H/DH/Dδδ H/DH/Dγγ H/DH/Dββ H/DH/Dαα

m rm r.C

rM

R MO.

( )MmMm rrEr

ZeMm

,422 0

2

ψπε

=Ψ−Ψ∆−Ψ∆− hh

z

xy ( ) )()(, rRgrR ψ=Ψ

( )ϕθψ ,)()( mlYrRr =

( )ϕθψψπε

ψµ

,,42 0

2

rEr

Zeer =−∆−

h( )RgEg TR =∆−µ2h

( )ikRARg −= exp)(

estacionárioestacionário

EEtranslacionaltranslacional

Átomo livreÁtomo livre

ψψt

iH∂∂

= h

II- 1. O átomo de Hidrogênio – Solução de Schrödinger

2.a O Momento angular2.a O Momento angular

• Modelo de Sommerfeld

– Hα (ν = 4,57 THz )→ ∆ν = 100 MHz– separação ∝ Z4

• n determina semi-eixo maior de órbita elíptica

– k¬ onde k ≤ n

• degenerescência quebrada pelo efeito de aumento de massa relativístico

+

−+−= )(

43

1 42

22

2

2

, αα Okn

nZ

nZ

RhcE kn

−+==

ρρπεπεZee

rZe

Vre

Vext0

int0 4

14

1a

2.b O Momento angular 2.b O Momento angular –– e a força centrale a força central

[ ] [ ] 0,, 2 == LL HH

0L =r

dtd

Das constantes de movimento:

)(2

)(2

222 rVvvrVvE r ++=+= ⊥µµ

• Constantes de movimento • Sistema de equações diferenciais

HLL

L

L

zz

y

x

,, 2

2

L

L

( )

+=

==

)(1)(

)()()()(

22 rllr

rmrLrErH

z

ψψ

ψψψψ

h

h

L

)(21

21

)(L21

22

cos12222

2 rVppprVvE rr +++=++= ϕθθµµµµ

( )ϕθψ ,)()( mlYrRr =

3.a Solução radial3.a Solução radial

( )ϕθψ ,)()( ,m

lln YrRr =

( )ϕθψψπε

ψµ

,,42 0

2

rEr

Zeer =−∆−

h

( ) ( ) ( ) ikrikre BeAerRrRErR

drd

r −+=∞→⇒−=⇒∞→hµ2

2

2Solução assintótica:

( ) ( )R

rll

RrVEdrdR

rdrd

r 222

2

1)(

21 +=−+

hµ

• E > 0 • E < 0

( )tkrierA

tr ωψ −= 0),(

( ) ( )

ikE

rbruerurR j

jj

r

=−=

=∋= ∑−

hµκ

κ

2

)(

2

2

2

22

2

2 nZ

RnZmc

En ∞−=−= α( )

)1()1(2 1

+−+−

= −

lljjZjb

b cjj

hµακ

3.b Funções radiais do H3.b Funções radiais do H

Degenerescência do níveis de energia

3.c Solução angular3.c Solução angular

( ) 21

0

12 nlgn

l

=+= ∑−

=

• Harmônicos esféricos e autovalores

s p d

s s p s p d

• Inteiros e restritos

⇒

210100210

ml

Yml

1−≤ nl

hmLZ = ( )h1+= llL

lml ≤≤−

ϕ∂∂−= hiLZ

∂∂

+

∂∂

∂∂

−= 2

2

222 111

ϕθθθθθ sensensenL h

3.d Funções angulares do H3.d Funções angulares do H

4. Orbitais

http://webphysics.davidson.edu/Applets/java11_Archive.html

http://www.uky.edu/~holler/html/orbitals__1.html

http://bouman.chem.georgetown.edu/atomorbs/28.iso3dz2.qt

http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/AOs/7g/index.html

5. Energia e momento angular5. Energia e momento angular

( ) 21

0

12 nlgn

l

=+= ∑−

=Degenerescência do níveis de energia

6.a Momento magnético do movimento orbital6.a Momento magnético do movimento orbital

•• Momento magnéticoMomento magnético

•• Torque do campo Torque do campo BB

•• Energia potencialEnergia potencial

Brrr

×= µτ Brrr

×= µτ

nIA)r=µ nIA)r=µ

BVrr

⋅−= µ BVrr

⋅−= µ

zBB )r= zBB )r=

lmenevr

rr2ˆ2

1 −=−=µ

revI π2−= 2rA π=

6.b Transições6.b Transições

••TransiçãoTransição∆∆mm=0=0,,±±11

•• magnetonmagneton de Bohrde Bohr

•• Precessão do momento angularPrecessão do momento angular

BEmBmBm

eV BB µµ =∆⇒==

2h

BEmBmBm

eV BB µµ =∆⇒==

2h

BBg

senlBsen

senlBlB

L γµ

ααµ

ατ

ω ====h

BBg

senlBsen

senlBlB

L γµ

ααµ

ατ

ω ====h

eB m

e2

h=µ

eB m

e2

h=µ

E = campo E = campo oemoemB = campo externo B = campo externo ctecte..

EE⊥⊥BB EE||||BB EE⊥⊥BB

∆∆m = +1 m = +1 ∆∆m = 0 m = 0 ∆∆m = m = --11

B = 0B = 0

6c. Efeito Zeeman6c. Efeito Zeeman

X ν

ν

νν0

E⊥

E||

B

II

IIII

IIII

II

obse

rvad

orob

serv

ador

E⊥

absorção emissão

7a. Spin e o momento magnético do e7a. Spin e o momento magnético do e-- –– experimento de experimento de S&GS&G

Ag 5s (1)

????

Bz

Bz

F zz ∂∂

=∂∂

= αµµ cos

7b. Spin e o momento magnético do e7b. Spin e o momento magnético do e-- -- hipótese de hipótese de U&GU&G

( ) 211 =∴+= ssss h

r ( ) 211 =∴+= ssss h

r

21

21 ,−=∴= ssz mms h 2

12

1 ,−=∴= ssz mms h

0023,22

=∴−=

−=

sBs

ss

gsg

sme

gr

rr

µ

µ

0023,22

=∴−=

−=

sBs

ss

gsg

sme

gr

rr

µ

µ

srsr

sµr

sµr

-e

m0

-e

m0

7c. Experimento de 7c. Experimento de EinsteinEinstein--HaasHaas

MsS

M

atom

atomrrrr

rr

γγ µ

µ11

0

===

≠=

∑∑∑

MsS

M

atom

atomrrrr

rr

γγ µ

µ11

0

===

≠=

∑∑∑

0=×==

=+=

BMLdtd

cteLSL sol

rrrr

rrr

τ 0=×==

=+=

BMLdtd

cteLSL sol

rrrr

rrr

τ

( )zsolzzzz

solsol

LzsSzsS

LSLSrrr

rrrr

−=−=⇒=

−=⇒==

ˆˆ

ou0,0

( )zsolzzzz

solsol

LzsSzsS

LSLSrrr

rrrr

−=−=⇒=

−=⇒==

ˆˆ

ou0,0ls

Z

Zs

sSM

γγµ

22

≈==∆∆

lsZ

Zs

sSM

γγµ

22

≈==∆∆

ϕτ fiocil

rot mRN

IL

E === 2

222

2h

ϕτ fiocil

rot mRN

IL

E === 2

222

2h

ii

ϕ

pêndulo de pêndulo de torsãotorsão

7d. Acoplamento spin7d. Acoplamento spin--órbitaórbita

lBr

lBr

sµr

sµr

srsrl

rlr

lBBrr

=int lBBrr

=int

( )EvBBrrrr

×−≅' ( )EvBBrrrr

×−≅'

( ) lrm

Zerv

rZe

Bl

rrrr3

03

0

44 πµ

πµ

=−×= ( ) lrm

Zerv

rZe

Bl

rrrr3

03

0

44 πµ

πµ

=−×=

'' BV sls

rr⋅−= µ '' BV sls

rr⋅−= µ

Calculado assim, ASO é 2x o observado!Calculado assim, ASO é 2x o observado!

( )EvV sls

rrr×⋅= µ' ( )EvV sls

rrr×⋅= µ'

rr

rrV

Eerrr

∂∂

=∇=)(

φrr

rrV

Eerrr

∂∂

=∇=)(

φ ( )rrV

mrrvm

s

Smce

Vls ∂∂

×⋅

−=

)(12

'rr

43421 r

r

µ

( )rrV

mrrvm

s

Smce

Vls ∂∂

×⋅

−=

)(12

'rr

43421 r

r

µ

ouou

Z=1, r3 ~ r03 ⇒ |Bint| ≅ 1 tesla !!!

[[lablab]]

[e[e--]]

7e. Acoplamento spin-órbita

lBr

lBr

sµr

sµr

srsrl

rlr

'Bdtsd

rep

rrr

×=

µ 'B

dtsd

rep

rrr

×=

µ s

dtsd

dtsd

Treprotñ

rrr

×+

=

−

ω sdtsd

dtsd

Treprotñ

rrr

×+

=

−

ω

lsr

Vrmc

gsVV CoulBs

Tlsls

rrrr⋅

∂∂

−=×+= 1

21

' 2

µω lsr

Vrmc

gsVV CoulBs

Tlsls

rrrr⋅

∂∂

−=×+= 1

21

' 2

µω

rV

rmcvr

cva

tCoul

tT ∂∂×

−≅×

=∆Ω

−= +→

1lim 22

1210

2rrr

γγ

δ δω

TsVV ωrr

×+= ' TsVV ωrr

×+= '

ßß

ßßß

ßßvßv

δ

δγδγ

δδ

γγ ×=∆Ω

+=∆

+=+→=

+

⊥

1

||2

2

)()()( cttct

7f. Acoplamento spin7f. Acoplamento spin--órbitaórbita

sljrrr

+= sljrrr

+=

lrlr

srsrjr

[ ]22221 sljsl

rrrrr−−=⋅ [ ]222

21 sljsl

rrrrr−−=⋅

lBr

lBr

sµr

sµr

srsrl

rlr

( ) ( ) ( )[ ]1112, +−+−+= sslljja

V sl ( ) ( ) ( )[ ]1112, +−+−+= sslljja

V sl

( )hr1+= jjj ( )hr1+= jjj

30

4 mrZe

ga BsH πµ

µ= 30

4 mrZe

ga BsH πµ

µ=

2)( 2)(

lsr

Vrmc

gV CoulBs

ls

rr⋅

∂∂

−

=1

21

2

µ lsr

Vrmc

gV CoulBs

ls

rr⋅

∂∂

−

=1

21

2

µ

7f. Acoplamento spin7f. Acoplamento spin--órbitaórbita

( ) ( ) ( )[ ]1112, +−+−+= sslljja

V sl ( ) ( ) ( )[ ]1112, +−+−+= sslljja

V sl

→= 30

4 mrZe

ga Bs πµ

µ →= 30

4 mrZe

ga Bs πµ

µ

))(1( 21

22

++⋅=

lllnZ

Ea nα

∫= dvrm

Zega Bs ψψ

πµ

µ 3*0 1

4 ∫= dvrm

Zega Bs ψψ

πµ

µ 3*0 1

4

8a. Efeito Zeeman Anômalo8a. Efeito Zeeman Anômalo

jj

rv //µ

sljrrr

+= sljrrr

+= sljrrr

vrrµµµ += slj

rrrvrrµµµ +=

lrlr

srsrjrjr

( )sgl sBjrrv +−= µµ ( )sgl sBjrrv +−= µµ

jµr

jµr

sµr

sµr

lµr

lµr

[ ]jsgjljj

js

Bj

jj

rrrr

hrr

rvv

r ⋅+⋅−=⋅

=µµ

µ [ ]jsgjljj

js

Bj

jj

rrrr

hrr

rvv

r ⋅+⋅−=⋅

=µµ

µ

ljsrrr

−= ljsrrr

−= sjlrrr

−= sjlrrr

−=

[ ]22221 sljjl

rrrrr−+=⋅ [ ]222

21 sljjl

rrrrr−+=⋅ [ ]222

21 lsjjs

rrrrr−+=⋅ [ ]222

21 lsjjs

rrrrr−+=⋅

( )2 ( )2

8b. Efeito Zeeman Anormal8b. Efeito Zeeman Anormal

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 111111

121 +−+++++−+++

+= llssjjgsslljj

jj sB

jj

µµ rv

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 111111

121 +−+++++−+++

+= llssjjgsslljj

jj sB

jj

µµ rv

Utilizando o fato que Utilizando o fato que ggss~2~2 , temos:, temos:

( ) ( ) ( ) ( )( )12

11111

++−+++

+=∴+=jj

llssjjgjjg JBJjj µµ r

v ( ) ( ) ( ) ( )( )12

11111

++−+++

+=∴+=jj

llssjjgjjg JBJjj µµ r

v

Denominando, por sua vez, Denominando, por sua vez, ggJJ o fator de o fator de LandéLandé

jgj Bjjj

rrh

rµγµ −== jgj Bjjj

rrh

rµγµ −==

9. Estrutura Hiper9. Estrutura Hiper--Fina Fina –– spin nuclearspin nuclear

BB µµµ1836

12

===p

e

pN m

mme

h BB µµµ1836

12

===p

e

pN m

mme

h

hIZ mI = hIZ mI =( )hr

1+= III ( )hr

1+= IIIjB

rjB

r

IrIr

IgI NINI

r

h

rv µγµ == IgI N

INI

r

h

rv µγµ ==

Iµr

Iµr

jrjr

FrFr

IrIr

IjA

BV lIjI

rr

h

rr

⋅=

⋅−= µ,

IjA

BV lIjI

rr

h

rr

⋅=

⋅−= µ,

[ ]22221 IjFIj

rrrrr−−=⋅ [ ]222

21 IjFIj

rrrrr−−=⋅

jBBrr

=int jBBrr

=int

9b. Estrutura Hiper9b. Estrutura Hiper--Fina Fina –– spin nuclearspin nuclear

( ) ( )

NzII

lnBsj

g

IgB

µµ

ψµµ

79,258,5

210

32

02

,0

±=⇒=

=∴=r

( ) ( )

NzII

lnBsj

g

IgB

µµ

ψµµ

79,258,5

210

32

02

,0

±=⇒=

=∴=r

( ) ( ) ( )[ ] ∴+−+−+−= 1112, IIjjFFA

V jI ( ) ( ) ( )[ ] ∴+−+−+−= 1112, IIjjFFA

V jI)1( +

=jj

BgA jNI µ

)1( +=

jj

BgA jNI µ

•• Além de depender do momento angular total, Além de depender do momento angular total, jj, o valor do campo, , o valor do campo, que é calculado para a posição que é calculado para a posição r=0r=0 , depende da densidade de , depende da densidade de probabilidade de encontrar o elétron nesta região espacialprobabilidade de encontrar o elétron nesta região espacial

•• No caso do átomo de Hidrogênio temos:No caso do átomo de Hidrogênio temos:

=⇒==10

21,0 FIj

=⇒==10

21,0 FIj

−== 23

20,, 21

21

AV F

−== 23

20,, 21

21

AV F

+== 21

21,, 21

21

AV F

+== 21

21,, 21

21

AV F

λF=0←F=1(12S1/2) = 21cm ? 1.43 GHz

10. Correção relativística dos termos de energia10. Correção relativística dos termos de energia

+

−=∇==∆ ∫2

1

224*

23

4

23

4 143

881

lnnZ

Edvcmcm

pE nR

αψψ

h

+

−=∇==∆ ∫2

1

224*

23

4

23

4 143

881

lnnZ

Edvcmcm

pE nR

αψψ

h

L+

−+=+

2

22

2

22

2

22

2

81

211

cmp

cmp

cmp L+

−+=+

2

22

2

22

2

22

2

81

211

cmp

cmp

cmp

REEcm

pVm

pE ∆−=+−

+= L23

42

81

2 REEcm

pVm

pE ∆−=+−

+= L23

42

81

2

VmcpcmcEVmpE +−+=⇒+= 2222

2

2 VmcpcmcEVmpE +−+=⇒+= 2222

2

2

∇−→ hip ∇−→ hip

•• Ao invés de utiliza a relação nãoAo invés de utiliza a relação não--relativística entre energia e relativística entre energia e momento, seguimos introduzindo a expressão relativística:momento, seguimos introduzindo a expressão relativística:

•• Aproximando este termo através da expansão em série:Aproximando este termo através da expansão em série:

•• O valor esperado desta correção de energia é:O valor esperado desta correção de energia é:

11. Desvio 11. Desvio LambLamb ((shiftshift))

•• O problema de um átomo isolado não pode O problema de um átomo isolado não pode ser resolvido sem que este interaja com o ser resolvido sem que este interaja com o campo de radiação eletromagnética.campo de radiação eletromagnética.

•• A interação virtual ocorre mesmo na ausência A interação virtual ocorre mesmo na ausência de fontes.de fontes.

•• Dentro de um intervalo Dentro de um intervalo ∆∆tt < < ¬¬//∆∆E = E = 1/1/ωω, um , um

fóton de energia fóton de energia ¬¬ωω é emitido e novamente é emitido e novamente

reabsorvido sem violar a relação da incerteza.reabsorvido sem violar a relação da incerteza.

rrZe

E pot δπε +−=

14 0

2

rrZe

E pot δπε +−=

14 0

2

0=rδ 0=rδrrr11 ≠

+ δ rrr11 ≠

+ δ

r δrr δr e-e-

Resumo do Resumo do diagrama de termosdiagrama de termos

Efeito nuclearEfeito nuclearCorreção Correção radiativa QEDradiativa QED

Acoplam. l.s + Acoplam. l.s + acréscimo de acréscimo de massamassa

equação de equação de SchrödingerSchrödingersem spinsem spin

Estrutura Estrutura hiperfinahiperfina

LambLamb--shiftshiftEstrutura fina Estrutura fina (Dirac)(Dirac)

Níveis de Níveis de energia de energia de BohrBohr

=

ESCALA DE ENERGIA

X 100

0 1 2 3

40

20

0

raio

Pot

enci

al e

fetiv

o15

50−

V r( )

V l r 1,( )

V r( ) V l r 1,( )+

V l r 2,( )

V r( ) V l r 2,( )+

30 r