Fraktale zrób to sam -...

Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu

Fraktale – zrób to sam

Jędrzej Garnek

θβ`ιcZe 2014,Poznań 9-11 maja 2014 r.

Definicja (nieformalna)

Fraktal – zbiór o skomplikowanej strukturze, który można

podzielić na mniejsze kawałki, podobne do całości (jest

samopodobny).

Uwagi:

(1) brak jednoznacznej definicji,

(2) „skomplikowana struktura”: jego wymiar Hausdorffa jest

większy niż jego wymiar topologiczny,

samopodobny).

Uwagi:

samopodobny).

Uwagi:

Przykłady

Trójkąt Sierpińskiego

Przykłady

Dywan Sierpińskiego

Przykłady

Śnieżynka Kocha

Przykłady

Paproć Barnsley’a

Przykłady

Zbiór Mandelbrota

Przykłady

Zbiór Julii

PROBLEMY

PROBLEMY:

(1) jak generować fraktale ?

(2) jak „przechowywać” fraktale w pamięci np.

komputera?

(3) czy można wygenerować fraktal podobny do z

góry zadanej figury?

PROBLEMY

PROBLEMY:(1) jak generować fraktale ?

komputera?

PROBLEMY

komputera?

PROBLEMY

komputera?

Trójkąt Sierpińskiego i jego własności

T =⋂∞n=1 Tn

jest złożony z trzech swoich kopii, jednokładnych do niego

w skali 1/2.

T =⋂∞n=1 Tn

jest złożony z trzech swoich kopii, jednokładnych do niego

w skali 1/2.

jeżeli punkt P ma współrzędne barycentryczne:

(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to

P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1

ma nieprzeliczalnie wiele elementów,

ma miarę Lebesgue’a w R2 równą 0.

(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to

P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1

(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to

P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1

(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to

P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1

(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to

P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f1(x , y) = (x/2, y/2) –

jednokładność o środku w A i skali 12 ,

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f2(x , y) = ((x + 1)/2, y/2) –

jednokładność o środku w B i skali 12 ,

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f3(x , y) = (2x+14 , 2y+

4 ) –

jednokładność o środku w C i skali 12 ,

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ f3(A) dla A ⊂ R2

f1(T ) ∪ f2(T ) ∪ f3(T ) = F (T )

T = f1(T ) ∪ f2(T ) ∪ f3(T ) = F (T )

Twierdzenie Banacha o kontrakcji

Definicja

Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną. Funkcję

f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:

∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)

Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną zupełną, zaś f –

kontrakcją o skali c < 1. Wtedy:

f ma dokładnie jeden punkt stały x0 ∈ X (tzn. taki

punkt, że f (x0) = x0),

dla dowolnego x ∈ X ciąg iteracji:

x , f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), . . . dąży do x0.

Definicja

∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)

Definicja

∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)

Definicja

∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)

Definicja

ε – otoczenie zbioru A ⊂ Rn:K (A, ε) := {z ∈ Rn : ‖z − a‖ ¬ ε}

Definicja

Nasza przestrzeń metryczna:

{A ⊂ Rn : A – niepusty, domknięty i ograniczony

„Odległość” między zbiorami – metryka Hausdorffa:

dH(A,B) = inf{ε : A ⊂ K (B , ε) oraz B ⊂ K (A, ε)}

(Równoważnie:

dH(A,B) ¬ ε ⇔ A ⊂ K (B , ε) oraz B ⊂ K (A, ε))

Nasza przestrzeń metryczna:

{A ⊂ Rn : A – niepusty, domknięty i ograniczony

„Odległość” między zbiorami – metryka Hausdorffa:

dH(A,B) = inf{ε : A ⊂ K (B , ε) oraz B ⊂ K (A, ε)}

(Równoważnie:

dH(A,B) ¬ ε ⇔ A ⊂ K (B , ε) oraz B ⊂ K (A, ε))

TwierdzeniePrzestrzeń metryczna (X (Rn), dH) jest zupełna.

Dowód.Niech (Ai)i ⊂ X (Rn) będzie ciągiem Cauchy’ego w metryce

Hausdorffa. Aby pokazać, że ma on granicę, wystarczy

pokazać, że pewien jego podciąg ma granicę.

Wybierzmy taki podciąg (Bn)n = (Ain)n ciągu (Ai)i , że

dH(Bn,Bn+1) < 2−n i zdefiniujmy:

H := {x ∈ Rn : x jest granicą pewnego ciągu xn ∈ Bn,

spełniającego ‖xn − xn+1‖ < 2−n}

oraz G = H . Pokażemy, że G ∈ X (Rn) oraz limn→∞ Bn = G .

Krok I: zbiór H jest niepusty:

Skostruujemy ciąg (xn) zbieżny do elementu z H

indukcyjnie – wybierzmy dowolne x1 ∈ B1. Zauważmy, że

dH(Bn,Bn+1) < 2−n, więc Bn ⊂ K (Bn+1, 2−n) – mając

więc wybrane xn ∈ Bn, możemy wybrać xn+1 ∈ Bn+1 takie,

że ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n. Ciąg (xn) jest ciągiem Cauchy’ego:

‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+

+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)

Krok I: zbiór H jest niepusty:

Skostruujemy ciąg (xn) zbieżny do elementu z H

‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+

+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)

Krok I: zbiór H jest niepusty:Skostruujemy ciąg (xn) zbieżny do elementu z H

indukcyjnie – wybierzmy dowolne x1 ∈ B1.

Zauważmy, że

‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+

+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)

że ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n.

Ciąg (xn) jest ciągiem Cauchy’ego:

‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+

+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)

‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+

+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)

jest więc zbieżny do pewnego elementu x ∈ H . Stąd H 6= ∅.

Krok II: zbiór H jest ograniczony.jeżeli x ∈ H , x = lim xn, ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n, to

‖x1 − xn‖ ¬ 1, więc ‖x1 − x‖ ¬ 1 – stąd H ⊂ K (B1, 1).

Krok I + Krok II

⇒ zbiór G = H jest niepusty i ograniczony (bo taki

jest zbiór H)

⇒ G ∈ X (Rn)

Krok I + Krok II

jest zbiór H)

⇒ G ∈ X (Rn)

Krok I + Krok II

jest zbiór H)

⇒ G ∈ X (Rn)

Krok I + Krok II⇒ zbiór G = H jest niepusty i ograniczony (bo taki

jest zbiór H)

⇒ G ∈ X (Rn)

Krok I + Krok II⇒ zbiór G = H jest niepusty i ograniczony (bo taki

jest zbiór H)

⇒ G ∈ X (Rn)

Krok III: G jest granicą ciągu (Bn)n:

Niech ε > 0. Wybierzmy N takie, że ε > 2−N . Pokażemy,że dla n > N jest dH(G ,Bn) < ε, czyli:

(1) G ⊂ K (Bn, ε),(2) Bn ⊂ K (G , ε),

ad. (1): jeżeli x ∈ H, x = limn→∞ xn, to‖xn − xm‖ < 2−n+1, więc ‖xn − x‖ < 2−n+1 < ε orazH ⊂ K (Bn, ε), a stąd G ⊂ K (Bn, ε).

Krok III: G jest granicą ciągu (Bn)n:

Niech ε > 0. Wybierzmy N takie, że ε > 2−N . Pokażemy,że dla n > N jest dH(G ,Bn) < ε, czyli:

(1) G ⊂ K (Bn, ε),(2) Bn ⊂ K (G , ε),

Krok III: G jest granicą ciągu (Bn)n:Niech ε > 0. Wybierzmy N takie, że ε > 2−N . Pokażemy,że dla n > N jest dH(G ,Bn) < ε, czyli:

(1) G ⊂ K (Bn, ε),

(2) Bn ⊂ K (G , ε),

Krok III: G jest granicą ciągu (Bn)n:Niech ε > 0. Wybierzmy N takie, że ε > 2−N . Pokażemy,że dla n > N jest dH(G ,Bn) < ε, czyli:

(1) G ⊂ K (Bn, ε),(2) Bn ⊂ K (G , ε),

ad. (2): dla dowolnego y ∈ An można tak wybrać ciąg

xm ∈ Bm spełniający ‖xm − xm+1‖ ¬ 2−m, że xn = y .

Niech x = limm→∞ xm ∈ H . Wtedy

‖y − x‖ = ‖xm − x‖ = limm→∞

‖xm − xn‖(∗)¬ 2−n+1 < ε

więc y ∈ K (G , ε) – stąd Bn ⊂ K (G , ε).

Stąd G = limn→∞ Bn ∈ X (Rn).

Twierdzenie Hutchinsona–Barnsley’a

Jeżeli f1, . . . , fk : Rn → Rn są kontrakcjami o skali c < 1, to

F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn) jest

również kontrakcją o skali c .

Dowód.Niech A,B ∈ X (Rn), d := dH(A,B).Wykażemy najpierw, że fi(A) ⊂ K (fi(B), cd).

Istotnie, jeżeli x ∈ A, to istnieje y ∈ B takie, że ‖x − y‖ ¬ d .

Wtedy ‖fi(x)− fi(y)‖ ¬ c‖x − y‖ ¬ cd , więc

fi(x) ∈ K (fi(B), cd), co daje inkluzję.

Dowód.Niech A,B ∈ X (Rn), d := dH(A,B).Wykażemy najpierw, że fi(A) ⊂ K (fi(B), cd).

Istotnie, jeżeli x ∈ A, to istnieje y ∈ B takie, że ‖x − y‖ ¬ d .

Dowód.Niech A,B ∈ X (Rn), d := dH(A,B).Wykażemy najpierw, że fi(A) ⊂ K (fi(B), cd).Istotnie, jeżeli x ∈ A, to istnieje y ∈ B takie, że ‖x − y‖ ¬ d .

Stąd:

F (A) =k⋃i=1

fi(A) ⊂k⋃i=1

K (fi(B), cd)

= K (k⋃i=1

fi(B), cd) = K (F (B), cd)

i analogicznie F (B) ⊂ K (F (A), cd).To oznacza, że dH(F (A),F (B)) ¬ c · d = c · dH(A,B), więc F

jest kontrakcją o skali c .

Stąd:

F (A) =k⋃i=1

fi(A) ⊂k⋃i=1

K (fi(B), cd)

= K (k⋃i=1

fi(B), cd) = K (F (B), cd)

Stąd:

F (A) =k⋃i=1

fi(A) ⊂k⋃i=1

K (fi(B), cd)

= K (k⋃i=1

fi(B), cd) = K (F (B), cd)

i analogicznie F (B) ⊂ K (F (A), cd).

To oznacza, że dH(F (A),F (B)) ¬ c · d = c · dH(A,B), więc F

Stąd:

F (A) =k⋃i=1

fi(A) ⊂k⋃i=1

K (fi(B), cd)

= K (k⋃i=1

fi(B), cd) = K (F (B), cd)

WniosekJeżeli f1, . . . , fk : Rn → Rn są kontrakcjami o skali c < 1, to

odwzorowanie

F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn)

ma dokładnie jeden punkt stały Y ∈ X (Rn)

(tzw. atraktor –

jest to nasz fraktal) oraz dla dowolnego zbioru A ciąg

A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .

Dowód.

Zupełność X (Rn) +

Twierdzenie Hutchinsona–Barnleya +

Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.

odwzorowanie

ma dokładnie jeden punkt stały Y ∈ X (Rn) (tzw. atraktor –jest to nasz fraktal)

oraz dla dowolnego zbioru A ciąg

A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .

Dowód.

odwzorowanie

ma dokładnie jeden punkt stały Y ∈ X (Rn) (tzw. atraktor –jest to nasz fraktal) oraz dla dowolnego zbioru A ciąg

A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .

Dowód.

odwzorowanie

A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .

Dowód.

odwzorowanie

A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .

Dowód.Zupełność X (Rn) +

odwzorowanie

A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .

odwzorowanie

A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .

Uwagi:

(1) twierdzenie Hutchinsona-Barnleya jest prawdziwe dla

dowolnej przestrzenii zupełnej X – wtedy definiujemy:

X (X ) := {A ⊂ X : A – zwarty}

– pokazuje się, że (X , dH) jest zupełne.

(2) twierdzenie to oznacza, że „proste” fraktale (złożone ze

skończonej liczby swoich kopii) możemy utożsamiać z

układem kontrakcji fi : Rn → Rn.

Uwagi:

X (X ) := {A ⊂ X : A – zwarty}

Uwagi:

X (X ) := {A ⊂ X : A – zwarty}

Twierdzenie o kolażuNiech f1, . . . , fk : Rn → Rn będą kontrakcjami o skali c < 1,

zaś F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn).Niech A0 będzie punktem stałym F . Wtedy dla dowolnego

A ∈ X (Rn) mamy:

dH(A,A0) ¬1

1− cdH(A,F (A))

Intuicyjnie: jeżeli F (A) ≈ A, to A ≈ A0.

Twierdzenie o kolażuNiech f1, . . . , fk : Rn → Rn będą kontrakcjami o skali c < 1,

zaś F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn).Niech A0 będzie punktem stałym F . Wtedy dla dowolnego

A ∈ X (Rn) mamy:

dH(A,A0) ¬1

1− cdH(A,F (A))

Intuicyjnie: jeżeli F (A) ≈ A, to A ≈ A0.

Dowód.

dH(A,A0) = dH(A, limn→∞F (n)(A)) = lim

n→∞dH(A,F (n)(A))

¬ limn→∞

n∑i=1

dH(F (i−1)(A),F (i)(A)) ¬ limn→∞

n∑i=1

c idH(A, f (A)) =

= (1 + c + c2 + . . .) dH(A, f (A)) = (1− c)−1dH(A, f (A))

Dowód.

¬ limn→∞

n∑i=1

dH(F (i−1)(A),F (i)(A)) ¬ limn→∞

n∑i=1

c idH(A, f (A)) =

= (1 + c + c2 + . . .) dH(A, f (A)) = (1− c)−1dH(A, f (A))

Dowód.

¬ limn→∞

n∑i=1

dH(F (i−1)(A),F (i)(A)) ¬ limn→∞

n∑i=1

c idH(A, f (A)) =

= (1 + c + c2 + . . .) dH(A, f (A)) = (1− c)−1dH(A, f (A))

Fraktale zrób to sam -...

Documents

Transcript of Fraktale zrób to sam -...

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑinfo.teiste.gr/wp-content/uploads/2017/05...2. α.Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές για εργαστήρια β.Τεμάχια

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Πάτρα 08/05/2018 ΓΕΝΙΚΗ …hania.news/wp-content/uploads/2018/05/diak_dim_patras_17052018.pdf · ΑΜΟΛΥΒΔΗ opel tigra w0l000075t4132459

Nejvýznamnější biomolekuly Struktura biomakromolekulfch.upol.cz/skripta/sam/biomakromolekuly.pdf · 1 Struktura biomakromolekul Nejvýznamnější biomolekuly zproteiny znukleové

Η αγορά τοποθετείται › wp-content › uploads › 2018 › 05 › April...ΕΓΣΣΕ: Εθνική Γενική Συλλογική Σύμβαση Εργασίας

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣdide.flo.sch.gr/site/wp-content/uploads/2013/05/DIDEFlorinas... · Διεύθυνση ΔΕ Φλώρινας - Τελευταία επεξεργασία

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑjournal-ene.gr/wp-content/uploads/2017/05/metrisi... · 2017-05-04 · ΤΟΜΟΣ 10-ΤΕΥΧΟΣ 1 [15] ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ παρεχόµενης

ΕΠΕΑΕΚ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΤΟΥΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ …diagorasdr.gr/wp-content/uploads/2017/05/Oργάνωση-Ακαδημιών.pdfΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ • Gattenoy

Jedva Ëekam da vam ispripovijedam kako sam na …...Dragi mali putnici! Jedva Ëekam da vam ispripovijedam kako sam na putu do πkole upoznao novog prijatelja. Zajedno smo Ëak putovali

thessalonikibookfair.grthessalonikibookfair.gr/wp-content/uploads/2018/05/... · 4 5 ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΑΊΘΟΥΣΑ «ΑΡΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ» ΠΕΡΊΠΤΕΡΟ

Ευµάρεια της οικογένειαςjournal-ene.gr/wp-content/uploads/2016/05/eumareia_tis... · 2016-05-29 · στατικών ή τις γενικότερες διατροφικές

Αγγελίνα Γκόλια α1 Ι Θ Α Κ Η - sch.grgym-mous-trikal.tri.sch.gr/wp/wp-content/uploads/2017/05/... · 2017. 5. 16. · Αγγελίνα Γκόλια α1 Μουσικό

ΕΙΔΙΚΟ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥusers.sch.gr › ... › wp-content › uploads › 2016 › 05 › eeek.pdf · 17 Νοέμβρη

Moduli spaces and tropical geometry Lectures by Sam Payne

ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 05 - 07 Ιουν 2015 ΣΥΜΜΕΤΟΧΕΣ ανά ΑΓΩΝΙΣΜΑsportsfeed.gr/wp-content/uploads/2015/06/symagoni.pdf · 05 - 07 Ιουν 2015 ΣΥΜΜΕΤΟΧΕΣ

ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗΣslr.com.cy/wp-content/uploads/2014/05/SLR... · λειτουργία της επιχείρησης 24 Εκσυγχρονισμός,

Παρουσίαση του PowerPointusers.sch.gr/achrono/wordpress/wp-content/uploads/2019/... · 2019-05-05 · o παππο `ς είχε γεράσει πολ `. α π _δια

Μηνιαία Ειδησεογραφική, Πολιτιστική ...zostonpirea.gr/wp/wp-content/uploads/2020/05/April-20.pdf · 2020-05-05 · Το ταξίδι απ ) την

261 ΕΦΗΜΕΡΙ∆Α ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ › wp-content › uploads › 2020 › 05 › ΑΣΕΠ... · 2020-05-20 · 262 ΕΦΗΜΕΡΙ∆Α tΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ASSOCIATED NAVAL ARCHITECTS, INC. 3400 ...sarvabioremed.com/wp-content/uploads/2017/06/ANA_Report...3400 SHIPWRIGHT STREET PORTSMOUTH, VIRGINIA MTL Project # 05-1681/05-6695 DEQ PC#

σφʑγμός - prorata.grprorata.gr/wp-content/uploads/2018/05/Σφυγμός-Απριλίου.pdf · ΕΝΩΣΗ ΚΕΝΤΡΩΩΝ 5,50 *μικρήαριθμηική βάση Όσοι