1

Proses Stokastik

Semester Ganjil 2011

Solusi dari Birth and Death Process yang Tergantung Waktu

Peluang bahwa proses berada pada state i pada waktu t:

Pada waktu (t+∆t) proses dapat mengalami transisi ke state j dengan peluang: πj(t +∆t)

Kemungkinan state j yang dituju adalah: i+1 or i-1

πi(t +∆t) didefinisikan dengan menjumlah aliran masuk dan keluar dari state i

tti

ti

ti 1

ti 1

Sebagian tetap di i, sisanya keluar dengan laju ∆t λi dan ∆t µi

Laju aliran masuk dari state sebelumnya ∆t λi-1

Laju aliran masuk dari state sesudahnya ∆t µi+1

titX iPr

11111 iiiiiiii ttttttttt

1111 iiiiiiiii tttttttttt

11110

lim

iiiiiii

ii

t

tttt

ttt

,3,2,1 ,1111 itttt iiiiiiii

11000 ttt

Pure Birth Process Proses di mana hanya terdapat kelahiran (birth)

tanpa kematian (death) Laju kematian nol Laju kelahiran sama untuk setiap state

Solusi dari Pure Birth Process Turunan pertama dari peluang pada saat t

1111 iiiiiiii tttt

Dengan substitusi laju kelahiran λi = λ untuk semua i dan laju kematian μi = 0 untuk semua i, berawal dari state 0

tttt 0100 0

11000 ttt

00 11 tttt iiii 0,1 itt ii

tt 00 tet 0

ttt iii 1

Dengan definisi baru untuk menyelesaikan persamaan diferensial

0, itetQ it

i

u v

tetetQ it

it

i

ttetetQ iit

it

i 1 te it

1

Secara rekursif:

tetedt

dtQ i

ti

ti 1

t

ivt

i dvveet0

1

tet 0

t

vt dvveet0

01 t

vvt dveee0

te t

t

vt dvveet0

12 t

vvt dvveee0

t

t vdve0

2 22

1 222 tete tt

dst ,...3,2,1,0,

! i

i

tet

it

i

Contoh: Suatu proses kelahiran murni dengan parameter

kelahiran λ=2 individu/hari Berapa peluang bahwa pada hari ke dua tidak

terdapat individu di dalam sistem?

,...3,2,1,0,

!Pr i

i

tetitX

it

i

!0

22202Pr

022

0 eX 4e

Berapa peluang bahwa pada hari ke dua terdapat paling banyak 1 individu?

2212Pr 10 X !1

22

!0

22 122

022 ee

444 54 eee

Solusi dari Pure Death Process Proses di mana terdapat kematian tanpa kelahiran

Laju kelahiran λ=0

Laju kematian tergantung dari jumlah individu i yang ada, dan setiap individu mempunyai laju kematian μi = μ untuk setiap i

Turunan pertama peluang pada waktu t

1111 iiiiiiii tttt

Dengan substitusi laju kelahiran dan kematian yang sesuai, dimulai dari state ke n

tntntt nnnn 00 1

100 11 ittitt iiii titi ii 11

Solusi untuk state ke n:

tnt nn tnn et

titit iii 11

tnn et

Digunakan Q untuk menyelesaikan persamaan diferensial:

1,...,1,0, nitetQ iti

i

vu

teteitQ iti

iti

i

titietei iiti

iti 11 tie i

ti11

tietedt

dtQ i

tii

tii 11

t

iviti

i dvveeit0

11

Solusinya diperoleh secara rekursi dimulai dari state ke – n.

tnn et

t

iviti

i dvveeit0

11

Solusi untu state ke (n – 1)

t

nvntn

n dvvenet0

111

tvnvntn dveene

0

11

tvtnt

vtn enedvene0

1

0

1 1

ttnn enet 11

1

Solusi untuk state ke (n-2)

t

nvntn

n dvveent0

122

2 1

t

vvnvntn dveneeen0

122 11

ttnn enet 11

1

t

iviti

i dvveeit0

11

t

vvtn dveeenn0

2 11

tttn eeenn

22 21

1

2

1

221

2tnt ee

n

n

Secara umum, solusi yang diperoleh adalah sistem mempunyai sebaran Binomial dengan peluang survival pada waktu t adalah e-µt

tnn et

ttnn enet 11

1

22

2 12

tntn ee

n

nt

010

tnt een

111

1tnt ee

n

nieei

nt

intiti ,,1,0,1

Contoh: Suatu populasi diawali dengan 10 individu, dan

mengikuti proses kematian murni dengan parameter kematian µ=1 individu/hari.

Berapa peluang kepunahan dari suatu individu pada populasi tersebut pada suatu hari ke t?

nieei

nt

intiti ,,1,0,1

100

0 10

10 tt eet

10

1 te

Berapa peluang kepunahan dari suatu individu pada hari ke 10?

10

0 1 tet 9995.01101010

0 e

Single Server System, Kasus Khusus Birth and Death Process Suatu sistem dengan laju kelahiran dan laju kematian konstan Suatu kelahiran: kedatangan seorang pelanggan Suatu kematian: seorang pelanggan menyelesaikan

layanannya. Hanya terdapat dua state 0 and 1

Solusi dari Single Server System Dari persamaan turunan pertama bagi peluang pada waktu t

1111 iiiiiiii tttt

Substitusi nilai laju kelahiran dan kematian pada state 0

ttt 100

Substitusi nilai laju kelahiran dan kematian pada state 1

ttt 011

Penjumlahan dari kedua persamaan

ttt 100

ttt 011

01010 ttdt

dtt

+

1constant10 tt tt 01 -1

Penggunaan Q untuk menyelesaikan perseamaan differensial

tetQ t0

tetetQ tt00

ttete tt100 tte t

10

Solusi bagi persamaan diferensial

tt ettetQ 10

CdttQtQ

dt

tdQtQ

CdtetQ t

Pada t = 0, sistem berada pada state 0 secara pasti dan mengarah pada kondisi awal untuk Q:

Ce t

11100 00 eQ

Menyelesaikan C untuk kondisi awal

CetQ t

10 0

CeQ

10 Q

1C

(*)

tetQ

Definisi awal bagi Q:

(**) 0 tetQ t

Menyamakan (*) dan (**), menyelesaikannya untuk π0

(*)

tetQ (**) 0 tetQ t

tee tt

0

tt eet0

tet

0

tett

01 1