Μη γραμμικά Φίλτρα · 2018. 6. 8. · καταλήγει σε εικόνες που...

Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 1/50

Μη γραμμικά

Φίλτρα


Φίλτρα διάμεσης τιμής –

(median,order statistic)

Μη γραμμικά φίλτρα μέσης τιμής

Μορφολογικά φίλτρα

Ομομορφικά φίλτρα

Πολυωνυμικά φίλτρα


Φίλτρα διάμεσης τιμής (median filters)

Ορισμοί

y(1) = Median3{2, 2, 80}= 2

y(n)=median{x(n-M),…x(n)….x(n+M)}

median5{1,10,3,6,2}=median5{1,2,3,6,10}=3

παράδειγμα Δίνεται το σήμα x = {2 80 6 3 3..}

y(2) = Median3{2, 80, 6} = Median{2, 6, 80} = 6

y(3) = Median3{80, 6, 3} = Median{3, 6, 80}= 6

y(4) = Median3 {6, 3, 3}= Median{3, 3, 6} = 3

Αρα y = {2 6 6 3..}

Ακραία σημεία -συνοριακά


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2

0

2

4

x(n)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1

0

1

2

y3(n)

N=3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.5

0

0.5

y5(n)

N=5

n

Το σήμα x(n)

έξοδος ΦΔΤ με Ν=3

έξοδος ΦΔΤ με Ν=5

Φίλτρα διάμεσης τιμής (median) Ορισμοί


Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες

median {x1,x2,x3} +median{y1,y2,y3}median{x1+y1,x2+y2,x3+y3}

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ


Επανειλημμένη εφαρμογή

του median φίλτρου

καταλήγει σε εικόνες που

δεν μεταβάλλονται.

0 5 10 15 20 -2

0

2

0 5 10 15 20 -2

0

2

0 5 10 15 20 -5

0

5

Σήματα - ρίζες

Θεώρημα: Ένα σήμα ρίζα αποτελείται από σταθερές περιοχές και ακμές



Επαναλαμβανόμενη εφαρμογή median φίλτρου καταλήγει σε σήμα ρίζα. Για φίλτρο παραθύρου 2K+1 και σήμα μήκους L ο μέγιστος αριθμός των επαναλήψεων είναι:


Θεώρημα:

)K(

L

22

23


Τι είναι impulse: Δυο σταθερές περιοχές μέ K σημεία μετάξύ αυτών

Κρουστική απόκριση

0

1

Ένα ΦΔΤ με μήκος Ν=3 δεν αλλοιώνει το σήμα - σταθερή περιοχή. Για Ν=5 όμως οι δύο παλμοί εξαλείφονται αφού median{0, 0, 0, 1, 1}=0



Απόκριση σε ακμή (ράμπα)


είσοδος x(n) και

έξοδος ΦΔΤ

φίλτρο μέσης

τιμής

0

1

Απόκριση ΦΔΤ (Ν=3)σε ακμή. Δεικνύεται για σύγκριση και η απόκριση φίλτρου μέσης τιμής.


Επαναληπτικά φίλτρα Διάμεσης τιμής

(Recursive)

y(n)=med{y(n-M),y(n-M+1)…y(n-1),x(n),x(n+1),…x(n+M)}

καταλήγουν με ένα πέρασμα σε σήμα-ρίζα

Καλύτερο φιλτράρισμα

αλλα

μεγαλύτερη παραμόρφωση


Συμπεριφορά στο θόρυβο


0 50 100

-4

-2

0

2

4

0 50 100 -1

0

1 N=5

Το σήμα εισόδου είναι ακολουθία Gaussian θορύβου (1,0). Η φιλτραρισμένη έξοδος έχει αισθητά μικρότερη διακύμανση


p(z)

z

p(z)

z a b

ab

1

Θόρυβος -κατανομές


Συμπεριφορά στο Θόρυβο

Θόρυβος στην είσοδο m,σ2

Φίλτρο μέσης τιμής

Φίλτρο median

n

2

2

1

n21

2

21

12

xxxxx

1)x(f

n

2

n

2222/)mx(

e2

1)x(f

2n3

2

21n2

2

|mx|2

e2

)x(fLaplacian

Uniform

Gaussian


…. Και εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάνειας (maximum likelihood estimation)

Λαπλασιανός θόρυβος

i

ι

Ν321

|xx||xx||xx||xx||xx|ee...eee

min|xx|i

i

|mx|2

e2

)x(f


Δίνεται το σύνολο{2,6,1} για x=2 Σ|x-xi|=|2-6|+|2-1|=5 για x=6 Σ|x-xi|=|2-6|+|6-1|=9 για x=1 Σ|x-xi|=|2-1|+|6-1|=6

Σαν παράδειγμα

….. Που είναι το median{2,6,1}=2

Επιλέγεται x=2

Δηλαδή το median είναι ο καλύτερος εκτιμητής μέσης τιμής σε δεδομένα Λαπλασιανής κατανομής


Προσέγγιση των median φίλτρων

i

imm |xx|)x(L

Εάν {xi}=1,2,2.5,4,7,7.5,9

0 2 4 6 8 1018

20

22

24

26

28

30

0 2 4 6 8 101

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-3

)x(L m

21

)x(L m

n

n

Lm m

Lm m

)x(L

)n(x)x(L

)n(y

2

2

1

1


Γενίκευση της median τιμής σε διανυσματικές διαδικασίες


Διανυσματικός διάμεσος Vector median

),xd(xd j

n

1j

ii

Πώς διατάσσονται n διανύσματα ?

1. Υπολογίζονται οι αποστάσεις d(xixj) κάθε διανύσματος xi από όλα τα υπόλοιπα

2. Υπολογίζεται η συνολική απόσταση:

3. Ο διανυσματικός διάμεσος -Vector Median Filter VMF- αντιστοιχεί στο μικρότερο di

1

2

3

4

5

d(x4x3)

Το διάνυσμα#5 έχει την μικρότερη συνολικά (ευκλείδεια) απόσταση από τα υπόλοιπα διανύσματα


Vector Directional Filters - VDF

ji

t

ji1

ji

j

n

1j

ii

xx

xxcos),xA(xwith

),xA(xα

Ο VD διανυσματικός διάμεσος αντιστοιχεί στο μικρότερο ai

1

2

3

4

5

A3,2


Υλοποίηση των median φιλτρων

Αποσύνθεση κατωφλίου Φίλτρα σωρού (stack filters) Θετική συνάρτηση Boole


Στην είσοδο το σήμα αποσυντίθεται με κατωφλιοποίηση και προστίθενται οι έξοδοι. Εάν κάθε γραμμή πραγματοποιεί median πράξη το άθροισμα των δυαδικών εξόδων θα είναι το median φίλτρο

Φίλτρα σωρού – stack filters.


Θετική συνάρτηση Boole Positive boolean function PBF

για median φιλτρο 3 σημείων

med{x1,x2,x3 }

η ισοδύναμη δυαδική Boolean συνάρτηση:

f(x1; x2; x3) = x1x2 + x2x3 +x1x3

Γενικά:

f(x1, x2, x3, x4 x5) = x1x2 + x2x3x4 + x4x5

Max-min


ΠΑΡΑΓΩΓΑ ΦΙΛΤΡΑ

(Από τα median)


Alpha trimmed mean filter

ΝαΝ

1Ναj

)j( )n(xαΝ2N

1)n(y

{x(n), x(n-1),….,x(n-N+1)} και η διατεταγμένη αύξουσα σειρά είναι x(1)(n)≤x(2)(n) ≤ …≤x(N)(n)


Maximum(A) = max[A(x + i, y + j)]

The original 256 x 256 pixel image corrupted by additive Gauss noise and the maximum filtered image using a 3 x 3 pixel square mask.

remove negative outlier noise


Midpoint Filter

)]n(x)n(x[2

1)n(y )N()1(

{22,77,48,150,77,158,0,77,218} η έξοδος (218+0)/2 = 109

Εχουν βέλτιστη συμπεριφορά στην καταστολή του θορύβου ομοιόμορφης κατανομής ή γενικώτερα κατανομών μικρής ουράς.


Range Filter

The range filter is used to find edges within an image

The original 256 x 256 pixel image corrupted by additive Gauss noise and the range filtered image using a 5 x 5 pixel square mask


Weighted Median Filter


FIR MEDIAN HYBRID (FMH) φίλτρα

FIR1 FIR2 FIR3

M E D I A N

y(n)

x(n)


FMH φίλτρα με υποφίλτρα ‘averagers’

}0FIR),n(x,0FIR{median)n(y

)in(xk

10FIR

)in(xk

10FIR

bwfw

k

1i

bw

k

1i

fw


Median N=11

FMH3


FMH φίλτρα με υποφίλτρα ‘linear predictors’

}1FIR),n(x,1FIR{median)n(y

)1k(k

2i6k4)i(hό

)in(x)i(h1FIR

)in(x)i(h1FIR

bwfw

1

k

1i

1bw

k

1i

1fw


‘linear predictors’ -συνέχεια

Ουσιαστικά ‘προβλέπουν’ τις ράμπες

k

i

k

i

k

i

k

i

k

i

k

i

)i(ih

)i(h

)]in(a)[i(hna

a)i(ha

]a)in(a)[i(h)n(x~ana

)in(x)i(h)n(x~:predictor

ana)n(x:rampsignal

1

1

1

11

1

00

0

1

101

1

01

0

1

συνέχεια


k

i

2

x

2

y )]i(h[σσ:ρυβοόθμαήσγια1

2

Οι συντελεστές h(i) βρίσκονται με την μέθοδο Langrage:

k

1i

k

i

k

i

οiοi ih(i)λ)i(hλ)]i(h[)λ,λ,h(L 1

11

21

)k(k

ik)i(h

1

2641


median


Βασική ιδιότητα:

Τριγωνικά σήματα είναι σήματα-ρίζες


Ημιτονικά σήματα και median filtering

0 50 100 150-1

-0.5

0

0.5

1

Αρχικό σήμα

0 50 100 150-1

-0.5

0

0.5

1

Ν=5

0 50 100 150-1

-0.5

0

0.5

1

Ν=11


Διόρθωση της ‘παραμόρφωσης’ Με FMH7 φίλτρα

ins f/f.k 630

y(n)=median{FIR0fw, FIR1fw, FIR0bw, FIR1bw, x(n), x(n), x(n)}


Φίλτρα διάμεσης τιμής δύο διαστάσεων

- εικόνα

10 15 20

50 30 12

60 17 25

10 15 20

50 30 12

60 17 25

Διάταξη σύμφωνα

με την τιμή του pixel

10

12

15

17

20 διάμεση

25 τιμή

30

50

60

Η υλοποίησή τους γίνεται με καθορισμό ενός παραθύρου (μάσκας) που

διατρέχει όλη την εικόνα και επιλέγεται ως έξοδος η μεσαία (median) τιμή.


Vector median filters

παράδειγμα

(a) Η εικόνα “Peppers”, 256x256, 24-bit per pixel, (b)Noisy Image, (c) Η έξοδος του VMF. Ο Θόρυβος στην αρχική εικόνα είναι gaussian(0,152) και κρουστικός(1%) σε κάθε κανάλι.


Μη γραμμικά φίλτρα μέσης τιμής

}xmax{yyxyyyy}xmin{ iCHpLpGHpLpCHi

Για κάθε σύνολο αριθμών xi ισχύει:


xN

xy

N

1i

i

Arithmetic

mean


The geometric mean filter is very susceptible to negative outliers

the geometric mean filtered image using a 3 x 3 pixel square mask

Geometric

mean NN21

N/1N

1i

iG x...xxxy


Πολύ καλό για εξάλειψη θετικών“outliers”

The original 180 x 210 pixel image and the harmonic mean filtered image using a 2 x 2 pixel square mask

N

1i

x1

H

i

NyHarmonic mean

1, 2, 4


Lp Mean

the Yp mean filtered image using a 5 x 5 pixel square mask and P = 2.

p1

N

1i

p

iLp

N

xy

Πολύ καλό για εξάλειψη αρνητικών“outliers”


The contra-harmonic filter is very good at removing positive outliers for negative values of P and negative outliers for positive values of P

contra-harmonic mean filtered image using a 5 x 5 pixel square mask and P = -2

N

1i

p

i

N

1i

1p

i

CH

x

x

yContra-harmonic


Συμπεριφορά σε ακμή

CH-2

CH2


Συμπεριφορά σε κρουστικό

θόρυβο

Ν=5, p=2

0 5 10 15 20 0

5

10

0 5 10 15 20 0

5

10

Oi αρνητικοί παλμοί φιλτράρονται για p>0

Και αντίστροφα, οι θετικοί φιλτράρονται για p<0


http://www.blackice.com/effectfilterNONLINEAR.htm http://www.icg.tu-graz.ac.at/courses/cgcv/slides08/cv1-02-Pre-Proc-Filter_1.pdf

Χρήσιμα sites

http://www.blackice.com/effectfilterNONLINEAR.htm

Μη γραμμικά Φίλτρα · 2018. 6. 8. · καταλήγει σε εικόνες που...

Documents

Transcript of Μη γραμμικά Φίλτρα · 2018. 6. 8. · καταλήγει σε εικόνες που...