ESTIMASI

Salah satu aspek untuk menarik kesimpulan mengenai suatu populasi dengan memakai sampel yang diambil dari populasi tersebut menggunakan estimasi (penaksiran)

Jika parameter populasi disimbolkan dengan θ maka θ yang tidak diketahui harganya ditaksir oleh harga

yang dinamakan dengan estimator (penaksir) θ̂

Ciri-ciri estimator / penaksir yang baik1. Tak bias, jika rata-rata semua harga akan

sama dengan θ, E( )= θ2. Efisien, jika memiliki varians yang minimun3. Konsisten, jika θ yang dihitung berdasarkan

sampel acak berukuran n semakin besar n menyebabkan mendekati θθ̂

θ̂θ̂

θ̂

menyebabkan mendekati θθ

θθ̂n

lim=

∞→

Contoh :

1. rata-rata dari distribusi sampling rata-rata maka rata-rata sampel penaksir tak bias

µµx

=x

2. rata-rata dari dist sampling rata-rata, dan juga tetapi

sedemikian hingga dist rata-rata memiliki varians lebih kecil dari dist median sehingga rata-rata sampel sebagai penaksir yang efisien

µµ Med =n

σσ =s

n

σ 1.2533σMed=

µµx

=

sampel sebagai penaksir yang efisien

CARA MENAKSIR

1. Interval Estimations (Interval taksiran)

dari penelitian dan perhitungan-perhitungan harga statistik suatu sampel, bisa dihitung suatu interval dimana dengan peluang tertentu, harga parameter yang hendak ditaksir terletak dalam interval tersebut (A < θ < B)(A < θ < B)

2. Point Estimations (titik taksiran)

harga parameter hanya ditaksir dengan satu harga yakni harga sitatistik sampelnya θθ̂ =

Derajat kepercayaan menaksir disebut koefisin kepercayaan dengan 0 < γ < 1

Untuk menentukan interval taksiran parameter θ dengan koefisien kepercayaan γ maka sebuah sampel acak diambil, lalu hitung nilai-nilai statistik yang diperlukan

P(A < θ < B) = γ

A θ B

P(A < θ < B) = γ

dengan A dan B fungsi dari statistik, yang berarti peluangnya adalah γ bahwa interval yang sifatnya acak yang terbentang dari A ke B akan berisikan θatau 100 γ % percaya bahwa parameter θakan berada dalam interval A dan B

I. MENAKSIR RATA-RATA, µ

• Titik taksiran untuk µ

populasi dengan parameter rata-rata µ akan ditaksir, diambil sampel yang dihitung nilai statistik . Titik taksiran untuk µ adalah

• Interval taksiran untuk µ

x x

a) Simpangan baku diketahui, populasi normalmaka 100γ % interval kepercayaan untuk µ

adalah

)1.(..........n

σzxµ

n

σzx

γγ21

21 +<<−

b) Simpangan baku tidak diketahui, populasi normal maka 100γ % interval kepercayaan untuk µ adalah

dengan tp = niali t dari daftar dist t, p = ½ (1 + γ)dk = derajat kebebasan = n – 1

Jika n besar dengan N populasi (n/N > 0.05) maka :

)2.(..........n

stxµ

n

stx pp +<<−

Jika n besar dengan N populasi (n/N > 0.05) maka :

1N

nN

n

stxµ

1N

nN

n

sx

1N

nN

n

σzxµ

1N

nN

n

σzx

pp

γγ

:menjadi )2(

:menjadi (1)

21

21

−−+<<

−−−

−−+<<

−−−

t

Contoh :1. Ukuran berat dari sebuah sampel acak yang terdiri

dari 200 bola-bola yang dihasilkan oleh sebuah mesin tertentu selama satu minggu menunjukkan rerata sebesar 0.824 kg dan simpangan baku 0.042 kg tentukan batas interval bila 95% bagi berat rata-rata semua bola !

Penyelesaian : Penyelesaian : n = 200 s = 0.042 Berarti simpangan baku σ tidak diketahui, diasumsikan

normal maka dengan 95% interval kepercayaan adalah ……… (silahkan coba dihitung)

824.0=x

2. Suatu biro riset ingin mengestimasi rata-rata pengeluaran untuk pembelian bahan makanan per minggu dari ibu-ibu rumah tangga. Sebuah sampel acak yang terdiri dari 100 ibu rumah tangga telah dipilih dari populasi ibu rumah tangga. Dari ke-100 tersebut diketahui rata-rata pengeluaran Rp tersebut diketahui rata-rata pengeluaran Rp 190.600 dengan simpangan baku Rp 10.600. Hitung 98% interval kepercayaan untuk pengeluaran rata-rata untuk pembelian bahan makanan per minggu dari semua ibu-ibu rumah tangga (silahkan coba, sebagai latihan)

II. MENAKSIR PROPORSI, Ppopulasi binom berukuran N dimaka terdapat

proporsi P untuk peristiwa A � Titik taksiran untuk P

titik taksiran untuk P adalah dg x banyaknya peristiwa A

� Interval taksiran untuk P

n

xp̂ =

� Interval taksiran untuk P 100γ% interval kepercayaan P adalah

dengan q = 1 – p n

xp̂ =

n

pqzp̂P

n

pqzp̂

γγ21

21 +<<−

Contoh : Sebuah sampel acak yang terdiri 100 penggarap

sawah, 60 orang penggarap di atas ternyata juga merupakan pemilik sawah yang bersangkutan. Tentukan 90% interval kepercayaan guna penaksiran proporsi penggarap yang juga pemilik sawah

Penyelesaian :n = 100 dan x = 60 maka = 0.6 dan q = …..

n

xp̂ =

z1/2 γ = z(1/2)0.9 = 1.64n

Sehingga 90% interval kepercayaan adalah

…….< P < ……..

Dengan demikian 90% interval kepercayaan, proporsi populasi berkisar diantara …………….

III. MENAKSIR SELISIH RATA-RATA, µ1 – µ2

Titik taksiran untuk (µ1 – µ2) adalah a) σσσσ1 = σσσσ2 populasi normal dengan σσσσ1 = σσσσ2 = σσσσInterval taksiran :

Jika besarnya σ = σ = σ tidak diketahui

( ) ( )21

γ2121

21γ

21n

1

n

1σzxxµµ

n

1

n

1σzxx

21

21 ++−<−<+−−

( )21 xx −

Jika besarnya σ1 = σ2 = σ tidak diketahui

( ) ( )

2

)1()1(

n

1

n

1stxxµµ

n

1

n

1stxx

21

222

211

21p2121

21p21

−+−+−

=

++−<−<+−−

nn

snsns

p = ½ (1 + γ)

dk = n1 + n2 - 2

b) σσσσ1 ≠ σσσσ2

Dilakukan pendekatan dengan memisalkan s1 = σ1 dan s2 = σ2 , interval taksiran :

( ) ( )21

γ2121

21γ

21n

1

n

1σzxxµµ

n

1

n

1σzxx

21

21 ++−<−<+−−

c) Observasi Berpasangan c) Observasi Berpasangan

Variabel acak X dan variabel acak Y diambil sampel berukuran sama n1 = n2 = n tiap data sampel dari kedua variabel acak saling dipasangkan. Misal x1 dengan y1, x2dengan y2 dan seterusnya sehingga diperoleh beda rata-rata µB = µx – µy dan selisih tiap pasangan B1 = x1 – y1 , B2 = x2 – y2 dan seterusnya

Interval taksiran :

( )BBns

n

BB

:dengan

n

stBµ

n

stB

2

i2i

i

BpB

Bp

−=

=

+<<−

∑ ∑

∑p = ½ (1 + γ)

dk = n + n - 2( )1)n(n

BBns ii

B −−

= ∑ ∑ dk = n1 + n2 - 2

� Contoh :Ada 2 cara pengukuran untuk mengukur kelembaban

suatu zat : Cara I dilakukan 50 kali dengan rata-rata 60.2 dan

varians 24.7Cara II dilakukan 60 kali dengan rata-rata 70.4 dan

varians 37.2varians 37.2Tentukan 95% interval kepercayaan mengenai

perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara itu

Penyelesaian :

53.3126050

2.37)160(7.24)150(2

)1()1(

21

222

2112

=−+

−+−=

−+−+−

=nn

snsnsgab

p = ½ (1 + γ) =…..

dk = n1 + n2 – 2 =…..1 2

Sehingga tp =……

Batas-batas interval taksiran adalah

( )

( )60

1

50

131.531.9842.604.70

n

1

n

1stxx

21p21

+±−

+±−

Sehingga diperoleh : ….. < µ1 – µ2 < ……Dengan demikian 95% percaya bahwa selisih rata-

rata pengukuran kedua cara itu akan berada pada interval ………………..

2

22

1

11 ˆˆ

n

xp

n

xp ==

IV. MENAKSIR SELISIH PROPORSI, P 1 – P2

Misal

Interval taksiran untuk interval kepercayaan 100γ% selisih (P1 – P2) adalah

1

11

1

11γ2121

1

11

1

11γ21 n

qp

n

qpz)p̂p̂(PP

n

qp

n

qpz)p̂p̂(

21

21 ++−<−<+−−

Dengan q1 = 1 – p1 q2 = 1 – p2

Contoh Sampel acak dari 100 kendaraan masing-masing

yang telah dipilih dari populasi terdiri dari kendaraan di dua kota A dan kota B. di kota A, 80 buah ternyata sudah melunasi pajak kendaraan, sedangkan di kota B hanya 66 buah. Buat interval keprcayaan 95% untuk menaksir harga perbedaan proporsi pelunasan pajak kendaraan di kedua kota proporsi pelunasan pajak kendaraan di kedua kota

Penyelesaian :n1 = n2 = 100 �γ = 0.95 � z1/2 γ = 1.96interval taksiran untuk interval kerpercayaan 95%

adalah ………. < P1 – P2 < ………

......ˆ......ˆ 21 == pp

V. MENAKSIR SIMPANGAN BAKU, σσσσJika populasi berdistribusi normal dengan varians

σ2 maka interval taksiran 100γ% untuk σ2

adalah

( ) ( )2

γ1

22

2γ1

2

21

21 χ

1)s(nσ

χ

1)s(n

−+

−<<−

Contoh

Sampel acak berukuran 30 telah diambil dari sebuah Sampel acak berukuran 30 telah diambil dari sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan simpangan bakuσ . Dihasilkan harga statistik s2 = 7.8 dengan koefisien kepercayaan 0.95 dan dk = 29 maka diperoleh

14.1495.416

8.729

7.45

8.729

0.167.45

22

2025.0

2975.0

<<⇔•<<•

==

σσ

χχ

Dapat disimpulkan 95% percaya bahwa simpangan baku σ akan berada dalam interval 2.23 dan 3.75

θ̂

VI. MENENTUKAN UKURAN SAMPEL

Perbedaan antara θ dan , b = | θ - | untuk koefisien kepercayaan γ dan berdistribusi normal dengan simpangan baku σ diketahui, ukuran sampel n ditentukan oleh :

θ̂

2zσ

2

γ

b

zσn 2

1

≥

xMenaksir rata-rata µ oleh dengan b = |µ - |x

Jika yang ditaksir itu proporsi P oleh adalah : |p̂ - P| bdan

n

xp̂ ==

2

γ

b

zP)P(1n 2

1

−≥

Apabila P(1 – P) tidak diketahui dianggap P(1 – P) = 0.25Apabila P(1 – P) tidak diketahui dianggap P(1 – P) = 0.25

Contoh :

Misal Depdiknas perlu mengetahui ada berapa % kira-kira anak SD yang bercita-cita jadi guru. Koefisien kepercayaan 0.95 dengan kekeliruan menaksir tidak lebih dari 2%. Berapa anak SD yang perlu dIiteliti?

Penyelesaian : Dianggap P(1 – P) = 0.25 (tidak diketahui P)b = 2% = 0.02 z(1/2)0.95 = 1.96

b

zP)P(1n

2

2

γ21

−≥

2401n0.02

1.960.25n

2

≥

≥

Sampel itu paling sedikit harus terdiri dari 2401 anak SD