Post on 14-Jun-2015
Na Rota da DerivadaTaxa Média de Variação e Taxa de
Variação
Pierre de Fermat (1601-1665)
chegou ao conceito de derivada
na resolução de um problema
relacionado com tangentes a
curvas.
O corpo de raio r roda sobre a curva C’ e a curva C
descreve a trajectória do centro do corpo.
O ângulo θ mede a inclinação da recta tangente a curva C’ em P.
Isaac Newton (1642-1727)
chegou ao conceito de derivada
na determinação da
velocidade instantânea.
1. Nota HistóricaFermat e Newton, com o objectivo de resolverem dois problemas diferentes, chegaram um
dos mais importantes conceitos da matemática: o conceito de Derivada.
Fermat colocou a questão:
“Como determinar o declive de uma recta tangente a uma curva?”
A recta a tem com a curva dois pontos comuns e é tangente à curva.
A recta c tem com a curva um só ponto comum e não é tangente à curva.
Como definir então a tangente a uma curva?
Fermat pretendia determinar o declive de uma recta tangente a um ponto qualquer de
uma curva. Para isso, considerou um ponto P de uma curva e uma secante PQ.
Concluiu que o declive da recta tangente à curva
podia ser calculado como
o limite do declive da secante PQ
quando o ponto Q, percorrendo a curva,
se aproxima de P (Q1, Q2, Q3,…)
Se P é um ponto fixo e que um ponto se aproxima de P
ocupando as posições sucessivas Q1, Q2, Q3,…, as
secantes terão as posições dadas por PQ1, PQ2, PQ3,…
e os declives dessas rectas secantes ficarão cada vez
mais próximas do declive da recta tangente. .
Newton pretendia determinar a velocidade instantânea, ou seja, a velocidade dada pelo
velocímetro de um automóvel em movimento, conhecendo apenas a relação entre o espaço e o
tempo.
Para determinar a velocidade instantânea no momento a , Newton considerou um intervalo de
tempo em que a era um extremo, por exemplo:
[a , a + h]
Calculou a velocidade média nesse intervalo;
Reduzindo sucessivamente h , calculou de novo
a velocidade média para cada um dos intervalos.
Concluiu então que podia determinar
a velocidade instantânea em a através
do limite da velocidade média no intervalo
[a , a + h] quando h 0
Nas situações apresentadas, aparece a referência a um limite:
o declive da recta tangente a uma curva é um limite;
a velocidade instantânea é um limite.
** Hoje, a estes limites chamamos derivadas.
2. DERIVADA de uma FUNÇÃO NUM PONTO como DECLIVE DE UMA RECTA
Taxa de variação média. Velocidade média
Imaginemos a situação seguinte:
Ligou-se um computador ao velocímetro de um carro de Fórmula 1 durante um treino.
O gráfico da função f obtido dá-nos a ideia de como variou a velocidade ao longo dos
primeiros 25 segundos do movimento:
A taxa de variação média da função f no intervalo [a , b] é dada por:
Fixemo-nos no intervalo [10 , 15] e calculemos a taxa de variação média neste intervalo:
O número 20 também é o declive da recta PQ
Este número 20 diz-nos que, em média, dos 10 aos 15 segundos a velocidade aumentou
20 km/h , por segundo.
Se em média aumentou 20 não quer dizer que em cada segundo tenha aumentado 20 !
205
1001015150250
1015)10(f)15(f
.v.m.t 15,10
12
12
xxyy
m
201015150250
m
ab)a(f)b(f
.v.m.t 15,10
Taxa de variação. Velocidade instantânea
Suponhamos que queríamos saber quanto aumentou exactamente no 10º segundo.
De acordo com Fermat, utilizando material de desenho, desenhamos com o rigor que nos for possível a
recta tangente à curva no ponto P.
Para obtermos a recta tangente à curva no ponto P fixamos o ponto P e, deslocando o ponto Q ao longo
da curva, desenhamos algumas secantes para ajudar a obter, com o rigor que nos for possível, a recta t.
À medida que o ponto Q se aproxima de P , o declive das sucessivas secantes aproxima-se do
declive da recta tangente t.
Determinemos o declive da recta t utilizando dois dos seus pontos:
A (6 , 0) e P (10 , 150)
Concluímos que o aumento da velocidade no instante t = 10 s foi aproximadamente 37,5
kmh-1 / s
Ao número 37,5 chamamos derivada da função no ponto de abcissa x = 10, ou taxa de
variação da função no ponto de abcissa x = 10.
Escreve-se f’ (10) = 37,5
A derivada da função no ponto x = 10 é o declive da recta tangente ao gráfico da
função no ponto de abcissa x = 10
5,374
1506100150
m
Geometricamente, a derivada de uma função no ponto de abcissa x0 é o declive da
recta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa x0
Considere-se a seguinte situação:
Um objecto foi lançado na vertical de um ponto P e daí a alguns instantes caiu de novo
no ponto P. A distância a da bola à origem é dada por:
a(t) = 12t – 3t2 com t em segundos e a em metros
O gráfico que ilustra a situação é o seguinte:
3. INTERPRETAÇÃO DA DERIVADA de uma FUNÇÃO NUM PONTO
Calcule-se a taxa de variação média, que neste caso é a velocidade média, para os intervalos [0 ,
1] ; [1 , 2] e [2 , 3]:
t.v.m. [0 , 1] =
t.v.m. [1 , 2] =
t.v.m. [2 , 3] =
Verificou-se que a velocidade média era positiva nos dois primeiros intervalos e negativa no outro.
Significa isto que a bola mudou de sentido. Ia a subir e passou a descer.
Verificou-se que t.v.m. [0 , 1] > t.v.m. [1, 2] o que significa que existe variação maior no intervalo [0 , 1]
do que no intervalo [1 , 2], ou seja, que a velocidade média é maior no intervalo [0 , 1] do que no
intervalo [1 , 2].
s/m9109
01)0(f)1(f
s/m31912
12)1(f)2(f
s/m31129
23)2(f)3(f
Qual será a derivada da função no ponto de abcissa 1 ? Ou seja, qual será a velocidade instantânea no instante
t = 1 ?
Ou seja, qual será a taxa de variação da função no ponto de abcissa 1 ?
Ou seja, qual será a’ (1) ?
Considere-se o intervalo [1 , 1+ h] e h 0
t.v.m. [1 ; 1,1] =
t.v.m. [1 ; 1,01] =
t.v.m. [1 ; 1,001] =
À medida que h tende para zero, a velocidade média parece tender para 6. Ou seja, a velocidade
instantânea no instante t=1 parece ser 6 m/s , ou seja, f’(1) = 6
7,51,0957,9
11,1)1(a)1,1(a
97,501,0
90597,9101,1
)1(a)01,1(a
997,5001,0
9005997,91001,1
)1(a)001,1(a
Um pouco mais de História A noção da derivada surgiu no séc. XVII marcado pela criação do cálculo diferencial ao
qual estão ligados os nomes de dois grandes vultos da Ciência – Newton e Leibniz.
Newton foi estimulado no seu trabalho pela necessidade de encontrar utensílios
Matemáticos que dessem suporte à sua teoria da gravitação universal.
Com efeito, no âmbito das suas investigações sobre mecânica celeste, Newton teve
necessidade de resolver problemas sobre trajectórias de astros, velocidades, tangentes,
máximos e mínimos.
Por sua vez, Leibniz lançou também os fundamentos do Cálculo Infinitesimal (na
mesma época que Newton mas independentemente dele), constituindo o seu trabalho
um avanço decisivo na criação de uma linguagem comum a várias ciências e à
filosofia.
Foi com Newton e Leibniz que a Análise Infinitesimal se tornou um ramo da Matemática,
autónoma em relação à Geometria.
Derivadas sempre na Matemática