal, intercepta al eje vertical en el punto

es estrictamente convexa y es estrictamente creciente respecto a “Y”.2 No tiene sentido trabajar con valores negativos de “Y” ya que la renta es una variable económica. Por tanto, estaremos interesados en averiguar el signo de la pendiente de la curva de fase únicamente en el primer y cuarto cuadrantes.

'Y

dY

Ydfk1dYYdCk

dY

dY '

.1

dY

YdC

dY

Ydf

'Y

2

2

2

2

2

'2

dY

Yfdk

dY

YCdk

dY

Yd

2

2

2

2

dY

YCd

dY

Yfd

,0dYYCd 22

.0dYYfd 22

Yf

.01dYYdCdYYdf

.1dYYdC 0Y

'Y ,0GI0Ck0fk 00

0k .0GI0C0f 00

,0y 0dYYdf ,0dYYfd 22

.0YGIYCYf 00

.0YkfY ' ,0k Yf

.0Y0Yf

1dYYdC ,0dYYCd 22

,0GI0Ck0fk 00

Page 12: Un Punto de Equilibrio

Por otro lado, si la función de consumo es estrictamente cóncava respecto a la

renta, por (254) la curva de fase también será estrictamente

cóncava respecto a la renta, Además, si es estrictamente decreciente con la renta, entonces Esto significaría que la propensión marginal al consumo Asimismo, al ser el intercepto de la curva de fase con el eje “ ” y al ser

y habrá algún valor de “Y” perteneciente al intervalo en el que con lo cual se garantizará que

Para encontrar el punto de equilibrio, intersección con el eje “Y”, igualamos a cero la ecuación (252), obteniendo que:

En consecuencia, si y el modelo será estable. En la figura 25 se aprecia que la curva de fase para este caso es aquella que

intercepta al eje horizontal en , intercepta al eje vertical en el punto es estrictamente cóncava y es estrictamente

decreciente respecto a “Y”.

,0dYYCd 22

.0dYYfd 22 Yf

.01dYYdCdYYdf

.1dYYdC0

'Y ,0GI0Ck0fk 00

0dYYdf ,0dYYfd 22

,0 ,0Yf .0Y '

0YkfYGIYCktY EE00E'

0YGIYCYf E00EE

0fY 1E

1dYYdC0 ,0dYYCd 22

0fY 1E

,0GI0Ck0fk 00

Y 0fY 1

E

dtdY 0Yf:Ykf '

0kf

0Yf:Ykf '

Page 13: Un Punto de Equilibrio

Figura 25

Plano de fase y retratos de fase de sistemas dinámicos autónomos

En esta sección vamos a realizar el análisis cualitativo de sistemas autónomos3

de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden cuya forma general es la siguiente:

(CIX)

El sistema (CIX) puede expresarse equivalentemente en forma vectorial de la siguiente manera:

(CX)

Donde es una solución del sistema (CX)4. Las componentes de pueden entenderse como un par de ecuaciones paramétricas de forma que para cada instante “t” se tiene un punto Las ecuaciones paramétricas son funciones diferenciables respecto a “t” que satisfacen el sistema (CX) sobre algún intervalo abierto “I”. Una solución describe una curva o senda (curva o senda de fase) en el plano x-y (plano de fase) que consta de todos los puntos Al conjunto de todas las posibles sendas de fase5 se le denomina retrato de fase.

Si es una solución de (CX), entonces también lo es para cualquier constante “c”. Por tanto, y tienen la misma senda (esto únicamente se verifica para sistemas autónomos). Para el sistema autónomo (CX), es únicamente determinado en el punto y dos sendas en el plano x-y no pueden interceptarse.

3 Un sistema de ecuaciones diferenciales se denomina autónomo cuando la variable “t” no aparece explícitamente en el sistema de ecuaciones; en caso contrario se dice que el sistema es no autónomo.4 Téngase en cuenta que si es solución de (CIX), al ser (CIX) y (CX) sistemas equivalentes, también será solución de (CX). Por esta razón, sólo haremos referencia a uno de los dos sistemas, el sistema (CX), en el resto de esta sección.5 Es importante resaltar que la senda de fase no debe ser confundida con el diagrama de fase analizado en la sección precedente. El análogo a la senda de fase para una única ecuación diferencial sería el eje “y”.

y,xgydt

dy

y,xfxdt

dx

'

'

XFXg

Xf

y,xg

y,xf

y

xdtdy

dtdx

dt

XdX

'

''

ty

tx

y

xtXX

tX

tX

.tXX 2

tyytx

tX

.Itty,tx

ty,tx ,cty,ctx

ty,tx cty,ctx

ty,tx '' ,ty,tx

21 XyX

Page 14: Un Punto de Equilibrio

El sistema (CX) puede interpretase como un campo vectorial en Donde el campo vectorial para el sistema (CX) es una función vectorial:

. (CXI)

Es decir, el campo vectorial de (CX) es un conjunto de vectores en el plano x-y, tal que la pendiente del vector en el punto coincide con la pendiente de la tangente a la senda de fase que pasa por el punto

La pendiente del vector en el punto viene dada por:

(CXII)

Es importante resaltar que la solución de (CXII) produce las curvas integrales u órbitas6 del sistema (CX) en el plano de fase, cada curva correspondiente a valores dados de constantes arbitrarias. Asimismo, es importante señalar que (CXII) únicamente dependerá de “x” y “y”. Al dividir las razones de cambio de “y” y de “x” se ha “eliminado” la variable “t”.

En la figura 26 se aprecia una senda de fase que es una solución particular del sistema (CX), tal que en el instante inicial debe satisfacer la condición inicial En esta figura podemos apreciar que en el punto inicial los signos de las razones de cambio de “x” y “y” son

entonces según se incremente el tiempo, el sistema se moverá desde el punto hacia la derecha y hacia arriba.

Asimismo, se aprecia que en un punto genérico en el instante “t” tal como los signos de las razones de cambio de “x” y “y” son

entonces según transcurra el tiempo, el sistema se moverá desde el punto hacia la derecha y hacia abajo. En el punto

se aprecia que la velocidad de movimiento (razón o tasa de cambio instantánea respecto al tiempo) está dada por la longitud del vector

6 Una órbita, a diferencia de una senda de fase, no nos da información sobre el sentido del movimiento.

.2

'

'

22

y

xXFX

:F

y,xF

y,x

.y,x

y,xF

y,x

0xx

y

dtdx

dtdy

dx

dy ''

'

0t

.y,x0y,0xX 000

0X

,00yXgy00xXf '0

'0

0X

ty,txX

,0tyy,xgy0txy,xf ''

X

ty,txX

.XF

Page 15: Un Punto de Equilibrio

Figura 26

Para ilustrar la dinámica del sistema (CX), en principio, podemos dibujar tales vectores en cada punto del plano x-y. Tal familia de vectores es llamada campo vectorial7. En la práctica podemos dibujar sólo una pequeña muestra representativa de estos vectores. Sobre la base del campo vectorial, teniendo en cuenta que los vectores del campo vectorial son tangentes a las sendas de fase, podemos dibujar las sendas de fase para el sistema y por tanto exhibir el retrato de fase del sistema.

Por ejemplo, dado el siguiente sistema:

(CXIII)Para obtener algunos vectores del campo vectorial de este sistema podemos escoger arbitrariamente algunos puntos del plano x-y para luego reemplazarlos en el vector que aparece en la ecuación (CXIII).

7 Para obtener el campo vectorial de sistemas de ecuaciones diferenciales autónomos podemos utilizar algunos programas matemáticos como Derive, Maple, Matlab, etc.

x

y

0y,0xX 0

ty,txX

ty,txy,xF ''

tx '

ty '

XA

'

''

'

'

y

x

23

21

y

xX

y,xgy2x3y

y,xfy2xx

X

Page 16: Un Punto de Equilibrio

Podemos observar que, por ejemplo, en el punto del plano x-y tendremos un vector que apunta en la dirección En el punto tendremos un vector que apunta en la dirección Repitiendo el proceso anterior para un gran número de puntos del plano x-y se obtendrá el campo vectorial de la figura 278.

Una vez que se ha obtenido el campo vectorial, podemos bosquejar algunas sendas de fase teniendo en cuenta que los vectores de la figura 27 son tangentes a las sendas de fase y que la dirección de los vectores nos da la dirección de la senda según se incrementa el tiempo. Con el propósito de mostrar la dependencia temporal de la solución, se han colocado flechas sobre las sendas de fase. En la figura 28 se muestra el retrato de fase correspondiente al campo vectorial de la figura 27. Usualmente los retratos de fase sólo incluyen algunas de las sendas de fase y no la totalidad de ellas. Asimismo, frecuentemente el retrato de fase no va acompañado del campo vectorial, aunque algunas veces por cuestiones didácticas se presentarán ambos bosquejados en el plano x-y.

8 Es importante resaltar que la longitud de los vectores en la figura 27 ha sido proporcionalmente reducida de manera que los vectores no interfieran el uno con el otro. Pero la longitud de cada vector aún sugiere la velocidad de movimiento.

4

8

5

2

23

21

y

xX

5

2

y

xX

10

10

5

0

23

21

y

xX

5

0

y

xX

7

5

2

1

23

21

y

xX

2

1

y

xX

9

3

0

3

23

21

y

xX

0

3

y

xX

1

3

2

1

23

21

y

xX

2

1

y

xX

4

4

2

0

23

21

y

xX

2

0

y

xX

16

8

2

4

23

21

y

xX

2

4

y

xX

9

3

0

3

23

21

y

xX

0

3

y

xX

'

''

'

''

'

''

'

''

'

''

'

''

'

''

'

''

0,3

.9,3 5,2

.4,8

Page 17: Un Punto de Equilibrio

Figura 27

Figura 28

Puntos fijos y estabilidad

Dado el sistema (CIX), si es un punto en el plano para el cual simultáneamente y , entonces resulta que y Esto significa que ni “x” ni “y” cambian con el tiempo: el sistema tiene un punto fijo, o tiene un punto de equilibrio. Una vez que hemos encontrado un punto de equilibrio, lo que nos interesa es saber si este punto es estable o inestable.

*** y,xX

0y,xf 0y,xg 0x ' .0y '

Page 18: Un Punto de Equilibrio

Un punto fijo que satisface la condición y es estable o atractor si, dado algún valor inicial “cerca de” esto es, dentro de alguna distancia “δ”, la senda permanece cerca al punto fijo, esto es, dentro de alguna distancia

Haciendo uso de la medida de distancia propuesta por Liapunov, las figuras 29

y 30 muestran dos bolas cerradas con centro en y y con radios “ε” y “δ” respectivamente. Asimismo, cada figura muestra una senda de fase que empieza en el punto En el caso de la figura 29, la senda de fase llega al punto de equilibrio mientras que en la figura 30 la senda de fase circunda al punto de equilibrio

En las figuras 29 y 30 tenemos un punto de partida “cercano a” en el

sentido que permanece dentro de la bola la senda de fase parte del punto permaneciendo “cerca del” punto de equilibrio, en el sentido que

ésta permanece dentro de la bola Por tanto, el punto de equilibrio de ambas figuras es estable.

Figura 29

Por lo antes dicho, podemos introducir la siguiente definición de estabilidad.

0y,xf 0y,xg

000 y,xX

,X*

.

,X* *XB

,XB *

.X0

,X*

.X*

0X

*X

0X *XB

0X

.XB *

*X

x

y

*XB

*XB

*X

0X

Page 19: Un Punto de Equilibrio

Definición I: Un punto de equilibrio es estable si para cualquier

existe un tal que si entonces para todo “t”.No obstante, es importante resaltar que en la definición de estabilidad no hay nada que indique que la senda de fase tenga que aproximarse al punto de equilibrio. Todo lo que se requiere es que la senda de fase permanezca dentro

de la bola Al mirar la figura 30 podemos notar que la senda de fase es periódica, empieza cerca del punto de equilibrio (esto es, el punto de partida

permanece dentro de la bola ) pero circunda cíclicamente el punto de equilibrio mientras permanece “cerca de” dicho punto (esto es, permanece

dentro de la bola ). Tal ciclo límite es estable pero no es asintóticamente estable.

Todo punto de equilibrio que no es estable se dice que es inestable o repulsor. Un punto de equilibrio es asintóticamente estable si es estable en el sentido justamente discutido, pero eventualmente se aproxima al punto de equilibrio según En consecuencia, para ser asintóticamente estable, la senda de fase debe empezar cerca de (es decir, dentro de la bola de radio “δ”), debe permanecer cerca al punto de equilibrio (es decir, dentro de la bola de radio “ε”), y eventualmente debe aproximarse a según Por tanto, la senda de fase de la figura 29 es asintóticamente estable.

Figura 30

Note que la senda de fase puede alejarse del punto mientras permanece

dentro de la bola y aproximarse al punto de equilibrio en el límite. Un punto que es estable pero que no es asintóticamente estable suele

*** y,xX

0 0 *0 XX

*XtX

.XB *

*XB

*X

*XB

.t *X

*X

.t

x

y

*XB

*XB

*X

0X

*X

*XB

Page 20: Un Punto de Equilibrio

denominársele como neutral o marginalmente estable. La figura 30 muestra un punto de equilibrio neutralmente estable.La estabilidad asintótica es más fuerte que la estabilidad. Esto es claro ya que si un punto de equilibrio es asintóticamente estable, entonces debe ser estable. La condición límite por sí sola no es suficiente ya que un sistema puede empezar “cerca de” (es decir, dentro de la bola de radio “δ”) y aproximarse al punto de equilibrio en el límite, pero divergir considerablemente (ir más allá) de bola de radio “ε” en determinado periodo.

Por lo antes dicho, podemos introducir la siguiente definición de estabilidad.

Definición II: El punto de equilibrio se dice que es asintóticamente estable si:

a) Es estable;

b) Existe un tal que siempre que entonces

Si un sistema tiene un punto de equilibrio que es asintóticamente estable, y si cada senda de fase se aproxima al punto de equilibrio (es decir, tanto para puntos cercanos al punto de equilibrio como para puntos lejanos de éste), entonces el punto de equilibrio se dice que es globalmente estable. Otra forma de considerar esto es establecer el conjunto inicial de condiciones para las cuales el punto de equilibrio dado sea asintóticamente estable, esto es, la bola más grande a partir de la cual cualquier trayectoria entrante converja asintóticamente al punto de equilibrio. Este conjunto de condiciones iniciales es llamado fuente de atracción. Un punto de equilibrio es localmente

asintóticamente estable si existe una fuente de atracción, dentro de la cual todas las sendas de fase entrantes a esta bola eventualmente se aproximan al punto Si la fuente de atracción es todo el plano x-y, entonces el sistema es globalmente asintóticamente estable sobre el punto de equilibrio

Por lo antes dicho, podemos introducir la siguiente definición de estabilidad.

Definición III: Sea un punto de equilibrio asintóticamente estable del

sistema (CIX), entonces el conjunto es el dominio o fuente de atracción de Si (o, en todo caso, si coincide con el plano de fase) entonces se dice que es globalmente asintóticamente estable.

*X

*** y,xX

0 *0 XX

.0XtXlím *

t

*X

,XB *

.X*

.X*

*X

0XtXlímXXB *

t

2

.X 2XB

X

Page 21: Un Punto de Equilibrio

Si la estabilidad únicamente se mantiene en una vecindad de se dice que es localmente asintóticamente estable.

Algunas propiedades de las sendas de fase de sistemas autónomos son las siguientes:

1.- No más de una senda de fase pasa por un punto del plano x-y;

2.- Una senda de fase que empieza en un punto que no es un punto de equilibrio únicamente alcanzará un punto de equilibrio en un periodo infinito;

3.- Ninguna senda de fase puede atravesarse así misma a menos que sea una curva cerrada. Si la senda de fase es una curva cerrada entonces la solución es periódica.

Isoclinas y líneas de fuerza en el plano de fase:

Sea Dado el sistema donde puede ser

lineal o no lineal, los lugares geométricos de tales que donde “a” y “b” son constantes, se denominan isoclinas. Las isoclinas son de gran utilidad ya que nos permiten obtener la dirección de los vectores del campo vectorial del sistema, lo que a su vez nos sirve para bosquejar las sendas de fase.

En particular, las isoclinas en las que “a” y “b” son nulas (ceroclinas),

nos dan los puntos para los que ya no hay ajuste dinámico para “x” y para “y”. Es decir, en las intersecciones de las ceroclinas encontraremos los puntos de equilibrio del sistema.

La ceroclina divide el plano x-y en dos regiones, una en la que (donde “x” crece conforme transcurre el tiempo: en esta región se

dibujarán líneas de fuerza (flechas direccionales) que apuntarán hacia la derecha indicando el crecimiento de “x” conforme aumenta el tiempo) y la otra en la que (donde “x” decrece conforme transcurre el tiempo: en esta región se dibujarán líneas de fuerza que apuntarán hacia la izquierda

,X

.

y

x

ty

txX

,XF

y,xg

y,xf

y

xX

'

''

XF

2

,

b

a

y,xg

y,xf

y

xX

'

''

,

0

0

y,xg

y,xf

y

xX

'

''

0y,xfx '

0y,xfx '

0y,xfx '

Page 22: Un Punto de Equilibrio

indicando el decrecimiento de “x” conforme aumenta el tiempo). En la figura 31 se aprecia la dinámica descrita líneas arriba. En esta figura puede notarse que en las dos regiones en que la ceroclina divide al plano x-y las líneas de fuerza son opuestas (aquellas flechas que tienen el mismo color).

Figura 31

La ceroclina también divide el plano x-y en dos regiones, una en la que (donde “y” crece conforme transcurre el tiempo: en esta región se dibujarán líneas de fuerza que apuntarán hacia arriba indicando el crecimiento de “y” conforme se incrementa el tiempo) y la otra en la que

(donde “y” decrece conforme transcurre el tiempo: hacia abajo indicando el decrecimiento de “y” conforme se incrementa el tiempo). En la figura 32 se aprecia el movimiento en el plano x-y descrito líneas arriba. En esta figura también puede notarse que en las dos regiones en que la ceroclina

divide al plano x-y las líneas de fuerza son opuestas (aquellas flechas que tienen el mismo color).

Es importante resaltar que las sendas de fase del sistema que se tracen en el plano x-y cortarán verticalmente a la ceroclina y horizontalmente a la ceroclina

0y,xfx '

x

0x ' 0x ' y

0x '

0x '

0x '

0y,xgy '

0y,xgy '

0y,xgy '

0y,xgy '

0y,xfx '

.0y,xgy '

Page 23: Un Punto de Equilibrio

Figura 32Los puntos de equilibrio del sistema se encontrarán en las intersecciones de las ceroclinas. Al superponer las ceroclinas de las figuras 31 y 32 en un mismo gráfico (ver figura 33), el plano x-y quedará dividido en cuatro regiones en las que será posible conocer la evolución temporal de “x” y de “y” a través de las líneas de fuerza9. En la figura 33, sobre un punto de la ceroclina se ha trazado arbitrariamente el gradiente de en dirección noroeste (de color azul). Dado que la dirección del sobre cualquier punto de la ceroclina apunta hacia la dirección donde en consecuencia, las líneas de fuerza que se encuentran arriba de la ceroclina apuntarán hacia la derecha (este) ya que en esa región, al ser “x” aumentará conforme transcurra el tiempo. En la región que se encuentra debajo de la ceroclina al ser las líneas de fuerza apuntarán hacia la izquierda (oeste) indicando el decrecimiento de “x” conforme aumenta el tiempo.

9 Es importante resaltar que en sistemas no lineales las ceroclinas y se pueden interceptar en más de un punto de equilibrio y, por tanto, dividir el plano x-y en más de cuatro regiones.

0y '

0y '

x

0y,xgy '

0y '

0y '

y

0x ' 0y '

0y,xfx '

y,xf

y,xf

,0xy,xf '

0y,xfx '

,0x '

,0y,xfx ' ,0x '

x

0x ' 0y '

y

y,xf

y,xg E

Page 24: Un Punto de Equilibrio

Figura 33

En la figura 33, sobre un punto de la ceroclina se ha trazado arbitrariamente el gradiente de en dirección noreste (de color rojo). Dado que la dirección del sobre cualquier punto de la ceroclina apunta hacia la dirección donde en consecuencia, las líneas de fuerza que se encuentran arriba de la ceroclina apuntarán hacia arriba (norte) ya que en esa región, al ser “y” aumentará conforme transcurra el tiempo. En la región que se encuentra debajo de la ceroclina al ser las líneas de fuerza apuntarán hacia abajo (sur) indicando el decrecimiento de “y” conforme aumenta el tiempo.

Figura 34

En la figura 34 se han agregado algunas sendas de fase a la figura 33 en función de las direcciones de las líneas de fuerza, las cuales sirven para prever el movimiento dinámico del sistema a partir de cualquier punto inicial del plano x-y. Note que las sendas de fase que cortan la ceroclina tienen una pendiente nula en el punto de corte (líneas punteadas que cortan a la ceroclina horizontalmente), mientras que las sendas de fase que cortan la ceroclina tienen una pendiente infinita en el punto de corte (líneas punteadas que cortan a la ceroclina verticalmente).

0y,xgy '

y,xg

y,xg

,0yy,xg '

0y,xgy '

,0y '

,0y,xgy ' ,0y '

x

0x ' 0y '

y

E

0y,xgy '

0y,xgy '

0y,xfx '

0y,xfx '

Page 25: Un Punto de Equilibrio

Clasificación de los puntos de equilibrio:

Dependiendo de las sendas de fase que circundan a un punto de equilibrio, éste puede clasificarse como: nodo, punto de silla, foco o espiral, y vórtice o centro.

Un nodo es un punto de equilibrio tal que todas las sendas de fase asociadas a él o se acercan no cíclicamente hacia él (atractor) o se alejan no cíclicamente de él (repulsor)10. En la figura 35 se presenta un nodo propio que recibe el nombre de estrella. En este caso, el retrato de fase está formado por segmentos de recta que entran/salen(atractor/repulsor) del punto de equilibrio. En esta figura se muestra el caso de una estrella repulsora.

Figura 35: Nodo propio repulsor

En las figuras 36-a y 36-b se muestran ejemplos de un nodo impropio.

10 Cuando las sendas de fase entran a un punto de equilibrio (sea un nodo o cualquier otro tipo de punto crítico) se le suele denominar sumidero y cuando salen de él se le suele denominar fuente.

y

x E 1v

2v

y,xf

y,xg

0y '

0x '

Page 26: Un Punto de Equilibrio

Figura 36-a: Nodo impropio atractor

Figura 36-b: Nodo impropio repulsor

Un punto de silla es un punto de equilibrio que se caracteriza por ser estable en algunas direcciones e inestable en otras. Específicamente, un punto de silla tiene un par de ramas estables en las que las sendas de fase convergen hacia el punto de equilibrio, y un par de ramas inestables en el que las sendas de fase se alejan del punto de equilibrio. El resto de sendas de fase se mueven hacia el

y

xE

2v

1v

0y,xf

0y,xg

0y '

0x '

y,xg

y,xf

x

y

E

2v

1v

y,xf

0x '

0y,xf

0y '

y,xg

0y,xg

Page 27: Un Punto de Equilibrio

punto de silla inicialmente pero luego se alejan de él. Debido a que la estabilidad sólo se observa en el par de ramas estables, y ésta evidentemente no se obtiene como algo usual, en general, al punto de silla se le suele clasificar como un punto de equilibrio inestable. No obstante, en el caso muy poco probable, en el que en el instante inicial el estado inicial del sistema se encontrase sobre alguna de las ramas estables, entonces el sistema se movería a lo largo de esta rama hasta el punto de equilibrio. Es por esta razón que algunos autores clasifican al punto de silla como un punto de equilibrio condicionalmente estable11.

En la figura 37 se aprecia un punto de silla, donde se observa que el par de

ramas estables se encuentran sobre la línea de acción del autovector y el par de ramas inestables se encuentran sobre la línea de acción del autovector

Figura 37: punto de silla

Los focos son puntos de equilibrio caracterizados por sendas de fase en forma de espiral o que se aproximan cíclicamente a él (foco estable) o que se alejan cíclicamente de éste (foco inestable). En la figura 38 se muestra un foco inestable.

11 Para un estudio de sistemas dinámicos condicionalmente estables recurra a Gandolfo, G. Economic Dynamics. Study Edition. Springer-Verlag. Berlin. 1997.

,v2

.v1

x

y

E

1v

2v

y,xg

y,xf 0y,xf

0x '

0y '

0y,xg

Page 28: Un Punto de Equilibrio

Figura 38: foco inestable

Un vórtice o centro es un punto de equilibrio caracterizado por una familia de sendas de fase en forma de bucles (círculos o elipses concéntricos) que orbitan alrededor de él en forma perpetua. Un vórtice se clasifica como neutralmente estable (es estable pero no asintóticamente estable ya que dicho punto, aun cuando es inaccesible desde cualquier otro punto que no sea el mismo vórtice). En la figura 39 se aprecia un vórtice.

Figura 39: Vórtice

y

x E

y,xf

y,xg

0y '

0x '

,t

E

x

y

0x '

0y '

y,xf

y,xg

Page 29: Un Punto de Equilibrio

Puntos de equilibrio y criterios de estabilidad para sistemas lineales (de “n” variables) de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con coeficientes constantes

Hemos visto que para el sistema de la ecuación (LXXIV), si entonces su único punto de equilibrio lo obtenemos de la ecuación

(LXXVIII), Además, si y el sistema es homogéneo entonces el único punto de equilibrio sería el origen,

Criterio de estabilidad basado en los autovalores de “A”

Una condición necesaria y suficiente para que sea local y globalmente “asintóticamente estable” es que todos los “n” autovalores de “A” tengan parte real negativa. Si al menos un autovalor posee parte real positiva, es inestable.El teorema que vamos a proponer a continuación nos proporciona una condición necesaria y suficiente para que los autovalores asociados a la matriz “A” de (LXXIV) tengan parte real negativa.

Teorema de Routh-Hurwitz:

Dado el sistema (LXXIV), las partes reales de todas las raíces (autovalores) del polinomio característico de grado “n”:

(CXIV)

son negativas si y sólo si la matriz de Routh-Hurwitz

,btXAtX '

,0A

.A

badjAbAX 1*

0A

,0b

.0X*

*X

*X

0aaa

aaa

aaa

aaa

p n1n

1n

0

nn2n1n

n22221

n11211

n

420

531

6420

7531

86420

97531

a00000

0aaa00

0aaa00

0aaaa0

0aaaa0

0aaaaa

0aaaaa

Page 30: Un Punto de Equilibrio

es definida positiva (es decir, si la matriz de Routh-Hurwitz presenta todos sus menores principales dominantes estrictamente positivos). Esto es:

Criterios de estabilidad alternativos

Para calcular los autovalores de la matriz “A” del sistema (LXXIV) necesitamos resolver el polinomio característico dado por (CXIV), pero esta es una ardua labor sobre todo cuando “n” toma valores muy grandes. Asimismo, cuando la matriz “A” está constituida por los parámetros de un modelo, el cálculo de los autovalores resulta sumamente engorroso. Por estos motivos, vamos a presentar algunos criterios de estabilidad alternativos al criterio basado en los autovalores de “A”, de modo que si se cumplen estos criterios alternativos, entonces estará plenamente garantizado el hecho de que los autovalores de la matriz “A” tendrán parte real negativa12.

Criterio I: Una condición de estabilidad necesaria y suficiente para una matriz simétrica “A” es que ésta sea definida negativa. Esto implica que los menores principales dominantes de “A” deben alternar de signo, empezando con signo negativo.

12 Para una revisión más exhaustiva de estos criterios puede recurrir a Gandolfo, G. Economic Dynamics. Study Edition. Springer-Verlag. Berlin. 1997.

0

a00000

0aaa00

0aaa00

0aaaa0

0aaaa0

0aaaaa

0aaaaa

;0aa

aa

;0aa

n

420

531

6420

7531

86420

97531

20

31

11

,0aa 1111 ,0

aa

aa

2221

1211

,,0

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

n

nn3n2n1n

n2232221

n1131211

1signo

aaaa

aaaa

aaaa

signo

Page 31: Un Punto de Equilibrio

Criterio II: Una condición de estabilidad necesaria y suficiente para la matriz “A” es que los menores principales dominantes de la matriz simétrica “B” alternen de signo, empezando con signo negativo. Dónde:

Criterio III: Sea (es decir, todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal de “A” son no negativos). Entonces, en este caso, las condiciones de estabilidad necesarias y suficientes para la matriz “A” son las mismas que las del criterio I. Note que estas condiciones implican que Una matriz con y es denominada “matriz Metzleriana”.Criterio IV: Un conjunto de condiciones suficientes de estabilidad es que todos los elementos de la diagonal principal de “A” sean negativos y que cada uno de ellos en valor absoluto sea mayor a la suma de los valores absolutos de todos los otros elementos pertenecientes a su misma línea (fila o columna). Esto es:

Dominación por filas

o

Dominación por columnas

Criterio V: Una condición de estabilidad necesaria pero no suficiente es que la traza de “A” sea negativa. Es decir,

Criterio VI: Una condición de estabilidad necesaria pero no suficiente es que el determinante de “A” tenga el signo de

nnn22nn11n

2nn2221221

1nn1211211

T

aaa2

1aa

2

1

aa2

1aaa

2

1

aa2

1aa

2

1a

AA2

1B

,ji,0a ij

.0a ii 0a ii ,ji,0a ij

n

ij1j

ijiiii aa,0a

n

ij1j

jiiiii aa,0a

.0atrAn

1iii

.1 n

Page 32: Un Punto de Equilibrio

Criterios de estabilidad para sistemas lineales homogéneos (de dos variables) de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con coeficientes constantes

Sea el siguiente sistema dinámico:

(CXV)

Si entonces posee como único punto crítico a es decir, el origen. El polinomio característico de (CXV) viene dado por:

(CXVI)La estabilidad del sistema (CXV) quedará determinada por el hecho que el polinomio característico (CXVI) tenga sus dos autovalores con parte real negativa.

Por el criterio de Routh-Hurwitz, las condiciones de estabilidad para (CXVI) serán:

Es decir, el sistema (CXV) será estable si y sólo si

Como los autovalores de (CXVI) vienen dados por:

(CXVII)

Donde es el denominado discriminante.

tXAtXy

x

aa

aa

y

x

yaxaydt

dy

yaxaxdt

dx

'

2221

1211'

'

2221'

1211'

,0A ,

0

0X*

0aaaaaaaa

aap 211222112211

2

2221

1211

0AtrAp 2

0trA0trAtrAa1

0A0AtrA0

A1

0trA

aa

aa

20

31

.0Ay0trA

2

trA

2

A4trAtrA,

2

21

,A4trA 2

Page 33: Un Punto de Equilibrio

De (CXVII) podemos verificar que:

(CXVIII)

Por lo que si los autovalores son reales y entonces deben tener el mismo signo, mientras que si los autovalores deben tener signos opuestos.

El estudio de los posibles estados del sistema (CXV) se realizará teniendo en cuenta que:

a) Si los autovalores son reales y distintos.

b) Si los autovalores son reales e iguales.

c) Si los autovalores son complejo conjugados.

Para ilustrar las diversas soluciones trazaremos la trA en el eje horizontal y el en el eje vertical, lo cual es válido ya que tanto la trA como el son parámetros. El plano de parámetros queda

dividido por la curva que es una parábola con mínimo en el origen, tal como se aprecia en la figura 40.

Figura 40

Debajo de la parábola tenemos que por lo que los autovalores son reales y distintos; encima de la parábola se tiene que

por lo que los autovalores son complejo conjugados;

2121 AytrA

,0A 21 y

,0A 21 y

,0A4trA 2

,0A4trA 2

,0A4trA 2

A

A A,trA

,4trAA 2

IV

21trA

0A4trA 2

V VI

III

II I

0

0 0

21A

,0A4trA 2

,0A4trA 2

Page 34: Un Punto de Equilibrio

mientras que a lo largo de la parábola tenemos que por lo que los autovalores son reales e iguales.

Adicionalmente, podemos subdividir los casos de acuerdo al signo/valor de los dos autovalores.

Caso I: autovalores reales y distintos del mismo signo:

Tomemos en primer lugar los autovalores reales distintos que permanecen estrictamente debajo de la parábola. Si ambos autovalores son negativos entonces la trA debe ser negativa, y ya que el entonces estamos en la región debajo de la parábola y encima del eje horizontal (región I en la figura 40). En esta región, el punto de equilibrio es un nodo impropio asintóticamente estable. En la región II, que se encuentra también debajo de la parábola y encima del eje horizontal, ambos autovalores son positivos y el sistema es inestable (el punto crítico es un nodo impropio inestable).

Para comprobar esto, vamos a considerar la solución general

donde “λ1” y “λ2” son autovalores reales y distintos y ambos son o positivos o negativos. Asimismo, supondremos que los autovectores asociados a “λ1” y “λ2” son

En primer lugar, si cuando se verificará que

Por tanto, cuando la solución tenderá a alinearse con esto

es, en el largo plazo tendremos que Pero, dado que cuando

resulta que entonces se tiene que en el largo plazo independientemente de los valores de En este caso, en el

largo plazo, las sendas de fase se aproximarán al origen tangencialmente a la línea de acción del autovector En este caso se tendrá un nodo impropio estable tal como el de la figura 36-a.

De particular interés es el hecho que si el punto inicial se encuentra justo sobre entonces y el sistema se mueve a lo largo de la línea de acción del autovector y se aproxima al origen conforme transcurre el tiempo. De forma similar, si el punto inicial se encuentra justo sobre entonces y el sistema se mueve a lo largo de la línea de acción de aproximándose al origen en el límite. Por tanto, el

,0A4trA 2

,0A

2t

21t

1 VecVecty,txtX 21

.VyV 21

,012 t .ee tt 21

t ,Vec 1t

11

.VectX 1t

11

,t ,0ey0e tt 21

0tX

.cyc 21

.V1

,V1

0c 2

1V

,V2

0c1

,V2

Page 35: Un Punto de Equilibrio

punto de equilibrio es un nodo impropio asintóticamente estable. En segundo lugar, si se verificará que cuando entonces

Por lo que cuando la solución tenderá a alinearse con

esto es, en el largo plazo tendremos que En este caso, las sendas de fase se alejarán del punto de equilibrio tangencialmente a la línea de acción del autovector conforme transcurra el tiempo. Esto se debe a que tanto crecen exponencialmente con el tiempo.

Caso II: autovalores reales e iguales

Si ambos autovalores son reales e iguales y el discriminante es nulo (estaríamos sobre los puntos pertenecientes a la parábola), entonces se pueden presentar dos sub-casos: i) se tendrá un nodo propio (estrella) si los dos autovectores son independientes; ii) se tendrá un nodo impropio si sólo existe un autovector independiente.

Para el sub-caso i) se tendría que Si se obtendría una estrella estable donde las sendas de fase

convergerían al origen ya que:

Si se obtendría una estrella inestable, tal como se aprecia en la figura 35.

Para el sub-caso ii) se tendría que Si se

verificará que cuando entonces el término dominante será por lo que en el largo plazo cada senda de fase deberá aproximarse al origen de manera que sea tangente a la línea de acción del autovector Ciertamente, si

la solución deberá permanecer sobre la misma línea de acción del autovector y aproximarse al origen a lo largo de esta línea. Si entonces cada senda de fase deberá alejarse del origen, tal como se muestra en la figura 36-b.

Caso III: autovalores reales distintos de signos opuestos

Si ambos autovalores son reales y tienen signos opuestos, y el entonces el punto de equilibrio es un punto de silla. Por tanto, debajo del eje horizontal

,0 12 t

.ee tt 21 t

,Vec 1t

11 .VectX 1

t1

1

1V

tyetx

.VcVceVecVectX 2211t

2t

21t

121

,021

.0VcVcelímVecVeclímtXlím 2211t

t2

t21

t1

tt21

,021

.vvtecvectX 21t

21t

1

,021

t ,vtec 1t

2

.v1

0c 2

,v1

,021

,0A

Page 36: Un Punto de Equilibrio

en la región III, el punto de equilibrio es un punto de silla inestable13. Note que esto se aplica independientemente de que la traza sea positiva o negativa. Para comprobar este caso, vamos a considerar la solución general

donde supondremos que los autovectores asociados a “λ1” y “λ2” son Si suponemos que entonces,

cuando resulta que Este caso es recogido en la figura 37. En esta figura se puede apreciar que todas las sendas de fase divergen del punto de equilibrio hacia el infinito a excepción de aquella senda (una de las ramas estables) que parte de un punto inicial situado en la recta de acción del autovector correspondiente al autovalor negativo, en nuestro caso en la dirección del autovector Es importante resaltar que si la solución iniciara en la línea de acción del autovector entonces se tendría que En este caso, la solución permanecería sobre la línea de acción de Ya que entonces la solución divergiría del punto de equilibrio conforme transcurriese el tiempo. Por otro lado, si el sistema iniciara sobre la línea de acción del autovector entonces y ya que entonces según el sistema convergería hacia el punto de equilibrio.

Caso IV: autovalores complejos con parte real distinta de cero

La región compleja (área sombreada de la figura 40) se subdivide en tres categorías. En la región IV el signo de la parte real de los autovalores complejos es estrictamente negativo y la trayectoria espiral tiende hacia el punto de equilibrio en el límite (el punto de equilibrio es una espiral asintóticamente estable). En la región V tenemos que y el punto de equilibrio es inestable con una trayectoria en forma de espiral que diverge de él.

Para demostrar esto vamos a asumir que y que Los sistemas que tienen tales autovalores complejos pueden expresarse como sigue:

(CXIX)

Ahora vamos a expresar el sistema (CXIX) en coordenadas polares en términos de “R” y “θ”, donde:

13 Como ya se dijo, salvo que el estado inicial del sistema se encuentre sobre una de las dos ramas estables, un punto de silla es inestable.

2t

21t

1 VecVecty,txtX 21

.VyV 21

,0y0 12

t .0eye tt 21

.V2

1V

.0c 2

.V1

,01

,V2

,0c1 ,02 t

i 0

0

,iyi 21 .0y0

y

x

y

x

yxy

yxx'

'

'

'

Page 37: Un Punto de Equilibrio

(CXX)

Realizando operaciones elementales con las ecuaciones del sistema (CXX) se tiene que:

(CXXI)

Derivando respecto al tiempo las dos ecuaciones del sistema (CXXI) se tiene:

(CXXII)

Reemplazando (CXIX) y (CXX) en (CXXII) tenemos:

(CXXIII)

Resolviendo (CXXIII) tenemos las ecuaciones paramétricas en coordenadas polares del sistema (CXIX):

(CXXIV)Donde “c” es una constante y Como entonces “θ” decrece con el tiempo, y por tanto el movimiento es en el sentido de las agujas del reloj14. Además, si entonces:

14 En caso el ángulo “θ” aumentaría con el transcurrir del tiempo, por lo que el sentido de giro sería antihorario.

senRy

cosRx

x

ytg

yxR 222

2

'''

2

''''''

x

yxxy

cos

1

yyxxRR

dt

xyd

dt

d

d

tgd

dt

tgd

yy2xx2RR2

22'

2

222'

cosR

yxyyxx

cos

1

RyxyxyyxxRR

'

'

2

22'

'

RR

R

yx

RR

t

ceR

0

t

.0 0 ,0

,0

t

0siR

0si0R

Page 38: Un Punto de Equilibrio

Por tanto, las sendas de fase son espirales que se aproximan o se alejan del origen dependiendo del signo de “α”. En la figura 38 se muestra una espiral divergente.

Caso V: auto valores complejos con parte real nula

En la región VI, que es el eje “y” encima del origen, y el punto de equilibrio tiene un centro (vórtice) con una curva cerrada como trayectoria.

Para demostrar esto vamos a asumir que es decir, y que Reemplazando en los sistemas (CXIX), (CXXIII) y (CXXIV)

respectivamente tenemos que:

(CXXV)

(CXXVI)

Donde “c” y son constantes. Esto significa que las sendas de fase son curvas cerradas (círculos o elipses) con centro en el origen. Si el movimiento será en el sentido de las agujas del reloj mientras que si el movimiento será anti horario. Un circuito completo alrededor del origen denota la fase del ciclo, que es En la figura 39 se muestra un centro.

En la tabla II se muestran las diversas configuraciones de los espacios de fase bidimensionales que se pueden describir de acuerdo a la trA y el junto con los auto valores de la matriz “A”.

∆Autovalores de A

Punto de equilibrio

Estabilidad

Reales del mismo signo:

Nodo impropio

Estable

Reales del mismo signo:

Nodo impropio

Inestable

0

,iyi 21

.0 0

y

x

0

0

y

x

xy

yx'

'

'

'

t

cR0R

0'

'

00

0

0

.2

A

21A

21trA

00A

0trA 021

0 0A 0trA 021

Page 39: Un Punto de Equilibrio

Reales de signo opuesto: Punto

de silla

Estabilidad condicional (depende de la posición inicial). En general: inestable.

Complejo conjugados: Foco

(espiral)

AsintóticamenteEstable

Complejo conjugados: Foco

(espiral)

Inestable

Imaginarios puros: Centro

(vórtice)

Marginal o neutralmente estable

Reales e iguales:

Nodo propio (estrella)

Estable

Reales e iguales:

Nodo propio (estrella)

Inestable

Tabla II

Ejemplos:

Resuelva los siguientes sistemas dinámicos y realice su análisis cualitativo: represente algunas de sus sendas de fase en el plano de fase

0

0A

0trA

ó

0trA

0,0

ó

0,0

21

21

0 0A 0trA

0

i

i

2

1

0 0A 0trA

0

i

i

2

1

0 0A 0trA

0

i

i

2

1

0

0A

0trA

0aa

aa

2112

2211

021

0

0A

0trA

0aa

aa

2112

2211

021

.yx

Page 40: Un Punto de Equilibrio

1.

El determinante de “A”, la traza de “A”, y el discriminante del sistema son:

(255)El polinomio característico de la matriz “A” es:

(256)

Los autovectores asociados a cada autovalor son:Para

Si hacemos entonces:

Para

Si hacemos entonces:

De (CXXIII) y (256) se tiene que la solución será:

(257)Con:

(258)

(259)

Reemplazando las condiciones iniciales en (257) y teniendo en cuenta (258) tenemos que:

.

2

5Xcon

y

x

01

10

y

x2

5

0y

0xXcon

xy

yx0'

'

0'

'

041400trA

01A 2

1

0

i

i01

1

1p

2

12

:i1

aib0

0

b

a

i1

1ivIA 11

,ib1a

i

1v1

:i2

cid0

0

d

c

i1

1ivIA 22

,id1c

i

1v 2

tsenhtcoshtsenhtcoshetX 21210

21

212122111 icic

cc

i

1c

i

1cvcvch

21

212122112 cc

cci

i

1ic

i

1icvcvcih

Page 41: Un Punto de Equilibrio

(260)

Reemplazando (260) en (258) y (259) tenemos:

(261)

Reemplazando (261) en (257) se tiene:

(262)

Para encontrar las órbitas del sistema en el plano de fase vamos a utilizar la ecuación (CXII):

(263)

En consecuencia, las órbitas del sistema vienen dadas por (263), que representa una familia de circunferencias con centro en el origen (el punto de equilibrio es un centro o vórtice) y radio tal como se aprecia en la figura 41. En el instante inicial, se tiene que El sentido del movimiento de la senda de fase que satisface las condiciones iniciales se obtiene evaluando el vector tangente a dicha senda (vector de velocidad de movimiento) en el instante inicial. En el instante inicial, tendríamos que

el vector tangente es: En consecuencia el movimiento de la senda de fase sería contrario al sentido de giro de las agujas del reloj.

2

i25c

2

i25c

icic

cch

2

50X

2

1

21

211

5

2hy

2

5h 21

tsen5tcos2ty

tsen2tcos5txtsen

5

2tcos

2

5tX

yx

2

xk

2

ykxdxydy0y

y

x

x

y

dx

dy 2

1

2

1'

'

kyxk2yxk2

y

2

x 221

221

22

k

,0t .29yx 22

,0t

.5,20y,0x2,5FF0y,0xF ''0

Page 42: Un Punto de Equilibrio

Figura 41

Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas coinciden con los ejes coordenados:

Por esta razón los gradientes de “f” y “g” se encuentran también sobre los ejes coordenados:

En consecuencia, por debajo del eje “x” las líneas de fuerza horizontales apuntarán hacia la derecha, y por encima del eje “x” apuntarán hacia la izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntarán hacia arriba a la derecha del eje “y”, y hacia abajo a la izquierda del eje “y”. Note que todas las soluciones del sistema dinámico, salvo el origen, son circunferencias. Asimismo, note que en las intersecciones de las circunferencias con el eje “x”,

la no está definida.

2.

El determinante de “A”, la traza de “A”, y el discriminante del sistema15 son:

15 En este punto es importante darse cuenta que, de acuerdo al sistema dado por (CXIX),

E

x

y

0x '

0y '

y,xf y,xg 5

2

0F

0X

"y"eje:0x0xy,xgy

"x"eje:0y0yy,xfx'

'

0

1y,xg

1

0y,xf

,0y dxdy

.

1

2Xcon

y

x

11

11

y

x1

2

0y

0xXcon

yxy

yxx0'

'

0'

'

.01

Page 43: Un Punto de Equilibrio

(264)

El polinomio característico de la matriz “A” es:

(265)

Los autovectores asociados a cada autovalor son:

Para

Si hacemos entonces:

Para

Si hacemos entonces:

De (CXXIII) y (265) se tiene que la solución será:

(266)Con:

(267)

(268)

Reemplazando las condiciones iniciales en (266) y teniendo en cuenta (267) tenemos que:

(269)

042422trA

02A 2

1

1

i1

i1022

11

11p

2

12

:i111

aib0

0

b

a

i1

1ivIA 11

,ib1a

i

1v1

:i112

cid0

0

d

c

i1

1ivIA 22

,id1c

i

1v2

tsenhtcoshetsenhtcoshetX 21

t21

t

21

212122111 cci

cc

i

1c

i

1cvcvch

21

212122112 cc

cci

i

1ic

i

1icvcvcih

2i2c

2i2c

cci

cch

1

20X

2

1

21

211

Page 44: Un Punto de Equilibrio

Reemplazando (269) en (267) y (268) tenemos:

(270)

Reemplazando (270) en (266) se tiene:

(271)

Para encontrar las órbitas del sistema en el plano de fase vamos a utilizar la ecuación (CXII):

(272)

Si hacemos el siguiente cambio de variable:

(273)

Reemplazando (273) en (272) se tiene:

(274)

La ecuación (274) nos representa una familia de espirales convergentes al origen. Note que todas las soluciones del sistema dinámico, salvo la solución trivial, son espirales. Reemplazando

en la ecuación (274) se obtiene Reemplazando “k” en (274) tenemos que:

2

1hy

1

2h 21

tsen2tcosety

tsentcos2etxtsen

2

1tcos

1

2etX

t

tt

yx

xyx/y1

xy1

yx

yx

x

y

dx

dy'

'

xduudxdyxuyxyu

dx1u

1uxduudxdx

1u

1udy

1u

1u

u1

u1

dx

dy

du1u

1u

x

dxxdudx

1u

1uxdudx

1u

1uudx

2

2

0x;x

ytg

x

yxln

2

1kxlndu

1u

1u

x

dx 12

22

2

0x;0x

ytg

x

yxln

2

1kxlny,xF 1

2

22

1,20y,0xX 0

.2683,1k

Page 45: Un Punto de Equilibrio

(275)

La ecuación (275) nos representa una espiral convergente al origen que satisface las condiciones iniciales del sistema dinámico. Para determinar el sentido del movimiento de la senda de fase evaluaremos el vector tangente a la senda de fase (vector de velocidad de movimiento) por ejemplo en el instante inicial,

tenemos que Por otro lado, del sistema (271) es fácil verificar que se cumple que:

(276)

La ecuación (276) corresponde a una espiral, que puede interpretarse

como una circunferencia cuyo radio tiende a cero cuando Comparando (276) con (CXXIV) se tiene que:

(277)

Por otro lado tenemos que en el instante inicial, se tiene que:

(278)

Reemplazando (278) y “β” en (CXXIV) se tiene que:

(279)

Las ecuaciones paramétricas (277) y (279), en coordenadas polares, representan una espiral [la misma espiral que se obtuvo en la ecuación (275)]. En la figura 42 se aprecia la senda de fase en forma de espiral que converge al punto de equilibrio del sistema (el origen) y cuyo sentido de giro es contrario al de las manecillas del reloj.

0x;0x

ytg

x

yxln

2

12683,1xlny,xF 1

2

22

,0t

.1,30y,0x1,2FF0y,0xF ''0

t222 e5yx

te5 .t

5ce5yxRe5yxR t22t2222

,0t

21tg2

1

0x

0ytg 1

00

t21tgt 1

Page 46: Un Punto de Equilibrio

Figura 42

Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas vienen dadas por:

Mientras que los gradientes de “f” y “g” vienen dados por:

1

1y,xg

1

1y,xf

En consecuencia, por debajo de la ceroclina las líneas de fuerza horizontales apuntarán hacia la derecha, y por encima de ella apuntarán hacia la izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntarán hacia arriba por debajo de la ceroclina y hacia abajo por encima de ella. Note que en

las intersecciones de la espiral con la isoclina la no está definida.

3.

y

x

0X

0F

0y ' 0x '

y,xf y,xg

2

xy0yxy,xgy

xy0yxy,xfx'

'

0x '

,0y '

,xy0x ' dxdy

.

1

1Xcon

y

x

10

01

y

x1

1

0y

0xXcon

yy

xx0'

'

0'

'

Page 47: Un Punto de Equilibrio

El determinante de “A”, la traza de “A”, y el discriminante del

sistema son:

(280)El polinomio característico de la matriz “A” es:

(281)

Utilizando

Utilizando

Ya que con se satisface para cualquier autovector entonces deberemos escoger arbitrariamente cualquier par de autovectores linealmente independientes para los autovalores Permítase que dichos autovectores sean:

Entonces, por (LXXXV), la solución general será:

(282)

Reemplazando las condiciones iniciales en (282) tenemos la solución particular:

01422trA

01A 2

101210

01p 21

2

:11

b

a0b0a0

0

0

b

a

00

00vIA 11

b

av1

:12

d

c0d0c0

0

0

d

c

00

00vIA 22

d

cv 2

,0vIA

,1 ,v

.121

1

0vy

0

1v 21

t2

t1t

2t

1ecty

ectx

1

0ec

0

1ectX

Page 48: Un Punto de Equilibrio

(283)

Para encontrar las órbitas del sistema en el plano de fase vamos a utilizar la ecuación (CXII):

(284)

La ecuación (284) representa una familia de semirectas, a excepción de la solución nula. Reemplazando las condiciones iniciales en la ecuación (284) se tiene que Por tanto, la senda de fase que satisface las condiciones iniciales será:

(285)

Para determinar el sentido del movimiento de la senda de fase evaluaremos el vector tangente a lasenda de fase (vector de velocidad de movimiento) por

ejemplo en el instante En este caso la senda de fase que parte del punto se aleja del punto de equilibrio conforme transcurre el tiempo sobre la semirecta

Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas coinciden con los ejes coordenados:

Mientras que los gradientes de “f” y “g” vienen dados por:

En consecuencia, a la derecha del eje “y” las líneas de fuerza horizontales apuntarán hacia la derecha, y a la izquierda del eje “y” apuntarán hacia la

t

t

20

2

10

1

ety

etx

1c1ec0y

1c1ec0x

1

10X

yx

1'

'

kxlnylnkx

dx

y

dy

x

dx

y

dy0x

x

y

x

y

dx

dy

0y0x;0cex

y0y0x;k

x

yln 1k

1

0y0x;cx

y0y0x;c

x

y

c0y0x;cxy

.1c

0y0x;xy

,0t .1,10y,0x1,1FF0y,0xF ''0

1,1X0

.1y1xxy

"x"eje:0yy,xgy

"y"eje:0xy,xfx'

'

1

0y,xg

0

1y,xf

Page 49: Un Punto de Equilibrio

izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntarán hacia arriba por encima del eje “x”, y hacia abajo por debajo del eje “x”. En la figura 43 se aprecia que el punto de equilibrio de este sistema es una estrella divergente. Note que en el eje “y”, la no está definida.

0y '

y

x 1

1

y,xf

y,xg

0x '

0F

0X

Figura 43

4.

El determinante de “A”, la traza de “A”, y el discriminante del sistema son:

(286)

El polinomio característico de la matriz “A” es:

(287)

Los autovectores asociados a cada autovalor son:

,0x dxdy

.

1

2Xcon

y

x

01

20

y

x1

2

0y

0xXcon

xy

y2x0'

'

0'

'

082400trA

02A 2

2

202

1

2p

2

12

Page 50: Un Punto de Equilibrio

Para

Si hacemos entonces:

Para

Si hacemos entonces:

De (LXXXV) se tiene que la solución será:

(288)

Reemplazando las condiciones iniciales en (288) tenemos que:

(289)

Reemplazando (289) en (288) tenemos:

(290)Para encontrar las órbitas del sistema en el plano de fase vamos a utilizar la ecuación (CXII):

:21

a2

2b

0

0

b

a

21

22vIA 11

,22b1a

22

1v1

:22

c2

2d

0

0

d

c

21

22vIA 22

,22d1c

22

1v2

t22

t21 e

22

1ce

22

1ctX

t22

t21

t22

t21

ec22ec22ty

ecectx

2

12c

2

12c

c2

2c

2

2

cc

1

20X

2

1

21

21

t2t2

t2t2

e2

12e

2

12ty

e2

12e

2

12tx

yx

Page 51: Un Punto de Equilibrio

(291)

En consecuencia, las órbitas del sistema vienen dadas por (291), que representa una familia de hipérbolas con vértices en el eje “y” para valores de

y con vértices sobre el eje “x” para valores de Independientemente del signo de “k”, las ecuaciones de las asíntotas a dichas hipérbolas son

Note que las pendientes de las rectas asíntotas coinciden con las tangentes de los ángulos de inclinación de los autovectores Asimismo, note que en las intersecciones de las sendas de fase con el eje horizontal, la no está definida. El punto de equilibrio es un punto de silla, tal como se aprecia en la figura 44. En el instante inicial, se tiene que

Por tanto, la senda de fase que satisface las condiciones iniciales está dada por:

El sentido del movimiento de la senda de fase que satisface las condiciones iniciales (que en el largo plazo se aleja del punto de equilibrio) se obtiene evaluando el vector tangente a dicha senda en el instante inicial. En dicho

instante el vector tangente es: Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas coinciden con los ejes coordenados:

Por esta razón los gradientes de “f” y “g” se encuentran también sobre los ejes coordenados:

En consecuencia, por encima del eje “x” las líneas de fuerza horizontales apuntarán hacia la derecha, y por debajo del eje “x” apuntarán hacia la izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntarán hacia arriba a la derecha del eje “y”, y hacia abajo a la izquierda del eje “y”. Note que todas las

k2

xykxdxydy20y

y2

x

x

y

dx

dy 22

'

'

1k2

x

k

y 22

,0k .0k

.x22y

.vyv 21

,0y

dxdy

,0t

.1k2211 22

11

y

2

x 22

.2,20y,0x1,2FF0y,0xF ''0

"y"eje:0x0xy,xgy

"x"eje:0y0y2y,xfx'

'

0

1y,xg

2

0y,xf

Page 52: Un Punto de Equilibrio

soluciones del sistema dinámico, salvo el origen y las asíntotas, son hipérbolas.

Figura 44

5.

El determinante de “A”, la traza de “A”, y el discriminante del sistema son:

(292)

El polinomio característico de la matriz “A” es:

(293)

Los autovectores asociados a cada autovalor son:

Para

Si hacemos entonces:

-2 0F

x 0x '

y

0y '

y,xf

y,xg

1 1v

2v

.

1

2Xcon

y

x

01

20

y

x1

2

0y

0xXcon

xy

y2x0'

'

0'

'

082400trA

02A 2

2

0

i2

i202

1

2p

2

12

:i21

ai2

2b

0

0

b

a

i21

2i2vIA 11

,i2

2b1a

Page 53: Un Punto de Equilibrio

Para

Si hacemos entonces:

De (CXXIII) y (293) se tiene que la solución será:

(294)

Con:

(295)

(296)

Reemplazando las condiciones iniciales en (294) y teniendo en cuenta (295) tenemos que:

(297)Remplazando (297) en (295) y (296) tenemos:

(298)

Reemplazando (298) en (294) se tiene:

i2

2

1

v1

:i22

ci2

2d

0

0

d

c

i21

2i2vIA 22

,i2

2d1c

i2

2

1

v2

t2senht2coshtX 21

21

21

2122111cc

2

2i

cc

i2

2

1

ci

2

2

1

cvcvch

21

21

2122112cc

2

2

cci

i2

2

1

ici

2

2

1

icvcvcih

2i22c

2i22c

cc2

2i

cc

h1

20X

2

1

21

21

1

2

2hy1

2h 21

t2sen

2

2t2cos1

2tX

Page 54: Un Punto de Equilibrio

(299)

Para encontrar las órbitas del sistema en el plano de fase vamos a utilizar la ecuación (CXII):

(300)

En consecuencia, las órbitas del sistema vienen dadas por (300), que representa una familia de elipses con centro en el origen (el punto de equilibrio es un centro o vórtice) tal como se aprecia en la figura 45.

En el instante inicial, se tiene que En consecuencia, la senda de fase que satisface las condiciones iniciales será:

El sentido del movimiento de la senda de fase que satisface las condiciones iniciales se obtiene evaluando el vector tangente a dicha senda (vector de velocidad de movimiento) en el instante inicial. En el instante inicial,

En consecuencia el movimiento de la senda de fase sería en el sentido de giro de las agujas del reloj.Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas coinciden con los ejes coordenados:

Por esta razón los gradientes de “f” y “g” se encuentran también sobre los ejes coordenados:

t2sen2t2costy

t2sen2t2cos2tx

yx

kxdxydy2xdxydy20yy2

x

x

y

dx

dy'

'

0k;1k

y

k2

xk

2

xy

2222

,0t .3k122 22

13

y

6

x 22

,0t

.2,20y,0x1,2FF0y,0xF ''0

"y"eje:0x0xy,xgy

"x"eje:0y0y2y,xfx'

'

0

1y,xg

2

0y,xf

Page 55: Un Punto de Equilibrio

En consecuencia, por encima del eje “x” las líneas de fuerza horizontales apuntarán hacia la derecha, y por debajo del eje “x” apuntarán hacia la izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntarán hacia arriba a la izquierda del eje “y”, y hacia abajo a la derecha del eje “y”. Note que todas las soluciones del sistema dinámico, salvo el origen, son elipses. Asimismo, note que en las intersecciones de las elipses con el eje “x”, la no está definida.

Figura 45

6.

El determinante de “A”, la traza de “A”, y el discriminante del sistema son:

(301)

El polinomio característico de la matriz “A” es:

(302)Se observa que la multiplicidad algebraica es 2, es decir

Para

,0y dxdy

2

1

y

x

0X

0F

E

y,xg

y,xf

.

2

2Xcon

y

x

21

14

y

x2

2

0y

0xXcon

y2xy

yx4x0'

'

0'

'

094606trA

09A 2

309621

14p 21

2

.2m

:3

Page 56: Un Punto de Equilibrio

Si hacemos entonces:

Como apreciamos sólo existe un autovector asociado a Para encontrar un segundo autovector que sea linealmente independiente de vamos a utilizar la expresión (CVI):

(303)

Si hacemos Por tanto:

En consecuencia, de (CIV) tenemos:

(304)

Reemplazando las condiciones iniciales en (304) tenemos que:

(305)

Reemplazando (305) en (304) se tiene:

(306)

Para encontrar las órbitas del sistema en el plano de fase vamos a utilizar la ecuación (CXII):

ba0

0

b

a

11

11vIA 1

,1b1a

1

1v1

.3

1v

1dc1

1

d

c

11

11vvIA 12

.1d0c

1

0v2

1

0

1

1tec

1

1ec

ty

tx t32

t31

t32

t31

t32

t31

e1tcecty

tecectx

4c2cc0y

2c0x

221

1

t3t3

t3t3

e1t4e2ty

te4e2tx

yx

Page 57: Un Punto de Equilibrio

(307)Si hacemos el siguiente cambio de variable:

(308)

Reemplazando (308) en (307) se tiene:

(309)

La ecuación (309) nos representa una familia de sendas de fase convergentes al origen. Note que todas las sendas de fase, salvo la senda que coincide con la línea de acción del autovector son tangentes a la línea de acción de Reemplazando en la ecuación (309) se obtiene Reemplazando “k” en (309) tenemos que:

(310)

La ecuación (310) nos representa una senda de fase convergente al origen que satisface las condiciones iniciales del sistema dinámico. Para determinar el sentido del movimiento de la senda de fase evaluaremos el vector tangente a la

x4y4x/y

1xy2

yx4

y2x

x

y

dx

dy'

'

xduudxdyxuyxyu

dx4u

1u2xduudxdx

4u

1u2dy

4u

1u2

dx

dy

du1u

4u

x

dxxdudx

4u

1uxdudx

4u

1u2udx

2

2

1u;

1u

31ulnkxlndu

1u

4u

x

dx2

1

x

y;

1xy

31

x

ylnkxln

xy;yx

x3

x

yxlnkxln

xy;0kyx

x3yxlny,xF

,v1

.v1

2,20y,0xX0

.1137,0k

xy;01137,0yx

x3yxlny,xF

Page 58: Un Punto de Equilibrio

senda de fase (vector de velocidad de movimiento) por ejemplo en el instante

inicial, tenemos que Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas vienen dadas por:

Mientras que los gradientes de “f” y “g” vienen dados por:

En consecuencia, a la izquierda de la ceroclina las líneas de fuerza horizontales apuntarán hacia la derecha, y a la derecha de ella apuntarán hacia la izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntarán hacia arriba por debajo de la ceroclina y hacia abajo por encima de ella. Note que en

las intersecciones de las sendas de fase con la isoclina la no está definida. El punto de equilibrio es un nodo impropio estable.

Figura 4

Ejemplo: Una aplicación económica

Realice el análisis cualitativo del modelo Keynesiano IS-LM (Tu 1994), dado por el sistema (215), para el caso III.

El sistema de ecuaciones diferenciales dado por (215), para el caso III, ,0A4trA 2 con los siguientes parámetros:

,0t .2,100y,0x2,2FF0y,0xF ''0

2xy0y2xy,xgy

x4y0yx4y,xfx'

'

2

1y,xg

1

4y,xf

0x '

,0y '

,x4y0x ' dxdy

y

x 2

2

0x '

0y ' 0X

0F

y,xf

y,xg

1v

2v

Page 59: Un Punto de Equilibrio

Viene dado por:

(311)

Teniendo en cuenta la ecuación (219) y los valores de equilibrio, se tiene:

(312)

Además, considerando (221), la ecuación (311) podría expresarse como:

(313)

Por tanto, haciendo uso de la ecuación (CXII) tenemos que:

(314)

Haciendo el siguiente cambio de variable, tenemos que:

(315)

Reemplazando en (314) se obtiene:

(316)

Igualando (315) y (316) resulta que:

1r

5,1Y

3

1A

1trA

1MGTI

1;75,0;5,0s;5,0

*

*0

8,0

2

0r

0Y;

1

5,1

r

Y

5,01

75,05,0

r

Y

0XbtXAtX

'

'

'

'

'

'2

'1'

*

**

2

1

r

Y

d

dtD

1r

5,1Y

rr

YYtXtX

d

dtD

2

1'2

'1

'

''

d

d

5,01

75,05,0

d

d

r

YtDAtD

21

21'

'

'1

'2

1

2

d75,0d5,0

d5,0d

Y

r

d

d

dd

dd

Y

3

22r

3

2

5,1Y

1r

d

d

dd75,05,0

1dd5,0

dd

dd

1

2

12

12

1

2

1121212 ddududdduddddu

12 ddu

121

2 ddu75,05,0

1u5,0dd

3

2u

u75,05,0

1u5,0

dd

dd

Page 60: Un Punto de Equilibrio

Reemplazando “u” en la ecuación anterior se tiene:

Reemplazando “d1” y “d2” en la ecuación anterior se tiene:

Donde

La ecuación anterior nos representa una familia de espirales convergentes al punto de equilibrio. Note que todas las soluciones del sistema dinámico, salvo el

punto de equilibrio son espirales. Reemplazando en la ecuación anterior se obtiene Reemplazando “k” en la ecuación precedente tenemos:

duddduu75,05,0

1u5,0dd

u75,05,0

1u5,0ddudud 11111

du

u75,01

u75,05,0

d

ddduddd

u75,05,0

u75,012

1

111

2

du

u34

u32du

u75,01

u75,05,0k

d

dd22

1

1

u

2

3tg

3

3

u34

2lnkdln 1

21

0ku2

3tg

3

3

u34

2lndln 1

21

0kd

d

2

3tg

3

3

d

d34

2lndln

1

21

2

1

2

1

0k5,1Y

1r

2

3tg

3

3

5,1Y

1r34

2ln5,1Yln 1

2

.5,1Y

,1,5,1r,YX ***

8,0,20r,0YX0

.8290,0k

Page 61: Un Punto de Equilibrio

La ecuación anterior nos representa una espiral convergente al punto de equilibrio que satisface las condiciones iniciales del sistema dinámico. Para determinar el sentido del movimiento de la senda de fase evaluaremos el vector tangente a la senda de fase (vector de velocidad de movimiento) por

ejemplo en el instante

Teniendo en cuenta (311), las ceroclinas vendrán dadas por:

Mientras que los gradientes de “f” y “g” vienen dados por:

En consecuencia, a la izquierda de la ceroclina las líneas de fuerza horizontales apuntarán hacia la derecha, y a la derecha de ella apuntarán hacia la izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntarán hacia arriba por debajo de la ceroclina y hacia abajo por encima de ella. Note que en las intersecciones de las

sendas de fase con la isoclina la no está

definida.

08290,05,1Y

1r

2

3tg

3

3

5,1Y

1r34

2ln5,1Yln 1

2

,0t .6,0,1,00r,0Y8,0,2FF0r,0YF ''0

2Y2r01r5,0Yr,Ygr

Y3

22r05,1r75,0Y5,0r,YfY

'

'

5,0

1r,Yg

75,0

5,0r,Yf

0Y '

,0r '

,Y322r0Y' dYdr