Μη γραμμικά Φίλτρα · 2018. 6. 8. · καταλήγει σε εικόνες που...

Click here to load reader

  • date post

    14-Sep-2020
  • Category

    Documents

  • view

    0
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Μη γραμμικά Φίλτρα · 2018. 6. 8. · καταλήγει σε εικόνες που...

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 1/50

    Μη γραμμικά

    Φίλτρα

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 2/50

    Φίλτρα διάμεσης τιμής –

    (median,order statistic)

    Μη γραμμικά φίλτρα μέσης τιμής

    Μορφολογικά φίλτρα

    Ομομορφικά φίλτρα

    Πολυωνυμικά φίλτρα

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 3/50

    Φίλτρα διάμεσης τιμής (median filters)

    Ορισμοί

    y(1) = Median3{2, 2, 80}= 2

    y(n)=median{x(n-M),…x(n)….x(n+M)}

    median5{1,10,3,6,2}=median5{1,2,3,6,10}=3

    παράδειγμα Δίνεται το σήμα x = {2 80 6 3 3..}

    y(2) = Median3{2, 80, 6} = Median{2, 6, 80} = 6

    y(3) = Median3{80, 6, 3} = Median{3, 6, 80}= 6

    y(4) = Median3 {6, 3, 3}= Median{3, 3, 6} = 3

    Αρα y = {2 6 6 3..}

    Ακραία σημεία -συνοριακά

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 4/50

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2

    0

    2

    4

    x(n)

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1

    0

    1

    2

    y3(n)

    N=3

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.5

    0

    0.5

    y5(n)

    N=5

    n

    Το σήμα x(n)

    έξοδος ΦΔΤ με Ν=3

    έξοδος ΦΔΤ με Ν=5

    Φίλτρα διάμεσης τιμής (median) Ορισμοί

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 5/50

    Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες

    median {x1,x2,x3} +median{y1,y2,y3}median{x1+y1,x2+y2,x3+y3}

    ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 6/50

    Επανειλημμένη εφαρμογή

    του median φίλτρου

    καταλήγει σε εικόνες που

    δεν μεταβάλλονται.

    0 5 10 15 20 -2

    0

    2

    0 5 10 15 20 -2

    0

    2

    0 5 10 15 20 -5

    0

    5

    Σήματα - ρίζες

    Θεώρημα: Ένα σήμα ρίζα αποτελείται από σταθερές περιοχές και ακμές

    Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 7/50

    Επαναλαμβανόμενη εφαρμογή median φίλτρου καταλήγει σε σήμα ρίζα. Για φίλτρο παραθύρου 2K+1 και σήμα μήκους L ο μέγιστος αριθμός των επαναλήψεων είναι:

    Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες

    Θεώρημα:

    )K(

    L

    22

    23

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 8/50

    Τι είναι impulse: Δυο σταθερές περιοχές μέ K σημεία μετάξύ αυτών

    Κρουστική απόκριση

    0

    1

    Ένα ΦΔΤ με μήκος Ν=3 δεν αλλοιώνει το σήμα - σταθερή περιοχή. Για Ν=5 όμως οι δύο παλμοί εξαλείφονται αφού median{0, 0, 0, 1, 1}=0

    Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 9/50

    Απόκριση σε ακμή (ράμπα)

    Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες

    είσοδος x(n) και

    έξοδος ΦΔΤ

    φίλτρο μέσης

    τιμής

    0

    1

    Απόκριση ΦΔΤ (Ν=3)σε ακμή. Δεικνύεται για σύγκριση και η απόκριση φίλτρου μέσης τιμής.

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 10/50

    Επαναληπτικά φίλτρα Διάμεσης τιμής

    (Recursive)

    y(n)=med{y(n-M),y(n-M+1)…y(n-1),x(n),x(n+1),…x(n+M)}

    καταλήγουν με ένα πέρασμα σε σήμα-ρίζα

    Καλύτερο φιλτράρισμα

    αλλα

    μεγαλύτερη παραμόρφωση

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 11/50

    Συμπεριφορά στο θόρυβο

    Φίλτρα διάμεσης τιμής Ιδιότητες

    0 50 100

    -4

    -2

    0

    2

    4

    0 50 100 -1

    0

    1 N=5

    Το σήμα εισόδου είναι ακολουθία Gaussian θορύβου (1,0). Η φιλτραρισμένη έξοδος έχει αισθητά μικρότερη διακύμανση

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 12/50

    p(z)

    z

    p(z)

    z a b

    ab

    1

    Θόρυβος -κατανομές

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 13/50

    Συμπεριφορά στο Θόρυβο

    Θόρυβος στην είσοδο m,σ2

    Φίλτρο μέσης τιμής

    Φίλτρο median

    n

    2

    2

    1

    n21

    2

    21

    12

    xxxxx

    1)x(f

    n

    2

    n

    222 2/)mx(e

    2

    1)x(f

    2n3

    2

    21n2

    2

    |mx|2

    e2

    )x(fLaplacian

    Uniform

    Gaussian

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 14/50

    …. Και εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάνειας (maximum likelihood estimation)

    Λαπλασιανός θόρυβος

    Ν321

    |xx||xx||xx||xx||xx|ee...eee

    min|xx|i

    i

    |mx|2

    e2

    )x(f

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 15/50

    Δίνεται το σύνολο{2,6,1} για x=2 Σ|x-xi|=|2-6|+|2-1|=5 για x=6 Σ|x-xi|=|2-6|+|6-1|=9 για x=1 Σ|x-xi|=|2-1|+|6-1|=6

    Σαν παράδειγμα

    ….. Που είναι το median{2,6,1}=2

    Επιλέγεται x=2

    Δηλαδή το median είναι ο καλύτερος εκτιμητής μέσης τιμής σε δεδομένα Λαπλασιανής κατανομής

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 16/50

    Προσέγγιση των median φίλτρων

    i

    imm |xx|)x(L

    Εάν {xi}=1,2,2.5,4,7,7.5,9

    0 2 4 6 8 1018

    20

    22

    24

    26

    28

    30

    0 2 4 6 8 101

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5x 10

    -3

    )x(L m

    21

    )x(L m

    n

    n

    Lm m

    Lm m

    )x(L

    )n(x)x(L

    )n(y

    2

    2

    1

    1

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 17/50

    Γενίκευση της median τιμής σε διανυσματικές διαδικασίες

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 18/50

    Διανυσματικός διάμεσος Vector median

    ),xd(xd j

    n

    1j

    ii

    Πώς διατάσσονται n διανύσματα ?

    1. Υπολογίζονται οι αποστάσεις d(xixj) κάθε διανύσματος xi από όλα τα υπόλοιπα

    2. Υπολογίζεται η συνολική απόσταση:

    3. Ο διανυσματικός διάμεσος -Vector Median Filter VMF- αντιστοιχεί στο μικρότερο di

    1

    2

    3

    4

    5

    d(x4x3)

    Το διάνυσμα#5 έχει την μικρότερη συνολικά (ευκλείδεια) απόσταση από τα υπόλοιπα διανύσματα

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 19/50

    Vector Directional Filters - VDF

    ji

    t

    ji1

    ji

    j

    n

    1j

    ii

    xx

    xxcos),xA(xwith

    ),xA(xα

    Ο VD διανυσματικός διάμεσος αντιστοιχεί στο μικρότερο ai

    1

    2

    3

    4

    5

    A3,2

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 20/50

    Υλοποίηση των median φιλτρων

    Αποσύνθεση κατωφλίου Φίλτρα σωρού (stack filters) Θετική συνάρτηση Boole

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 21/50

    Στην είσοδο το σήμα αποσυντίθεται με κατωφλιοποίηση και προστίθενται οι έξοδοι. Εάν κάθε γραμμή πραγματοποιεί median πράξη το άθροισμα των δυαδικών εξόδων θα είναι το median φίλτρο

    Φίλτρα σωρού – stack filters.

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 22/50

    Θετική συνάρτηση Boole Positive boolean function PBF

    για median φιλτρο 3 σημείων

    med{x1,x2,x3 }

    η ισοδύναμη δυαδική Boolean συνάρτηση:

    f(x1; x2; x3) = x1x2 + x2x3 +x1x3

    Γενικά:

    f(x1, x2, x3, x4 x5) = x1x2 + x2x3x4 + x4x5

    Max-min

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 23/50

    ΠΑΡΑΓΩΓΑ ΦΙΛΤΡΑ

    (Από τα median)

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 24/50

    Alpha trimmed mean filter

    ΝαΝ

    1Ναj

    )j( )n(xαΝ2N

    1)n(y

    {x(n), x(n-1),….,x(n-N+1)} και η διατεταγμένη αύξουσα σειρά είναι x(1)(n)≤x(2)(n) ≤ …≤x(N)(n)

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 25/50

    Maximum(A) = max[A(x + i, y + j)]

    The original 256 x 256 pixel image corrupted by additive Gauss noise and the maximum filtered image using a 3 x 3 pixel square mask.

    remove negative outlier noise

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 26/50

    Midpoint Filter

    )]n(x)n(x[2

    1)n(y )N()1(

    {22,77,48,150,77,158,0,77,218} η έξοδος (218+0)/2 = 109

    Εχουν βέλτιστη συμπεριφορά στην καταστολή του θορύβου ομοιόμορφης κατανομής ή γενικώτερα κατανομών μικρής ουράς.

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 27/50

    Range Filter

    The range filter is used to find edges within an image

    The original 256 x 256 pixel image corrupted by additive Gauss noise and the range filtered image using a 5 x 5 pixel square mask

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 28/50

    Weighted Median Filter

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 29/50

    FIR MEDIAN HYBRID (FMH) φίλτρα

    FIR1 FIR2 FIR3

    M E D I A N

    y(n)

    x(n)

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 30/50

    FMH φίλτρα με υποφίλτρα ‘averagers’

    }0FIR),n(x,0FIR{median)n(y

    )in(xk

    10FIR

    )in(xk

    10FIR

    bwfw

    k

    1i

    bw

    k

    1i

    fw

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 31/50

    Median N=11

    FMH3

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 32/50

    FMH φίλτρα με υποφίλτρα ‘linear predictors’

    }1FIR),n(x,1FIR{median)n(y

    )1k(k

    2i6k4)i(hό

    )in(x)i(h1FIR

    )in(x)i(h1FIR

    bwfw

    1

    k

    1i

    1bw

    k

    1i

    1fw

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 33/50

    ‘linear predictors’ -συνέχεια

    Ουσιαστικά ‘προβλέπουν’ τις ράμπες

    k

    i

    k

    i

    k

    i

    k

    i

    k

    i

    k

    i

    )i(ih

    )i(h

    )]in(a)[i(hna

    a)i(ha

    ]a)in(a)[i(h)n(x~ana

    )in(x)i(h)n(x~:predictor

    ana)n(x:rampsignal

    1

    1

    1

    11

    1

    00

    0

    1

    101

    1

    01

    0

    1

    συνέχεια

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 34/50

    k

    i

    2

    x

    2

    y )]i(h[σσ:ρυβοόθμαήσγια1

    2

    Οι συντελεστές h(i) βρίσκονται με την μέθοδο Langrage:

    k

    1i

    k

    i

    k

    i

    οiοi ih(i)λ)i(hλ)]i(h[)λ,λ,h(L 111

    21

    )k(k

    ik)i(h

    1

    2641

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 35/50

    median

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 36/50

    Βασική ιδιότητα:

    Τριγωνικά σήματα είναι σήματα-ρίζες

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 37/50

    Ημιτονικά σήματα και median filtering

    0 50 100 150-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    Αρχικό σήμα

    0 50 100 150-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    Ν=5

    0 50 100 150-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    Ν=11

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 38/50

    Διόρθωση της ‘παραμόρφωσης’ Με FMH7 φίλτρα

    ins f/f.k 630

    y(n)=median{FIR0fw, FIR1fw, FIR0bw, FIR1bw, x(n), x(n), x(n)}

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 39/50

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 40/50

    Φίλτρα διάμεσης τιμής δύο διαστάσεων

    - εικόνα

    10 15 20

    50 30 12

    60 17 25

    10 15 20

    50 30 12

    60 17 25

    Διάταξη σύμφωνα

    με την τιμή του pixel

    10

    12

    15

    17

    20 διάμεση

    25 τιμή

    30

    50

    60

    Η υλοποίησή τους γίνεται με καθορισμό ενός παραθύρου (μάσκας) που

    διατρέχει όλη την εικόνα και επιλέγεται ως έξοδος η μεσαία (median) τιμή.

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 41/50

    Vector median filters

    παράδειγμα

    (a) Η εικόνα “Peppers”, 256x256, 24-bit per pixel, (b)Noisy Image, (c) Η έξοδος του VMF. Ο Θόρυβος στην αρχική εικόνα είναι gaussian(0,152) και κρουστικός(1%) σε κάθε κανάλι.

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 42/50

    Μη γραμμικά φίλτρα μέσης τιμής

    }xmax{yyxyyyy}xmin{ iCHpLpGHpLpCHi

    Για κάθε σύνολο αριθμών xi ισχύει:

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 43/50

    xN

    xy

    N

    1i

    i

    Arithmetic

    mean

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 44/50

    The geometric mean filter is very susceptible to negative outliers

    the geometric mean filtered image using a 3 x 3 pixel square mask

    Geometric

    mean N N21

    N/1N

    1i

    iG x...xxxy

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 45/50

    Πολύ καλό για εξάλειψη θετικών“outliers”

    The original 180 x 210 pixel image and the harmonic mean filtered image using a 2 x 2 pixel square mask

    N

    1i

    x1

    H

    i

    NyHarmonic mean

    1, 2, 4

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 46/50

    Lp Mean

    the Yp mean filtered image using a 5 x 5 pixel square mask and P = 2.

    p1

    N

    1i

    p

    iLp

    N

    xy

    Πολύ καλό για εξάλειψη αρνητικών“outliers”

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 47/50

    The contra-harmonic filter is very good at removing positive outliers for negative values of P and negative outliers for positive values of P

    contra-harmonic mean filtered image using a 5 x 5 pixel square mask and P = -2

    N

    1i

    p

    i

    N

    1i

    1p

    i

    CH

    x

    x

    yContra-harmonic

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 48/50

    Συμπεριφορά σε ακμή

    CH-2

    CH2

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 49/50

    Συμπεριφορά σε κρουστικό

    θόρυβο

    Ν=5, p=2

    0 5 10 15 20 0

    5

    10

    0 5 10 15 20 0

    5

    10

    Oi αρνητικοί παλμοί φιλτράρονται για p>0

    Και αντίστροφα, οι θετικοί φιλτράρονται για p

  • Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σ. Φωτόπουλος ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ 50/50

    http://www.blackice.com/effectfilterNONLINEAR.htm http://www.icg.tu-graz.ac.at/courses/cgcv/slides08/cv1-02-Pre-Proc-Filter_1.pdf

    Χρήσιμα sites

    http://www.blackice.com/effectfilterNONLINEAR.htm