La Carta de Smith Z(z) → Impedancia en cualquier punto de una línea de transmisión

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La Carta de Smith Z(z) → Impedancia en cualquier punto de una línea de transmisión Phillip H. Smith en 1939, teniendo presente que la impedancia Z(z) está biunívocamente relacionada con el coeficiente de reflexión Γ(z), y éste tiene un módulo acotado a uno |Γ|≤1, concibió una representación gráfica de la impedancia Z(z) en términos del coeficiente de reflexión Γ(z), que tiene un uso prácticamente universal en la actualidad. Re 0, Im , Z z Z z P.H. SMITH

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La Carta de SmithZ(z) → Impedancia en cualquier punto de una línea de transmisión

Phillip H. Smith en 1939, teniendo presente que la impedancia Z(z) está biunívocamente relacionada con el coeficiente de reflexión Γ(z), y éste tiene un módulo acotado a uno |Γ|≤1, concibió una representación gráfica de la impedancia Z(z) en términos del coeficiente de reflexión Γ(z), que tiene un uso prácticamente universal en la actualidad.

Re 0,

Im ,

Z z

Z z

P.H. SMITH

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Nomogramas

Un nomograma o nomografo es un diagrama bidimensional que permite realizar cálculos aproximados gráficamente. La carta de Smith es un nomograma.

Nomograma de conversiónde temperaturas de Celsiusa Fahrenheit. Nomograma de resistencias

en paralelo.

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Uso de la Carta de Smith

La carta de Smith permite, de una manera sencilla y evitando tediosas manipulaciones de números complejos

1) Calcular gráficamente la impedancia en un punto de una línea de transmisión a partir

del coeficiente de reflexión en ese punto y viceversa.

2) Calcular gráficamente la impedancia o el coeficiente de reflexión en un punto de una

línea a partir del conocimiento de la misma o el mismo en otro punto.

3) Realizar estos cálculos en términos de impedancias o admitancias indistintamente.

4) Calcular gráficamente la ROE y los valores máximo y mínimo de la impedancia.

5) Encontrar los valores de elementos reactivos (ya sean stubs o elementos

concentrados) necesarios para adaptar líneas de transmisión.

6) Representar el rendimiento de circuitos de microondas

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Relación entre Z(z) y ρ(z)

Se define una impedancia normalizada respecto a la impedancia intrínseca de la línea

Matemáticamente corresponde una transformación entre la impedancia normalizada y el coeficiente de reflexión complejo que se caracteriza por ser conforme (=conserva los ángulos entre dos curvas).

0

11

ZZ r j xZ

11

jr i

Z e jZ

Γ r

Γi

| Γ |≤1

r

xr≥0

Z

Page 5: La Carta de  Smith Z(z) → Impedancia en cualquier punto de una línea de transmisión

Relación entre Z(z) y ρ(z)Sustituyendo Γ en la expresión de la impedancia normalizada se pueden obtener las curvas de r y x constantes en función de las componentes Γ r y Γ i, obteniendo un conjunto de circunferencias en el plano complejo de Γ :

2 2 2

222

1 1 1; 11 1r i r i

rr r x x

r

x r=cte.

Γ r

Γ i

r

x

x=cte.

Γ r

Γ i

11,x

1x

Circunferencias de reactancia constante: CENTRO RADIO

,01

rr

11r Circunferencias de resistencia constante: CENTRO RADIO

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El coeficiente de reflexión representado en el plano complejo

Γ r

Γ i

| Γ |=1

90º

180º

270º

z=0 z= ℓ

ZL

Γ LΓ e

Ze

4( )2( 0) Lj lj le L Lz e e

L

| Γ L|

0 1| Γ L|

2ℓ

Γ e

| Γ L|

2ℓ

Γ L

4 ( )2 ( )( )

Lj z lj z l

L Lz e e

( ) LjL Lz l e

Hacia la carga

Hacia el generador

Metodología

ℓ=/2 360º

ℓ=/4 180º

ℓ=/8 90º

ZLΓ L Ze

Γ e

Γ L Γ e

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r = 0 r = 0.5 r = 1 r = 2 r = ∞

x = ∞

x = 0

x = 0.5

x = 2

x = 1

x = - 0.5

x = - 2

x = - 1

Circunferencias de

Resistencia

Constante

Circunferencias de

Reactancia

Constante

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En un punto de la línea de Z0 = 50 Ω se mide una impedancia 100+j·150 Ω ¿Cuánto vale Γ en ese punto?

100 150 2 350

jZ j

0.75 26º

| Γ | = 0.75

r = 2

x = +3

φ = 26º

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Si ¿ Cuánto vale la impedancia ? ¿Cómo varía al movernos sobre la línea?

1 3 90º

ZZ

| Г | = 0.33

r = 0.8

x = +0.6

φ = 90º

20.33j

e

0.8 0.6Z j

La toma todos los valores contenidos en la circunfe-rencia de radio a medida que nos movemos a lo largo de la línea de transmisión.

0.33

Z

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Paso de: Γ ↔ Z

SWR = S (ROE)

RET’N LOSS, dB =

REFL. COEFF. P =REFL.COEFF, E OR I =

x| Γ |

φ

Z

26º

0.75

¯

0.75 26º

2 3Z j

20 log 2

7S

2.6 dBretL

72.6

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Impedancia de Entrada

0.8 1.2LZ j

2 1.6eZ j

150 120eZ j

270máxmáxZ R

21mínmínZ R

ZL

Ze

0.45·λ

mín

máx

mín 0.28

V

I

Z

máx

mín

máx 3.6

V

I

Z x

x

S=3.6

ZLZe

ZL= 60 – j·90

l = 0.45·λ

Z0 = 75 Ω

S=3.61=0.28S

max min max

1min max min

( ) , ,

( ) , ,

L

L

z V I Z Z S

z V I Z Z S

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AdmitanciaZ R j X

Y G j B

1

1

cL

cCX

BL

X

C

L

B C

0 500.2 0.5

10 25 LL

ZZ j

Z j

00

0.7 1.7

0.014 0.034

LL L L

L

L

YY Y Y Y

Y j

Y jZ

ZLx

YL

x

( 4)

111

11

11

LL

L L

jL

l λe jL

LL

L

YZ

eZe

Y

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Admitancia de Entrada

Ye

ZL= 10 + j·15

Z0 = 50 Ω

l = 0.1·λ

ZL

0.2 0.3LZ j

0.3 0.7eY j

0.006 0.0145eY j

01 0.02

50Y

ZL

x

YL

x

Ye

x

Zex

0.1·λ

0.1·λ

0

10 1550

LZ jZ

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Línea en Cortocircuito

Línea en Circuito Abierto

0.73

1.4e

e

Z j

Y j

Ze, Ye

l = 0.1·λ

c.c.

Ze, Ye c.a.

l = 0.15·λ

0.73

1.4e

e

Z j

Y j

cortocircuito circuito abierto xx

0.1·λ

0.15·λ

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Conexión de Líneas

1

1 1

75 0.51501 0.7

150 150 105

LZ

Z jZ Z j

1'

2

2 2

150 105 1.51001.8 0.9

100 180 90

jZ j

Z jZ Z j

2'

3

3

180 90 3.6 1.8500.28 0.52

50 14 26e

j

j

Z j

Zj

ZZ

11’2’ 2

ZL

x

Ze

Z1x

0.1·λ

0.15·λ

0.15·λ

Ze 50 Ω

0.15·λ

ZL 100 Ω 150 Ω

0.1·λ 0.15·λ

Z2

x

Z1’x

xZ2’

x

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Carta de Smith como medio de representación de rendimiento

La carta de Smith se usa a menudo como sistema de coordenadas para representar el comportamiento de un dispositivo de microondas a diferentes frecuencias.