ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΠΑΥΛΟΣ ΣΠΥΡΑΚΗΣ

(google: Paul Spirakis)

Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών & Εκδόσεων «∆ΙΟΦΑΝΤΟΣ»

και

1

και Πανεπιστήµιο Πατρών

Νοέµβριος 2011

• Η νέα τεχνολογία εξελίσσεται µε φρενήρη

ρυθµό.• Τα Μαθηµατικά;

- Φαινοµενικά, βαδίζουν αργά και ήρεµα

- Η «κλασσική» Μαθηµατική Σκέψη έχει

παγιωθεί.- Η επικαιρότητα σπανίως αναφέρει

2

- Η επικαιρότητα σπανίως αναφέρει

Μαθηµατικές επιτεύξεις.(π.χ. Εικασίες Fermat, Poincare,4 χρωµάτων …)

- Είναι η «βάση» πολλών εφαρµοσµένων

Επιστηµών

• Είναι όντως αυτή η κατάσταση τωνΜαθηµατικών σήµερα;

• Ο ισχυρισµός µου είναι ότι:

- Τα Μαθηµατικά εξελίσσονται επίσης µεραγδαίο ρυθµό.

- Αυτό συναρτάται στενά µε την Τεχνολογική

Εξέλιξη.

3

- Όχι µόνον τα Μαθηµατικά θεµελιώνουν τηνσύγχρονη Τεχνολογία αλλά η Τεχνολογία

δηµιουργεί νέα Μαθηµατική Σκέψη.

• Περίοδος αναφοράς: Ο 20ος αιώνας

• ∆εν θα αποδώσω την Τιµή που αξίζει

- Στον ∆ιαφορικό Λογισµό- Την συνέχεια, την Παράγωγο

4

- Την Γεωµετρία- Την Θεωρία Οµάδων

Θα περιγράψω νέες έννοιες

• κυρίως ∆ιάκριτης φύσης

• που έχουν έντονη αλληλεπίδραση µε

την Τεχνολογία

5

• όχι εφαρµογές

• νέα, όµορφα Μαθηµατικά

Με βάση τα κριτήρια αυτά, θα προσεγγίσωτα εξής:

• Συστήµατα και Επικοινωνίες

• Κώδικες, Αυτόµατα, Αλγόριθµοι

• ∆ίκτυα και ∆ιαδίκτυο

6

• ∆ίκτυα και ∆ιαδίκτυο

• Οι Πιθανότητες και η Λογική

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΚΑΙ

ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ

7

Σ

έξοδος

Σείσοδος

Μνήµη Τρέχουσα Κατάσταση

Ένα σύστηµα, Σ:

8

Σ

Είσοδος = ερέθισµα

Έξοδος = απόκριση, αποτέλεσµαΣ = «µετασχηµατιστής»

Τρέχουσα Κατάσταση Εσωτερική «Λογική»

Ανάδραση και Έλεγχος

Σ

είσοδοςέξοδος

Σ’

9

Σ’ = σύστηµα Ελέγχου

είσοδος, έξοδος = εν γένει,«κατάλληλη» πληροφορία

Σ’

Τι είναι Πληροφορία;

Έστω Σύστηµα Επικοινωνίας όπου η

είσοδος αποτελείται από ένα σύνολο

Μηνυµάτων προς αποστολή

m1, m2, …µε πιθανότητες εµφάνισης

p1, p2, …

10

p1, p2, …Έστω ότι η έξοδος (παραλήπτης) έχειορθώς παραλάβει το mk

Ορισµός: Το σύστηµα έχει µεταφέρειένα ποσό πληροφορίας Ik = log2

kp

1

• Η Πληροφορία είναι αδιάστατο µέγεθος

• Η µονάδα της είναι το δυαδικό

σύµβολο

(bit)

Πράγµατι, Ν bits αρκούν για να

11

Πράγµατι, Ν bits αρκούν για ναδιαχωρίσουν 2Ν ισοπίθανα µηνύµατα.

Εντροπία

• έστω ότι (κατά την διάρκεια µιας µακράςχρονικής περιόδου) έχει γεννηθεί καιαποσταλεί µια ακολουθία L µηνυµάτων.

• Από τον Νόµο των Μεγάλων Αριθµώναναµένουµε ότι, για κάθε µήνυµα mi, στηνακολουθία έχουν εµφανιστεί piL αντίγραφα του.

12

ακολουθία έχουν εµφανιστεί piL αντίγραφα του.

• Η συνολική Πληροφορία που µεταδόθηκε

• Η «µέση» Πληροφορία στην ακολουθία L

...1

log1

log2

221

21 ++=p

Lpp

LpIολ

...1

log1

log2

221

21 ++==p

pp

pL

IH ολ

Εντροπία

(ο πλούτος της µεταδοθείσας πληροφορίας)

• ένα µόνο µήνυµα (p1 = 1)Τότε Η = 0

• Απίθανο µήνυµα pi→0

iii p

pH1

log2Σ=

1=

13

Ρυθµός Πληροφορίας: Αν η πηγή τωνµηνυµάτων παράγει r µηνύµατα ανά sec,τότε ο ρυθµός πληροφορίας είναι

R = r•H (bits/sec)

01

loglim0

=→ p

pp

• Τα µηνύµατα πριν αποσταλούν«κωδικοποιούνται»

• Οι δίαυλοι (συστήµατα) επικοινωνίαςέχουν «θόρυβο» που αλλοιώνει την

πληροφορία.

• Το Θεώρηµα του Shannon (1948)Αν ο ρυθµός πληροφορίας R είναι το πολύ ένα

14

Αν ο ρυθµός πληροφορίας R είναι το πολύ ένα

άνω όριο C (που λέγεται χωρητικότητα του

διαύλου) τότε υπάρχει τρόπος κωδικοποίησηςτων µηνυµάτων που επιτρέπει το σύστηµα

επικοινωνίας να µεταδώσει όλη την πληροφορία

µε (σχεδόν) µηδενική Πιθανότητα ΣφάλµατοςΜετάδοσης.

Αντιθέτως,

Αν R > C τότε η πιθανότης λάθους

µετάδοσης γίνεται αυθαιρέτως υψηλή,για οποιαδήποτε µέθοδο κωδικοποίησης.

15

• Όλοι µας σήµερα οµιλούµε π.χ. για«κανάλια ADSL δυνατότηταςπ.χ. 1 Mbit/sec» ….

ΚΩ∆ΙΚΕΣ

ΚΑΙ

ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΕΣ

16

ΓΡΑΜΜΑΤΙΚΕΣ

• Τι είναι «κωδικοποίηση πληροφορίας»;

• Κάθε γραπτή πληροφορία (κείµενο) είναιµια ακολουθία συµβόλων.

Ορισµός: Το σύνολο όλων των δυνατώνσυµβόλων είναι ένα Αλφάβητο.

π.χ. Το Ελληνικό α,β,γ, ….

17

π.χ. Το Ελληνικό α,β,γ, ….Το ∆υαδικό 0,1

Ορισµός: Μια λέξη είναι µια πεπερασµένη

ακολουθία συµβόλων ενός αλφαβήτου.Ορισµός: Η κενή λέξη, e, είναι η λέξηχωρίς καθόλου σύµβολα.

• Το σύνολο όλων των λέξεων ενόςαλφαβήτου Σ θα το συµβολίσουµε

ως Σ*

• Η συγκόλληση 2 λέξεων w1 • w2 είναι

η πράξη που δίνει την λέξη z = w1 w2

18

π.χ. «01» • «110» = «01110»w • e = w

Ορισµός: Μια γλώσσα είναι ένα

(οιοδήποτε) υποσύνολο του Σ*

Άκρως ενδιαφέρουσες είναι οι γλώσσες

που µπορούν να αναπαρασταθούν

όχι µε (άπειρους …) τόµους λέξεων µόνον,αλλά (και) µε µερικούς, πεπερασµένουςτο πλήθος, κανόνες.

19

Οι κανόνες αυτοί είναι η Γραµµατική

της γλώσσας.

Παράδειγµα

Έστω Σ = 0, 1, Α, S• Το 0,1 είναι το (υπό) αλφάβητο των«τελικών» συµβόλων

• Το Α, S είναι το (υπό) αλφάβητο των«ενδιάµεσων εννοιών».

• Έστω «→» σηµαίνει «παράγω σε 1 βήµα»

20

Η γραµµατική Γ

S → 1A0A→ eA→ 1A

παράγει λέξεις της µορφής 111…10(1n0)• Η λέξη 1n0 παράγεται σε n “ βήµατα”

Τέτοιες γραµµατικές είναι π.χ.

- Οι κανόνες παραγώγησης- Η Ελληνική γραµµατική

- Οι κανόνες της γλώσσας Pascal

π.χ.

21

<program> = begin<body>end

<body> = <statement _ sequence><statement_sequence> = <statement><statement_sequence> = <statement><statement_sequence><statement>= IF <cond> THEN <act><cond> = a ≥ bκλπ

• Οι πεπερασµένες γραµµατικές«παράγουν» γλώσσες

• Η «σηµασία» γίνεται Συντακτικό!

22

ΑΥΤΟΜΑΤΑ

ΚΑΙ

23

ΜΗΧΑΝΕΣ

Μια Μηχανή Συµβολοµετάφρασης

Πιο αναλυτικά

Σσυµβολοσειρά συµβολοσειρά

a a b 1 c …ταινία εισόδου/εξόδου

κεφαλή ανάγνωσης/γραφής

Μια Μηχανή Συµβολοµετάφρασης

Πιο αναλυτικά

Σσυµβολοσειρά συµβολοσειρά

a a b 1 c …ταινία εισόδου/εξόδου

κεφαλή ανάγνωσης/γραφής

Μια Μηχανή Συµβολοµετάφρασης

Πιο αναλυτικά

Μια Μηχανή Συµβολοµετάφρασης

Πιο αναλυτικά

Μια Μηχανή Συµβολοµετάφρασης

Πιο αναλυτικά

24

καταστάσεις

Το 1 = «τρέχον» σύµβολο

κεφαλή ανάγνωσης/γραφής

Σ

Το 1 = «τρέχον» σύµβολο

κεφαλή ανάγνωσης/γραφής

Σ

Το 1 = «τρέχον» σύµβολοΤο 1 = «τρέχον» σύµβολοΤο 1 = «τρέχον» σύµβολο

• Η µηχανή σε κάθε «βήµα» της ευρίσκεται

σε µίαν µόνο κατάσταση.• Η «λογική» της είναι ένας πίνακας κανόνων

της µορφής

(q, σ) →→→→ (q’, σ’)Όπου

q = τρέχουσα κατάσταση

σ = τρέχον σύµβολο

25

σ = τρέχον σύµβολο

q’ = νέα κατάσταση

σ’ = είτε

(α) νέο σύµβολο που θα γραφεί στην θέσητου σ, είτε(β) <αριστερά> (σηµαίνει ότι η κεφαλή κινείται1 θέση αριστερά), είτε (γ) <δεξιά>

• Οι µηχανές αυτές χρησιµοποιούν τονίδιο χώρο (ταινία) για ανάγνωση (είσοδο),γράψιµο (έξοδο) και ενδιάµεσααποτελέσµατα (µνήµη).

• Οι µηχανές αυτές µετατρέπουν λέξειςµιας γλώσσας σε συµβολοσειρές (λέξεις)

26

µιας γλώσσας σε συµβολοσειρές (λέξεις)άλλης ή της ίδιας γλώσσας.

• Οι µηχανές αυτές είναι οι Μηχανές τουTuring .

Όµως

• Η περιγραφή µιας τέτοιας µηχανής δεν

είναι παρά µια φράση (σε ένα κατάλληλοαλφάβητο).

• Έστω π(Μ) η περιγραφή της µηχανής Μ.

• Έστω η Μηχανή U που έχει τον απλό

27

• Έστω η Μηχανή U που έχει τον απλό

κανόνα: Αν η είσοδος είναι η περιγραφήτης Μηχανής Μ, τότε «κάνε ότι κάνει η Μ».

• Η Μηχανή U είναι η Παγκόσµια Μηχανή

• Η Μηχανή U «προσοµοιώνει» οιανδήποτε

µηχανή Μ.

• Οι µηχανές τύπου Μ είναι «προγράµµατα»διότι η ευφυΐα τους είναι της µορφής,«αν η τρέχουσα κατάσταση είναι qκαι το τρέχον σύµβολο είναι σ, τότεπήγαινε στην κατάσταση q΄και εκτέλεσε

28

πήγαινε στην κατάσταση q΄και εκτέλεσετην ενέργεια σ΄».

• Η µηχανή Turing µπορεί να είναιµη-αιτιοκρατική π.χ. αν (q,σ) τότε

(1) (q΄, σ΄) µε πιθανότητα p1(2) (q΄΄, σ΄΄) µε πιθανότητα p2κλπ.

Το αξίωµα των Church, Turing

«Οι µηχανές Turing είναι το ισχυρότερο

µοντέλλο υπολογισµού ή µετασχηµατισµού

πληροφορίας».

• ∆εν επιλύουν όλα τα προβλήµατα(Άλυτα προβλήµατα)π.χ. το Halting Problem

29

π.χ. το Halting Problem

• ∆εν έχει ευρεθεί ισχυρότερο µοντέλλουπολογισµού µέχρι σήµερα.

• Κάθε γραµµατική µπορεί ναπραγµατοποιηθεί µέσω κάποιας

Μηχανής Turing.

Οι Αλγόριθµοι

Al Khowarismi (780 – 846 µ.Χ.)Ορισµός: Αλγόριθµος είναι η «µέθοδοςλύσης» ενός προβλήµατος µε στοιχειώδη,καλώς ορισµένα, βήµατα.

π.χ. Αλγόριθµος «παραγοντικό (Ν)»Είσοδος: ακέραιος Ν ≥ 0

30

Είσοδος: ακέραιος Ν ≥ 0Μέθοδος:

αρχή

Αν Ν = 0 ή 1 τότε παραγοντικό (Ν): = 1αλλιώς

παραγοντικό (Ν): = Ν •παραγοντικό (Ν-1)τέλος

Ο αλγόριθµος του Ευκλείδη που

βρίσκει τον Μέγιστο Κοινό ∆ιαιρέτη

a,b

ΜΚ∆ (a,b)

αρχή

Αν b = 0 τότε ΜΚ∆: = a

31

Αν b = 0 τότε ΜΚ∆: = a

αλλιώς

ΜΚ∆ = ΜΚ∆ (b, a mod b)

τέλος

• Κάθε αλγόριθµος µπορείνα περιγραφεί ως µια Μηχανή

Turing.

32

ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ

Ορισµός: Έστω ότι η κωδικοποίηση ενός

στιγµιότυπου ενός προβλήµατος Π έχει nσύµβολα (π.χ. στο 0,1). Έστω ότι ο

αλγόριθµος (µηχανή Turing) που απαντάστο Π χρειάζεται Τ(n) βήµατα.Η συνάρτηση Τ(n) ονοµάζεται

33

Η συνάρτηση Τ(n) ονοµάζεται«πολυπλοκότητα χρόνου» του

προβλήµατος Π.

Οµοίως, µπορεί να ορισθεί ηπολυπλοκότητα «µνήµης» (χώρου)

Η έννοια της αναγωγής.

Έστω ότι η µηχανή Μ απαντά στο

πρόβληµα Π σε Τ(n) βήµατα.Έστω ένα νέο πρόβληµα Π΄.Έστω µηχανή Μ΄ που µετασχηµατίζει

την κωδικοποίηση του Π’ σε κωδικοποίηση

µιας ειδικής περίπτωσης του Π, σε Τ΄(n)

34

µιας ειδικής περίπτωσης του Π, σε Τ΄(n)βήµατα.Τότε η «σύνθεση» των Μ΄, Μ

επιλύει το π΄.(το πολύ σε Τ(Τ΄(n)) βήµατα.

Μ΄ Μπ΄ π

Έστω µια «οικογένεια» προβληµάτων,ΟΙΚ, για τα οποία ισχύει ότι το καθένααπό αυτά µπορεί να αναχθεί (σε λίγαβήµατα) σε κάποιο συγκεκριµένοπρόβληµα Πο.

Το Πο λέγεται «πλήρες» για την οικογένεια

ΟΙΚ και χαρακτηρίζει την δυσκολία της

35

ΟΙΚ και χαρακτηρίζει την δυσκολία της

επίλυσης τους.

• Κλάσεις Πολυπλοκότητας

• Επιστήµη Πολυπλοκότητας

ΤΑ ∆ΙΚΤΥΑ

ΚΑΙ ΤΟ

∆ΙΑ∆ΙΚΤΥΟ

36

∆ΙΑ∆ΙΚΤΥΟ

• Η έννοια του Γραφήµατος είναι ο

αφηρηµένος συµβολισµός ενός δικτύου.

Ορισµός: Έστω πεπερασµένο σύνολο V.Χάριν απλότητος, καλούµε τα στοιχείατου «κορυφές»Έστω σύνολο Ε από µη διατεταγµένα

37

ζεύγη u,v όπου u, v είναι διαφορετικέςκορυφές.

Το ζεύγος G = (V, E) καλείται γράφηµα.

Τα u, v στο Ε ας τα ονοµάσουµε «πλευρές»

π.χ. V1, 2, 3, 4

E = 1,2, 2,4, 1,4, 4,3

Το ίδιο γράφηµα

1

2 4 3

38

Το ίδιο γράφηµα

• πρόκειται για έννοια µη τοπολογική καιµη γεωµετρική

• Είναι η αρχή ενός νέου Κλάδουτων Μαθηµατικών.(σχέσεις, δικτυώσεις)

The Real AS Graph

39CAIDA http://www.caida.org

∆ένδρο: Ένα γράφηµα χωρίς«κυκλικό µονοπάτι»

π.χ.

40

Ενώ

G΄ =

δένδρο (κύκλος 1, 2, 4, 5)

1

5

4

2

3δεν είναι

• Οι κορυφές: ενδέχεται να αναπαριστούνπ.χ. υπολογιστές (Internet), δικτυακούςτόπους (web), κοινωνικές σχέσεις(social graphs).

• Οι πλευρές: έχουν την σηµασία πουτους δίνουµε

Π.χ.

41

Π.χ.- Οι κορυφές είναι σταθµοί εκποµπήςραδιοσυχνοτήτων

- Η «πλευρά» u,v) σηµαίνει ότι αν οι u, vεκπέµπουν ταυτόχρονα και στην ίδια

συχνότητα, τότε έχουµε παρεµβολές καιαλλοίωση εκποµπής.

Ορισµός: Ένας χρωµατισµός (coloring)του γραφήµατος G είναι µια συνάρτηση

x: V → N (κάθε κορυφή έχει ένα χρώµα)έτσι ώστε αν u, v είναι πλευρά τότεx(u) ≠ x(v)

Ορισµός: Ο ελάχιστος δυνατός

42

Ορισµός: Ο ελάχιστος δυνατός

αριθµός χρωµάτων του γραφήµατος

G λέγεται χρωµατικός αριθµός x(G).

Στο παράδειγµα ραδιοσυχνοτήτων,το x(G) είναι οι απαιτούµενες συχνότητεςτου δικτύου G.

• Κάθε δένδρο Τ έχει x(T) = 2(βάψε την κορυφή µε πράσινο,τα παιδιά της µε κόκκινο, ταπαιδιά των παιδιών µε πράσινο κ.ο.κ.).

• G = x(G) = 2

1 2

• Κάθε δένδρο Τ έχει x(T) = 2(βάψε την κορυφή µε πράσινο,τα παιδιά της µε κόκκινο, ταπαιδιά των παιδιών µε πράσινο κ.ο.κ.).

• G = x(G) = 2

1 2

43

• G = x(G) = 2

34 κ π

κπ

• G = x(G) = 2

34 κ π

κπ

• Αν οι πλευρές είναι «συγκρούσειςταυτοχρόνων ενεργειών των κορυφών»τότε οι οµόχρωµες κορυφές µπορούν

να βαδίσουν «παράλληλα»

(παράλληλος υπολογισµός)(Υπερυπολογιστές)

• Έστω ότι η διασύνδεση των u, v

44

• Έστω ότι η διασύνδεση των u, vπροκύπτει από ένα «πείραµα τύχης».

- Τυχαία Γραφήµατα- Web- κατωφλικοί νόµοι- power laws

ΤΟ ∆ΙΑ∆ΙΚΤΥΟ

ΚΑΙ ΤΑ ΠΑΙΓΝΙΑ

45

46

• Το διαδίκτυο είναι αντανάκλασητης κοινωνίας

• Λογικές οντότητες σε αλληλεπίδρασηκαι ανταγωνισµό

• Η κάθε λογική οντότητα ίσως

47

• Η κάθε λογική οντότητα ίσως

έχει διαφορετικούς στόχους

και συµφέροντα.

• Η γενική θεωρία της µελέτης της

έλλογης συµπεριφοράς λογικών

οντοτήτων, σε αλληλεπίδραση,και µε διαφορετικά «συµφέροντα»είναι η Θεωρία Παιγνίων.

• Von Neumann, Morgenstern

• John Nash, Ισορροπία Nash

48

• John Nash, Ισορροπία Nash

«Ισορροπία Nash είναι ένα

σύνολο στρατηγικών, µια για καθέναπαίκτη, όπου οιοσδήποτεαποκλίνει µονοµερώς, θα χάσει».

• Κάθε στρατηγικό παίγνιο έχειτουλάχιστον µια Ισορροπία Nash

• Μπορούν να υπολογισθούν;

• Ποια είναι η σχέση των ατοµικώνσυµφερόντων στο (αναρχικό) διαδίκτυο

49

συµφερόντων στο (αναρχικό) διαδίκτυοµε το συνολικό «κοινωνικό» καλό;

• Το κόστος της αναρχίας του Παγκόσµιου

Ιστού =

• Οι «Φανοί της Τροχαίας» του ∆ιαδικτύου:

κόστος της χειρότερης ισορροπίας Nash

βέλτιστο κόστος

• Το κόστος της αναρχίας του Παγκόσµιου

Ιστού =

• Οι «Φανοί της Τροχαίας» του ∆ιαδικτύου:

κόστος της χειρότερης ισορροπίας Nash

βέλτιστο κόστος

• Το κόστος της αναρχίας του Παγκόσµιου

Ιστού =

• Οι «Φανοί της Τροχαίας» του ∆ιαδικτύου:

κόστος της χειρότερης ισορροπίας Nash

βέλτιστο κόστος

50

• Οι «Φανοί της Τροχαίας» του ∆ιαδικτύου:

Κατανεµηµένοι «Μηχανισµοί» που

µειώνουν το κόστος της αναρχίας χωρίς

τον περιορισµό της ελευθερίας

επιλογών των οντοτήτων του διαδικτύου.

• Οι «Φανοί της Τροχαίας» του ∆ιαδικτύου:

Κατανεµηµένοι «Μηχανισµοί» που

µειώνουν το κόστος της αναρχίας χωρίς

τον περιορισµό της ελευθερίας

επιλογών των οντοτήτων του διαδικτύου.

• Οι «Φανοί της Τροχαίας» του ∆ιαδικτύου:

Κατανεµηµένοι «Μηχανισµοί» που

µειώνουν το κόστος της αναρχίας χωρίς

τον περιορισµό της ελευθερίας

επιλογών των οντοτήτων του διαδικτύου.

• Οµοιότητες µε Θεωρία του Χάους καιτων µη Γραµµικών ∆υναµικών

Συστηµάτων

• Αυτές οι θεωρίες (όπως η ΘεωρίαΠαιγνίων) χειρίζονται µε αυστηρό

51

Παιγνίων) χειρίζονται µε αυστηρότρόπο έννοιες όπως αυτές

του αντιπάλου, της συνεργασίας,της αντιπαράθεσης.

• Η ίδια η Θεωρία «Αριστοποίησης»(υπό περιορισµούς), µετεξελίσσεται σεθεωρία βελτιστοποίησης όπου:

- η βελτιστοποίηση γίνεται από το ίδιοτο (κατανεµηµένο) σύστηµα

- οι στόχοι είναι πολλαπλοί (Pareto curves)

52

- οι στόχοι είναι πολλαπλοί (Pareto curves)

- τα ατοµικά συµφέροντα των λογικών

οντοτήτων που συναποτελούν το

σύστηµα, λαµβάνονται υπ’ όψη!

ΟΙ ΠΥΛΩΝΕΣ ΣΥΝΟΧΗΣ

53

Πιθανότητες

• Μη αιτιοκρατικά συστήµατα

• Στοχαστικά δυναµικά συστήµατα

• Μαρκοβιανές Αλυσίδες

• Martingales (διαδικασίες εξισορρόπησης)

54

• Martingales (διαδικασίες εξισορρόπησης)

• Οι αλγόριθµοι µπορούν να χρησιµοποιούντο δικαίωµα της τυχαίας επιλογής στην

λήψη αποφάσεων.

Η νέα Μαθηµατική Λογική

• Απλουστευµένα Συνεπή Λογικά Συστήµατα

• Λογικές των αυτοµάτων και τωναλγορίθµων

Εν γένει, λογικά υποσυστήµατα

55

Εν γένει, λογικά υποσυστήµαταχειρίσιµα (όχι µόνο συνεπή) µε τηνέννοια της εκφραστικής δύναµης και

της Πολυπλοκότητος.

Το θεώρηµα της µη-πληρότητος του Goedel.

Κάθε Λογικό Σύστηµα αρκετά ισχυρό

ώστε να εκφράσει π.χ. τις Μηχανές Turing,έχει ουσιώδεις ανεπάρκειες (έχει αληθείςπροτάσεις των οποίων η απόδειξη δεν

56

προτάσεις των οποίων η απόδειξη δεν

είναι δυνατόν να προκύψει από τα

Αξιώµατα της Λογικής)

Οι νέες «χειρίσιµες» λογικές

(computable logics) είναι αναγκαιότητα

για τον σηµερινό, περίπλοκο τεχνολογικόκόσµο, τον κόσµο των «όχι καλώςορισµένων προβληµάτων»

(ill defined problems)

57

(ill defined problems)

Παράδειγµα: ∆ια των µηχανώνπιστοποίηση ορθότητας κώδικα.

ΕΠΙΛΟΓΟΣ

58

• Τα Μαθηµατικά σήµερα είναιζωντανά, ποικιλόµορφα, δηµιουργικά.

• Πολλοί νέοι κλάδοι: Κρυπτογραφία,Τεχνητή Νοηµοσύνη, Αλγόριθµοι,∆υναµικά Συστήµατα.

59

- Πολλοί εφαρµοσµένοι κλάδοι:Επικοινωνίες, Βιολογία, Ιατρική,Επιστήµες Κλίµατος, Στατιστική, …

Ίσως η Τεχνολογική και η Μαθηµατική

σκέψη να συνεξελίσσονται αλληλεπιδρώντας,και να αποτελούν, πλέον, διαφορετικέςόψεις µιας ενιαίας επιστηµονικής πορείας

του ανθρώπινου Νου.

60

Ευχαριστώ για την υποµονή σας

61