1

Loop (Mesh) Analysis

Νικ. Α. Τσολίγκας Χρήστος Μανασής

Ανάλυση βρόγχων - Κυκλική

• Kirchhoff's Voltage Law (KVL) • Νόμος τάσεων του Kirchhoff (KVL)

Για οποιοδήποτε συγκεντρωμένο* κύκλωμα, για οποιονδήποτε από τους βρόχους του, σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, το αλγεβρικό άθροισμα όλων των τάσεων κλάδου σε ένα βρόχο είναι μηδέν

• Νόμος ρευμάτων του Kirchhoff (KCL)

Για οποιοδήποτε συγκεντρωμένο κύκλωμα, για οποιονδήποτε από τους

κόμβους του, σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ρευμάτων κλάδου σε ένα κόμβο είναι μηδέν

Το άθροισμα όλων των ρευμάτων των κλάδων που εισέρχονται σε ένα κόμβο ισούται με το άθροισμα των ρευμάτων που εξέρχονται από τον κόμβο.

2

Ανάλυση βρόγχων - Κυκλική

• Συγκεντρωμένα κυκλώματα:

• Οι διαστάσεις τους είναι πολύ μικρές σε σχέση με το

μήκος κύματος που τα διαρρέει. Η στιγμιαία τιμή του

ρεύματος στο τέλος τους είναι ίδια με τη στιγμιαία τιμή

του ρεύματος στην αρχή τους. Η ενέργεια που

μεταφέρουν περιορίζεται στο εσωτερικό τους

• Κατανεμημένα κυκλώματα: Οι διαστάσεις τους είναι

συγκρίσιμες με το μήκος κύματος του ρεύματος που τα

διαρρέει. Ένα ποσοστό της ενέργειας που μεταφέρουν

ακτινοβολείται στο περιβάλλον γύρω τους.

3

Στοιχεία κυκλωμάτων

• Πραγματικά στοιχεία

Μοντελοποίηση

• Ιδανικά στοιχεία

• Αντιστάτες

Πηγές τάσης

Πηγές ρεύματος

• Πυκνωτές

• Επαγωγοί

4

Αντίσταση

5

• v(t) = R(t) i(t)

• v(t) = R i(t)

Γραμμικός, χρονικά αμετάβλητος

• i(t) = G(t) v(t)

αγωγιμότητα

i

+ - v

R

v

i

κλίση R

Πυκνωτής

6

• q(t) = C(t) v(t)

• q(t) = C v(t)

• Γραμμικός, χρονικά αμετάβλητος

• iC(t) = C dv(t) /dt συνεχής!!

•

• v

q

C i(t)

+ - v(t)

0

1( ) (0) ( )

t

v t v i dC

+ - v(0)=V0

+ - v(0)=0

V0

+ –

Επαγωγός - Πηνίο

7

• φ(t) = L(t) i(t)

• φ(t) = L i(t)

• Γραμμικός, χρονικά αμετάβλητος

• vL(t) = L di(t) /dt συνεχής !!

•

• 0

1( ) (0) ( )

t

i t i v dL

i(0)=0

I0

+ -

i(0)=I0

L

+ - L

i(t)

+ - v(t)

L

i

φ

Κυματομορφές

8

• Σταθερή

• Ημιτονοειδής

• Μοναδιαία βηματική

• Παλμός

• Μοναδιαία κρουστική

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

• Μέθοδος κομβικών τάσεων

• Μέθοδος βροχικών (διανοιγματικών)

εντάσεων

• Προσεκτική προετοιμασία – επανασχεδιασμός του κυκλώματος, αν χρειάζεται

– εκτίμηση αριθμού απαραίτητων εξισώσεων για την επίλυση

– επιλογή μεθόδου

9

Νόμος του Kirchhoff για τις τάσεις (KVL)

• Ο νόμος του Kirchhoff για τις τάσεις (KVL) αναφέρει ότι το άθροισμα της

τάσης σε ένα βρόχο σε οποιοδήποτε κύκλωμα πρέπει να είναι 0.

• Σε μαθηματική μορφή,

10

0emfIR

Νόμος του Kirchhoff για το

ρεύμα (KCL)

• KCL • Σε κάθε ηλεκτρικό κύκλωμα σε κάθε κόμβο, σε κάθε

χρονική στιγμή, το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων

όλων των διακλαδώσεων του κόμβου είναι ισο με μηδέν.

Lect5 EEE 202 11

Κυκλωμα πρόσθεσης τάσεων

• Η τάση εξόδου V του κυκλώματος είναι

ανάλογη του αθροίσματος των δυο

τάσεων εισόδου V1 και V2

12

+

–

Vout

1kW

1kW

1kW

V1 V2 +

–

+

–

Βήματα Υπολογισμού (KVL) για

ανάλυση Βρόχου

• Αναγνώριση Βρόχων • Μία διαδρομή που ο αρχικός και ο τελικός της κόμβος ταυτίζονται, δηλαδή καταλήγει

στον κόμβο από τον οποίο ξεκινά. • Κόμβος: Το σημείο στο οποίο συνδέονται δύο ή περισσότερα στοιχεία

1. Σημείωσε τα ρεύματα σε κάθε Βρόχο

2. Εφαρμογή του νόμου KVL σε κάθε βρόχο

και δημιουργία εξισώσεων με τα ρεύματα

του βρόχου. Εξισώσεις όσοι και οι βρόχοι

3. Επίλυση του γραμμικού συστήματος

συστήματος των βροχικων ρευμάτων

13

Βήματα Υπολογισμού (KVL)

για ανάλυση Βρόχου

• Ορισμός Βροχου

14

Βήματα Υπολογισμού (KVL) για ανάλυση Βρόχου - Ορισμοί

Βασικός κλάδος:

Διαδρομή μεταξύ δυο βασικών κόμβων

Βασικός κόμβος:

Το σημείο στο όποιο ενώνονται τρία η περισσότερα στοιχεία ηλεκτρικού κυκλώματος

Διαδρομή:

Μια σειρά από στοιχεία τα οποία προσμετρούνται μια φορά

Βρόχος:

Μία κλειστή διαδρομή όπου ένα κόμβος προσμετρείται μια φορά.

15

Βασικοί Κόμβοι: b,c,e,g

Βασικοί κλάδοι:

V1-R1, R2-R3, R5, R6, R7, I, V2-R4

Βρόχοι:

V1-R1-R5-R3-R2

V2-R2-R3-R6-R4

R5-R6-R7

R7-I

Βήματα Υπολογισμού (KVL) για ανάλυση Βρόχου -

• Βήμα 1: Επιλογή Be-(Ne-1) Βρόχων

(Βασικοί Κόμβοι: Ne ,Βασικοί Κλάδοι Be)

• Βήμα 2: Βροχικα ρεύματα σε κάθε βρόχο.

• Βήμα 3: Εφαρμογή KVL σε κάθε βρόχο με τα

βροχικα ρεύματα και μόνο

• Βήμα 4: Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τα

άγνωστα βροχικα ρεύματα

Lect5 EEE 202 16

17

Βρόχος 2

R3 1kW

R2 1kW

R1 1kW

1. Αναγνώριση Βασικών Βροχων

V1 V2 Βρόχος 1 +

–

+

–

YΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΒΡΟΧΙΚΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ

Βασικοί Κόμβοι: Ne = 2 = Χ,Υ

Βασικοί Κλάδοι Be = 3 = V1- R1, R2, R3-V2

•Αριθμός Βροχικων ρευμάτων: Μ= Be-(Ne-1) = 2

Χ

Υ

18

1kW

1kW

1kW

2. Σημείωση Βροχικών ρευμάτων

V1 V2 I1 I2 +

–

+

–

Εφαρμογή KCL σε Νe-1 Κόμβους

Εφαρμογή KVL σε Be-(Ne-1) Βρόχους

19

Τάσεις από Βροχικά ρευματα

R

I1

+ – VR

VR = I1 R

R

I1

+ – VR

I2

VR = (I1 – I2 ) R

20

3. Εφαρμογη KVL Γυρω από τον Βροχο 1

V1 - I1R1 - I1R2 + I2R2 = 0

-V2 + I1R2 - I2R2 - I2R3 = 0

R3 1kW

R2

1kW

R1 1kW

V1 V2 I1 I2 +

–

+

–

21

3. KVL Γυρω από τον Βροχο 2

I1(R1+R2) – I2R2 = V1

I1 R1 – I2(R2+R3) = V2

1kW

1kW

1kW

V1 V2 I1 I2 +

–

+

–

22

Δημιουργία Πίνακα 3

• Οι δυο εξισώσεις μπορούν να

συνδυαστούν σε μια εξίσωση Πίνακα

/Ανύσματος

2

1

2

1

)32(1

221

V

V

I

I

RRR

RRR

Επίλυση με χρήση MatLab

• Για πηγές Τάσεων: V1 = 7V και V2 = 4V

• Αρνητική τιμή ρεύματος = Αλλαγή φοράς

23

mAI

mAI

BAinvX

BAX

BXA

I

I

3.0

3.3

*)(

*

4

7

20001000

10002000

2

1

1

2

1

Επίλυση με χρήση MatLab

• Υπολογισμός των ρευμάτων σε κάθε βροχο

24

A*X = B

Χ = inv(Α)*Β

: I1, I2

-7I1 + 6I2 = 5

6I1 – 8I2 = -10

>> A=[-7,6;6,-8];

>> B=[5;-10];

>> X=linsolve(A,B)

ans =

1.0000

2.0000

Άσκηση 1

• Με χρήση του προγράμματος MATLAB υπολογίσατε τα

βροχικά ρεύματα :

25

Άσκηση 2

• Με χρήση του προγράμματος MATLAB

υπολογίσατε τα βροχικά ρεύματα :

26

+

_10V

4 W 2 W

6 W7 W

2V20V

I1 I2+

+_

_

Άσκηση 3

• Με χρήση του προγράμματος MATLAB

υπολογίσατε τα βροχικά ρεύματα :

27

+

_

6 W

10 W

9 W

11 W

3 W

4 W

20V 10V

8V

12V

I1 I2

I3

+

+

__

_

_

+

+_

28

Κυκλώματα με πηγές Ρεύματος

Ανάμεσα σε Βροχους

1kW

2kW

2kW

12V 4mA

2mA

I0

+

–

29

Mesh 2

Mesh 3

Mesh 1

1. Αναγνώριση Βροχων

1kW

2kW

2kW

12V 4mA

2mA

I0

+

–

30

2. Κυκλικά Ρεύματα η Ρεύματα

Βροχων

I1 I2

I3 1kW

2kW

2kW

12V 4mA

2mA

I0

+

–

31

Πηγές Ρεύματος

• Δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον Νόμο

KVL γύρω από ένα βροχο γιατί είναι

άγνωστη η τάση που παράγεται από την

πηγή ρεύματος.

• ΤΙ ΚΑΝΟΥΜΕ ?????

• Όταν ένας κλάδος περιλαμβάνει πηγή

ρεύματος τότε ο αριθμός των

άγνωστων βροχικων ρευμάτων

ελαττώνεται κατά ένα

32

1. Χρήση ΥΠΕΡ- ΒΡΟΧΩΝ SUPERMESH

• Supermesh: • Δημιουργία ενός κλειστού βρόχου συνδυάζοντας βρόχους και αγνοώντας

πηγές ρεύματος και στοιχείων που είναι εν σειρά συνδεδεμένα.

• Άθροισμα όλων των τάσεων γύρω από τον υπερ-βροχο.

• Χρήση βροχικων ρευμάτων.

• Ενας υπερ-βροχος δημιουργείται από δυο βρόχους που έχουν μια κοινή

πηγή ρεύματος π.χ.

33

Χρήση ΥΠΕΡ- ΒΡΟΧΩΝ SUPERMESH

• Supermesh: • Όταν ο βροχοςέχει πηγές ρεύματος τότε:

– 1. Εάν η πηγή ρεύματος είναι σε ένα βρόχο τότε το βροχικό ρεύμα είναι

το ρεύμα βρόχου

– 2. Εάν η πηγή ρεύματος είναι μεταξύ δυο βρόχων, τότε ενώνουμε τους

δυο βρόχους σε ένα super – βροχο και παραλείπουμε την πηγή

ρεύματος και κάθε στοιχείο που συνδέεται σε σειρά με αυτή

– ο KVL εφαρμόζεται στον super – βρόχο π.χ

34

1kW

2kW

2kW

12V 4mA

2mA

I0

I1 I2

I3

Ο υπέρ-

βροχος

γυρω από

αυτή την

πηγή

Ο υπερ-

βροχος δεν

περικλείει

αυτή την

πηγή

ρεύματος.

+

–

a

d

b c

Ne =a, b, c, d

Be = 2mA,12v, 2KΩ, 2KΩ, 1KΩ, 4mA

Μ= Be-(Ne-1) = 6-3 = 3

35

12V

I0

I1 I2

I3

+

–

ι4m

R3

R1

R2

36

2. KVL Γύρω από τον Υπερ -

Βροχο

V1-I3R3-I3R2+I2R2-I1R1+I2R1=0

V1-I1R1+I2(R1+R2)-I3(R2+R3)=0

KCL σε Κόμβους

• Κόμβος a:

• ι1-ι3-2 = 0

• Ι1-Ι3= 2 mA

• Κόμβος c:

• Ι2 = -4 mA

37

I1R1 -I2(R1+R2) +I3(R2+R3) = V1

I2 = -4mA

I1 -I3 = 2mA

38

Matrix Notation

• Οι τρεις εξισώσεις συνδυάζονται σε μια

εξίσωση Πίνακα / Άνυσμα

002.0

004.0

000.12

101

010

300030002000

3

2

1

I

I

I

39

ΧΡΗΣΗ ΥΠΕΡ- ΒΡΟΧΩΝ SUPERMESH

• Εφαρμογή του KCL σε κόμβους που συνδέουν

την πηγή/πηγες ρευματος και βροχικα ρεύματα

στον ΥΠΕΡ_ΒΡΟΧΟ (κόμβο a)

• ι1-ι3-2 = 0

• Ι1-Ι3= 2 mA

• Ι2 = -4 • Η πηγή ρεύματος των 4mA αποτελεί και το ρεύμα βρόχου I2:

I2 = –4 mA

Για την δεύτερη πηγή ρεύματος, στην ένωση των δυο αντιστάσεων (κομβος) των 2Κ και1Κ, ισχύει: Το άθροισμα των

ρευμάτων στον κόμβο είναι ισο με μηδέν.

2 mΑ - (Ι1-Ι2) - (ι2-Ι3) = 0

I1-I3 = 2mA

40

3. Λύση με χρήση MATLAB

>> A = [2000 -3000 3000; 0 1 -0;

1 0 -1]

Β = [12 -0.004 0.002] η

Β = [12; –4e-3; 2e-3]

>> i = inv(A)*B

I = linsolve(A,B)

i = 0.0012

-0.0040

-0.0008

41

Λύση

I1 = 1.2 mA

I2 = – 4 mA

I3 = – 0.8 mA

I0 = I1 – I2 = 5.2 mA

42

Λύση

I1 = 1.2 mA

I2 = – 4 mA

I3 = – 0.8 mA

I0 = I1 – I2 = 5.2 mA

43

12V

I0

I1 I2

I3

+

–

ι4m i2-i3

i1-i2

R3

R1

R2

44

Άσκηση 1

Άσκηση για matlab

10V

20V

4A

10 W

5 W

20 W

2 W

+

_

15 W

+

_

I1 I2

I3

45

Άσκηση 2

Άσκηση για matlab

• I1-I2 = Is ΓΙΑΤΙ ???

• i1 = 3.474 A

• i2 = 0.474 A

• i3 = 1.105 A

46

Άσκηση 2

Άσκηση για matlab

47

Άσκηση 3

Άσκηση για matlab

I2-Is=I3

I1 = 3A

I2 = 1A

48

Άσκηση 4 Άσκηση για matlab

1. Αναγνώριση SuperMesh

2. Να γράφουν οι εξισώσεις Βροχων/Υπερ-βροχων

3. Επίλυση

Ι1 Ι2