Regime Permanente

ω

0t 0t t

Regime Transiente

ω

0t 0t t

Escoamento Uniforme/variado

Escoamento Uniforme/variado

Escoamento Variado

Escoamentos

Escoamento Irrotacional

ˆˆ ˆ campo vetorial

ˆˆ ˆ 0

x y z

y yx xz z

V V i V j V k

V VV VV VV i j k

y z z x x y

Rotacional ou Irrotacional

Escoamento irrotacional Escoamento rotacional

Ocorre quando as partículas de um

fluido, numa certa região, apresentam

rotação em relação a um eixo qualquer.

O escoamento rotacional também é

denominado de vorticoso.

Ocorre quando as partículas de um

fluido, numa certa região, não

apresentarem rotação em relação a um

eixo qualquer.

Rotacional ou Irrotacional

Regime de Escoamento

Regime de Escoamento

Regime de Escoamento

Transição

Regime de Escoamento

Escoamento sobre placa plana com efeitos viscosos predominantes

Regime de Escoamento

Placa Plana - Efeitos viscosos moderados

Regime de Escoamento

Placa Plana - Efeitos de inércia importantes

Regime de Escoamento

Número de Reynolds

Situação Fórmula Reynolds crítico

Placa plana com

superfície superior

livre

Re > 5x105

Placas fixas paralelas

Re > 1400

Placas paralelas com

a superior movendo

com velocidade

constante U

Re > 1500

Em tubo

Re > 2300

ReVa

ReUa

ReVD

a=

dis

tân

cia

entr

e as

du

as p

laca

s,

D =

diâ

met

ro d

o t

ub

o,

U =

vel

oci

dad

e co

nst

ante

da

pla

ca s

up

erio

r,

𝑉 =

vel

oci

dad

e m

édia

.

ReVx

x qualquer posição na placa

Laminar e Turbulento

D

Ideal Laminar Turbulento

Qv

A

Escoamento Ideal

Escoamento Laminar

2

1

R

r

v

v

max

Escoamento Turbulento

n

maxR

r

v

v1

1

r distância do centro do tubo

R raio do tubo

n constante dependente de Re

Número de Reynolds

ReVD VD

D

D

D

Re ≤ 2300 Escoamento Laminar

Re ≥ 4000 Escoamento Turbulento

2300 ≤ Re ≤ 4000 Transição

Equação:

Diâmetro hidrodinâmico (Dh)

H

L

2

444

por isso o 4 multiplicando o Ah

D

AD

P D

Neste caso;

LH

HLD

h22

4

Assim;

hh

VDVDRe

Número de Reynolds

Número de Reynolds

LH

HLD

h22

4

Exemplo 1 – Pág. 37

Qual dos intervalos indicados abrange a típica transição entre escoamentos laminar e turbulento? (Para escoamento interno em tubo)

a) 500<Re<1000

b) 2500<Re<5000

c) 10000<Re<20000

d) 50000<Re<100000

e) 100000<Re<150000

Dados Empíricos demonstram que:

2300 ≤ Re ≤ 4000 Transição

Alternativa b)

Exercício 3 – Pág. 78

Qual a vazão com que a água escoa em uma tubulação de 2 cm de diâmetro, sabendo-se que o número de Reynolds do escoamento é igual a 2·105? Dados: massa específica da água: 1000 kg/m3

Viscosidade da água na temperatura de escoamento: 10-3 Pa.s

a) 31,4 m3/s

b) 3,14 m3/s

c) 2,0 m3/s

d) 31,4 L/s

e) 3,14 L/s

Densidade da água: ρ = 1000 kg/m3

Viscosidade Absoluta da Água: μ = 10-3 Pa.s

ReVD VD

2

5 33 3 1 3 3 1

1

Re

Re Re Re

4 4

2 10 10 0,0210 . 3,14 10 .

4 1000

3,14 .

VD

Q V A

D DQ A

D D

Q m s m s

Q L s

Exercício 3 – Pág. 78

31 1000 L Lembrem-se da caixa d'água de 1000 Litrosm

Alternativa e)

Exercício 22 – Pág. 100

Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Terminais e Dutos – 2010)

22) A figura abaixo mostra um manômetro diferencial colocado entre as

seções P e Q de um tubo horizontal no qual escoa água (peso específico

igual a 10 kN/m3). A deflexão do mercúrio (peso específico igual a 136

kN/m³) no manômetro é de 500 mm, sendo o mais baixo dos níveis o mais

próximo de P. Com base nessas informações, conclui-se que a pressão

relativa em

a) P excede a pressão relativa em Q em

6,3 metros de coluna d’água.

b) P excede a pressão relativa em Q em

7,3 metros de coluna d’água.

c) P excede a pressão relativa em Q em

63 metros de coluna d’água.

d) Q excede a pressão relativa em P em

6,3 metros de coluna d’água.

e) Q excede a pressão relativa em P em

7,3 metros de coluna d’água

Resolução – Exercício 22 – Pág. 100

1. Peso específico da água igual a 10 kN/m3

2. Peso específico do mercúrio igual a 136 kN/m³

3. Deflexão da coluna de mercúrio de 500 mm

4. O mais baixo dos níveis está mais próximo de P PP > PQ

kPa63PP

5,010136PP

hPP

QP

QP

20HHgQP

Para calcular a pressão em coluna da

água basta dividi-la pelo peso

específico da água

2 2

/ 63 / 6,3 de coluna d’águaP Q H O H OP P kPa m

Alternativa A)

Exercício 5 – pág. 27

5) A figura ao lado ilustra um manômetro com tubo em U, muito utilizado para

medir diferenças de pressão. Considerando que os pesos específicos dos três

fluidos envolvidos estão indicados na figura por γ1, γ2 e γ3 a diferença de pressão

PA - PB corresponde a

a)

b)

c)

d)

e)

Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Engenheiro de Equipamentos

Mecânico– 2010)

332211 hhh

332211 hhh

113322 hhh

113322hhh

3/)( 332211 hhh

Resolução - Exercício 5 – pág. 27

334B33B4

22242242

11A211A2

hPPhPP

hPPhPP

hPPhPP

Aplicando o Principio de Pascal:

Somando as equações acima, temos:

332211AB3322114B24A2hhhPPhhhPPPPPP

113322BAhhhPP Alternativa C)

Exercício 1 – Pág. 90

Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Terminais e Dutos – 2008)

1) A diferença de pressões devida ao atrito entre duas seções de uma

tubulação que conduz água é monitorada por um manômetro de mercúrio,

conforme mostrado na figura.

Considerando que as massas específicas de água e do mercúrio são ρHg e

ρH2O, respectivamente, a diferença de pressões PA – PB vale

a) (ρHg – ρH2O)gh

b) (ρHg + ρH2O)gh

c) ρHggh

d) ρH2Ogh

e) ρHggh/2

Resolução – Exercício 1 – Pág. 90

h1

h2

Pelo esquema, sabe-se que:

h = h1 – h2

2 2

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 2 1 2

A H O A H O

B H O B H O

Hg Hg

P P gh P P gh

P P gh P P gh

P P gh P P gh

Aplicando o Principio de Pascal:

Somando as equações acima:

2 21 2 1 2 1 2A B H O H O HgP P P P P P gh gh gh

1

2

1’

1' 1P P

Resolução – Exercício 1 – Pág. 90

h1

h2

Pelo esquema, sabe-se que:

h = h1 – h2

2 2

2

2

1 2 1 2 1 2

2 1

A B H O H O Hg

A B H O Hg

h

A B Hg H O

P P P P P P gh gh gh

P P g h h gh

P P gh

1

2

Alternativa A)

Exercício 23 - Pág. 84

23) Uma esfera metálica oca flutua com 1/3 do seu volume acima da água.

Qual a fração de volume da esfera ocupada pelo metal?

Dados: densidade da água ρágua = 1,0 x 103 kg/m3

densidade do metal ρmetal = 8,0 x 103 kg/m3

(A) 1,0

(B) 0,66

(C) 0,017

(D) 0,083

(E) 0

Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Eng. de Equipamentos Júnior -

Terminais e Dutos - 2012)

Volume da Casca

0verticalnaForças

PE

mgsubmersoVolumegágua

gVVV3

2g

metalrRRágua

Resolução – Exercício 23 - Pág. 83

3

3

2 2 1 101 1

3 3 8 10

0,917

águar

R metal

r

R

V x

V x

V

V

Fração da Parte Oca

Fração da Metal é dada por:

Alternativa D) 083,0V

V

V

V1

V

V

R

Metal

R

r

R

Metal

Resolução – Exercício 23 - Pág. 83

gVVV3

2g

metalrRRágua

54) Duas pequenas janelas de observação são instaladas em um

reservatório de água cilíndrico, conforme mostrado na figura. Sendo g a

aceleração da gravidade local, a diferença entre as pressões atuantes nas

janelas 2 e 1 (p2 – p1) é

(A) ρH2O gh2

(B) ρH2O g(h1+h2)

(C) ρH2O g(h1+h3)

(D) ρH2O g(h2+h3)

(E) ρH2O g(h1+h2+h3)

Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Engenheiro de Equipamentos

Júnior - Eletrônica - 2012)

Exercício 54 - Pág. 86

Pressão Exercida por uma coluna d’água:

ghPágua

A diferença (p2 - p1)

2água12

332água12

3água32água12

ghpp

hhhgpp

ghhhgpp

Alternativa A)

Resolução – Exercício 54 - Pág. 86

Exercício 27 - Pág. 81

27) Uma partícula de massa 140,0 g é vista afundando, totalmente

submersa, em um copo de água, com a aceleração de 7,0 m/s2.

A força de resistência ao movimento, em Newtons, que atua na partícula é: Dado: considere g = 10,0 m/s2.

(A) 0,42

(B) 0,98

(C) 1,40

(D) 2,40

(E) 4,60

Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Engenheiro de Equipamentos

Júnior - Mecânica - 2012)

Alternativa A)

amcorponoatuantesForças

20,14 10 7 /

0, 42

r

r

r

Peso Força resistiva m a

Força resistiva Peso m a

F m g a

F kg m s

F N

Resolução – Exercício 27 - Pág. 81

Exercício 20 - Pág. 100

20) A equação da hidrostática representa o comportamento da

pressão p, em uma massa fluida incompressível (ρ constante). Nessa

equação, Δ representa o operador

a) Divergente e é expresso por

b) Divergente e é expresso por

c) Gradiente e é expresso por

d) Gradiente e é expresso por

e) Rotacional e é expresso por

Caiu no Concurso! (PETROBRAS – Terminais e Dutos- 2010)

0g p

ˆˆ ˆi j kx y z

x y z

ˆˆ ˆi j kx y z

x y z

ˆˆ ˆi j kx y z

Resolução – Exercício 20 - Pág. 100

Vetores unitários e operações vetoriais: Produto escalar de dois vetores Produto vetorial de dois vetores Assim temos: {lembrem-se cos(0°) = 1; cos(90°)=0} Operador vetorial diferencial “nabla”

( ) cos vwv w vw

[ ] { sen }vw vwv w vw n

ˆ ˆ 1i i ˆ ˆ 1j j ˆ ˆ 1k k

ˆ ˆ 0i j ˆˆ 0j k ˆ ˆ 0k i

ˆˆ ˆi j kx y z

vwn

Vetor

perpendicular

a v e w

Resolução – Exercício 20 - Pág. 100

Gradiente é obtido aplicando-se o operador nabla à função e indica o sentido e a direção de maior alteração (máximo) no valor de uma quantidade por unidade de espaço. Divergente é a multiplicação escalar do operador nabla pela função vetorial. É um operador que mede magnitude da fonte ou poço/sorvedouro de um campo vetorial em um dado ponto. Ele pode ser entendido como o escalar que mede a dispersão ou divergência dos vetores do campo num determinado ponto.

ˆˆ ˆp p pp i j k

x y z

ˆˆ ˆ , campo vetorial

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

x y z

yx z

F F i F j F k

F i j k F i F j F kx y z

FF FF

x y z

Resolução – Exercício 20 - Pág. 100

Rotacional de um campo vetorial é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função, ou seja, multiplicando-se vetorialmente o operador nabla pela função vetorial. Este operador calcula o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou se aproximam de um vetor normal a uma superfície infinitesimal.

ˆˆ ˆ campo vetorial

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

Determinante

ˆˆ ˆ

x y z

x y z

x y z x y

y yx xz z

F F i F j F k

F i j k F i F j F kx y z

i j k i j

Fx y z x y

F F F F F

F FF FF FF i j k

y z z x x y

Resolução – Exercício 20 - Pág. 100

a) Divergente e é expresso por errado

b) Divergente e é expresso por errado

c) Gradiente e é expresso por certo

d) Gradiente e é expresso por errado

e) Rotacional e é expresso por errado

ˆˆ ˆi j kx y z

x y z

ˆˆ ˆi j kx y z

x y z

ˆˆ ˆi j kx y z

Alternativa C)

Camada limite : 1) Fluidos Viscosos; 2) Condição de não deslizamento; 3) Forças viscosas são de extrema importância 4) vmax=2 Q/A

distância onde 0,99u u

Camada limite

Camada limite

Camada Limite

Camada Limite

Camada limite é a região:

a) Adjacente a uma superfície sólida na qual as forças de inércia são importantes. Devido ao principio do não deslizamento as viscosas são mais importantes

b) Adjacente a uma superfície sólida na qual as forças de inércia são superiores às viscosas. Viscosa é mais importante que inerciais.

c) Adjacente a uma superfície sólida na qual as forças viscosas são importantes.

d) Adjacente a uma superfície sólida na qual as forças viscosas são superiores às de inércia e gravitacional. Nem sempre

e) Limítrofe entre o escoamento laminar e turbulento. Não tem relação nenhuma

Camada limite

Equação da Continuidade

0

0

VC SC

dV V dAt

v

t x

Eq. da continuidade ou eq. da conservação da massa (Geral)

Escoamento Permanente:

1 1 1 2 2 2

0

V A = V A

SC

V dA

Escoamento Permanente Incompressível, volume de controle não deformável (fixo):

1 1 2 20 V A =V ASC

V dA

Exemplo 5 – Pág. 94

A figura a seguir ilustra o escoamento de um gás em regime permanente

através de um trecho de uma tubulação. Considerando os dados

apresentados referentes à seção 1 e à seção 2, tem-se para a

velocidade, em m/s:

a) 20

b) 25

c) 30

d) 35

e) 40

Alternativa b)

Exemplo 5 – Pág. 94

1 2 Taxa (vazão de massa)m m

1 1 1 2 2 2

1 1 12

2 2

2

2

5 40 30

16 15

25 /

V A V A

V AV

A

V

V m s