APPUNTI DI ANALISI PRATICA

ossia

Tutto quello che si deve sapere per affrontare con gioia l’esame di Analisi I

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Graphics by D.no1

Schema per i numeri complessi

Forme tipiche Forma cartesiana Z = A + iB

Forma polare Z = r [ cosθ + i sinθ ]

Forma esponenziale Z = r e iθ

• r = |Z|• x = r cosθ• y = r sinθ

Complesso coniugato = A - iB

e iθ = cosθ + i sinθ

1 2 3 4 5 6 7 8

θ

A, x

B, yr

Interpretazione grafica dei complessi2

Possibili calcoli Modulo = √ (a2 + b2 )

Operazioni tra complessi in forma trigonometrica

• Zⁿ = rⁿ [ cos(nθ) + i sin(nθ) De Moivre

• ZZ’ = rr’ [ cos(θ+θ’) + i sin(θ+θ’) ]

• Z/Z’ = r/r’ [ cos(θ-θ’) + i sin(θ-θ’) ]

• Coniugato = r [ cosθ - i sinθ ]

• 1/Z = 1/r [ cosθ - i sinθ ]

• Zⁿ = rⁿ e i (nθ)

• ZZ’ = rr’ e i(θ + θ’)

• ⁿ√z = ⁿ√(r) e (θ + 2kπ)i/n con 0 < k < (n-1)

Operazioni tra complessi in forma esponenziale

Schema per i numeri complessi – Possibili calcoli

3

4

Schema per le successioni

Gli esercizi sulle successioni consistono tutti nella risoluzione del limite della successione stessa con x che tende a infinito o calcolo della parte principale, per questo motivo il rimando è al capitolo riguardante la soluzione dei limiti delle funzioni.

Schema risolutivo delle serie – Possibili quesiti

Quesiti1.Calcolare la somma S delle serie2.Discutere la convergenza o divergenza delle serie3.Discutere la convergenza delle serie a segni alterni4.Serie di potenze

Somma S Serie telescopica

Serie geometrica

Scrivo la serie in forma più semplificata possibile, faccio lo sviluppo per n=1, 2, 3, 4, … fino a Sn. Infine faccio il Lim di Sn per n che tende a infinito.

La somma vale 1/(1-x) se l’indice parte da 0 La somma vale x/(1-x) se l’indice parte da 1

Convergenza della serie Lim della serie con n che tende a infinito

è diverso da 0 La serie diverge sicuramente

è uguale a 0 Se ho qualcosa alla n-esima uso il criterio della radice

Se ho qualcosa a numeratore una costante o somma di addendi o quantità limitata (es: sin, cos) uso il confronto

Se ho un rapporto tra polinomi uso il confronto asintotico

Convergenza della serie a segni alterni [(-1)^n * an]

Convergenza assoluta e se non funziona

LeibnizSe non so che pesci pigliare uso il criterio del rapporto 5

Schema risolutivo delle serie – Possibili quesiti

Serie di potenze

Determinare raggio di convergenza R

Definire l’ insieme di convergenza A (-R, R) ma si deve studiare la convergenza agli estremi

Utilizzo il criterio della radice tendenzialmente se ci sono termini elevati a n

Utilizzo il criterio del rapporto negli altri casi

Sostituisco alla x della serie i valori R e–R e vado a studiare nei due casi utilizzando i varimaetodi

Se la serie converge allora qell’ estremo è compreso in A

Se la serie non converge allora qell’ estremo non è compreso in A

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Schema risolutivo delle serie – Analisi dei metodi risolutivi

Criterio del rapporto

Criterio della radice

Criterio del confronto

Criterio del confronto asinotico

Criterio di Leibniz

Criterio di convergenza assoluta

Confronto la serie data A con una di andamento noto B e in particolare

Se A < B e B converge allora A convergeSe A > B e B diverge allora anche A diverge

Per confronto usa il fatto che • La serie armonica 1/na

•Converge a > 1•Diverge 0 < a < 1

• La serie esponenziale !/n! converge• La serie 1/logn diverge

Applico il criterio del confronto ma con la serie data fatta tendere all’infinito (in pratica tengo conto solo della pp)

Faccio il Lim per n che tende a infinito della radice n-esima della mia serie

• se l > 1 diverge• se l < 1 converge • se l = 1 non si può dire nulla

Faccio il Lim per n che tende a infinito del rapporto tra la mia serie con n+1 e la mia serie di partenza

Se la serie con il valore assoluto converge allora anche la serie di partenza converge

Devono essere verificate le due condizioni affinché la serie converga

Lim della serie per n che tende a infinito sia uguale a 0

La serie con n+1 deve essere minore della serie data 7

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Limiti e relativo calcolo

Operazioni con i limiti

Forme indeterminate

Calcolo dei limiti

Confronto o doppio confronto

Infinitesimo * Limitato = Infinitesimo

Riporto a limiti fondamentali

Cambio di variabile

O – piccoli ed equivalente

Calcolo della parte principale O – piccoli

Asintoti obliqui

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Limiti fondamentali

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Limiti fondamentali - continua

Per quanto riguarda i limiti frazionari se non sono polinomi considera questa successione e ricorda che per lim che tende a infinito un qualcosa fratto infinito è 0 e infinito fratto qualcosa è infinito

NB: nella successione precedente non è stato inserito x!, in tutti i casi è sempre maggiore di tutto quindi “vince sempre”

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O- piccoli ed equivalente

Questa definizione di o-piccolo è stata trovata su un forum in internet, non è “cattedratica” ma abbastanza chiara:

“In pratica l'o piccolo e' un infinitesimo di ordine superiore. Se io ti scrivo o(x^n) vuol dire che sto indicando una funzione che per x--->0 va a zero piu' rapidamente di quanto lo faccia l'argomento dell'o-piccolo ossia x^n

come definizione puoi usare questa che piu' che una definizione e' una proprieta' dell'o piccolo

lim (x--->0) di o(funzione infinitesima)/funzione infinitesima = 0

per esempiox^2 e' un o piccolo di x nel senso che va piu‘ rapidamente a zero di x x e' un o piccolo di x^(1/2) e cosi' via…”

• sinx = x + o(x)• e^x = 1 + x + o(x)• log(1+x) = x + o(x)• cosx = 1 – ½ x^2 + o (x^2)• (1+x)^a = 1 + ax + o(x)• shx = x + o(x)• chx = 1 + ½ x^2 + o (x^2)

NB: l’equivalente è la parte dopo l’ = solo con le x (a qualunque esponente) senza o-piccolo

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Algebra degli O- piccoli

ATTENZIONE!!!

Nel calcolo di una funzione con l’o-piccolo ricorda che vale il principio di eliminazione dei termini trascurabili ossia f(x) + o(f(x)) = f(x)

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Calcolo della parte principale

Per x 0 trascuro le potenze di x con esponente più alto

Per x ∞ trascuro le potenze di x con esponente più basso

La parte principale di un prodotto è il prodotto delle parti principali

La parte principale di una somma NON è la somma delle parti principali

La funzione è semplificabile con l’aiuto degli o-piccoli (anche non necessariamente fermandosi allo sviluppo al primo ordine della funzione)?

Semplifico

Scrivo solo la parte di funzione senza gli o-piccolo, quella è la parte principale nella forma Kxⁿ

si

no

Start

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Asintoti obliqui

Verifico che lim x +∞ f(x) = ±∞

Verifico che lim x +∞ f(x)/x = a є R – { 0 }

Verifico che lim x +∞ (f(x) – ax) = b є R

L’asintoto obliquo è la retta y = ax + b

Verifico con gli sviluppi che f(x) si può scrivere come f(x) = ax + b + o(1)

Se f è pari y = ax + b è asintoto obliquo destro mentre y = -ax + b è asintoto obliquo sinistro

Se f è dispari y = ax + b è asintoto obliquo destro mentre y = ax - b è asintoto obliquo sinistro