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  • LE NOMBRE PI

    Sam Muth Nicolas Hbrard

    1

  • Table des matires

    I. Approche gomtrique................................................3

    I.1. La mthode de duplication dArchimde.............3 I.2. Le problme du cercle de Gauss..............................6 I.3. Le produit infini de Vite...........................................8

    II. Les mthodes analytiques.........................................10

    II.1. Le produit infini de Wallis.....................................10 II.2. Lquivalent de Stirling...........................................12 II.3. Les formules avec larctangente...........................14 II.3.1. La formule de Gregory et Leibniz..........................14

    II.3.2. Formules du type Machin.......................................15 II.3.3 Euler.........................................................................16

    III. Acclration de la convergence dune suite et formule BBP...................................................................17

    III.1. Delta-2 de Aitken.....................................................17 III.1.1. Enonc et dmonstration.......................................17

    III.1.2. Utilisation de la formule........................................19 III.2. Formule BBP.............................................................21

    2

  • Le nombre est peut-tre lentit mathmatique la plus connue dans le monde. Apparu ds lAntiquit, de manire intuitive, en tant que rapport du primtre dun cercle sur son diamtre, il na cess de susciter lintrt de lhomme en mathmatiques, mais semble peu li la Terre et lespace. Pourtant il a des applications dans ce domaine : les estimations grecques du primtre de le Terre en taient les prmisses, car ncessitant une valeurs approche de ce nombre, et aujourdhui il apparat dans des formules dlectromagntisme utiles notamment au calcul du champ lectromagntique de la Terre, tout comme dans diverses formules de mcanique cleste. On a mme montr rcemment que le calcul du primtre de la sphre-univers, pour atteindre une prcision de un proton, rclamait 39 dcimales de pi. Ce sont ces fameuses dcimales qui aujourdhui font tout lintrt de ce nombre. Nous tudierons donc diverses mthodes et formules pour approcher , avant de nous attarder sur la convergence des ces formules et un moyen de les acclrer.

    I. Approche gomtrique

    I.1. La mthode de duplication dArchimde

    La premire tentative dexprimer laire du cercle par celle dun carr remonte

    environ 40 sicles avec le Papyrus de Rhind, document gyptien dcouvert en 1855. On y trouve la rgle de calcul dite du neuvime. Considrons un cercle de diamtre d, et un carr de

    cot 89d. Alors en supposant les aires du disque et du carr gales, on a la relation : d4 =

    8d

    9, soit =

    16

    9 3,1605. Ainsi, lerreur commise est infrieure 2.10-2 (les symboles

    mathmatiques nexistaient bien sr pas cette poque, mais nous adoptons tout de mme ces notations pour rendre plus clair lnonc). Mais cest Archimde (287-212 avant J.C.) qui le premier se pencha rellement sur la question, et il faudra attendre le XVIe sicle pour que ses travaux soient dpasss, par lutilisation de sries et de produits infinis. Savant grec fondateur de lhydrostatique, galement auteur de travaux en statique, mcanique et gomtrie, Archimde invente la loi du levier ainsi que son fameux principe pour les corps flottants. Dans son crit De la mesure du cercle, il commence par dmontrer quil existe une unique constante telle que lon ait A=R et P=2R, o A et P sont respectivement laire et le primtre du cercle de rayon R. Pour calculer , il considre un cercle de rayon un, et il encadre le demi-primtre du cercle par les demi-primtres des polygones rguliers N=6.2n cts exinscrits (a ) et inscrits (bn n) dans le cercle. En prenant successivement n=0, 1, 2, 3, 4, cest--dire N=6, 12, 24, 48 et 96 cts, et en majorant les a et minorant les bn n, Archimde trouve, au fil des calculs, lencadrement :

    3 + 1071

    < 3 + 17

    < < a < b4 4 ,

    Soit 3,1408 < < 3,1429. Il est implicite quen prenant n de plus en plus grand on pourrait obtenir une valeur approche de aussi prcise quon veut, mme si cela prendrait beaucoup de temps. Archimde, voulant calculer la fameuse constante, fait preuve dune avance considrable sur son poque puisque sa mthode nest rien dautre quun algorithme bas sur

    3

  • deux suites adjacentes. Or, il ne disposait pas de la numration de position, ni dailleurs dune construction de lensemble des nombres rels. Enonons le thorme sur que donne Archimde, et dmontrons-le, en adoptant nanmoins des notations actuelles. Thorme :

    Pour tout entier n 0, soit an (resp. b ) le demi-primtre du polygone rgulier 6.2nn cts exinscrit (resp. inscrit) dans le cercle de rayon un. On a les formules de rcurrence :

    = 2 an bn an + bn

    (1.1) an+1 et b = an+1 bn n+1

    dont les premiers termes sont (1.2) a = 2 3 et b = 3. 0 0De plus

    = an+1 bn ( )an+1 + bn+1 ( )an + bn

    (1.3) an+1 bn+1 ( )an bn .

    Les suites ( )an et ( )bn sont adjacentes, cest--dire : (1.4) pour tout n 0, on a b < b < a < an n+1 n+1 n (1.5) et lim

    n ( )an bn = 0.

    Elles ont une limite commune, quon note : = lim

    n a =lim

    n bn n

    et qui est la longueur du demi-cercle de rayon un. Dmonstration :

    Contrairement Archimde, nous disposons de la trigonomtrie et plus seulement de la gomtrie dEuclide, servons-nous en donc. Soit AB (resp. CD) un ct du polygone rgulier 6.2n cts exinscrit (resp. inscrit) et soit 2 langle au centre correspondant.

    Donc est langle au centre des polygones 6.2n+1 cts. On a OC = OH = 1 et AH = tan, CK = sin, donc

    an = 3.2n+1tan bn = 3.2n+1sin

    4

  • tan2

    sin2

    an+1 = 3.2n+2 b = 3.2n+2n+1 .

    On peut calculer 2 an bn an + bn

    :

    2 an bn an + bn

    = 3.2n+2 sin.tan sin + tan

    tan2

    = 3.2n+2 = a . n+1

    tan

    2 sin 2

    Et an+1bn = 3.22n+3 sin = 3.22n+4 = ( )bn+1 . On a donc vrifi (1.1). Prouvons (1.3) : on a dune part

    an bnan+1 bn+1

    = 12 tan sin

    tan2

    sin2

    = tan

    tan2

    sin

    2

    1 cos2

    = 2 1 + cos

    2

    1 tan 2

    et dautre part

    = 2 1 + cos

    2( )an+1 + bn+1 ( )an + bnan+1bn

    1 + 1

    cos =

    1 + cos2 =

    1 + bn+1

    an+1

    1 + an

    bn 1 tan 2

    .

    Les ingalits (1.4) rsultent de (1.6) et des ingalits pour 0 < < 2

    :

    sin < 2sin2

    , sin < tan et 2tan2

    < tan.

    Enfin, prouvons (1.5) : de (1.3) et (1.4) vient que

    < a04b0

    an+1 bn+1 ( )an bn = 13 ( )an bn et donc, par rcurrence :

    n

    <

    1

    3 ( )a0 b0 . 0 < a bn nDonc daprs le thorme des gendarmes, lim

    n ( )an bn = 0.

    Ainsi, les suites ( )an et ( )bn sont adjacentes : la suite ( )an est dcroissante et minore (par b0), la suite ( )bn est croissante et majore (par a ). Soient donc et . On a : = lim

    n a = lim

    n b0 1 n 2 n 1

    = limn

    ( )an bn = 0, donc = , que lon note simplement . = limn

    a limn

    b2 n n 1 2

    Regardons maintenant comment volue la longueur = a bn n n de lintervalle dans lequel on enferme . Daprs (1.3) :

    n+1n

    = 12 1 tan

    2

    1 + cos2

    = 2x 12x( )1 + x

    = f(x)

    en posant x = cos2 . Quand n, x [cos 12

    , 1[ = [0,96 ; 1[. Or la fonction f est strictement

    croissante dans cet intervalle, donc

    0,23 n+1n

    < 14 pour tout n 0.

    5

  • Par consquent, chaque pas de la mthode dArchimde, lintervalle = a bn n n est au

    moins divis par 4, et on gagne moins dun chiffre dcimal par tape ( car Log10Log4

    53 , donc

    on gagne approximativement 3 chiffres dcimaux en 5 tapes).

    I.2. Le problme du cercle de Gauss Gauss (1777-1855) est sans doute lun des plus grands mathmaticiens de tous les

    temps. Alors quil navait mme pas dix ans, il rsout lopration que lui donne son professeur, pensant tre tranquille, la somme des nombres de un cent, en dcouvrant la formule

    k=1

    n k = n( )n + 12 . Il n'avait pas 16 ans lorsqu'il imagina une mthode de calcul de l'orbite d'une

    plante et de rsolution des systmes, son fameux pivot de Gauss. Devenu directeur de l'observatoire de Gttingen aprs ses travaux en mcanique cleste, il publie en 1801 Disquisitiones arithmeticae dans lequel il cre les congruences et tudie les formes quadratiques et diverses proprits d'algbre. Travaillant ensuite sur la gomtrie non euclidienne il s'intresse alors de plus en plus la physique, notamment au magntisme, l'optique et l'lectricit.

    Intressons-nous au comportement dune fonction arithmtique, dont Gauss fait une interprtation plus gomtrique. Un entier naturel peut tre ou ne pas tre somme de deux carrs. Par exemple 5 = 2 + 1, et 250 = 13 + 9 = 15 + 5, mais 3 nest pas somme de deux carrs, pas plus que 6, 7 ou 251. Dfinition : Soit r(n) le nombre de dcompositions de n comme somme de deux carrs. On considrera dans cette dfinition comme distinctes deux dcompositions mme si elles ne diffrent que par le signe dun nombre. Par exemple : 5 = ( 2) + ( 1) = ( 1) + ( 2), donc r(5) = 8. De mme 1 = ( 1) + 0 = 0 + ( 1), donc r(1) = 4 ; et r(7) = 0, r(250) = 16, r(251) = 0. On a ce rsultat sur la moyenne arithmtique :

    limn

    r(1) + r(2) + + r(n)n =

    et plus prcisment, on a le Thorme : (1.6) r(1) + r(2) + + r(n) = n + O( )n c'est--dire qu'il existe une constante positive C telle que, pour n assez grand, on ait :

    r(1) + r(2) + + r(n) n