Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · PDF fileAanliza sustava...

Matematicko modeliranje u biologiji

4. ANALIZA SUSTAVA DIFERENCIJALNIHJEDNADŽBI

1 / 110

Aanliza sustava diferencijalnih jednadžbi Sustav diferencijalnih jednadžbi

4.1. Sustav diferencijalnih jednadžbi

Chemostat model je primjer sustava diferencijalnih jednadži:

S′ = −VS

K + SPY

+ ω S0 − ω S, S(0) = s0

P ′ = VS

K + SP − ω P, P(0) = p0

→ dvije jednadžbe s dvije nepoznate funkcije.

Sustav diferencijalnih jednadžbi možemo zapisati u vektorskom obliku.

Definiramo

X (t) =

[S(t)P(t)

], X : R→ R2

X - vektorska funkcija

2 / 110

Derivacija vektorskih funkcija

X ′(t) = limh→0

[X (t + h)− X (t)]

= limh→0

([S(t + h)P(t + h)

S(t)P(t)

= limh→0

[S(t + h)− S(t)P(t + h)− P(t)

= limh→0

[S(t+h)−S(t)

hP(t+h)−P(t)

[limh→0

S(t+h)−S(t)h

limh→0P(t+h)−P(t)

[S′(t)P ′(t)

→ Vektorske funkcije se deriviraju po komponentama.3 / 110

F (X ) =

K + SPY

+ ω S0 − ω S

K + SP − ω P

i X0 =

vektorska funkcija

X (t) =

[S(t)P(t)

]je rješenje diferencijalne jednadžbe

X ′(t) = F (X (t)), X (0) = X0.

4 / 110

Opcenito, sustav diferencijalnih jednadžbi

y ′1 = f1(y1, . . . , yn), y1(0) = y01

y ′2 = f2(y1, . . . , yn), y2(0) = y02

...y ′n = fn(y1, . . . , yn), yn(0) = y0

možemo zapisati u vektorskom obliku

Y ′(t) = F (Y (t)), Y (0) = Y0,

gdje je

, F (Y ) =

f1(y1, . . . , yn)...

fn(y1, . . . , yn)

i Y0 =

y01...

,5 / 110

Aanliza sustava diferencijalnih jednadžbi Linearizacija sustava diferencijalnih jednadžbi

4.2. Linearizacija sustava diferencijalnih jednadžbi

Promatramo diferencijalnu jednadžbu

X ′ = F (X ), F : Rn → Rn

Analogno kao i u 1-d slucaju, funkciju F možemo zamijeniti Taylorovimpolinomom 1. stupnja:

F (X ) ≈ F (X0) + F ′(X0) · (X − X0)

Napomena. F ,X ,X0 su iz Rn.Što je F ′?

F (Y ) =

f1(y1, . . . , yn)...

fn(y1, . . . , yn)

, F ′(Y ) =

[∂fi∂yj

F ′ je Jacobijeva matrica (Jacobijan, matrica s parcijalnim derivacijama)6 / 110

Primjer

Izracunajte Jacobijan za funkciju F iz chemostat modela.

Rješenje.

F (S,P) =

K + SPY

+ ω S0 − ω S

K + SP − ω P

f1(S,P) = −VS

K + SPY

+ ω S0 − ω S

f2(S,P) = VS

K + SP − ω P

7 / 110

∂f1∂S

SK + S

+ ω S0 − ω S]

= − V K(K + S)2

PY− ω

∂f1∂P

SK + S

+ ω S0 − ω S]

= −VS

K + S1Y

∂f2∂S

SK + S

P − ω P]

(K + S)2 P

∂f2∂P

SK + S

P − ω P]

K + S− ω

8 / 110

F ′(S,P) =

∂f1∂S

∂f1∂P

∂f2∂S

∂f2∂P

−V K

(K + S)2PY− ω −V

SK + S

V K(K + S)2 P V

SK + S

− ω

9 / 110

U primjerima cemo koristiti chemostat model:

S′ = −VS

K + SPY

+ ω S0 − ω S,

P ′ = VS

K + SP − ω P

Model ima 5 parametara: V ,K ,Y , ω,S0

Da pojednostavnimo racunanje, koristit cemo deparametrizirani model.

Stoga,

ZadatakDeparametrizirajte chemostat model.

Uputa. Uvedimo nove varijable:

P(t) = P∗N(τ), S(t) = S∗C(τ), t = t∗τ

Konstante P∗,S∗, t∗ odredujemo tako da pojednostavimo model(smanjimo broj parametara).

10 / 110

Rješenje.

P ′(t) =ddt

P(t) =ddt

P∗N(τ)

= P∗ddt

t∗N ′(

t∗N ′(τ)

S′(t) =S∗

t∗C′(τ)

11 / 110

Model je oblika

t∗C′ = − V S∗C

K + S∗CP∗N

Y+ ω S0 − ω S∗C

t∗N ′ =

V S∗CK + S∗C

P∗N − ω P∗N

C′ = −t∗V C

K + S∗CP∗N

t∗ω S0

S∗− t∗ωC

N ′ = t∗V S∗C

K + S∗CN − t∗ωN

12 / 110

C′ = − t∗VP∗

S∗YC

KS∗ + C

N +t∗ω S0

S∗− t∗ωC

N ′ = t∗VC

KS∗ + C

N − t∗ωN

Izaberemo P∗,S∗, t∗ tako da izbacimo 3 parametra:

= 1, t∗ω = 1,t∗VP∗

S∗Y= 1

⇒ S∗ = K , t∗ =1ω, P∗ =

S∗Yt∗V

=Y K ω

VDefiniramo nove parametre:

α1 = t∗V =Vω, α2 =

t∗ω S0

13 / 110

Deparametrizirani chemostat model:

C′ = − C1 + C

N + α2 − C

N ′ = α1C

1 + CN − N

Napomena. Samo su dva parametra ostala u analizi. Uocite da jeα1, α2 > 0

Napomena. Supstitucija

⇒ t∗ =1V, S∗ = t∗ω S0P∗ =

Y K ω

takoder reducira broj parametara na 2.14 / 110

Ekvilibrij.

Analogno kao u 1-d slucaju, ekvilibrij X ∗ je nul-tocka funkcije F :

F (X ∗) = 0.

Ako F zamijenimo Taylorovim polinomom 1. stupnja oko X ∗:

F (X ) ≈ F (X ∗) + F ′(X ∗) · (X − X ∗) = F ′(X ∗) · (X − X ∗)

Promatramo jednadžbu

X ′ = F ′(X ∗) · (X − X ∗)

Supstitucija Y = X − X ∗ ⇒

Y ′ = F ′(X ∗) · Y

Diferencijalna jednadžba je slicna jednadžbi za eksponencijalni model,jedino što je F ′(X ∗) (konstantna) matrica.

15 / 110

Napomena. Hartman-Grobmanov teorem opravdava linearizaciju.Teorem pokazuje da se rješenje nelinearnog sustava diferencijalnihjednadžbi

X ′ = F (X )

u okolini ekvilibrija X ∗ kvalitativno ponaša kao što se rješenje linearnediferencijalne jednadžbe

X ′ = F ′(X ∗)X

ponaša u okolini tocke X = 0.

16 / 110

Aanliza sustava diferencijalnih jednadžbi Rješenje linearnog sustava diferencijalnih jednadžbi

4.3. Rješenje linearnog sustava diferencijalnihjednadžbi

Svojstvene vrijednosti

Definicija

Broj λ je svojstvena vrijednost matrice A ∈ Mn(R) ako postoji x 6= 0takav da je

A x = λ x .

Vektor x se naziva svojstveni vektor matrice A.

Teoremλ je svojstvena vrijednost matrice A ∈ Mn(R) ⇔ det(A− λ I) = 0.

→ λ je nul-tocka svojstvenog polinoma17 / 110

ZadatakNadite svojstvene vrijednosti i pripadne svojstvene vektore matrice

[3 11 4

Rješenje.

p(λ) =

∣∣∣∣ 3− λ 11 4− λ

∣∣∣∣ = (3− λ)(4− λ)− 1 = λ2 − 7λ+ 11

p(λ) = 0 ⇒

λ1,2 =7±√

49− 4 · 112

=7±√

λ1 =7 +√

, λ2 =7−√

18 / 110

Svojstveni vektori.

Rješavamo sustav:

A x = λ1 x ⇔ (A− λ1I)x = 0

[3− λ1 1

1 4− λ1

]x = 0

Proširena matrica sustava (zadnji stupac je nul-vektor pa ga nepišemo): [

3− 7+√

1 4− 7+√

[−1−

2 11 1−

[−1+

2 11+√

1−54

[−1+

2 1−1+

19 / 110

−1 +√

x1 + x2 = 0 ⇒ x2 =1 +√

]Malo brži postupak. Uocimo da je matrica[

3− λ2 11 4− λ2

]x = 0

singularna. ⇒ retci su joj zavisni ⇒ retci su joj proporcionalni

(3− λ2)x1 + x2 = 0 ⇒ x2 = −(3− λ2)x1 = −

(3− 7−

20 / 110

x2 =1−√

x1 ⇒ X2 =

1−√

]Možemo provjeriti rezultat:

A X1 =

[3 11 4

[3 + 1+

21 + 4 1+

[7+√

6+4√

λ1 X1 =7 +√

[7+√

5+7√

[7+√

12+8√

⇒ A X1 = λ1 X1

21 / 110

Rješenje diferencijalne jednadžbe x ′ = A x

Primjer

Riješite diferencijalnu jednadžbu x ′ = A x , x(0) = x0 gdje je

[1 00 2

]i x0 =

Rješenje.

x ′ = A x ⇔[

x ′1x ′2

[1 00 2

] [x1x2

]Sustav:

x ′1 = x1

x ′2 = 2 x2

Svaku jednadžbu možemo riješiti zasebno.22 / 110

x ′1 = x1 ⇒ x1(t) = c1 et

x ′2 = x2 ⇒ x2(t) = c2 e2 t

x(t) =

[c1 et

c2 e2 t

]Konstante c1 i c2 odredujemo iz pocetnog uvjeta[

]= x(0) =

x(t) =

23 / 110

TeoremNeka je matrica A ∈ Mn(R) slicna dijagonalnoj matrici. tada je opcerješenje diferencijalne jednadžbe x ′(t) = A x dano s

x(t) =n∑

ci eλi t vi

gdje su λi svojstvene vrijednosti i vi pripadni svojstveni vektori matriceA (A vi = λivi ). Konstante ci su odredene pocetnim uvjetom.

Napomena. Matrica A je slicna dijagonalnoj matrici ukoliko postojiregularna matrica T i dijagonalna matrica D takve da je

A = T D T−1.

Na dijagonali matrice D se nalaze svojstvene vrijednosti matrice A astupci matrice T su svojstveni vektori:

⇒ A T = T D ⇒ A T ei = T D ei

⇒ A T ei = T dii ei ⇒ A (T ei) = dii (T ei)

ei - vektor kanonske baze24 / 110

Dokaz.

A = T D T−1, A vi = λivi , D = diag(λ1, . . . , λn), T ei = vi

⇒ x ′ = A x = T D T−1 x ⇒ T−1 x ′ = D T−1x

Uvedemo supstituciju

y = T−1x ⇒ y ′ = T−1x ′

Jednadžba:⇒ y ′ = D y

D je dijagonalna matrica pa je sustav oblika:

y ′i = λiyi , i = 1, . . . ,n

Rješenjeyi(t) = ci eλi t , i = 1, . . . ,n

25 / 110

y(t) =

y1(t)...

c1 eλ1t

...cn eλnt

ci eλi t ei

y(t) = T−1x(t) ⇒ x(t) = T y(t)

⇒ x(t) = Tn∑

ci eλi t ei =n∑

ci eλi t T ei =n∑

ci eλi t vi

Q.E.D.

26 / 110

Zašto je bitno da je matrica slicna dijagonalnoj matrici?

Primjer

Riješite diferencijalnu jednadžbu x ′ = A x , x(0) = x0 gdje je

[1 10 1

]i x0 =

Rješenje.

x ′ = A x ⇔[

x ′1x ′2

[1 10 1

] [x1x2

[x1 + x2

]Sustav:

x ′1 = x1 + x2

x ′2 = x2

Svaku jednadžbu možemo riješiti zasebno (prvo drugu pa onda prvu).27 / 110

x ′2 = x2, x2(0) = 1 ⇒ x2 = et

⇒ x ′1 = x1 + x2, x1(0) = 1 ⇒ x ′1 = x1 + et , x1(0) = 1

et nije rješenje.

Mathematica:

DSolve[y’[t] == y[t] + Exp[t], y[t], t]

x1(t) = c1et + t et ⇒ x1(t) = et + t et

Napomena. Ukoliko su svojstvene vrijednosti višestruke,

pojavljuju se i clanovi eλi t , t eλi t , t2 eλi t , . . .

28 / 110

Aanliza sustava diferencijalnih jednadžbi Stabilnost ekvilibrija

4.4. Stabilnost ekvilibrija

DefinicijaLinearni sustav diferencijalnih jednadžbi

X ′ = A X

gdje je A ∈ Mn(R), je stabilan ako za svako rješenje X (t) vrijedi

limt→∞

X (t) = 0.

TeoremSustav diferencijalnih jednadžbi X ′ = A X je stabilan ako i samo ako jerealni dio svojstvenih vrijednosti negativan. je

29 / 110

Dokaz. Samo za slucaj kada je A slicna dijagonalnoj matrici.

Rješenje diferencijalne jednadžbe je dano s

X (t) =n∑

ck eλk t vk

Opcenito, λk ∈ C, λk = ak + i bk , ak ,bk ∈ R.

eλk t = e(ak+i bk )t = eak t (cos bk t + i sin bk t)

i ∣∣∣eλk t∣∣∣ = eak t

limt→∞

eak t = 0 ⇔ ak < 0 ⇔ Reλk < 0

limt→∞

X (t) = 0 ⇔ limt→∞

eak t = 0, ∀k

Q.E.D.

30 / 110

TeoremSustav diferencijalnih jednadžbi X ′ = F (X ) je lokalno stabilan uekvilibriju X ∗ ako i samo ako su realni dijelovi svojstvenih vrijednostiJacobijana funkcije F izracunati u X ∗ (F ′(X ∗)) negativni.

Postupak.1 Za svaki ekvilibrij X ∗ izracunati Jacobijan funkcije F u ekvilibriju

X ∗ (F (X ∗)) i provjeriti svojstvene vrijednosti.

2 Ako su za sve svojstvene vrijednosti realni dijelovi negativni,ekvilibrij je stabilan.

3 ako je barem jedna svojstvena vrijednost s pozitivnim realnimdijelom, ekvilibrij nij stabilan.

Napomena. Slucaj Reλk = 0 je složeniji problem.

31 / 110

Napomena. Teorem nam ništa ne govori o globalnoj stabilnosti. Npr.,usporedimo dvije jednadžbe:

x ′ = −x − x3 i x ′ = −x + x2.

U oba slucaja linearizacija u x∗ = 0 daje

x ′ = −x .

te je x∗ = 0 lokalno stabilanekvilibrij.

U prvom slucaju, sva rješenja konvergiraju prema nuli (jedini ekvilibrij).

U drugom slucaju, 1 je drugi ekvilibrij i za X0 > 1 rješenje necekonvergirati k 0 (divergirat ce k +∞).

32 / 110

Svojstvene vijednosti 2× 2 matrice

Za 2× 2 matrice ne trebamo eksplicitno racunati svojstvene vrijednosti.

Matricu A svedemo na Jordanovu formu:

A →[λ1 ∗0 λ2

]λ1 i λ2 su svojstvene vrijednosti matrice A ∈ M2(R).

Determinanta i trag ne ovise o izboru baze.

⇒ Slicne matrice imaju isti trag i determinant.

trA = λ1 + λ2, det A = λ1λ2,

33 / 110

Elementarniji argument.

Karakteristicni polinom matrice A je

kA(λ) = λ2 − b λ+ c, b = tr A, c = det A

λ1 =b +√

b2 − 4 a c2

, λ2 =b −√

b2 − 4 a c2

Vietove formule⇒

λ1 + λ2 = b = tr Aλ1 λ2 = c = det A

34 / 110

TeoremZa A ∈ M2(R), sustav diferencijalnih jednadžbi x ′ = A x je stabilan⇔tr A < 0 i det A > 0

Dokaz.1. λ1, λ2 ∈ R.

λ1 < 0, λ2 < 0 ⇒ λ1 + λ2 < 0 i λ1 λ2 > 0

Obrat. Neka jeλ1 + λ2 < 0 i λ1 λ2 > 0

Zbog λ1 λ2 > 0⇒ λ1 i λ2 su istog predznaka.

Zbog λ1 + λ2 < 0⇒ λ1 < 0 i λ2 < 0.

2. λ1, λ2 ∈ C\R. ⇒ λ1 = a + i c, λ2 = a− i c ⇒λ1 λ2 = a2 + b2 > 0

λ1 + λ2 = 2a = 2Reλi

λ1 + λ2 < 0 ⇔ Reλ1 < 0 i Reλ2 < 0

Q.E.D.35 / 110

ZadatakOdredite ekvilibrije chemostat modela.(Koristite deparamerizirani model.)

Rješenje. Deparametrizirani chemostat model:

C′ = − C1 + C

N + α2 − C

N ′ = α1C

1 + CN − N

Diferencijalna jednadžbaX ′ = F (X )

]i F (X ) = F (C,N) =

− C1 + C

N + α2 − C

1 + CN − N

36 / 110

Iz F (C,N) = 0 slijedi

0 = − C1 + C

N + α2 − C

0 = α1C

1 + CN − N

Iz 2. jednadžbe slijedi: (α1

C1 + C

− 1)

N = 0 ili α1C

1 + C= 0

37 / 110

1. N = 0

Iz 1. jednadžbe slijedi

0 = − C1 + C

N + α2 − C = α2 − C

⇒ C = α2

Ekvilibrij:X1 = (α2,0)

Trivijalni ekvilibrij - nema populacije.

C = α2 ⇒ S = S0.

38 / 110

2. α1C

1 + C− 1 = 0 ⇒ C =

1α1 − 1

Uvrstimo u 1. jednadžbu:

0 = − C1 + C

N + α2 − C = − 1α1

N + α2 −1

α1 − 1

⇒ N = α1

(α2 −

1α1 − 1

)Ekvilibrij:

α1 − 1, α1

(α2 −

1α1 − 1

C i N su pozitivni. Pod kojim uvjetima postoji pozitivni ekvilibrij?

39 / 110

Pozitivnost ekvilibrija

α1 − 1, α1

(α2 −

1α1 − 1

α1 − 1 > 0

α2 −1

α1 − 1> 0

Interpretacija:

α1 − 1 > 0 ⇒ Vω> 1 ⇒ V > ω

Maksimalna brzina rasta treba biti veca od brzine ispiranja.

Ako je brzina ispiranja prevelika, gubitak stanica je veci od brzine rasta.

40 / 110

α2 −1

α1 − 1> 0

Koncentracija supstrata u ekvilibriju:

C∗ =1

α1 − 1

⇒ α2 > C∗ ⇒ S0

K⇒ S0 > S∗ =

KVω − 1

Koncentracija supstrata u ekvilibriju mora biti manja od koncentracijesupstrata na ulazu.

41 / 110

PrimjerStabilnost ekvilibrija chemostat modela.

X ′ = F (X ) = F (C,N)

F (C,N) =

[f1(C,N)f2(C,N)

− C1 + C

N + α2 − C

1 + CN − N

∂f1∂C

= −N1

(1 + C)2 − 1

∂f1∂N

= − C1 + C

∂f2∂C

= α1N1

(1 + C)2

∂f2∂N

= α1C

1 + C− 1

42 / 110

F ′ =

[∂f1∂C

∂f1∂N

∂f2∂C

∂f2∂N

(1 + C)2 − 1 − C1 + C

(1 + C)2 α1C

1 + C− 1

1.ekvilibrij X1 = (α2,0)

F ′(X1) = F ′(α2,0) =

−1 − α2

1 + α2

0 α1α2

1 + α2− 1

Svojstvene vrijednosti su na dijagonali! (Gornje trokutasta matrica.)

λ1 = −1 < 0

λ2 = α1α2

1 + α2− 1

43 / 110

λ2 = α1α2

1 + α2− 1

=α1α2 − 1− α2

1 + α2

=α2(α1 − 1)− 1

1 + α2

=α1 − 11 + α2

(α2 −

1α1 − 1

Ukoliko postoji pozitivni drugi ekvilibrij (X2):

α1 − 1 i α2 −1

α1 − 1> 0

onda jeλ2 > 0

i X1 nije stabilni ekvilibrij.44 / 110

2.ekvilibrij

α1 − 1, α1

(α2 −

1α1 − 1

))Oznacimo: β = α2(α1 − 1)

Egzistencija pozitivnog ekvilibrija⇒

α1 > 1, β > 1

Iz uvjeta ekvilibrija:

1 + C− 1 = 0

F ′(X2) =

(1 + C)2 − 1 − C1 + C

(1 + C)2 α1C

1 + C− 1

45 / 110

F ′(X2) =

(1 + C∗)2 + 1)− C∗

1 + C∗

α1N∗1

(1 + C∗)2 0

trF ′(X2) = −(

(1 + C∗)2 + 1)< 0

det F ′(X2) =C∗

1 + C∗α1N∗

1(1 + C∗)2 > 0

X2 je lokalno stabilan ekvilibrij.

46 / 110

Aanliza sustava diferencijalnih jednadžbi Fazni portret

4.5. Fazni portret

Promatramo diferencijalnu jednadžbu

X (t)′ = F (X (t)), X : R→ R2

Fazni portret - reprezentativni skup rješenja, prikazana kaoparametarske krivulje (t je parametar) u Kartezijevoj ravnini.

Za zadani pocetni uvjet X0 = [x01 , x

02 ]T dobijemo jednu krivulju

(trajektoriju)

Fazni portret dobijemo prikazivanjem trajektorija za nekoliko razlicitihpocetnih uvjeta.

Kartezijeva ravnina u kojoj se nalazi fazni portret se ponekad nazivafazna ravnina.

47 / 110

PrimjerSkicirajte fazni portret diferencijalne jednadžbe

x ′ =

[−1 00 −2

Rješenje. Svojstvene vrijednosti: λ1 = −1, λ2 = −2

Svojstveni vektori:

], v2 =

]Rješenje:

x(t) = c1 e−t[

]+ c2 e−2t

Treba nacrtati nekoliko rješenja (s razlicitim pocetnim uvjetima).

48 / 110

Uocimo da jex(t) = ck eλk t vk , k = 1,2

rješenje.

⇒ Pravci koji odgovaraju svojstvenim vektorima su trajektorije.

Izaberimo neki pocetni uvjet, npr. x(0) = [1,1]T .

⇒ x(t) =

[e−t

e−2t

]Kako izgleda parametarski zadana krivulja {(e−t , e−2t ) | t ∈ R}?

e−2t =(e−t)2 ⇒ x2 = x2

1 → parabola

Opcenito, x(0) = [1, α]T , α ∈ R

⇒ x(t) =

[e−t

α e−2t

]→ x2 = α x2

49 / 110

Trajektorija za x0 = [1,1]T :

-2 -1 1 2x1

50 / 110

U kojem smjeru se mijenja rješenje?

Smjer u x je A x .

Smjer u [1,1] je [−1 00 −2

[−1−2

51 / 110

Trajektorija za x0 = [1,1]T :

-2 -1 1 2x1

52 / 110

Odmah imamo još jednu trajektoriju

-2 -1 1 2x1

53 / 110

i još dvije

-2 -1 1 2x1

54 / 110

Fazni portret:

-2 -1 1 2x1

55 / 110

Kako bi izgledao fazni portret za

[−1 00 −5

Rješenje jednadžbe x ′ = A x dobijemo analogno:

x(t) =

[c1 e−t

c2 e−5t

]Za pocetni uvjet x0 = [1,1]T je

x(t) =

[e−t

e−5t

]i trajektorija je graf funkcije:

x2 = x51 .

56 / 110

Fazni portret za x ′ =

[−1 00 −5

-2 -1 1 2x1

57 / 110

[−2 00 −1

Rješenje jednadžbe x ′ = A x :

x(t) =

[c1 e−2t

c2 e−t

x(t) =

[e−2t

x22 = x1.

tj.x2 =

√x1.

58 / 110

[−2 00 −1

-2 -1 1 2x1

59 / 110

Fazni portret za

[−1 00 −2

[−2 00 −1

-2 -1 1 2x1

Parabola je okrenuta prema osi koja odgovara vecoj svojstvenojvrijednosti.

60 / 110

[1 00 2

x(t) =

[c1 et

c2 e2t

x(t) =

x2 = x21 .

61 / 110

[1 00 2

-2 -1 1 2x1

62 / 110

Fazni portret za

[−1 00 −2

[1 00 2

-2 -1 1 2x1

63 / 110

Ako su svojstvene vrijednosti iste:

[λ 00 λ

x(t) =

[c1 eλ t

c2 eλ t

x(t) =

[eλ t

x2 = x1.

64 / 110

[λ 00 λ

]x , λ < 0

-2 -1 1 2x1

65 / 110

Slucaj kada je Jordanov blok dimenzije 2× 2

Promatramo slucaj kada je

[−1 10 −1

x(t) =

[c1 e−t +c2t e−t

c2 e−t

x2(t) = c2 e−t

slijedi da je

x1(t) = c1 e−t +c2t e−t =c1

c2x2(t)− x2(t) ln

x2(t)c2

Za x2(t) > 0 je

c2− ln c2

)x2 − x2 ln x2 = c x2 − x2 ln x2.

66 / 110

Trajektorija za x2 > 0 i primjer druge trajektorije za x2 < 0:

0.5 1.0 1.5 2.0x2

-2 -1 1 2x2

67 / 110

Fazni portret za

[−1 10 −1

[1 10 1

-2 -1 1 2x1

68 / 110

Slucaj kada su svojstvene vrijednosti razlicitogpredznaka

Promatramo slucaj kada je

[1 00 −1

x(t) =

[c1 et

c2 e−t

]Trajektorija:

x1x2 = c1c2 = c

- hiperbola

69 / 110

Opcenito, za

[λ1 00 −λ2

λ1, λ2 >=, rješenje jednadžbe x ′ = A x je:

x(t) =

[c1 eλ1

c2 e−λ2

]Trajektorija:

xλ21 xλ1

2 = c1c2 = c

x1 = α x−λ1/λ22

70 / 110

Fazni portret za

[−1 00 1

[1 00 −3

-2 -1 1 2x1

71 / 110

Što kada matrica nije dijagonalna?

Kako bi izgledao fazni portret za x ′ = A x ,

[−2 1

14 −1

Svojstvene vrijednosti i vektori:

Mathematica:

a = {{-2,1},{1/4,-1}};Eigenvalues[a]

{1/2(-3-Sqrt[2]),1/2(-3+Sqrt[2])}

Simplify[Eigenvectors[a]]

{{-2 (1+Sqrt[2]),1},{2(-1+Sqrt[2]),1}}

t = Transpose[Simplify[Eigenvectors[a]]]

{{-2(1+Sqrt[2]),2(-1+Sqrt[2])},{1,1}}

72 / 110

Svojstvene vrijednosti:

λ1 =−3−

2, λ2 =

−3 +√

i svojstveni vektori:

[−2(1 +

[2(−1 +

]Matrica transformacije:

[−2(1 +

√2) 2(−1 +

]Supstitucija:

T−1A T = D =

[λ1 00 λ2

], y = T−1x

Promatramo jednadžbu y ′ = D y .73 / 110

Trajektorija za y ′ = D y :

-2 -1 1 2x1

74 / 110

Trajektorija za x ′ = A x , x = T x :

-2 -1 1 2x1

T−−−−→v1

-2 -1 1 2x1

75 / 110

[−2 1

14 −1

-2 -1 1 2x1

76 / 110

[−2 1

-2 -1 1 2x1

77 / 110

λ1 = 0, λ2 6= 0

Jednadžba:

x ′ =

[0 00 λ

Sustav:

x ′1 = 0x ′2 = λ x2

x1(t) = c1

x2(t) = c2 eλt

Ekvilibrij: x2 = 0 ⇒ x∗ = (c,0), c ∈ R

78 / 110

[0 00 1

-2 -1 1 2x1

79 / 110

λ1 = 0, λ2 = 0

Za x ′ =

[0 00 0

]x rješenje je konstantna funkcija x(t) = c te je svaka

tocka ekvilibrij.

Ukoliko je Jordanov blok dimenzije 2× 2:

x ′ =

[0 10 0

sustav glasi:

x ′1 = x2

x ′2 = 0

Rješenje:

x2(t) = c2

x ′1 = c2

x1(t) = c2t + c1

Ekvilibrij: x2 = 0 ⇒ x∗ = (c,0), c ∈ R 80 / 110

[0 10 0

-2 -1 1 2x1

81 / 110

Kompleksne svojstvene vijednosti.

Reλ 6= 0

Diferencijalna jednadžba

x ′ =

[a b−b a

Karakteristicni polinom:

(a− λ)2 + c2 = 0

λ1 = a + i b, λ1 = a− i b

eλi t = e(a±i b)t = ea t e±i b t = ea t (cos b t ± i sin b t)

Kompleksne svojstvene vrijednosti i kompleksni svojstveni vektori arješenje je realno....

82 / 110

Mathematica:

DSolve[{x’[t]==a x[t]+b y[t], y’[t] ==-b x[t]+ay[t]},{x[t],y[t]},t]

{{x[t]->E (a t)C[1]Cos[b t+E (a t)C[2]Sin[b t],y[t]->E (a t)C[2]Cos[b t]-E (a t)C[1]Sin[b t]}}

x(t) =

[c1 ea t cos b t + c2 ea t sin b tc2 ea t cos b t − c1 ea t sin b t

]= c1 ea t

[cos b t− sin b t

]+ c2 ea t

[sin b tcos b t

83 / 110

Trajektorija za c1 = 1, c2 = 1 i A =

[0.1 1−1 0.1

-2 -1 1 2x1

Spirala.

84 / 110

Fazni portret za

[0.1 1−1 0.1

[0.1 −11 0.1

-2 -1 1 2x1

85 / 110

Reλ = 0a = 0 ⇒

x(t) = c1

[cos b t− sin b t

[sin b tcos b t

]Uocimo

x1(t)2 = c21 cos2 b t + c1c2 cos b t sin b t + c2

2 sin 2b t

x2(t)2 = c21 sin2 b t − c1c2 sin b t cos b t + c2

2 cos 2b t ⇒

x21 + x2

2 = c21 + c2

2 = r2

86 / 110

Fazni portret za A =

[0 1−1 0

-2 -1 1 2x1

87 / 110

Fazni portret za B = T−1A T =

3 −53

[0 1−1 0

], T =

[1 22 1

-2 -1 1 2x1

88 / 110

Realne svojstvene vrijednosti Jordanovblok 2× 2

λ2 < λ1 < 0 λ1 < λ2 < 0 λ1 = λ2 < 0 λ1 = λ2 < 0

λ2 > λ1 > 0 λ1 > λ2 > 0 λ1 = λ2 > 0 λ1 = λ2 > 0

89 / 110

Jordanovblok 2× 2

λ1 < 0, λ2 > 0 λ1 = 0, λ2 < 0 λ1 = λ2 = 0 Reλi < 0

λ1 > 0, λ2 < 0 λ1 = 0, λ2 > 0 Reλi = 0 Reλi > 0

90 / 110

Aanliza sustava diferencijalnih jednadžbi Fazni portret chemostat modela

4.6. Fazni portret chemostat modela

Deparametrizirani chemostat model:

C′ = − C1 + C

N + α2 − C

N ′ = α1C

1 + CN − N

Ekvilibriji:

X1 = (α2,0), X2 =

α1 − 1, α1

(α2 −

1α1 − 1

F ′(X1) = F ′(α2,0) =

−1 − α2

1 + α2

0 α1α2

1 + α2− 1

91 / 110

1. Jedan pozitivni ekvilibrij

α1 − 1 < 0 ili α2 −1

α1 − 1< 0

Primjer: α1 = 12 , α2 = 2: F ′(X1) =

−1 −23

0 −23

Fazni portret linearizirane diferencijalne jednadžbe:

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0C0.0

92 / 110

Fazni portret

Linearizirana jednadžba Chemostat model

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0C0.0

93 / 110

2. Dva pozitivna ekvilibrija

α1 − 1 > 0 i α2 −1

α1 − 1> 0

α1 − 1, α1

(α2 −

1α1 − 1

F ′(X2) =

(1 + C∗)2 + 1)− C∗

1 + C∗

α1N∗1

(1 + C∗)2 0

Primjer: α1 = 2, α2 = 2

94 / 110

1. ekvilibrij: X1 = (2,0), F ′(X1) =

−1 −23

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0C0.0

95 / 110

2. ekvilibrij: X2 = (1,2), F ′(X2) =

−32 −1

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0C0.0

96 / 110

1. ekvilibrij 2. ekvilibrij

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0C0.0

97 / 110

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0C0.0

98 / 110

Fazni portret chemostat modela:

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0C0.0

99 / 110

Fazni portret chemostat modela:

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0C0.0

100 / 110

ZadatakDinamika dvije populacije opisana je sustavom diferencijalnihjednadžbi:

x ′ = x y − 2x − 2y + 4,y ′ = 4y − y2 − x − 1.

Skicirajte fazni portret rješenja diferencijalne jednadžbe.

101 / 110

Rješenje.

Ekvilibriji:

x y−2x−2y +4 = 0 ⇒ x(y−2)−2(y−2) = (x−2)(y−2) = 0 ⇒

x = 2 ili y = 2.

1. y = 20 = 4y − y2 − x − 1 = 3− x ⇒ x = 3

Ekvilibrij: E1 = (3,2)

2. x = 2

0 = 4y − y2 − x − 1 = −y2 + 4y − 3 ⇒ y1 = 1, y2 = 3.

Ekvilibriji: E2 = (2,1), E3 = (2,3).

102 / 110

Jacobijan.

F (x , y) =

[x y − 2x − 2y + 4,4y − y2 − x − 1.

]F ′(x , y) =

[y − 2 x − 2−1 4− 2y .

1. ekvilibrij

F ′(E1) = F ′(3,2) =

[0 1−1 0.

]Kružnica!

103 / 110

1 2 3 4x0

104 / 110

2. ekvilibrij

F ′(x , y) =

[y − 2 x − 2−1 4− 2y

]F ′(E2) = F ′(2,3) =

[1 0−1 −2

]Sedlo.

λ2 = −2, v2 = e2

F ′ − λ1I =

[0 0−1 −3

]⇒ x − 1 = −3x2 ⇒ v1 =

[−31

105 / 110

1 2 3 4x0

106 / 110

3. ekvilibrij

F ′(x , y) =

[y − 2 x − 2−1 4− 2y

]F ′(E3) = F ′(2,1) =

[−1 0−1 2

]Sedlo.

λ2 = 2, v2 = e2

F ′ − λ1I =

[0 0−1 3

]⇒ x − 1 = 3x2 ⇒ v1 =

107 / 110

1 2 3 4x0

108 / 110

Skica faznog portreta

1 2 3 4 5x0

109 / 110

Fazni portret

1 2 3 4 5x0

0 1 2 3 4x

110 / 110

Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · PDF fileAanliza sustava...

Documents

Transcript of Matematicko modeliranje u biologijiˇ - Naslovnica | PMF · PDF fileAanliza sustava...

Projekt zaπtite Ogulinske πpiljske spuævice · 2019. 6. 26. · • Najduæa πpilja u hrvatskoj je πpiljski sustav –ulin ponor — Medvedica, Ëijih se preko 16 km kanala proteæe

Formalne Metode u oblikovanju sustava - zemris.fer.hr · Sintaksa je slicna jezikuˇ C, Dijkstrine "guarded" komande i CSPalgebra cine teorijske temelje (detalji kasnije)ˇ Spinpronalazi

Magnetska svojstva metala - unizg.hrMagnetska svojstva metala U magnetskom polju sustav se magnetizira Ukupna magnetizacija u materijalu: M = ... PERIODNI SUSTAV ELEMENATA 18iV11LA

AUTONOMNI ŽIVČANI SUSTAV - mef.sum.bamef.sum.ba/med/wp-content/uploads/2019/03/Simpatikus.pdf · –fenilefrin, ritodrin, salbutamol, salmeterol –efedrin-NEIZRAVNI: –istiskivanje

Ytong sustav gradnje Katalog proizvoda s tehničKim · PDF filestropna i Krovna KonstruKcija Stranica 11 Ytong tanKoslojni mort Stranica 12 alati i pričvrsni priBor Stranice 12-13

Proteomska analiza promjena u stanicama tumora dojke ...digre.pmf.unizg.hr/3859/1/Kovacevic_diplomski_rad.pdfkrvožilnog i/ili limfnog sustava. Tkivo iz kojeg tumor nastaje određuje

F G F F m g m F m g mcf - matka - halapa.com fizika · Tijelo mase m koje postavimo u takav sustav koji ima stalnu akceleraciju a, ne će mirovati s obzirom na sustav, nego će imati

Ytong sustav gradnje Katalog proizvoda s tehničKim podacima λ · 2 tehničKi podaci stranice od 16-21 Kompletan sustav za energetsKi učinKovitu gradnju vanjsKi zidovi Stranice

NA»ELA NaËela odgovovarajuÊe prehrane odgovarajuÊesolgar.rs/uploads/leci/skupni/NacelaNova.pdf · tiju i zuba, zakiseljuju organizam i oπteÊuju lokomotorni sustav (skelet) i

Poglavlje 1 Obične diferencijalne jednadžbe - grad.unizg.hr · Poglavlje 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Primjeri diferencijalnih jednadžbi Primjer 1.1 (Kosi hitac). Tijelo

GLAVNI PROJEKT IV-B PROJEKT SUSTAVA ZA OTKRIVANJE I … · Sustav za otkrivanje i dojavu požara će pokrivati uredski dio građevine. Prilikom projektiranja potrebno je poštivati

Ytong sustav gradnje TOPLINSKI MOSTOVI - arhitekti-hka.hr · terasa; obrnuti krovovi prema 5.3.3. s U-vrijednošću prema normi DINISO 6946, tablicu 4 korigirati za ∆U 1,20. 10

Održavanje Brodskih Elektroničkih Sustava · 2017. 3. 8. · S druge strane otpor 𝐿 i kapacitet 𝐶𝐿 na izlazu čine high-pass pasivni filter. Cutoff frekvencija (-3dB) mora

IZMJENIČNE STRUJE IIIe-student.fpz.hr/Predmeti/E/Elektrotehnika/Materijali/...Simetrični trofazni sustav u spoju zvijezda (trokut) Rotaciono magnetsko polje trofazne struje Višefazne

AGRIA info srpanj/kolovoz 2012. · Otvoreni sustav: Otvoreni kružni sustavi su konstruirani tako da je jedna strana spojena na relativ-no visoki tlak dok je druga strana spojena

1. Uvod - O fizici - UNIOS · definiranje fizikalne pojave i njeno opisivanje u matemati čkom obliku pomo ću odgovaraju ćih jednadžbi. put, vrijeme, masa, brzina, rad,... Simboli

Porro-sustav - PMFDistorzija Totalna refleksija na primm Porro-sustav b) Svjetlovod I DI Planparalelna ploéa Ako je ploèa od stakla debljine d, a svjetlost ulazi iz zraka i izlazi

Bluetooth® audio sustav - download.sony-europe.com