1

Corso di Elettrotecnica NO

Angelo Baggini

Rappresentazione e analisi delle reti elettriche in regime stazionario

ver. 0000A

Ipotesi

Regime stazionario

• Cariche libere di muoversi• Tutte le derivate rispetto al tempo nulle

Circuito elettrico

• Un tubo di flusso del vettore densità di corrente

Rete elettrica

• L’unione di circuiti diversi

Nodo• Punto in cui convergono 3 o più rami

Maglia• Un qualunque percorso chiuso che partendo da

un nodo, ritorni allo stesso nodo percorrendorami diversi della rete, senza mai percorrere un ramo più di una volta.

Ramo o lato• E’ un tubo di flusso della densità di corrente nel

quale si può considerare la corrente uguale in ogni sezione

2

Legge di Kirchhoff ad un percorso chiuso

• la somma algebrica delle tensioni presenti sui lati diun percorso chiuso è uguale a zero.

Legge di Faraday-Henry: 0ldEL

=⋅∫

0V =∑

Legge di Kirchhoff alle superifici

• La somma algebrica delle correnti su una superficiechiusa è uguale a zero

Equazione di continuità 0dAuJA

n =⋅∫∫

0I =∑

Bipoli• Dai fenomeni fisici ai bipoli• Paramentri concentrati• Fenomeni fisici – Effetti – Bipoli (modelli matematici) -

Dispositivi

3

V

l

V = RI

OHM

S

FENOMENO RESISTIVO

R = ρ lS

Bipoli

U.M. ohm Ω

BipoliBipolo resistivo

Effetto della temeperatura

I = GV

g = 1/ρ

I R

=

BipoliBipolo resistivio

U.M. siemens S

BipoliDispositivi resistivi

4

BipoliGenerazione della tensione

Affinché possa circolare corrente nel circuito, il ragionamento appena fatto per un singolo segmento va esteso a tutto il circuito, e quindi il punto di partenza e quello di arrivo coincidono …

0ld)EEE(L RGS =⋅++∫

0ldEL

=⋅∫

Forza elettromotrice

BipoliGenerazione della tensione

BipoliGeneratori di tensione

A

I

I = Aper qualsiasi V

V

A I

Simbolo Equazione Caratteristica V-I

GENERATORE IDEALE DI CORRENTE

Bipoli

5

E

R

R

I

I

V = E-RI

I = A-V/R

V

V

V

E/R

A

E

AR

I

I

Simbolo

Simbolo

Equazione

Equazione

Caratteristica V-I

GENERATORE REALE DI TENSIONE

GENERATORE REALE DI CORRENTE

Caratteristica V-I

A V

Bipoli

V

II

V

Convenzione degliutilizzatori

Convenzione deigeneratori

Bipoli

Bipoli passivi e attivi

CORTO CIRCUITO

V V

V

V = 0

II

I

I

Bipoli

V

V

V

V

I

I

I = 0

I

Bipoli circuito aperto

6

V

II

Bipoli

Diodo ideale

V = f (I)

Bipoli

Bipoli lineari e NON lineari

A

A A

I

I

I II

I

A

A

A

B

B

B

B

B

B

Collegamenti in serie

Collegamenti in parallelo

Collegamento tra bipoli

A

3 Ω

3 + 4 + 1 = 8 Ω4 Ω

1 Ω

A

B

B

=

Collegamento tra bipoliResistori in serie

7

A A

A

B B

3 V

5 V

10 V= 3-5+10 = 8 V .

Collegamento tra bipoliGeneratori di tensione in serie

Collegamento tra bipoli

Generatori di corrente in serie

?Collegamento tra bipoliCtocto e circuiti aperti in serie

3 Ω5 Ω

A

A

BB.

= 1 3 5 15 3 + 51 1

5 38

Ω+

= =

ColegamentoResistori in parallelo

8

A

3 V5 V

B.

=

CollegamentoGeneratori di tensione in parallelo

CollegamentoGeneratori di corrente in parallelo

A1 A2 V

CollegamentoCtocto e circuiti aperti in parallelo

Metodi sistematiciper la soluzione delle reti

9

Elementi di topologia delle reti• grafo ottenuto dalla rete sostituendo i bipoli con un

segmento di linea che congiunge i nodi estremi• grafo connesso se esiste sempre un percorso che

congiunga due nodi qualsiasi del grafo, tutto costituito dilati del grafo

• albero di un grafo percorso costituito da lati del grafo checongiunge tutti i nodi senza formare maglie (I lati dell'alberosono n-1, se n è il numero di nodi)

• coalbero l'insieme dei lati del grafo che non appartengonoad un albero (i lati di un coalbero sono l-n+1 se l è il numerodei lati)

• insieme di taglio l'insieme dei lati che attraversano unasuperficie chiusa tracciata entro la rete

Metodi sistematici per la soluzione delle reti• Cosa significa risolvere una rete?

• MA … una rete è risolubile?

• Equazioni:– n-1 equazioni indipendenti ai nodi– m=l-n+1 equazioni indipendenti alle maglie– l equazioni di Ohm (certamente indipendenti)

• Incognite:– l correnti di lato– l tensioni di lato

Il problema diventa la scelta delle equazioni

Metodi sistematici per la soluzione delle reti• Sitemare la parte sulla scelta delle equazioni magari

saltando la parte della topoloaiga e facendo solo con ilsistema trucco

Operazioni preliminari

Metodi sistematici …

10

Metodo delle correnti di lato

• incognite le correnti nei lati• N-1 eq. di K ai nodi• L-N+1 eq. di K alle maglie (RI)• (N-1)+(L-N+1) = L equazioni, con L incognite

• Risolto il sistema, si possono trovare le tensioni

Metodo delle correnti di lato

• incognite le correnti nei lati• N-1 eq. di K ai nodi• L-N+1 eq. di K alle maglie (RI)• (N-1)+(L-N+1) = L equazioni, con L incognite

• Risolto il sistema, si possono trovare le tensioni

Metodo delle tensioni di nodo

• incognite le tensioni di N-1 nodi (tutti, escluso il nodo diriferimento)

• N-1 eq. di K. ai nodi• (N-1) equazioni con (N-1) incognite

• Risolto il sistema, dalle ddp si ottengono le correnti nei lati.

Metodo delle correnti di maglia

• ad ognuna delle L-N+1 maglie una corrente di maglia• L-N+1 eq. di K. alle maglie• (l-N+1) equazioni con (L-N+1) incognite

• Risolto il sistema, si ricostruiscono le correnti di lato e quindi, come sopra, le tensioni nodali.

11

Teoremi dellereti elettriche

E

RE

Teoremi sulle reti elettriche

V?Generatori equivalenti

A

AR

Ι

V

Ι

Teoremi sulle reti elettriche

IREV E−=

Generatori equivalenti

ARVAI −=

VIRAR AA =−

V

AAR

Ι

E

V

Ι

E

RE

Ι A

AR

Teoremi sulle reti elettricheGeneratori equivalenti

AARE =

Equivalenza matematica

RRR AE −=−=−

ARE

E

=

Stessa pendenza

Stesso termine noto (vuoto)

2°punto (ctocto)

EV

Ι

IREV E−=

V

Ι

VIRRA A =−

AAR

12

Eq. elettrotecnica

0=I

EV =0 0VARA =

ERΙ

EA AR

Ι

V

Teoremi sulle reti elettricheGeneratori equivalenti

1) Stessa tensione a vuoto

V

Eq. elettrotecnica

0V =

ECC R

EI = AICC =

ER

E

V ΙA

AR

Ι

Teoremi sulle reti elettricheGeneratori equivalenti

2) Stessa corrente di ctocto

spento spento

Teoremi sulle reti elettricheGeneratori equivalenti

Eq. Elettrotecnica

AE RR =

ERAR

Teoremi sulle reti elettricheGeneratori equivalenti

3) Stessa resistenza interna

13

Sovrapposizione effetti

Ι

Ω= 4RV10

V5

Teoremi sulle reti elettriche

Metodo tradizionale

Ι

Ω4V15 A4

15=Ι

Teoremi sulle reti elettricheSovrapposizione degli effetti

Sovrapposizione'Ι

Ω4

A45' =Ι

V5

A4

10'' =Ι

''Ι

V10Ω4

A4

154

1045''' =+=Ι+Ι=Ι

Teoremi sulle reti elettricheGeneratori equivalenti

Ι

V10

V5V V13

A13

V

Ι

Teoremi sulle reti elettricheSovrapposizione degli effetti

Rete NON lineare

14

Metodo Tradizionale

Ι

V15

V

13

VΙ

13

Teoremi sulle reti elettricheSovrapposizione degli effetti

V15

A13=Ι

Sovrapposizione

'ΙV5

'V

''Ι

13

V10

13''V

A5' =Ι

A10'' =Ι

A15''' =Ι+Ι=Ι

Teoremi sulle reti elettricheSovrapposizione degli effetti

Teoremi delle reti elettriche

Teorema di THEVENIN

ThR

A

ThE

BreteABTh VE 0=

inABreteTh RR =

A

B

LINEARE

Teorema di NORTON

reteABCCNA Ι=

inABreteN RR =

A

B

Ι

NANR

V

Teoremi delle reti elettriche

LINEARE