Integraalrekening 1 les 3

29
Bespreken: §4.9: 17, 25, 45; §5.3: 7, 27, 69, lesuur 1, les 3 Welkom terug!!! Bespreken huiswerkopgaven Mathematics: Add your dream and multiply your goals to achieve your success

Transcript of Integraalrekening 1 les 3

Bespreken: §4.9: 17, 25, 45; §5.3: 7, 27, 69, lesuur 1, les 3

Welkom terug!!!Bespreken huiswerkopgaven

Mathematics: Add your dream and

multiply your goals to achieve your success

§4.9: 17

Bereken de primitieve van:

Maar let op!

De tangens heeft asymptoten bij:

De primitieve geldt alleen op:

h(θ ) = 2sinθ − sec2θH (θ ) = −2cosθ − tanθ +C

θ = 12π + k ⋅π ,k ∈!

− 12π + k ⋅π <θ < 1

2π + k ⋅π h

H

§4.9: 25

Bereken f als: f ''(x) = 20x3 −12x2 + 6x

f '(x) = 5x4 − 4x3 + 3x2 +C

f (x) = x5 − x4 + x3 +Cx + K

§4.9: 45

Bereken f als:

Dus:

f ''(x) = 2 + cos(x), f (0) = −1, f (π2 ) = 0

f '(x) = 2x + sin(x)+C

f (x) = x2 − cos(x)+Cx + K

f (0) = 0 − cos(0)+ 0 + K = −1

f (0) = 0 −1+ 0 + K = −1

K = 0

f (π2 ) = π2( )2 − cos(π2 )+C ⋅ π2 + K = 0

f (π2 ) = π 24 − 0 +C ⋅ π2 + 0 = 0

C ⋅ π2 = − π 24

C = − π2

f (x) = x2 − cos(x)− π2 x

§5.3: 7

Bepaal de afgeleide van:

Theorema 1 zegt: als en f continu is op [a, x], dan g’(x) = f(x).

Dit is zo dus:

g(x) = 1t 3 +1

dt1

x

f (t)dt = g(x)a

x

g '(x) = 1x 3+1

§5.3: 27

Bereken: x(2 + x5 )dx0

2

x(2 + x5 )dx0

2

∫ =

2x + x6 dx0

2

∫ =

x2 + 17 x

7⎡⎣ ⎤⎦02=

22 + 17 ⋅2

7 − 0 = 4 + 1287 = 156

7 ≈ 22,286( )

§5.3: 69

Gegeven is de Riemannsom van een functie op [0, 1].

Bepaal de integraal en bereken de integraal.

limn→∞

i3

n4i=1

n

limn→∞

i3

n4i=1

n

∑ =

limn→∞

i3

n31− 0ni=1

n

∑ =

limn→∞

in

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

⋅1− 0ni=1

n

∑ =

x30

1

∫ dx = 14 x

4⎡⎣ ⎤⎦01= 1

4 ⋅14 − 0 = 1

4

lesuur 1-2, les 3

§5.4 Indefinite Integrals and the Net Change TheoremChapter 5 Integrals

Mathematics: No one can understand

it completely.

Indefinite IntegralsVorige week zagen we de fundamentele theorie van de calculus:

1. Als f continu is, dan levert een primitieve op voor f.

2. Als f continu is, dan kan berekent worden met behulp van F(b) - F(a).

Om een primitieve aan te geven wordt veelal de letter F gebruikt.

Veelal wordt ook de notatie gebruikt om de primitieve aan te geven. Deze integraal noemen we een onbepaalde integraal (omdat de grenzen a en b nog niet zijn gegeven).

f (t)dta

x

∫f (x)dx

a

b

f (x)dx∫

Indefinite Integrals

Dus betekent .

Bijvoorbeeld kunnen we zeggen dat:

omdat .

Een onbepaalde integraal geeft ons, vanwege de constante C, een familie van functies.

f (x)dx∫ = F(x) F '(x) = f (x)

x2 dx∫ = 13 x

3 +C 13 x

3 +C⎡⎣ ⎤⎦'= x2

Indefinite Integrals

Wanneer er wel grenzen aangegeven zijn, dan zal er dus geen functie uit de integraal komen, maar een getal!

De connectie tussen een onbepaalde en bepaalde integraal is te vinden in de fundamentele theorie van de Calculus:

Als f continu is op een interval [a, b], dan

Maar hoe vinden we die primitieve?

f (x)dxa

b

∫ = f (x)dx∫⎡⎣ ⎤⎦ab= F(b)− F(a)

Indefinite Integrals

Ten eerste zijn er een heleboel standaard primitieve te vinden, omdat we al veel kennis hebben vanuit het differentiëren:

En we hebben onze algebra kennis nodig!!!

Voorbeeld 1

Bepaal x2 + x +1x3 + x

dx∫

x2 + x +1x3 + x

dx∫ = x2 +1x3 + x

+ xx3 + x

dx∫ =x2 +1

x x2 +1( ) +x

x x2 +1( ) dx∫ =

1x+ 1x2 +1

dx∫ = 1xdx + 1

x2 +1∫ dx∫ = ln x + tan−1(x)+C

Applications

Als f continu is op een interval [a, b], dan

Waarbij

Ofwel er geldt ook:

Maar F’(x) is de hellingsfunctie van F(x).

En F(b) - F(a) representeert een verandering in de y-waarde, wanneer x loopt van a tot b.

Dit kan veel toegepast worden in de praktijk.

f (x)dxa

b

∫ = F(b)− F(a)

F '(x) = f (x)

F '(x)dxa

b

∫ = F(b)− F(a)

Applications

Als V(t) het volume van het water in een reservoir is, dan geeft de afgeleide V’(t) de verandering aan op een tijdstip t. Ofwel hoeveel water stroomt er op een moment in het reservoir.

Water stroomt een reservoir in met een waarde van liter per minuut met .

Hoe kunnen we berekenen hoeveel liter water er in totaal in een bepaald tijdsinterval is ingestroomd?

De oppervlakte onder r geeft de hoeveelheid liter aan die er ingestroomd is.

r(t) = 400 − 5t 0 ≤ t ≤ 80

Applications

Waarom klopt dit?

Stel we hebben een functie . De afgeleide functie geeft de verandering aan per x.

We noteren dit ook wel als:

Als we nu beide kanten met dx vermenigvuldigen dan krijgen we:

En dat laatste zagen we net staan:

f (x) f '(x)

f '(x) = dydx

f '(x)dx = dy

F '(x)dxa

b

∫ = F(b)− F(a)

Applications

r(t) heeft als eenheid liter per minuut. Dit kunnen we ook wel noteren als .

De primitieve daarvan zal dus het aantal liter aangeven dat in de ton zit want:

En dus:

R(t) geeft dus het aantal liters aan dat er in is gekomen.

dliterdminuut

R '(t) = dliterdminuut

R(t) = R '(t) ⋅dminuut = dliter

Voorbeeld 2

Water stroomt een reservoir in met een waarde van liter per minuut met

Bereken hoeveel water er in de eerste 10 minuten in het reservoir is gestroomd.

r(t) = 400 − 5t 0 ≤ t ≤ 80

R(t) = r(t)dt0

10

∫ = 400 − 5t dt0

10

∫ = 400t − 52 t

2⎡⎣ ⎤⎦010=

400 ⋅10 − 52 ⋅10

2 − 0 = 3750l

Voorbeeld 3

Een bacteriepopulatie in een laboratorium wordt op een voedingsbodem in een petrieschaaltje uitgestreken. Er worden honderdduizend bacteriën op de voedingsbodem uitgestreken. De bacteriepopulatie zal groeien met bacteriën per minuut na t minuten. Hoe groot is de populatie na vijf minuten? Rond je antwoord af op duizendtallen.

100 000 +10 ⋅3t dt0

5

∫ = 100 000t +10 ⋅ 3t

ln(3)⎡

⎣⎢

⎦⎥

0

5

=

10 ⋅3t

100 000 ⋅5 +10 ⋅ 35

ln(3)−10 ⋅ 30

ln(3)≈ 502000

lesuur 2-3, les 3

§5.5 The Substitution RuleChapter 5 Integrals

Mathematics: If you do not believe that

mathematics is simple, it is only because you don’t realize

how complicated life is.

The Substitution Rule

Tot op heden hebben we geïntegreerd m.b.v. standaard rekenregels en daar kunnen we heel veel mee.

Maar hoe berekenen we de primitieve van ?

We hebben nog geen methode om te integreren, wanneer we twee termen met elkaar vermenigvuldigen.

Maar als ik datgene dat onder de wortel staat u noem, wat staat er dan voor de wortel?

Ofwel:

6x2 2x3 + 6 dx∫

2x3 + 6⎡⎣ ⎤⎦'= 6x2 du = 6x2dx

The Substitution Rule

Dat zou betekenen dat hier een kettingregel is uitgevoerd om de functie in de integraal te krijgen:

Met behulp van differentiëren kunnen we nu aantonen dat we de juiste primitieve hebben gevonden.

Algemeen:Wanneer F’ = f, dan:

6x2 2x3 + 6 dx∫ = 2x3 + 66x2 dx∫ = u du∫ = u12 du∫ = 2

3 u32 +C =

23 2x

3 + 6( )32 +C = 2

3 2x3 + 6( )1 2x3 + 6( )

12 +C = 2

3 2x3 + 6( ) 2x3 + 6 +C

f (g(x))g '(x)dx∫ = F(g(x))+C= f (u)du∫

Voorbeeld 4

Bereken

(Indien je de integraal direct ziet, hoef je niet de verschrikkelijke substitutiestap op te schrijven en mag je de primitieve direct opschrijven.)

sin( x +11)2 x

dx∫

sin( x +11)2 x

dx∫ = sin( x +11) ⋅ 12 x

dx∫ = sin(u) ⋅du∫ =

−cos(u)+C = −cos( x +11)+C

The Substitution Rule

Soms staat de afgeleide van de functie in de functie niet expliciet benoemd.

Met behulp van een correctie is de integraal dan alsnog met de substitutiemethode te berekenen.

Neem bijvoorbeeld:

Er geldt dan:

Laten we dit invoegen in de integraal:

x7 x2 + 2 dx∫x2 + 2⎡⎣ ⎤⎦

'= 2xdx

12 x

6 x2 + 22xdx∫

The Substitution Rule

Een factor mogen we buiten het integraalteken halen, dat levert ons dus:

Nu zitten we nog met de x6. We gaan straks x2 + 2 als u nemen, dus eigenlijk willen we x6 schrijven in de vorm van u. Maar hoe?

12 x

6 x2 + 22xdx∫

12 x6 x2 + 22xdx∫

12 x2 + 2 − 2( )3 x2 + 22xdx∫ = 1

2 u − 2( )3 u du∫

Voorbeeld 5

Bereken met12 u − 2( )3 u du∫ u = x2 + 2

= 12 u3 − 6u2 +12u − 8( )u

12 du∫ =1

2 u − 2( )3 u du∫12 u

312 − 6u

212 +12u

112 − 8u

12 du∫ = 1

2 u72 − 6u

52 +12u

32 − 8u

12 du∫ =

12

29 u

92 − 12

7 u72 + 24

5 u52 − 16

3 u32 +C

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1

9 u92 − 6

7 u72 + 12

5 u52 − 8

3 u32 +C =

19 x2 + 2( )

92 − 6

7 x2 + 2( )72 + 12

5 x2 + 2( )52 − 8

3 x2 + 2( )

32 +C =

x2 + 2 19 x2 + 2( )4 − 6

7 x2 + 2( )3 + 125 x2 + 2( )2 − 8

3 x2 + 2( )( )+C =

1315 x2 + 2 35x8 +10x6 − 24x4 + 64x2 − 256( )+C

The Substitution Rule

Kijk eens terug naar ons schema met de standaardprimitieven.

We missen daar een zeer bijzondere functie, namelijk de primitieve van tan x.

We weten dat

We kunnen met de net geleerde kennis aantonen dat:

tan x = sin xcos x

tan xdx∫ = − ln cos x +C = ln sec x +C

Voorbeeld 6

Bereken wetende dat .

Dus:

tan xdx∫ tan x = sin xcos x

tan xdx∫ = sin xcos x

dx∫ =−1udu∫ =

[cos x]’= - sin xDus als u = cos x, dan du = - sin xdx

− ln u +C = − ln cos x +C

= ln cos x −1( )+C= ln 1

cos x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+C

= ln sec x( )+C

tan xdx∫ = − ln cos x +C = ln sec x +C

Einde les 3

Huiswerk: §5.4 en §5.5 (tot Definite Integrals)§5.4: 5, 7, 11, 17, 27, 35, 53, 59; §5.5: 1, 3, 7, 13, 21, 23, 25, 33, 35 en 45

Mathematics: The more you know, the less

sure you are…