Interférométrie

Le principe de l’interférométrie I

• problème de l’antenne unique: résolution spatiale Θ ∼ λ/D (D: diamètre du télescope)

• idée: remplacer le diamètre du télescope par la distance entre deux télescopes

• en interférométrie: un télescope va échantillonner le champ d’onde electromagnétique

• une seule source ponctuelle: champ electromagnétiquecohérent

• une source qui comprend deux sous sources ponctuelles émet deux champs d’onde sépares qui n’interagissent pas -> ils sont incohérents

• cela est reconnu par un interféromètre

La cohérence spatiale

α∆x

d

d < λ D/S Θ=λ/d > S/D=taille apparente source ponctuelle

S: taille physique de la sourceΘ: résolution spatiale

D

Le principe de l’interférométrie II

• il faut mesurer la cohérence des signaux• en principe un interféromètre ne

fonctionne que correctement si le champ electromagnétique peut être décrit par une onde de longueur d’onde, fréquence, phase etc. bien définis

• résolution spatiale: Θ ∼ λ/Β (Β: ligne de base maximum)

La fonction de coherence I

pour decrire une onde electromagnetique on a besoin de 4 parametres:

parametres de Stokes: I, U, Q, V

simplification: on ne prend que le Stokes I

1. onde plane monochromatique (ν = ω2π = ν0):

U(t) = U0 exp(−iωt + ϕ)

U0: amplitudeϕ: phase

si U0 et ϕ sont connu a un point P1, ils sont determine aupoint P2 une fois qu’on a determine ∆ϕ →l’emission est coherente

2. ondes polychromatiques aleatoires:l’emission est incoherente

hypothese: emission stationnaire

mesure de la coherence: fonction de coherence Γ:

Γ(P1, P2, τ) = limT→∞

1

2T

∫ T

−TU(P1, t)U

∗(P2, t+τ)dt =< U(P1)U∗(P2, t+τ) >

→ crosscorrelation

onde plane monochromatique: l’amplitude de γ est 1onde poly chromatique aléatoire: l’amplitude de γ est 0

La fonction de coherence II

intensite (Stokes I): I(P ) = Γ(P, P, 0) =< U(P, t)U ∗(P, t) >

On suppose:

U(P, t) = U0 exp(i(kz − ωt))

ou P = (x, y, z), k = 2π/λ = const et ω = 2πν = const

→Γ(P1, P2, τ) = |U0|2 exp(i(k(z1 − z2) + ωτ))

La fonction de coherence a la meme longueur d’onde que les on-des initiales, mais c’est une onde stationnaire

si τ = 0 et z1 − z2 = 0 → Γ est maximum

normalisation:

γ(P1, P2, τ) =Γ(P1, P2, τ)√

I(P1)I(P2)

|γ(P1, P2, τ)| ≤ 1

maintenant: superposition de deux champs d’ondes monochromatiquesqui se propagent dans deux directions différentes

Le theoreme de van Cittert-Zernike I

deux directions de propagation differentes: ~sa, ~sb

Ua = U0a exp(i(k~sa · ~x − ωt)

Ua = U0b exp(i(k~sb · ~x − ωt)

U = Ua + Ub

Γ(P1, P2, τ) =< U(P1, t1)U∗(P2, t2) >=

< (Ua(P1, t1) + Ub(P1, t1))(Ua(P2, t2) + Ub(P2, t2))∗ >=

< Ua(P1, t1)U∗a(P2, t2) > + < Ub(P1, t1)U

∗b (P2, t2) > +

< Ua(P1, t1)U∗b (P2, t2) > + < Ub(P1, t1)U

∗a(P2, t2) >

si Ua et Ub ne sont pas correles:

< Ua(P1, t1)U∗b (P2, t2) >=< Ub(P1, t1)U

∗a(P2, t2) >= 0

→

Γ(P1, P2, τ) = |U0a|2 exp(i(k~sa ·~u+ωτ)+ |U0b|2 exp(i(k~sb ·~u+ωτ)

ou ~u = ~x1 − ~x2

seule la difference de distances entre dans le probleme

(incohérents)

Le theoreme de van Cittert-Zernike II

maintenant |U0a| = |U0b| = |U0|:

γ(~u, τ) = cos(k

2(~sa − ~sb) · ~u) exp(i(

k

2(~sa + ~sb) · ~u + ωτ))

→ l’amplitude varie lentement avec la position

perte de coherence pour

k

2(~sa − ~sb) · ~u = (2n + 1)

π

2

pour plusieurs composantes:

U(P, t) =∑

nUn(P, t)

→

Γ(~u, τ) =< U(P1, t)U∗(P2, t+τ) >=

∑

n|U0n|2 exp(i(k ~sn ·~x+ωτ))

pour la limite n → ∞:

U(P, t) =∫ ∫

U(~s) exp(i(k~s · ~x − ωt))dΩ

Γ(~u, τ) =∫ ∫

I(~s) exp((i(k~s · ~x + ωτ))dΩ

avecI(~s) =

∫ ∫

U(~s)U ∗(~s)dΩ

si on peut mesurer Γ(~u, τ), on peut determiner I(~s) par inversion

U(s+σ)U*(s+σ)dσ

u

onde stationnaire

u

ds

ds

condition pour source ponctuelle

L’interferometre a deux elements

2 telescopes: T1 et T2

U1 ∝ E cos(ωt)

U2 ∝ E cos(ω(t − τ))

interferometre de correlation:

fonction de cross-correlation integree:

R(τ) ∝ E2

T

∫ T

0cos(ωt) cos(ω(t − τ))dt

ou T ≫ 2π/ωla moyenne sur T sin moyenne sur une periode 2π/ω

R(τ) ∝ ω

2πE2

∫ 2π/ω

0cos(ωt) cos(ω(t − τ))dt

∝ ω

2πE2( cos(ωτ)

∫ 2π/ω

0cos2(ωt)dt+sin(ωτ)

∫ 2π/ω

0sin(ωt) cos(ωt)dt)

→ R(τ) ∝ 1

2E2 cos(ωτ)

interferometre d’addition (total power):

U1 ∝ E1 exp(iωt)

U2 ∝ E2 exp(ω(t − τ))

I =< (U1+U2)(U1+U2)∗ >=< U1U

∗1 > + < U2U

∗2 > + < U1U

∗2 > + < U2U

∗1 >

ou < U1U∗1 >= I1, < U2U

∗2 >= I2, < U1U

∗2 >=

√I1I2 exp(iωτ),

< U1U∗2 >=

√I1I2 exp(−iωτ)

→ I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos(ωτ)

Le retard τ est la somme du retard geometrique τg et instru-mental τi:

τ = τg + τi =1

c~B · ~s − τi

L’effet d’une largeur de bande finie

cross-correlation entre deux signaux monochromatiques x et y:

Rxy(τ) =< x(t)y(t − τ) >dans le domaine de frequences: Sxy(ν, τg) = X(ν)Y ∗(ν) = A(~s)S exp(−i2πντg)

S: flux; A(~s): surface effective du telescope.

largeur de bande finie:gating function Π(ν)

< Sxy(τg) >=∫∞−∞ Sxy(ν, ~s)Π(ν)dν =

∫ ν0+B/2

ν0−B/2 A(ν, ~s)S(ν) exp(−i2πντg)dν

A(ν, ~s) ∼ const. = A(ν0, ~s) , S(ν) ∼ const. = S(ν0)

→ < Sxy(τg) >= A(ν0, ~s)S(ν0)B exp(−i2πν0τg) sinc(Bτg)

→ necessite d’introduction de τi

« delay beam »

Etendue finie de la source radio

le telescope suit la source: phase tracking center: ~s0

Sxy(ν0, ~s0 + ~σ) = A(~s0 + ~σ)Iν(~s0 + ~σ)B exp(i2πν0(τg − τi))dΩ

signal du correlateur:

Sxy(~s0) = B∫

4π A(~σ)Iν0(~σ) exp(i2πν0(τg − τi))dΩ =

= B∫

4π A(~σ)Iν0(~σ) exp(i2πν0(c

−1 ~B · (~s0 + ~σ) − τi))dΩ

On suppose que τi = 1c~B · ~s0:

Sxy(~s0) = B∫

4π A(~σ)Iν(~σ) exp(i2πνc−1 ~B · ~σ)dΩ

Rappel:Sxy(ν, τg) = X(ν)Y ∗(ν)

Rxy(τ) =< x(t)y(t − τ) >

Definition:

Visibilite:Vij =

∫

A(σ)Iν(σ) exp(i2π~bij,λ · ~σ)dΩ = |Vij| exp(iϕij)

ou ~bij,λ = ~bij/λ

en realite la mesure est: Vij = GijVij + bruit

avec Gij = gig∗jgij est le gain complex, ou gi est le gain complexe

d’un telescope

B: largeur de bande

Les visibilitésInterférometrie avec les VLTs(Ohnaka et al. 2006)

Synthèse d’ouverture

Very Large Array (VLA, USA)

Australia Telescope Compact Array(ATCA)

Plateau de Bure mm interferometer(France)

Synthèse d’ouverture

Synthese d’ouverture

reponse d’un interferometre:

R( ~B) =∫

S

∫

A(~s)Iν(~s) exp (iω(1

c~B · ~s − τi))d~sdν

ou A(~s): antenna power pattern

Synthese d’ouverture: resoudre cette equation en mesurant R( ~B)afin d’obtenir Iν(~s) pour un ensemble d’orientations ~B.

maintenant: vecteur d’unite s = s0 + σ ou s0 est le centre de

pointage.

R( ~B) = exp (iω(1

c~B · ~s0 − τi))dν

∫

S

∫

A(~σ)Iν(~σ) exp (iω

c~B · ~σ)d~σ

definition: fonction de visibilite:

V ( ~B) =∫

S

∫

A(~σ)Iν(~σ) exp (iω

c~B · ~σ)d~σ

surface effective

nouveau systeme de coordonnees:

ω

2πc~B = (u, v, w)

V (u, v, w) =∫∞−∞

∫∞−∞ A(x, y)I(x, y) exp(i2π(ux+vy+w

√1 − x2 − y2)) dxdy√

1−x2−y2

ou on suppose que A(x, y) = 0 pour x2 + y2 > l2 < 1 ou l est laHPBW.

Si l’on observe seulement une petite region dans le ciel:√1 − x2 − y2 ∼ const ∼ 1

V (u, v, w) exp(−i2πw) =∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞A(x, y)I(x, y) exp(i2π(ux+vy)dxdy

V (u, v, w) exp(−i2πw) ∼ V (u, v, 0)

transformee de Fourier:

Γ(x, y) = A(x, y)I(x, y) =∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞V (u, v, 0) exp(−i2π(ux+vy))dudv

Synthesis mapping

Le plan UV: u – direction est; v – direction nord; w – direction de la source

Couverture dans le plan UV

V vs U for 19971106.C_BAND.1 Source:1331+305Ants * - * Stokes RR IF# 1 - 2 Chan# 1

Freq = 4.8851 GHz, Bw = 50.000 MHz

Kilo

Wav

lngt

h

Kilo Wavlngth-15 -10 -5 0 5 10 15

15

10

5

0

-5

-10

-15

VLA observation courte (« snapshot »)

Couverture dans le plan UV

beam

VLA+Pie town 1 snapshot

3 snapshots

9 snapshots

Utilisation de la rotation de la terre

(Supersynthese)

probleme: w n’est pas constant

solution: les vecteurs ~Bi se trouvent seulement dans un plansi les antenne sont alignees est–ouest,

on choisi l’axe w en direction du pole nord → w = 0.

A(x, y)I(x, y)√1 − x2 − y2

=∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞V (u, v) exp(−i2π(ux + vy)dudv

pour un alignement est-ouest:

u =νL

ccos t , v =

ν

cL sin t sin δ0

ou L = | ~B| est la longueur de la ligne de base, t est l’anglehoraire du centre du champ observe et δ0 est la declinaison du

centre du champ observe. (l’angle horaire est mesure par rap-port au meridien (systeme zenith–nord–sud))

dans le plan UV :

pour δ0 = ±90: circlepour δ0 = 0: ligne

sinon: ellipse

Couverture dans le plan UV« full track » = 12h d’observation d’angles horaires de -6h a +6h

déclinaison = 80 degrés

déclinaison = 20 degrés

Interféromètre d’alignement est-ouest

Westerbork Synthesis Radio Telescope (WSRT, Pays Bas)

La tranformation de la fonction de visibilite

I ′(x, y) = A(x, y)I(x, y)tranformation de Fourier directe (“dirty” map):

I ′′(x, y) =∑

k

g(uk, vk)V (Uk, vk) exp(−i2π(ukx + vky))

ou g(u, v) est une fonction de ponderation

proprietes:I ′′(x, y) = PD(x, y) ∗ I ′(x, y)

ou

PD =∑

k

g(uk, vk) exp(−i2π(ukx + vky))

est la reponse de l’interferometre a une source ponctuelle;

la distribution des lobes secondaires depend de la distributiondes (uk, vk) (“dirty” beam).

Grating response (la reponse de

l’echantillinnage)

s’il y a une regularite dans l’espacement des antennes (une frequencespatialle preferee), cela se retrouve dans la structure des lobes

secondaires.

par exemple:

array est–ouest: distances constantes (∆L) entre les antennes:

→ ellipses discretes dans le plan UV avec des axes: kc/ν∆L

et kc/ν∆L sin δ0.

solution: procedure de “CLEANing”.

Fast Fourier Transform Inversion, Aliasing

pour une transformation de Fourier rapide (FFT) les visibilites

devraient etre mesurees sur une grille equidistante

interpolation afin d’obtenir une fonction de visibilites echantil-lonnee (gridded visibility function):

V ′(u, v) = III(u, v)(G(u, v) ∗ V (u, v))

ou V (u, v) est la fonction de visibilites mesuree sur une grilleirreguliere (ui, vi) et G(u, v) est une fonction de convolution,

Sha-function:

III(u, v) = ∆u∆v∞∑

j,k=−∞δ(u − j∆u)δ(v − k∆v)

transformation de Fourier:

III(x, y) =∞∑

i,j=−∞δ(x − i/∆u)δ(y − j/∆v)

→I(x, y) = III(x, y) ∗ (g(x, y)I ′(x, y))

ou g(x, y) est la transformee de Fourier de G(u, v) (qui determinele beam)

si l’echantillonnage n’est reste pas zero en dehors des limites

de la carte, le rayonnement en dehors de la carte est “aliase”dans la carte.

Si G(u, v) est une boite → g(x, y) = sincx sincy.

afin de reconnaitre le aliasing: re-echantillonage de la grille

Fast Fourier Transform Inversion, Aliasing

I ′(x, y) est une version deformee de la vraie distribution d’intensite

amelioration:CLEAN algorithme (Hogbom):

approximer la vraie distribution d’intensite (inconnue) par unesuperposition d’un nombre fini de sources ponctuelles de flux Ai

a des positions (xi, yi):“dirty” map I ′ with beam PD:

I ′(x, y) =∑

i

AiPD(x − xi, y − yi) + IR(x, y)

IR est l’intensite residuelle. Remplacement de PD par un beam

“propre” (Gaussien).

Calibration

calibration avec une source ponctuelle d’un flux important Sν :

Vjk = Sν exp(iω

c~Bjk(~s − ~s0))

si l’on ne retrouve pas les Vjk, il faut introduire des facteurs decalibration Cjk(t) afin que Cjk(t)V

′jk = Vjk ou V ′

jk sont les visi-bilites observees. Ces facteurs sont des nombres complexes.

unites de la densite de flux: Jansky per beam (Jy/beam,

1 Jy=10−26 W m−2Hz−1)

flux integre Fν:source ponctuelle: Fν = Sν

source etendue: Fν =∫

SνdΩ unite = Jy

puissance recue d’une source de flux Sν :

Pν =1

2AeSν =

λ2

2(Sν

ΩA

) = kTA = ηRkTb

→Tb =

1

ηR

λ2

2k(Sν

ΩA

)

Tb = 3.62 × 10−2 1

ηR

(λ

m

2

)(Sν/Jy

ΩA/sr)

12′ ≃ 84.62× 10−9 sr

Observer avec un interféromètre

• pointage et focus des antennes uniques (voir cours précèdent)

• au début et a la fin: observation d’une source de calibration de flux et de polarisation si nécessaire

• en alternance: observation de la source et du calibrateur de phase

Traitement des données interférométriques

• Edition des visibilités des calibrateurs• Calibration du flux avec les calibrateurs principales• Calcul du gain et de la phase pour les calibrateurs• Calcul du flux du calibrateur de phase• Interpolation des solutions de gain et de phase pour le

calibrateur principale• Interpolation des solution de gain et de phase pour le

calibrateur de phase et pour la source observée• Calibration de la polarisation si nécessaire avec de

calibrateurs polarises• Edition des visibilités de la source observée• Calcul de l’image + CLEANing

Les visibilitésLogiciel de traitement de données du VLA: AIPS

Traitement des données interférométriques

dirty beam

dirty image(FFT direct)

cleaned image

CLEAN