Un Punto de Equilibrio

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Diagramas de fase Un punto de equilibrio es estable si dado algún punto de partida y ( 0 ) =y 0 “cercano a” esto es, dentro de alguna distancia “δ”, la trayectoria permanece cerca de dentro de alguna distancia Formalmente, un punto de equilibrio es estable si para cada hay un “δ” tal que cada trayectoria y ( t ) con satisface En otras palabras, si una trayectoria que empieza “cerca a” un punto de equilibrio permanece cerca a este punto durante todo el tiempo futuro, entonces el punto de equilibrio se dice que es estable. Un punto de equilibrio es asintóticamente estable si es estable justo como lo hemos definido, y también si cualquier trayectoria que empieza cerca al punto de equilibrio se aproxima al punto de equilibrio según Formalmente, un punto de equilibrio se dice que es asintóticamente estable si este es estable y hay un tal que para cada trayectoria y (t ) con converge a y E según En la figura 17 tenemos el caso de un punto de equilibrio asintóticamente estable. En esta figura se observa que las posibles trayectorias correspondientes al diagrama de fase de la figura 11 convergen en el largo plazo hacia el valor . En la figura 16 tenemos el caso de un punto de equilibrio inestable. En esta figura se observa que las posibles trayectorias correspondientes al diagrama de fase de la figura 10 divergen en el largo plazo de E y , y E , y E . E y 0 E y 0 y . 0 t y t y E . t 0 E y 0 y . t E y . y E
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Un Punto de Equilibrio

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Diagramas de fase

Un punto de equilibrio es estable si dado algn punto de partida cercano a esto es, dentro de alguna distancia , la trayectoria permanece cerca de dentro de alguna distancia Formalmente, un punto de equilibrio es estable si para cada hay un tal que cada trayectoria con satisface En otras palabras, si una trayectoria que empieza cerca a un punto de equilibrio permanece cerca a este punto durante todo el tiempo futuro, entonces el punto de equilibrio se dice que es estable. Un punto de equilibrio es asintticamente estable si es estable justo como lo hemos definido, y tambin si cualquier trayectoria que empieza cerca al punto de equilibrio se aproxima al punto de equilibrio segn Formalmente, un punto de equilibrio se dice que es asintticamente estable si este es estable y hay un tal que para cada trayectoria con converge a segn

En la figura 17 tenemos el caso de un punto de equilibrio asintticamente estable. En esta figura se observa que las posibles trayectorias correspondientes al diagrama de fase de la figura 11 convergen en el largo plazo hacia el valor . En la figura 16 tenemos el caso de un punto de equilibrio inestable. En esta figura se observa que las posibles trayectorias correspondientes al diagrama de fase de la figura 10 divergen en el largo plazo de

Figura 16

Figura 17

En la figura 12 podemos apreciar una curva de fase que forma un lazo cerrado. Esto se debe a que es una relacin. Cuando el diagrama de fase es un lazo cerrado, un movimiento oscilatorio de amplitud constante ocurrir siempre que se verifiquen dos condiciones: i) una parte de la curva de fase debe permanecer encima y otra parte debajo del eje y, de modo que haya una etapa en la que y crece y otra etapa en la que y decrece, ii) la curva de fase debe presentar pendiente no definida en los puntos de interseccin con el eje y.En la figura 12 tambin se puede apreciar que en los puntos B y F de la curva de fase se cumple que la y sin embargo estos puntos no representan puntos de equilibrio. Ms bien, son extremos (mnimos y mximos) relativos de la trayectoria temporal correspondiente a esta curva de fase, tal como se aprecia en la figura 18. En esta figura, se aprecia que la trayectoria temporal de y oscila peridicamente entre el valor correspondiente al punto B (mnimo relativo) y el valor correspondiente al punto F (mximo relativo).

De los casos antes vistos podemos concluir que una condicin necesaria, pero no suficiente, que debe satisfacer todo punto de equilibrio es que la

Figura 18

En la tabla I se muestra el signo/valor de la tasa de cambio de y respecto al tiempo y de la tasa de cambio de f con respecto a y para cada uno de los puntos de las figuras 18 y 12 respectivamente.

Punto

A(-)(-)

B0

C(+)(+)

D(+)0

E(+)(-)

F0

G(-)(+)

H(-)0

Tabla

Del anlisis realizado en esta seccin podemos observar que la estabilidad dinmica del equilibrio, o equivalentemente la convergencia de la trayectoria temporal depender del signo que tenga la pendiente de la curva de fase en la vecindad al punto de interseccin de dicha curva con el eje y. Por ejemplo, en la figura 10 se aprecia que en la vecindad al punto la curva de fase presenta una lo cual da lugar a la inestabilidad dinmica. Mientras que en la figura 11 se aprecia que en la vecindad al punto la curva de fase presenta una lo cual da lugar a la estabilidad dinmica de la variable y. Sin embargo, en la figura 12 se aprecia que en los puntos B y F, que como ya hemos dicho no son puntos de equilibrio (son slo las cotas de una trayectoria temporal fluctuante), la curva de fase presenta una que no est definida.

Asimismo, si la curva de fase es tangencial al eje horizontal, permaneciendo siempre a un lado de este (es decir, si el punto de tangencia es un mximo o un mnimo de la curva de fase), el punto de equilibrio es estable por uno de sus lados e inestable por el otro[footnoteRef:1]. Este es el caso del punto de la figura 13, estable por izquierda (para valores menores a ) e inestable por derecha (para valores mayores a ). En la figura 19 observamos las posibles trayectorias temporales correspondientes a la curva de fase de la figura 13. Se observa que si entonces la trayectoria temporal de y converge en el largo plazo hacia el valor Sin embargo, si entonces la trayectoria temporal de y diverge del valor (rama de la trayectoria temporal que se encuentra a la izquierda de la asntota vertical y encima del valor ). Adems, si el punto de tangencia corresponde a un punto de inflexin horizontal de la curva de fase (figura 14), entonces el punto de equilibrio es estable (inestable) si la curva de fase permanece encima (debajo) del eje y a la izquierda (derecha) del punto de inflexin. En la figura 20 podemos ver la trayectoria temporal correspondiente al diagrama de fase de la figura 14. [1: A este tipo de punto se le denomina shunt. Un shunt es un punto de equilibrio alrededor del cual el sistema evoluciona sin invertir su sentido (las flechas del eje y apuntan en un mismo sentido).]

Por otro lado, es importante resaltar que pueden existir movimientos oscilatorios (convergentes o divergentes) de amplitud no constante cuando es una relacin. En este caso la curva de fase no ser un lazo cerrado como la figura 12 (aunque seguir satisfaciendo las condiciones i) y ii) de ocurrencia de un ciclo de la pgina 336) sino una espiral (divergente) como muestra la figura 15. La posible trayectoria temporal correspondiente a este diagrama de fase aparece en la figura 21.

En el caso que existan puntos de equilibrio mltiples, las afirmaciones acerca de la estabilidad o inestabilidad debern realizarse en relacin a un particular punto de equilibrio. Por tanto, con sistemas que contienen mltiples equilibrios nos referimos a estabilidad local o a inestabilidad local, es decir, hacemos referencia nicamente a caractersticas del sistema en la vecindad de un punto de equilibrio. En la figura 22 se observan dos puntos de equilibrio: es un repulsor localmente inestable (la pendiente de la ecuacin diferencial en la vecindad del origen es positiva) y es un atractor localmente estable (la pendiente de de la ecuacin diferencial en la vecindad de a es negativa).

Si slo existe un punto de equilibrio en un sistema dinmico, entonces tal punto de equilibrio o es globalmente estable o globalmente inestable. En el caso de un sistema globalmente estable, para cualquier entonces el sistema converger al punto de equilibrio. Para un sistema globalmente inestable, para cualquier entonces el sistema divergir del punto de equilibrio. De forma general podemos decir que si una curva de fase tiene slo un punto de equilibrio y permanece completamente encima del eje y a la izquierda del punto de equilibrio, y permanece completamente debajo del eje y a la derecha del punto de equilibrio, entonces el punto de equilibrio ser globalmente estable. Tal es el caso del punto de equilibrio en la figura 11.

Figura 19

Figura 20

Figura 21

Figura 22

Ejemplos:

Realice un anlisis cuantitativo y/o cualitativo de las siguientes ecuaciones diferenciales:

1.-Mecanismo de ajuste de precio (Ttonnemet Walrasiano): Len Walras visualizaba el equilibrio de mercado como resultado de un proceso de tanteo (Ttonnemet en francs) en el que un referee o licitador anuncia el precio P de determinado bien, y luego los compradores y vendedores hacen su puja. Si esta puja resulta en un exceso de demanda entonces el precio se incrementa hasta el equilibrio, en el que la oferta iguala a la demanda y se vaca el mercado y viceversa para un exceso de oferta, es decir es proporcional al exceso de demanda: Donde es la velocidad de ajuste. Si la demanda es y la oferta es siendo entonces el exceso de demanda ser: Por tanto,

Remplazando las expresiones de la oferta y la demanda en tenemos:

(246)

(247)

Para realizar el anlisis cualitativo de la ecuacin diferencial necesitamos construir el diagrama de fase. Dado que la ecuacin (246) representa una recta en el plano -P, necesitaremos dos puntos para poder construir dicha recta. Para ello, primero determinaremos el punto de equilibrio, interseccin con el eje P, igualando la ecuacin (246) a cero:

Como sabemos que no tiene sentido econmico un precio de equilibrio negativo. Por tanto, para que ya que por el enunciado del problema La condicin siempre se cumplir si la oferta tiene pendiente positiva y si la demanda tiene pendiente negativa En segundo lugar, determinaremos el otro punto de la recta (interseccin con el eje ) reemplazando en la ecuacin (246):

En consecuencia, el diagrama de fase ser:

Figura 23

Se puede apreciar que el punto de equilibrio es un atractor y dado que la pendiente de la ecuacin diferencial en la vecindad de es negativa, entonces ser estable. Adems, como el diagrama de fase slo tiene un nico punto de equilibrio, entonces ser globalmente estable. Asimismo, si el sistema empezase en el punto las lneas de fuerza (flechas) haran que en el largo plazo se alcanzara el punto . En consecuencia, el punto es tambin un punto de equilibrio asintticamente estable. De manera anloga, si el sistema empezase en se acercara al punto en el largo plazo de manera asinttica.

Para realizar el anlisis cuantitativo necesitamos resolver la ecuacin diferencial (246). Para ello, primero calcularemos la solucin complementaria. El polinomio caracterstico de la solucin complementaria es:

En consecuencia, la solucin complementaria ser:

Para encontrar la solucin particular probamos con por lo que remplazando en la ecuacin (247) tenemos:

(248)Por tanto, la solucin general (trayectoria temporal) del precio ser:

(249)

Si para el instante inicial tenemos que entonces:

Reemplazando A en (249) tenemos:

(250)

La ecuacin (250) ser asintticamente estable si ya que en dicho caso la funcin exponencial que aparece en el primer sumando de la derecha ir disminuyendo con el tiempo y cuando Por tanto:

Si el mercado es estable, es decir, el exceso de demanda se reduce y eventualmente desaparece al incrementar los precios. En caso digamos porque entonces para que el precio de equilibrio siga siendo positivo deber verificarse que En este caso, el mercado es inestable: continua e indefinidamente la inflacin tendr lugar. Al ser el trmino exponencial tender a infinito cuando el tiempo tienda a infinito y por tanto, el precio en el largo plazo se incrementar indefinidamente alejndose del punto de equilibrio.

En la figura 24 se aprecian las posibles trayectorias temporales de la ecuacin (250) considerando que

Figura 24

2.-Modelo Keynesiano: Consideremos un modelo macroeconmico en el que la renta Y se incrementa en respuesta al exceso de demanda agregada . Para una simple economa cerrada, con inversin y gasto gubernamental exgenamente dados, la demanda agregada es la suma del consumo C la inversin y el gasto . El consumo es una funcin continua no lineal estrictamente creciente respecto a la renta, esto es, con Por tanto, el modelo dinmico es, para una constante k positiva:

(251)

Del enunciado del problema tenemos que:

Reemplazando el consumo en la expresin anterior tenemos:

Reemplazando la ltima expresin en (251) tenemos:

(252)

Donde

Dado que no conocemos la funcin explcitamente, slo podremos realizar un anlisis cualitativo de (252).

Para obtener el diagrama de fase de la ecuacin (252), primeramente vamos a calcular la pendiente de la curva de fase en el plano -Y[footnoteRef:2]: [2: No tiene sentido trabajar con valores negativos de Y ya que la renta es una variable econmica. Por tanto, estaremos interesados en averiguar el signo de la pendiente de la curva de fase nicamente en el primer y cuarto cuadrantes.]

(253)

Donde

En segundo lugar, vamos a calcular la curvatura de la curva de fase en el plano -Y:

(254)Donde .

De la expresin anterior podemos ver que si la funcin de consumo es estrictamente convexa respecto a la renta, entonces la curva de fase tambin ser estrictamente convexa respecto a la renta, Por otro lado, si es estrictamente creciente con la renta, entonces Esto significara que la propensin marginal al consumo Adems, como para una renta nula resulta que el intercepto de la curva de fase con el eje es y al ser resulta que Entonces, para valores de Y estrictamente positivos siendo y resultara que Por tanto, la curva de fase no interceptara al eje Y, es decir, no habra ningn punto de equilibrio ya que para ello tendra que verificarse que Pero como entonces tendra que ser igual a cero. Pero esto ltimo es imposible ya que

En consecuencia, si y el modelo ser inestable. En la figura 25 se aprecia que la curva de fase para este caso es aquella que no intercepta al eje horizontal, intercepta al eje vertical en el punto es estrictamente convexa y es estrictamente creciente respecto a Y.

Por otro lado, si la funcin de consumo es estrictamente cncava respecto a la renta, por (254) la curva de fase tambin ser estrictamente cncava respecto a la renta, Adems, si es estrictamente decreciente con la renta, entonces Esto significara que la propensin marginal al consumo Asimismo, al ser el intercepto de la curva de fase con el eje y al ser y habr algn valor de Y perteneciente al intervalo en el que con lo cual se garantizar que

Para encontrar el punto de equilibrio, interseccin con el eje Y, igualamos a cero la ecuacin (252), obteniendo que:

En consecuencia, si y el modelo ser estable. En la figura 25 se aprecia que la curva de fase para este caso es aquella que intercepta al eje horizontal en , intercepta al eje vertical en el punto es estrictamente cncava y es estrictamente decreciente respecto a Y.

Figura 25

Plano de fase y retratos de fase de sistemas dinmicos autnomos

En esta seccin vamos a realizar el anlisis cualitativo de sistemas autnomos[footnoteRef:3] de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden cuya forma general es la siguiente: [3: Un sistema de ecuaciones diferenciales se denomina autnomo cuando la variable t no aparece explcitamente en el sistema de ecuaciones; en caso contrario se dice que el sistema es no autnomo.]

(CIX)

El sistema (CIX) puede expresarse equivalentemente en forma vectorial de la siguiente manera:

(CX)

Donde es una solucin del sistema (CX)[footnoteRef:4]. Las componentes de pueden entenderse como un par de ecuaciones paramtricas de forma que para cada instante t se tiene un punto Las ecuaciones paramtricas son funciones diferenciables respecto a t que satisfacen el sistema (CX) sobre algn intervalo abierto I. Una solucin describe una curva o senda (curva o senda de fase) en el plano x-y (plano de fase) que consta de todos los puntos Al conjunto de todas las posibles sendas de fase[footnoteRef:5] se le denomina retrato de fase. [4: Tngase en cuenta que si es solucin de (CIX), al ser (CIX) y (CX) sistemas equivalentes, tambin ser solucin de (CX). Por esta razn, slo haremos referencia a uno de los dos sistemas, el sistema (CX), en el resto de esta seccin.] [5: Es importante resaltar que la senda de fase no debe ser confundida con el diagrama de fase analizado en la seccin precedente. El anlogo a la senda de fase para una nica ecuacin diferencial sera el eje y.]

Si es una solucin de (CX), entonces tambin lo es para cualquier constante c. Por tanto, y tienen la misma senda (esto nicamente se verifica para sistemas autnomos). Para el sistema autnomo (CX), es nicamente determinado en el punto y dos sendas en el plano x-y no pueden interceptarse.

El sistema (CX) puede interpretase como un campo vectorial en Donde el campo vectorial para el sistema (CX) es una funcin vectorial:

.(CXI)

Es decir, el campo vectorial de (CX) es un conjunto de vectores en el plano x-y, tal que la pendiente del vector en el punto coincide con la pendiente de la tangente a la senda de fase que pasa por el punto

La pendiente del vector en el punto viene dada por:

(CXII)

Es importante resaltar que la solucin de (CXII) produce las curvas integrales u rbitas[footnoteRef:6] del sistema (CX) en el plano de fase, cada curva correspondiente a valores dados de constantes arbitrarias. Asimismo, es importante sealar que (CXII) nicamente depender de x y y. Al dividir las razones de cambio de y y de x se ha eliminado la variable t. [6: Una rbita, a diferencia de una senda de fase, no nos da informacin sobre el sentido del movimiento.]

En la figura 26 se aprecia una senda de fase que es una solucin particular del sistema (CX), tal que en el instante inicial debe satisfacer la condicin inicial En esta figura podemos apreciar que en el punto inicial los signos de las razones de cambio de x y y son entonces segn se incremente el tiempo, el sistema se mover desde el punto hacia la derecha y hacia arriba.

Asimismo, se aprecia que en un punto genrico en el instante t tal como los signos de las razones de cambio de x y y son entonces segn transcurra el tiempo, el sistema se mover desde el punto hacia la derecha y hacia abajo. En el punto se aprecia que la velocidad de movimiento (razn o tasa de cambio instantnea respecto al tiempo) est dada por la longitud del vector

Figura 26

Para ilustrar la dinmica del sistema (CX), en principio, podemos dibujar tales vectores en cada punto del plano x-y. Tal familia de vectores es llamada campo vectorial[footnoteRef:7]. En la prctica podemos dibujar slo una pequea muestra representativa de estos vectores. Sobre la base del campo vectorial, teniendo en cuenta que los vectores del campo vectorial son tangentes a las sendas de fase, podemos dibujar las sendas de fase para el sistema y por tanto exhibir el retrato de fase del sistema. [7: Para obtener el campo vectorial de sistemas de ecuaciones diferenciales autnomos podemos utilizar algunos programas matemticos como Derive, Maple, Matlab, etc.]

Por ejemplo, dado el siguiente sistema:

(CXIII)Para obtener algunos vectores del campo vectorial de este sistema podemos escoger arbitrariamente algunos puntos del plano x-y para luego reemplazarlos en el vector que aparece en la ecuacin (CXIII).

Podemos observar que, por ejemplo, en el punto del plano x-y tendremos un vector que apunta en la direccin En el punto tendremos un vector que apunta en la direccin Repitiendo el proceso anterior para un gran nmero de puntos del plano x-y se obtendr el campo vectorial de la figura 27[footnoteRef:8]. [8: Es importante resaltar que la longitud de los vectores en la figura 27 ha sido proporcionalmente reducida de manera que los vectores no interfieran el uno con el otro. Pero la longitud de cada vector an sugiere la velocidad de movimiento.]

Una vez que se ha obtenido el campo vectorial, podemos bosquejar algunas sendas de fase teniendo en cuenta que los vectores de la figura 27 son tangentes a las sendas de fase y que la direccin de los vectores nos da la direccin de la senda segn se incrementa el tiempo. Con el propsito de mostrar la dependencia temporal de la solucin, se han colocado flechas sobre las sendas de fase. En la figura 28 se muestra el retrato de fase correspondiente al campo vectorial de la figura 27. Usualmente los retratos de fase slo incluyen algunas de las sendas de fase y no la totalidad de ellas. Asimismo, frecuentemente el retrato de fase no va acompaado del campo vectorial, aunque algunas veces por cuestiones didcticas se presentarn ambos bosquejados en el plano x-y.

Figura 27

Figura 28

Puntos fijos y estabilidad

Dado el sistema (CIX), si es un punto en el plano para el cual simultneamente y , entonces resulta que y Esto significa que ni x ni y cambian con el tiempo: el sistema tiene un punto fijo, o tiene un punto de equilibrio. Una vez que hemos encontrado un punto de equilibrio, lo que nos interesa es saber si este punto es estable o inestable.Un punto fijo que satisface la condicin y es estable o atractor si, dado algn valor inicial cerca de esto es, dentro de alguna distancia , la senda permanece cerca al punto fijo, esto es, dentro de alguna distancia

Haciendo uso de la medida de distancia propuesta por Liapunov, las figuras 29 y 30 muestran dos bolas cerradas con centro en y y con radios y respectivamente. Asimismo, cada figura muestra una senda de fase que empieza en el punto En el caso de la figura 29, la senda de fase llega al punto de equilibrio mientras que en la figura 30 la senda de fase circunda al punto de equilibrio

En las figuras 29 y 30 tenemos un punto de partida cercano a en el sentido que permanece dentro de la bola la senda de fase parte del punto permaneciendo cerca del punto de equilibrio, en el sentido que sta permanece dentro de la bola Por tanto, el punto de equilibrio de ambas figuras es estable.

Figura 29

Por lo antes dicho, podemos introducir la siguiente definicin de estabilidad.

Definicin I: Un punto de equilibrio es estable si para cualquier existe un tal que si entonces para todo t.No obstante, es importante resaltar que en la definicin de estabilidad no hay nada que indique que la senda de fase tenga que aproximarse al punto de equilibrio. Todo lo que se requiere es que la senda de fase permanezca dentro de la bola Al mirar la figura 30 podemos notar que la senda de fase es peridica, empieza cerca del punto de equilibrio (esto es, el punto de partida permanece dentro de la bola ) pero circunda cclicamente el punto de equilibrio mientras permanece cerca de dicho punto (esto es, permanece dentro de la bola ). Tal ciclo lmite es estable pero no es asintticamente estable.

Todo punto de equilibrio que no es estable se dice que es inestable o repulsor. Un punto de equilibrio es asintticamente estable si es estable en el sentido justamente discutido, pero eventualmente se aproxima al punto de equilibrio segn En consecuencia, para ser asintticamente estable, la senda de fase debe empezar cerca de (es decir, dentro de la bola de radio ), debe permanecer cerca al punto de equilibrio (es decir, dentro de la bola de radio ), y eventualmente debe aproximarse a segn Por tanto, la senda de fase de la figura 29 es asintticamente estable.

Figura 30

Note que la senda de fase puede alejarse del punto mientras permanece dentro de la bola y aproximarse al punto de equilibrio en el lmite. Un punto que es estable pero que no es asintticamente estable suele denominrsele como neutral o marginalmente estable. La figura 30 muestra un punto de equilibrio neutralmente estable.La estabilidad asinttica es ms fuerte que la estabilidad. Esto es claro ya que si un punto de equilibrio es asintticamente estable, entonces debe ser estable. La condicin lmite por s sola no es suficiente ya que un sistema puede empezar cerca de (es decir, dentro de la bola de radio ) y aproximarse al punto de equilibrio en el lmite, pero divergir considerablemente (ir ms all) de bola de radio en determinado periodo.

Por lo antes dicho, podemos introducir la siguiente definicin de estabilidad.

Definicin II: El punto de equilibrio se dice que es asintticamente estable si:

a) Es estable;b) Existe un tal que siempre que entonces

Si un sistema tiene un punto de equilibrio que es asintticamente estable, y si cada senda de fase se aproxima al punto de equilibrio (es decir, tanto para puntos cercanos al punto de equilibrio como para puntos lejanos de ste), entonces el punto de equilibrio se dice que es globalmente estable. Otra forma de considerar esto es establecer el conjunto inicial de condiciones para las cuales el punto de equilibrio dado sea asintticamente estable, esto es, la bola ms grande a partir de la cual cualquier trayectoria entrante converja asintticamente al punto de equilibrio. Este conjunto de condiciones iniciales es llamado fuente de atraccin. Un punto de equilibrio es localmente asintticamente estable si existe una fuente de atraccin, dentro de la cual todas las sendas de fase entrantes a esta bola eventualmente se aproximan al punto Si la fuente de atraccin es todo el plano x-y, entonces el sistema es globalmente asintticamente estable sobre el punto de equilibrio

Por lo antes dicho, podemos introducir la siguiente definicin de estabilidad.

Definicin III: Sea un punto de equilibrio asintticamente estable del sistema (CIX), entonces el conjunto es el dominio o fuente de atraccin de Si (o, en todo caso, si coincide con el plano de fase) entonces se dice que es globalmente asintticamente estable. Si la estabilidad nicamente se mantiene en una vecindad de se dice que es localmente asintticamente estable.

Algunas propiedades de las sendas de fase de sistemas autnomos son las siguientes:

1.-No ms de una senda de fase pasa por un punto del plano x-y;2.-Una senda de fase que empieza en un punto que no es un punto de equilibrio nicamente alcanzar un punto de equilibrio en un periodo infinito;3.-Ninguna senda de fase puede atravesarse as misma a menos que sea una curva cerrada. Si la senda de fase es una curva cerrada entonces la solucin es peridica.

Isoclinas y lneas de fuerza en el plano de fase:

Sea Dado el sistema donde puede ser lineal o no lineal, los lugares geomtricos de tales que donde a y b son constantes, se denominan isoclinas. Las isoclinas son de gran utilidad ya que nos permiten obtener la direccin de los vectores del campo vectorial del sistema, lo que a su vez nos sirve para bosquejar las sendas de fase.

En particular, las isoclinas en las que a y b son nulas (ceroclinas), nos dan los puntos para los que ya no hay ajuste dinmico para x y para y. Es decir, en las intersecciones de las ceroclinas encontraremos los puntos de equilibrio del sistema.

La ceroclina divide el plano x-y en dos regiones, una en la que (donde x crece conforme transcurre el tiempo: en esta regin se dibujarn lneas de fuerza (flechas direccionales) que apuntarn hacia la derecha indicando el crecimiento de x conforme aumenta el tiempo) y la otra en la que (donde x decrece conforme transcurre el tiempo: en esta regin se dibujarn lneas de fuerza que apuntarn hacia la izquierda indicando el decrecimiento de x conforme aumenta el tiempo). En la figura 31 se aprecia la dinmica descrita lneas arriba. En esta figura puede notarse que en las dos regiones en que la ceroclina divide al plano x-y las lneas de fuerza son opuestas (aquellas flechas que tienen el mismo color).

Figura 31

La ceroclina tambin divide el plano x-y en dos regiones, una en la que (donde y crece conforme transcurre el tiempo: en esta regin se dibujarn lneas de fuerza que apuntarn hacia arriba indicando el crecimiento de y conforme se incrementa el tiempo) y la otra en la que (donde y decrece conforme transcurre el tiempo: hacia abajo indicando el decrecimiento de y conforme se incrementa el tiempo). En la figura 32 se aprecia el movimiento en el plano x-y descrito lneas arriba. En esta figura tambin puede notarse que en las dos regiones en que la ceroclina divide al plano x-y las lneas de fuerza son opuestas (aquellas flechas que tienen el mismo color).

Es importante resaltar que las sendas de fase del sistema que se tracen en el plano x-y cortarn verticalmente a la ceroclina y horizontalmente a la ceroclina

Figura 32Los puntos de equilibrio del sistema se encontrarn en las intersecciones de las ceroclinas. Al superponer las ceroclinas de las figuras 31 y 32 en un mismo grfico (ver figura 33), el plano x-y quedar dividido en cuatro regiones en las que ser posible conocer la evolucin temporal de x y de y a travs de las lneas de fuerza[footnoteRef:9]. En la figura 33, sobre un punto de la ceroclina se ha trazado arbitrariamente el gradiente de en direccin noroeste (de color azul). Dado que la direccin del sobre cualquier punto de la ceroclina apunta hacia la direccin donde en consecuencia, las lneas de fuerza que se encuentran arriba de la ceroclina apuntarn hacia la derecha (este) ya que en esa regin, al ser x aumentar conforme transcurra el tiempo. En la regin que se encuentra debajo de la ceroclina al ser las lneas de fuerza apuntarn hacia la izquierda (oeste) indicando el decrecimiento de x conforme aumenta el tiempo. [9: Es importante resaltar que en sistemas no lineales las ceroclinas y se pueden interceptar en ms de un punto de equilibrio y, por tanto, dividir el plano x-y en ms de cuatro regiones.]

Figura 33

En la figura 33, sobre un punto de la ceroclina se ha trazado arbitrariamente el gradiente de en direccin noreste (de color rojo). Dado que la direccin del sobre cualquier punto de la ceroclina apunta hacia la direccin donde en consecuencia, las lneas de fuerza que se encuentran arriba de la ceroclina apuntarn hacia arriba (norte) ya que en esa regin, al ser y aumentar conforme transcurra el tiempo. En la regin que se encuentra debajo de la ceroclina al ser las lneas de fuerza apuntarn hacia abajo (sur) indicando el decrecimiento de y conforme aumenta el tiempo.

Figura 34

En la figura 34 se han agregado algunas sendas de fase a la figura 33 en funcin de las direcciones de las lneas de fuerza, las cuales sirven para prever el movimiento dinmico del sistema a partir de cualquier punto inicial del plano x-y. Note que las sendas de fase que cortan la ceroclina tienen una pendiente nula en el punto de corte (lneas punteadas que cortan a la ceroclina horizontalmente), mientras que las sendas de fase que cortan la ceroclina tienen una pendiente infinita en el punto de corte (lneas punteadas que cortan a la ceroclina verticalmente).

Clasificacin de los puntos de equilibrio:

Dependiendo de las sendas de fase que circundan a un punto de equilibrio, ste puede clasificarse como: nodo, punto de silla, foco o espiral, y vrtice o centro.

Un nodo es un punto de equilibrio tal que todas las sendas de fase asociadas a l o se acercan no cclicamente hacia l (atractor) o se alejan no cclicamente de l (repulsor)[footnoteRef:10]. En la figura 35 se presenta un nodo propio que recibe el nombre de estrella. En este caso, el retrato de fase est formado por segmentos de recta que entran/salen(atractor/repulsor) del punto de equilibrio. En esta figura se muestra el caso de una estrella repulsora. [10: Cuando las sendas de fase entran a un punto de equilibrio (sea un nodo o cualquier otro tipo de punto crtico) se le suele denominar sumidero y cuando salen de l se le suele denominar fuente.]

Figura 35: Nodo propio repulsor

En las figuras 36-a y 36-b se muestran ejemplos de un nodo impropio.

Exy

Figura 36-a: Nodo impropio atractor

Figura 36-b: Nodo impropio repulsor

Un punto de silla es un punto de equilibrio que se caracteriza por ser estable en algunas direcciones e inestable en otras. Especficamente, un punto de silla tiene un par de ramas estables en las que las sendas de fase convergen hacia el punto de equilibrio, y un par de ramas inestables en el que las sendas de fase se alejan del punto de equilibrio. El resto de sendas de fase se mueven hacia el punto de silla inicialmente pero luego se alejan de l. Debido a que la estabilidad slo se observa en el par de ramas estables, y sta evidentemente no se obtiene como algo usual, en general, al punto de silla se le suele clasificar como un punto de equilibrio inestable. No obstante, en el caso muy poco probable, en el que en el instante inicial el estado inicial del sistema se encontrase sobre alguna de las ramas estables, entonces el sistema se movera a lo largo de esta rama hasta el punto de equilibrio. Es por esta razn que algunos autores clasifican al punto de silla como un punto de equilibrio condicionalmente estable[footnoteRef:11]. [11: Para un estudio de sistemas dinmicos condicionalmente estables recurra a Gandolfo, G. Economic Dynamics. Study Edition. Springer-Verlag. Berlin. 1997.]

En la figura 37 se aprecia un punto de silla, donde se observa que el par de ramas estables se encuentran sobre la lnea de accin del autovector y el par de ramas inestables se encuentran sobre la lnea de accin del autovector

Figura 37: punto de silla

Los focos son puntos de equilibrio caracterizados por sendas de fase en forma de espiral o que se aproximan cclicamente a l (foco estable) o que se alejan cclicamente de ste (foco inestable). En la figura 38 se muestra un foco inestable.

Figura 38: foco inestable

Un vrtice o centro es un punto de equilibrio caracterizado por una familia de sendas de fase en forma de bucles (crculos o elipses concntricos) que orbitan alrededor de l en forma perpetua. Un vrtice se clasifica como neutralmente estable (es estable pero no asintticamente estable ya que dicho punto, aun cuando es inaccesible desde cualquier otro punto que no sea el mismo vrtice). En la figura 39 se aprecia un vrtice.

Figura 39: Vrtice

Puntos de equilibrio y criterios de estabilidad para sistemas lineales (de n variables) de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con coeficientes constantes

Hemos visto que para el sistema de la ecuacin (LXXIV), si entonces su nico punto de equilibrio lo obtenemos de la ecuacin (LXXVIII), Adems, si y el sistema es homogneo entonces el nico punto de equilibrio sera el origen,

Criterio de estabilidad basado en los autovalores de A

Una condicin necesaria y suficiente para que sea local y globalmente asintticamente estable es que todos los n autovalores de A tengan parte real negativa. Si al menos un autovalor posee parte real positiva, es inestable.El teorema que vamos a proponer a continuacin nos proporciona una condicin necesaria y suficiente para que los autovalores asociados a la matriz A de (LXXIV) tengan parte real negativa.

Teorema de Routh-Hurwitz:

Dado el sistema (LXXIV), las partes reales de todas las races (autovalores) del polinomio caracterstico de grado n:

(CXIV)

son negativas si y slo si la matriz de Routh-Hurwitz

es definida positiva (es decir, si la matriz de Routh-Hurwitz presenta todos sus menores principales dominantes estrictamente positivos). Esto es:

Criterios de estabilidad alternativos

Para calcular los autovalores de la matriz A del sistema (LXXIV) necesitamos resolver el polinomio caracterstico dado por (CXIV), pero esta es una ardua labor sobre todo cuando n toma valores muy grandes. Asimismo, cuando la matriz A est constituida por los parmetros de un modelo, el clculo de los autovalores resulta sumamente engorroso. Por estos motivos, vamos a presentar algunos criterios de estabilidad alternativos al criterio basado en los autovalores de A, de modo que si se cumplen estos criterios alternativos, entonces estar plenamente garantizado el hecho de que los autovalores de la matriz A tendrn parte real negativa[footnoteRef:12]. [12: Para una revisin ms exhaustiva de estos criterios puede recurrir a Gandolfo, G. Economic Dynamics. Study Edition. Springer-Verlag. Berlin. 1997.]

Criterio I: Una condicin de estabilidad necesaria y suficiente para una matriz simtrica A es que sta sea definida negativa. Esto implica que los menores principales dominantes de A deben alternar de signo, empezando con signo negativo.

Criterio II: Una condicin de estabilidad necesaria y suficiente para la matriz A es que los menores principales dominantes de la matriz simtrica B alternen de signo, empezando con signo negativo. Dnde:

Criterio III: Sea (es decir, todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal de A son no negativos). Entonces, en este caso, las condiciones de estabilidad necesarias y suficientes para la matriz A son las mismas que las del criterio I. Note que estas condiciones implican que Una matriz con y es denominada matriz Metzleriana.Criterio IV: Un conjunto de condiciones suficientes de estabilidad es que todos los elementos de la diagonal principal de A sean negativos y que cada uno de ellos en valor absoluto sea mayor a la suma de los valores absolutos de todos los otros elementos pertenecientes a su misma lnea (fila o columna). Esto es:

Dominacin por filas

o

Dominacin por columnas

Criterio V: Una condicin de estabilidad necesaria pero no suficiente es que la traza de A sea negativa. Es decir,

Criterio VI: Una condicin de estabilidad necesaria pero no suficiente es que el determinante de A tenga el signo de

Criterios de estabilidad para sistemas lineales homogneos (de dos variables) de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con coeficientes constantes

Sea el siguiente sistema dinmico:

(CXV)

Si entonces posee como nico punto crtico a es decir, el origen. El polinomio caracterstico de (CXV) viene dado por:

(CXVI)La estabilidad del sistema (CXV) quedar determinada por el hecho que el polinomio caracterstico (CXVI) tenga sus dos autovalores con parte real negativa.

Por el criterio de Routh-Hurwitz, las condiciones de estabilidad para (CXVI) sern:

Es decir, el sistema (CXV) ser estable si y slo si

Como los autovalores de (CXVI) vienen dados por:

(CXVII)

Donde es el denominado discriminante.

De (CXVII) podemos verificar que:

(CXVIII)

Por lo que si los autovalores son reales y entonces deben tener el mismo signo, mientras que si los autovalores deben tener signos opuestos.

El estudio de los posibles estados del sistema (CXV) se realizar teniendo en cuenta que:

a) Si los autovalores son reales y distintos.b) Si los autovalores son reales e iguales.c) Si los autovalores son complejo conjugados.

Para ilustrar las diversas soluciones trazaremos la trA en el eje horizontal y el en el eje vertical, lo cual es vlido ya que tanto la trA como el son parmetros. El plano de parmetros queda dividido por la curva que es una parbola con mnimo en el origen, tal como se aprecia en la figura 40.

Figura 40

Debajo de la parbola tenemos que por lo que los autovalores son reales y distintos; encima de la parbola se tiene que por lo que los autovalores son complejo conjugados; mientras que a lo largo de la parbola tenemos que por lo que los autovalores son reales e iguales.

Adicionalmente, podemos subdividir los casos de acuerdo al signo/valor de los dos autovalores.

Caso I: autovalores reales y distintos del mismo signo:

Tomemos en primer lugar los autovalores reales distintos que permanecen estrictamente debajo de la parbola. Si ambos autovalores son negativos entonces la trA debe ser negativa, y ya que el entonces estamos en la regin debajo de la parbola y encima del eje horizontal (regin I en la figura 40). En esta regin, el punto de equilibrio es un nodo impropio asintticamente estable. En la regin II, que se encuentra tambin debajo de la parbola y encima del eje horizontal, ambos autovalores son positivos y el sistema es inestable (el punto crtico es un nodo impropio inestable).

Para comprobar esto, vamos a considerar la solucin general donde 1 y 2 son autovalores reales y distintos y ambos son o positivos o negativos. Asimismo, supondremos que los autovectores asociados a 1 y 2 son

En primer lugar, si cuando se verificar que Por tanto, cuando la solucin tender a alinearse con esto es, en el largo plazo tendremos que Pero, dado que cuando resulta que entonces se tiene que en el largo plazo independientemente de los valores de En este caso, en el largo plazo, las sendas de fase se aproximarn al origen tangencialmente a la lnea de accin del autovector En este caso se tendr un nodo impropio estable tal como el de la figura 36-a.

De particular inters es el hecho que si el punto inicial se encuentra justo sobre entonces y el sistema se mueve a lo largo de la lnea de accin del autovector y se aproxima al origen conforme transcurre el tiempo. De forma similar, si el punto inicial se encuentra justo sobre entonces y el sistema se mueve a lo largo de la lnea de accin de aproximndose al origen en el lmite. Por tanto, el punto de equilibrio es un nodo impropio asintticamente estable. En segundo lugar, si se verificar que cuando entonces Por lo que cuando la solucin tender a alinearse con esto es, en el largo plazo tendremos que En este caso, las sendas de fase se alejarn del punto de equilibrio tangencialmente a la lnea de accin del autovector conforme transcurra el tiempo. Esto se debe a que tanto crecen exponencialmente con el tiempo.

Caso II: autovalores reales e iguales

Si ambos autovalores son reales e iguales y el discriminante es nulo (estaramos sobre los puntos pertenecientes a la parbola), entonces se pueden presentar dos sub-casos: i) se tendr un nodo propio (estrella) si los dos autovectores son independientes; ii) se tendr un nodo impropio si slo existe un autovector independiente.

Para el sub-caso i) se tendra que Si se obtendra una estrella estable donde las sendas de fase convergeran al origen ya que:

Si se obtendra una estrella inestable, tal como se aprecia en la figura 35.

Para el sub-caso ii) se tendra que Si se verificar que cuando entonces el trmino dominante ser por lo que en el largo plazo cada senda de fase deber aproximarse al origen de manera que sea tangente a la lnea de accin del autovector Ciertamente, si la solucin deber permanecer sobre la misma lnea de accin del autovector y aproximarse al origen a lo largo de esta lnea. Si entonces cada senda de fase deber alejarse del origen, tal como se muestra en la figura 36-b.

Caso III: autovalores reales distintos de signos opuestos

Si ambos autovalores son reales y tienen signos opuestos, y el entonces el punto de equilibrio es un punto de silla. Por tanto, debajo del eje horizontal en la regin III, el punto de equilibrio es un punto de silla inestable[footnoteRef:13]. Note que esto se aplica independientemente de que la traza sea positiva o negativa. Para comprobar este caso, vamos a considerar la solucin general donde supondremos que los autovectores asociados a 1 y 2 son Si suponemos que entonces, cuando resulta que Este caso es recogido en la figura 37. En esta figura se puede apreciar que todas las sendas de fase divergen del punto de equilibrio hacia el infinito a excepcin de aquella senda (una de las ramas estables) que parte de un punto inicial situado en la recta de accin del autovector correspondiente al autovalor negativo, en nuestro caso en la direccin del autovector Es importante resaltar que si la solucin iniciara en la lnea de accin del autovector entonces se tendra que En este caso, la solucin permanecera sobre la lnea de accin de Ya que entonces la solucin divergira del punto de equilibrio conforme transcurriese el tiempo. Por otro lado, si el sistema iniciara sobre la lnea de accin del autovector entonces y ya que entonces segn el sistema convergera hacia el punto de equilibrio. [13: Como ya se dijo, salvo que el estado inicial del sistema se encuentre sobre una de las dos ramas estables, un punto de silla es inestable.]

Caso IV: autovalores complejos con parte real distinta de cero

La regin compleja (rea sombreada de la figura 40) se subdivide en tres categoras. En la regin IV el signo de la parte real de los autovalores complejos es estrictamente negativo y la trayectoria espiral tiende hacia el punto de equilibrio en el lmite (el punto de equilibrio es una espiral asintticamente estable). En la regin V tenemos que y el punto de equilibrio es inestable con una trayectoria en forma de espiral que diverge de l.

Para demostrar esto vamos a asumir que y que Los sistemas que tienen tales autovalores complejos pueden expresarse como sigue:

(CXIX)

Ahora vamos a expresar el sistema (CXIX) en coordenadas polares en trminos de R y , donde:

(CXX)

Realizando operaciones elementales con las ecuaciones del sistema (CXX) se tiene que:

(CXXI)

Derivando respecto al tiempo las dos ecuaciones del sistema (CXXI) se tiene:

(CXXII)

Reemplazando (CXIX) y (CXX) en (CXXII) tenemos:

(CXXIII)

Resolviendo (CXXIII) tenemos las ecuaciones paramtricas en coordenadas polares del sistema (CXIX):

(CXXIV)Donde c es una constante y Como entonces decrece con el tiempo, y por tanto el movimiento es en el sentido de las agujas del reloj[footnoteRef:14]. Adems, si entonces: [14: En caso el ngulo aumentara con el transcurrir del tiempo, por lo que el sentido de giro sera antihorario.]

Por tanto, las sendas de fase son espirales que se aproximan o se alejan del origen dependiendo del signo de . En la figura 38 se muestra una espiral divergente.

Caso V: auto valores complejos con parte real nula

En la regin VI, que es el eje y encima del origen, y el punto de equilibrio tiene un centro (vrtice) con una curva cerrada como trayectoria.

Para demostrar esto vamos a asumir que es decir, y que Reemplazando en los sistemas (CXIX), (CXXIII) y (CXXIV) respectivamente tenemos que:

(CXXV)

(CXXVI)

Donde c y son constantes. Esto significa que las sendas de fase son curvas cerradas (crculos o elipses) con centro en el origen. Si el movimiento ser en el sentido de las agujas del reloj mientras que si el movimiento ser anti horario. Un circuito completo alrededor del origen denota la fase del ciclo, que es En la figura 39 se muestra un centro.

En la tabla II se muestran las diversas configuraciones de los espacios de fase bidimensionales que se pueden describir de acuerdo a la trA y el junto con los auto valores de la matriz A.

Autovalores de APunto de equilibrioEstabilidad

Reales del mismo signo:

Nodo impropioEstable

Reales del mismo signo:

Nodo impropioInestable

Reales de signo opuesto:

Punto de sillaEstabilidad condicional (depende de la posicin inicial). En general: inestable.

Complejo conjugados:

Foco (espiral)AsintticamenteEstable

Complejo conjugados: Foco (espiral)Inestable

Imaginarios puros:

Centro (vrtice)Marginal o neutralmente estable

Reales e iguales: Nodo propio (estrella)Estable

Reales e iguales: Nodo propio (estrella)Inestable

Tabla II

Ejemplos:

Resuelva los siguientes sistemas dinmicos y realice su anlisis cualitativo: represente algunas de sus sendas de fase en el plano de fase

1.

El determinante de A, la traza de A, y el discriminante del sistema son:(255)El polinomio caracterstico de la matriz A es: (256)

Los autovectores asociados a cada autovalor son:Para

Si hacemos entonces:

Para

Si hacemos entonces:

De (CXXIII) y (256) se tiene que la solucin ser:

(257)Con:(258)

(259)

Reemplazando las condiciones iniciales en (257) y teniendo en cuenta (258) tenemos que:(260)

Reemplazando (260) en (258) y (259) tenemos:

(261)

Reemplazando (261) en (257) se tiene:

(262)

Para encontrar las rbitas del sistema en el plano de fase vamos a utilizar la ecuacin (CXII):

(263)

En consecuencia, las rbitas del sistema vienen dadas por (263), que representa una familia de circunferencias con centro en el origen (el punto de equilibrio es un centro o vrtice) y radio tal como se aprecia en la figura 41. En el instante inicial, se tiene que El sentido del movimiento de la senda de fase que satisface las condiciones iniciales se obtiene evaluando el vector tangente a dicha senda (vector de velocidad de movimiento) en el instante inicial. En el instante inicial, tendramos que el vector tangente es: En consecuencia el movimiento de la senda de fase sera contrario al sentido de giro de las agujas del reloj.Figura 41

Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas coinciden con los ejes coordenados:

Por esta razn los gradientes de f y g se encuentran tambin sobre los ejes coordenados:

En consecuencia, por debajo del eje x las lneas de fuerza horizontales apuntarn hacia la derecha, y por encima del eje x apuntarn hacia la izquierda. Asimismo, las lneas de fuerza verticales apuntarn hacia arriba a la derecha del eje y, y hacia abajo a la izquierda del eje y. Note que todas las soluciones del sistema dinmico, salvo el origen, son circunferencias. Asimismo, note que en las intersecciones de las circunferencias con el eje x, la no est definida.

2.

El determinante de A, la traza de A, y el discriminante del sistema[footnoteRef:15] son: [15: En este punto es importante darse cuenta que, de acuerdo al sistema dado por (CXIX), ]

(264)

El polinomio caracterstico de la matriz A es:

(265)

Los autovectores asociados a cada autovalor son:

Para

Si hacemos entonces:

Para

Si hacemos entonces:

De (CXXIII) y (265) se tiene que la solucin ser:(266)Con:(267)

(268)

Reemplazando las condiciones iniciales en (266) y teniendo en cuenta (267) tenemos que:(269)

Reemplazando (269) en (267) y (268) tenemos:

(270)

Reemplazando (270) en (266) se tiene:(271)

Para encontrar las rbitas del sistema en el plano de fase vamos a utilizar la ecuacin (CXII):(272)

Si hacemos el siguiente cambio de variable:

(273)

Reemplazando (273) en (272) se tiene:

(274)

La ecuacin (274) nos representa una familia de espirales convergentes al origen. Note que todas las soluciones del sistema dinmico, salvo la solucin trivial, son espirales. Reemplazando en la ecuacin (274) se obtiene Reemplazando k en (274) tenemos que:

(275)

La ecuacin (275) nos representa una espiral convergente al origen que satisface las condiciones iniciales del sistema dinmico. Para determinar el sentido del movimiento de la senda de fase evaluaremos el vector tangente a la senda de fase (vector de velocidad de movimiento) por ejemplo en el instante inicial, tenemos que Por otro lado, del sistema (271) es fcil verificar que se cumple que:

(276)

La ecuacin (276) corresponde a una espiral, que puede interpretarse como una circunferencia cuyo radio tiende a cero cuando Comparando (276) con (CXXIV) se tiene que:

(277)

Por otro lado tenemos que en el instante inicial, se tiene que:

(278)

Reemplazando (278) y en (CXXIV) se tiene que:

(279)

Las ecuaciones paramtricas (277) y (279), en coordenadas polares, representan una espiral [la misma espiral que se obtuvo en la ecuacin (275)]. En la figura 42 se aprecia la senda de fase en forma de espiral que converge al punto de equilibrio del sistema (el origen) y cuyo sentido de giro es contrario al de las manecillas del reloj.

Figura 42

Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas vienen dadas por:

Mientras que los gradientes de f y g vienen dados por:

En consecuencia, por debajo de la ceroclina las lneas de fuerza horizontales apuntarn hacia la derecha, y por encima de ella apuntarn hacia la izquierda. Asimismo, las lneas de fuerza verticales apuntarn hacia arriba por debajo de la ceroclina y hacia abajo por encima de ella. Note que en las intersecciones de la espiral con la isoclina la no est definida.

3.

El determinante de A, la traza de A, y el discriminante del sistema son:

(280)El polinomio caracterstico de la matriz A es:

(281)

Utilizando

Utilizando

Ya que con se satisface para cualquier autovector entonces deberemos escoger arbitrariamente cualquier par de autovectores linealmente independientes para los autovalores Permtase que dichos autovectores sean:

Entonces, por (LXXXV), la solucin general ser:

(282)

Reemplazando las condiciones iniciales en (282) tenemos la solucin particular:

(283)

Para encontrar las rbitas del sistema en el plano de fase vamos a utilizar la ecuacin (CXII):

(284)

La ecuacin (284) representa una familia de semirectas, a excepcin de la solucin nula. Reemplazando las condiciones iniciales en la ecuacin (284) se tiene que Por tanto, la senda de fase que satisface las condiciones iniciales ser:(285)

Para determinar el sentido del movimiento de la senda de fase evaluaremos el vector tangente a lasenda de fase (vector de velocidad de movimiento) por ejemplo en el instante En este caso la senda de fase que parte del punto se aleja del punto de equilibrio conforme transcurre el tiempo sobre la semirecta

Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas coinciden con los ejes coordenados:

Mientras que los gradientes de f y g vienen dados por:

En consecuencia, a la derecha del eje y las lneas de fuerza horizontales apuntarn hacia la derecha, y a la izquierda del eje y apuntarn hacia la izquierda. Asimismo, las lneas de fuerza verticales apuntarn hacia arriba por encima del eje x, y hacia abajo por debajo del eje x. En la figura 43 se aprecia que el punto de equilibrio de este sistema es una estrella divergente. Note que en el eje y, la no est definida.

Figura 43

4.

El determinante de A, la traza de A, y el discriminante del sistema son:

(286)

El polinomio caracterstico de la matriz A es:

(287)

Los autovectores asociados a cada autovalor son:

Para

Si hacemos entonces:

Para

Si hacemos entonces:

De (LXXXV) se tiene que la solucin ser:

(288)

Reemplazando las condiciones iniciales en (288) tenemos que:(289)

Reemplazando (289) en (288) tenemos:

(290)Para encontrar las rbitas del sistema en el plano de fase vamos a utilizar la ecuacin (CXII):

(291)

En consecuencia, las rbitas del sistema vienen dadas por (291), que representa una familia de hiprbolas con vrtices en el eje y para valores de y con vrtices sobre el eje x para valores de Independientemente del signo de k, las ecuaciones de las asntotas a dichas hiprbolas son Note que las pendientes de las rectas asntotas coinciden con las tangentes de los ngulos de inclinacin de los autovectores Asimismo, note que en las intersecciones de las sendas de fase con el eje horizontal, la no est definida. El punto de equilibrio es un punto de silla, tal como se aprecia en la figura 44. En el instante inicial, se tiene que Por tanto, la senda de fase que satisface las condiciones iniciales est dada por:

El sentido del movimiento de la senda de fase que satisface las condiciones iniciales (que en el largo plazo se aleja del punto de equilibrio) se obtiene evaluando el vector tangente a dicha senda en el instante inicial. En dicho instante el vector tangente es: Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas coinciden con los ejes coordenados:

Por esta razn los gradientes de f y g se encuentran tambin sobre los ejes coordenados:

En consecuencia, por encima del eje x las lneas de fuerza horizontales apuntarn hacia la derecha, y por debajo del eje x apuntarn hacia la izquierda. Asimismo, las lneas de fuerza verticales apuntarn hacia arriba a la derecha del eje y, y hacia abajo a la izquierda del eje y. Note que todas las soluciones del sistema dinmico, salvo el origen y las asntotas, son hiprbolas.

Figura 44

5.

El determinante de A, la traza de A, y el discriminante del sistema son:(292)

El polinomio caracterstico de la matriz A es:(293)

Los autovectores asociados a cada autovalor son:

Para

Si hacemos entonces:

Para

Si hacemos entonces:

De (CXXIII) y (293) se tiene que la solucin ser:

(294)

Con:(295)

(296)

Reemplazando las condiciones iniciales en (294) y teniendo en cuenta (295) tenemos que:(297)Remplazando (297) en (295) y (296) tenemos:(298)

Reemplazando (298) en (294) se tiene:

(299)

Para encontrar las rbitas del sistema en el plano de fase vamos a utilizar la ecuacin (CXII):

(300)

En consecuencia, las rbitas del sistema vienen dadas por (300), que representa una familia de elipses con centro en el origen (el punto de equilibrio es un centro o vrtice) tal como se aprecia en la figura 45.

En el instante inicial, se tiene que En consecuencia, la senda de fase que satisface las condiciones iniciales ser:

El sentido del movimiento de la senda de fase que satisface las condiciones iniciales se obtiene evaluando el vector tangente a dicha senda (vector de velocidad de movimiento) en el instante inicial. En el instante inicial, En consecuencia el movimiento de la senda de fase sera en el sentido de giro de las agujas del reloj.Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas coinciden con los ejes coordenados:

Por esta razn los gradientes de f y g se encuentran tambin sobre los ejes coordenados:

En consecuencia, por encima del eje x las lneas de fuerza horizontales apuntarn hacia la derecha, y por debajo del eje x apuntarn hacia la izquierda. Asimismo, las lneas de fuerza verticales apuntarn hacia arriba a la izquierda del eje y, y hacia abajo a la derecha del eje y. Note que todas las soluciones del sistema dinmico, salvo el origen, son elipses. Asimismo, note que en las intersecciones de las elipses con el eje x, la no est definida.

Figura 45

6.

El determinante de A, la traza de A, y el discriminante del sistema son:

(301)

El polinomio caracterstico de la matriz A es:

(302)Se observa que la multiplicidad algebraica es 2, es decir

Para

Si hacemos entonces:

Como apreciamos slo existe un autovector asociado a Para encontrar un segundo autovector que sea linealmente independiente de vamos a utilizar la expresin (CVI):

(303)

Si hacemos Por tanto:

En consecuencia, de (CIV) tenemos:

(304)

Reemplazando las condiciones iniciales en (304) tenemos que:

(305)

Reemplazando (305) en (304) se tiene:

(306)

Para encontrar las rbitas del sistema en el plano de fase vamos a utilizar la ecuacin (CXII):

(307)Si hacemos el siguiente cambio de variable:

(308)

Reemplazando (308) en (307) se tiene:

(309)

La ecuacin (309) nos representa una familia de sendas de fase convergentes al origen. Note que todas las sendas de fase, salvo la senda que coincide con la lnea de accin del autovector son tangentes a la lnea de accin de Reemplazando en la ecuacin (309) se obtiene Reemplazando k en (309) tenemos que:

(310)

La ecuacin (310) nos representa una senda de fase convergente al origen que satisface las condiciones iniciales del sistema dinmico. Para determinar el sentido del movimiento de la senda de fase evaluaremos el vector tangente a la senda de fase (vector de velocidad de movimiento) por ejemplo en el instante inicial, tenemos que Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas vienen dadas por:

Mientras que los gradientes de f y g vienen dados por:

En consecuencia, a la izquierda de la ceroclina las lneas de fuerza horizontales apuntarn hacia la derecha, y a la derecha de ella apuntarn hacia la izquierda. Asimismo, las lneas de fuerza verticales apuntarn hacia arriba por debajo de la ceroclina y hacia abajo por encima de ella. Note que en las intersecciones de las sendas de fase con la isoclina la no est definida. El punto de equilibrio es un nodo impropio estable.

Figura 4

Ejemplo: Una aplicacin econmica

Realice el anlisis cualitativo del modelo Keynesiano IS-LM (Tu 1994), dado por el sistema (215), para el caso III.

El sistema de ecuaciones diferenciales dado por (215), para el caso III, con los siguientes parmetros:

Viene dado por:(311)

Teniendo en cuenta la ecuacin (219) y los valores de equilibrio, se tiene:

(312)

Adems, considerando (221), la ecuacin (311) podra expresarse como:

(313)

Por tanto, haciendo uso de la ecuacin (CXII) tenemos que:

(314)

Haciendo el siguiente cambio de variable, tenemos que:

(315)

Reemplazando en (314) se obtiene:

(316)

Igualando (315) y (316) resulta que:

Reemplazando u en la ecuacin anterior se tiene:

Reemplazando d1 y d2 en la ecuacin anterior se tiene:

Donde

La ecuacin anterior nos representa una familia de espirales convergentes al punto de equilibrio. Note que todas las soluciones del sistema dinmico, salvo el punto de equilibrio son espirales. Reemplazando en la ecuacin anterior se obtiene Reemplazando k en la ecuacin precedente tenemos:

La ecuacin anterior nos representa una espiral convergente al punto de equilibrio que satisface las condiciones iniciales del sistema dinmico. Para determinar el sentido del movimiento de la senda de fase evaluaremos el vector tangente a la senda de fase (vector de velocidad de movimiento) por ejemplo en el instante

Teniendo en cuenta (311), las ceroclinas vendrn dadas por:

Mientras que los gradientes de f y g vienen dados por:

En consecuencia, a la izquierda de la ceroclina las lneas de fuerza horizontales apuntarn hacia la derecha, y a la derecha de ella apuntarn hacia la izquierda. Asimismo, las lneas de fuerza verticales apuntarn hacia arriba por debajo de la ceroclina y hacia abajo por encima de ella. Note que en las intersecciones de las sendas de fase con la isoclina la no est definida.

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