Αρχές Τηλεπικοινωνιών Ενότητα #10: Διαμόρφωση συχνότητας (FM)

Χ. ΚΑΡΑΪΣΚΟΣ

Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμών Τ.Ε.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση • Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

Σκοποί ενότητας

• Διαμορφωση συχνότητας FM, διαμόρφωση, αποδιαμόρφωση FM

• Προέμφαση – Αποέμφαση, Ανταλλαγή εύρους ζώνης με ισχύ

• Καταπολέμηση θορύβου

• Βρόχος κλειδώματος φάσης (PLL)

4

Περιεχόμενα

• Εισαγωγή στη διαμόρφωση FM

• Φάσματα σήματος FM

• Διαμόρφωση και αποδιαμόρφωση FM

• Διάφορα θέματα στη διαμόρφωση FM

• Βρόχος κλειδώματος φάσης (PLL)

5

Εισαγωγή στη διαμόρφωση FM

Γενική μορφή αδιαμόρφωτου και διαμορφωμένου κατά γωνία σήματος: Acσυνθ(t).

Στιγμιαία συχνότητα αυτού: f=(1/2π)dθ(t)/dt (1)

Για αδιαμόρφωτο φέρον είναι θ(t)=2πfct και f=fc.

Για σήμα FM είναι 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓𝑐𝑐 + 𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑡𝑡). Από την (1) προκύπτει ότι 𝜃𝜃 𝑡𝑡 = 2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡 + 2𝜋𝜋𝑘𝑘 ∫𝑘𝑘 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡

οπότε η μαθηματική έκφραση του σήματος FM είναι

𝑘𝑘𝐹𝐹𝐹𝐹 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝑐𝑐𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎[2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡 + 2𝜋𝜋𝑘𝑘 ∫𝑘𝑘 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡] (2)

Αν πάρουμε έχουμε διαμόρφωση φάσης (phase modulation - PM).

6

( ) 2 2 ( )ct f t kx tθ π π= +

Εισαγωγή στη διαμόρφωση FM (2)

• Η μαθηματική έκφραση σήματος διαμορφωμένου κατά φάση είναι:

• Από τις (1) και (3) προκύπτει ότι η στιγμιαία συχνότητα του σήματος PM είναι:

• Τα παραπάνω δείχνουν τη σχέση μεταξύ διαμορφώσεων FM και ΡΜ που φαίνεται και στα επόμενα διαγράμματα:

7

( ) /cf f kdx t dt= +

Παραγώγιση ΔιαμορφωτήςFM

x(t) x(t) xPM(t)

Oλοκλήρωση ΔιαμορφωτήςPM

x(t) x(t)dt xFM(t)

( ) [2 2 ( )]PM c cx t A f t kx tσυν π π= + (3)

Εισαγωγή στη διαμόρφωση FM (3)

Κατά κανόνα, το σήμα μηνύματος x(t) μεταβάλλεται μεταξύ max|x(t)| και -max|x(t)|, οπότε η στιγμιαία συχνότητα του σήματος FM μεταβάλλεται μεταξύ fc+Δfmax και fc-Δfmax, όπου Δfmax=kmax|x(t)|.

Η γραφική παράσταση του σήματος FM «παίζει» μεταξύ των ευθειών Acκαι -Ac. Όταν το x(t) παίρνει μεγάλες τιμές, η παράσταση του σήματος FM εμφανίζει πυκνώματα και, όταν παίρνει μικρές τιμές, εμφανίζει αραιώματα.

Ακολουθεί παράδειγμα:

8

Εισαγωγή στη διαμόρφωση FM (4)

Παράδειγμα εικόνας σήματος FM στο πεδίο του χρόνου (Παλμογράφος)

Φάσματα σήματος FM

Σήμα μηνύματος ημιτονικό

10

Σήμα μηνύματος ημιτονικό: x(t)=x0συν2πf0t (1)

Έχουμε max|x(t)|=x0, οπότε Δfmax=kx0.

Ορίζουμε ως δείκτη διαμόρφωσης το πηλίκο β=Δfmax/f0=kx0/f0. Από τον τύπο (2) προκύπτει εύκολα ότι:

Αποδεικνύεται ότι το παραπάνω σήμα γράφεται και ως

που δείχνει ότι ένα σήμα FM με ημιτονικό σήμα μηνύματος αποτελείται από άπειρους ημιτονικούς όρους εκατέρωθεν της συχνότητας fc που απέχουν μεταξύ τους κατά βήμα f0.

11

0( ) (2 2 )FM c cx t A f t f tσυν π βηµ π= +

0( ) ( ) [2 ( ) ]n

FM c n cn

x t A J f nf tβ συν π=+∞

=−∞

= +∑

Σήμα μηνύματος ημιτονικό: x(t)=x0συν2πf0t (2)

Ο συντελεστές Jn(β) ονομάζονται συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους και τάξης n. Οι τιμές τους δίνονται από πίνακες.

Ισχύουν: α) J-n(β)=Jn(β) αν n=άρτιος και J-n(β)=-Jn(β) αν n=περιττός. β) Οι Jn(β) είναι πολύ μικροί (αμελητέοι) για n>β+1. Έτσι, το φάσμα του σήματος FM είναι γραμμικό και βρίσκεται μεταξύ των συχνοτήτων fc-(β+1)f0 και fc+(β+1)f0 . Αν ο β δεν είναι ακέραιος χρησιμοποιούμε το ακέραιο μέρος του.

12

Σήμα μηνύματος ημιτονικό: x(t)=x0συν2πf0t (3)

Επομένως, το εύρος ζώνης του σήματος FM με ημιτονικό σήμα μηνύματος είναι ίσο με

Β=2(β+1)f0=2(Δfmax+f0) (κανόνας του Carson)

Στην επόμενη σελίδα βλέπουμε τα φάσματα του σήματος FM με β=5.

13

φάσματα του σήματος FM

Το φάσμα πλάτους του σήματος xFM(t) με β=5 (ημιτονικό σήμα μηνύματος)

Το φάσμα φάσης του σήματος xFM(t) με β=5 (ημιτονικό σήμα μηνύματος)

14

fcfc-f0fc-2f0fc-3f0fc-4f0fc-5f0fc-6f0 fc+f0 fc+2f0 fc+3f0 fc+4f0 fc+5f0 fc+6f0 f

π πππ

0000 0 0 0 0 0

fcfc-f0fc-2f0fc-3f0fc-4f0fc-5f0fc-6f0 fc+f0 fc+2f0 fc+3f0 fc+4f0 fc+5f0 fc+6f0 f

0.3910.328

0.2610.365

0.1310.047

0.178

0.328

0.047

0.3650.391

0.261

0.131

Ημιτονικό σήμα (Συνέχεια)

Το σήμα FM έχει εύρος ζώνης 12f0. Το φάσμα του είναι γραμμικό και βρίσκεται μεταξύ fc-6f0 και fc+6f0. Οι πίνακες δίνουν J0(5)=-0.178, J1(5)=-0.328, J2(5)=0.047, J3(5)=0.365, J4(5)=0.391, J5(5)=0.261 και J6(β)=0.131. Επομένως, J-

1(5)=0.328, J-2(5)=0.047, J-3(5)=-0.365, J-4(5)=0.391, J-5(5)=-0.261 και J-6(β)=0.131.

Έχοντας βρει τις παραπάνω τιμές, σχεδιάζουμε εύκολα τα

φάσματα πλάτους και φάσης της προηγούμενης σελίδας με Αc=1. Αν είναι Αc≠1 όλοι οι όροι του φάσματος πλάτους είναι πολλαπλασιασμένοι επί Αc. Οι όροι του φάσματος φάσης μένουν αμετάβλητοι.

Φάσματα σήματος FM (2)

Σήμα μηνύματος περιοδικό αλλά μη ημιτονικό

16

Σήμα μηνύματος περιοδικό αλλά μη ημιτονικό (1)

Το σήμα FM αναπτύσσεται σε άθροισμα άπειρων ημιτονικών όρων ως εξής:

Τα πλάτη sn και οι φάσεις φn εξαρτώνται από το σήμα μηνύματος. Τα φάσματα πλάτους και φάσης του σήματος FM είναι πάλι γραμμικά, συγκεντρωμένα στις συχνότητες fc, fc±f0, fc±2f0, … Όμως, το φάσμα πλάτους δεν είναι συμμετρικό ως προς τη συχνότητα fc, διότι δεν ισχύει η σχέση |s–n|=|sn|.

17

0( ) [2 ( ) ]FM c n c nn

x t A s f nf tσυν π φ+∞

=−∞

= + +∑

Σήμα μηνύματος περιοδικό αλλά μη ημιτονικό (2)

Τα φάσματα πλάτους και φάσης του σήματος FM βρίσκονται γύρω από τη φέρουσα συχνότητα fc και το εύρος ζώνης του σήματος FM είναι:

Β=2(Δfmax+fx)=2(D+1)fx (κανόνας του Carson)

όπου fx είναι εκείνη η αρμονική του σήματος μηνύματος πάνω απ’ την οποία θεωρούμε ότι αυτό έχει αμελητέο φασματικό περιεχόμενο.

Δfmax είναι η μέγιστη απόκλιση της στιγμιαίας συχνότητας από τη φέρουσα και D είναι ο λόγος απόκλισης που ορίζεται ως D=Δfmax/fx. Τα φάσματα πλάτους και φάσης του σήματος FM βρίσκονται στη ζώνη συχνοτήτων από fc-B/2 μέχρι fc+B/2.

18

Φάσματα σήματος FM (3)

Σήμα μηνύματος μη περιοδικό

19

Σήμα μηνύματος μη περιοδικό (1)

Τώρα η μαθηματική ανάλυση είναι πολύ δύσκολη. Τα φάσματα πλάτους και φάσης του σήματος FM δεν έχουν καμιά «οπτική» ομοιότητα με τα φάσματα του σήματος μηνύματος. Το σίγουρο είναι ότι αυτά βρίσκονται γύρω από τη φέρουσα συχνότητα fc και το εύρος ζώνης του σήματος FM είναι:

Β=2(Δfmax+fx)=2(D+1)fx (κανόνας του Carson)

όπου fx είναι η μέγιστη συχνότητα του φάσματος του σήματος μηνύματος x(t) και D είναι ο λόγος απόκλισης που ορίζεται ως D=Δfmax/fx.

20

Σήμα μηνύματος μη περιοδικό (2)

• Με σήμα μηνύματος μη περιοδικό, τα φάσματα του σήματος FM είναι συνεχή και όχι γραμμικά. Το φάσμα του σήματος FM βρίσκεται στη ζώνη συχνοτήτων από fc-B/2 μέχρι fc+B/2.

21

Διαμόρφωση και αποδιαμόρφωση FM

Παραγωγή σήματος FM

22

Διαμόρφωση και αποδιαμόρφωση FM Παραγωγή σήματος FM

Διαμορφωτής FM είναι ένας ταλαντωτής που δίνει στην έξοδό του ημιτονικό σήμα, του οποίου η συχνότητα μεταβάλλεται με το σήμα μηνύματος. Επειδή το σήμα μηνύματος είναι σήμα τάσης, ο διαμορφωτής FM ονομάζεται ταλαντωτής ελεγχόμενος από τάση (Voltage Controlled Oscillator - VCO). Η λειτουργία ενός VCO βασίζεται στην αρχή ενός συντονιζόμενου κυκλώματος, του οποίου η συχνότητα συντονισμού fσ=1/[2π(LC)1/2] ελέγχεται από το σήμα μηνύματος x(t). Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας ως πυκνωτή C έναν varicap (πυκνωτή μεταβαλλόμενης χωρητικότητας). Στους ακροδέκτες αυτού οδηγείται και το σήμα x(t) και η χωρητικότητά του μεταβάλλεται ως C=C0-κx(t).

23

Διαμόρφωση και αποδιαμόρφωση FM (2)

Αποδιαμόρφωση σήματος FM

24

Αποδιαμόρφωση σήματος FM (1)

Από την έκφραση της στιγμιαίας συχνότητας του σήματος FM f(t)=fc+kx(t) προκύπτει ότι x(t)=[f(t)-fc]/k. Έτσι, αν ένα κύκλωμα δέχεται στην είσοδό του σήμα FM και δίνει στην έξοδό του σήμα τάσης ανάλογο της διαφοράς της στιγμιαίας συχνότητας f=f(t) του σήματος εισόδου από τη σταθερή συχνότητα fc, αυτό το κύκλωμα κάνει αποδιαμόρφωση συχνότητας. Ονομάζεται και διευκρινιστής συχνότητας (frequency discriminator) κι έχει σχέση εισόδου-εξόδου αυτήν που δίνεται στο σχήμα της επόμενης σελίδας.

25

Αποδιαμόρφωση σήματος FM (2)

• Για την υλοποίηση ενός διευκρινιστή συχνότητας χρησιμοποιείται πάλι συντονιζόμενο κύκλωμα. Εκμεταλλευόμαστε το γεγονός ότι η αριστερή “πλαγιά” της καμπύλης συντονισμού του προσεγγίζει τη σχέση εισόδου-εξόδου του διευκρινιστή συχνότητας.

26

Σχέση εισόδου-εξόδου ενός διευκρινιστή συχνότητας

Αποδιαμόρφωση σήματος FM (3)

Διάφορα θέματα στη διαμόρφωση FM

Προέμφαση - Αποέμφαση

28

Προέμφαση - Αποέμφαση

Αποδεικνύεται ότι η επίδραση του θορύβου σ’ ένα σύστημα FM είναι μεγαλύτερη στις μεγάλες συχνότητες του σήματος μηνύματος. Για να εξισορροπήσουμε τα πράγματα, πριν κάνουμε διαμόρφωση περνάμε το σήμα μηνύματος από φίλτρο που ενισχύει τις ψηλές συχνότητές του σε σχέση με τις χαμηλές, για να «αντιμετωπίσουν» τη δυσμενή επίδραση του θορύβου σ’ αυτές. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται προέμφαση.

Μετά τη διαμόρφωση και την αποδιαμόρφωση FM κάνουμε αποέμφαση, δηλ. περνάμε το αποδιαμορφωμένο σήμα από φίλτρο που ενισχύει τις χαμηλές συχνότητες σε σχέση με τις ψηλές. Οι αποκρίσεις πλάτους των φίλτρων προέμφασης και αποέμφασης είναι αντίστροφες μεταξύ τους.

29

Διάφορα θέματα στη διαμόρφωση FM (2)

Ανταλλαγή εύρους ζώνης με ισχύ

30

Ανταλλαγή εύρους ζώνης με ισχύ

Αποδεικνύεται, όχι πολύ δύσκολα, ότι, για δοσμένο σήμα x(t), μεγαλύτερο εύρος ζώνης σήματος FM αντιστοιχεί και σε μεγαλύτερη ισχύ εξόδου στο δέκτη. Δηλ. για να πετύχουμε πιο ισχυρό σήμα στην έξοδο του δέκτη πρέπει να “πληρώσουμε” διαθέτοντας μεγαλύτερο εύρος ζώνης για το σήμα FM.

31

Διάφορα θέματα στη διαμόρφωση FM (3)

Καταπολέμηση του θορύβου

32

Καταπολέμηση του θορύβου (1)

Ένα σήμα FM έχει σταθερό πλάτος και συχνότητα μεταβαλλόμενη σύμφωνα με το σήμα μηνύματος. Η πληροφορία μηνύματος είναι «ενσωματωμένη» στις θέσεις μηδενισμού του (θέσεις που η γραφική του παράσταση κόβει τον άξονα των χρόνων), δηλ. στα πυκνώματα/αραιώματα. Αν στο σήμα FM προστεθεί θόρυβος, το πλάτος του παύει να είναι σταθερό, αλλά τα σημεία μηδενισμού του επηρεάζονται ελάχιστα. Περνάμε το ενθόρυβο σήμα FM από έναν περιοριστή (limiter) που κόβει τους παλμούς του σχεδόν «σύρριζα» (περνάει μόνο τα τμήματα της γραφικής παράστασης που βρίσκονται μεταξύ -Α και +Α, με Α πολύ μικρότερο από το πλάτος του σήματος FM).

33

Καταπολέμηση του θορύβου (2)

Έχουν κοπεί οι μεταβολές τιμών του σήματος FM που οφείλονται στο θόρυβο, αλλά διατηρούνται οι θέσεις μηδενισμού του. Με ενίσχυση του σήματος εξόδου του περιοριστή παίρνουμε σήμα FM με σχεδόν ορθογωνικό φέρον.

Περνάμε αυτό το σήμα FM από ζωνοπερατό φίλτρο ΒPF που έχει ζώνη διέλευσης γύρω από τη φέρουσα συχνότητα fc. Αφού ένα ορθογωνικό σήμα συχνότητας fc μπορεί να γραφεί ως άθροισμα ημιτονικών σημάτων που έχουν συχνότητες fc και τα πολλαπλάσια αυτής, το σήμα FM με ορθογωνικό φέρον αποτελείται από σήματα FM με ημιτονικά φέροντα σήματα συχνοτήτων fc και τα πολλαπλάσια αυτής.

34

Καταπολέμηση του θορύβου (3)

• Από φίλτρο BPF περνάει μόνο το σήμα FM που έχει ημιτονικό φέρον συχνότητας fc. Οι παραμορφώσεις από τον προσθετικό θόρυβο έχουν φύγει.

35

Βρόχος κλειδώματος φάσης PLL (Phase Lock Loop)

Βρόχος κλειδώματος φάσης PLL (Phase Lock Loop) (1)

Στόχος του PLL είναι η στιγμιαία συχνότητα του σήματος z(t) που παράγει να ακολουθεί και να προσπαθεί να «πιάσει» τη στιγμιαία συχνότητα του σήματος εισόδου y(t).

37

Η δομή του PLL

38

Βρόχος κλειδώματος φάσης PLL (Phase Lock Loop) (2)

Βρόχος κλειδώματος φάσης PLL (Phase Lock Loop) (3)

Με απλή Τριγωνομετρία βρίσκουμε ότι, με φ1(t) κοντά στη φ2(t), η έξοδος από το βαθυπερατό φίλτρο είναι ανάλογη της φ1(t)-φ2(t) (συγκριτής φάσης). Αν η φάση φ2(t) ακολουθεί τη φ1(t) τότε και η στιγμιαία συχνότητα του z(t) ακολουθεί τη στιγμιαία συχνότητα του y(t). Όταν είναι φ1(t)>φ2(t) το VCO έχει θετική είσοδο και αυξάνει την παραγόμενη συχνότητα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η φ2(t) να αυξάνει με ρυθμό τέτοιο ώστε να μικραίνει τη διαφορά φ1(t)-φ2(t). Αντίθετα, όταν είναι φ1(t)<φ2(t) το VCO έχει αρνητική είσοδο και μειώνει την παραγόμενη συχνότητα με αποτέλεσμα η φ2(t) να επιβραδύνει, ώστε πάλι να μικραίνει τη διαφορά φ1(t)-φ2(t). Έτσι, το VCO «κλειδώνει» σε φάση και συχνότητα με το σήμα εισόδου.

39

Βρόχος κλειδώματος φάσης PLL (Phase Lock Loop) (4)

Η μαθηματική ανάλυση αποδεικνύει ότι, αν το σήμα y(t) είναι σήμα FM, το σήμα v(t) είναι ανάλογο του σήματος μηνύματος, δηλ. το PLL κάνει αποδιαμόρφωση FM.

Αν αρχικά η στιγμιαία συχνότητα f2 του σήματος z(t) βρίσκεται έξω από ένα διάστημα (f1-fσ, f1+fσ) το PLL δεν μπορεί να κλειδώσει. Αν η συχνότητα f2 βρίσκεται μέσα στο παραπάνω διάστημα το PLL κλειδώνει.

Αν το VCO έχει κλειδώσει και η f2 δεν βγει από ένα άλλο διάστημα (f1-fL, f1+fL) το PLL μένει κλειδωμένο στο σήμα εισόδου. Αν βγει από το διάστημα αυτό, το κλείδωμα χάνεται και το VCO ταλαντώνεται ελεύθερα με συχνότητα fc. Είναι fL>fσ.

Το διάστημα (f1-fσ, f1+fσ) ονομάζεται διάστημα σύλληψης και το διάστημα (f1-fL, f1+fL) ονομάζεται διάστημα κλειδώματος.

40

Τέλος Ενότητας