Bespreken: Appendix E: 10, 20; §5.2: 11, 23, lesuur 1, les 2

Welkom terug!!!Bespreken huiswerkopgaven

Appendix E: 10

schrijf de som uit: f (xi )Δxi =i=1

n

∑f (x1)Δx1 + f (x2 )Δx2 + ...+ f (xn−1)Δxn−1 + f (xn )Δxn =

Δx f (x1)+ f (x2 )+ ...+ f (xn−1)+ f (xn )( )

Appendix E: 20

schrijf in sigma notatie: 1− x + x2 − x3 + ...+ (−1)n xn =

(−1)i xii=0

n

∑

xx +10

2

∫ dx ≈

f (xi ) ⋅ Δxi=1

n=5

∑ =

f (0+ 12 Δx + i ⋅ Δx) ⋅ Δx

i=1

n−5

∑ =

Δx ⋅ f (0,2)+ f (0,6)+ f (1)+ f (1,4)+ f (1,8)( ) =0,4 ⋅ 1

6 + 38 + 1

2 + 712 + 9

14( ) = 127140 (≈ 0,907)

Bereken:

§5.2: 11

limn→∞

4n

1− 3in+ 2i

2

n2i=1

n

∑ =

limn→∞

4n

1i=1

n

∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 4n

3ini=1

n

∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 4n

2i2

n2i=1

n

∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

limn→∞

4n⋅n⎛

⎝⎜⎞⎠⎟− 12n2

⋅ n(n+1)2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 8n3

⋅ n(n+1)(2n+1)6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

limn→∞

4( )− 12n2

⋅ n2 + n2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 8n3

⋅ 2n3 + 3n2 + n6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

limn→∞

4( )− 6n2 + 6nn2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 16n3 + 24n2 +8n

6n3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

limn→∞

4( )− 6+ 6n−1( )+ 83 + 4n

−1 + 43 n

−2( ) =4− 6− 0+ 8

3 + 0+ 0 = 23

Bereken:

§5.2: 23

x2 + x−2

0

∫ dx =

limn→∞

f (xi ) ⋅ Δxi=1

n

∑ =

limn→∞

f (−2+ i ⋅ 2n) ⋅ 2ni=1

n

∑ =

limn→∞

2n

−2+ i ⋅ 2n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟i=1

n

∑2

+ −2+ i ⋅ 2n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

limn→∞

2n

4− 8in+ 4i

2

n2− 2

i=1

n

∑ + 2in=

limn→∞

2n

2− 6in+ 4i

2

n2i=1

n

∑ =

Nog een stukje van §5.2:The Definite Integral

Blijf altijd beseffen dat je al veel oppervlaktes kunt berekenen:

Als de vraag is bereken , maak dan eerst een plaatje:

De oppervlakte van een kwart cirkel kunnen we wel berekenen zonder moeilijke limieten…

1− x2 dx0

1

∫

1− x2 dx0

1

∫ = π ⋅12

4= π4

Properties of the Definite Integral

Er zijn een heleboel rekenregels voor integralen:

f (x)dxa

b

∫ = − f (x)dxb

a

∫

f (x)dxa

a

∫ = 0

cdxa

b

∫ = c(b − a)

cf (x)dxa

b

∫ = c f (x)dxa

b

∫

f (x)− g(x)dxa

b

∫ = f (x)dxa

b

∫ − g(x)dxa

b

∫

f (x)dxa

c

∫ + f (x)dx =c

b

∫ f (x)dxa

b

∫

als f (x) ≥ 0 voor a ≤ x ≤ b, dan f (x)dx ≥ 0a

b

∫

als f (x) ≥ g(x) voor a ≤ x ≤ b, dan f (x)dx ≥a

b

∫ g(x)dxa

b

∫als m ≤ f (x) ≤ M voor a ≤ x ≤ b,

dan m(b − a) ≤ f (x)dxa

b

∫ ≤ M (b − a)

f (x)a

b

∫ + g(x)dx = f (x)dx +a

b

∫ g(x)a

b

∫ dx

Voorbeeld 0

Bereken wetende dat (zie voorbeeld 6

van de vorige les).

4 − 3x2 dx0

2

∫ x2 dx0

2

∫ = 83

4 − 3x2 dx0

2

∫ = 4dx −0

2

∫ 3x2 dx0

2

∫

= 4dx −0

2

∫ 3 x2 dx0

2

∫

= 4 ⋅(2 − 0)− 3⋅ 83= 8 − 8 = 0

lesuur 1, les 2

sin, cos, tan, sec, csc, cotvoorkennis goniometrische verhoudingen

Eenheidscirkel

Alle goniometrische verhoudingen komen voort uit de eenheidscirkel:

Pα

sin(α ) = ypcos(α ) = xp

tan(α ) =ypxp

= sin(α )cos(α )

csc(α ) = 1sin(α )

sec(α ) = 1cos(α )

cot(α ) = 1tan(α )

= cos(α )sin(α )

cos2(α )+ sin2(α ) = 11+ tan2(α ) = sec2(α )1+ cot2(α ) = csc2(α )

lesuur 1, les 2

§4.9 AntiderivativesChapter 4 Application of Differentiation

Antiderivatives

Het omgekeerde van differentiëren is integreren.

Definitie: Als F(x) een functie is en er geldt op een interval I voor alle x datF’(x) = f(x), dan noemen we F de anti-afgeleide ofwel primitieve van f.

Maar:

F’(x) = [x2]’ = 2x

F’(x) = [x2 + 15]’ = 2x

Antiderivatives

Een constante die we differentiëren valt weg en dus als we het omgekeerde proces moeten volgen weten we nooit of er een constante bij heeft gestaan.

Stel f(x) = x2 dan zijn er een heleboel functies die de anti- afgeleide F van f zouden kunnen zijn:

We moeten daarom in meer algemene termen de anti- afgeleide noteren.

Antiderivatives

Afspraak:Als F de anti-afgeleide of primitieve is van f op een interval I. Dan geldt dat de meest algemene vorm van de anti-afgeleide van f is: F(x) + C. Waarbij C een willekeurig getal is.

Dus als f(x) = x2, dan is + C. (Want de afgeleide van F is weer f, ongeacht wat C is.)

F(x) = 13 x

3

Voorbeeld 1 (voor jullie)

a) Bereken f als je weet dat

want de afgeleide van f is .

b) Bereken f als je weet dat

De functie f is niet direct zichtbaar. Maar het lijkt er op dat hier de quotiëntregel is toegepast.

Dus:

f '(x) = 2x2 + 2x +1

f '(x) = 4sin(4x)

f '(x) = sin(4x) ⋅4

f '(x) = 2x2 + 2x +1

= 2(x +1)2

=(x +1)(1)( )− (x −1)(1)( )

(x +1)2 f (x) = x −1x +1

+C

f (x) = −cos(4x)+C

Meerdere juiste antwoorden…

Antiderivatives

In Calculus 2 hebben we gezien dat de standaard afgeleide van een machtsfunctie gelijk is aan (n ≠ -1).

Maar wat is dan de anti-afgeleide ofwel primitieve van ?

f (x) = xn

f (x) = xn

f '(x) = n ⋅ xn−1

Antiderivatives

Maar wat is dan de anti-afgeleide ofwel primitieve van ?

Wat deden we bij differentiëren: functie ☞ getal voor de macht maal exponent ☞ exponent

minus 1 ☞ afgeleide.

Dus nu doen we het omgekeerde: functie ☞ exponent plus 1 ☞ getal voor de macht delen door de

nieuwe exponent ☞ primitieve (+C).

f (x) = xn

Antiderivatives

Dus nu doen we het omgekeerde: functie ☞ exponent plus 1 ☞ getal voor de macht delen door de

nieuwe exponent ☞ primitieve (+C).

Algemeen: De standaard primitieve van is gelijk aan de functie (n ≠ -1).

f (x) = xn

F(x) = 1n+1

xn+1 +C = xn+1

n+1+C

Standard list of antidifferentiation formulas

Note: natuurlijk moet er achter iedere primitieve nog + C staan.

Voorbeeld 2 (voor jullie)

Bereken de primitieve van

want:

Let op: dit kan ook makkelijker door de wortel te splitsen.

f (x) = 2ex + 3cos(x)− 2x

− 2x = − 2x( )12 exponent plus 1⎯ →⎯⎯⎯⎯ − 2x( )

32

getal voor de macht delen door nieuwe exponent⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ −132

2x( )32 ⋅ 12= −132x( )

32 = −1

3⋅2x ⋅ 2x( )

12 = − 2

3 x ⋅ 2x

2ex⎡⎣ ⎤⎦'= 2ex , 3sin(x)⎡⎣ ⎤⎦

'= 3cos(x) en − 4

3 x 2x⎡⎣

⎤⎦

'

= − 2x

F(x) = 2ex + 3sin(x)− 43 x 2x +C

Voorbeeld 3 (voor jullie)

Gegeven is met . Bereken f(x).

Dus:

f ''(x) = x−2 f (1) = 0 en f (2) = 0

f '(x) = −1⋅ x−1 +C

f (x) = − ln x +Cx + Kf (1) = − ln(1)+C + K = 0f (2) = − ln(2)+ 2C + K = 0

f (1) = 0+C + K = 0 dus C = −Kf (2) = − ln(2)+ 2C −C = 0

− ln(2) = −Cln(2) = C

f (x) = − ln x + ln(2)x − ln(2)

= −1x+C

Antiderivatives

Om een top te vinden van een functie stelden we de afgeleide gelijk aan 0. (Want in een top is de helling gelijk aan 0.)

Dus om van een grafiek een globale grafiek van de primitieve te maken kijken we eerst naar de nulpunt van de grafiek.

Nieuw: De toppen van de grafiek zijn buigpunten in de globale grafiek van de primitieve.

Teken op de plaatsen van de nulpunten de toppen (let op: maxima of minima).

Teken op de plaatsen van de toppen een buigpunt.

Graphs of Antiderivatives

lesuur 2 en 3, les 2

§5.3 The Fundamental Theorem of CalculusChapter 5 Integrals

The fundamental Theorem of CalculusVorige week hebben we al gezien dat met behulp van een integraal de oppervlakte onder een grafiek te berekenen is.

We gaan in de rest van de les verder bouwen op deze theorie.

De oppervlakte V onder een grafiek op een differentieerbaar interval [a, b] is te berekenen met:

We zouden ook best de b kunnen laten variëren: g(x) = f (t)dt

a

x

∫

V = f (x)dxa

b

∫ = f (t)dta

b

∫

The fundamental Theorem of CalculusDe oppervlakte wordt dus op deze manier een functie, met als variabele de eindwaarde van het gekozen interval.

Stel f(t) = 2t, dan krijgen we:

We kunnen deze integraal uitrekenen door de theorie uit §4.9 toe te passen (verhoog de macht met 1 en deel 2 door de nieuwe macht).

Ofwel:

g(x) = 2t dta

x

∫

g(x) = 2t dta

x

∫ = t2⎡⎣ ⎤⎦ax

The fundamental Theorem of CalculusOm nu de oppervlakte te berekenen moeten we de grenzen nog invullen in de gekregen primitieve. Stel a = 1 en x = 5.

We moeten beseffen dat een integraal altijd vanaf x = 0wordt berekent. Dus de opper- vlakte op [1,5] is de oppervlakte op [0,5] minus de oppervlakte op [0,1]:

g(x) = 2t dt1

5

∫ = t2⎡⎣ ⎤⎦15= 52 −12 = 24

The fundamental Theorem of CalculusAlgemener: Stel a = 0 en x = x (variabel), dan geldt:

Dit geldt altijd zo (wordt op een complexe manier bewezen op de pagina’s 387 t/m 389):

Als f is continu op [a, b] dan kan de functie g geschreven worden als: met a ≦ x ≦ b die ook continu is op [a, b] en differentieerbaar op (a, b) en g’(x) = f(x).

g(x) = 2t dt0

x

∫ = t2⎡⎣ ⎤⎦0x= x2

g(x) = f (t)dta

x

∫

Voorbeeld 4 (voor jullie)

Gegeven is

Bereken g’(x).

Omdat: continu is geldt:

g(x) = t2 − sec2(4t) dt0

x

∫

f (t) = t2 − sec2(4t) g '(x) = x2 − sec2(4x)

Let op de net area en de slope:

Visueel bewijs

The fundamental Theorem of CalculusIndien er geen x staat (op de plaats van b), maar een andere variabele zullen we goed moeten nadenken over de definitie.

Indien we moeten berekenen is dat niet meer

’gewoon’ . Maar wat dan wel?

De moeilijke manier is gebruikmakend van de kettingregel.

ddx

t dt0

x2

∫x

The fundamental Theorem of CalculusDe kettingregel zegt:

ddx

t dt0

x2

∫ = ddu

t dt ⋅ dudx0

u

∫ = u ⋅ dudx

=

u ⋅2x = x2 ⋅2x = x ⋅2x = 2x2

dydx

= dydu

⋅ dudx

The fundamental Theorem of CalculusMaar dit kan makkelijker door gebruik te maken van het volgende theorema:

Definitie: Als f continu is op [a, b], dan geldt:waarbij F een primitieve (anti-afgeleide) is van f. Ofwel F’(x) = f(x).

Nu volgt:

f (x)dx = F(b)− F(a)a

b

∫

ddx

t dt0

x2

∫ = ddx

23x32

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

x2

= ddx

23x2( )

32 − 230( )

32

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= ddx

23x3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2x2

ttdt = t

−12 dt =

4

x2

∫4

x2

∫ 2t12

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥4

x2

= 2 t⎡⎣

⎤⎦4x2

= 2 x2 − 2 4 = 2x − 4

Voorbeeld 5 (voor jullie)

Bereken: ttdt

4

x2

∫

The fundamental Theorem of CalculusMaar waar blijft de constante C eigenlijk?

Bij een integraal op een bepaald interval [a, b] doet de constante C er dus niet toe.

Wel als we alleen de primitieve moeten zoeken!

f (x)dx = F(b)− F(a)a

b

∫ = (g(b)+C)− (g(a)+C)= g(b)+C − g(a)−C= g(b)− g(a)

Voorbeeld 6 (voor jullie)

Bereken: ( y −1)(2y +1)dy0

2

∫

( y −1)(2y +1)dy0

2

∫ = 2y2 − y −1dy0

2

∫ = 23 y

3 − 12 y

2 − y⎡⎣ ⎤⎦02=

( 23 ⋅23 − 1

2 ⋅22 − 2)− ( 23 ⋅0

3 − 12 ⋅0

2 − 0) = 163 − 2− 2 = 4

3

Voorbeeld 7 (voor jullie)

Bereken:

4

1− x212

12

∫ dx = 4sin−1(x)⎡⎣ ⎤⎦12

12 = 4sin−1 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 4sin−1 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 4 ⋅ 14π − 4 ⋅ 16π = 1

3π

4

1− x212

12

∫ dx

Voorbeeld 8 (voor jullie)

Bereken:

De functie is niet continu op het gegeven interval, dus de integraal bestaat niet!!!

1x−e

e2

∫ dx = ln x⎡⎣ ⎤⎦−ee2

= ln e2( )− ln e( ) = 2−1= 1

1x−e

e2

∫ dx

Einde les 2

Huiswerk: §4.9 en §5.3§4.9: 1, 5, 9, 13, 17, 25, 32, 35, 45, 51; §5.3: 7, 19, 25, 26, 27, 41, 45 en 69