Post on 14-Sep-2020
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 1/50
Μη γραμμικά
Φίλτρα
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 2/50
Φίλτρα διάμεσης τιμής –
(median,order statistic)
Μη γραμμικά φίλτρα μέσης τιμής
Μορφολογικά φίλτρα
Ομομορφικά φίλτρα
Πολυωνυμικά φίλτρα
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 3/50
Φίλτρα διάμεσης τιμής (median filters)
Ορισμοί
y(1) = Median3{2, 2, 80}= 2
y(n)=median{x(n-M),…x(n)….x(n+M)}
median5{1,10,3,6,2}=median5{1,2,3,6,10}=3
παράδειγμα Δίνεται το σήμα x = {2 80 6 3 3..}
y(2) = Median3{2, 80, 6} = Median{2, 6, 80} = 6
y(3) = Median3{80, 6, 3} = Median{3, 6, 80}= 6
y(4) = Median3 {6, 3, 3}= Median{3, 3, 6} = 3
Αρα y = {2 6 6 3..}
Ακραία σημεία -συνοριακά
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 4/50
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2
0
2
4
x(n)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1
0
1
2
y3(n)
N=3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.5
0
0.5
y5(n)
N=5
n
Το σήμα x(n)
έξοδος ΦΔΤ με Ν=3
έξοδος ΦΔΤ με Ν=5
Φίλτρα διάμεσης τιμής (median) Ορισμοί
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 5/50
Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες
median {x1,x2,x3} +median{y1,y2,y3}median{x1+y1,x2+y2,x3+y3}
ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 6/50
Επανειλημμένη εφαρμογή
του median φίλτρου
καταλήγει σε εικόνες που
δεν μεταβάλλονται.
0 5 10 15 20 -2
0
2
0 5 10 15 20 -2
0
2
0 5 10 15 20 -5
0
5
Σήματα - ρίζες
Θεώρημα: Ένα σήμα ρίζα αποτελείται από σταθερές περιοχές και ακμές
Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 7/50
Επαναλαμβανόμενη εφαρμογή median φίλτρου καταλήγει σε σήμα ρίζα. Για φίλτρο παραθύρου 2K+1 και σήμα μήκους L ο μέγιστος αριθμός των επαναλήψεων είναι:
Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες
Θεώρημα:
)K(
L
22
23
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 8/50
Τι είναι impulse: Δυο σταθερές περιοχές μέ K σημεία μετάξύ αυτών
Κρουστική απόκριση
0
1
Ένα ΦΔΤ με μήκος Ν=3 δεν αλλοιώνει το σήμα - σταθερή περιοχή. Για Ν=5 όμως οι δύο παλμοί εξαλείφονται αφού median{0, 0, 0, 1, 1}=0
Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 9/50
Απόκριση σε ακμή (ράμπα)
Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες
είσοδος x(n) και
έξοδος ΦΔΤ
φίλτρο μέσης
τιμής
0
1
Απόκριση ΦΔΤ (Ν=3)σε ακμή. Δεικνύεται για σύγκριση και η απόκριση φίλτρου μέσης τιμής.
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 10/50
Επαναληπτικά φίλτρα Διάμεσης τιμής
(Recursive)
y(n)=med{y(n-M),y(n-M+1)…y(n-1),x(n),x(n+1),…x(n+M)}
καταλήγουν με ένα πέρασμα σε σήμα-ρίζα
Καλύτερο φιλτράρισμα
αλλα
μεγαλύτερη παραμόρφωση
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 11/50
Συμπεριφορά στο θόρυβο
Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες
0 50 100
-4
-2
0
2
4
0 50 100 -1
0
1 N=5
Το σήμα εισόδου είναι ακολουθία Gaussian θορύβου (1,0). Η φιλτραρισμένη έξοδος έχει αισθητά μικρότερη διακύμανση
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 12/50
p(z)
z
p(z)
z a b
ab
1
Θόρυβος -κατανομές
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 13/50
Συμπεριφορά στο Θόρυβο
Θόρυβος στην είσοδο m,σ2
Φίλτρο μέσης τιμής
Φίλτρο median
n
2
2
1
n21
2
21
12
xxxxx
1)x(f
n
2
n
2222/)mx(
e2
1)x(f
2n3
2
21n2
2
|mx|2
e2
)x(fLaplacian
Uniform
Gaussian
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 14/50
…. Και εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάνειας (maximum likelihood estimation)
Λαπλασιανός θόρυβος
i
ι
Ν321
|xx||xx||xx||xx||xx|ee...eee
min|xx|i
i
|mx|2
e2
)x(f
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 15/50
Δίνεται το σύνολο{2,6,1} για x=2 Σ|x-xi|=|2-6|+|2-1|=5 για x=6 Σ|x-xi|=|2-6|+|6-1|=9 για x=1 Σ|x-xi|=|2-1|+|6-1|=6
Σαν παράδειγμα
….. Που είναι το median{2,6,1}=2
Επιλέγεται x=2
Δηλαδή το median είναι ο καλύτερος εκτιμητής μέσης τιμής σε δεδομένα Λαπλασιανής κατανομής
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 16/50
Προσέγγιση των median φίλτρων
i
imm |xx|)x(L
Εάν {xi}=1,2,2.5,4,7,7.5,9
0 2 4 6 8 1018
20
22
24
26
28
30
0 2 4 6 8 101
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
-3
)x(L m
21
)x(L m
n
n
Lm m
Lm m
)x(L
)n(x)x(L
)n(y
2
2
1
1
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 17/50
Γενίκευση της median τιμής σε διανυσματικές διαδικασίες
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 18/50
Διανυσματικός διάμεσος Vector median
),xd(xd j
n
1j
ii
Πώς διατάσσονται n διανύσματα ?
1. Υπολογίζονται οι αποστάσεις d(xixj) κάθε διανύσματος xi από όλα τα υπόλοιπα
2. Υπολογίζεται η συνολική απόσταση:
3. Ο διανυσματικός διάμεσος -Vector Median Filter VMF- αντιστοιχεί στο μικρότερο di
1
2
3
4
5
d(x4x3)
Το διάνυσμα#5 έχει την μικρότερη συνολικά (ευκλείδεια) απόσταση από τα υπόλοιπα διανύσματα
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 19/50
Vector Directional Filters - VDF
ji
t
ji1
ji
j
n
1j
ii
xx
xxcos),xA(xwith
),xA(xα
Ο VD διανυσματικός διάμεσος αντιστοιχεί στο μικρότερο ai
1
2
3
4
5
A3,2
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 20/50
Υλοποίηση των median φιλτρων
Αποσύνθεση κατωφλίου Φίλτρα σωρού (stack filters) Θετική συνάρτηση Boole
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 21/50
Στην είσοδο το σήμα αποσυντίθεται με κατωφλιοποίηση και προστίθενται οι έξοδοι. Εάν κάθε γραμμή πραγματοποιεί median πράξη το άθροισμα των δυαδικών εξόδων θα είναι το median φίλτρο
Φίλτρα σωρού – stack filters.
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 22/50
Θετική συνάρτηση Boole Positive boolean function PBF
για median φιλτρο 3 σημείων
med{x1,x2,x3 }
η ισοδύναμη δυαδική Boolean συνάρτηση:
f(x1; x2; x3) = x1x2 + x2x3 +x1x3
Γενικά:
f(x1, x2, x3, x4 x5) = x1x2 + x2x3x4 + x4x5
Max-min
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 23/50
ΠΑΡΑΓΩΓΑ ΦΙΛΤΡΑ
(Από τα median)
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 24/50
Alpha trimmed mean filter
ΝαΝ
1Ναj
)j( )n(xαΝ2N
1)n(y
{x(n), x(n-1),….,x(n-N+1)} και η διατεταγμένη αύξουσα σειρά είναι x(1)(n)≤x(2)(n) ≤ …≤x(N)(n)
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 25/50
Maximum(A) = max[A(x + i, y + j)]
The original 256 x 256 pixel image corrupted by additive Gauss noise and the maximum filtered image using a 3 x 3 pixel square mask.
remove negative outlier noise
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 26/50
Midpoint Filter
)]n(x)n(x[2
1)n(y )N()1(
{22,77,48,150,77,158,0,77,218} η έξοδος (218+0)/2 = 109
Εχουν βέλτιστη συμπεριφορά στην καταστολή του θορύβου ομοιόμορφης κατανομής ή γενικώτερα κατανομών μικρής ουράς.
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 27/50
Range Filter
The range filter is used to find edges within an image
The original 256 x 256 pixel image corrupted by additive Gauss noise and the range filtered image using a 5 x 5 pixel square mask
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 28/50
Weighted Median Filter
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 29/50
FIR MEDIAN HYBRID (FMH) φίλτρα
FIR1 FIR2 FIR3
M E D I A N
y(n)
x(n)
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 30/50
FMH φίλτρα με υποφίλτρα ‘averagers’
}0FIR),n(x,0FIR{median)n(y
)in(xk
10FIR
)in(xk
10FIR
bwfw
k
1i
bw
k
1i
fw
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 31/50
Median N=11
FMH3
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 32/50
FMH φίλτρα με υποφίλτρα ‘linear predictors’
}1FIR),n(x,1FIR{median)n(y
)1k(k
2i6k4)i(hό
)in(x)i(h1FIR
)in(x)i(h1FIR
bwfw
1
k
1i
1bw
k
1i
1fw
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 33/50
‘linear predictors’ -συνέχεια
Ουσιαστικά ‘προβλέπουν’ τις ράμπες
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
)i(ih
)i(h
)]in(a)[i(hna
a)i(ha
]a)in(a)[i(h)n(x~ana
)in(x)i(h)n(x~:predictor
ana)n(x:rampsignal
1
1
1
11
1
00
0
1
101
1
01
0
1
συνέχεια
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 34/50
k
i
2
x
2
y )]i(h[σσ:ρυβοόθμαήσγια1
2
Οι συντελεστές h(i) βρίσκονται με την μέθοδο Langrage:
k
1i
k
i
k
i
οiοi ih(i)λ)i(hλ)]i(h[)λ,λ,h(L 1
11
21
)k(k
ik)i(h
1
2641
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 35/50
median
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 36/50
Βασική ιδιότητα:
Τριγωνικά σήματα είναι σήματα-ρίζες
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 37/50
Ημιτονικά σήματα και median filtering
0 50 100 150-1
-0.5
0
0.5
1
Αρχικό σήμα
0 50 100 150-1
-0.5
0
0.5
1
Ν=5
0 50 100 150-1
-0.5
0
0.5
1
Ν=11
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 38/50
Διόρθωση της ‘παραμόρφωσης’ Με FMH7 φίλτρα
ins f/f.k 630
y(n)=median{FIR0fw, FIR1fw, FIR0bw, FIR1bw, x(n), x(n), x(n)}
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 39/50
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 40/50
Φίλτρα διάμεσης τιμής δύο διαστάσεων
- εικόνα
10 15 20
50 30 12
60 17 25
10 15 20
50 30 12
60 17 25
Διάταξη σύμφωνα
με την τιμή του pixel
10
12
15
17
20 διάμεση
25 τιμή
30
50
60
Η υλοποίησή τους γίνεται με καθορισμό ενός παραθύρου (μάσκας) που
διατρέχει όλη την εικόνα και επιλέγεται ως έξοδος η μεσαία (median) τιμή.
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 41/50
Vector median filters
παράδειγμα
(a) Η εικόνα “Peppers”, 256x256, 24-bit per pixel, (b)Noisy Image, (c) Η έξοδος του VMF. Ο Θόρυβος στην αρχική εικόνα είναι gaussian(0,152) και κρουστικός(1%) σε κάθε κανάλι.
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 42/50
Μη γραμμικά φίλτρα μέσης τιμής
}xmax{yyxyyyy}xmin{ iCHpLpGHpLpCHi
Για κάθε σύνολο αριθμών xi ισχύει:
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 43/50
xN
xy
N
1i
i
Arithmetic
mean
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 44/50
The geometric mean filter is very susceptible to negative outliers
the geometric mean filtered image using a 3 x 3 pixel square mask
Geometric
mean NN21
N/1N
1i
iG x...xxxy
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 45/50
Πολύ καλό για εξάλειψη θετικών“outliers”
The original 180 x 210 pixel image and the harmonic mean filtered image using a 2 x 2 pixel square mask
N
1i
x1
H
i
NyHarmonic mean
1, 2, 4
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 46/50
Lp Mean
the Yp mean filtered image using a 5 x 5 pixel square mask and P = 2.
p1
N
1i
p
iLp
N
xy
Πολύ καλό για εξάλειψη αρνητικών“outliers”
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 47/50
The contra-harmonic filter is very good at removing positive outliers for negative values of P and negative outliers for positive values of P
contra-harmonic mean filtered image using a 5 x 5 pixel square mask and P = -2
N
1i
p
i
N
1i
1p
i
CH
x
x
yContra-harmonic
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 48/50
Συμπεριφορά σε ακμή
CH-2
CH2
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 49/50
Συμπεριφορά σε κρουστικό
θόρυβο
Ν=5, p=2
0 5 10 15 20 0
5
10
0 5 10 15 20 0
5
10
Oi αρνητικοί παλμοί φιλτράρονται για p>0
Και αντίστροφα, οι θετικοί φιλτράρονται για p<0
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 50/50
http://www.blackice.com/effectfilterNONLINEAR.htm http://www.icg.tu-graz.ac.at/courses/cgcv/slides08/cv1-02-Pre-Proc-Filter_1.pdf
Χρήσιμα sites