®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2008/09 mez, 2008/09 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn

III. Campo elIII. Campo elééctrico y ctrico y conductoresconductores

2. El problema del potencial. 2. El problema del potencial. Capacidad elCapacidad elééctrica ctrica

2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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∂∂CCNN∂∂CCMM+1+1

∂∂CCMM∂∂CC11

εε00

QQ11

CM

FFρρee((rr))

C00 0C

V=φ

φ|φ|CCMM+1+1==VVMM+1+1 φ|φ|CCNN=0=0

¿¿φ|φ|CCMM??

¿¿φ|φ|CC11??

¿¿QQMM+1+1?? ¿¿QQNN??

¿¿φφ((rr))??

lim ( ) 0→∞

= =φr

r

QQMM=0=0QQMM

Planteamiento del problemaPlanteamiento del problemaDescripciDescripcióón del sisteman del sistema

conductor “de referencia” C0

se extiende hasta el “infinito”conductores aislados C1,…, CM, con cargas eléctricas Q1,…, QM

conductores CM+1,…, CN a potencial fijo VM+1,…, VN

conectados a fuentes de potencialotras posibles fuentes de campo:

distribución ρe(r) en región F.

CuestiCuestióón generaln general¿es posible encontrar el potencial φ(r) creado por el sistema?

¿cómo son las relaciones entre car-gas y potenciales en el sistema? (capacidades eléctricas)

3Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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( ) 0=φ r2∇∂∂CCNN

∂∂CCMM+1+1

∂∂CC11

εε00

QQ11

C00 0C

lim ( ) 0V→∞∂

= = =φφr

r

φ|φ|∂∂CCMM+1+1==VVMM+1+1 φ|φ|∂∂CCNN==VVNN==00

nnMM

∂∂CCMM

EcuaciEcuacióón diferencialn diferencial

en el vacen el vacíío: (Laplace)o: (Laplace)

enen FF : : (Poisson)(Poisson)

Condiciones de contornoCondiciones de contornoen conductores a potencial fijo…

en conductores cargados…

SoluciSolucióón (Th. de unicidad)n (Th. de unicidad)existe φφ ((rr)) ÚÚNICO que satisface NICO que satisface las condiciones del problema las condiciones del problema

( ) 0=φ r2∇

0

( )( ) eρ

ε= −φ r

r2∇

{ }C 1, , ,0(Dirichlet), ctes.

ii

i M NV

∂ = +=φ

…

1, ,0C C

(Neumann)e

i Mi i in =∂ ∂

∂⎧ ⎫= −⎨ ⎬∂⎩ ⎭φ

…

σε

11

CeQ dSσ

∂= ∫

CMM eQ dSσ

∂= ∫

QQMM

FormulaciFormulacióón matemn matemááticatica

FF

0

( ) eρε

= −φ r2∇nn11

4Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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Conductor a potencial fijoConductor a potencial fijocondición tipo Dirichlet

solucisolucióón del potencial y carga en n del potencial y carga en ∂∂CC::

V V

Problema del potencial para un conductor (I)Problema del potencial para un conductor (I)

Ejemplo: esfera conductoraEjemplo: esfera conductorasuperficie conductora ∂C: r =R

la carga se distribuirá uniformemente simetría esférica:

Condiciones sobre el conductorCondiciones sobre el conductor

εε00

OO

rr

∂∂CC: : φφ((rr))= = V V

φ(r)=φ(r)2

21 0dd r

drr drφ⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

RR

φφ((r<Rr<R)=)=VVn

CV

∂=φ

04 RV qε =π

Conductor aislado y cargadoConductor aislado y cargadocondición tipo Neumann

solucisolucióón del problema del potencialn del problema del potencial::

ur=

( )lim 0r

r→∞

=φ

2C 4eqR∂ π

σ =

0

( ) ;4

r Rq

r≥ =

πεφ

04C

qR∂

=πε

φ V= ( ) ;r RVRr

≥ =φC

Q∂

=

solución en r ≥ R

( )r Ar

=φ B+

φφ((rr))Z

XXqq

¿¿φφ((PP))??

2r R

d Adr R0 0

=

== −ε εφ ( )r R A R=== φ

0

5Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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Problema del potencial para un conductor (II)Problema del potencial para un conductor (II)RelaciRelacióón cargan carga−−potencialpotencial

superficie ∂C cargada o a potencial fijono hay más conductores o cargas exterioreslíneas del campo desde ∂C hasta |r|→∞

φ(r) potencial en el exteriorcarga y potencial en superficie conductora:

Capacidad elCapacidad elééctricactricaes la relación carga−potencial en ∂C

Propiedadessólo depende de la geometría

fijado el valor de la carga en ∂C, determina el del potencial y viceversa

unidades (SI):

∂C: : φφ((rr))==VV

σσee((rr′′))

( ) ;CC

Q n dS0∂∂

′= −ε ∂φ ∂∫ C( )V

∂= φ r

( ) CC Q V

∂=

[ ] [ ] [ ]C Q V= C V F (faradio)= =

EEintint==00

ρρeeintint=0=0

φφintint ==VV

Cεε00

EE((rr))

φφ ((rr))

n

εε00

6Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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∂∂ττ22

dS2

∂∂ττ11

dS1

Sistema de dos conductores: condensadorSistema de dos conductores: condensadorSoluciSolucióón al problema del potencialn al problema del potencial

sea φ(r) solución al problema planteado verifica ecuación de Laplace:

(en el exterior)cumple condiciones en superficies ∂C1 y ∂C2

Conductores en Conductores en ““influencia totalinfluencia total””todas las líneas de E(r) van de ∂C1 a ∂C2

cargas eléctricas opuestas en los conductores

las superficies ∂C1−∂C2 forman un condensadorcapacidad eléctrica (parámetro geométrico)

1 1 2 221

e eC C

dS dSQ Q∂ ∂

′ ′= = − =−∫ ∫σ σ

1

1 2

QV V

C =−

1 2C1 C2( ) ( );V V

∂ ∂= =φ φr r

2 1C2 C1

0 0( ) ; ( )e en n∂ ∂

′ ′∂φ ∂φ= − = −

∂ ∂ε εr rσ σ

2

2 1

QV V

=−

( ) 0=φ r2∇ ∂C1: : φφ((rr))==VV11

σσee22((rr′′))

σσee11((rr′′))

∂C2: : φφ((rr))==VV22

EE((rr))

n1

n2

εε00φφ ((rr))

C1

C2

DirichletDirichlet

NeuNeu--mannmann

mixtasmixtas

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Sistema de dos conductores: condensador esfSistema de dos conductores: condensador esfééricoricoSoluciSolucióón al problema del potencialn al problema del potencial

superficies conductoras ∂C1:r =a y ∂C2: r = bproblema del potencial en a<r<b (vacío)

solución con simetría esférica

condiciones de contorno mixtas (p. e.)

Capacidad del condensador∂C1 y ∂C2 en influencia total: Q2=−Q1

valor de la capacidad eléctrica:

12C1 4e

Qa∂ π

σ =

∂C2

∂C1σσee11

σσee22

σσee11

φφ((rr))

∂Cext

σσeeextext

σσeeextext

δ

22

1 0dd rdrr dr

φ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )r A r B= +φ

2C2V

∂=φ

r a

ddr0

=

φ= −ε

)r b= φ( =

1 ( )r aV == φ 4( )

b a

ba0πε

−⇒ =1

1 2

QCV V

=−

solución en a ≤ r ≤ b

12

( )( )

4Q b r

r Vbr0

−+

πε=φ

VV22

εε00

∂C1

∂C2

b

aO QQ11σσee22

EE((rr))

n1n2

QQ22

εε00

εε00

QQextext

QQ00

8Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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Sistema de dos conductores: condensador planoSistema de dos conductores: condensador planoPotencial entre conductores planoPotencial entre conductores plano−−paralelosparalelos

discos de radio “R”, sección “S” y separación “d”superficies ∂C1≡Π1: z =−d/2 y ∂C2 ≡Π2 : z =d/2

problema del potencial entre discos, para R >> d:equivalente a superficies infinitas

condiciones de contorno “Dirichlet”:

Capacidad del condensadordensidades de carga en ∂C1 y ∂C2

en influencia (casi)total…

2

2

dzdφ≈

1Q = C⇒ =

( ) 0=φ r2∇ solución en −d/2 ≤ z ≤ d/2:( )z Az B= +φ

V2

V1

1 2C1 / 2 C2 / 2;

z d z dV V

∂ =− ∂ == = = ==φ φ φ φ

2 1 2 1

2( ) ( )V V V V

z d z− +≈ = +φ φr

O

∂C2

∂C1

Z

ε00z

0

=ε

E uσ

2Q= −1eS σ

( )1e d dz0σ = −ε φ 2e= −σ

S d0ε

Eext(r)≅0

Eext(r)≅0

σe2= −σ0

σe1= σ0ρ << R

ZR

dS

φ(r)n1

n2

⇒⇒ φ(r)≈φ(z)

ε0

( )1 2V V d0 −= ε

9Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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FlexP

4. 4.5 5. 5.5 6.

-1.

-0.5

0.

0.5

1.CAMPO E (efectos de borde)zoom(4,-1,2,2)

9.00 8.50 8.00 7.50 7.00 6.50 6.00 5.50 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00

Fle

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

-4.

-3.

-2.

-1.

0.

1.

2.

3.

4.

b

c

d

e

f

gh

i

j kl

m

n

opq r

s

t

o

x

LINEAS DE POTENCIAL Yzoom(0,-1.25*c,2.5*c,2.5*c

max 1.00u : 1.00t : 0.90s : 0.80r : 0.70q : 0.60p : 0.50o : 0.40n : 0.30m : 0.20l : 0.10k : 0.00j : -0.10i : -0.20h : -0.30g : -0.40f : -0.50e : -0.60d : -0.70c : -0.80b : -0.90a : -1.00min -1.00

F

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

-4.

-3.

-2.

-1.

0.

1.

2.

3.

4.

o

x

MÓDULO Ezoom(0,-1.25*c,2.5*c,2.5

9.00 8.50 8.00 7.50 7.00 6.50 6.00 5.50 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50 0.00

FlexPDE

0. 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1

-0.9

-0.6

-0.3

0.

0.3

0.6

0.9

b

b

cd efghi j kl m np q rs t

t

o

x

LINEAS DE POTENCIAL (detalle)zoom(0,-1,2,2)

max 1.00u : 1.00t : 0.90s : 0.80r : 0.70q : 0.60p : 0.50o : 0.40n : 0.30m : 0.20l : 0.10k : 0.00j : -0.10i : -0.20h : -0.30g : -0.40f : -0.50e : -0.60d : -0.70c : -0.80b : -0.90a : -1.00min -1.00

z

ρ

z

ρz

ρ

z

ρ

FlexLINEAS DE POTENCIAL Y Czoom(0,-1.25*c,2.5*c,2.5*c)

max 1.00u : 1.00t : 0.90s : 0.80r : 0.70q : 0.60p : 0.50o : 0.40n : 0.30m : 0.20l : 0.10k : 0.00j : -0.10i : -0.20h : -0.30g : -0.40f : -0.50e : -0.60d : -0.70c : -0.80b : -0.90a : -1.00min -1.00

R/d=12.5

CC22

CC11

CC22

CC11

10Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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3.9 4.2 4.5 4.8 5.1 5.4 5.7 6.

-0.9

-0.6

-0.3

0.

0.3

0.6

0.9

o

x

0. 2. 4. 6. 8. 10.

0.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

a

a

a

^ ^ ^ ^1 23 4

aa bb

ccdd

z

ρ

Distribución del campo E (módulo) en los bordes del condensador

Densidad superficial de carga en conductor

x

aa bb

ccdd

σeε0

bb

cc

CC22

CC11

9.00 8.50 8.00 7.50 7.00 6.50 6.00 5.50 5.004 50

4.50 4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.500.00

11Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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Sistema de dos conductores: condensador cilSistema de dos conductores: condensador cilííndricondricoSoluciSolucióón al problema del potencialn al problema del potencial

superficies conductoras ∂C1:ρ =a y ∂C2: ρ = bproblema del potencial en a < ρ < b (vacío)

simetría cilíndrica (h >> b−a)

condiciones de contorno “Dirichlet” (p. e.)

Capacidad del condensadorcarga eléctrica en ∂C1 y ∂C2

valor de la capacidad eléctrica:

∂C2 ∂C1

2 1( ) 0ddd d

ρ=ρ ρ ρ

φ⎛ ⎞∇ =⎜ ⎟⎝ ⎠

φ r ( ) lnA Bρ = ρ +φ

C20

∂=φ

1 21Q V VC −= ( ) ( )2 lnh b a0= π ε

solución en a ≤ ρ ≤ b

( )1

ln( ) lnV

a b bρ

ρ=φ

σσee11

φφ((rr)) εε00

∂C1

∂C2

b

aOσσee22

EE((rr))

n1n2

QQ22

εε00

⇒⇒ φ(r)≈φ(ρ)

2C2V

∂=φ )a= (ρ=φ

)b= (ρ=φ

( )1 2 1 lne ea b V b a0σ = − σ =ε ⇒⇒ QQ11= = −−QQ22QQ11

ZZ

hh