Post on 06-Sep-2020
1
Series de Fourier
"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",Genaro González
2
...3
)3(2
)2()(
)(2
)(1
+++
==−
= ∑∞
=
tsentsentsen
nntsenttf
n
π
La primera serie de Fourier de la historia
Euler
1744 escribe en una carta a un amigo:
¿Es cierto?
Observemos que en t = 0 hay problemas → π/2 = 0 ¡¡
La clave está en el concepto de función periódica.
3
Funciones PeriódicasUna función periódica f(t)
cumple que para todo
valor de t:f(t) = f(t
+ T).
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T
que cumple lo anterior se le llama el periodo
fundamental (o simplemente periodo) de la función.Observa que:
f(t) = f(t
+ nT), donde n = 0, ±1, ± 2, ±3,...
Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?
4
Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función
Si f(t)
es periódica se debe cumplir:
Como cos(t
+ 2kπ) = cos(t)
para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que:
T/3 = 2k1
π y T/4 = 2k2
π.Es decir:
T = 6k1
π = 8k2
πcon k1
y k2
enteros.El valor mínimo de T se obtiene con k1
= 4, k2
= 3, es decir, T = 24π.
?coscos 43 )()(f(t) tt +=
)()(T)f(t TtTt43 coscos ++ +=+ )()(f(t) tt
43 coscos +==
5
Gráfica de la función
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24π
T
)()(f(t) tt43 coscos +=
6
¿Es la suma de dos funciones periódicas una función periódica?Depende. Consideremos la función:
f(t) = cos(ω1
t) + cos(ω2
t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que:
ω1
T = 2π m y ω2
T = 2π n.Es decir, que cumplan:
T = m/ (2π ω1
) = n/ (2π ω2
)nm
=2
1
ωω
7
Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((π+3)t) tenemos que
¿Es periódica?π+
=ωω
33
2
1
0 5 10 15 20 25 30-2
-1
0
1
2
f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t)
t
f(t)
8
Para que exista periodicidad ω1
/ ω2
debe ser un número racional (n/m).
Ejercicios: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son periódicas:
1)
f(t) = sen(nt), donde n es un entero.2)
f(t) = sen2(2πt)
3)
f(t) = sen(t) + sen(t
+ π/2)4)
f(t) = sen(ω1
t) + cos(ω2
t)5)
f(t) = sen(√2 t)
9
Si f1 (t) tiene periodo T1 y f2 (t) tiene periodo T2 , ¿es posible que f1 (t) + f2 (t) tenga periodo T < min(T1 ,T2 )?
T1
= 5
T2
= 5
T = 2,5
10
Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeño como queramos. Sea N
un entero, y definamos:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<
≤≤=
11,0
10),2()(1
tN
NttNsen
tfπ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<
≤≤=
11),2(
10,0)(2
tN
tNsenN
ttf
π
extendida periódicamente con T = 1:
+∞<<∞−+= ttftf ),1()( 11
extendida periódicamente con T = 1:
+∞<<∞−+= ttftf ),1()( 22
⎩⎨⎧
+∞<<∞−+++<≤
=+ttftfttNsen
tftf),1()1(
10,)2()()(
2121
π
NNT 1
222
===π
πωπ
11
¿Puede una función f(t)
cumplir la condición f(t) = f(t
+ T)
para todo t
y no tener un periodo
fundamental?
⎩⎨⎧
=enterounes nosi0enterounessi1
)(1 tt
tf
1enterossonnoysi0enterossonysi1
)()( 11
=⇒⎩⎨⎧
++
=+=
TTtt
TttTtftf
12
⎩⎨⎧
=enterounesoirracionalessi0enterounnoperoracionalessi1
)(2 tt
tf
1enterosoesirracionalsonysi0enteros noperoracionalessonysi1
)()( 22
=⇒⎩⎨⎧
++
=+=
TTtt
TttTtftf
⎩⎨⎧
=+irracionales si0racionalessi1
)()( 21 tt
tftf
T = ?
13
...3
)3(2
)2(2
+++=− tsentsentsentπ
¿Cómo lo alcanzó?
Volvamos al resultado de Euler:
⎪⎩
⎪⎨⎧
++=
+++=
...)(...)(
32
32
titiit
titiit
eetSeeeetS
ttseni
eetS it
it
cos121
21
1)(
−+−=
−=
{ }...)3()2(...)3cos()2cos(cos...)(
21
32
+++++++=+++=
−
tsentsentsenittteeetS titiit
2;
4...
71
51
311
2
21...
3)3(
2)2(
4
πππ
π
=+−=+−+−→=
+−=+++
CCt
CttsentsentsenIntegrando término a término:
Utilizando la fórmula de Euler
para cada término:
Particularizamos tpara encontrar C:
14
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
...3
)3(2
)2(2
+++=− tsentsentsentπ
...3
)3(2
)2()(22
...3
)3(2
)2()(2
−−−−=+
+−
+−
+−=+
tsentsentsent
tsentsentsent
π
π
15
(1) La función de Euler
es periódica de periodo T = 2π.
(2) La serie es una función impar.No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros.
(3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2.Pero no fuera del intervalo...
(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.
(5) La aproximación no es buena en "los extremos"...Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...
16
17
18
19
Joseph FourierEn diciembre de 1807 Joseph Fourier presentó un sorprendente artículo a la Academia de Ciencias en París. En él afirmaba que cualquier función puede escribirse en forma de serie trigonométrica semejante al ejemplo de Euler.
Polémica: Joseph-Louis Lagrange
(1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo así era simplemente imposible...
Jean Baptiste
Joseph Fourier 1768-1830
20
21
Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la ecuación del calor o de difusión:
Describe cómo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio.
Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlánticos, edad de la Tierra,...
tu
kxu
∂∂
=∂∂ 1
2
2
22
Serie trigonométrica de FourierAlgunas funciones periódicas f(t)
de periodo
T
pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier
Donde ω0 = 2π/T se denomina frecuencia fundamental.
])()cos([)(1
00021 ∑
∞
=
++=n
nn tnsenbtnaatf ωω
...)3()2()(......)3cos()2cos()cos()(
030201
030201021
++++
++++=
tsenbtsenbtsenbtatataatf
ωωωωωω
23
...3
)3(2
)2(2
+++=− tsentsentsentπ
])()cos([)(1
00021 ∑
∞
=
++=n
nn tnsenbtnaatf ωω
a0 = 0, a1
= 0, a2
= 0 ...
b1
= 1, b2
= 1/2, b3
= 1/3,...
24
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Dada una función periódica f(t),
¿cómo se obtiene su serie de Fourier?
Necesitamos calcular los coeficientes a0
,a1
,a2
,...,b1
,b2
,...
Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.
]t)sen(nωbt)(nω[aaf(t)n
nn∑∞
=
++=1
00021 cos
25
Ortogonalidad
Se dice que las funciones del conjunto {fk
(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b
si
dos funciones cualesquiera fm
(t), fn
(t)
de dicho conjunto cumplen:
⎩⎨⎧
=≠
=∫ nmpararnmpara
dt(t)(t)ffn
b
anm
0
26
Ejemplo: las funciones t
y t2
son ortogonales en el intervalo –1 < t < 1, ya que:
Ejemplo: Las funciones sen t
y cos t
son ortogonales en el intervalo –π < t <π, ya que
04 1
141
1
31
1
2 ===−−−
∫∫tdttdttt
02
cos2
==−−
∫π
ππ
π
tsentdtsent
¿Falta algo para demostrar en ambos casos la ortogonalidad?
27
Ortogonalidad de senos y cosenos
Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2
< t < T/2
:
{1, cos(ω0
t), cos(2ω0
t), cos(3ω0
t),..., sen(ω0
t), sen2ω0
t, sen3ω0
t,...}
con ω0
= 2π/Τ.
28
Vamos a verificarlo probándolo a pares:
1.-
f(t) = 1
vs.
cos(mω0
t):
Ya que m
es un entero.
0)222
cos1
00
0
2
2
0
02
20
===
==−−
∫
mωsen(mπ
mω)T/sen(mω
mωt)sen(mωt)dt(mω
T/
T/T/
T/
ω0
= 2π/Τ
29
2.-
f(t) = 1
vs.
sen(mω0
t):
3.-
cos(mω0
t) vs. cos(nω0
t):
02cos2cos1
cos1
000
2
2
0
02
20
=−
=
=−
=−−
∫
)]T/(mω)-T/(mω[mω
mωt)(mωt)dtsen(mω
T/
T/T/
T/
⎩⎨⎧
≠=≠
=∫− 02/
0t)dtt)cos(ncos(m
2/
2/00 nmparaT
nmparaT
T
ωω
cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]cos2θ = ½ (1+cos2θ)
ω0
= 2π/Τ
30
4.-
sen(mω0
t) vs. sen(nω0
t):
5.-
sen(mω0
t) vs. cos(nω0
t):
m,ncualquierparat)dt(nωt)sen(mωT/
T/
0cos2
200 =∫
−
⎩⎨⎧
≠=≠
=∫− 02
02
200 nmparaT/
nmparat)dtt)sen(nωsen(mω
T/
T/
sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen2
A =½ (1-cos2θ)
sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]
31
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Vamos a aprovechar la ortoganilidad
que acabamos de demostrar del conjunto de funciones: {1, cos(ω0
t), cos(2ω0
t), cos(3ω0
t),..., sen(ω0
t), sen2ω0
t, sen3ω0
t,...}con ω0
= 2π/Τ, en el intervalo -T/2
< t < T/2
, para calcular los coeficientes a0
,a1
,a2
,... , b1
,b2
,... de la serie de Fourier:
]t)sen(nωbt)(nω[aaf(t)n
nn∑∞
=
++=1
00021 cos
32
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por cos(mω0
t)
e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
,...3,2,1)cos()(2/
2/0
2 == ∫−
mdttmtfaT
TTm ω
∑ ∫
∑ ∫
∫∫
∞
= −
∞
= −
−−
+
+=
1
2/
2/00
1
2/
2/00
2/
2/002
12/
2/0
cos
coscos
cos)cos()(
n
T
Tn
n
T
Tn
T
T
T
T
t)dt(mωt)sen(nωb
t)dt(mωt)(nωa
t)dt(mωadttmtf ω
0
0, si m ≠
0
0, si m ≠
0T/2, si m = n
33
Observa que el caso anterior no incluye a a0
, m = 0que debemos tratar a parte:
∫−
=2/
2/0 )(2 T
T
dttfT
aTa
t)dt(mωt)sen(nωb
t)dt(mωt)(nωa
t)dt(mωadttmtf
n
T
Tn
n
T
Tn
T
T
T
T
0
1
2/
2/00
1
2/
2/00
2/
2/002
12/
2/0
21
cos
coscos
cos)cos()(
=
+
+=
∑ ∫
∑ ∫
∫∫
∞
= −
∞
= −
−−
ω
0
T, si m = 0
0, si m ≠
0T/2, si m = n
34
Similarmente, multiplicando por sen(mω0
t)
e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
,...3,2,1)()(2/
2/0
2 == ∫−
mdttmsentfbT
TTm ω
∑ ∫
∑ ∫
∫∫
∞
= −
∞
= −
−−
+
+=
1
2/
2/00
1
2/
2/00
2/
2/002
12/
2/0
cos
)(
n
T
Tn
n
T
Tn
T
T
T
T
t)dtt)sen(mωsen(nωb
t)dtt)sen(mω(nωa
t)dtsen(mωadtt)sen(mωtf0
0
0, si m ≠
0T/2, si m = n
35
Un ejemplo históricamente importante: Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T:
La expresión para f(t)
en –T/2
< t < T/2
es:
1f(t)
t. . . -T/2
0 T/2 T . . .
-1
⎩⎨⎧
<<<<−−
=2
2
0101
)(T
T
tparatpara
tf ω0
= 2π/Τ
36
Coeficiente
a0
:
∫−
=2/
2/
10 )(
T
TT dttfa
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−= ∫∫
−
2/
0
0
2/
20
T
TT dtdta
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−=
− 0
2/
2/
02
T
TT tt 0=
⎩⎨⎧
<<<<−−
=2
2
0101
)(T
T
tparatpara
tf
37
Coeficientes
an
:
∫−
=2/
2/0
2 )cos()(T
TTn dttntfa ω
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅+⋅−= ∫∫
−
2/
00
0
2/0
2 )cos(1)cos(1T
TTn dttndttna ωω
0)(1)(1
0
2/
002/
0
00
2 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−=
−
T
TT tnsen
ntnsen
nω
ωω
ω
0para ≠n
⎩⎨⎧
<<<<−−
=2
2
0101
)(T
T
tparatpara
tf
38
Coeficientes bn
:
∫−
=2/
2/0
2 )()(T
TTn dttnsentfb ω
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−= ∫∫
−
2/
00
0
2/0
2 )()(T
TTn dttnsendttnsenb ωω
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
− 0
2/
002/
0
00
2 )cos(1)cos(1 T
TT tn
ntn
nω
ωω
ω
[ ])1)(cos())cos(1(1−−−= ππ
πnn
n
[ ] 0para))1(12≠−−= n
nn
π
⎩⎨⎧
<<<<−−
=2
2
0101
)(T
T
tparatpara
tf
39
Finalmente, la serie de Fourier queda como
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para ω0 = π (ω0
= 2π/Τ), es decir, T = 2:
[ ]
( )∑∞
=
−−
=
+++=
10
051
031
0
))12(12
14)(
...)5()3()(4)(
ntnsen
ntf
tsentsentsentf
ωπ
ωωωπ
40
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Componentes de la Serie de Fourier
t
Co
mp
on
ente
s
Sumafundamentaltercer armónicoquinto armónicoséptimo armónico
[ ]...)5()3()(4)( 051
031
0 +++= tsentsentsentf ωωωπ
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
41
Nota:Para expresarse como serie de Fourier
f(t),
no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad
de las funciones seno y
coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:
de t0
a t0 + T, con t0
arbitrario,
con el mismo resultado.
42
Habíamos calculado los coeficientes para:
⎩⎨⎧
<≤−<≤
=TtTpara
Ttparatf
2/12/01
)(
⎩⎨⎧
<<<<−−
=2/0102/1
)(TtparatTpara
tf
Si los calculamos para la misma función desplazadatienen que ser los mismos:
1f(t)
t. . . -T/2
0 T/2 T . . .
-1
1f(t)
t. . . -T/2
0 T/2 T . . .
-1
Repite los cálculos y compruébalo.
43
De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la función, será
lo
mismo:
1f(t)
t
. . . t0 t0 +T . . .-1
∫∫∫∫ ====+
− TT
Tt
tT
T
T
T
TT dttfdttfdttfdttfa )()()()( 22
0
22/
2/
10
0
0
∫∫ ===− T
T
T
TTn dttntfdttntfa )cos()(...)cos()( 0
22/
2/0
2 ωω
∫∫ ===− T
T
T
TTn dttnsentfdttnsentfb )()(...)()( 0
22/
2/0
2 ωω
44
Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para
2)( ttf −
=π
la función con la que empezamos el tema. O sea, demostrar que Euler
tenía razón.
45)3cos(1)()cos(1)(
definitivaen
todopara 0)())3cos(1(3)()(2
1 si ,01 si ,1
)cos())3cos(1(3)cos()(2
2))3cos(1(3)(2
01
01
32
000
32
000
32
00
ttnsenbtnatf
ndttnsentdttnsentfT
b
nn
dttntdttntfT
a
dttdttfT
a
nn
nn
Tn
Tn
T
+=++=
=+==
⎩⎨⎧
≠=
=+==
=+==
∑∑
∫∫
∫∫
∫∫
∞
=
∞
=
ωω
ωπ
ω
ωπ
ω
π
π
π
π
32 periodo de )3cos(1)( π
=+= Tttf
Calcula la serie de Fourier de la función periódica:
La serie es la propia función...
46
Nota:
a partir de ahora entenderemos que f(t)
está definida sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al intervalo de definición. En muchos libros se habla de extender de forma par o impar una función. La serie de Fourier
extenderá periódicamente los patrones siguientes:
t
t
Extensión par
Extensión impar
47
Funciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si
f(t) = f(-t)
π 2π
f(t)
t−π −2π
48
En forma similar, una función f(t) se dice función impar (o con simetría impar), si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente:
-f(t) = f(-t)
π 2π
f(t)
t−π −2π
49
Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t + 1/t ,g(t) = 1/(t2+1).
Solución:Como f(-t) = -t -
1/t = -
f(t),
por lo tanto f(t)
es
función impar.Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t),
por
lo tanto g(t)
es función par.
50
Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t2)
es par o impar? (f
es una función arbitraria).
Solución:Sea g(t) = 1 + t2. Entonces h(t) = f(g(t)).Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)).Pero g(-t) = 1+(-t)2
= 1 + t2 = g(t),
finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que h(t) es función par, sin importar como sea f(t).
51
Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las funciones siguientes son pares:
h(t) = sen (1+t2)h(t) = exp(1+t2) + 5/ (1+t2)h(t) = cos (2+t2) + 1h(t) = (10+t2) -
(1+t2)1/2
etc...Ya que todas tienen la forma f(1+t2).
52
•
Si
f (x)
es
par:
∫=a
dxxf0
)(2∫−
a
a
dxxf )(
∫a
dxxf0
)(
a-a
∫−
a
a
dxxf )(
53
•
Si
f (x)
es
impar:
0=∫−
a
a
dxxf )(
a-a
∫−
a
a
dxxf )(
54
Como la función sen(nω0
t)
es una función impar
para todo n y la función cos(nω0
t)
es una función par
para todo n, es de esperar
que:
•
Si f(t)
es par, su serie de Fourier no contendrá
términos seno, por lo tanto
bn
= 0 para todo n.
•
Si f(t)
es impar, su serie de Fourier no contendrá
términos coseno, por lo tanto
an
= 0 para todo n.
55
Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado:
Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:
1f(t)
t. . . -T/2
0 T/2 T . . .
-1
[ ]...)5()3()(4)( 051
031
0 +++= tsentsentsentf ωωωπ
56
P2. Septiembre 2005
a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier
de las funciones
ππ ≤≤−== xxxgxxf en cos)(y sin)(
Respuesta.
[ ]∑∞
=
++=1
0 )sin()cos(2
)(n
nn nxbnxaaxf
f(x) = |sen(x)|, x є
[-π,π], 2π
periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn
= 0
57
[ ]
[ ]1)1cos(1
21
)1sin()1sin(1
)cos(sin2)cos()(1
2
0
0
−−−
=
=−++=
===
∫
∫∫−
ππ
π
πππ
ππ
π
nn
dxxnxn
dxnxxdxnxxfan
imparn ,0 par;n ,)1(
4 ;420 =
−−
== nn an
aaππ
58
14)2cos(42sin 2
1 −−= ∑
∞
= nnxx
n ππ
f(x) = |cos(x)|, x є
[-π,π], 2π
periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn
= 0
[ ]∫
∫∫
−++=
===−
2/
0
2/
0
)1cos()1cos(2
)cos(cos4)cos()(1
π
ππ
π
π
ππ
dxxnxn
dxnxxdxnxxgan
59
imparn ,0 par;n ,)1(
4 ;420 =
−±
== nn an
aaππ
14)2cos()1(42cos 2
1 −−
−= ∑∞
= nnxx
n
n ππ
60
Onda triangular (Triangle Wave)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++− 222 5
5cos3
3cos1
cos42
xxxπ
π
61
Right Triangular Wave
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
33sin
22sin
1sin2 xxx
62
Saw Tooth Wave
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−
33sin
22sin
1sin2 xxxπ
63
Ejercicio: demostrar que la serie de Fourier para
ππα <<−= tttf ),cos()(
con periodo T = 2π
(frecuencia fundamental ω0
= 1) y α
un número real no entero, es:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+= ∑
∞
=
)cos()1(21)()cos(1
22 tnn
sentn
n
αα
αππαα
64
Observa que si tomamos t = 0 entonces:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+= ∑
∞
=
)cos()1(21)()cos(1
22 tnn
sentn
n
αα
αππαα
y con α
= 1/2.
∑∞
= −−
+=1
22
)1(21)( n
n
nsen αα
απαπ
∑∑∞
=
∞
= −−
+=−
−+=
12
122 41
)1(42)2/1(
)1(2n
n
n
n
nnπ
ππ <<− t
65
O que si tomamos t = π
entonces:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+= ∑
∞
=
)cos()1(21)()cos(1
22 tnn
sentn
n
αα
αππαα
ππ <<− t
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+= ∑∞
=122
121)()cos(n n
senα
ααπ
παπα
nt )1()cos( −=π
∑∞
= −+=
122
121)tan( n nα
ααπα
π
¿Es correcto el resultado?
66
Que la integral traspase los sumatorios
en la deducción de las fórmulas para los coeficientes de la serie de Fourier, equivale a asumir que la serie converge uniformemente... Recordemos qué es convergencia uniforme.
Sea la serie infinita:
y definamos sus sumas parciales como:
Convergencia uniforme
∑∞
=
=1
)()(n
n xuxS
∑=
=k
nnk xuxS
1)()(
67
Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si ∀ε
> 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.:
NkxfxSk ><− quesiempre)()( ε
Observemos que en general N dependerá de ε
y del punto x (convergencia puntual).Si N solo depende de ε, pero no de x, decimos quela convergencia es uniforme.
Que la serie sea uniformemente convergente es "bueno" porque:
68
(1) Si cada término un
(x)
de una serie es continuo en (a, b)
y la serie es uniformemente
convergente a f(x), entonces:
(a) f(x)
es también continua en (a, b).
(b) ∑∫∫ ∑∞
=
∞
=
=11
)()(n
b
a n
b
an
n dxxudxxu
(2) Si cada término un
(x)
de una serie posee derivada en (a, b)
y la serie derivada es
uniformemente convergente, entonces:
∑∑∞
=
∞
=
=11
)()(n
nn
n xudxdxu
dxd
69
¿Cómo probar la convergencia uniforme de una serie?
(1) Encontrar una expresión "cerrada" para Sk
(x)
y aplicar la definición o
(2) utilizar la prueba M de Weierstrass:
Si existe {Mn
}n
= 1, 2,...
tq. |un
(x)| ≤ Mn
y además
∑∑∞
=
∞
=
⇒11
nteuniformemeconverge)(convergen
nn
n xuM
70
nteuniformemeconverge6
1
1)(1
),(en)()(
2
12
222
12
Sn
nnnxsen
nM
nnxsenxS
n
n
n
⇒=
≤⇒=
−=
∑
∑
∞
=
∞
=
π
ππ
Ejemplo:
71
Condiciones de Dirichlet
Condiciones de convergencia de la serie de Fourier de f(x), suficientes pero no necesarias.
(1) f(x)
tiene un número finito de discontinuidades en un periodo.
(2) f(x)
tiene un número finito de máximos y mínimos en un periodo.
(3) ∞<∫T
dxxf )(
72
Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier converge a f(x)
si x
es un punto
de continuidad y a:
si x
es un punto de discontinuidad.
( ))()(21 −+ + xfxf
73
⎩⎨⎧
<≤−<<−
=ππ
πxxx
xf0,
0,0)(
221
)(01
)(22
2
0
2
0
0
0
πππ
ππ
π
π
π
π
π
π
π
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+=
=
=
∫∫
∫
−
−
xx
dxxdx
dxxfa
T
Desarrollaen serie de Fourier:
74
πππ
ππ
π
πππ
ππ
π
π
π
π
π
22
00
0
0
0
)1(11cos
cos1sin1sin)(1
cos)(01cos)(1
nnn
nnx
ndxnx
nnnxx
dxnxxdxdxnxxfa
n
n
−−=
+−=
−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+==
∫
∫∫∫ −−
nnxdxxbn
1sin)(10
=−= ∫π
ππ
∑∞
= ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−−
+=1
2 sin1cos)1(14
)(n
n
nxn
nxn
xfπ
π
75
La función f es
continua en (−π, π) excepto en x = 0. Así
su serie de Fourier
converge en x = 0 a:
La serie es una extensión periódica de la función f. Las discontinuidades en x = 0, ±2π, ±4π, …
convergen a:
22)0()0( π
=−++ ff
Y las discontinuidades en x
= ±π, ±3π, …
convergen a:
220
2)0()0( ππ
=+
=−++ ff
02
)0()(=
−++ ff π
76
xxxSxxSS 2sin21sincos2
4,sincos2
4 ,
4 321 +++=++==π
ππ
ππ
Secuencia de sumas parciales y su representación gráfica
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
Ejercicio de examen:
Obtener el desarrollo en serie de Fourier
de la función
[ ]1,0 ,1)( 2 ∈−= tttf
de modo que converja uniformemente a f(t) en [0,1].
Respuesta.
Para que el desarrollo de Fourier
se pueda definir debe ser 2L- periódica.
Para que converja uniformemente, se debe extender f(t) a de
modo que: 1. sea continua en [-L,L].
2. sea continua a trozos en [-L,L].
)(~ tf)(~ tf
)(~ tf ′
98
La continuidad se consigue con la extensión par de f (f´
= -2t es continua en [-L,L] ) con L = 1.
Re (z)
Im (z)
parfunción ser por 0
sincos2
)(~1
0
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+= ∑
∞
=
n
nnn
b
tLnbt
Lnaatf ππ
1-1
99
34
322)1(2)1(
)()1(4
)cos()1(2)cos()1(
1
0
21
1
20
2
1
0
21
1par ~
2
==−=−=
−−=
=−=−=
∫∫
∫∫
−
−
dttdtta
n
dttntdttnta
n
fn
π
ππ
( )tnn
tfn
n
ππ
cos)1(432)(~
122 ∑
∞
=
−−=
[ ]==
∈ 1,0)(~)(
ttftf
100
P2. Septiembre 2006
a)
(4 puntos)
1.
Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función
f(x) = x2
-π ≤ x ≤ π, con f(x) = f(x
+ 2π)
2.
Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a f(x) en [-π,π]
3.
Basándose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la serie numérica
4.
A partir del desarrollo de Fourier de la función f(x), obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función
g(x) = x(x2
–
π2) -π ≤ x ≤ π, con g(x) = g(x
+ 2π)
∑∞
=14
1k k
101
Respuesta.
1.
f(x) = x2, x є
[-π,π], 2π
periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn
= 0:
===
==
+=
∫∫
∫
∑
−
∞
=
ππ
π
π
ππ
ππ
0
22
2
0
20
1
0
)cos(2)cos(1322
)cos(2
)(
dxnxxdxnxxa
dxxa
nxaaxf
n
nn
102
n
n
nxn
nxxn
nxxn
)1(22
)sin(2)cos(2)sin(12
2
03
02
0
2
−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+=
ππ
π
πππ
)cos()1(43
)(1
2
2
nxn
xfn
n
∑∞
=
−+=
π
nn n
a )1(42 −=
103
[ ]( ) uniforme iaconvergenchay
,-en continua ,-en continua
⎭⎬⎫
′ ππππ
ff
[ ] ( )
5522
1
22202
52
51)(
2)(1
π
ππ
π
π
π
π
π
==
++=
−−
∞
=−
∫
∑∫
xdxx
baadxxfn
nn
2.
3. Por convergencia uniforme, se aplica la identidad de Parseval:
104
∑∞
=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
14
224 116
21
32
52
n nππ
901 2
14
π=∑
∞
=n n
4. ( ) [ ]
)cos()1(12)(33)(
periódica 2 ,, ,)(
12
22
22
nxn
xfxxg
xxxxg
n
n
∑∞
=
−=−=−=′
−∈−=
ππ
ππππ
)sin()1(12)( :uniforme iaconvergencPor 1
3 nxn
xgn
n
∑∞
=
−=
105
Fenómeno de Gibbs
Si la serie de Fourier para una función f(t)
se trunca para lograr una aproximación en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos más armónicos, el sumatorio
se aproximará más a f(t).
Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t),
en donde el error de la suma finita no
tiende a cero a medida que agregamos armónicos.
Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u onda cuadrada:
[ ]...)5()3()(4)( 051
031
0 +++= tsentsentsentf ωωωπ
106-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 1 arm ónico
[ ])(4)( 0tsentf ωπ
=
107-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 3 arm ónicos
[ ])5()3()(4)( 051
031
0 tsentsentsentf ωωωπ
++=
108-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 5 arm ónicos
109-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 7 arm ónicos
110-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 13 arm ónicos
111
Fenómeno de Fenómeno de GibbsGibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 50 arm ónicos
112
Fenómeno de Fenómeno de GibbsGibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 100 arm ónicos
113
114
Forma compleja de la serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t),
con periodo T = 2π/ω0
.
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:
])()cos([)(1
00021 ∑
∞
=
++=n
nn tnsenbtnaatf ωω
)()(
)()cos(00
00
21
0
21
0
tintini
tintin
eetnsen
eetnωω
ωω
ω
ω−
−
−=
+=
115
Sustituyendo:
Y usando el hecho de que 1/i = -i:
Y definiendo:
])()([)(1
21
21
021 0000∑
∞
=
−− −+++=n
tintinin
tintinn eebeeaatf ωωωω
])()([)(1
21
21
021 00∑
∞
=
−++−+=n
tinnn
tinnn eibaeibaatf ωω
)(),(, 21
21
021
0 nnnnnn ibacibacac +≡−≡≡ −
∑∞
−∞=
=n
tinnectf 0)( ω
T2 0πω =
116
A la expresión obtenida
se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn
pueden obtenerse a partir de los coeficientes an
, bn
como ya se dijo, o bien:
Para n = 0, ±1, ±2, ±3, ...Demostrarlo.
∫ −=T
tinTn dtetfc
0
1 0)( ω
∑∞
−∞=
=n
tinnectf 0)( ω
¿Forma { }∞
−∞=ntine 0ω
un conjunto ortogonal?
117
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:
Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an
y bn
), que eran an
= 0 para todo n
y
1f(t)
t. . . -T/2
0 T/2 T . . .
-1
ntodoparan
b nn ])1(1[2
−−=π
118
Podemos calcular los coeficientes cn
:
Entonces la serie compleja de Fourier queda:
])1(1[][ 221
21 n
nnnn iibac −−−=−= π
])1(1[1 nnn ic −−−= π
...)
(...)(000
000
5513
31
3315
512
−−−−
+++= −−−
tititi
tititi
eee
eeeitfωωω
ωωωπ
119
Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn
mediante la integral:
∫ −=T
tinTn dtetfc
0
1 0)( ω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+= ∫∫ −−
T
T
tinT
tin dtedteT 2/
2/
0
001 ωω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= −
−−
−2/
1
0
2/1 00
1
T
Ttin
in
Ttin
in eeT oo
ωω
ωω
[ ])()1(1 2/2/ 000 TinTinTin
o
eeeTin
ωωω
ω−−− −−−
−=
120
Como ω0
T = 2π
y además:
que coincide con el resultado ya obtenido.
θθθ isene i ±=± cos
)])1(1()1)1[(1 nnTinn o
c −−−−−= − ω
])1(1[2 nTn o
i −−−= ω
])1(1[1 nni −−−= π
121
⎩⎨⎧
<≤<≤−
=10 , 101 , 0
)(xx
xH
Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:
( ) ∑∞
−∞=
=n
xinn ecxH π
1
0
1
0
1
1
121
21)(
21
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
=== −−
−
− ∫∫ eindxedxxHec xinxinxin
nπππ
π
[ ] [ ]
[ ]⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−
=−−=−= −
imparesnsin
iparesnsi
nni
nisennni
enic in
n
;
; 01)cos(
2
1)()cos(2
121
ππ
π
ππππ
π
n ≠ 0
122
al =1
2− iπlxe H(x)dx
−1
1
∫0-iπ0x
=1
2dx
0
1
∫ =1
2⎪⎩
⎪⎨⎧
−= imparesnsin
iparesnsi
cn ;
; 0
π;
21
0 =c
n impar
( ) ∑∑∞
−∞=≠
∞
−∞=
−+==
n
xin
n
xinn e
niecxH
0
21 ππ
π
( )∑>
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−
+=0
)()cos(Re221)(
n nxnisenxnixH ππ
πn impar
∑>
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
+=0
Re2 21
n
xinen
i π
πn impar
( ) ∑>
+=0
)(221
n nxnsenxH π
πn impar
123
124
125
126
La función impulso o delta de Dirac
Se trata de una "función generalizada". Podemos pensar en la delta de Dirac
como el límite de una serie de funciones:
if 0( )
0 if 0t
tt
δ∞ =⎧
≡ ⎨ ≠⎩
t
f1
(t)
f2
(t)
f3
(t)
δ(t)
t
δ(t)
2)(mtm em (t) f −=
π
127
Propiedades de la función δ
( ) 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
exp( ) 2 (
exp[ ( ') ] 2 ( '
t dt
t a f t dt t a f a dt f a
i t dt
i t dt
δ
δ δ
ω π δ ω
ω ω π δ ω ω
∞
−∞
∞ ∞
−∞ −∞
∞
−∞
∞
−∞
=
− = − =
± = )
± − = − )
∫
∫ ∫
∫
∫
t
δ(t)
128
Calcular la serie de Fourier de δ(x):
( ) ∑∞
−∞=
=n
nxin ecx πδ
21)(
21 1
1
==→ ∫−
− dxxec xinn δπ
( )
∑
∑∑
>
>
−∞
−∞=
+=
++==
0
0
)cos( 21
)( 21
21
21
n
n
xinxin
n
xin
xn
eeex
π
δ πππ
δ x( ) ∑>
+=0
)cos( 21
nxnπ
129
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
130
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
131
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
132
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
133
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
134
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
135
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
136
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
137
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
138
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
139
Los coeficientes cn
son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar:
Observemos que,
Donde
,para todo n ≠ 0.
Y para n = 0, c0
es un número real:
ninn ecc φ=
ninnn eccc φ−
− == *
2221
nnn bac += ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
n
nn a
barctanφ
021
0 ac =
140
Espectros de frecuencia discreta
Dada una función periódica f(t),
le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes cn
.
Por ello, los coeficientes cn
especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t)
especifica la función
en el
dominio del tiempo.
141
Espectros de frecuencia discreta
Ejemplo. Para la función ya analizada:
Encontramos que:
Por lo tanto:
1f(t)
t. . . -T/2
0 T/2 T . . .
-1
])1(1[1 nnn ic −−−= π
])1(1[1 nn n
c −−=π
142
A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn
contra la frecuencia angular ω
de la componente correspondiente se le
llama el espectro de amplitud de f(t).
A la gráfica del ángulo de fase φn
de los coeficientes cn
contra ω, se le llama el espectro de fase de f(t).
Como n
sólo toma valores enteros, la frecuencia angular ω = nω0
es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.
143
El espectro de amplitud se muestra a continuación
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n = número de armónico = múltiplo de ω0
).
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 Espectro de Amplitud de f(t)
n
⏐Cn
⏐
Frecuencia negativa (?) Frecuencia
144
El espectro de magnitud de una f(t) real, es una función PAR por lo que la gráfica para n ≥
0
contiene toda la información acerca de f(t) y se le conoce como espectro unilateral de magnitud.
El espectro de fase de una f(t) real, es una función IMPAR por lo que la gráfica para n ≥
0
contiene toda la información acerca de f(t) y se le conoce como espectro unilateral de fase.
145
Podemos expresar de una manera ligeramente diferente la serie de Fourier. Cada par de términos:
an
cos(nω0
t) + bn
sen(nω0
t)
se pueden expresar como:
Donde lo único que hemos hecho es multiplicar y dividir por:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++ )()cos( 022022
22 tnsenba
btnba
abann
n
nn
nnn ωω
22nn ba +
146
Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en función del coseno:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=+
=+
n
nn
n
n
nn
n
senba
bba
a
θ
θ
22
22cos
an
bn
22nnn baC +=
θn
[ ])()cos(cos 00 tnsensentnC nnn ωθωθ +
)cos( 0 nn tnC θω −=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++ )()cos( 022022
22 tnsenba
btnba
abann
n
nn
nnn ωω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
n
nn a
barctanθ
147
Si además definimos C0 = a0
/2, la serie de Fourier se puede escribir como:
Con:
∑∞
=
−+=1
00 )cos()(n
nn tnCCtf θω
22nnn baC += ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
n
nn a
barctanθ
Ejercicio: Definir adecuadamente los coeficientes C0
, Cn
y θn
, de manera que la serie de Fourier pueda escribirse como:
∑∞
=
++=1
00 )()(n
nn tnsenCCtf θω
148
Componentes y armónicosHemos visto que, bajo ciertas condiciones, una función f(t) puede escribirse como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias: ωn
= nω0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nω0
: cn
cos(nω0
t + θn
)
se le llama el enésimo armónico de f(t).
Al primer armónico (n = 1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t).
A la frecuencia ω0
= 2π f0 = 2π / T
se le llama frecuencia angular fundamental.
149
Ejemplo: La función Como vimos, tiene un periodo T = 24π, por lo tanto su frecuencia fundamental
es ω0 = 2π/Τ =
1/12 rad/s.
O como ω0
= 2πf0, f0 = 1/Τ = 1/ 24π Hz.Su
componente fundamental (n = 1) será:
c0 cos(ω0
t + θ0
) = 0 cos(t/12).
Tercer armónico:cos(3t/12) = cos(t/4)Cuarto armónico:cos(4t/12) = cos(t/3)
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24π
)()(f(t) tt43 coscos +=
150).( de serieen desarrollo delfunción es queFourier de serie unapor
darepresenta estáy periódica es también )(' ia,consecuencen
por dados vienen escoeficient los donde
)('
)()('
: a respecto )( Derivando
)(
:siguienteFourier de compleja serie la de sen término expresada T periodocon periódica señal una )( Sea
0
0
0
0
0
tftf
cindd
edtf
ecintfdtdtf
ttf
ectf
tf
nn
n
n
tinn
n
tinn
n
tinn
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
==
=
∑
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
151
5 10-5-10
20T0
= 10
f(t)
t
f(t) = 4t -
20
5 10-5-10
4
T0
= 10f '(t)
t-4
510
-5-10
8
T0
= 10f ''(t)
t-8
Ejercicio:
152
Potencia y Teorema de Parseval
El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t)
en un periodo dado T
se
puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la curva de f(t)
1f(t)
t
h = Alturapromedio
∫=T
0
dt)t(fArea
T
Area = T h
153
De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t)
representa una señal de voltaje
o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm
en un periodo está
dada por:
Si f(t)
es periódica, también lo será
[f(t)]2
y el promedio en un periodo será
el promedio en
cualquier otro periodo.
∫−
2/
2/
21 )]([T
TT dttf
154
El teorema de Parseval
nos permite calcular la integral de [f(t)]2
mediante los coeficientes
complejos cn
de Fourier de la función periódica f(t):
O bien, en términos de los coeficientes an
, bn
:
∑∫∞
−∞=−
=n
n
T
TT cdttf 2
2/
2/
21 )]([
∑∫∞
=−
++=1
22212
041
2/
2/
21 )()]([n
nn
T
TT baadttf
155
Teorema o identidad de Parseval
∑∫∞
=−
++=1
2220
2/
2/
2 )(21
41)]([1
nnn
T
T
baadttfT
( )∑
∫ ∫∑∫∑
∫ ∑∫
∞
=
− −
∞
=−
∞
=
−
∞
=−
++
=++
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++=
1
2220
2/
2/0
2/
2/10
2/
2/1
0
2/
2/ 10002
112/
2/
1
21
4
)()()cos()()(
])()cos([)()()(
nnn
T
T
T
Tn
nT
Tn
n
T
T nnnT
T
TT
baa
dttnsentfTbdttntf
Tadttf
Ta
dttnsenbtnaatfdttftf
ωω
ωω
])()cos([)(1
00021 ∑
∞
=
++=n
nn tnsenbtnaatf ωω
156
Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la función f(t):
Solución. Del teorema de Parseval
y del ejemplo anterior
sustituyendo
1f(t)
t. . . -T/2
0 T/2 T . . .
-1
∑∫∞
−∞=−
=n
n
T
TT Cdttf 2
2/
2/
21 )]([
])1(1[1 nnnc −−= π
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++=∑
∞
−∞=
...491
251
9118
22
πnnc
157
La serie numérica obtenida converge a
Por lo tanto,
Como era de esperar.
2337.1...491
251
911 =++++
1)2337.1(8)]([ 22
2/
2/
21 === ∑∫∞
−∞=− πnn
T
TT cdttf
158
a) Sean , con y la función:
1. Calcúlese la serie de Fourier de f.2. Obténgase la identidad de Parseval en este caso y a partir de
ella calcule el valor de la serie:
3. ¿Converge la serie de Fourier de f puntualmente a f(0) en x=0?
ℜ∈21, cc 21 cc ≠[ )[ ]⎩
⎨⎧
∈−∈
=ππ,0,
0,,)(
2
1
xcxc
xf
( )∑∞
= −1212
1n n
π-π
c1
c2
159
( )
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )∑
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
∞
=
−
−
−
−
−−−
++
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−
=→−=
=→=⇒
⇒−−−
=−−
=
=−
−=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
=−+
=
=+
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
+=+
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +=
1
1221
1212
2
2121
021
0201
21
021
0201
2121
0 2
0
10
1212
22
)(
12212
02
110coscos
)()()(
00
coscoscos
1
k
k
k
n
n
n
xksenk
ccccxf
kccbkn
bknn
ccnn
cc
dxnxsenccdxnxsencdxnxsencb
sennsenn
cc
nxdxccnxdxcnxdxca
ccccdxcdxca
ππ
π
ππ
π
πππ
ππ
πππ
ππ
π
ππ
π
ππ
π
π
π
1.
160
2. ( )( )
( )
[ ]
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) 812
112
142
12142
2
,en ortonormal es )(,cos,21 Como
1212
12212
2)(
2
12
12
2212
221
12
221
21222
12
2
1
1221
ππ
πππ
πππππ
πππππ
π
π
=−
⇒−
−=−
⇒
⇒−
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
==+⇒
⇒−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−
−+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
∑∑
∑∫
∑
∞
=
∞
=
∞
=−
∞
=
kk
k
k
kkcccc
kccccdxxfcc
nxsennx
xksenk
ccccxf
3. ( )( ) ( )
2 generalen y
2012
122
2y )0( que Puesto No.
212
21
1
12212
ccc
ccksenk
cccccfk
+≠
+=−
−−
++
= ∑∞
= ππ
f es continua a trozosy tiene derivadas laterales
161
a) A partir de la serie de Fourier de la función definida en el intervalo : determinar los valores de las series:
1. 2.
xxf =)(
( )( )( )∑
∞
=
−−
−+=
12 12cos
124
2)(
n
xnn
xfπ
π[ ]ππ ,−
( ) ( )∑∑∞
=
∞
= −− 14
12 12
1 12
1nn nn
1.
( )( )( )
( )
( ) 842
121
1214
20
012cos12
42
0
:0f(0)0,xparaizandoParticular
2
12
12
12
π
π
ππ
ππ
π
=−
−=
−⇒
⇒−
−=⇒
⇒−−
−+=
==
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
n
n
n
n
n
nn
162
2.
( )
( )
( )
( )
( ) 96121
12116
2321
1216
21
:0,12
4,,)( doSustituyen
2)(1
:ParsevaldeidentidadlaAplicando
4
14
142
23
142
22
20
1
222
02
π
πππ
π
ππ
π
ππ
π
π
π
π
π
=−
⇒
⇒−
+=⇒
⇒−
+=
=−
−===
++=
∑
∑
∑∫
∑∫
∞
=
∞
=
∞
=−
∞
=−
n
n
n
nn
nnn
n
n
ndxx
bn
aaxxf
baadxxf