ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥapi.ning.com/.../file.docx · Web view1. Στο...

Eπαναληπτικές Ασκήσεις στην ΓεωμετρίαΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

1. Στο διπλανό σχήµα δίνονται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΒ=15, το µέσον Μ της υποτείνουσας ΒΓ του τριγώνου και το σηµείο Δ της ΒΓ, για το οποίο ισχύει: ΑΔ=12, ΒΔ=9.

α) Να αποδείξετε ότι το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ.β) Να υπολογίσετε τις πλευρές ΒΓ και ΑΓ του

τριγώνου ΑΒΓ. γ) Να υπολογίσετε την προβολή της διαµέσου ΑΜ

στην πλευρά ΒΓ. 15

912

Ã

A B

Ì

Ä

2. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90ο ) δίνονται: και . Να υπολογιστούν οι γωνίες και καθώς και το ύψος .

3. Να δείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )ισχύει ότι

. Πότε ισχύει το ίσον;

4. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και ακτίνα του ΟΑ. Αν μια χορδή του ΒΓ κάθετη στην ακτίνα ΟΑ στο σημείο Δ και ΟΔ=κ, να αποδείξετε:

i)

ii)

5. Δίνεται κύκλος (O ,R )και ABδιάμετρός του. Με διάμετρο την OA σχηματίζουμε δεύτερο κύκλο. Σε τυχαίο σημείο Γ της OA φέρνουμε ευθεία κάθετη στην AB, που τέμνει τον εσωτερικό κύκλο στο Δ και τον εξωτερικό στο Ε. Να αποδείξετε ότι:

ΑΕ2=2 ΑΔ2

ΟΑ ΒΓ

Ε

Δ

6. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και ΑΒ διάμετρός του. Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α. Από το Β φέρνουμε ευθεία που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Γ και την ευθεία ε στο Δ. Να αποδείξετε ότι:i) ii)

å

ÏÁ

Ä Ã

Â

Eπαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία7. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90ο ) η γωνία

και , όπου Ε είναι το μέσο της ΑΓ.

a. Να δείξετε ότι: b. Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του

τριγώνου ΑΒΓ.(ΑΠ. ΒΓ=4, ΑΒ=2, )

8. Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι . Αν Μ,Ν είναι τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, να δείξετε ότι:

Á Â

Ä Ã

ÌÍ

9. Ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ έχει και , όπου α γνωστό ευθύγραμμο τμήμα.

i) Να υπολογίσετε συναρτήσει του α το μήκος της ΒΔ.ii) Να δείξετε ότι οι προβολές Ε και Ζ των

κορυφών Α και Γ στη διαγώνιο ΒΔ αντίστοιχα, διαιρούν την διαγώνιο αυτή σε τρία ίσα τμήματα, δηλαδή ΔΕ=ΕΖ=ΖΒ.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1. Ασκήσεις που ζητείται ο υπολογισμός ευθυγράμμων τμημάτων ή γωνιών ή ζητείται να αποδειχθεί κάποια μετρική σχέση μεταξύ των πλευρών τριγώνου.

Εντοπίζουμε ορθογώνια τρίγωνα και γράφουμε τις κατάλληλες μετρικές σχέσεις σε κάθε περίπτωση προσπαθώντας να εμφανίσουμε τα τμήματα που εμπλέκονται στην αποδεικτέα σχέση.Αν κάποιο από τα εμφανιζόμενα τμήματα δεν υπάρχει στην αποδεικτέα σχέση το αντικαθιστούμε με τη βοήθεια τμημάτων που εμφανίζονται σε αυτή. Η αντικατάσταση γίνεται είτε με τη βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος είτε με οποιαδήποτε άλλη γνωστή μετρική σχέση.

2. Ασκήσεις που ζητείται να δειχθεί ότι ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Εξετάζουμε αν το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών. Αν αυτό συμβαίνει τότε σύμφωνα με το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, με ορθή γωνία τη γωνία που βρίσκεται απέναντι από την μεγαλύτερη πλευρά.

Eπαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία

Παρατηρήσεις Α. Υπενθυμίζουμε δύο βασικές προτάσεις που χρησιμοποιούμε συχνά σε

ορθογώνιο τρίγωνο:i) Η διάμεσος προς την υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της

υποτείνουσας.ii) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, η κάθετη πλευρά που βρίσκεται

απέναντι από γωνία 30ο είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Β. Περιπτώσεις που σχηματίζεται ορθή γωνία. i) Εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.ii) Η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη κύκλου με την ακτίνα που

καταλήγει στο σημείο επαφής είναι ορθή.iii) Η ακτίνα που καταλήγει στο μέσο μιας χορδής είναι κάθετη στη

χορδή.iv) Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το μέσο της βάσης ισοσκελούς

τριγώνου με την απέναντι κορυφή, είναι κάθετο στη βάση.v) Οι διαγώνιοι ρόμβου και τετραγώνου τέμνονται κάθετα.vi) Ισοσκελές τρίγωνο με μια γωνία προσκείμενη στη βάση ίση με 45ο

είναι ορθογώνιο και αντίστροφα, κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με μια γωνία 45ο είναι ισοσκελές.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣΦΥΛΛΑΔΙΟ 2 Ο

1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α=7, β=5 και γ=3. i) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του.ii) Την προβολή της ΑΒ στην ΒΓ.iii) Να δείξετε ότι

2. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών , και με .

α) Να δείξετε ότι και .β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του.γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας .

3. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο με και το ΒΓΕ είναι ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε το μήκος του ΑΕ.


4. Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα τεταρτοκύκλιο ενός κύκλου με κέντρο Ο και ένα σημείο του Γ. Να δείξετε ότι:

Á

Ï Â

Ã

5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ μα και . Να δείξετε ότι .

6. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ .i) Αν , να δείξετε ότι .ii) Αν τότε ΑΒΓ είναι οξυγώνιο.

7. Έστω το οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και (Ο,R) ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Να δείξετε ότι

ÏÂ Ã

Á

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2 και το ισόπλευρο τρίγωνο ΒΓΕ. Να υπολογίσετε το μήκος των τμημάτων:

α) ΔΕ β) ΒΖ, όπου Ζ το μέσον του ΔΕ.

2Á

Ä

Â

Ã

Å

Æ

2. Δίνεται κύκλος με διάμετρο ΑΒ=5. Θεωρούμε σημείο Γ του κύκλου ώστε ΑΓ=4 και στην προέκταση της ΓΒ σημείο Δ τέτοιο ώστε ΒΔ=ΒΓ. Να υπολογίσετε το μήκος του ΑΔ.

5

4

Á Â

Ã

Ä


3. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Ε,Ζ των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα.

i) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α. β. γ.

ii) Να δείξετε ότι:

Á

Â

Ä Ã

Å

Æ

4. Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι

και με και μια διακεντρική ευθεία ε που τέμνει αυτούς κατά σειρά στα σημεία Α,Β,Γ,Δ. Αν Μ είναι σημείο

του κύκλου και Ν ένα σημείο του

κύκλου , να αποδείξετε ότι:

åÏÂ ÃÁ Ä

Ì

Í

5. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και είναι ΒΔ=ΑΒ, ΓΕ=ΒΓ. Να αποδείξετε ότι:

Á

Ä

Â ÅÃ

6. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα ισόπλευρα τρίγωνα ΔΒΓ, ΕΒΓ.

i) Nα δείξετε ότι: α) β)

ii) Αν επιπλέον είναι

να υπολογίσετε τη γωνία

Á

Â Ã

Ä

Å

Eπαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (β>γ) και τα σημεία

Δ,Ε της πλευράς του ΒΓ έτσι ώστε ΒΔ=ΔΕ=ΕΓ. Να δείξετε ότι:α.

β.

Á

Â ÃÄ Å

8. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τετράγωνο ΑΒΓΔ και σημείο Ε της διαγωνίου του ΔΒ. Να αποδείξετε ότι:i)

ii) iii)

Á

Ä

Â

Ã

Å

9. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: , να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

10. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β>α για το οποίο ισχύει: .α) Να αποδείξετε ότι:

i)

ii)

iii)

β) Η προβολή ΔΜ της διαμέσου ΑΜ στην πλευρά ΒΓ είναι ίση με

11. α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ (ως προς τις γωνίες του) του οποίου οι πλευρές γ,β και α είναι ανάλογες με τους αριθμούς 4,5 και 6 αντίστοιχα.

β) Αν ΑΔ είναι η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, να αποδείξετε ότι:

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ


2. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2 και το ισόπλευρο τρίγωνο ΒΓΕ. Να υπολογίσετε το μήκος των τμημάτων:

α) ΔΕ β) ΒΖ, όπου Ζ το μέσον του ΔΕ.

2Á

Ä

Â

Ã

Å

Æ

2. Δίνεται κύκλος με διάμετρο ΑΒ=5. Θεωρούμε σημείο Γ του κύκλου ώστε ΑΓ=4 και στην προέκταση της ΓΒ σημείο Δ τέτοιο ώστε ΒΔ=ΒΓ. Να υπολογίσετε το μήκος του ΑΔ.

5

4

Á Â

Ã

Ä

12. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Ε,Ζ των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα.

i) Να συμπληρώσετε τις ισότητες: α. β. γ.

ii) Να δείξετε ότι:

Á

Â

Ä Ã

Å

Æ

13. Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι

και με και μια διακεντρική ευθεία ε που τέμνει αυτούς κατά σειρά στα σημεία Α,Β,Γ,Δ. Αν Μ είναι σημείο

του κύκλου και Ν ένα σημείο του

κύκλου , να αποδείξετε ότι:

åÏÂ ÃÁ Ä

Ì

Í


14. Στο διπλανό σχήμα δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και είναι ΒΔ=ΑΒ, ΓΕ=ΒΓ. Να αποδείξετε ότι:

Á

Ä

Â ÅÃ

15. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα ισόπλευρα τρίγωνα ΔΒΓ, ΕΒΓ.

i) Nα δείξετε ότι: α) β)

ii) Αν επιπλέον είναι

να υπολογίσετε τη γωνία

Á

Â Ã

Ä

Å

16. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (β>γ) και τα σημεία Δ,Ε της πλευράς του ΒΓ έτσι ώστε ΒΔ=ΔΕ=ΕΓ. Να δείξετε ότι:α.

β.

Á

Â ÃÄ Å

17. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τετράγωνο ΑΒΓΔ και σημείο Ε της διαγωνίου του ΔΒ. Να αποδείξετε ότι:i)

ii) iii)

Á

Ä

Â

Ã

Å

18. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: , να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.


19. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β>α για το οποίο ισχύει: .α) Να αποδείξετε ότι:

i)

ii)

iii)

β) Η προβολή ΔΜ της διαμέσου ΑΜ στην πλευρά ΒΓ είναι ίση με

20. α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ (ως προς τις γωνίες του) του οποίου οι πλευρές γ,β και α είναι ανάλογες με τους αριθμούς 4,5 και 6 αντίστοιχα.

β) Αν ΑΔ είναι η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β, να αποδείξετε ότι:

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 1. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τον κύκλο

με . Αν και , να βρείτε το μήκος της χορδής .

(Απ: )

4O BA

Ä

Ã

2. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τον κύκλο με . Αν εφαπτομένη με ,

, , να υπολογίσετε το .

(Απ: )

Ï

Ñ ÃÂ

Á

3. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τους κύκλους

και . Αν , να υπολογίσετε το μήκος του .

(Απ:3)

Ï ÁÊ

Ì


4. Στο διπλανό σχήμα έχουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με , εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα . Αν το μέσο της

να αποδείξετε ότι:

i) ii)

30ÏÂ Ã

Á

Ì Æ

5. Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι (Ο,R) και (Ο,ρ) (ρ<R). Από σημείο Μ που βρίσκεται εκτός του (Ο,ρ) και εντός του (Ο,R) φέρνουμε χορδή ΑΓ του κύκλου (Ο,R) που να εφάπτεται του κύκλου (Ο,ρ) στο σημείο Β. Να αποδείξετε ότι:

Ï

Ã

A

Â

Ì

6. Δίνεται κύκλος , Ο το μέσον του ΑΒ και ΓΔ χορδή που διέρχεται από το Α. Να δείξετε ότι:

ÏÁ Â

Ã

Ä

7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, Θ το βαρύκεντρό του και Δ,Ε τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Αν το ΑΔΘΕ είναι εγγράψιμο, να δείξετε ότι:

Á

Â Ã

ÅÄ

È

8. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το ημικύκλιο με διάμετρο την πλευρά ΒΓ που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Δ και Ε. Να δείξετε ότι:

Á

Â Ã

ÄÅ

9. Στο διπλανό σχήμα η ΑΔ είναι κάθετη στη διάμετρο ΒΓ του ημικυκλίου (O ,R ). Να αποδείξετε ότι:

i) ii) Â Ã

Ñ Á

Ä

Ì


10. Στο διπλανό σχήμα είναι . Να αποδείξετε ότι:

11. Δίνεται κύκλος (O ,R ), μια διάμετρος ΑΒ, τα μέσα Γ,Δ των ΟΑ,ΟΒ αντίστοιχα και ΕΗ μια χορδή που διέρχεται από το Γ. Να δείξετε ότι:

iii) Aν επιπλέον είναι , τότε:

ÏÁ ÂÃ Ä

E

H

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΕΜΒΑΔ A ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 1. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις και είναι ισοδύναμο με

τετράγωνο πλευράς . Να βρείτε το . (Απ. )

--------------------------------------------------------------------------------------

2. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο με περίμετρο 6 είναι ισοδύναμο με ορθογώνιο τρίγωνο με μια κάθετη πλευρά . Να βρείτε το ύψος προς την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου.

(Απ. )--------------------------------------------------------------------------------------

3. Ένα τραπέζιο με βάσεις και ύψος είναι ισοδύναμο με τρίγωνο ΑΒΓ με . Να βρείτε το .

(Απ. )


4. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τρίγωνο ΑΒΓ, τη διχοτόμο ΒΔ και ΔΕ ΒΓ. Αν ΑΒ=5 και ΔΕ=2, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ.

(Απ.5)

5

21

2

Á

Â Ã

Ä

Å

5. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. Αν ΕΓ=2 και (ΑΕΓ)=8, να υπολογίσετε το μήκος του ΑΕ.(Απ.10)

2

A B

Ä ÃÅ

6. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο. Αν ΑΕ ΔΒ, ΔΕ=4 και ΕΒ=9, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕΓ.(Απ.12)

4

9

Á Â

Ä Ã

Å

7. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ=6 η διάμεσος ΑΜ είναι κάθετη στην ΑΒ και ίση με αυτή. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου αυτού.(Απ.9/2)

Á

Â ÌÃ

8. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος.

(Απ. ) 12

10

60

Á Â

Ä Ã

9. Να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ με και . (Απ.16)

10.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=2 και διάμεσο ΑΔ=1. Αν , να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

(Απ. )


11. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσον της ΒΓ. Αν ΜΔ ΑΒ και ΜΕ ΑΓ να αποδείξετε ότι:

Á

Â ÃÌ

ÅÄ

12. Δύο κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο . Έστω

μια κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων και η κοινή εσωτερική τους εφαπτομένη που τέμνει τη στο Ε. Να αποδείξετε ότι:

i) BE=EΓ ii) (ΒΑΕ )=( ΕΑΓ ).

Α

Γ

ΛΚ

ΕΒ

13. Στο διπλανό σχήμα έχουμε το τραπέζιο ΑΒΓΔ και Κ,Λ είναι μέσα των ΑΒ,ΓΔ. Να αποδείξετε ότι:

Á Â

Ä Ã

Ê

Ë

Ñ

14. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν ΕΖ//ΑΒ και ΗΘ//ΑΔ, να αποδείξετε ότι:

Á Â

Ä Ã

Ì

È

Ç

Å Æ

15. Από σημείο Δ της πλευράς ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε ΔΕ//ΑΓ και ΔΖ//ΑΒ. Αν Κ,Λ είναι τα μέσα των ΒΔ,ΔΓ, να δείξετε ότι:

Á

Â ÃÄ

Å

Æ

Ê Ë

Eπαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία16. Με υποτείνουσες τις κάθετες

πλευρές ΑΒ,ΑΓ ενός ορθογωνίου

τριγώνου ΑΒΓ με , κατασκευάζουμε ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΓΕ εκτός αυτού.i) Να δείξετε ότι τα σημεία

Δ,Α,Ε είναι συνευθειακά.ii) Να βρείτε το εμβαδόν του

τετραπλεύρου ΒΓΕΔ. (Aπ: 100)

B

A

Ã

Ä

Å

17. Στο διπλανό σχήμα το Μ είναι τυχαίο σημείο της πλευράς ΑΒ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Να δείξετε ότι:

Á Â

Ä Ã

Ì

18. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Να δείξετε ότι

Á Â

Ä Ã

Ì

Ñ

19.Α. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ). Αν οι διαγώνιοί του τέμνονται στο σημείο Ρ, να δείξετε ότι:

Β. Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο και Μ,Ν τυχαία σημεία των βάσεών του. Να δείξετε ότι:

Ä

ÂÁ

Ã

Ñ

Ä

ÂÁ

Ã

Ì

Í

Å

Æ


20. Δύο κύκλοι και ( Λ , R ) εφάπτονται εξωτερικά στο . Έστω

μια κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων. Να υπολογίσετε συναρτήσει του R .i) Το μήκος του τμήματος

ii) Το εμβαδόν του τραπεζίου ΚΛΓΒ.

A ΛK

Γ

Β

21. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Δ το μέσο της διαμέσου ΑΜ, Ε το μέσο της ΑΒ και Ζ το μέσο της ΒΔ. Να αποδείξετε ότι:

Α

Β Γ

E

Μ

Δ

Ζ

22. Στην πλευρά ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε τα σημεία Κ και Λ έτσι

ώστε . Από το Κ φέρνουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την ΑΓ στο Μ. Οι ΑΛ και ΒΜ τέμνονται στο Ι. Να αποδείξετε ότι:

ΓΒ

Α

ΛΚ

Μ

I

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α=7, β=6 και γ=5. Να υπολογίσετε:α) Το εμβαδόν του.

β) Το ύψος του .γ) Τις ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου.δ) Την πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου που είναι ισοδύναμο με το ΑΒΓ.

(ΑΠ.α) β) γ) , δ)


2. Θεωρούμε τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες

, , και επί των ημιευθειών , , τα σημεία Α,Β,Γ αντίστοιχα

ώστε ΟΑ=1, ΟΒ=4, ΟΓ=8. Να δείξετε ότι:

ωω

ω1

χ

4

y

8

z

O A

B

Γ

3. Στο διπλανό σχήμα είναι , και . Το τρίγωνο ΑΒΓ

είναι ισοδύναμο με ισοσκελές τρίγωνο που η μια γωνία του είναι 120ο. Να βρείτε τις πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου.

(ΑΠ:

4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με: .Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

4.

5. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: . Να αποδείξετε ότι:

6. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών , και

εμβαδόν .

α) Να αποδείξετε ότι το μήκος της πλευράς β) Να υπολογίσετε την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.γ) Να υπολογίσετε το μήκος της προβολής της πλευράς ΑΒ πάνω στην πλευρά ΒΓ.

7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να δείξετε ότι:

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΜ η διάμεσος και . Να δείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ΑΒΓ και ΑΜΓ είναι ίσοι.

Eπαναληπτικές Ασκήσεις στην ΓεωμετρίαΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ-ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

1. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ), σημείο Δ της πλευράς ΑΓ και σημείο Ρ της

ΒΔ ώστε . Αν , να αποδείξετε ότι:

B

A ΓΔ

Ρ

2. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τρίγωνο ΑΒΓ. Αν είναι

, να δείξετε ότι:

1/4 γ

2/3 α

Α

Β Γ

Δ

Ε

3. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τρίγωνο ΑΒΓ. Αν είναι

, Να αποδείξετε ότι:

i) ii)

Α

Β ΓΔ

Μ

4. Το τρίγωνο ΑΒΓ στο διπλανό σχήμα έχει

εμβαδόν Αν και , να αποδείξετε ότι:

2/3 ΑΒΑ

Β Γ

ΔΕ

5. Στο διπλανό σχήμα ΑΒΓ είναι

και . Αν να αποδείξετε ότι:

i) ii)

Α

Β Γ

Δ Ε

Eπαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία6. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τρίγωνο ΑΒΓ,

, , , .

Να αποδείξετε ότι:

Α

Β Γ

Δ Ε

Η

Θ

7. Στο διπλανό σχήμα έχουμε το

παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με , και . Αν να

αποδείξετε ότι:

i) ii)

iii)

5

12

120

Α Β

Δ Γ

ΖΕ

Μ

8. Α. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ,Ε τα μέσα των ΑΒ,ΑΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

i)

ii) B. Αν Ε,Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ,ΓΔ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, να δείξετε ότι:

Α

Β Γ

Δ Ε

Α Β

Δ Γ

Ε

Ζ

10. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με εμβαδόν Ε και τα τετράγωνα ΑΒΔΕ,ΑΓΖΗ. Να δείξετε ότι:

βγ

ΓΒ

ΑΕ

Δ

Η

Ζ


11. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με . Αν ο κύκλος διαμέτρου ΒΓ τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Δ και Ε αντίστοιχα, να δείξετε ότι:

60

Α

Β Γ

Δ

Ε

12. Στο διπλανό σχήμα έχουμε το τρίγωνο ΑΒΓ

και , , . Να δείξετε ότι: γ

α

βγ/2

α2β/3

Α

Β Γ

Δ

Ζ

Ε

13. Στις πλευρές ΑΒ,ΒΓ,ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Δ,Ε,Ζ τέτοια ώστε: , και όπου .

i) Να αποδείξετε ότι:

ii) Να αποδείξετε ότι:iii) Να βρείτε το ώστε το τρίγωνο ΔΕΖ

να έχει το ελάχιστο δυνατό εμβαδόν.(ΑΠ:λ=1/2)

Α

Β Γ

Δ

Ζ

Ε

13. Στο διπλανό σχήμα ο κύκλος με κέντρο Ο έχει ακτίνα R=7, ενώ ο κύκλος με κέντρο Κ έχει ακτίνα ρ=2. Η απόσταση των σημείων Γ και Δ είναι ΓΔ=4.

i) Να υπολογίσετε το μήκος του κοινού εφαπτόμενου τμήματος ΑΒ.

ii) Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΚΟ.

iii) Να αποδείξετε ότι:

ρ=2

4

R=7

Ο Κ

Β

Γ Δ

Α

Eπαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία14. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από ένα εσωτερικό

σημείο Ο του τριγώνου φέρουμε κάθετες στις πλευρές ΑΒ,ΒΓ και ΓΑ και πάνω σε αυτές παίρνουμε τμήματα ΟΔ=ΑΒ, ΟΕ=ΒΓ, και ΟΖ=ΓΑ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

i)

ii)

Δ

Ε

Z

Ο

ΒΓ

A

15. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο. Στην πλευρά ΒΓ θεωρούμε σημείο Ε έτσι ώστε

και προεκτείνουμε την ΑΕ που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι:

α) β) γ)

Ï

Á

B ÃÅ

Æ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ1. α) Να υπολογίσετε τη γωνία και την κεντρική γωνία ενός κανονικού

εικοσαγώνου.β) Ποιο κανονικό πολύγωνο έχει γωνία 171ο ;γ) Ποιο κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 24ο ;δ) Υπάρχει κανονικό πολύγωνο με γωνία 163ο ;ε) Υπάρχει κανονικό πολύγωνο με γωνία 179ο ;

2. Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ενός κανονικού πολυγώνου είναι

και το απόστημα είναι . Να υπολογίσετε:α) την πλευρά του κανονικού πολυγώνου.β) το πλήθος των πλευρών του.γ) την κεντρική του γωνία.δ) το εμβαδόν του.

3. Δίνεται κανονικό πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο . Αν η γωνία του

πολυγώνου είναι , να βρείτε:i) τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου.

Eπαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρίαii) την κεντρική του γωνία

iii) το εμβαδόν του πολυγώνου συναρτήσει της ακτίνας .

4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με , εγγεγραμμένο σε κύκλο με . Να υπολογίσετε:

i) την πλευρά ΒΓ ii) το εμβαδόν του τριγώνου ΟΒΓ.

(AΠ: )

60

Ο

A

B Γ

5. Δίνεται κύκλος και χορδή του . Πάνω σε τυχαία ευθεία που διέρχεται από το κέντρο και εκατέρωθεν του παίρνουμε σημεία ώστε . Αν το μέσο της , να δείξετε ότι:

Ο

ΓΔ

Α Β

Μ

6. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο , Δ το μέσο του τόξου , Ε το μέσο της ΒΓ και Ζ το σημείο τομής της ΔΕ με τον κύκλο. Να δείξετε ότι: Ο

Β Γ

Α

Δ

Ε

Ζ

7. Το εμβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι . Αν στον ίδιο κύκλο εγγράψουμε τετράγωνο, να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου.

8. Από σημείο Α εκτός κύκλου φέρουμε

τέμνουσα ΑΒΓ ώστε ΑΒ=2ΒΓ. Αν :i) Να δείξετε ότι

ii)

Ο

ΑΒΓ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ

1. Οι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α. Από το Ο φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΑΓ στον κύκλο που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Β. Να βρείτε συναρτήσει του το εμβαδόν του μικτογράμμου τριγώνου ΑΒΓ.

O K

Γ

Α

Β


ΑΠ:

2.Δίνεται κύκλος και ακτίνα του ΟΑ. Προεκτείνουμε την ΟΑ κατά τμήμα ΑΒ=R. Από το Β φέρουμε την εφαπτομένη ΒΓ προς τον κύκλο. Να υπολογίσετε συναρτήσει του :

i) το μήκος του τόξου ii) το εμβαδόν του μικτογράμμου τριγώνου

ΒΑΓ.

O A B

Γ

3. Δύο κύκλοι (Κ,3R) και (Λ,R) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Α. Αν ΒΓ είναι κοινή εξωτερική εφαπτομένη τους να υπολογίσετε το εμβαδόν του μικτογράμμου τριγώνου ΑΒΓ.

ΑΠ:

Κ Λ

Γ

Β

Α

4. Δίνεται κανονικό πολύγωνο με πλευρά ΑΒ=10 και Α,Β,Γ,Δ τέσσερις διαδοχικές κορυφές του. Αν ισχύει η σχέση:

ΑΒ2+ΑΓ2=ΑΔ2

τότε: α) Αποδείξτε ότι το πολύγωνο είναι το κανονικό εξάγωνο. β) Υπολογίστε το εμβαδόν του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. γ) Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΓΔ. δ) Υπολογίστε το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΓΔ.

5.Δίνεται κύκλος (Ο,2R), διάμετρος ΑΒ αυτού και δεύτερος κύκλος (Ο,R). Φέρουμε μια χορδή ΑΓ του πρώτου κύκλου έτσι ώστε να είναι εφαπτομένη στον δεύτερο. Να υπολογίσετε:α) το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος ΑΓ.

β) συνολικά το εμβαδόν των δύο χωρίων που είναι εσωτερικά του κύκλου (Ο,2R), εξωτερικά του (Ο,R) και εσωτερικά των ΑΒ και ΑΓ.

6. Θεωρούμε ημικύκλιο κέντρου Ο και διαμέτρου ΑΒ=2R,

το μέσο Μ αυτού και σημείο Γ έτσι ώστε ΑΓ=R√3. Αν η ακτίνα ΟΜ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Δ, υπολογίστε: α) το ΟΔ

β) το εμβαδόν του μικτογράμμου τριγώνου ΓΔΜ.

Á ÂÏ

ÌÃ

Ä

Eπαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρία7.Δίνεται ορθή γωνία χΟy και o κύκλος (Ο,R), ο

οποίος τέµνει τις πλευρές Oχ, Oy της γωνίας στα σηµεία Ν, Κ αντίστοιχα και το σηµείο Β της Ox, για το οποίο ισχύει ΝΒ=R. Αν η εφαπτοµένη του κύκλου, που άγεται από το σηµείο Β, εφάπτεται του κύκλου στο σηµείο Μ και τέµνει την πλευρά Oy στο σηµείο Γ, τότε:

α) Να αποδείξετε ότι η γωνία ΜΟΝ είναι η κεντρική γωνία κανονικού εξαγώνου και να υπολογίσετε το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΟΜΝ.

β) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου µέρους του τριγώνου ΟΒΓ.

8. Τρεις κύκλοι (O1 , R1 ),(O2 , R2)και(O3 , R3 ) εφάπτονται ανά δύο εξωτερικά στα σημεία Α,Β και Γ. Αν R1=R2=√2 και R3=2−√2:

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ.

γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΑΒΓ.

9. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90ο) με πλευρές

γ=1 και β=√3. Με κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΑ γράφουμε τόξο ΑΔ, με κέντρο το Β και ακτίνα ΒΑ γράφουμε τόξο ΑΕ. Να υπολογίσετε:

α) τις γωνίες Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ.

β) τα εμβαδά των κυκλικών τομέων ΒΑΕ και ΓΑΔ.

γ) το εμβαδόν του μικτογράμμου τριγώνου ΑΕΔ, δηλαδή του γραμμοσκιασμένου χωρίου.

10. Μια κατσίκα Κ είναι δεμένη με ένα σχοινί μήκους 6m στο σημείο Α που είναι η γωνία ενός μικρού τετράγωνου κτίσματος ΑΒΓΔ με πλευρά 2m. To τμήμα ΕΑ=4m συμβολίζει έναν φράκτη, πάνω από τον οποίο η κατσίκα δεν μπορεί να περάσει. Το όλο σκηνικό βρίσκεται στο εσωτερικό μιας μεγάλης περιοχής με γρασίδι. Να βρείτε το εμβαδόν της περιοχής που θα βοσκήσει η κατσίκα.

Απάντηση:16π

11.Έστω χορδή κάθετη στη διάμετρο ΓΔ κύκλου Ο και ακτίνας . Να υπολογίσετε:

α) Το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΟΒΓ.

β) Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα γ) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από το

τόξο και τις χορδές ΑΓ και ΓΒ.

ΟΔ Γ

Α

Β


12. Έστω κύκλος διαμέτρου ΑΒ=2R και τόξο . Να υπολογίσετε το εμβαδόν και την περίμετρο του γραμμοσκιασμένου κυκλικού τμήματος ΑΜΓΑ.

135

Ο BA

Γ

Μ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ1. Στο διπλανό σχήμα έχουμε το τραπέζιο ΑΒΓΔ με Α=Δ=90ο, ΑΒ=4,ΒΓ=5,ΔΓ=7 και το ημικύκλιο ΑΒ. Να υπολογίσετε:α. Το εμβαδόν του τραπεζίου.β. Το μήκος του ΔΕ.γ. Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου κυκλικού

τμήματος.

(ΑΠ: α)22 β) γ)

4

7

5

Α Β

Δ Γ

Ε

2. Στο διπλανό σχήμα έχουμε ημικύκλιο

κύκλου (Ο,R), και ΓΔ,ΑΔ εφαπτόμενες. Να υπολογίσετε συναρτήσει του R:α. Το μήκος του ΓΜβ. Το μήκος του ΓΔγ. Το εμβαδόν του σκιασμένου χωρίου.

(ΑΠ: α) β) γ)

Δ

Α ΓΒΟ

Μ

3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) του οποίου η πλευρά ΑΓ είναι διάμετρος. Με διάμετρο ΒΓ κατασκευάζουμε ημικύκλιο όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε συναρτήσει της ακτίνας R:

α. Το μήκος των πλευρών ΒΓ και ΑΓ.β. Το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ.γ. Το εμβαδόν του σχηματιζόμενου μηνίσκου.

(ΑΠ: α) β) γ)

60 Ο

Α

ΓΒ

4. Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος (Ο,R) και τα σημεία του Α,Β,Γ, έτσι ώστε το τετράπλευρο ΟΑΒΓ να είναι ρόμβος.

α. Να αποδείξετε ότι ΑΓ=λ3 , δηλαδή είναι πλευρά ισόπλευρου τριγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο (Ο, R).

β. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ρόμβου ΟΑΒΓ είναι

(ΟΑΒΓ )= R

2√3 2

R

R

Ο

Γ

Β

Α

M

Eπαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρίαγ. Αν Μ είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του

ρόμβου ΟΑΒΓ, τότε να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του R, τη δύναμη του σημείου Μ ως προς τον κύκλο (Ο, R).

δ. Nα υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του σχήματος.

5. Στο διπλανό σχήμα Β είναι τυχαίο σημείο της διαμέτρου ΑΓ του κύκλου (Ο,R).

α. Βρείτε τα εμβαδά των τριών ημικυκλικών δίσκων.β. Δείξτε ότι το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου

ισούται με το εμβαδόν κυκλικού δίσκου με διάμετρο ΒΔ.

γ. Πότε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου γίνεται μέγιστο;

A ΓΒ

Δ

6. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ, του οποίου το μήκος της διαγωνίου ΑΓ είναι 6√2. Με κέντρο την κορυφή Α και ακτίνα ΑΒ γράφουμε τόξο κύκλου που τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε. Να βρείτε :α. το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ

β. το μήκος του τόξου γ. το εμβαδόν του κυκλικού τομέα καιδ. το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου καμπυλογράμμου

τριγώνου ΕΒΓ.

7. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΓ//ΓΔ. Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των βάσεων ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα και Ο τυχαίο σημείο του τμήματος ΜΝ, τότε να αποδείξετε ότι:

α. β. γ. αν το Ο είναι το μέσο του τμήματος ΜΝ, ισχύει

Α Β

Δ ΓΝ

Μ

Ο

8. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ , ΑΜ διάμεσος και Θ το βαρύκεντρό του. Αν ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο ΑΒΘ εφάπτεται της ΒΓ, να δείξετε ότι:

α. β. γ.

Α

Β ΓΜ

Θ

9. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με και .

α. Να δείξετε ότι: β. Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του.

γ. Αν ύψος του τριγώνου να δείξετε ότι:.

Α

Β ΓΜ

Δ


δ. Να δείξετε ότι:

10. Έστω οι κύκλοι , και που διέρχονται από τα σημεία Α,Β και Ο είναι το μέσον του ΚΛ. Αν Μ τυχαίο σημείο, εξωτερικό και των τριών κύκλων, να αποδείξετε ότι:

K ΛΟ

Β

Α

Μ

11. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με , και .α. Να δείξετε ότι β. Να βρεθεί η γωνία .γ. Αν Δ σημείο της πλευράς ΒΓ ώστε ΒΔ=2, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΔ.

10. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) με . Θεωρούμε σημείο Δ στην πλευρά ΑΓ έτσι ώστε . Να αποδείξετε ότι:

α. β.

γ.

20

60

Α

Β Γ

Δ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΘΕΜΑ 1 Ο

Α. Σε κύκλο να εγγράψετε τετράγωνο και συναρτήσει της ακτίνας να υπολογίσετε την πλευρά του και το απόστημά του .

(Μονάδες 15)

Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα από το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση (χωρίς δικαιολόγηση).

α) Το εμβαδόν ενός τριγώνου δίνεται από τον τύπο όπου είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και τα µήκη των

πλευρών του.

Eπαναληπτικές Ασκήσεις στην Γεωμετρίαβ) Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία

γωνία είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόµενο της µιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή.

γ) Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ισχύει η σχέση: .

δ) Το εμβαδόν ενός τραπεζίου ισούται με το γινόμενο της διαμέσου του επί το ύψος του.

ε) Σε κάθε τρίγωνο ισχύει η ισοδυναμία:

αν και μόνο αν .

(Μονάδες 10)

-----------------------------------------------------------------------------

ΘΕΜΑ 2 Ο A. Δίνεται κανονικό πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο

και ακτίνα . Αν η γωνία του πολυγώνου είναι , να βρείτε:

α) Τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου.(Μονάδες 8) β) Την κεντρική γωνία του πολυγώνου. (Μονάδες 7) γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του. (Μονάδες 10)-----------------------------------------------------------------------------ΘΕΜΑ 3Ο

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρά

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο , όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

α) Να υπολογίσετε συναρτήσει της ακτίνας το μήκος της πλευράς .

(μονάδες 7)

β) Να υπολογίσετε συναρτήσει της ακτίνας τα εμβαδά

των κυκλικών τομέων και .(μονάδες 8)

γ) Αν είναι το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που

περιέχεται στην κυρτή γωνία και είναι το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που περιέχεται στην

ε2ε1 R 3

ΓO

A

B


κυρτή γωνία , να αποδείξετε ότι:

(μονάδες 10)

ΘΕΜΑ 4 Ο Τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Φέρνουμε τη διάμεσο . Η προέκτασή της τέμνει τον κύκλο στο

σημείο . Αν , να αποδείξετε ότι:

α) (μονάδες 7)

β) (μονάδες 8)

γ) (μονάδες 10)

Δ

ΜΒ Γ

Α

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥapi.ning.com/.../file.docx · Web view1. Στο...

Documents

Transcript of ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥapi.ning.com/.../file.docx · Web view1. Στο...