JURUSAN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

2011

MATRIKS KEKAKUAN ELEMEN….

Sumbu X-Y adalah koordinat global strukturSumbu x-y adalah koordinat lokal struktur

Setiap elemen mempunyai 2 nodal ujung (i dan j).Pusat sumbu lokal elemenadalah nodal i dan ah positif sumbu x lokal selalu dibuat dari nodal i ke j.Sumbu global dan sumbu lokal dipisahkan oleh sudut α. Sudut ini diukurdari sudut X ke sudut x dengan poros sumbu z positif.

x-y = sistem koordinat lokal (elemen)ui = perpindahan aksial titik nodal ivi = perpindahan tegak lurus sumbu

batang pada nodal ifi = gaya aksial pada titik nodal igi = perpindahan tegak lurus sumbu

batang pada nodal i

jjiij

jjiij

jjiii

jjiii

vuvug

vuL

AEvu

L

AEf

vuvug

vuL

AEvu

L

AEf

.0.0.0.0

.0.0

.0.0.0.0

.0.0

Dalam bentuk matriks:

0000

0101

0000

0101

0000

00

0000

00

)(

L

AEk

v

u

v

u

L

AE

L

AE

L

AE

L

AE

g

f

g

f

e

j

j

i

i

j

j

i

i

TRANSFORMASI KOORDINAT(2 derajat kebebasan kinematis)

Apabila nodal i mengalami perpindahan ke i’ dalam bidang x-y,

maka vektor perpindahan (yg menghubungkan i ke i’) dapat

diuraikan menjadi komponen dalam arah sumbu x-y lokal yg diberi

notasi ui dan vi. Vektor perpindahan juga dapat diuraikan dalam

arah X-Y global yang diberi notasi Ui dan Vi.

CosVSinUv

SinVCosUu

CosVSinUv

SinVCosUu

jjj

jjj

iii

iii

Dalam bentuk matriks:

j

j

i

i

V

U

V

U

00

00

00

00

CosSin

SinCos

CosSin

SinCos

v

u

v

u

j

j

i

i

Vektor perpindahanpada koordinat lokal

Matrikstransformasi

Vektor perpindahanpada koordinat global

)()()( eee UTu

Untuk vektor gaya, juga berlaku hubungan transformasi yang sama:

j

j

i

i

G

F

G

F

00

00

00

00

CosSin

SinCos

CosSin

SinCos

g

f

g

f

j

j

i

i

Vektor gaya padakoordinat lokal

Matrikstransformasi

Vektor gaya padakoordinat global

)()()( eee FTf

)()()()( eeTee

g TkTK

Matriks kekakuan elemen dalam koordinat global:

Contoh Soal….

Struktur Rangka Batang Bidang

E = 2100 t/cm2

A = 35 cm2

Tentukan :

a. Matriks kekakuan global

b. Perpindahan di node 2

c. Reaksi pada tumpuan (node 1 dan 3)

d. Gaya-gaya setiap batang

a). Penentuan Matriks Kekakuan Global

Matriks Kekakuan Batang 1 (node 1 – 2)

1313

3333

1313

3333

800..

30

232100

212300

002321

002123

0000

0101

0000

0101

200

0000

0101

0000

0101

)1(1)1(1

0)1(

1

EATkTk

T

AE

L

AEk

l

T

g

l

Matriks Kekakuan Batang 2 (node 2 – 3)

1313

3333

1313

3333

800..

330

232100

212300

002321

002123

0000

0101

0000

0101

200

0000

0101

0000

0101

)2(2)2(2

0)2(

2

EATkTk

T

AE

L

AEk

l

T

g

l

Matriks Kekakuan Batang 3 (node 1 – 3)

0000

0101

0000

0101

3200..

0

1000

0100

0010

0001

0000

0101

0000

0101

3200

0000

0101

0000

0101

)3(3)3(3

0)3(

3

EATkTk

T

AE

L

AEk

l

T

g

l

Matriks Kekakuan Struktur

0

0

0

.

131300

334333034

13113313

33333333

001313

034333343

800

0

0

5

.

131300

334333034

13113313

33333333

001313

034333343

800

3

2

2

3

1

1

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

U

V

UEA

G

G

F

V

U

V

U

V

U

EA

G

F

G

F

G

F

sendi

#

rol

# beban

# Penyusunan Kembali

0

0

0.

100313

013013

033433433

303434333

113320

333306

800

0

0

5

3

2

2

3

1

1

U

V

U

EA

G

G

F

cm

cm

cm

x

x

x

U

V

U

U

V

UEA

2

2

2

3

2

2

3

2

2

10178.1

10020.1

10496.1

.

34333

320

306

8000

0

5

b). Perpindahan di node 2

t

t

t

G

G

F

x

x

xEA

G

G

F

443.1

443.1

000.5

10178.1

10020.1

10496.1

.

313

013

3433

800

3

1

1

2

2

2

3

1

1

c). Reaksi pada Tumpuan ( node 1 & 3)

d). Gaya-gaya Batang

UkTf

FTf

ge

e

..

0

887.2

0

887.2

10020.1

10496.1

0

0

.

1313

3333

1313

3333

800.

232100

212300

002321

002123

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

g

f

g

f

x

x

EA

g

f

g

f

Elemen 1 (node 1 – 2)

2,887 t-2,887 t Beam 1 (tarik)

0

887.2

0

887.2

0

0

10020.1

10496.1

.

1313

3333

1313

3333

800.

232100

212300

002321

0021232

2

3

3

2

2

x

x

EA

g

f

g

f

Elemen 2 (node 2 – 3)

Elemen 3 (node 2 – 3)

0

5.2

0

5.2

0

10178,1

0

0

.

0000

0101

0000

0101

3200.

1000

0100

0010

0001

2

3

3

1

1

EA

g

f

g

f

- 2,887 t2,887 t Beam 2 (tekan)

2,50 t2,50 t Beam 3 (tarik)

Hasil Akhir

Main menu