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La función de demanda, la curva de Engel y la

ecuación de Slutsky

27 de octubre de 2011

4.1

1. Condiciones de óptimo:{2x1 = x2

p1x1 + p2x2 = m

p1x1 + p22x1 = m

x1(p1 + 2p2) = m

x1(m, p1, p2) =m

p1 + 2p2

x2(m, p1, p2) =2m

p1 + 2p2

2. La curva de Engel para la mercancía 2 es:

m = x2 ·(p2 +

1

2p1

)︸ ︷︷ ︸pendiente

1

4.2

1.|RMS| = p1

p2

αxα−11 x1−α

2

(1− α)xα1x−α2

=p1

p2

Simpli�camos:

αx2

(1− α)x1=p1

p2

(1− α)x1p1 = αx2p2

x1 =αx2 p2

(1− α)p1

2

Lo sustituyo en la restricción presupuestaria:

p1αx2p2

p1(1− α)+ p2x2 = m

p2x2

(1 +

α

(1− α)

)= m

x2(m, p2) =m

p2

(1 + α

(1−α)

) =m

p2

(1− α)

[(1− α) + α]

Entonces:

x1(m, p1) =α(mp2

(1−α)[(1−α)+α]

)p2

(1− α)p1=

αm(1−α)[(1−α)+α]

(1− α)p1=

αm(1− α)

p1 [(1− α) + α] (1− α)=m

p1

α

(1− α) + α

2.

m(x2, p2) = x2 p2[(1− α) + α]

(1− α)︸ ︷︷ ︸pendiente

3

3. El parámetro α nos indica que porcentaje de la renta se gastará el con-sumidor en el bien 1 (por lo tanto (1 − α) nos dirá que porcentaje de rentadestinará al bien 2).

4.3

1. La forma general de estas funciones es:

u(x1, x2) = ax1 + bx2; a, b ∈ (−∞,+∞)

Ejemplos de estas funciones:

u(x1, x2) = 5x1 + 3x2, la RMS será − 53

u(x1, x2) = 200x1 + 100x2, la RMS será −2

u(x1, x2) = 10x1 + 10x2, la RMS será −1 (sustitutos perfectos)

u(x1, x2) = x1− 2x2, la RMS será 12 (el bien 1 es un �bien� mientras

que el bien 2 es un �mal�)

u(x1, x2) = −6x1 − 2x2, la RMS será 3 (los dos bienes son �males�)

2. Utilizaremos una utilidad que represente bienes sustitutivos perfectos pararealizar la curva renta consumo. En el grá�co que sigue vemos las curvas renta-consumo en el caso en el que la RMS < p1

p2. El consumidor solo consume el

bien 1 (es más barato y los dos bienes son sustitutos perfectos).

4

5

3. Representamos las curvas de Engel correspondientes a ambos bienes cuandop1 < p2:

6

4.La ley de la demanda nos dice que los precios y las cantidades se mueven

en sentido contrario. Es decir que si aumenta el precio la demanda disminuye yviceversa.

El bien no es Gi�en.

4.4

1. Un mapa de curvas de indiferencia homotético puede estar representa-do por sustitutivos perfectos, complementarios perfectos, preferencias Cobb-Douglas...

7

2.

3.Condiciones de óptimo: {

x1 = x2

p1x1 + p2x2 = m

x2(p1 + p2) = m

m(x2, p1, p2) = x2(p1 + p2)

m(x1, p1, p2) = x1(p1 + p2)

Las curvas de Engel son líneas rectas con pendientes (p1 + p2).

8

4.

x1(m, p1, p2) =m

p1 + p2

x2(m, p1, p2) =m

p1 + p2

En el caso del bien 1 si p1 baja su demanda aumentará, por lo tanto el bien1 no es Gi�en. Si p2 baja, la demanda del bien 2 también aumentará: el bien 2tampoco es Gi�en. Recordad que para ver si un bien es Gi�en hay que analizarla variación del bien respecto a su propio precio.

4.5

1. Condiciones de óptimo:

|RMS| = p1

p2

x2

x1=p1

p2

p1x1 = p2x2

Sustituimos en la restricción presupuestaria:

2p1x1 = m

x1(m, p1) =m

2p1

x2(m, p2) =m

2p2

Si m = 10 , p1 = 1 y p2 = 1: {x1 = 5

x2 = 5

9

2.¾A los nuevos precios cuanta m necesito para comprar la cesta original?

2 · 5 + 1 · 5 = m′

m′ = 15

Ahora calculamos la cesta arti�cial con los nuevos precios y la nueva renta:

x′′

1 =m′

2p1=

15

4= 3,75

x′′

2 =m′

2p2=

15

2= 7,5

Entonces:

ES

{bien1 : x

′′

1 − x1 = 3,75− 5 = −1,25

bien2 : x′′

2 − x2 = 7,5− 5 = 2,5

3.

u(5, 5) = u

(m′

2 · 2,m′

2

)

25 =m′

4

m′

2

m′2 = 200

m = 2001/2 ' 14,14

{x

′′

1 = 2001/2

2·2 = 3,5355

x′′

2 = 2001/2

2 = 7,071

ES

{bien1 : x

′′

1 − x1 = 3,5355− 5 = −1,4645

bien2 : x′′

2 − x2 = 7,071− 5 = 2,071

10

4. Descomposición grá�ca para Slutsky:

11

Descomposición grá�ca para Hicks:

12

4.6

1), 2) y 3)Condiciones de óptimo: {

x1 = x2

2

p1x1 + p2x2 = m

p1x2

2+ p2x2 = m

x2

(1

2p1 + p2

)= m

x2 =m

12p1 + p2

=12

2,5= 4,8

{x∗1 = 2,4

x∗2 = 4,8

13

4). {x2 = 2x1

p1x1 + p2x2 = m

x1(p1 + 2p2) = m

{x1(p1, p2,m) = m

p1+2p2

x2(, p1, p2,m) = 2mp1+2p2

Para p2 = 2 y m = 12:

x1(p1, 2, 12) =12

p1 + 4

14

5).

∆p1 = 3⇒ p1 + 3 = 4

u(2,4, 4,8) = u

(m′

4 + 2 · 2,

2m′

4 + 2 · 2

)

2,4 =m′

4 + 2 · 2

m′ = 19,2

4m = 19,2− 12 = 7,2

15

4.7

1.

2.

16

3.

si αβ >p1p2⇒ (x∗1, x

∗2) = (mp1 , 0)

si αβ <p1p2⇒ (x∗1, x

∗2) = (0, mp2 )

si αβ = p1p2⇒ (x∗1, x

∗2) = cualquier punto en la recta presupuestaria

4.|RMS| = p1

p2

α

β=p1

p2

p1 = p2α

β

Sustituimos en la restricción presupuestaria:(p2α

β

)x1 + p2x2 = m

x∗1 =

(m

p2− x2

α

Sustituimos p2 = 1,m = 10 y α = β = 1 :

x∗1 = 10− x2

La función de demanda está hallada en el apartado anterior:

x∗1 = mp1, si αβ >

p1p2

x∗1 = 0, si αβ <p1p2

x∗1 = m−(p2x2)p1

, si αβ = p1p2∀x2 ∈

[0, mp2

]

17

4.8

1.Condiciones de óptimo:

|RMS| = p1

p2

x2

x1=p1

p2

p1x1 = p2x2

Sustituimos en la restricción presupuestaria:

2p1x1 = m

x1(m, p1) =m

2p1

x2(m, p2) =m

2p2

Si m = 10 , p1 = 1 y p2 = 1: {x1 = 5

x2 = 5

Con un IVA del 25% sobre el bien 2 (vino) p2 pasará a ser igual a 1,25:{x

1 = 5

x′

2 = 4

ET

{bien1 : x

1 − x1 = 5− 5 = 0

bien2 : x′

2 − x2 = 4− 5 = −1

2.¾A los nuevos precios cuanta m necesito para comprar la cesta original?

1 · 5 + 1,25 · 5 = m′

m′ = 11,25

Ahora calculamos la cesta arti�cial con los nuevos precios y la nueva renta:

x′′

1 =m′

2p1=

11,25

2= 5,625

x′′

2 =m′

2p2=

11,25

2,5= 4,5

18

Entonces:

ES

{bien1 : x

′′

1 − x1 = 5,625− 5 = 0,625

bien2 : x′′

2 − x2 = 4,5− 5 = −0,5

ER

{bien1 : x

1 − x′′

1 = 5− 5,625 = −0,625

bien2 : x′

2 − x′′

2 = 4− 4,5 = −0,5

3.

u(5, 5) = u

(m′

2,m′

2,5

)

25 =m′

2

m′

2,5

m′2 = 125

m = 1251/2 ' 11,18

{x

′′

1 = 1251/2

2 = 5,590

x′′

2 = 1251/2

2,5 = 4,472

ES

{bien1 : x

′′

1 − x1 = 5,590− 5 = 0,590

bien2 : x′′

2 − x2 = 4,472− 5 = −0,528

ER

{bien1 : x

1 − x′′

1 = 5− 5,590 = −0,590

bien2 : x′

2 − x′′

2 = 4− 4,472 = −0,472

4.

4m? =⇒4m = m′ −m

Slutsky : 4m = 11,25− 10 = 1,25

Hicks : 4m =√

125− 10 = 1,18

5.

x1p1 + x2p2(1 + 0,25) = m

19

x1p1 + x2p2 + x2p2 · 0,25︸ ︷︷ ︸recaudacion

= m

La recaudación es: 4 · 0,25 = 1.

6. {p1 = 1

p2 = 1,25

|RMS| = p1

p2

x1 = 1,25x2

Sustituimos en la restricción presupuestaria:

x1 + 1,25x2 = 10 + 0,25x2

2,25x2 = 10

Entonces: {x∗1 = 11

2 = 5,5

x∗2 = 112,5 = 4,4

Sí se cumpliera el objetivo del gobierno.

7.La medida es neutral desde el punto de vista de la hacienda, sin embargo

no es neutral desde el punto de vista del bienestar privado. La utilidad antes deimpuestos es mayor que la utilidad con impuestos más transferencia.

u(5, 5) = 25

u(5,5, 4,4) = 24,2

20

8.Nuevos precios:{

p1 = (1− s)p2 = 1,25

⇒ |RMS| = p1

p2⇒ x2

x1=

(1− s)1,25

Restricciones presupuestarias:consumidor ⇒ (1− s)x1 + 1,25x2 = 10

hacienda⇒ s x1 = 0,25x2

x2

x1=

(1− s)1,25

⇒ 1,25x2 = (1− s)x1

Restricción consumidor:

(1− s)x1 + 1,25x2 = 10

1,25x2 + 1,25x2 = 10

x∗2 = 4

Restricción hacienda:

s x1 = 0,25 · 4 = 1

Restricción consumidor:

x1 − s x1 + 1,25x2 = 10

x1 − 1 + 1,25(4) = 10

x∗1 = 6

21

Entonces �s� es igual a:

s x∗1 = 1

s · 6 = 1

s =1

6

Comprobamos:

(1− s)x∗1 + 1,25x∗2 = 10

5

6· 6 + 1,25 · 4 = 5 + 5 = 10

La utilidad en este caso es:

u(x∗1, x∗2) = u(6, 4) = 24

9.La razón por la que la distorsión de precios empeora el bienestar del consu-

midor es el tipo de preferencias que tiene. Con u(x1, x2) = x1x2 el consumidorestá peor con un impuesto sobre el vino y una subvención sobre el pan quesin ninguna intervención gubernamental. Además �ja-os que en el punto 6 y 8el consumidor elige cestas que ya estaban disponibles en el principio (antes deimpuestos). Con unas preferencias del tipo u(x1, x2) = x1 + x2 ningún impues-to sobre el vino afectaría a su bienestar (asumiendo precios unitarios tendríasiempre una utilidad de 10).

Finalmente, el conjunto presupuestario no se hace más grande, el �aumento�del conjunto presupuestario depende de la elección del consumidor:

En 4,8,6

{(x, y) : x+ (1 + t)y ≤ 10 + yt}

{(x, y) : x+ y ≤ 10} ⇒ R.P. original

22

En 4,8,8

{(x, y) : x

(1− yt

x

)+ y(1 + t) ≤ 10

}{(x, y) : x− yt+ y(1 + t) ≤ 10}

{(x, y) : x+ y ≤ 10} ⇒ R.P. original

23