Post on 19-Jan-2016
description
Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
2
De nombreuses options existent sur le marché
Achat au prix minimum en T0 ou en T1
Ristourne de (1-ρ) %
Pay-off :
3
Une option ESOP est destinée aux employés d’une entreprise
4
La tarification d’une telle option n’est pas toujours simple, à priori
Rapidité et facilité d’implémentation
Calcul explicite de la sensibilité
Evaluation de l’influence des paramètres
5
Une solution analytique du prix est toujours préférable
6
La tarification par changements de numéraire présente de nombreux avantages
Simplification des calculs
Obtention de certaines formules analytiques
Théorie moderne de l’arbitrage
Changements de numéraire
Tarification d’options ESOP
7
Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
Théorie moderne de l’arbitrage
Changements de numéraire
Tarification d’options ESOP
8
Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
Espace de probabilité
Intervalle de temps
Actifs S0, S1, … SN
Sous P :
9
Le marché peut se modéliser mathématiquement
Terme detendance
Terme de diffusion
Bien matériel / virtuel de référence(monnaie, action, indice, … )
Actif négociable
Processus numéraire S0
10
Un numéraire est un étalon de valeurs
Exemple
Numéraire S1 :
Numéraire S2 :
Marché normalisé
11
Le prix de chaque produit est exprimé dans un numéraire particulier
Modèle sans opportunité d’arbitrage (A.O.A.)si et seulement si Il existe une mesure martingale Q0
12
La théorie de l’arbitrage est gouvernée par le premier théorème fondamental
Martingales sous Q0
Pay-off stochastique
Marché A.O.A.
Numéraire S0
13
Une option doit être tarifée grâce à la formule de tarification générale
Numéraire S1
Numéraire
14
Un changement de numéraire n’influence pas le prix de l’option
Théorie moderne de l’arbitrage
Changements de numéraire
Tarification d’options ESOP
15
Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
Espace de probabilité
Théorème de Radon-Nikodyn
16
Les changements de mesure sont gouvernés par le théorème de Radon-Nikodyn
Hypothèses :
Filtration
17
Le théorème de Girsanov donne la nouvelle dynamique
Noyau de Girsanov
18
Seul le terme de tendance est modifié par changements de mesure
Terme detendance
Terme de diffusion
19
La mesure martingale risque-neutre est un cas particulier de changements de mesure
= 0
20
Les mesures martingales Si-neutres sont également envisageables
= 0
Théorie moderne de l’arbitrage
Changements de numéraire
Tarification d’options ESOP
21
Les changements de numéraire dans la tarification d’options
Benjamin PajotJuin 2010
PromoteurPierre Devolder
22
La technique de changements de numéraires va permettre la tarification de l’option
22
S(T0) n’est pas un actif négociable en T1
S0(t) est un actif négociable en T1
Pay-off
23
Le numéraire choisi doit être un actif négociable strictement positif
Dynamique de S sous Q
Dynamique de S0 sous Q
24
La dynamique des deux actifs sous-jacents est connue sous la mesure risque-neutre
Prix de l’option
25
L’actif S0 est choisit comme numéraire pour effectuer la tarification
Dynamique de S/S0 sous Q0
26
La mesure Q0 est une mesure martingale pour le choix S0 de numéraire
Prix de l’option ESOP
27
Le prix de l’option est obtenu sous cette mesure par application de la formule de B & S
28
Tant que S(T0) n’est pas connu la volatilité du prix de l’option est faible
29
Tant que S(T0) n’est pas connu la volatilité du prix de l’option est faible
Prix de l’option ESOP
30
Pour les temps supérieurs à T0 un changement de mesure est inutile
31
Comme la valeur S(T0) est connue la volatilité de l’option devient plus forte
32
Couverture (delta-hedging) extrêmement facile à mettre en œuvre avant la date T0
Simplification des calculs
Obtention de certaines formules analytiques
Restent méconnus à l’heure actuelle
33
Les changements de numéraire comme solution adéquate de nombreux problèmes de tarification