1 8/12/2017

Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής – Ασκήσεις

Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc.

spiroskonstantogiannis@gmail.com 8 Δεκεμβρίου 2017

2 8/12/2017

Copyright © Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 2017. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Επιτρέπεται μόνο η μη εμπορική χρήση περιεχομένου από το παρόν έγγραφο, με την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα.

3 8/12/2017

Περιεχόμενα Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής – Ασκήσεις............................ 1 Περιεχόμενα ...................................................................................................... 3 Εισαγωγή........................................................................................................... 4 Άσκηση 1. ......................................................................................................... 5 Άσκηση 2. ......................................................................................................... 6 Άσκηση 3. ......................................................................................................... 7 Άσκηση 4. ......................................................................................................... 9 Άσκηση 5. ........................................................................................................13 Άσκηση 6. ........................................................................................................17 Συμπλήρωμα άσκησης 6. ..................................................................................24 Άσκηση 7. ........................................................................................................27 Άσκηση 8. ........................................................................................................33 Άσκηση 9. ........................................................................................................38 Αναφορές .........................................................................................................44

4 8/12/2017

Εισαγωγή Λύνουμε αναλυτικά εννέα ασκήσεις υπολογισμού και μελέτης της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών, και χρησιμοποίησής της για τον υπολογισμό μέσων τιμών σε στοιχειώδη κβαντικά συστήματα, όπως ο αρμονικός ταλαντωτής, το απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού, το ελκτικό δυναμικό δέλτα, και το μονοδιάστατο άτομο του υδρογόνου. Για την απόδειξη της σχέσης που συνδέει την κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής με την κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση θέσης, καθώς και άλλων σχέσεων που χρησιμοποιούμε στις ασκήσεις, μπορείτε να δείτε την αναφορά 3, στο τέλος των ασκήσεων.

Λέξεις-Κλειδιά: αναπαράσταση ορμής, χώρος ορμών, μετασχηματισμός Fourier της κυματοσυνάρτησης, τύπος Parseval-Plancherel, αρμονικός ταλαντωτής, απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού, ελκτικό δυναμικό δέλτα, μονοδιάστατο άτομο του υδρογόνου, ανώμαλα σημεία, πόλοι, ενέργεια, μέσες τιμές

5 8/12/2017

Άσκηση 1.

Έστω ότι ( ) ( )0x x xψ δ= − . Τι εκφράζει η ( )xψ ; Υπολογίστε την ( )pψ% .

Λύση Η συνάρτηση δέλτα ( )0x xδ − είναι ιδιοσυνάρτηση της θέσης, με ιδιοτιμή 0x , στην αναπαράσταση θέσης. Πράγματι, η ιδιοσυνάρτηση θέσης 0x στην αναπαράσταση θέσης είναι η προβολή της ιδιοκατάστασης 0x της θέσης στην τυχαία ιδιοκατάσταση x της θέσης. Επειδή ο τελεστής της θέσης είναι ερμιτιανός, δύο ιδιοκαταστάσεις του που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι μεταξύ τους κάθετες. Επίσης, επειδή το φάσμα του τελεστή της θέσης είναι συνεχές, η καθετότητα των ιδιοκαταστάσεων x και 0x εκφράζεται από τη σχέση

( )0 0x x x xδ= −

Όμως, το εσωτερικό γινόμενο 0x x είναι η προβολή της ιδιοκατάστασης 0x στην

τυχαία ιδιοκατάσταση x , είναι επομένως η ιδιοσυνάρτηση θέσης 0x στην αναπαράσταση θέσης. Ως ιδιοσυνάρτηση θέσης 0x , η ( )xψ περιγράφει ένα σωμάτιο που βρίσκεται στη θέση 0x . Έτσι, στην περίπτωσή μας, η ( )pψ% πρέπει να είναι η ιδιοσυνάρτηση θέσης 0x στην αναπαράσταση ορμής. Ας το δούμε. Η ( )pψ% είναι ο μετασχηματισμός Fourier της ( )xψ , επομένως

( ) ( ) 00

1 1exp exp2 2

ipxipxp dx x xψ δπ π

∞

−∞

= − − = − ∫%

h hh h

Δηλαδή

( ) 01 exp2

ipxpψπ

= −

%

hh

Ο τελεστής της θέσης στην αναπαράσταση ορμής είναι

( )ˆ dx p idp

= h

Αν ο προηγούμενος τελεστής δράσει στην ( )pψ% , θα μάς δώσει

( ) ( ) 0 0 01 1ˆ exp exp2 2

ipx ix ipxdx p p i idp

ψπ π

= − = − − =

% h hh h hh h

( )

( )00 0

1 exp2

p

ipxx x p

ψ

ψπ

= − =

%

%

hh144424443

6 8/12/2017

Δηλαδή

( ) ( ) ( )0x p p x pψ ψ=% %

Η ( )pψ% είναι, λοιπόν, ιδιοσυνάρτηση του τελεστή της θέσης, με ιδιοτιμή 0x .

Άσκηση 2.

Έστω ότι ( ) 01 exp2

ip xxψπ

= hh

. Τι εκφράζει η ( )xψ ; Υπολογίστε την ( )pψ% .

Λύση Ο τελεστής της ορμής στην αναπαράσταση θέσης είναι

( )ˆ dp x idx

= − h

Αν ο προηγούμενος τελεστής δράσει στην ( )xψ , θα μάς δώσει

( ) ( )

( )

( )0 0 00

1 1ˆ exp exp2 2

x

ip x ip ip xdp x x i i p xdx

ψ

ψ ψπ π

= − = − =

h hh h hh h

144424443

Δηλαδή

( ) ( ) ( )0p x x p xψ ψ=

Η ( )xψ είναι επομένως ιδιοσυνάρτηση ορμής 0p στην αναπαράσταση θέσης και περιγράφει ένα σωμάτιο με ορμή 0p . Έτσι, στην περίπτωσή μας, η ( )pψ% πρέπει να είναι η ιδιοσυνάρτηση ορμής 0p στην αναπαράσταση ορμής. Η ( )pψ% είναι ο μετασχηματισμός Fourier της ( )xψ , επομένως

( ) ( )001 1 1exp exp exp22 2

i p p xip xipxp dx dxψππ π

∞ ∞

−∞ −∞

− = − = ∫ ∫%

h h h hh h

Δηλαδή

( ) ( )01 exp2

i p p xp dxψ

π

∞

−∞

−=

∫%

h h

Αν αλλάξουμε τη μεταβλητή ολοκλήρωσης σε xu =h

, τα όρια ολοκλήρωσης δεν

αλλάζουν (αφού 0>h ), και dx du= h . Έτσι, η ( )pψ% γράφεται

( ) ( )( )01 exp

2p du i p p uψ

π

∞

−∞

= −∫% hh

Δηλαδή

7 8/12/2017

( ) ( )( )01 exp

2p du i p p uψ

π

∞

−∞

= −∫% (1)

Παρατηρήστε ότι

[ ] 1x Lu PPL

− = = = h,

δηλαδή η μεταβλητή ολοκλήρωσης u έχει διαστάσεις αντίστροφης ορμής, επομένως ο εκθέτης ( )0p p u− είναι αδιάστατος, όπως πρέπει. Με τη βοήθεια της ολοκληρωτικής αναπαράστασης της συνάρτησης δέλτα

( ) ( )1 exp2

v du iuvδπ

∞

−∞

= ∫ , όπου v πραγματική παράμετρος,

η (1) γράφεται

( ) ( )0p p pψ δ= −% (2)

που είναι η ιδιοσυνάρτηση ορμής 0p στην αναπαράσταση ορμής. Πράγματι, η ιδιοσυνάρτηση ορμής 0p στην αναπαράσταση ορμής είναι η προβολή της ιδιοκατάστασης 0p της ορμής στην τυχαία ιδιοκατάσταση p της ορμής, είναι

δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο 0p p . Επειδή ο τελεστής της ορμής είναι ερμιτιανός, δύο ιδιοκαταστάσεις του που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι μεταξύ τους κάθετες. Επειδή το φάσμα του τελεστή της ορμής είναι συνεχές, η καθετότητα των ιδιοκαταστάσεων p και 0p εκφράζεται από τη σχέση

( ) ( )0 0 0p p p p p pδ δ= − = − ,

όπου στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιήσαμε το ότι η συνάρτηση δέλτα είναι άρτια. Έτσι, η (2) γράφεται

( ) 0p p pψ =% ,

απ’ όπου βλέπουμε ότι η ( )pψ% είναι ιδιοσυνάρτηση ορμής 0p στην αναπαράσταση ορμής.

Άσκηση 3.

Έστω ότι ( )1

24

0 2 2

1 exp2xx

a aψ

π = −

, όπου a

mω=

h . Αυτή είναι η

κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση που περιγράφει, στον χώρο των θέσεων, τη βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή. Η σταθερά a έχει διαστάσεις μήκους και ορίζει μια κλίμακα μήκους για τον αρμονικό ταλαντωτή.

8 8/12/2017

Υπολογίστε την ( )0 pψ% και εκφράστε τη συναρτήσει της σταθεράς 0p m ω= h , που έχει διαστάσεις ορμής και ορίζει μια κλίμακα ορμής για τον αρμονικό ταλαντωτή. Τι παρατηρείτε;

Δίνεται ότι ( )2

2exp 2 exp cdx bx cxb bπ∞

−∞

− − =

∫ , 0b >

Λύση Η ( )0 pψ% είναι ο μετασχηματισμός Fourier της ( )0 xψ , επομένως

( )1

24

0 2 2

1 1exp exp22

ipx xp dxa a

ψππ

∞

−∞

= − − =

∫%

hh

1241 exp

22m m x ipxdxω ωππ

∞

−∞

= − −

∫h h hh

Όμως 2

2 222exp exp exp2 2

2 2

ipm x ipx pdx m m m m

ω π πω ω ω ω

∞

−∞

− − = = −

∫hh

h h h

h h

Επομένως

( )

( )

{24

1 12 24 4

01 2 1exp exp

2 22m

m p m ppm m mm

ω

ω π ωψπ ω ω π ωπ ω

= − = − =

h%

h h h hh

( )

11

4 2 24

2

1exp exp2 2

m p pm m mm

ωω π ω ωπ ω

= − = − h h hh

Δηλαδή

( )1

24

01 exp

2pp

m mψ

π ω ω = −

%

h h

Όμως 20m pω =h , επομένως

( )1

24

0 2 20 0

1 exp2

ppp p

ψπ

= −

%

Αυτή είναι η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει τη βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή στον χώρο των ορμών.

9 8/12/2017

Παρατηρούμε ότι η ( )0 pψ% έχει την ίδια ακριβώς μορφή με την ( )0 xψ , με τη θέση να έχει αντικατασταθεί από την ορμή και την κλίμακα μήκους από την κλίμακα ορμής του αρμονικού ταλαντωτή, δηλαδή

( )}

( )0

0 0

x pa p

x pψ ψ

→→

→ %

Αυτή είναι μια γενική ιδιότητα που ισχύει για όλες τις ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας του αρμονικού ταλαντωτή, δηλαδή

( )}

( )0

x pa p

n nx pψ ψ

→→

→ % ,

και οφείλεται στην τετραγωνική μορφή του δυναμικού του αρμονικού ταλαντωτή, δηλαδή στο γεγονός ότι η χαμιλτονιανή του αρμονικού ταλαντωτή είναι τετραγωνική ως προς τη θέση και ως προς την ορμή.

Άσκηση 4.

i) Δείξτε ότι οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας ( )n pψ% του αρμονικού ταλαντωτή στον χώρο των ορμών προκύπτουν από τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις

( )n xψ στον χώρο των θέσεων αν η θέση αντικατασταθεί από την ορμή και η κλίμακα μήκους από την κλίμακα ορμής του ταλαντωτή, δηλαδή

( )}

( )0

x pa p

n nx pψ ψ

→→

→ % , όπου amω

=h και 0p m ω= h .

ii) Χρησιμοποιήστε την κυματοσυνάρτηση ( )1

24

0 2 2

1 exp2xx

a aψ

π = −

, που

περιγράφει τη βασική κατάσταση του ταλαντωτή στον χώρο των θέσεων, για να υπολογίσετε τις κυματοσυναρτήσεις ( )1 pψ% και ( )2 pψ% , που περιγράφουν την 1η και τη 2η διεγερμένη κατάσταση, αντίστοιχα, του ταλαντωτή στον χώρο των ορμών.

Λύση i) Στην προηγούμενη άσκηση δείξαμε ότι

( )}

( )0

0 0

x pa p

x pψ ψ

→→

→ % ,

δηλαδή η αντιστοιχία ισχύει για τις ιδιοσυναρτήσεις της βασικής κατάστασης του αρμονικού ταλαντωτή. Εξάλλου, ο τελεστής δημιουργίας του αρμονικού ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση

†ˆ ˆ ˆ2m ia x p

mω

ω = − h

,

όπου ˆ ˆ,x p είναι, αντίστοιχα, ο τελεστής της θέσης και ο τελεστής της ορμής. Ο †a γράφεται

10 8/12/2017

†

0

ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ2 2

m p x pa x i ia pm

ωω

= − = − h h

Δηλαδή

†

0

ˆ ˆ1ˆ2

x pa ia p

= −

(1)

Στην αναπαράσταση θέσης, ( )x x x= και ( )ˆ dp x idx

= − h , και η (1) γράφεται

( )†

0 0

1 1ˆ2 2

dix x ddxa x ia p a p dx

− = − = −

hh

Όμως 0

ap mm ωω

= = =h h h

h

, οπότε

( )† 1ˆ2

x da x aa dx

= −

(2)

Αυτή είναι η έκφραση του τελεστή δημιουργίας στην αναπαράσταση θέσης.

Στην αναπαράσταση ορμής, ( )ˆ dx p idp

= h και ( )p p p= , και η (1) γράφεται

( )†

0 0

1 1ˆ2 2

dip p ddpa p i i

a p p a dp

= − = − −

hh

Όμως 0pa

=h , οπότε

( )†0

0

1ˆ2

p da p i pp dp

= − −

(3)

Αυτή είναι η έκφραση του τελεστή δημιουργίας στην αναπαράσταση ορμής. Από τις (2) και (3), βλέπουμε ότι, με την απροσδιοριστία της σταθερής φάσης

exp2ii π − = −

, ο τελεστής καταστροφής στην αναπαράσταση ορμής προκύπτει από

τον τελεστή καταστροφής στην αναπαράσταση θέσης αν αντικαταστήσουμε τη θέση με την ορμή και την κλίμακα μήκους με την κλίμακα ορμής. Εξάλλου, η δράση του τελεστή καταστροφής σε μια ιδιοκατάσταση n της ενέργειας του ταλαντωτή μάς δίνει

†ˆ 1 1a n n n= + + (4)

Αν προβάλλουμε και τα δύο μέλη της (4) σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση της θέσης, θα πάρουμε

11 8/12/2017

}

( )*

† †ˆ ˆ1 1 1 1x a n x n n a x x n n x n= + + ⇒ = + +

* Για περισσότερες λεπτομέρειες, δείτε την αναφορά 3.

Όμως ( )nx n xψ= και ( )11 nx n xψ ++ = , οπότε

( ) ( ) ( )†1ˆ 1n na x x n xψ ψ += + (5)

Με το ίδιο σκεπτικό, αν προβάλλουμε και τα δύο μέλη της (4) σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ορμής, θα πάρουμε

( ) ( ) ( )†1ˆ 1n na p p n pψ ψ += +% % (6)

Όπως είδαμε, η αντιστοιχία που θέλουμε να δείξουμε ισχύει για τις ιδιοσυναρτήσεις

της βασικής κατάστασης του ταλαντωτή, δηλαδή ( )}

( )0

0 0

x pa p

x pψ ψ

→→

→ % . Από τις (5) και (6), βλέπουμε ότι αν η αντιστοιχία ισχύει για τις ιδιοσυναρτήσεις

( )n xψ και ( )n pψ% , δηλαδή αν ( )}

( )0

x pa p

n nx pψ ψ

→→

→ % , τότε ισχύει και για τις

ιδιοσυναρτήσεις ( )1n xψ + και ( )1n pψ +% , δηλαδή ( )}

( )0

1 1

x pa p

n nx pψ ψ

→→

+ +→ % . Αυτό συμβαίνει γιατί, όπως είδαμε από τις (2) και (3), με την απροσδιοριστία της

σταθερής φάσης exp2ii π − = −

, η οποία δεν επηρεάζει τις κυματοσυναρτήσεις, η

ίδια αντιστοιχία ισχύει και για τις εκφράσεις του τελεστή δημιουργίας στις

αναπαραστάσεις θέσης και ορμής, δηλαδή ( )}

( )0

† †ˆ ˆ

x pa p

a x a p

→→

→ . Έτσι, επαγωγικά, ισχύει ότι

( )}

( )0

x pa p

n nx pψ ψ

→→

→ % , για 0,1,...n =

ii) Με τη βοήθεια της (2), η (5) γράφεται

( ) ( )11 12 n n

x da x n xa dx

ψ ψ + − = +

(7)

Αντικαθιστούμε τη δοθείσα ( )0 xψ στην (7) και παίρνουμε, για 0n = ,

12 8/12/2017

( )1

24

12 2

1 1 exp22

x d xa xa dx a a

ψπ

− − = ⇒

( )1 1

2 24 4

1 2 2 2 2 2

1 1 1 1 2exp exp2 22 2

x x x x xx aa a a a a a a

ψπ π

⇒ = − − − = − = 1

24

2 2

12 exp2

x xa a aπ

= −

Δηλαδή

( )1

24

1 2 2

12 exp2

x xxa a a

ψπ

= −

Οπότε, η ( )1 pψ% είναι

( )1

24

1 2 20 0 0

12 exp2

p ppp p p

ψπ

= −

%

Αντικαθιστούμε την ( )1 xψ στην (7) και παίρνουμε, για 1n = ,

( )1

24

22 2

1 12 exp 222

x d x xa xa dx a a a

ψπ

− − = ⇒

( )1 2 24

2 2 2 2

1 1 1 exp22

x x x xx aa a a a a a

ψπ

⇒ = − + − − = 1 2 2 24

2 3 2

1 1 1 exp22

x x xaa a a a aπ

= − − − = 1 2 2 24

2 2

1 1 1 exp22

x x xa a a aπ

= − + − = 1 2 24

2 2

1 1 2 1 exp22

x xa a aπ

= − −

Δηλαδή

( )1 2 24

2 2 2

1 1 2 1 exp22

x xxa a a

ψπ

= − −

Οπότε, η ( )2 pψ% είναι

( )1 2 24

2 2 20 0 0

1 1 2 1 exp22

p ppp p p

ψπ

= − −

%

13 8/12/2017

Άσκηση 5.

Έστω ότι ( )1

2 cos , αν 2

0, αν 2

x LxL Lx

Lx

π

ψ

≤ = >

. Αυτή είναι η κανονικοποιημένη

κυματοσυνάρτηση που περιγράφει, στον χώρο των θέσεων, τη βασική κατάσταση σωματίου σε απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού με τοιχώματα στα

σημεία 2Lx = − και

2Lx = .

i) Υπολογίστε την ( )1 pψ% . Είναι η ( )1 pψ% κανονικοποιημένη;

ii) Δείξτε ότι η ( )1 pψ% έχει δύο ανώμαλα σημεία, στις ορμές που ικανοποιούν

την κλασική σχέση της ενέργειας του ελεύθερου σωματίου 2

2pEm

= , όπου E

είναι η ενέργεια της κατάστασης που περιγράφει η ( )1 pψ% , είναι δηλαδή η ενέργεια της βασικής κατάσταση του σωματίου. iii) Αν το σωμάτιο βρίσκεται στη βασική του κατάσταση, βρείτε τις «απαγορευμένες» τιμές της ορμής του, δηλαδή τις τιμές της ορμής για τις οποίες μηδενίζεται η πυκνότητα πιθανότητας ορμής. iv) Αν το σωμάτιο βρίσκεται στη βασική του κατάσταση, υπολογίστε την πιθανότητα η ορμή του να είναι περίπου μηδέν.

Δίνεται ότι η ενέργεια της βασικής κατάστασης του σωματίου είναι 2 2

1 22E

mLπ

=h .

Λύση i) Η ( )1 pψ% είναι ο μετασχηματισμός Fourier της ( )1 xψ , επομένως

( )2

12

1 2exp cos2

L

L

ipx xp dxL L

πψπ −

= − = ∫%

hh

( ) ( )}

exp expcos

2 2

2

exp exp1 exp

2

i iL

L

i x i xipx L Ldx

L

ϕ ϕϕ π π

π

+ −=

−

+ − = − =

∫hh

2 2

2 2

1 exp exp2

L L

L L

ipx i x ipx i xdx dxL LLπ π

π − −

= − + + − − = ∫ ∫

h hh

2 2

2 2

1 exp exp2

L L

L L

p pdx i x dx i xL LLπ π

π − −

= − + − + = ∫ ∫

h hh

2 2

2 2

1 1 1exp exp2

L L

L L

p pi x i xp pL LL i i

L L

π ππ ππ

− −

= − + − + = − − +

h hh

h h

14 8/12/2017

exp exp exp exp2 2 2 21

2

p L p L p L p Li i i iL L L L

p pL i iL L

π π π π

π ππ

− − − − − + − + = + = − − +

h h h h

h

h h

( ) ( )}

exp exp 2 sin 2 sin exp exp2 2 21

2

i i ip L p L p Li i i

L L Lp pL i i

L L

ϕ ϕ ϕπ π π

π ππ

− − = − + − − + = + = − +

h h h

h

h h

2 sin 2 sin2 21

2

p L p Li iL L

p pL i iL L

π π

π ππ

− + = + = − +

h h

h

h h

sin sin sin sin2 21 1 2 2 2 2

p L p L pL pLL L

p p p pL LL L L L

π π π π

π π π ππ π

− + − + = + = + = − + − +

h h h h

h h

h h h h

cos cos1 12 2 cos

2

pL pL p ppLL L

p p p pL LL L L L

π π

π π π ππ π

+ + − = + = = − + − +

h h h h

hh h

h h h h

cos cos2 22 2

pL pL

p p p pL LL LL L L L

π ππ π π ππ

= =

− + − +

h h

hh

h h h h

Επομένως

( )1

cos2 2

pL

pp pL L

L L

πψπ π

=

− +

h%

h

h h

(1)

Η (1) είναι η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει, στον χώρο των ορμών, τη βασική κατάσταση σωματίου σε απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού με τοιχώματα στα σημεία

2Lx = − και

2Lx = .

Ας κάνουμε έναν διαστατικό έλεγχο στην (1). Η σταθερά h έχει διαστάσεις PL , επομένως το όρισμα του συνημιτόνου είναι αδιάστατο, όπως πρέπει.

Στον παρανομαστή του κλάσματος, η ποσότητα ph

έχει διαστάσεις 1L− , όπως πρέπει,

αφού αφαιρείται από/προστίθεται στην ποσότητα Lπ

, που επίσης έχει διαστάσεις 1L− .

15 8/12/2017

Έτσι, οι διαστάσεις της κυματοσυνάρτησης ( )1 pψ% είναι

( ) [ ] [ ] [ ]1 2

1 1 1

1 1 1 1 L Lp L PL L L L L PL

ψ −− −= = = = = %

h h h,

όπως πρέπει, αφού η ποσότητα ( ) 21 p dpψ% είναι (απειροστή) πιθανότητα (στον

χώρο των ορμών) και πρέπει να είναι αδιάστατη.

Η ( )1 xψ είναι κανονικοποιημένη, δηλαδή

( ) 21 1dx xψ

∞

−∞

=∫

Έτσι, από τον τύπο Parseval-Plancherel παίρνουμε

( ) 21 1dp pψ

∞

−∞

=∫ %

Επομένως, και η ( )1 pψ% είναι κανονικοποιημένη.

Γενικότερα, ο τύπος Parseval-Plancherel μάς λέει ότι αν η κυματοσυνάρτηση στον χώρο των θέσεων είναι κανονικοποιημένη, τότε (και μόνο τότε) είναι και η κυματοσυνάρτηση στον χώρο των ορμών κανονικοποιημένη.

ii) Τα ανώμαλα σημεία της ( )1 pψ% είναι οι ορμές στις οποίες μηδενίζεται ο παρανομαστής της (1), δηλαδή οι ορμές

1,2pL

π= ±

h

Οι ορμές αυτές είναι αντίθετες και αν τις αντικαταστήσουμε στην κλασική σχέση της

ενέργειας του ελεύθερου σωματίου 2

2pEm

= , παίρνουμε την ίδια ενέργεια

2 2 21,2

1 22 2p

Em mL

π= =

h ,

που είναι η ενέργεια της βασικής κατάστασης του σωματίου στο απειρόβαθο πηγάδι. Παρατηρήστε επίσης ότι

( ) ( )1 1

cos cos2 22 2

pL pL

p pp p p pL L L L

L L L L

π πψ ψπ π π π

− − = = =

+ − − +

h h% %

h h

h h h h

,

δηλαδή η ( )1 pψ% είναι άρτια, κάτι αναμενόμενο αφού η ( )1 xψ είναι άρτια και, όπως ξέρουμε, αν η κυματοσυνάρτηση στον χώρο των θέσεων είναι άρτια/περιττή τότε (και μόνο τότε) η κυματοσυνάρτηση στον χώρο των ορμών είναι άρτια/περιττή.

Στα ανώμαλα σημεία L

π±

h της ( )1 pψ% είναι

16 8/12/2017

cos cos 02 2

LL

ππ

± = ± =

h

h,

δηλαδή μηδενίζεται και ο αριθμητής του κλάσματος στην (1). Επειδή η ( )1 pψ% είναι άρτια, τα όρια ( )1lim

pL

pπ

ψ→±

h

% είναι ίδια, επομένως αρκεί να

υπολογίσουμε το ένα (αν υπάρχει). Με τη βοήθεια του κανόνα του L'Hospital έχουμε

( )}

00

1

cos sin2 22 2 2lim lim lim

1 1p p pL L L

pL L pL

pp p p pL L L L

L L L Lπ π π

π πψπ π π π→ → →

− = = =

− + − + + −

h h h

h h h%

h h

h h h h h h

2 2 2

sin sin sin1 12 2 2lim lim lim2 2p p p

L L L

pL pL pL

p p pL L L pL L

π π π

π π ππ π→ → →

= − = − = =

− − + − −h h h

hh h h

h h h h h

h h h h h

sin2 sin

122 2 2 2

LL

L LL L L

L L

π

ππ π π

π π π π

= = = =

h

h

h h

h hh h h h

Επομένως

( )11lim2p

L

Lpπ

ψπ→±

=h

%

h

Αφού τα όρια της ( )1 pψ% στα ανώμαλα σημεία L

π±

h υπάρχουν και είναι

πεπερασμένα, τα ανώμαλα αυτά σημεία είναι αιρόμενα, και μπορούμε να ορίσουμε

112

LL

πψπ

± ≡

h%

h

iii) Η πυκνότητα πιθανότητας ορμής ( ) 21 pψ% μηδενίζεται στις ορμές που μηδενίζεται

η ( )1 pψ% , δηλαδή όταν

( )2 12cos 02 2 2

npL pL nn pL L L

ππ π ππ+ = ⇒ = + ⇒ = + =

hh h

h h

Επομένως

( )2 1np

Lπ+

= ±h

, όπου* 1, 2,...n =

17 8/12/2017

Αυτές είναι οι «απαγορευμένες» τιμές της ορμής του σωματίου, όταν αυτό βρίσκεται στη βασική του κατάσταση.

* Για 0n = , παίρνουμε τα δύο ανώμαλα σημεία, στα οποία, όπως είδαμε, η ( )1 pψ% παίρνει πεπερασμένη, μη μηδενική τιμή.

iv) Η πιθανότητα η ορμή του σωματίου να είναι περίπου μηδέν, όταν αυτό βρίσκεται στη βασική του κατάσταση, ισούται με ( ) 2

1 0ψ% , επομένως είναι

2

2 2

2 2 4 3

2 1 2 4 4L L LL L L L

L

π π ππ π ππ

= = =

h h h h

Άσκηση 6.

Έστω ότι ( ) ( )expx k k xψ = − , όπου 2

mk

λ=

h. Αυτή είναι η κανονικοποιημένη

κυματοσυνάρτηση που περιγράφει, στον χώρο των θέσεων, τη μοναδική δέσμια κατάσταση σωματίου στο ελκτικό δυναμικό δέλτα ( ) ( )V x xλ δ= − .

i) Υπολογίστε την ( )pψ% .

ii) Δείξτε ότι η ( )pψ% έχει, στο μιγαδικό επίπεδο, δύο απλούς, συζυγείς φανταστικούς πόλους, στις ορμές που ικανοποιούν την κλασική σχέση της

ενέργειας του ελεύθερου σωματίου 2

2pEm

= , όπου E είναι η ενέργεια της

κατάστασης που περιγράφει η ( )pψ% , είναι δηλαδή η ενέργεια της δέσμιας κατάστασης του ελκτικού δυναμικού δέλτα. iii) Ποια είναι η πιθανότερη ορμή του σωματίου; iv) Χρησιμοποιήστε την ( )pψ% για να υπολογίσετε τη μέση τιμή της ορμής και τη μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής του σωματίου.

Λύση i) Η ( )pψ% είναι ο μετασχηματισμός Fourier της ( )xψ , επομένως

( ) 2 2 3 2

1 exp exp exp22

m m x m m xipx ipxp dx dxλ λ λ λ

ψππ

∞ ∞

−∞ −∞

= − − = − − =

∫ ∫%

h h h h h hh

0

3 2 20

exp exp2m m x m xipx ipxdx dx

λ λ λπ

∞

−∞

= − + − − =

∫ ∫h h h h h

0

30

1 1exp exp2m m m

dx ip x dx ip xλ λ λ

π

∞

−∞

= − + − + =

∫ ∫h h h h h

18 8/12/2017

0

3

0

1 1 1 1exp exp2 1 1m m m

ip x ip xm m

ip ip

λ λ λπ λ λ

∞

−∞

= − + − + − − +

h h h h h

h h h h

Όμως

2

1exp exp expm m x ipxip x

λ λ − = − h h h h

Έτσι, έχουμε

2 2

1

1exp exp exp exp expm m x m xipx ipxip x

λ λ λ − = − = − = h h h h h h14243

2expm xλ

= h

,

και επειδή

2lim exp 0x

m xλ→−∞

=

h,

παίρνουμε

1lim exp 0x

mip x

λ→−∞

− = h h

Έτσι, με τη βοήθεια της σχέσης 0 0z z= ⇔ = , παίρνουμε

1lim exp 0x

mip x

λ→−∞

− = h h

Με τον ίδιο τρόπο, παίρνουμε

1lim exp 0x

mip x

λ→∞

− + = h h

Έτσι, η ( )pψ% γράφεται

19 8/12/2017

( ) 3 3

1 1 1 12 21 1m m

pm mm m ip ipip ip

λ λψ

λ λπ πλ λ

= − = + = − + − − +

% hh h

h hh h h h

2

2 2

m m mip ipm m

m m m mip ip ip ip

λ λ λλ λ

π πλ λ λ λ

+ + −= = =

− + − +

h h h

h h

h h h h

2

2 2 1

1 11 1

mm m

m p pm p p i ii i m mm m

λλ λ

π π λλλ λλ λ

= = = − + − +

hh

h h h hh h

h

2

2 1 2 1

1 1 1m mp p pi i

m m m

π λ π λλ λ λ

= = − + +

h h

h h h

Δηλαδή

( ) 2

2 1

1

pm p

m

ψπ λ

λ

=

+

h%

h

(1)

Η (1) είναι η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει, στον χώρο των ορμών, τη μοναδική δέσμια κατάσταση σωματίου μάζας m στο ελκτικό δυναμικό δέλτα

( ) ( )V x xλ δ= −

Βλέπουμε ότι η ( )pψ% είναι άρτια, όπως πρέπει, αφού η ( )xψ είναι άρτια.

ii) Από την (1), βλέπουμε ότι η ( )pψ% έχει δύο απλούς πόλους, στα σημεία όπου

2

1 0pm λ

+ =

h ,

επομένως 2

21imp pi i p

m mλ

λ λ

= − = ⇒ = ± ⇒ = ±

h h

h

Οι δύο απλοί πόλοι της ( )pψ% είναι συζυγείς και φανταστικοί, και αν αντικαταστήσουμε στην κλασική σχέση της ενέργειας του ελεύθερου σωματίου

2

2pEm

= , παίρνουμε την ίδια ενέργεια

20 8/12/2017

2

22 2 2

2 22 2 2

imi m mE

m m

λλ λ

±

= = = −h

h h,

που είναι η ενέργεια της μοναδικής δέσμιας κατάστασης του ελκτικού δυναμικού

δέλτα, όπως βλέπουμε αν συνδυάσουμε τη σχέση 2

mk

λ=

h με τη γνωστή σχέση

2

2m Ek =

h, και λάβουμε υπόψη ότι επειδή το δυναμικό είναι μη θετικό, η ενέργεια

της δέσμιας κατάστασης θα είναι αρνητική. iii) Με τη βοήθεια της (1), η πυκνότητα πιθανότητας ορμής ( ) 2

pψ% είναι

( ) ( )2 2

22

2 1 2 0

1

pm m

pm

ψ ψπ λ π λ

λ

= ≤ = +

h h% %

h

Δηλαδή

( ) ( )2 20pψ ψ≤% % (2)

Η πυκνότητα πιθανότητας ορμής μάς δίνει την πιθανότητα η ορμή του σωματίου να είναι μεταξύ p και p dp+ . Έτσι, από τη (2) βλέπουμε ότι η πιθανότερη ορμή του σωματίου, δηλαδή η πιθανότερη τιμή της ορμής του σωματίου, είναι 0p = .

Σημείωση

Η σταθερά m λ

h έχει διαστάσεις ορμής

Πράγματι, από τη σχέση του δυναμικού βλέπουμε ότι το γινόμενο ( )xλ δ έχει

διαστάσεις ενέργειας E και επειδή η συνάρτηση ( )xδ έχει διαστάσεις 1L− –

θυμηθείτε τη σχέση ( ) 1dx xδ∞

−∞

=∫ , από την οποία βλέπουμε ότι το ( )dx xδ πρέπει

να είναι αδιάστατο – η σταθερά λ έχει διαστάσεις EL , οπότε έχουμε 2PMm MEL ME M P

PL P Pλ

= = = = h

Μπορούμε έτσι να θεωρήσουμε τη σταθερά m λ

h ως μια κλίμακα ορμής του

συστήματός μας και να τη συμβολίσουμε με 0p , δηλαδή

0

mp

λ=

h

Τότε, η (1) γράφεται

21 8/12/2017

( ) 20

0

2 1

1

pp p

p

ψπ

=

+

% (3)

iv) Η μέση τιμή της ορμής στην κατάσταση ψ είναι

ˆp pψ ψ=

Με τη βοήθεια της σχέσης πληρότητας των ιδιοκαταστάσεων της ορμής, δηλαδή της σχέσης

1dp p p∞

−∞

=∫ ,

η μέση τιμή της ορμής γράφεται

ˆ ˆp dp p p p dp p p pψ ψ ψ ψ∞ ∞

−∞ −∞

= =

∫ ∫

Όμως

( )* *p p pψ ψ ψ= = %

και }

( ) ( ) ( )*

ˆ ˆ ˆp p p p p p p pψ ψ ψ= = % ,

όπου ( )p p p= είναι ο τελεστής της ορμής στην αναπαράσταση ορμής.

* Για περισσότερες λεπτομέρειες, δείτε την αναφορά 3.

Έτσι, η μέση τιμή της ορμής γράφεται

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2* *ˆp dp p p p p dp p p p dp p pψ ψ ψ ψ ψ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

= = =∫ ∫ ∫% % % % %

Δηλαδή

( ) 2p dp p pψ

∞

−∞

= ∫ % (4)

Αυτή είναι η έκφραση της μέσης τιμής της ορμής στην αναπαράσταση ορμής. Στην περίπτωσή μας, η ( )pψ% δίνεται από την (1), ή από την (3), και είναι άρτια.

Έτσι, στην (4), η ολοκληρωτέα συνάρτηση ( ) 2p pψ% είναι περιττή και το διάστημα

ολοκλήρωσης συμμετρικό, επομένως το ολοκλήρωμα είναι μηδέν, δηλαδή

0p =

Η μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής στην κατάσταση ψ είναι

22 8/12/2017

2 2ˆp pψ ψ=

Όπως και στην περίπτωση της μέσης τιμής της ορμής, χρησιμοποιούμε τη σχέση πληρότητας των ιδιοκαταστάσεων της ορμής για να γράψουμε τη μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής στην αναπαράσταση ορμής. Έτσι παίρνουμε

( ) 22 2p dp p pψ∞

−∞

= ∫ % (5)

Στην περίπτωσή μας, όπου η ( )pψ% είναι άρτια, η ολοκληρωτέα συνάρτηση

( ) 2 2p pψ% είναι επίσης άρτια, επομένως

( ) ( )2 22 2

0

2dp p p dp p pψ ψ∞ ∞

−∞

=∫ ∫% % ,

και η (5) γράφεται

( ) 22 2

0

2p dp p pψ∞

= ∫ %

Αν αντικαταστήσουμε την ( )pψ% από την (3), θα πάρουμε

22

220 0

0

4

1

pp dpp p

p

π

∞

= +

∫ (6)

Όμως

2

2 2 222 20 0

0 0 0

1 1 2 11

1 1 1

p pp pp p p

p p p

′ ′ = − + = − = + + +

22 20

0

2

1

pp p

p

= − +

Επομένως

20

2 22

00

12

11

pp

pppp

′ = −

+ +

Με τη βοήθεια της προηγούμενης σχέσης, η (6) γράφεται

23 8/12/2017

22 0 0

2 20 0 0

0 0

24 1 12

1 1

p pp dp p dp pp p p

p p

π π

∞ ∞

′ ′ = − = − + +

∫ ∫

Με παραγοντική ολοκλήρωση παίρνουμε

2 02 2

0

0 00

2 1

1 1

p pp dpp pp p

π

∞

∞

= − −

+ +

∫ (7)

Για p → ∞ , 2

02 2

0 0

0

1

pp ppp p

p p

→

+

∼ ∼ .

Έτσι, 2

0 0

00 01 0

1

p

pp

∞

= − =+

+

, και η (7) γράφεται

}

( )*3 3 2

2 0 0 0 02 2 2

0 0 00 0 0

0

2 2 2 21 1 1 arctan arctan arctan 0

1

p p p ppp dp dpp p p pp

p

π π π π

∞∞ ∞

= = = = ∞ − =+

+

∫ ∫

220

02 0

2p pππ

= − =

Δηλαδή 2 2

0p p= (8)

* 2 2

1 arctandx x cx a a a

= ++∫

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_rational_functions#Miscellaneous_integrands

Αν συνδυάσουμε τις σχέσεις 0

mp

λ=

h και 2

mk

λ=

h, παίρνουμε 0p k= h , οπότε η

(8) γράφεται, εναλλακτικά, 2 2 2p k= h

24 8/12/2017

Συμπλήρωμα άσκησης 6. Υπολογισμός της μέσης τιμής του τετραγώνου της ορμής με μιγαδική ολοκλήρωση. Θεωρούμε τη μιγαδική συνάρτηση

( )2

22

0

1

pf ppp

= +

, όπου p ∈£ .

Θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα της f στην κλειστή διαδρομή C που περιλαμβάνει τον πραγματικό άξονα −∞ → ∞ , και το ημικύκλιο ( )SC R ακτίνας R → ∞ , που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και βρίσκεται στο πάνω ημιεπίπεδο, όπου Im 0p ≥ . Είναι

( ) ( ) ( )( )C SC R

dpf p dpf p dpf p∞

−∞ →∞

= +∫ ∫ ∫Ñ (9)

Στο ημικύκλιο ( )SC R ,

( )expp R iϕ= , όπου : 0ϕ π→

Θυμίζουμε ότι η θετική φορά κίνησης επάνω σε μια καμπύλη στο μιγαδικό επίπεδο είναι αριστερόστροφα.

Έτσι, η ( )f p στο ημικύκλιο ( )SC R είναι

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )( )

2 2 4 20

2 2 22 2 2 20

0 0

exp exp 2 exp 2

exp 2exp exp1 1

R i R i p R if p

p R iR i R ip p

ϕ ϕ ϕ

ϕϕ ϕ= = =

+ + +

Δηλαδή

( ) ( )( )( )

4 20

22 20

exp 2

exp 2

p R if p

p R i

ϕ

ϕ=

+

Το μέτρο της ( )f p στο ημικύκλιο ( )SC R είναι, αν εφαρμόσουμε τη στοιχειώδη

ιδιότητα 1 2 1 2z z z z= των μιγαδικών αριθμών,

25 8/12/2017

( )( )}

( )( ) ( ) ( )

exp 2 14 2 4 2 4 2

0 0 02 22 2 2 22 2

0 40 0exp 2exp 2

exp 2

ip R p R p Rf p

p R ip R i pR iR

ϕ

ϕϕϕ

=

= = = =++ +

( )

40

222 0 exp 2

p

pR iR

ϕ

= +

Δηλαδή

( )( )

40

222 0 exp 2

pf ppR iR

ϕ

= +

Καθώς R → ∞ , 2

0 0pR

→

, επομένως

( ) ( )2

0 exp 2 exp 2 1p i iR

ϕ ϕ + → =

,

και το μέτρο της ( )f p στο ημικύκλιο ( )SC R τείνει στο μηδέν ως 2

1R

.

Επομένως, καθώς R → ∞ , είναι

( )( )

( )( ) ( )

( )( )2 2

0

exp

SC R SC R SC R

d R idpdpf p dp f p

R R

π ϕ

→∞ →∞ →∞

= = =∫ ∫ ∫ ∫∼

( )( )}

1exp 1

0

2 20 0 0

exp0

ii

dRi i d Rd dR R R R

ϕϕπ π πϕ ϕ ϕ ϕ π

==

>

= = = = →∫ ∫ ∫

Δηλαδή

( )( )

0SC R

dpf p→∞

→∫

Έτσι, με τη βοήθεια της ιδιότητας

( )( )

( )( )

0SC R SC R

dpf p dpf p→∞ →∞

≤ ≤∫ ∫ ,

που απορρέει από την τριγωνική ανισότητα 1 2 1 2z z z z+ ≤ + , συμπεραίνουμε ότι

( )( )

0SC R

dpf p→∞

→∫ ,

26 8/12/2017

και με τη βοήθεια της σχέσης 0 0z z= ⇒ = , καταλήγουμε ότι

( )( )

0SC R

dpf p→∞

→∫

Έτσι, από την (9) παίρνουμε

( ) ( )C

dpf p dpf p∞

−∞

=∫ ∫Ñ (10)

Εξάλλου, η ( )f p γράφεται

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

4 2 4 2 4 220 0 0

2 2 2 2 22 22 20 00 000

20

p p p p p ppf pp ip p ipp ip p ipp pp p

p

= = = =+ − + −++

Δηλαδή

( )( ) ( )

4 202 2

0 0

p pf pp ip p ip

=+ −

Στο εσωτερικό της καμπύλης C , όπου Im 0p > , η ( )f p έχει έναν πόλο δεύτερης τάξης, στο σημείο 0p ip= . Έτσι, με τη βοήθεια του θεωρήματος των ολοκληρωτικών υπολοίπων, το ολοκλήρωμα ( )

C

dpf p∫Ñ είναι

( ) ( )( )02 Re ,C

dpf p i s f p ipπ=∫Ñ ,

όπου

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0

4 22 12 0

0 0 22 10

1Re , lim lim2 1 ! p ip p ip

p pd ds f p ip p ip f pdp dp p ip

−

−→ →= − = =

− +

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )0

244 4 2 4 5 60 00 0 0 0 0 0

2 3 2 3 2 30 0 0 0 0 0 0 0

22 2 2 2 2lim2 2p ip

p ipp p p p p ip ip pp ip p ip ip ip ip ip ip ip→

= − = − = + = + + + + 3 3 3 3 3

0 0 0 0 0

2 4 2 4 4ip p ip ip ip

i= − − = − + = −

Επομένως

( )3 3

0 024 2C

ip pdpf p i ππ

= − =

∫Ñ

Έτσι, από τη (10) παίρνουμε 32

022

0

21

ppdppp

π∞

−∞

= +

∫ (11)

27 8/12/2017

Εξάλλου, με τη βοήθεια της (3), είναι

( )22 2

220

0

2

1

pp pp p

p

ψπ

= +

%

Έτσι, με τη βοήθεια της (11), παίρνουμε

( )3

2 2 200

0

22pdp p p p

pπψ

π

∞

−∞

= =∫ %

Οπότε 2 2

0p p=

Άσκηση 7.

Η κατάσταση ενός σωματίου μέσα σε απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού με

τοιχώματα στα σημεία 2Lx = ± περιγράφεται, στον χώρο των θέσεων, από την

κυματοσυνάρτηση ( ),

2

0, 2

LA xx

Lxψ

<= >

, όπου 0A ≠ .

Παρατηρήστε ότι η ( )xψ έχει πεπερασμένη ασυνέχεια στα τοιχώματα του πηγαδιού. i) Υπολογίστε την κυματοσυνάρτηση ( )pψ% , που περιγράφει την κατάσταση του σωματίου στον χώρο των ορμών. ii) Δείξτε ότι η ( )pψ% έχει ένα αιρόμενο ανώμαλο σημείο, στην ορμή 0p = .

iii) Αν ορίσουμε ( ) ( )0

0 limp

pψ ψ→

≡% % , υπολογίστε την πιθανότητα η ορμή του

σωματίου να είναι περίπου μηδέν. iv) Δείξτε ότι η πιθανότερη ορμή του σωματίου είναι η ορμή 0p = . v) Υπολογίστε τη μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής του σωματίου και δείξτε ότι η κατάσταση που εξετάζουμε είναι μια κατάσταση άπειρης ενέργειας.

Λύση Για να προχωρήσουμε, θα κανονικοποιήσουμε την ( )xψ , δηλαδή θα απαιτήσουμε

( ) 21dx xψ

∞

−∞

=∫

Επειδή στα τοιχώματα του πηγαδιού η ( )xψ έχει πεπερασμένη ασυνέχεια, μπορούμε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα κανονικοποίησης ως

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )

2 22 2 2 2

2 2

L L

L L

dx x dx x dx x dx xψ ψ ψ ψ− −

+ +

−∞ ∞

−∞ −∞ −

= + +∫ ∫ ∫ ∫

28 8/12/2017

Τότε, επειδή η ( )xψ είναι μηδέν έξω από το πηγάδι, η συνθήκη κανονικοποίησης γράφεται

( )( )

( )2 22 2 2

22

1L L

LL

dx x dx A A Lψ−

+ −−

= = =∫ ∫

Επομένως

1AL

=

Έτσι, με τη – συνήθη για τις κυματοσυναρτήσεις – απροσδιοριστία μιας σταθερής φάσης, καταλήγουμε ότι

1AL

= ,

και η κυματοσυνάρτηση ( )xψ γράφεται

( )

1 , 2

0, 2

LxLx

Lxψ

<= >

i) Η ( )pψ% είναι ο μετασχηματισμός Fourier της ( )xψ , επομένως

( ) ( )1 exp2

ipxp dx xψ ψπ

∞

−∞

= − ∫%

hh

Όπως και πριν, η ολοκληρωτέα συνάρτηση έχει πεπερασμένη ασυνέχεια στα τοιχώματα του πηγαδιού, και ορίζουμε το ολοκλήρωμα όπως προηγουμένως. Έτσι, έχουμε

( )( )

( )2 2

22

1 1 1exp exp2 2

L L

LL

ipx ipxp dx dxL L

ψπ π

−

+ −−

= − = − = ∫ ∫%

h hh h

2

2

1 1exp exp exp2 22 2

L

L

ipx ipL ipLip ipL Lπ π−

= − − = − − − =

h h

h h hh h

sin1 1 2 2exp exp 2 sin

2 2 22 2

pLipL ipL pLi

ip ip L pL L ππ π

= − − = =

h h h h

h h hh h

Δηλαδή

( )sin

2 2pL

pL p

ψπ

=

h h% (1)

Παρατηρήστε ότι η ( )pψ% είναι άρτια, ως πηλίκο δύο περιττών συναρτήσεων, κάτι

αναμενόμενο, αφού η ( )xψ είναι άρτια.

29 8/12/2017

Επίσης, επειδή κανονικοποιήσαμε την ( )xψ , η ( )pψ% που βρήκαμε είναι και αυτή κανονικοποιημένη, όπως προκύπτει από τον τύπο Parseval-Plancherel.

Αν θέλουμε να κάνουμε έναν διαστατικό έλεγχο στην (1), βλέπουμε ότι το όρισμα του ημιτόνου είναι αδιάστατο, αφού η σταθερά h έχει διαστάσεις PL , επομένως η διαστάσεις της κυματοσυνάρτησης ( )pψ% είναι

( ) [ ] 1 21 1PLp PL P L P

ψ −= = = h

% ,

όπως πρέπει ώστε η ποσότητα ( ) 2p dpψ% να είναι αδιάστατη, ως (απειροστή)

πιθανότητα (στον χώρο των ορμών).

ii) Από την (1), βλέπουμε ότι η ( )pψ% έχει ένα ανώμαλο σημείο, στην ορμή 0p = . Όμως, με τη βοήθεια του κανόνα του L'Hospital, έχουμε

( )}

00

0 0

2lim lim cos2 2 2p p

L pL LpL

ψπ π→ →

= =

h%

h h h

Επομένως, το μηδέν είναι αιρόμενο ανώμαλο σημείο της ( )pψ% .

iii) Αν ορίσουμε ( ) ( )0

0 limp

pψ ψ→

≡% % , τότε ( )02

Lψπ

≡%

h.

Η πυκνότητα πιθανότητας ορμής είναι ( ) 2pψ% και μάς δίνει την πιθανότητα η ορμή

του σωματίου να είναι μεταξύ p και p dp+ . Έτσι, η πιθανότητα η ορμή του σωματίου να είναι περίπου μηδέν είναι

( ) 20

2Lψπ

=%

h.

iv) Με τη βοήθεια της ανισότητας* sinϕ ϕ< , που ισχύει για 0ϕ > , παίρνουμε

}

( ) ( )

0

02

sin sin2 22 2sin

2 2 2 2

p

Lp

pL pLpL pL L L

p L p Lψ ψ

π

π π

>

=

< ⇒ < ⇒ <

%

%

h

h hh h

h h h h142431442443

Δηλαδή, ( ) ( )0pψ ψ<% % , για 0p > .

Επειδή η ( )pψ% είναι άρτια, ( ) ( )0pψ ψ<% % για κάθε *p ∈¡ .

* Θα δείξουμε ότι sinϕ ϕ< , για 0ϕ > .

Αν ( ) sinf ϕ ϕ ϕ= − , τότε ( ) cos 1f ϕ ϕ′ = − .

Στο διάστημα ( )0, 2π , η ( )f ϕ′ είναι αρνητική, επομένως η ( )f ϕ είναι γνησίως φθίνουσα, άρα, στο διάστημα αυτό,

( ) ( )0 sin 0 sinf fϕ ϕ ϕ ϕ ϕ< ⇒ − < ⇒ < , δηλαδή η ανισότητα ισχύει.

30 8/12/2017

Για 2ϕ π≥ , είναι sin 1 2ϕ π ϕ≤ < ≤ , άρα sinϕ ϕ< . Επομένως η ανισότητα sinϕ ϕ< ισχύει για κάθε 0ϕ > .

Για να δείξουμε ότι η ορμή μηδέν είναι η πιθανότερη ορμή του σωματίου, πρέπει να δείξουμε ότι η πυκνότητα πιθανότητας ορμής, δηλαδή η συνάρτηση ( ) 2

pψ% , ή

ισοδύναμα η ( )pψ% , έχει ολικό μέγιστο για 0p = , και για να το κάνουμε αυτό

πρέπει να δείξουμε ότι η ελάχιστη τιμή της ( )pψ% , που είναι αρνητική, αφού το ημίτονο παίρνει και αρνητικές τιμές, είναι κατ’ απόλυτη τιμή μικρότερη από την τιμή

( )0ψ% .

Επειδή η ( )pψ% είναι άρτια, μπορούμε να περιοριστούμε στις θετικές ορμές, όπως

κάναμε και στην περίπτωση εύρεσης της μέγιστης τιμής της ( )pψ% .

Στο διάστημα 02pL π≤ ≤h

, sin 02pL ≥

h, οπότε ( ) 0pψ ≥% .

Στο διάστημα 32 2pL ππ < ≤h

, sin 02pL <

h, οπότε ( ) 0pψ <% .

H παράγωγος της ( )pψ% είναι

( ) 2 2

cos sin cos sin2 22 2 2 2 2 2

L pL pL pL pL pL

pL p p L p

ψπ π

− ′ = − =

h hh h h h h h%

Δηλαδή

( ) 2

cos sin2 2 2 2

pL pL pL

pL p

ψπ

− ′ =

h h h h%

Παρατηρούμε ότι για 2pL π=h

, η ( )pψ ′% είναι αρνητική, ενώ για 32 2pL π

=h

, η ( )pψ ′%

είναι θετική.

Έτσι, επειδή η ( )pψ ′% είναι συνεχής στο διάστημα 32 2pL ππ ≤ ≤h

, θα μηδενίζεται μία

τουλάχιστον φορά στο συγκεκριμένο διάστημα. Όμως

2

cos sin cos sin cos2 2 2 2 2 2 2 2 2pL pL pL L pL L pL L pLp

′ − = − − = h h h h h h h h h

2

sin 02 2L pLp = − >

h h, στο διάστημα 3

2 2pL ππ < ≤h

.

Η συνάρτηση cos sin2 2 2pL pL pL −

h h h είναι επομένως γνησίως αύξουσα στο

προηγούμενο διάστημα, οπότε δεν μπορεί να μηδενίζεται περισσότερες από μία

31 8/12/2017

φορές, που σημαίνει ότι η ( )pψ ′% δεν μπορεί να έχει περισσότερες από μία ρίζες στο συγκεκριμένο διάστημα.

Επομένως, η ( )pψ ′% έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα 32 2pL ππ < ≤h

, που σημαίνει ότι

η ( )pψ% έχει μόνο ένα ακρότατο στο διάστημα αυτό, και το ακρότατο αυτό είναι ελάχιστο και είναι αρνητικό. Επειδή η ( )pψ% είναι συνεχής και πεπερασμένη στο συγκεκριμένο διάστημα, η ελάχιστη τιμή της δεν μπορεί να είναι μικρότερη από την τιμή

( )2 1 2 1 1 02 2 2L L

L LL

ψππ π π π π π−

= − = − = −h h

%h h h

,

που προκύπτει αν βάλουμε στον αριθμητή την ελάχιστη αρνητική τιμή που παίρνει το ημίτονο στο συγκεκριμένο διάστημα, δηλαδή 1− , και στον παρανομαστή την ελάχιστη θετική τιμή της ορμής στο συγκεκριμένο διάστημα, που είναι

22pL p

Lππ= ⇒ =

h

h

Λόγω του παράγοντα 1π

, η προηγούμενη τιμή είναι κατ’ απόλυτη τιμή μικρότερη από

( )0ψ% .

Στα επόμενα διαστήματα, 3 22 2

pLπ π< ≤h

, 2 22 2pL ππ π< ≤ +h

, κ.λπ., η ελάχιστη τιμή

της ( )pψ% , όταν είναι αρνητική, είναι μεγαλύτερη από την ελάχιστη τιμή της στο

διάστημα 32 2pL ππ < ≤h

, γιατί ο παρανομαστής του κλάσματος της (1) παίρνει

μεγαλύτερες τιμές, επομένως το κλάσμα κατ’ απόλυτη τιμή μικραίνει, και επειδή είναι αρνητικό μεγαλώνει αλγεβρικά. Έτσι, λοιπόν,

( ) ( ) ( )1 0 0pψ ψ ψπ

≥ − > −% % % ,

και άρα

( ) ( ) ( )0 0pψ ψ ψ− < ≤% % % ,

οπότε

( ) ( )0pψ ψ≤% %

Η πυκνότητα πιθανότητα ορμής ( ) 2pψ% γίνεται επομένως μέγιστη όταν 0p = ,

δηλαδή η πιθανότερη ορμή του σωματίου είναι η ορμή 0p = . v) Στην άσκηση 6, δείξαμε ότι η έκφραση της μέσης τιμής του τετραγώνου της ορμής στον χώρο των ορμών είναι

32 8/12/2017

( ) 22 2p dp p pψ∞

−∞

= ∫ % (2)

Όπως είδαμε, η ( )pψ% έχει στο μηδέν ένα αιρόμενο ανώμαλο σημείο και ορίσαμε την

τιμή της στο μηδέν ως ( )0

limp

pψ→

% , οπότε η ( )pψ% είναι συνεχής παντού.

Έτσι, η ολοκληρωτέα συνάρτηση στη σχέση (2) είναι συνεχής παντού και το αντίστοιχο ολοκλήρωμα είναι καλά ορισμένο. Αντίθετα, αν γράψουμε την έκφραση της μέσης τιμής του τετραγώνου της ορμής στον χώρο των θέσεων, δηλαδή

( ) ( ) ( )2 * 2ˆp dx x p x xψ ψ∞

−∞

= ∫ , όπου ( )2 2

2 22

ˆ d dp x idx dx

= − = −

h h ,

βλέπουμε ότι το ολοκλήρωμα δεν είναι καλά ορισμένο, αφού η ( )xψ έχει πεπερασμένη ασυνέχεια στα τοιχώματα του πηγαδιού, επομένως οι παράγωγοί της στα σημεία αυτά δεν είναι καλά ορισμένες.

Βλέπουμε λοιπόν ότι, για την κατάσταση που εξετάζουμε, η μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής δεν μπορεί να υπολογιστεί στον χώρο των θέσεων, μπορεί όμως να υπολογιστεί στον χώρο των ορμών.

Με τη βοήθεια της (1), η (2) γράφεται

2 22 sin2pLp dp

Lπ

∞

−∞

= ∫

h

h

Επειδή η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι άρτια,

2 2

0

sin 2 sin2 2pL pLdp dp

∞ ∞

−∞

= ∫ ∫

h h

Επομένως

2 2

0

4 sin2pLp dp

Lπ

∞ = ∫

h

h (3)

Το ολοκλήρωμα 2

0

sin2pLdp

∞ ∫

h ισούται με το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζει η

καμπύλη 2sin2pL

h

, ο θετικός ημιάξονας, και οι κατακόρυφες 0p = και p = ∞ .

Η συνάρτηση 2sin2pL

h

είναι περιοδική, με περίοδο

22pL p

Lππ= ⇒ =

h

h.

33 8/12/2017

Επομένως, το προηγούμενο εμβαδόν ισούται με άπειρες φορές το εμβαδόν του

χωρίου που σχηματίζει η καμπύλη 2sin2pL

h

, ο θετικός ημιάξονας, και οι

κατακόρυφες 0p = και p π= , το οποίο είναι

}

2 1 cos22 2 2sin2

2

0 0 0

1 cos1sin 1 cos

2 2 2

L L LpL

pL pLdp dp dp

ϕπ π πϕ −= − = = − =

∫ ∫ ∫h h h

h

h h

( )( )

2 2 22

00 0 0

sin 2 sin0 0

1 1 1 2cos sin 02 2 2

L L LL

L

pL pLdp dp pL L L

π π ππ

π

π π

− =

= − = − = = >

∫ ∫h h

h

h

h

h h h

h h1442443

Επομένως

2

0

sin2pLdp

∞ → ∞ ∫

h

Έτσι, από την (3) παίρνουμε 2p → ∞

Μέσα στο πηγάδι, το δυναμικό είναι μηδέν, οπότε η μέση ενέργεια του σωματίου

είναι 2

2p

Em

= , επομένως για την κατάσταση που εξετάζουμε, η μέση ενέργεια

είναι συν άπειρο.

Άσκηση 8.

Αν στη σχέση (1) της προηγούμενης άσκησης, αντικαταστήσουμε τη θέση με την ορμή και το πλάτος L του πηγαδιού με μια θετική σταθερά 0p με διαστάσεις ορμής, παίρνουμε την κυματοσυνάρτηση, στον χώρο των θέσεων,

( )0

0

sin2 2

p x

xp x

ψπ

=

h h ,

που όμως δεν αφορά το απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Παρατηρήστε ότι η ( )xψ έχει διαστάσεις 1 2L− , όπως πρέπει ώστε το γινόμενο

( ) 2x dxψ να είναι αδιάστατο, ως (απειροστή) πιθανότητα (στον χώρο των

θέσεων). Παρατηρήστε επίσης ότι, σε αντιστοιχία με την ( )pψ% της προηγούμενης

άσκησης, η ( )xψ έχει ένα αιρόμενο ανώμαλο σημείο, στο 0x = , και αν

ορίσουμε ( ) ( )0

0 limx

xψ ψ→

≡ , η ( )xψ είναι συνεχής παντού.

i) Ποια είναι η κυματοσυνάρτηση ( )pψ% που αντιστοιχεί στην παραπάνω ( )xψ ;

34 8/12/2017

ii) Αν η ( )xψ περιγράφει την κατάσταση ενός σωματίου, υπολογίστε τη μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής του σωματίου.

iii) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα 2

20

sin uduu

∞

∫ .

Λύση i) Η ( )pψ% είναι ο μετασχηματισμός Fourier της ( )xψ , επομένως

( )0 0

0 0

sin sin1 2 12 2exp exp

2

p x p xipx ipxp dx dx

p x xpψ

ππ π

∞ ∞

−∞ −∞

= − = − =

∫ ∫h h h

%

h hh

( ) ( ){

0 0

exp exp 0sin2

exp exp1 2 2exp

2i ii

ip x ip xipxdx

xi pϕ ϕϕ

π

∞

− − −∞=

− − = − = ∫

h h

h

0 0

0

exp exp1 2 2exp

2

ip x ip xipxdx

xi pπ

∞

−∞

− − = − = ∫

h h

h

0 0

0

exp exp1 2 2

2

ip x ip xipx ipx

dxxi pπ

∞

−∞

− − − − = =∫

h h h h

0 0

0

2 2exp exp

12

p pi p x i p x

dxxi pπ

∞

−∞

− + − − = =∫

h h

0 0

0

2 2exp exp

12

p pi p x i p x

dxx xi pπ

∞

−∞

− + −

= −

∫

h h

Δηλαδή

35 8/12/2017

( )

0 0

0

2 2exp exp

12

p pi p x i p x

p dxx xi p

ψπ

∞

−∞

− + −

= −

∫

h h

% (1)

Θέλουμε να χωρίσουμε το ολοκλήρωμα της (1) στα δύο επιμέρους ολοκληρώματα. Επειδή οι δύο επιμέρους συναρτήσεις,

0

2exp

pi p x

x

−

h

και

0

2exp

pi p x

x

+ −

h

,

δεν ορίζονται στο μηδέν, αντίθετα με τη συνάρτηση

0 0

0

2 2exp expsin

22 exp

p pi p x i p x

p xipxi

x x x

− + −

− = −

h h

h

h,

της οποίας το όριο, καθώς 0x → , είναι

0 0

0 0 0

1

sin sin2 2lim 2 exp 2 lim lim exp

x x x

p x p xipx ipxi i

x x→ → →

− = − =

h h

h h1442443

}

00

00 0 0

0 0

sin22 lim 2 lim cos

2 2x x

p xp p x ipi i

x→ →

= = =

h

h h h

(στην προτελευταία ισότητα χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα του L'Hospital), μπορούμε να ορίσουμε τα δύο επιμέρους ολοκληρώματα ως εξής:

0 0

0

2 2exp exp

lim

p pi p x i p x

dx dxx x iε ε+

∞ ∞

→−∞ −∞

− − →

−∫ ∫

h h

και

36 8/12/2017

0 0

0

2 2exp exp

lim

p pi p x i p x

dx dxx x iε ε+

∞ ∞

→−∞ −∞

+ + − − →

−∫ ∫

h h

Έτσι, η (1) γράφεται

( )

0 0

0 00

2 2exp exp

1 lim lim2

p pi p x i p x

p dx dxx i x ii p ε ε

ψε επ + +

∞ ∞

→ →−∞ −∞

− + −

= − =− −

∫ ∫

h h

%

0 0

0 00

2 2exp exp

1 1 1lim lim2 2

p pi p x i p x

dx dxi x i i x ip ε επ ε π ε+ +

∞ ∞

→ →−∞ −∞

− + −

= −− −

∫ ∫

h h

Με τη βοήθεια της σχέσης

( ) ( )0

exp1lim2

iuH u d

i iε

ττ

π τ ε+

∞

→−∞

=−∫ ,

που είναι μια ολοκληρωτική αναπαράσταση της συνάρτησης βήματος ( )H u , η

( )pψ% γράφεται

( ) 0 0 0 0

0 0

1 12 2 2 2p p p pp H p H p H p H p

p pψ

= − − − + = − − − −

%

Οπότε, επειδή 0 0p > , θα έχουμε

- Όταν 0

2pp < − , τότε 0 0

2p p− − > , και 0 0 0

0 02 2 2p p pp p p p− = − − > − − > ,

οπότε 0 0 12 2p pH p H p − = − − =

, επομένως ( ) 0pψ =% .

- Όταν 0 0

2 2p pp− < < , τότε 0 0

2p p− > και 0 0

2p p− − < , οπότε

0 12pH p − =

και 0 0

2pH p − − =

, επομένως ( )

0

1pp

ψ =% .

37 8/12/2017

- Όταν 0

2pp > , τότε 0 0

2p p− < και 0 0 0

0 02 2 2p p pp p p p− − = − + − < − < ,

οπότε 0 0 02 2p pH p H p − = − − =

, επομένως ( ) 0pψ =% .

Έτσι, καταλήγουμε ότι

( )0

0

0

1 , αν 2

0, αν 2

pppp

ppψ

<= >

% (2)

Παρατηρήστε ότι η πυκνότητα πιθανότητας ορμής μηδενίζεται όταν 0

2pp > , δηλαδή

η ορμή του σωματίου, στην κατάσταση που περιγράφει η (2), βρίσκεται εντός του

διαστήματος 0 0,2 2p p −

.

Βλέπουμε ότι η κυματοσυνάρτηση ( )pψ% έχει πεπερασμένη ασυνέχεια στα σημεία

0

2pp = ± .

Με το σκεπτικό που χρησιμοποιήσαμε στην άσκηση 7, μπορούμε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα κανονικοποίησης της ( )pψ% ως

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )

0 0

0 0

2 22 2 2 2

2 2

p p

p p

dp p dp p dp p dp pψ ψ ψ ψ− −

+ +

−∞ ∞

−∞ −∞ −

= + +∫ ∫ ∫ ∫% % % %

Επομένως, με τη βοήθεια της (2), έχουμε

( )0

0

22

02

1 1p

p

dp p dpp

ψ∞

−∞ −

= =∫ ∫%

Η ( )pψ% είναι, επομένως, κανονικοποιημένη. ii) Όπως δείξαμε στην άσκηση 6, στον χώρο των ορμών, η μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής γράφεται

( ) 22 2p dp p pψ∞

−∞

= ∫ %

Η ολοκληρωτέα συνάρτηση έχει πεπερασμένη ασυνέχεια στα σημεία 0

2pp = ± και

μπορούμε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα ( ) 2 2dp p pψ∞

−∞∫ % όπως ορίσαμε το

ολοκλήρωμα κανονικοποίησης της ( )pψ% . Έτσι, με τη βοήθεια της (2), παίρνουμε

00

0 0

2 3 32 3 3 232 2 0 0 0 0 0

0 0 0 02 2

1 1 1 13 3 2 2 3 8 8 12

pp

p p

p p p p ppp dp pp p p p− −

= = = − − = + = ∫

38 8/12/2017

Δηλαδή 2

2 0

12pp =

iii) Η ( )pψ% είναι κανονικοποιημένη, επομένως, από τον τύπο Parseval-Plancherel,

είναι και η ( )xψ κανονικοποιημένη, οπότε

( )2 0

2

20

sin2 21

p x

dx x dxp x

ψπ

∞ ∞

−∞ −∞

= =∫ ∫

h h

Δηλαδή

2 0

20

sin2 2 1

p x

dxp xπ

∞

−∞

=∫

h h (3)

Αν αλλάξουμε τη μεταβλητή ολοκλήρωσης σε 0

2p xu =h

, τα όρια ολοκλήρωσης δεν

αλλάζουν, και

0

2 uxp

=h και

0

2 dudxp

=h ,

οπότε το ολοκλήρωμα της (3) γράφεται

2 02 2

022 2

0

0

sin2 sin sin2

22

p xpdu u udx du

x p uup

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

= =

∫ ∫ ∫hh

hh

Έτσι, η (3) γράφεται 2 2 2

02 2 2

0

2 sin 1 sin sin1 12p u u udu du du

p u u uπ

π π

∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞

= ⇒ = ⇒ =∫ ∫ ∫h

h

Η ολοκληρωτέα συνάρτηση 2

2

sin uu

είναι άρτια, επομένως

2 2

2 20

sin 1 sin2 2

u udu duu u

π∞ ∞

−∞

= =∫ ∫

Άσκηση 9.

Η κυματοσυνάρτηση ( ) ( )1

exp , 00, 0Ax kx x

xx

ψ − ≥

= ≤

περιγράφει, στον χώρο των

θέσεων, τη βασική κατάσταση σωματίου στο μονοδιάστατο ελκτικό δυναμικό

39 8/12/2017

Coulomb ( ) , 0

, 0

xV x xx

λ− >=

∞ ≤

. Το σύστημα αυτό αναφέρεται και ως

μονοδιάστατο άτομο του υδρογόνου. i) Αφού υπολογίσετε τη σταθερά κανονικοποίησης A , υπολογίστε την κυματοσυνάρτηση ( )1 pψ% , που περιγράφει τη βασική κατάσταση του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου στον χώρο των ορμών. ii) Χρησιμοποιώντας την ( )1 xψ , βρείτε την ενέργεια της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου και, ανατρέχοντας στην άσκηση 6, παρατηρήστε ότι είναι ίση με την ενέργεια της μοναδικής δέσμιας κατάστασης του ελκτικού δυναμικού δέλτα ( ) ( )V x xλ δ= − . Ως εξήγηση γι’ αυτό, δείξτε ότι η πυκνότητα πιθανότητας ορμής της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου ταυτίζεται με την πυκνότητα πιθανότητας ορμής της μοναδικής δέσμιας κατάστασης του ελκτικού δυναμικού δέλτα ( ) ( )V x xλ δ= − .

iii) Δείξτε ότι η ( )1 pψ% έχει έναν φανταστικό πόλο 2ης τάξης, στην ορμή που

ικανοποιεί την κλασική σχέση της ενέργειας του ελεύθερου σωματίου 2

2pEm

= ,

όπου E είναι η ενέργεια της κατάστασης που περιγράφει η ( )1 pψ% , είναι δηλαδή η ενέργεια της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου.

Λύση i) Παρατηρούμε ότι η ( )1 xψ είναι συνεχής στο μηδέν, οπότε το ολοκλήρωμα κανονικοποίησης γράφεται

( ) ( )2 2 21

0

exp 2dx x A dxx kxψ∞ ∞

−∞

= −∫ ∫ (1)

Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα ( )2

0

exp 2dxx kx∞

−∫ , κάνουμε παραγοντική

ολοκλήρωση και παίρνουμε

( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2

00 0 0

1 1exp 2 exp 2 exp 2 2 exp 22 2

dxx kx dxx kx x kx dxx kxk k

∞ ∞ ∞∞ ′− = − − = − − − −

∫ ∫ ∫

Όμως, με τη βοήθεια του κανόνα του L'Hospital, έχουμε

( )( ) ( )}

( )}

( ) ( )

22

2

2 2lim exp 2 lim lim lim 0exp 2 2 exp 2 2 exp 2x x x x

x xx kxkx k kx k kx

∞ ∞∞ ∞

→∞ →∞ →∞ →∞− = = = =

Επομένως

( )2

0exp 2 0x kx

∞− =

Έτσι

40 8/12/2017

( ) ( )2

0 0

1exp 2 exp 2dxx kx dxx kxk

∞ ∞

− = −∫ ∫

Με μία ακόμα παραγοντική ολοκλήρωση, παίρνουμε

( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 0

0 0 0

1 1exp 2 exp 2 exp 2 exp 22 2

dxx kx dxx kx x kx dx kxk k

∞ ∞ ∞∞ ′− = − − = − − − −

∫ ∫ ∫ Με τον ίδιο με πριν τρόπο, δείχνουμε ότι

( )0

exp 2 0x kx∞

− = ,

οπότε

( ) ( ) ( )22 3 30

0 0

1 1 1exp 2 exp 2 exp 22 4 4

dxx kx dx kx kxk k k

∞ ∞∞

− = − = − − =∫ ∫

Έτσι, η (1) γράφεται

( ) 2 21 3

14

dx x Ak

ψ∞

−∞

=∫ ,

και τότε η συνθήκη κανονικοποίησης μάς δίνει

23

1 1 24

A A k kk

= ⇒ =

Με την απροσδιοριστία μιας σταθερής φάσης, καταλήγουμε ότι

2A k k=

Έτσι, η κυματοσυνάρτηση ( )1 xψ γράφεται

( ) ( )1

2 exp , 00, 0k k x kx xx

xψ

− ≥= ≤

(2)

Η ( )1 pψ% είναι ο μετασχηματισμός Fourier της ( )1 xψ , επομένως με τη βοήθεια της (2) παίρνουμε

( ) ( )10 0

1 2exp 2 exp exp2

ipx k ipxp dx k k x kx k dxx kxψππ

∞ ∞ = − − = − − = ∫ ∫%

h h hh

0 0

2 2exp expk ip k k ipk dxx k x dxx k xipkπ π

∞ ∞ ′ = − + = − − + = +∫ ∫

h h h h

h

00

2 exp expk k ip ipx k x dx k xipkπ

∞ ∞ = − − + − − + + ∫

h h h

h

Δηλαδή

41 8/12/2017

( )100

2 exp expk k ip ipp x k x dx k xipkψ

π

∞ ∞ = − − + − − + + ∫%

h h h

h

Όμως

( )lim exp lim exp exp 0x x

ip ipxx k x x kx→∞ →∞

− + = − − = h h,

αφού ( )( )lim exp 0x

x kx→∞

− = , όπως προκύπτει από τον κανόνα του L'Hospital, και η

συνάρτηση exp ipx − h

είναι φραγμένη, αφού exp 1ipx − = h

.

Έτσι, η ( )1 pψ% γράφεται

( )1 20 0

2 2exp expk k ip k k ipp dx k x k xip ipk kψ

π π

∞∞ = − + = − − + + +

∫%

h h h h

h h

Όμως

( )lim exp lim exp exp 0x x

ip ipxk x kx→∞ →∞

− + = − − = h h,

αφού ( )( )lim exp 0x

kx→∞

− = και η συνάρτηση exp ipx − h

είναι φραγμένη.

Έτσι, η ( )1 pψ% γράφεται

( ) ( )1 2 2 2 22 2 2 2 11

11

k k k k k k kpip ip ipipk k kk

kk

ψπ π π π

= − − = = = = + + ++

%

h h h h

h h hh

22 1

1k ip

kπ

= +

h

h

Δηλαδή

( )1 22 1

1p

k ipk

ψπ

= +

%

h

h

(3)

Αν θέλουμε να κάνουμε έναν διαστατικό έλεγχο στην (3), επειδή [ ] 1k L−= , είναι

1 1p Pk PLL−

= = h, όπως πρέπει αφού η ποσότητα

ipkh

προστίθεται στη μονάδα.

42 8/12/2017

Έτσι, ( ) 1 21 1

1 1p Pk PLL

ψ −−

= = =

%

h, όπως πρέπει ώστε η ποσότητα

( ) 21 p dpψ% να είναι αδιάστατη, ως (απειροστή) πιθανότητα (στον χώρο των ορμών).

ii) Η ( )1 xψ περιγράφει τη βασική κατάσταση του συστήματός μας, επομένως ικανοποιεί την εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας

( ) ( )( ) ( )1 1 12

2 0mx E V x xψ ψ′′ + − =h

(4)

όπου 1E η ενέργεια της βασικής κατάστασης και ( )V x το δυναμικό μας.

Με τη βοήθεια της (2), υπολογίσουμε τη 2η παράγωγο της ( )1 xψ . Είναι

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )exp exp exp 1 expx kx kx kx kx kx kx′− = − − − = − −

Οπότε

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )exp 1 exp exp 1 expx kx kx kx k kx k kx kx′′ ′− = − − = − − − − − =

( ) ( )2 expk kx kx= − − −

Δηλαδή

( )( ) ( ) ( )exp 2 expx kx k kx kx′′− = − − −

Επομένως

( ) ( ) ( )2

12 2 exp , 0

0, 0k k kx kx xx

xψ

− − − >′′ = <

(5)

Στο 0x = , η ( )1 xψ ′′ δεν ορίζεται, ως αποτέλεσμα της άπειρης ασυνέχειας που

παρουσιάζει εκεί το δυναμικό, αφού ( )0V − = ∞ και ( )0V + = −∞ . Αν αντικαταστήσουμε στην (4), τη (2), την (5), και το δυναμικό, θα πάρουμε, για

0x > ,

( ) ( ) ( )212

22 2 exp 2 exp 0mk k kx kx E k k x kxxλ

− − − + + − = h

Προφανώς 0k ≠ , διαφορετικά η ( )1 xψ θα είναι ταυτοτικά μηδέν, δηλαδή γραμμικά εξαρτημένη, επομένως δεν θα είναι ιδιοσυνάρτηση. Έτσι, από την τελευταία εξίσωση παίρνουμε

( ) 2 112 2 2

2222 0 2 0mmEmk kx E x k k x x

xλ λ

− − + + = ⇒ − + + + = ⇒ h h h

2 12 2

2 2 0mmEk x k

λ ⇒ + + − = h h

43 8/12/2017

Η τελευταία εξίσωση ισχύει για κάθε 0x > , επομένως

2 12

2 0mEk + =h

και 2 0m

kλ

− =h

Από την 1η εξίσωση παίρνουμε 2 2

1 2kEm

= −h (6)

Από τη 2η εξίσωση παίρνουμε

2

mk

λ=

h (7)

απ’ όπου βλέπουμε ότι 0k > , όπως πρέπει ώστε η ( )1 xψ να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη. Με τη βοήθεια της (7), η (6) γράφεται

2

1 22mE λ

= −h

Αυτή είναι η ενέργεια της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου και, όπως βλέπουμε, είναι ίση με την ενέργεια της μοναδικής δέσμιας κατάστασης του ελκτικού δυναμικού δέλτα ( ) ( )V x xλ δ= − .

Με άλλα λόγια, η ενέργεια της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου είναι ίση με την ενέργεια της μοναδικής δέσμιας κατάστασης του (μονοδιάστατου) ελκτικού δυναμικού δέλτα που έχει την ίδια «ισχύ» - ή την ίδια σταθερά ζεύξης, αν προτιμάτε – με το μονοδιάστατο ελκτικό δυναμικό Coulomb.

Με τη βοήθεια της (7), η (3) γράφεται

( )1 2 2

2

2

2 1 2 1

11

pm m i p

ip mm

ψλ π λπ

λλ

= =

+ +

h%

hhh

hh

Δηλαδή

( )1 22 1

1

pm i p

m

ψπ λ

λ

=

+

h%

h

Η πυκνότητα πιθανότητας ορμής είναι ( ) 21 pψ% , οπότε

44 8/12/2017

( ) 21 2 4 42 2

2 1 2 1 2 1

11 1

pm m mi pi p p

mm m

ψπ λ π λ π λ

λλ λ

= = = = + + +

h h h%

hh h

22

2 1

1m p

m

π λ

λ

= +

h

h

Δηλαδή

( ) 21 22

2 1

1

pm p

m

ψπ λ

λ

= +

h%

h

Για να υπολογίσουμε το μέτρο ( ) 21 pψ% , εφαρμόσαμε τις στοιχειώδεις ιδιότητες

1 2 1 2z z z z= και 11

2 2

zzz z

= .

Για 2 1z z= , η 1η ιδιότητα μάς δίνει 22

1 1z z= .

Με τη βοήθεια της σχέσης (1) της άσκησης 6, η πυκνότητα πιθανότητας ορμής της μοναδικής δέσμιας κατάστασης του ελκτικού δυναμικού δέλτα ( ) ( )V x xλ δ= − είναι

( ) 2

22

2 1

1

pm p

m

ψπ λ

λ

= +

h%

h

,

ταυτίζεται δηλαδή με την πυκνότητα πιθανότητας ορμής της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου. iii) Από την (3), βλέπουμε ότι η ( )1 pψ% έχει έναν φανταστικό πόλο 2ης τάξης, στην ορμή p i k= h , και αν αντικαταστήσουμε την ορμή αυτή στην κλασική σχέση της ενέργειας του ελεύθερου σωματίου, θα πάρουμε

2 2

2kEm

= −h ,

που είναι η σχέση (6), που μας δίνει την ενέργεια της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου.

Αναφορές 1. David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, 1995

45 8/12/2017

2. Zwiebach, Lecture Notes in Quantum Physics II, MIT OpenCourseWare, Fall 2013, https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-05-quantum-physics-ii-fall-2013/lecture-notes/ 3. Σπύρος Κωνσταντογιάννης, Μια γεωμετρική παρουσίαση των αναπαραστάσεων θέσης και ορμής στην κβαντική μηχανική, 30 Νοεμβρίου 2017, https://q4quantum.wordpress.com/2015/08/20/%ce%b7-%ce%ba%cf%85%ce%bc%ce%b1%cf%84%ce%bf%cf%83%cf%85%ce%bd%ce%b1%cf%81%cf%84%ce%b7%cf%83%ce%b7-%cf%83%cf%84%ce%b7%ce%bd-%ce%b1%ce%bd%ce%b1%cf%80%ce%b1%cf%81%ce%b1%cf%83%cf%84%ce%b1%cf%83%ce%b7/