Fraktale zrób to sam -...

Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu

Fraktale – zrób to sam

Jędrzej Garnek

θβ`ιcZe 2014,Poznań 9-11 maja 2014 r.

Definicja (nieformalna)

Fraktal – zbiór o skomplikowanej strukturze, który można

podzielić na mniejsze kawałki, podobne do całości (jest

samopodobny).

Uwagi:

(1) brak jednoznacznej definicji,

(2) „skomplikowana struktura”: jego wymiar Hausdorffa jest

większy niż jego wymiar topologiczny,

samopodobny).

Uwagi:

samopodobny).

Uwagi:

Przykłady

Trójkąt Sierpińskiego

Przykłady

Dywan Sierpińskiego

Przykłady

Śnieżynka Kocha

Przykłady

Paproć Barnsley’a

Przykłady

Zbiór Mandelbrota

Przykłady

Zbiór Julii

PROBLEMY

PROBLEMY:

(1) jak generować fraktale ?

(2) jak „przechowywać” fraktale w pamięci np.

komputera?

(3) czy można wygenerować fraktal podobny do z

góry zadanej figury?

PROBLEMY

PROBLEMY:(1) jak generować fraktale ?

komputera?

PROBLEMY

komputera?

PROBLEMY

komputera?

Trójkąt Sierpińskiego i jego własności

T =⋂∞n=1 Tn

jest złożony z trzech swoich kopii, jednokładnych do niego

w skali 1/2.

T =⋂∞n=1 Tn

jest złożony z trzech swoich kopii, jednokładnych do niego

w skali 1/2.

jeżeli punkt P ma współrzędne barycentryczne:

(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to

P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1

ma nieprzeliczalnie wiele elementów,

ma miarę Lebesgue’a w R2 równą 0.

(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to

P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1

(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to

P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1

(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to

P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1

(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to

P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f1(x , y) = (x/2, y/2) –

jednokładność o środku w A i skali 12 ,

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f2(x , y) = ((x + 1)/2, y/2) –

jednokładność o środku w B i skali 12 ,

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f3(x , y) = (2x+14 , 2y+

4 ) –

jednokładność o środku w C i skali 12 ,

Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ f3(A) dla A ⊂ R2

f1(T ) ∪ f2(T ) ∪ f3(T ) = F (T )

T = f1(T ) ∪ f2(T ) ∪ f3(T ) = F (T )

Twierdzenie Banacha o kontrakcji

Definicja

Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną. Funkcję

f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:

∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)

Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną zupełną, zaś f –

kontrakcją o skali c < 1. Wtedy:

f ma dokładnie jeden punkt stały x0 ∈ X (tzn. taki

punkt, że f (x0) = x0),

dla dowolnego x ∈ X ciąg iteracji:

x , f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), . . . dąży do x0.

Definicja

∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)

Definicja

∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)

Definicja

∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)

Definicja

ε – otoczenie zbioru A ⊂ Rn:K (A, ε) := {z ∈ Rn : ‖z − a‖ ¬ ε}

Definicja

Nasza przestrzeń metryczna:

{A ⊂ Rn : A – niepusty, domknięty i ograniczony

„Odległość” między zbiorami – metryka Hausdorffa:

dH(A,B) = inf{ε : A ⊂ K (B , ε) oraz B ⊂ K (A, ε)}

(Równoważnie:

dH(A,B) ¬ ε ⇔ A ⊂ K (B , ε) oraz B ⊂ K (A, ε))

Nasza przestrzeń metryczna:

{A ⊂ Rn : A – niepusty, domknięty i ograniczony

„Odległość” między zbiorami – metryka Hausdorffa:

dH(A,B) = inf{ε : A ⊂ K (B , ε) oraz B ⊂ K (A, ε)}

(Równoważnie:

dH(A,B) ¬ ε ⇔ A ⊂ K (B , ε) oraz B ⊂ K (A, ε))

TwierdzeniePrzestrzeń metryczna (X (Rn), dH) jest zupełna.

Dowód.Niech (Ai)i ⊂ X (Rn) będzie ciągiem Cauchy’ego w metryce

Hausdorffa. Aby pokazać, że ma on granicę, wystarczy

pokazać, że pewien jego podciąg ma granicę.

Wybierzmy taki podciąg (Bn)n = (Ain)n ciągu (Ai)i , że

dH(Bn,Bn+1) < 2−n i zdefiniujmy:

H := {x ∈ Rn : x jest granicą pewnego ciągu xn ∈ Bn,

spełniającego ‖xn − xn+1‖ < 2−n}

oraz G = H . Pokażemy, że G ∈ X (Rn) oraz limn→∞ Bn = G .

Krok I: zbiór H jest niepusty:

Skostruujemy ciąg (xn) zbieżny do elementu z H

indukcyjnie – wybierzmy dowolne x1 ∈ B1. Zauważmy, że

dH(Bn,Bn+1) < 2−n, więc Bn ⊂ K (Bn+1, 2−n) – mając

więc wybrane xn ∈ Bn, możemy wybrać xn+1 ∈ Bn+1 takie,

że ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n. Ciąg (xn) jest ciągiem Cauchy’ego:

‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+

+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)

Krok I: zbiór H jest niepusty:

Skostruujemy ciąg (xn) zbieżny do elementu z H

‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+

+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)

Krok I: zbiór H jest niepusty:Skostruujemy ciąg (xn) zbieżny do elementu z H

indukcyjnie – wybierzmy dowolne x1 ∈ B1.

Zauważmy, że

‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+

+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)

że ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n.

Ciąg (xn) jest ciągiem Cauchy’ego:

‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+

+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)

‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+

+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)

jest więc zbieżny do pewnego elementu x ∈ H . Stąd H 6= ∅.

Krok II: zbiór H jest ograniczony.jeżeli x ∈ H , x = lim xn, ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n, to

‖x1 − xn‖ ¬ 1, więc ‖x1 − x‖ ¬ 1 – stąd H ⊂ K (B1, 1).

Krok I + Krok II

⇒ zbiór G = H jest niepusty i ograniczony (bo taki

jest zbiór H)

⇒ G ∈ X (Rn)

Krok I + Krok II

jest zbiór H)

⇒ G ∈ X (Rn)

Krok I + Krok II

jest zbiór H)

⇒ G ∈ X (Rn)

Krok I + Krok II⇒ zbiór G = H jest niepusty i ograniczony (bo taki

jest zbiór H)

⇒ G ∈ X (Rn)

Krok I + Krok II⇒ zbiór G = H jest niepusty i ograniczony (bo taki

jest zbiór H)

⇒ G ∈ X (Rn)

Krok III: G jest granicą ciągu (Bn)n:

Niech ε > 0. Wybierzmy N takie, że ε > 2−N . Pokażemy,że dla n > N jest dH(G ,Bn) < ε, czyli:

(1) G ⊂ K (Bn, ε),(2) Bn ⊂ K (G , ε),

ad. (1): jeżeli x ∈ H, x = limn→∞ xn, to‖xn − xm‖ < 2−n+1, więc ‖xn − x‖ < 2−n+1 < ε orazH ⊂ K (Bn, ε), a stąd G ⊂ K (Bn, ε).

Krok III: G jest granicą ciągu (Bn)n:

Niech ε > 0. Wybierzmy N takie, że ε > 2−N . Pokażemy,że dla n > N jest dH(G ,Bn) < ε, czyli:

(1) G ⊂ K (Bn, ε),(2) Bn ⊂ K (G , ε),

Krok III: G jest granicą ciągu (Bn)n:Niech ε > 0. Wybierzmy N takie, że ε > 2−N . Pokażemy,że dla n > N jest dH(G ,Bn) < ε, czyli:

(1) G ⊂ K (Bn, ε),

(2) Bn ⊂ K (G , ε),

Krok III: G jest granicą ciągu (Bn)n:Niech ε > 0. Wybierzmy N takie, że ε > 2−N . Pokażemy,że dla n > N jest dH(G ,Bn) < ε, czyli:

(1) G ⊂ K (Bn, ε),(2) Bn ⊂ K (G , ε),

ad. (2): dla dowolnego y ∈ An można tak wybrać ciąg

xm ∈ Bm spełniający ‖xm − xm+1‖ ¬ 2−m, że xn = y .

Niech x = limm→∞ xm ∈ H . Wtedy

‖y − x‖ = ‖xm − x‖ = limm→∞

‖xm − xn‖(∗)¬ 2−n+1 < ε

więc y ∈ K (G , ε) – stąd Bn ⊂ K (G , ε).

Stąd G = limn→∞ Bn ∈ X (Rn).

Twierdzenie Hutchinsona–Barnsley’a

Jeżeli f1, . . . , fk : Rn → Rn są kontrakcjami o skali c < 1, to

F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn) jest

również kontrakcją o skali c .

Dowód.Niech A,B ∈ X (Rn), d := dH(A,B).Wykażemy najpierw, że fi(A) ⊂ K (fi(B), cd).

Istotnie, jeżeli x ∈ A, to istnieje y ∈ B takie, że ‖x − y‖ ¬ d .

Wtedy ‖fi(x)− fi(y)‖ ¬ c‖x − y‖ ¬ cd , więc

fi(x) ∈ K (fi(B), cd), co daje inkluzję.

Dowód.Niech A,B ∈ X (Rn), d := dH(A,B).Wykażemy najpierw, że fi(A) ⊂ K (fi(B), cd).

Istotnie, jeżeli x ∈ A, to istnieje y ∈ B takie, że ‖x − y‖ ¬ d .

Dowód.Niech A,B ∈ X (Rn), d := dH(A,B).Wykażemy najpierw, że fi(A) ⊂ K (fi(B), cd).Istotnie, jeżeli x ∈ A, to istnieje y ∈ B takie, że ‖x − y‖ ¬ d .

Stąd:

F (A) =k⋃i=1

fi(A) ⊂k⋃i=1

K (fi(B), cd)

= K (k⋃i=1

fi(B), cd) = K (F (B), cd)

i analogicznie F (B) ⊂ K (F (A), cd).To oznacza, że dH(F (A),F (B)) ¬ c · d = c · dH(A,B), więc F

jest kontrakcją o skali c .

Stąd:

F (A) =k⋃i=1

fi(A) ⊂k⋃i=1

K (fi(B), cd)

= K (k⋃i=1

fi(B), cd) = K (F (B), cd)

Stąd:

F (A) =k⋃i=1

fi(A) ⊂k⋃i=1

K (fi(B), cd)

= K (k⋃i=1

fi(B), cd) = K (F (B), cd)

i analogicznie F (B) ⊂ K (F (A), cd).

To oznacza, że dH(F (A),F (B)) ¬ c · d = c · dH(A,B), więc F

Stąd:

F (A) =k⋃i=1

fi(A) ⊂k⋃i=1

K (fi(B), cd)

= K (k⋃i=1

fi(B), cd) = K (F (B), cd)

WniosekJeżeli f1, . . . , fk : Rn → Rn są kontrakcjami o skali c < 1, to

odwzorowanie

F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn)

ma dokładnie jeden punkt stały Y ∈ X (Rn)

(tzw. atraktor –

jest to nasz fraktal) oraz dla dowolnego zbioru A ciąg

A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .

Dowód.

Zupełność X (Rn) +

Twierdzenie Hutchinsona–Barnleya +

Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.

odwzorowanie

ma dokładnie jeden punkt stały Y ∈ X (Rn) (tzw. atraktor –jest to nasz fraktal)

oraz dla dowolnego zbioru A ciąg

A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .

Dowód.

odwzorowanie

ma dokładnie jeden punkt stały Y ∈ X (Rn) (tzw. atraktor –jest to nasz fraktal) oraz dla dowolnego zbioru A ciąg

A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .

Dowód.

odwzorowanie

A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .

Dowód.

odwzorowanie

A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .

Dowód.Zupełność X (Rn) +

odwzorowanie

A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .

odwzorowanie

A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .

Uwagi:

(1) twierdzenie Hutchinsona-Barnleya jest prawdziwe dla

dowolnej przestrzenii zupełnej X – wtedy definiujemy:

X (X ) := {A ⊂ X : A – zwarty}

– pokazuje się, że (X , dH) jest zupełne.

(2) twierdzenie to oznacza, że „proste” fraktale (złożone ze

skończonej liczby swoich kopii) możemy utożsamiać z

układem kontrakcji fi : Rn → Rn.

Uwagi:

X (X ) := {A ⊂ X : A – zwarty}

Uwagi:

X (X ) := {A ⊂ X : A – zwarty}

Twierdzenie o kolażuNiech f1, . . . , fk : Rn → Rn będą kontrakcjami o skali c < 1,

zaś F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn).Niech A0 będzie punktem stałym F . Wtedy dla dowolnego

A ∈ X (Rn) mamy:

dH(A,A0) ¬1

1− cdH(A,F (A))

Intuicyjnie: jeżeli F (A) ≈ A, to A ≈ A0.

Twierdzenie o kolażuNiech f1, . . . , fk : Rn → Rn będą kontrakcjami o skali c < 1,

zaś F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn).Niech A0 będzie punktem stałym F . Wtedy dla dowolnego

A ∈ X (Rn) mamy:

dH(A,A0) ¬1

1− cdH(A,F (A))

Intuicyjnie: jeżeli F (A) ≈ A, to A ≈ A0.

Dowód.

dH(A,A0) = dH(A, limn→∞F (n)(A)) = lim

n→∞dH(A,F (n)(A))

¬ limn→∞

n∑i=1

dH(F (i−1)(A),F (i)(A)) ¬ limn→∞

n∑i=1

c idH(A, f (A)) =

= (1 + c + c2 + . . .) dH(A, f (A)) = (1− c)−1dH(A, f (A))

Dowód.

¬ limn→∞

n∑i=1

dH(F (i−1)(A),F (i)(A)) ¬ limn→∞

n∑i=1

c idH(A, f (A)) =

= (1 + c + c2 + . . .) dH(A, f (A)) = (1− c)−1dH(A, f (A))

Dowód.

¬ limn→∞

n∑i=1

dH(F (i−1)(A),F (i)(A)) ¬ limn→∞

n∑i=1

c idH(A, f (A)) =

= (1 + c + c2 + . . .) dH(A, f (A)) = (1− c)−1dH(A, f (A))

Fraktale zrób to sam -...

Documents

Transcript of Fraktale zrób to sam -...