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MODULO 1 1- NOCIONES TRIGONOMETRICAS: 1.1 Pitágoras y relaciones trigonométricas. seno α = cateto opuesto

hipotenusa hip cateto opuesto coseno α = cateto adyacente hipotenusa tangente α = cateto opuesto cateto adyacente cateto adyacente

tang α = sen α cos α 1.2 Angulos: Para las aplicaciones eléctricas, los ángulos pueden representarse a través de distintas magnitudes. Entre ellas se encuentran el grado sexagesimal y el radian. Radian: relación entre el arco ab y su radio. b α [rad] = arco ab a radio bc c ángulo α para un giro completo se obtendrá que:

α = π · D por lo tanto α = 2π (rad) D / 2 Entonces 1 giro completo α = 360 º Por lo tanto: 2π (rad) = 360º

α

Para recordar : hip = √ (cat op 2 + cat ady 2 )

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2- Números Complejos: Imag. Forma Binómica Forma Polar b δ · Z = a + j b Z = δ | ϕ ϕ

Real

a

Pasaje de binómica a Polar = √ (a 2 + b 2 ) tg ϕ = b / a ϕ = arc tg ( b / a ) Pasaje de Polar a Binómica Cos ϕ = a / δ a = δ · cos ϕ Sen ϕ = b / δ b = δ · sen ϕ PASAJE CON CALCULADORA CIENTIFICA: De binómica a Polar POL ( a, b ) = MODULO RCL Tg = ANGULO De polar a binómica REC ( δ , ϕ ) = COMPONENTE REAL ( a ) RCL Tg = COMPONETE IMAGINARIO ( b ) OPERACIONES CON NUMEROS COMPLEJOS: Suma y resta: · Z1 = a1 + j b1 · · · Z1 +/- Z2 = ( a1 +/- a2 ) + j ( b1 +/- b2 ) Z2 = a2 + j b2

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Producto y Cociente · Z1 = δ1 | ϕ1 · · · Z1 x Z2 = δ1 x δ2 | ϕ1 + ϕ2 Z2 = δ2 |ϕ2 · · Z1 / Z2 = δ1 / δ2 | ϕ1 − ϕ2 3- Corriente alterna. Generalidades El suministro de la energía eléctrica a los distintos usuarios (industriales, comerciales, residenciales) se realiza a través de corriente alterna, ya que esta corriente es fácil de generar y de transportar a largas distancias. Esto último lo posibilita el empleo de transformadores elevadores y reductores, tal como vemos a continuación:

Generador Línea larga de transmisión G Usuarios 3 Transformador Transformador

Elevador Reductor 3.1 LEY DE INDUCCION ELECTROMAGNETICA Las tensiones alternas se obtienen por inducción en los alternadores. Según la ley de inducción electromagnética esto se produce por el movimiento de los bobinados dentro de un campo magnético o por el movimiento del campo magnético frente a los bobinados fijos. Para que exista inducción indefectiblemente debe haber una variación relativa del flujo magnético. Esta afirmación se apoya en la ley de Faraday la cuál expresa: 3.2 LEY DE FARADAY

La ley de Fraday se puede expresar a través de las siguientes ecuaciones:

f.e.m ≅ e (despreciando la caída interna en la bobina) e = -N · ∆φ / ∆t en dónde

La fuerza electromotriz inducida en una bobina es directamente proporcional al número de espiras del bobinado y a la variación del flujo a través del tiempo. Esta f.e.m se opone a la causa que la produce (debido a la inercia del flujo magnética) tal como lo indica la ley de Lenz. Debido a esto la f.e.m inducida recibe el nombre de FUERZA CONTRA ELECTROMOTRIZ.

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e Tensión inducida (v) N Nº de espiras de la bobina

∆φ Variación del flujo magnético ( Wb ) Webber

∆ t Variación de tiempo (seg) 1 voltio = 1 Webber / 1 seg ANEXO La inductancia de una bobina (L) es su parámetro característico. La unidad fundamental es el henrio (H), siendo los submúltiplos más empleados, el mili henrio (mH = 10-3 H) y el micro henrio (µH = 10-6 H) Cuando alimentamos una bobina con corriente alterna, se origina una oposición a la misma (similar a la resistencia) denominada reactancia inductiva. La reactancia de una bobina se expresa según la ecuación

XL (Ω)

XL (Ω) = 2π.f.L

f (Hz)

Como vemos, la reactancia es directamente proporcional a la frecuencia. En consecuencia si alimentamos una bobina con corriente continua (cuya f = 0), esta presentará una XL = 0. 3.3 PARAMETROS DE UNA ONDA SENOIDAL: En una onda alterna senoidal distinguimos los siguientes parámetros: • Período: tiempo que dura un ciclo (T) • Frecuencia: Nº de ciclos transcurridos en un segundo (f) • Valor instantáneo: valor que corresponde a un instante determinado (v) • Valor de pico: máximo valor instantáneo del semiperíodo (Vp o Vmax) • Valor de pico a pico: valor tomado entre los valores de pico (Vpp) • Valor medio: promedio de los valores instantáneos (Vmed) • Valor eficaz: valor particular de una corriente alterna cuya disipación de potencia equivale al de una

corriente continua (Vef)

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Tal como vemos en la figura anterior, la onda senoidal se origina a partir de la rotación de un vector (vector u). Dicho vector giratorio recibe el nombre de fasor. Por consiguiente en adelante representaremos con fasores las ondas senoidales. La velocidad de giro del fasor determina la fcia. de la senoide. Las ondas senoidales se expresan mediante la siguiente ecuación:

v = Vmax . sen (ωt) siendo ω = 2π .f En una onda senoidal se observa que:

Vmed = 0 en un semiperiodo : Vmed= 0.636 Vmax Vef = 0,707. Vmax

Ejemplo: Para una señal senoidal de 50 Hz de Frec. ( T = 20 mseg ) y 220 voltios eficaces determinar que valor instantáneo corresponde a los siguientes intstantes de tiempo. 05 ms : 10 ms : 15 ms : 20 ms : Ejemplo: 5 ms : V = 311v · sen ( 2 π · 50hz ·5x10 -3 seg ) V = 311v · sen ( 2 π · 1/4 ) V = 311v · sen π/ 2 V = 311v · 1 V = VP = 311v 3.4 . Para recordar: 1- Se denomina a la resitencia elemento pasivo, ya que toda su potencia la disipa en forma de calor,

mientras que los capacitores y bobinas intercambian energía con la línea. Por éstos motivos se los denomina elementos activos.

2- Impedancia : Es la resistencia total que oponen los elementos de un circuito eléctrico al paso de la

corriente alterna. Impedancia de una bobina = reactancia inductiva XL = 2π F L

Impedancia de un capacitor = reactancia capacitiva XC = 1 / ( 2π FC)

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4 – CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA. 4.1 Circuito RL – serie

XL uR Z i R

+ ϕ u G L uL

R Z (Ω) = √ (R2 + XL

2) ; ϕ = arctg (XL/R) u = Umax.sen (ωt)

i = u / Z i = Imax.sen(ωt-ϕ) uR = R.i uR = UR max .sen (ωt-ϕ) uL = XL.i uL = UL max .sen (ωt-ϕ+90º)

De las ecuaciones anteriores se deduce que la tensión senoidal, aplicada a este circuito, da origen a tensiones y corrientes senoidales. En un circuito RL (o inductivo) la corriente se encuentra atrasada ϕ grados respecto de la tensión, esto se debe a la inercia del flujo magnético. Vemos además que la tensión en la resistencia se encuentra en fase con la corriente mientras que la tensión en la bobina está adelantada 90º. Estas magnitudes pueden representarse según el siguiente diagrama fasorial: UL 90º-ϕ U ϕ I UR

Del diagrama fasorial deducimos que: Ut = √ (UR

2 + UL2)

4.2 Circuito RC – serie Reactancia capacitiva: El capacitor también ofrece una oposición al paso de una corriente alterna. En este caso la reactancia es inversamente proporcional a la frecuencia, tal como lo expresa la siguiente ecuación:

XC (Ω)

XC (F) = 1 / 2π.f.C

f (Hz)

En corriente continua (f = 0) la reactancia capacitiva tiende a ∞.

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A continuación analizamos el funcionamiento del circuito RC R

- ϕ

uR i R Z

+ XC u G C uC

Z (Ω) = √ (R2 + XC

2) ; ϕ = - arctg (XC/R) u = Umax.sen (ωt)

i = u / Z i = Imax.sen(ωt+ϕ) uR = R.i uR = UR max .sen (ωt+ϕ) uC = XC.i uC = UC max .sen (ωt+ϕ-90º)

De las ecuaciones anteriores se deduce que la tensión senoidal, aplicada a este circuito, da origen a tensiones y corrientes senoidales. En un circuito RC (o capacitivo) la corriente se encuentra adelantada ϕ grados respecto de la tensión, esto se debe a que inicialmente el capacitor se encuentra descargado, lo cuál da origen rápidamente a una corriente de carga. Vemos además que la tensión en la resistencia se encuentra en fase con la corriente mientras que la tensión en el capacitor está atrasada 90º. Estas magnitudes pueden representarse según el siguiente diagrama fasorial: UR I ϕ U ϕ - 90º UC Del diagrama fasorial deducimos que: U = √ (UR

2 + UC2)

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4.3 Circuito RLC – Serie

uR i R Z (Ω) = √ (R2 + (XL-XC)2

+ u G C uC

ϕ = arctg (XL-XC)/R L uL

u = Umax.sen (ωt)

i = u / Z i = Imax.sen(ωt+ϕ) uR = R.i uR = UR max .sen (ωt+ϕ) uC = XC.i uC = UC max .sen (ωt+ϕ-90º) uL = XL.I uL = UL max . sen (ωt+ϕ+90º)

De las ecuaciones anteriores se deduce que la tensión senoidal, aplicada a este circuito, da origen a tensiones y corrientes senoidales. En un circuito RLC la corriente se encuentra desfasada ϕ grados respecto de la tensión, esto se debe a la combinación de los efectos inductivo y capacitivo. Vemos además que la tensión en la resistencia se encuentra en fase con la corriente mientras que la tensión en la bobina está desfasada 180º con respecto a la del capacitor. Estas magnitudes pueden representarse en el siguiente diagrama fasorial: (supongo XL >XC) UL

UL-UC

90º-ϕ U -ϕ UC I -ϕ-90º UR Del diagrama fasorial deducimos que: U = √ UR

2 + (UL-UC)2

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5 – Ejercitación

a) Una tensión alterna de 150 Hz tiene un período de ................. (ms). b) El valor de pico de una tensión alterna, cuyo valor eficaz es de 220 v, es ................(v). c) ¿Porqué el valor medio de una onda alterna es cero? d) ¿A que equivale el valor eficaz de una onda alterna? e) Los parámetros de una bobina real son: L = 50 (mH) ; R = 5 (Ω). Determinar la corriente por

ella cuando la tensión de alimentación es: - u = 30.sen (314.t) - u = 17.sen (157.t)

f) Si la bobina anterior se alimenta con continua, ¿cuál debe ser el valor de la tensión

para que se mantenga la corriente?. g) Calcular el valor eficaz de la tensión en cada componente. Hacer el diagrama fasorial.

uR i R R = 10 (Ω)

+ L = 10 (mH) u G L uL u = 100.sen (1000.t)

h) Obtener el valor eficaz de la tensión de la tensión en cada componente. Hacer diagrama fasorial.

uR i R R = 5 (Ω)

+ C = 200 (µF) u G C uC u = 100.sen (1000.t)

i) Si el circuito anterior se alimenta con una tensión con una tensión continua de 100 (v), ¿cuánto vale la tensión en cada componente?

j) En un circuito RLC serie calcular la tensión en cada componente. Hacer

diagrama fasorial. R = 10 (Ω) L = 10 (mH) C = 150 (µF) U = 220 (v)

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MODULO 2 : Corrientes trifásicas

1 – Corriente alterna trifásica. Generalidades A diferencia de la corriente alterna monofásica, la CA trifásica se compone de tres ondas desfasadas 120º una de otra. Es por ello que el generador trifásico se compone por una parte móvil ( rotor ), donde se produce un campo magnético constante, y una parte fija ( estator ), donde se encuentran dispuestas simétricamente las 3 bobinas de fase. Esta bobinas son idénticas y ocupan c/u de ellas 1/3 de perímetro del estator., quedando por lo tanto una separación de 120º entre bobina y bobina. Funcionamiento: Cuando el rotor gira por efecto de una máquina motriz ( motor diesel, turbinas hidráulica, térmicas etc.), se produce una variación de flujo en las bobinas del estator induciéndose en ellas fem. senoidales iguales pero desfasadas 120º una de otras como se ve en la siguiente gráfica.

Modelo de un generador trifásico.

Curvas de tensión en los terminales de un generador

Formas de onda de CA trifásica. Desfas ajes

VR

VS VT

120º 120º

120º

Vr = Vmax. sen (wt ) Vs = Vmax. sen (wt – 120º) Vt = Vmax. sen (wt + 120º)

w

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2- Definiciones: • V fase: Es la tensión que existe entre un conductor de linea y el neutro. ( en baja tensión 220v ). • V linea: Es la que se obtiene entre dos conductores de linea. ( en baja tensión 380v ). • I Linea: Es la corriente que circula por los conductores de linea. • I fase: Es la corriente que circula por la carga. • I neutro: Es la corriente que circula por el conductor neutro o retorno. 3- Tensiones y corrientes simétricas: Un sistema trifásico es simétrico cuando los módulos son iguales y el desfasaje es de 120º NOTA: Un sistema trifásico es asimétrico cuando los módulos son distintos, el desfasaje no es de 120º o ambas cosas a la vez. Secuencia: Es el orden en el que se van sucediendo los fasores: Ejemplo:

Secuencia directa Secuencia indirecta. RST - RST RTS - RTS

REGIMEN EQUILIBRADO: Una carga es equilibrada ciando no existe corriente por el neutro.

VR

VS VT

120º 120º

120º

|Vr| = |Vs| = |Vt| ²

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• 3.1 Conexión estrella simétrica: ( con y sin neutro )

Ecuaciones:

ZR = ZS = ZT IR= Vro / Zr IS= Vso / Zs IT= Vto / Zt IN = IR + IS + IT = 0 VL = √3 Vf

EJEMPLO: La ausencia del neutro en caso que se cortase la fase S, ocasionaría que las tensiones varíen por lo que ahora :

En una carga simétrica, las tres corrientes se compensan mutuamente al llegar al neutro, por lo que la In = 0 ( Interruptor cerrado)

NOTA : La conexión estrella SIN NEUTRO se emplea para alimentar motores trifásicos. Como la In en el punto anterior es nula, se puede quitar el neutro. En la práctica toda conexión debe llevar neutro para independizar las fases ante una eventual falla..

VRT = 380v VZ1 = VZ2 = 190v ( si el circuito estuviese cerrado V en cada carga = 220v ) Figura:

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• 3.2 Conexión triángulo simétrico: Las intensidades de linea se dividen en los puntos terminales, de manera que deberán ser mayores que la I de fase, que son las que circulan por c/u de los ramales de la carga.

En este tipo de conexión: V fase = V linea IL = √3 I fase VRS = 380v (0º) VST = 380v (120º) VTR = 380v (-120º)

En una conexión triángulo con carga asimétrica, la corriente de linea es √3 veces más intensa que la de fase

Ist = Vst / Zst Itr = Vtr / Ztr Irs = Vrs / Zrs