Tensin en un punto

Para encontrar una expresin que describa la transmisin de los esfuerzos en el interior de un fluido considere una porcin continua de fluido sometida a la accin de diversas fuerzas y momentos externos:

Ahora se intersecta el medio fluido continuo con un plano con una inclinacin cualquiera:

Se retira la porcin derecha de sustancia y sobre la superficie plana as obtenida se debern transmitir las fuerzas que ejerca la materia que ya no est presente. Sin embargo, tales fuerzas se transmiten en forma distribuida sobre esa superficie. Para observarlo con mayor detalle se traza una malla sobre la superficie determinada por el plano arbitrario y cada elemento de rea A trasmitir una fuerza F:

Cada elemento de rea A transmitir un afuerza F que a su vez tiene direccin generalizada en el espacio y puede expresarse en sus componerse normal (FN) y tangencial ( FT) a la superficie A:

En estas condiciones se define:

Esfuerzo normal al lmite de la relacin (FN/A) cuando A tiende a cero.

Esfuerzo cortante al lmite de la relacin (FT/A) cuando A tiende a cero.

Observe que ambos esfuerzos tienen unidades F/L2 pero son magnitudes escalares.

El momento que se transmite por esa cara se reduce a cero cuando el rea tiende a cero.

Ahora, en vez de trazar un plano que pasa por el punto determinado cuando A tiende a cero, se trazarn seis planos alrededor de tal pundo de manera que se defina un elemento infinitesimal de volumen d, con aristas dx, dy y dz.

Sobre cada cara del elemento infinitesimal podr defininirse un esfuerzo normal () y una pareja de esfuerzos cortantes () obtenidos a partir de la adecuada descomposicin de la fuerza que se transmite por esa cara.

Se adoptar la siguiente nomenclatura:

mm mn

Los esfuerzos tendrn dos subndices:

el primer subndice indica el sentido (+/-) de la fuerza que desarrolla ese esfuerzo y

el segundo subndice indica el sentido (+/-) del eje que designa la cara sobre la que acta el esfuerzo.

Cuando ambos sentidos tienen el mismo signo (+/+ -/-) el esfuerzo se considera positivo. Los esfuerzos que actan sobre las caras de versor positivo sern primados. Se considera que el sentido del versor que designa una superficie que delimita un volumen es positivo cuando se dirige desde el interior del volumen hacia el exterior.

En esta grfica se representan los esfuerzos que actan sobre las caras superior e inferior del cubo. Los esfuerzos se representan en el mismo sentido de las fuerzas que desarrollan sobre la cara. Los signos que acompaan a los subndices se refieren a los sentidos de los ejes que designan la cara y la fuerza. Cuando tienen el mismo sentido ( +/+ -/- ) los esfuerzos son positivos. Sobre las cuatro caras laterales actuarn otras tantas ternas de esfuerzos.

Ahora se indicarn slo los esfuerzos que desarrollan fuerzas de contacto paralelas al eje z, no se indican los esfuerzos que desarrollan fuerzas normales al eje z:

Cada esfuerzo desarrollar una fuerza infinitesimal sobre la superficie donde acta:

Un esfuerzo normal desarrolla una fuerza superficial como: dF=zzdA

Un esfuerzo cortante desarrolla una fuerza superficial como: dF=zydA

Los diferenciales de rea son de la forma: dA=dx.dy

El campo gravitacional desarrolla una fuerza volumtrica como: dF=gzd

Se observa que el campo gravitacional tendr, en general, componentes paralelas a cada uno de los ejes: gx, gyy gz

El diferencial de volumen es de la forma: d=dx.dy.dz

Si el medio fluido es continuo se pueden establecer variaciones infinitesimales para los esfiuerzos normal y cortante, por ejemplo:

zz = zz + dzz

Adems, como el esfuerzo es una funcin escalar de posicin, zz = zz(x, y, z); vara en el espacio en todas direcciones y para la variacin slo a lo largo del eje zeta se podr escribir:

dzz = (zz/z)dz

De otra parte, se observa que el campo gravitacional tendr, en general, componentes paralelas a cada uno de los ejes: gx, gyy gz. Se conviene que el sentido positivo del versor radial del campo gravitacional se proyecta en el sentido positivo de los ejes coordenados cartesianos, de manera que las componentes de la aceleracin gravitacional se alinean en el sentido negativo de tales ejes.

Se puede escribir la ecuacin general del movimiento de la partcula fluida en el sentido del eje zeta con los esfuerzos ilustrados, y de manera similar para las otras direcciones, aplicar las consideraciones expuestas y simplificar hasta obtener:

En la direccin del eje x: xx/x + xy/y + xz/z -gx = ax

En la direccin del eje y: yx/x + yy/y + yz/z -gy = ay

En la direccin del eje z: zx/x + zy/y + zz/z -gz = az

Este sistema de ecuaciones se puede representar matricialmente as:

Donde:

representa la funcin de densidad del fluido.en ese punto

representa el operador gradiente, , en coordenadas cartesianas

representa el vector aceleracin gravitacional local

representa la aceleracin de la partcula fluida

representa el tensor de esfuerzos, normales y cortantes

. :

:

Propiedades del tensor de esfuerzos.

1. El tensor de esfuerzos es simtrico.

A partir del estudio de momentos axiales originados por los esfuerzos sobre cada una de las caras del elemento diferencial se puede determinar que los esfuerzos cortantes sobre caras opuestas son iguales, as:

xy=yx ; xz=zx ; zy=yz

2. El tensor de esfuerzos se puede diagonalizar.

A partir de las propiedades de las matrices simtricas se deduce que el arreglo tensorial de esfuerzos se puede diagonalizar, de manera que los esfuerzos normales permanecen en la diagonal principal y todos los valores de esfuerzo cortante son nulos, que fsicanmete significa que existe una orientacin privilegiada en el espacio para la cual no se desarrolla friccin as el fluido sea real. A estos ejes se les llama ejes principales. En esa orientacin los esfuerzos normales se vuelven iguales entre s.

3. El tensor de esfuerzos goza de tres invariantes o valores constantes asociados.

3.1 El valor del determinante asociado al tensor de esfuerzos es una constante

3.2 La suma de los menores asociados a los elementos de la diagonal principal es una constante

3.3 La suma de los esfuerzos normales es una constante. Su promedio es constante y se conoce como tensin volumtrica media, m:

m = (xx+yy+zz)/3

La tensin volumtrica media tiene el mismo valor de la presin termodinmica y como los fluidos no soportan esfuerzos de traccin se conviene en nomenclar la presin con el signo negativo de la tensin volumtrica media:

p = - m

As como el esfuerzo es un escalar la presin lo ser, y no debe inducir confusin as sus unidades bsicas sean relacin de fuerza por unidad de superficie.

Tambien debe observarse que cuando no existe gradiente de velocidades, porque la masa fluidad sea esttica o se desplace con movimiento rectilneo uniforme, cualquier sistema de ejes oficiar de sistema de ejes principales, en la diagonal principal estarn los esfuerzos normales iguales entre s y cada uno de ellos ser igual a la tensin volumtrica media. En esas circunstancias se podr escribir:

Que se puede modificar si se sustituye la tensin volumtrica media en trminos de menos la presin, la aceleracin gravitacional por su mdulo acompaado de las direcciones espaciales que dan sus componentes en trminos de una altura h que lleve la direccin de la plomada y todo se divide por la densidad, para obtener:

En esta expresin cada trmino representa una fuerza por unidad de masa: la debida a la presin, la debida a la atraccin gravitacional y la de inercia:

- fp - fg = a Ecuacin de Euler

Si se desarrolla una expresin que incluya las fuerzas de superficie por unidad de masa originadas por la friccin se obtiene una expresin como:

f - fp - fg = a Ecuacin de Navier-Stokes

Esta es una expresin general que indica como se relacionan entre s las fuerzas de superficie debidas a la friccin y al confinamiento del fluido, las fuerzas msicas debidas a la accin de la gravedad y el estado general del movimiento de la partcula fluida. Es una

descripcin cualitativa de muchas cantidades relacionadas entre s.