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Captulo 2Soluciones ejercicios

Ejercicio 2.1 Demuestre las identidades(a b) c = (a c)b (b c)a. (a b) c = a (b c).2

a b

= a2b2 (a b)2.

Solucin. Deben haber muchas demostraciones. La tercera es fcil pues si es el ngulo entre a y b2

a b

= a2b2 sin2 =

= a2b2(1 cos2 )= a2b2 a2b2 cos2 = a2b2 (a b)2.La segunda, intercambiar la cruz con el punto, se demuestra as:(a b) c = (aybz azby )cx + (az bx axbz )cy + (axby aybx)cz= cxaybz cxazby + cyazbx cyaxbz + czaxby czaybxya (b c) = (bycz bzcy )ax + (bz cx bxcz )ay + (bxcy bycx)az= cxaybz cxazby + cyazbx cyaxbz + czaxby czaybx

resultan iguales. La primera es larga. Veamos la componente x de (a b) c, esta es:

(a b)y cz (a b)z cy = (azbx axbz )cz (axby aybx)cy = czazbx czaxbz cyaxby + cyaybx = (cyay + czaz )bx (czbz + cyby )ax = (c a cxax)bx (c b cxbx)ax = (c a)bx (c b)ax,de modo que es claro que algo similar ocurre con las otras dos componen- tes y luego(a b) c = (c a)b (c b)a.N

Ejercicio 2.2 Si los lados de un tringulo son a, b, c determine los ngulos del tringulo.Solucin. Podemos obtenerlos de varias maneras, por ejemplo del teore- ma del coseno

18Soluciones ejercicios

19

o bien

c2 = a2 + b2 2ab cos ,a2 + b2 c2

y otras dos similares

cos =

,2ab

cos =

cos =

a2 + c2b2

,2ac

c2 + b2a2,2bc

C

bcAa

B

N

Ejercicio 2.3 Considere los puntos cuyas coordenadas son A = (1, 1, 1),B = (1, 2, 1), C = (1, 2, 0) determinea) El rea del tringulo ABC.b) Los ngulos del tringulo ABC.c) Las magnitudes de los lados del tringulo ABC.d) Las alturas del tringulo ABC.

Solucin. Los vectores con magnitud y direccin los lados del tringulo pueden escribirseC

bcAa

B

c = AB = (1, 2, 1) (1, 1, 1) = (0, 1, 0)a = BC = (1, 2, 0) (1, 2, 1) = (2, 0, 1)b = CA = (1, 1, 1) (1, 2, 0) = (2, 1, 1)de manera quec a = (0, 1, 0) (2, 0, 1) = (1, 0, 2)b c = (2, 1, 1) (0, 1, 0) = (1, 0, 2)a b = (2, 0, 1) (2, 1, 1) = (1, 0, 2)entonces el rea del tringulo es

A = 1 (

1, 0, 2)

= 1 .

2 | las magnitudes de los lados son|c| = |(0, 1, 0)| =1

|25

20Soluciones ejercicios

21

b = |(2, 1, 1)| =

6

|a| = |(2, 0, 1)| = 5los ngulos estn dados por

|sin = bc|

|b||c|sin = |ca|

=56 5

|a||c| = 5 =1

ba|

51

sin = |

= =

|a||b|

5 66

las alturas del tringulo se calculan de acuerdo a

bhC= sin =5,5hB= |a| sin = 6 ,hA= |c| sin = 1.

N

Ejercicio 2.4 Considere un paralelgramo donde se dan tres vrtices A = (0, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0).

a) Determine el cuarto vrtice.

b) Determine el rea del paralelgramo.

c) Determine las longitudes de las diagonales.

Solucin. Construyamos los vectoresAC= OC OA = (1, 0, 1) ,AB= OB OA = (1, 1, 0) ,

de manera que

AD = AB + AC = (2, 1, 1) ,

entonces el cuarto vrtice est en la posicin (esta es una solucin de otras posibles)OD = OA + AD = (2, 0, 0)

El rea del paralelgramo serA =

AB AC = |(1, 1, 1)| = ,3

donde las longitudes de las diagonales sern

AB + AC = |(2, 1, 1)| =6,

AB AC

= |(0, 1, 1)| = .

2N

Ejercicio 2.5 Escriba la ecuacin de un plano que es perpendicular a la direccin n = (1, 1, 1)/3 y que pasa a distancia 3 del origen.Solucin. La ecuacin resultan r = 3,

o seax y + z =3 3.N

Ejercicio 2.6 Sea una rectax = 2t + 1, y = t + 2, z = 3t 1,siendo t un parmetro. Determine su distancia al origen.Solucin. La distancia de un punto arbitrario de la recta al origen esd = px2 + y2 + z2,

esto es

d = p(2t + 1)2 + (t + 2)2 + (3t 1)2 =

t2 6t + 6.

14

La cantidad subradical, polinomio de segundo grado, tiene un mnimo justo en el punto medio entre sus dos races que son

5t1 = 3

+ 5 i3, t2 = 3

i3 y el punto medio es

1414

1414

t =

1 63()=,2 1414

y para ese valor d es la distancia de la recta al origen, cuyo valor resulta5 d =42 = 2. 315,14NEjercicio 2.7 Sean a = (1, 1, 0), b = (1, 1, 1) dos vectores. Determine la ecuacin de un plano que pase por el origen y que contenga los vectores a yb.Solucin. Si los dos vectores a y b estn sobre el plano, entonces un

vector normal al plano es N

= a b. Calculando resulta

N = (1, 1, 0) (1, 1, 1) = (1, 1, 2) .La ecuacin del plano es, en general

y si pasa por el origen

r N

= constante,

r N

= 0.

Calculando (x, y, z) (1, 1, 2) = x y + 2z de modo que la ecuacin del plano esx y + 2z = 0.N

Ejercicio 2.8 Determine el rea de un tringulo en funcin solamente de sus lados a, b y c.Solucin. En principio el rea del tringulo puede ser escrita de muchas maneras, por ejemplo1 1

A =a b =

ab sin ,

2 21 1

=b c =

bc sin ,

2 211

=2 |c a| =

ca sin ,2

pero la tarea es eliminar los ngulos. Para ello considere

c = a cos + b cos .

Expresando los cosenos en trminos de los senos se obtiene

24Soluciones ejercicios

23

r2A

r2A

22

o bien

c = a

1 ( ca ) + b

1 ( bc ) ,

c2 = pc2a2 (2A)2 + pb2c2 (2A)2,y el resto es lgebra. Para despejar A (c2 pc2a2 (2A)2)2 = c4 2p(c2a2 4A2)c2 + c2a2 4A2 = b2c2 4A2de donde c2 + a2 b2 = 2p(c2a2 4A2)(c2 + a2 b2)2 = 4 (c2a2 4A2)16A2 = 4c2a2(c2+a2b2)2 = (a + b c) (a + b + c) (c a + b) (c + a b)

y finalmente

A =

1 p(a + bc) (a + b + c) (ca + b) (c + ab).4

Intente otro camino.

NEjercicio 2.9 Con relacin a la figura, demuestre que si F1 = F2 enton- ces:r1 F1 + r2 F2 = 0.

F1r1F2r2

Solucin. Podemos escribirr1 F1 + r2 F2=r1 F1 r2 F1= (r1 r2) F1= 0,porque F1 es paralela a (r1 r2).N

Ejercicio 2.10 Desde una determinada posicin en un camino, una per- sona observa la parte ms alta de una torre de alta tensin con un ngulo de elevacin de 25o. Si avanza 45 m en lnea recta hacia la base de la torre, divisa la parte ms alta con un ngulo de elevacin de 55o. Considerando que la vista del observador est a 1,7 m. Determine la altura h de la torre.

25551.7 mh

45 m

Solucin. Sea d la distancia del punto ms cercano a la torre, entonces tenemos

restando

d hd + 45

h

= cot 55,

= cot 25,

de donde

45 = cot 25h

cot 55

45h =cot 25 cot 55

y numricamente resulta

respecto al observador y

respecto al suelo.

h = 31. 157 m

h = (31. 157 + 1,70)= 32. 857 m

N

Ejercicio 2.11 Desde un avin de reconocimiento que vuela a una altura de 2500 m, el piloto observa dos embarcaciones que se encuentran en un mismo plano vertical con ngulos de depresin de 62o240 y 37o180 respectivamente. Encuentre la distancia x entre las embarcaciones.

3718'

6224'

2500 m

x

Solucin. Expresando los ngulos son con decimales62,4o y 37,3oSimilarmente al problema anterior si d es la distancia horizontal entre el avin y la embarcacin ms cercana se tienex + d

y restando se obtiene

2500d2500

= tan(90 37,3),= tan(90 62,4),

d = 2500(cot 37,3 cot 62,4) = 1974. 751 m

NEjercicio 2.12 Una persona se encuentra en la mitad de la distancia que separa dos edificios y observa la parte ms alta de stos con ngulos de eleva- cin de 30o y 60o respectivamente. Demuestre la que las alturas de los edificios estn en la relacin 1: 3.

30

60x

Solucin. Si las alturas son llamadas h1 y h2 tenemos queh1

de donde

tan 30 =

tan 60 =

,x/2h2 , x/21

h1 = tan 30 = 3

31=.

h2tan 6033

NEjercicio 2.13 Un mstil por efecto del viento se ha quebrado en dos par- tes, la parte que qued vertical en el piso mide 3m y la parte derribada qued atada al extremo superior de la parte vertical, formando un ngulo de 30o con el piso. Encontrar la altura del mstil.

3 m30

Solucin. La hipotenusa c ser dada por

de donde

31= sin 30 =, c 2c = 6 m,

por lo tanto la altura del mstil era

9 m.N

Ejercicio 2.14 Una persona en su trote diario, desde su casa, corre 7 km al Norte, 2 km al Oeste, 7 km al Norte y 11 km al Este. Encuentre la distancia a su casa a que se encuentra la persona .Solucin. Sean los ejes cartesianos OX hacia el este y OY hacia el norte, entonces el desplazamiento resultante esr= 7j+ 2()+ 7j+ 11= 9 + 14j,y su magnitud, la distancia a la casa, es

92r =

+ 142N

= 16. 64 km.

Y18 cm10 cm16 cmEjercicio 2.15 Una caja tiene 16 cm de largo, 18 cm de ancho y 10 cm de alto. Encuentre la longitud de la diagonal de la caja y el ngulo que sta forma con cada uno de los ejes.

Z

X

Solucin. El vector que representa la diagonal esr = 16 + 18j+ 10k,

y entonces su longitud es

r = 162

+ 182

+ 102

= 26. 077 cm.

Los ngulos estn dados por

cos =

=

cos =

=

cos =

=

r (26. 077)16

26. 077 r j 26. 07718

26. 077r k 26. 0771026,077

de donde

= 52. 152 o, = 46. 349 o, = 67. 4501o.

Note que cos2 + cos2 + cos2 = 1.

NEjercicio 2.16 Dados los vectores r1 = 3 2j + k, r2 = 3 4j 3k,r3 = + 2j+ 2k, hallar los mdulos de:a) r3b) r1 + r2 + r3

c) 2r1 3r2 + 5r3Respuestas: (a) 3; (b) 5,66; (c) 5,48

Ejercicio 2.17 Hallar un vector unitario con la direccin y sentido de la resultante de r1 + r2, con r1 = 2 + 42j 5k, r2 = + 2j+ 3k,Respuesta: 3 + 6 j 2 k.777

Ejercicio 2.18 Demostrar que los vectores A = 3+j2k, B

= +3j+4k,

C = 4 2j 6k, pueden ser los lados de un tringulo, y hallar las longitudesde las medianas de dicho tringulo.Solucin. Si tres a, b, y c forman un tringulo entonces debe sera + b + c = 0,

lo cual es satisfecho por los vectoresA,

B y C

Las medianas unen los puntos medios de los lados por lo tanto vectores a lo largo de las medianas son

1 C + 1 (

A),

22 11

112 (A)+ 2 BB +C22

donde A = (3, 1, 2), B

= (1, 3, 4), C = (4, 2, 6), luego

12 ,

32 , 2

3, (2, 1, 3) ,2 ,

12 , 1

y sus longitudes sonq 194 + 4 +4 = 2. 549 5 4+1+9 = 3. 741 7

q 32

1

22 + 22 +1 = 1. 870 8

NEjercicio 2.19 Hallar el ngulo formado por los vectores A = 2 + 2j k,

30Soluciones ejercicios

31

B = 6 3j+ 2k.Solucin. Tenemos

cos =

A B

A B12 6 24

de donde

=949= 21

= 79. 017o

N

Ejercicio 2.20 Demostrar que los vectores A = 3 2j+ k, B C = 2 + j 4k,forman un tringulo rectngulo.Solucin. Usted puede constatar que

= 3j+ 5k,

o sea

A B

= C ,

B + C = A,de manera que forma un tringulo. Adems calcule

A C = (3, 2, 1) (2, 1, 4)) = 0

luego

A C

es decir se trata de un tringulo rectngulo.

N

Ejercicio 2.21 Hallar el vector unitario perpendicular al plano formado

por A = 2 6j 3k, B

= 4 + 3j k.

Solucin. Calcule

A B

= 15 10j+ 30k,

luego un vector normal al plano es

y uno unitario

N = 15 10j+ 30k,

15 10j+ 30kN=152 + 102 + 302 ,15 10j+ 30k=,35=3 2j+ 6k .7N

Ejercicio 2.22 Dados , A = 2 3j k y B

= + 4j 2k determinar

a) A Bb) B A

c) (A + B ) (A B )Solucin. (2, 3, 1) (1, 4, 2) = (10, 3, 11)(1, 4, 2) (2, 3, 1) = (10, 3, 11)(A + B ) (A B )= A B + B A = 2B A = (20, 6, 22) .N

Ejercicio 2.23 Hallar el rea del tringulo cuyos vrtices son P (1, 3, 2), Q(2, 1, 1), R(1, 2, 3).Solucin. Dos lados del tringulo pueden ser representados por los vec- toresPQ = OQ OP = (2, 1, 1) (1, 3, 2) = (1, 4, 1)PR= OR OP = (1, 2, 3) (1, 3, 2) = (0, 1, 1),

luego

y el rea ser

PQ PR == (5, 1, 1)

1

1

27

A =PQ PR =

25 +1+1 =.

2 22N

Ejercicio 2.24 Hallar los ngulos agudos formados por la recta que une los puntos (1, 3, 2) y (3, 5, 1) con los ejes coordenados.Solucin. Un vector a lo largo de la recta es

A = (1, 3, 2) (3, 5, 1) = (2, 2, 1)luego los ngulos que ese vector forma con los eje estn dados por

cos = A

= 2

A3 j A2

cos =

=

A 3k A1

cos =

=

A3

de donde los ngulos agudos son: (tome los valores absolutos del coseno) 48. 190o, 48. 190o y 70. 531o.

N

Ejercicio 2.25 Hallar los cosenos directores de la recta que pasa por los puntos (3, 2, 4) y (1, 1, 2).Solucin. Similarmente al problema anterior

A = (3, 2, 4) (1, 1, 2) = (2, 3, 6)

34Soluciones ejercicios

33

de donde

cos = A = 2

A7 j A3

cos =

=

A7 k A6

cos =

=

A7

o si tomamos A2cos = 73cos = 76cos = 7N

Ejercicio 2.26 Dos lados de un tringulo son los vectores A = 3 + 6j 2k

y B

= 4 j+ 3k. Hallar los ngulos del tringulo.

Solucin. El otro lado puede escribirse

y calculamos

C = A B

A B B CA C

= + 7j 5k,

= 0= 26= 49

A = 7 B =26 C = 5 3

luego los ngulos son 90o, 53. 929o y 36. 071o

NEjercicio 2.27 Las diagonales de un paralelogramo son A = 3 4j k yB = 2 + 3j 6k . Demostrar que dicho paralelogramo es un rombo y hallarsus ngulos y la longitud de sus lados.Solucin. En trminos de los lados a y b se tiene

entonces

a =

a + b =a b =

1 (A + B )= 122

A,B ,

(5 j 7k),

entonces

b =1 (A2

B )= 1 (2

7j+ 5k),

por lo tanto es un rombo y

5

| |a = b =3, 2

cos =

a b

2 =|a|

5+7 35 =23 ,

7474

de donde los ngulos son 108. 11o y 71. 894o.

NEjercicio 2.28 Hallar la proyeccin del vector 2 3j+ 6k sobre el vector + 2j+ 2k .Solucin.(2 3j+ 6k) ( + 2j+ 2k) + 2j+ 2k 2 6+128=1+4+4 = 3 .N

Ejercicio 2.29 Hallar la proyeccin del vector 4 3j+ k sobre la recta que pasa por los puntos (2, 3, 1) y (2, 4, 3).Solucin. Un vector sobre la recta es(2, 3, 1) (2, 4, 3) = (4, 7, 4)luego la proyeccin es

(4, 7, 4) (4, 3, 1)|(4, 7, 4)|9= 9 = 1,de manera que la magnitud de la proyeccin es 1.

N

Ejercicio 2.30 Si A = 4 j + 3k y B unitario perpendicular al plano de A y B .Solucin.

= 2 + j 2k , hallar un vector

n =A B ,A B

donde (4, 1, 3) (2, 1, 2) = (1, 2, 2) por lo tanto(1, 2, 2)n = 3,

3N

3Ejercicio 2.31 Demostrar que A = 22j+k , Bvectores unitarios mutuamente perpendiculares.Solucin. Calculando

= +2j+2k , y

C =2+j2k 3

son

=

= C = 1,

A

B

A B

= A C = B C = 0.N