Modèle mathématique d’un vélo

Guy Gauthier ing.

Paramètres définissant la géométrie du vélo

Référentiels

Bicyclette version simplifiée

L’angle λ = 90°. Fourche avant verticale. Ce qui implique que c = 0.

Vitesse de rotation duréférentiel xyz

Vitesses Roue arrière du vélo = V0; Centre de gravité = V.

Vitesse de rotation du référentiel:

0 0

0

tanV V

r b

0r rsinV V

r a

Vitesse du centre de gravité

A partir des deux équations précédentes:

Composante en y:

0 tan

sin

aVV

b

0 tansiny

aVV V

b

0r r

Dynamique liée à l’inclinaison du vélo

Dynamique:

Avec:

2 2

2sin cos cosy

p

dVd VJ mgh mh

r dtdt

02cos

ydV aV d

dt dtb

0r r

Gravité

Force

centrif

uge

Force

accélératio

n

Dynamique liée à l’inclinaison du vélo

De plus, pour la partie centrifuge:

Ainsi, la dynamique devient:

220 0tan

cos tantan

aV VV V

r r b

220

2 20

cossin tan

cosp p

mhVd mgh a d

J bJ dtdt V

Bilan

C’est l’équivalent d’un pendule: Deux types de forces entrent en jeu:

Force centrifuge, proportionnelle à:

Force d’accélération angulaire, proportionnelle à:

0

dVdt

20 tanV

Linéarisation (petits angles φ)

En posant cos(φ)≈1 et sin(φ)≈φ :

En Laplace 2

002

1( )( )

( ) p p

a V smhVsP s

s bJ s mgh J

220

20p p

mhVd mgh a d

J bJ V dtdt

Localisation des pôles et zéros

Pôles:

Zéros:0z V a

1,2 pp mgh J

Un des pôles est instable !

Valeurs numériques

h = 1.3 m; a = 0.4 m; b = 1.2 m; m = 75 kg; Jp ≈ mh2.

020 2

0.4 1( ) 0.64

7.55

V sP s V

s

1,2 2.75p g h

02.5z V

Bilan

Le gain du système dépend du carré de la vitesse du vélo.

La position du zéro dépend de la vitesse.

Pole instable à plus lent si h est grand. Plus facile de conduire un vélo d’adulte

qu’un vélo d’enfant.

g h

Comment rendre le vélo stable ?

La clé, c’est la fourche avant: Typiquement c = 4 à 8 cm.

Comment rendre le vélo stable ?

Cela introduit une rétroaction:

Ainsi, on obtient:

1 2k k T

220

1 2 1 220 0p p

mhVd mgh a d a dTk k T k k

J bJ V dt V dtdt

220 1 0 2 0 0

21

p p p

amhkV k V ak mhV Vd d mgh dTT

bJ dt J bg bJ dt adt

Couple à la poignée

Comment rendre le vélo stable ?

Pour que ce soit stable, il faut que:

Donc, une fourche avant est essentielle à la stabilité du vélo.

Vélo stable si vitesse suffisamment élevée.

Ce qui ne facilite pas la tâche aux enfants.

01

bgV

k

Cas ou la roue commandée est à l’arrière

Schéma de principe:

Regardez la direction du vecteur V !

Préliminaires

Équations:

Dynamique:

0 tan

br

sin

ar

0 tan

sin

aVV

b

2 2

2sin cos cosy

p

dVd VJ mgh mh

r dtdt

Suite du modèle

Avec:

Qui dérivé donne:

0sin tany

aVV V

b

02

1

cosydV aV d

dt b dt

Nouvelle dynamique

Qui est:

En linéarisant:

220

2 20

cossin tan

cosp p

mhVd mgh a d

J bJ dtdt V

220

20p p

mhVd mgh a d

J bJ V dtdt

Transformation de Laplace

La voici:

Mêmes pôles, mais zéro dans le plan droit maintenant ! Gros risque de problème.

200

2

1( )( )

( ) p p

a V smhVsP s

s bJ s mgh J

Transformation de Laplace

Et avec une fourche avant: 1k 220

1 120p p

mhVd mgh a dk k

J bJ V dtdt

221 0 1 0

21 0

p p

amhk V k Vd d mgh

bJ dt J bgdt

Bilan avec la conduite arrière

Système toujours instable. La conduite arrière introduit un zéro

dans le plan droit. Ce zéro rend le contrôle très difficile,

sinon impossible. Un très mauvais design.

Référence

Karl J. Åström, Richard E. Klein, and Anders Lennartsson, ‘Bicycle dynamics and control: adapted bicycles for education and research’, IEEE Control System Magazine, Vol. 24, No. 4, pp. 26-47, August 2005